猜想规律与探索

中考数学试题精选系列汇编《猜想、规律与探索》一 选择题1. （2011浙江省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”， 图A 3比图A 2多出4个“树枝”， 图A 4比图A 3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A 6比图A 2多出“树枝”（ ）A .28B .56C .60D . 124【答案】C3. （2011广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n （n 是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ▲ ．【答案】)2(+n n4. （2011内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）【答案】(1)4n n ++或24n n ++5. （2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式：① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1② 2 × 4 - 32= 8 - 9 = -1 ③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1 ④ ……（1）请你按以上规律写出第4个算式； （2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．第1个图形第 2 个图形 第3个图形第 4 个图形第 18题图【答案】解：⑴246524251⨯-=-=-；⑵答案不唯一.如()()2211n n n +-+=-；⑶()()221n n n +-+ ()22221n n n n =+-++22221n n n n =+---1=-.6．（2011广东汕头，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；（2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n 行共有 个数；（3）求第n 行各数之和． 【解】（1）64，8，15； （2）2(1)1n -+，2n ，21n -；（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n 行各数之和等于2(21)(1)n n n --+=322331n n n -+-.二 填空题1. （2011四川绵阳18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。

5 探索与表达规律1．规律探索规律探索是数学中常见的类型之一，是指从已知的几个数据或几个图形中发现其中的数据变化情况，并用代数式表示出来．规律探索体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想．探索规律的一般方法是：(1)观察：从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；(2)猜想：由此及彼，合理联想，大胆猜想；(3)归纳：善于类比，从不同的事物中发现其相似或相同点；(4)验证：总结规律，作出结论，并取特殊值验证结论的正确性．探索规律问题，要从给出的几个有限的数据着手，认真观察其中的变化规律，尝试猜想、归纳其规律，并取特殊值代入验证．在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，这样可收到事半功倍的效果．【例1】观察下列数表：根据数表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为__________，第n 行(n为正整数)与第n列的交叉点上的数应为________．解析：通过观察、分析、比较可知，第1行与第1列的交叉点上的数是1，第2行与第2列的交叉点上的数是3，第3行与第3列的交叉点上的数是5，第4行与第4列的交叉点上的数是7，…，所以可猜想第6行与第6列的交叉点上的数是11，第n行(n为正整数)与第n列的交叉点上的数应为2n－1.答案：11 2n－12．探索规律的常见类型及方法(1)数字规律和代数式规律常见的几种数字规律形式：①②(2)新运算的规律 新运算是指用特定的符号表示与加、减、乘、除不相同的一种规定运算． 新运算的实质是有理数的几种混合运算，关键是观察出用到了哪些运算，要特别注意运算的顺序． (3)图形规律探索图形规律的实质是用字母表示数，即列代数式．要从不同的角度分析，可用去括号、合并同类项验证规律．【例2－1】 符号“§”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：(1)§(1)＝0，§(2)＝1，§(3)＝2，§(4)＝3，…(2)§⎝⎛⎭⎫12＝2，§⎝⎛⎭⎫13＝3，§⎝⎛⎭⎫14＝4，§⎝⎛⎭⎫15＝5，… 利用上面的规律计算：§⎝⎛⎭⎫12 013－§(2 012)．分析：从(1)中的运算可以看出，当括号内的数是整数时，运算的结果等于括号内的数减去1，所以§(2 012)＝2 011；从(2)中可以看出，当括号内的数是一个分子是1的分数时，运算的结果等于括号内那个数的倒数，所以§⎝⎛⎭⎫12 013＝2 013. 解：§⎝⎛⎭⎫12 013－§(2 012)＝2 013－2 011＝2.【例2－2】 观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1＋8＋16＋24＋…＋8n (n 是正整数)的结果为( )． A ．(2n ＋1)2 B ．(2n －1)2 C ．(n ＋2)2 D ．n 2解析：观察图形和下面的式子可以知道，1＋8＝1＋8×1＝9＝32,1＋8＋16＝1＋8×1＋8×2＝52,1＋8＋16＋24＝1＋8×1＋8×2＋8×3＝72，…，其规律是：计算的结果是连续奇数的平方，所以1＋8＋16＋24＋…＋8n ＝(2n ＋1)2.故选A.答案：A3．探索规律的应用常见的探索规律的应用：探索日历中的规律和折叠中的规律．(1)探索日历中的规律在日历中一般我们可以从横行、竖列、斜列三个方向去寻找规律，当然也可以从其他角度去探索．①横行：相邻两数相差1.如左下图所示：②竖列：相邻两数相差7.如右上图所示．③斜列：从左上到右下的斜列相邻两数相差8；从右上到左下的斜列相邻两数相差6.④日历中的3×3方框内的规律：在这9个方格中的数的和是中间方框中的数的9倍．若将中间数设为a，则其余8个数可按规律如上图所示，则这9个数的和即为(a－8)＋(a－7)＋(a－6)＋(a－1)＋a＋(a＋1)＋(a＋6)＋(a＋7)＋(a＋8)＝9a，正好是中间数a的9倍．(2)折叠中的规律将一张纸折叠，每折叠一次就会得到纸的层数、折痕数，将这些数记录下来，找出规律，就可预测当折叠n次后，相应的层数与折痕数．折叠次数：1,2,3,4,5，…，n.层数：2,4,8,16,32，…，2n.平行对折的折痕数：1,3,7,15,31，…，2n－1.___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例3－1】2013年的元宵节是阳历2月24日，根据下面的日历，你知道春节和初夕分别是哪一天吗？请你填在下面的横线上：春节：2月__________日，除夕：2月__________日．解析：根据日历中竖列和横列的规律可以求出．如图，春节与元宵节在同一竖列中，根据竖列中相邻两数相差7，可知春节比元宵节少14，即24－14＝10，春节是10日，根据横列中相邻相差1的规律，可知除夕是9日．答案：10 9【例3－2】将连续的偶数2,4,6,8，…排列成如右图所示的数表．(1)“十”字框内5个数的和，与框内中间的数18有什么关系？(2)若将“十”字框上、下、左、右平移，框住另外5个数，这5个数还有这样的规律吗？(3)设中间的数为a，用代数式表示“十”字框内5个数之和．分析：观察对比可以发现：左右相邻两数相差2，上下相邻两数相差12.再换另一组数，同样有这样的规律．解：(1)6＋16＋18＋20＋30＝90，而90÷18＝5，所以框内5个数的和是框内中间的数18的5倍．(2)将框上、下、左、右平移，任意框住5个数，同样有这样的规律．(3)若中间的数为a，则框住的5个数分别为a－12，a－2，a，a＋2，a＋12，其中a为偶数，故它们的和为(a－12)＋(a－2)＋a＋(a＋2)＋(a＋12)＝5a.【例3－3】如果将一张长方形的纸，平行对折7次，展开后，会有__________条平行折痕，折痕会把这张长方形的纸分成__________个小长方形．解析：根据折叠中的规律：对折7次，即当n＝7时，平行折痕数为2n－1＝27－1＝127(条),1条折痕能把长方形分成2个小长方形，2条能分成3个，…，127条折痕则分成128个小长方形．答案：127 128。

专题一 规律探索型问题要点梳理：规律探索型问题也是归纳猜想型问题，1．数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．2．数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．3．图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4．数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．解题方法：规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．重点讲解【例1】 (2014·钦州)甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是 分．1．(2014·兰州)为了求1＋2＋22＋23＋…＋2100的值，可令S ＝1＋2＋22＋23＋…＋2100，则2S ＝2＋22＋23＋24＋…＋2101，因此2S －S ＝2101－1，所以S ＝2101－1，即1＋2＋22＋23＋…＋2100＝2101－1，仿照以上推理计算1＋3＋32＋33＋…＋32014的值是 ．2．数式规律型问题【例2】 (2014·扬州)设a 1，a 2，…，a 2014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a 1＋a 2＋…＋a 2014＝69，(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 2014＋1)2＝4001，则a 1，a 2，…，a 2014中为0的个数是 ．3．(2013·南宁)有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…a n ，满足以下规律：a 1＝12，a 2＝11－a 1，a3＝11－a 2，…，a n ＝11－a n －1(n ≥2且n 为正整数)，则a 2013的值为 ．(结果用数字表示)图形规律型问题【例3】 (2013·安徽)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图①所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图②，图③，……(1)观察以上图形并完成下表：图形的名称 基本图的个数 特征点的个数图①1 7 图②2 12 图③3 17 图④4 22 … … …猜想：（1）在图中，特征点的个数为 ；(用n 表示)(2)如图，将图放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O 1的坐标为(x 1，2)，则x 1＝ ；图的对称中心的横坐标为 ．3．(2014·深圳)如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有 ．数形结合猜想型问题【例4】 (2014·泰安)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B ，O 分别落在点B 1，C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去….若点A(53，0)，B(0，4)，则点B 2014的横坐标为 ．试题(1 )(2012·桂林)下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是____．(2)(2012·黔东南)如图，第①个图有2个相同的小正方形，第②个图有6个相同的小正方形，第③个图有12个相同的小正方形，第④个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，那么第个图有________个相同的小正方形．(3)如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，…，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由________个圆组成．规律探索型问题一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2013·泰安)观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…解答下列问题：3＋32＋33＋34＋…＋32013的末位数字是( )A．0 B．1 C．3 D．72．(2014·武汉)观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中点的个数是( )A．31 B．46 C．51 D．663．(2014·十堰)根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的( )4．A .B .C .D .4．(2014·重庆)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )A ．22B ．24C ．26D ．285．(2014·内江)如图，已知A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n A n ＋1＝1，分别过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1作x 轴的垂线交直线y ＝2x 于点B 1，B 2，B 3，…，B n ，B n ＋1，连接A 1B 2，B 1A 2，B 2A 3，…，A n B n ＋1，B n A n ＋1，依次相交于点P 1，P 2，P 3，…，P n .△A 1B 1P 1，△A 2B 2P 2，△A n B n P n 的面积依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S n 为( )A.n ＋12n ＋1 B .n 3n －1C .n 22n －1D .n 22n ＋1二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·毕节)观察下列一组数：14，39，516，725，936，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是 ．7．(2014·娄底)如图是一组有规律的图案，第一个图案由4个▲组成，第二个图案由7个▲组成，第三个图案由10个▲组成，第四个图案由13个▲组成，…，则第n(n 为正整数)个图案由 个▲组成．8．(2014·梅州)如图，弹性小球从点P(0，3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，则点P3的坐标是_ ；点P2014的坐标是．9．(2014·菏泽)下面是一个按照某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第n(n是整数，且n≥3)行从左到右数第n－2个数是．(用含n的代数式表示)10．(2013·潍坊)当白色小正方形个数依次等于1，4，9…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示．则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于．(用n表示，n是正整数)三、解答题(共40分)11．(12分)(2014·宜宾)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.(1)求出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L；(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝N＋aL＋b，其中a，b为常数，若某格点多边形对应的N＝82，L＝38，求S的值．12．(12分)(2012·宁波)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：(1)第5个图形有多少颗黑色棋子？(2)第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．13．(16分)(2014·凉山州)实验与探究：三角点阵前n 行的点数计算． 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n 行有n 个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1＋2＋3＋4＋…＋23＋24＝300.得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n 行的点数的和与n 的数量关系是1＋2＋3＋…＋(n －2)＋(n －1)＋n ，可以发现．2×[1＋2＋3＋4＋…＋(n －2)＋(n －1)＋n]＝[1＋2＋3＋…＋(n －2)＋(n －1)＋n]＋[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋3＋2＋1]．把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n 项相加，上式等号的后边变形为这n 个小括号都等于n ＋1，整个式子等于n(n ＋1)，于是得到1＋2＋3＋…＋(n －2)＋(n －1)＋n ＝12n(n ＋1)， 这就是说，三角点阵中前n 项的点数的和是12n(n ＋1)．下列用一元二次方程解决上述问题：设三角点阵中前n 行的点数的和为300，则有12n(n ＋1)整理这个方程，得n 2＋n －600＝0， 解方程得n 1＝24，n 2＝－25.根据问题中未知数的意义确定n ＝24，即三角点阵中前24行的点数的和是300. 请你根据上述材料回答下列问题：(1)三角点阵中前n 行的点数的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．(2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，2n ，…，你能探究出前n 行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n 行的点数的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．。

初中数学规律猜想问题教案教学目标：1. 让学生通过观察、实验、归纳等方法，培养学生的数学思维能力和创新意识。

2. 让学生掌握探索数学规律的基本方法，提高学生解决实际问题的能力。

3. 培养学生的团队协作能力和表达能力。

教学内容：1. 观察和实验：让学生通过观察和实验，发现数学问题的规律。

2. 归纳和推理：让学生通过归纳和推理，总结出数学规律的一般性结论。

3. 应用和实践：让学生将所发现的数学规律应用于实际问题中，解决实际问题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过一个有趣的数学问题引导学生思考，激发学生的学习兴趣。

2. 学生分享自己在生活中遇到的数学问题，教师总结并提出本节课的学习目标。

二、观察和实验（15分钟）1. 教师提出一个问题，让学生通过观察和实验来寻找答案。

2. 学生分组进行观察和实验，记录下自己的发现。

3. 各组学生汇报自己的实验结果，教师引导学生进行总结。

三、归纳和推理（15分钟）1. 教师引导学生根据观察和实验的结果，进行归纳和推理。

2. 学生通过讨论、交流，总结出数学规律的一般性结论。

3. 教师对学生的结论进行评价和指导，帮助学生完善自己的思考。

四、应用和实践（15分钟）1. 教师提出一个实际问题，让学生运用所发现的数学规律来解决。

2. 学生分组讨论，尝试解决问题。

3. 各组学生汇报自己的解题过程和答案，教师进行评价和指导。

五、总结和反思（5分钟）1. 教师引导学生对所学内容进行总结，巩固知识点。

2. 学生分享自己在学习过程中的收获和感悟，提出疑问。

3. 教师对学生的表现进行评价，给予鼓励和指导。

教学评价：1. 学生对数学规律的发现和应用能力。

2. 学生的团队协作能力和表达能力。

3. 学生对数学学习的兴趣和积极性。

教学资源：1. 数学问题素材库。

2. 实验器材。

3. 教学课件和教案。

教学建议：1. 教师在教学中要注重引导学生主动观察、实验、归纳和推理，培养学生的数学思维能力。

……猜想、探索规律型1．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干个图案：第(4)个图案中有黑色地砖4块；那么第(n )个图案中有白色．．地砖 块。

2、如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去； （1）填表：（2）如果剪n 次，共剪出多少个小正方形？（3）如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？ （4）观察图形，你还能得出什么规律？3、 仔细观察下列图形.当梯形的个数是n 时，图形的周长是 .4、用火柴棒按如下方式搭三角形：(1) 填写下表：(2) 照这样的规律搭下去，搭n 个这样的三角形需要______根火柴棒5、一张长方形桌子可坐6人，按下列方式讲桌子拼在一起。

①张桌子拼在一起可坐______人。

3张桌子拼在一起可坐____人，n 张桌子拼在一起可坐______人。

②一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐______人。

③若在②中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐_________人。

6、观察下列算式：，，　，　，　，　，　，　，　2562128264232216282422287654321======== 根据上述算式中的规律，你认为202的末位数字是（ ）．7、某种细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，每次一分为二。

若这种细菌由1个分裂到16个，那么这个过程要经过( )8、下图(1)表示1张餐桌和6张椅子(每个小半圆代表1张椅子)，若按这种方式摆放20张餐桌需要的椅子张数是 。

9(1) 从左下角到右上角的三个数字之和为45,那么这9个数的和是多少?这9个日期中最后一天是1月几日? (2) 用这样的方框能否圈出总和为162的9个数?10、观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ）11、观察下列图形（每幅图中最小．．的三角形都是全等的），请写出第n 个图中最小．．的三角形的个数有 个．12．如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n 幅图中共有 个．……第1个第2个第3个第1个图 第2个图 第3个图 第4个图 … … 第1幅 第2幅 第3幅 第n 幅 图5。

猜想、规律与探索一 选择题1.一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1) →(1，1) →（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）A ．(4，O) B.(5，0) C ．(0，5) D ．(5，5)【解题思路】方法一、在演草纸上按规律去画。

方法二、根据题意，结合图形我们可以发现第n （n+2）秒时跳蚤所在位置的坐标是⎩⎨⎧→→为偶数时为奇数时，n n),0(n )0n (，35= 5（5+2）所以要求坐标为(5，0)。

【答案】B【点评】本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析，如果次数较少可按规律一次去画。

难度中等。

2.在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点坐标分别为A (1，1)，B (1，－1)，C (－1，－1)，D (－1，1)，y 轴上有一点P (0，2)．作点P 关于点A 的对称点P 1，作点P 1关于点B 的对称点P 2，作点P 2关于点C 的对称点P 3，作点P 3关于点D 的对称点P 4，作点P 4关于点A 的对称点P 5，作点P 5关于点B 的对称点P 6，…，按此规律下去，则点P 2011的坐标为( )A ．(0，2)B ．(2，0)C ．(0，－2)D ．(－2，0)【解题思路】P 1(2，0)，P 2(0，－2)，P 3(－2，0)，P 4与P 重合．题中所述点列P 1→P 2→P 3→P 4→P 5→…是循环的，循环节是．P 1→P 2→P 3→P ．∵2011＝502×4＋3，∴P 2011是循环点列中第503节的第三个点，即是P 3． 【答案】D【点评】此题考查探索、归纳和猜想的能力．探索应从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象进行，难度较大．对点（x ，y ）的一次操作变换记为P 1（x ，y ），定义其变换法则如下：P 1（x ，y ）=（y x +，y x -）；且规定)),((),(11y x PP y x P n n-=（n 为大于1的整数）．如P 1（1，2 ）=（3，1-），P 2（1，2 ）= P 1（P 1（1，2 ））= P 1（3，1-）=（2，4），P 3（1，2 ）= P 1（P 2（1，2 ））= P 1（2，4）=（6，2-）．则P 2011（1，1-）=（ ）A ．（0,21005 ）B ．（0,-21005 ）C ．（0,-21006）D ．（0,21006） 【解题思路】：P 1（1，1-）=(0,2)；P 2（1，1-）=P 1(0,2)=(2，2-)；P 3（1，1-）=P 1（P 2(1, 1-)=P 1(2，2-)=(0,4)；……由此可知当n 为奇数数时，横坐标为0，纵坐标为21(1)2n +，所以P 2011（1，1-）=（0,21006）【答案】D ．【点评】：本题是规律探究性问题，解题时先从较简单的特例入手，从中探究出规律，再用得到的规律解答问题即可.本题难度较大，考查了学生分析问题的能力.也可以看作是新定义型问题.已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元2009年、2010年、2012年举办。

中考专题复习 ----------- 猜想、规律与探索一、设计类【例1】在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图a所示的图形。

（1）请你利用这个几何图形求的值为。

（2）请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。

【例2】(2005年河北省中考题)观察下面的图形（每一个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式。

二、动态类【例3】右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1，A 2，A3，…。

若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，……，依此类推。

则第10圈的长为。

【例4】)已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。

在平面直角坐标系内，现有一动点P 第1次从原点O 出发按甲方式运动到点P 1，第2次从点P 1出发按乙方式运动到点P 2，第3次从点P 2出发再按甲方式运动到点P 3，第4次从点P 3出发再按乙方式运动到点P 4,……。

依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P 所在位置P 11的坐标是 。

三、数字类【例5】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，……，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。

请你按这种规律写出第七个数据是 。

【例6】观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，…．根据上述算式中的规【例7】按下列规律排列的一列数对（1，2）（4，5）（7，8），…，第5个数对是 。

【例8】一组按规律排列的数：，，，，，…请你推断第9个数是【例9】把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、…，则第10个数为 。

2023届安徽省中考复习专题3观察猜想数学规律与探索解答题30题专项提分计划1．（2023年安徽省宿州市萧县一模数学试题）观察下图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．(1)第4个图形对应的等式为______．(2)若第n个图形对应的黑点总数为66个，求n的值．2．（2022年安徽省芜湖市九年级毕业暨升学模拟考试（二）数学试题）观察下列等式：第1个等式：222=211´+；第2个等式：333=322´+；第3个等式：444=433´+；第4个等式：555=544´+；．．．．．．根据上述规律解决下列问题：(1)写出第5个等式： ；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示，n 是正整数），并证明．3．（2022年安徽省合肥市瑶海区中考三模（统考）数学试题）我们把图1称为基本图形，显然在这个基本图形中能找到6个矩形，将此基本图形不断复制并向上平移，使得相邻两个基本图形的边重合，这样得到图2、图3、……；(1)观察图3并完成相应填空：1×（1＋2＋3）＝6；（1＋2）×（1＋2＋3）＝18； ×（1＋2＋3）＝(2)根据以上的规律猜想，图n 中共有 个矩形（用含n 的代数式表示）；(3)在一个由n 行n 列的矩形组成的图形中，一共有100个矩形，求n 的值；【答案】(1)()123;36.++(2)()31.n n +(3)4．【分析】（1）直接利用图形中矩形个数进而得出数据变化规律即可得出答案．（2）直接利用(1)中变化规律得出答案．4．（2022年安徽省宿州市第十一中学九年级中考数学六摸试题）观察下列等式：第1个等式：251 133 -=，第2个等式：261 284 -=，第3个等式：271 3155 -=，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第4个等式：_________；(2)写出你猜想的第n个等式：_________，并给出证明．【点睛】本题主要考查了规律类题探究，分式加减运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键．5．（2022年安徽省滁州市来安县中考二模数学试题）观察下列等式：第1个等式：223111221222=-´´´´；第2个等式：3234112322232=-´´´´；第3个等式：4345113423242=-´´´´；第4个等式：5456114524252=-´´´´；第5个等式：6567115625262=-´´´´；……按上述规律，回答以下问题：(1)写出第6个等式：_______________________________________________；(2)写出你猜想的第n 个等式：_____________________________________（用含n 的等式表示），并证明．6．（2022年安徽省宣城市宣州区九年级中考第二次模拟考试数学试题）观察下列各式：第1个等式：211133=-´．第2个等式：2112424=-´．第3个等式：2113535=-´．……根据你发现的规律解答下列问题：(1)第4个等式为：______．(2)写出你猜想的第n 个等式：______（用含n 的等式表示），并证明．故答案为：()21122n n n n =-++．【点睛】本题考查了分式的规律探究，有理数的加减运算，解决本题的关键在于推导一般性规律．7．（2022年安徽省安庆市九年级毕业班中考模拟数学试题）观察下列等式：第2个等式：2727-=´；第3个等式：131310310-=´；第4个等式：131413413-=´；…根据你观察到的规律，解决下列问题：(1)请写出第5个等式：_________；(2)请写出第n 个等式________（用含n 的等式表示），并证明．8．（2022年安徽省合肥市庐阳区一模数学试题）观察以下等式：第1个等式：1111122+-=，第3个等式：56330+-=，第4个等式：1111 78456+-=，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：______________________；(2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示），并证明.9．（2022年安徽省合肥市一六八中学中考一模数学试题）用同样规格的黑白两种颜色的正方形．按如图的方式拼图，请根据图中的信息完成下列的问题：(1)在图②中用了块白色正方形，在图③中用了__块白色正方形(2)按如图的规律维续铺下去，那么第n个图形要用_ 块白色正方形；(3)如果有足够多的黑色正方形，能不能恰好用完2021块白色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由．【答案】(1)8；11(2)（3n +2）(3)能恰好用完2021块白色正方形，第673个图形【分析】（1）观察如图可直接得出答案；（2）认真观察题目中给出的图形，结合问题（1），通过分析，即可找到规律，得出答案；（3）根据问题（2）中总结的规律，列出算式3n +2=2021，如果结果是整数，则能够拼出具有以上规律的图形，否则，不能．【详解】（1）解：根据题意得：图①中用了白色正方形的块数为5=3×1+2，图②中用了白色正方形块数为8=3×2+2，图③中用了白色正方形块数为11=3×3+2，故答案为：8；11（2）解：由（1）得：第n 个图形用了（3n +2）块，故答案为：（3n +2）（3）解：能恰好用完2021块白色正方形，理由如下：假设第n 块恰好用完2021块白色正方形，根据题意得：3n +2=2021，解得：n =673，∴能恰好用完2021块白色正方形，它是第673个图形．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律：第n 个图形要用(3n +2)块白色正方形，利用规律解决问题是解题的关键．10．（2021年安徽省合肥市蜀山区中考一模（统考）数学试卷）观察以下等式：第1个等式：122(1)3311´+=-；第2个等式：422(1)3422´+=-；第3个等式：722(1)3533´+=-；第4个等式：1022(1)3644´+=-；……；按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式： ；(2)写出你猜想的第n 个等式：（用含n 的等式表示），并证明11．（2022年安徽省安庆市五校联考中考一模数学试题）观察以下等式：第1个等式：1111=1322æö´+-ç÷èø，第2个等式：2111=1433æö´+-ç÷èø，第3个等式：3111=1544æö´+-ç÷èø，第4个等式：4111=1655æö´+-ç÷èø，……，按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式： ；(2)写出你猜想的第()1n -个()2n ³等式：______（用含n 的等式表示，并证明）．12．（2022年安徽省合肥市第四十五中学中考三模数学试题）先阅读、观察、理解，再解答后面的问题：第1个等式：()1121230123´=´´-´´()11233=´´第2个等式：()()11122312301223412333´+´=´´-´´+´´-´´()11230122341233=´´-´´+´´-´´()12343=´´第3个等式：()()()111122334123013234123345234333´+´+´=´´-´´+´´-´´+´´-´´()11230132341233452343=´´-´´+´´-´´+´´-´´()13453=´´(1)依此规律，猜想：()1223341n n ´+´+´+++=L ________（直接写出最后结果）；(2)依据上述规律计算：1011111212132930´+´+´++´L ．13．（2022年安徽省合肥市高新区中考二模数学试题）观察下列等式：1223113221´=´；2335225332´=´；3669339663´=´；…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数和三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称式”．(1)根据上述规律填空，使式子成为“数字对称式”：52×______=______×25；______×187=781×______．(2)设“数字对称式”左边两位数的十位上数字为a ，个位上数字为b ，且29a b £+£，请用a 、b 表示“数字对称式”（只写出等式，不需证明）．【答案】(1)275，572；71，17(2)()()()()10100101001010a b b a b a a a b b b a ++++=++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦【分析】（1）根据题意可得三位数中间的数等于两数的和，根据这一规律然后进行填空，从而得出答案；（2）根据题意得出一般性的规律，然后根据多项式的计算法则进行说明理由．（1）根据题意：52×275=572×25；71×187=781×17；故答案为：275，572，71，17；（2）“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）.证明如下：∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，∴左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）=（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a），右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a）=（110a+11b）（10b+a）=11（10a+b）（10b+a），∴左边=右边.∴“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）.【点睛】本题是对数字变化规律的考查，同时考查了列代数式，去括号，整式的加减运算，因式分解的应用，根据已知信息，掌握利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数是解题的关键．14．（2022年安徽省合肥市寿春中学三模数学试题）观察下列等式：第1个等式：22 4233´=+；第2个等式：33 9388´=+；第3个等式：44 1641515´=+；第4个等式：55 2552424´=+…按照以上规律，解决下列问题：(1)请写出第5个等式________；(2)请写出第n个等式，并证明．15．（2022年安徽省马鞍山市第七中学、第八中学二模联考数学试题）观察下图：下列每一副图都是由一些单位长度均为1的黑方格和白方格按一定的规律组成（下面所有方格均指的单位为1的小方格）(1)根据规律，第4个图中共有_______个方格，其中黑方格_______块．(2)第n个图形中，白方格共有_______个（用n表示，n为正整数）(3)有没有可能黑方格比白方格恰好少2022个，如果有，求出是第几个图形；如果没有，请说明理由．【答案】(1)45；1216．（2022年安徽省C20教育联盟九年级第三次学业水平检测数学试题）观察以下等式：第1个等式：22111´-=第2个等式：23222´-=第3个等式：24333´-=第4个等式：25444´-=第5个等式：26555´-=……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：_______________；(2)写出你猜想的第n 个等式：___________________（用含n 的等式表示），并证明．【答案】(1)27666´-=(2)2(1)n n n n +´-=，证明见解析【分析】（1）根据规律直接写出第五个等式即可；（2）归纳规律写出第n 个等式，检验等式左边等于等式右边恒等，可证明式子成立．【详解】（1）27666´-=（2）2(1)n n n n+´-=证明：∵左边2(1)n n n =+´-22n n n =+-n=∵右边n=∴左边=右边∴等式成立．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，总结出等式左边的变化规律是解本题的关键．17．（2022年安徽省安庆市中考二模数学试题）（规律探究）如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第（2）个图比第(1)个图多一层，第（3）个图比第（2）个图多一层，依次类推.(1)第（9）个图中阴影三角形的个数为 ；非阴影三角形的个数为 ．(2)第n 个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求n .(3)能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说明理由.【答案】(1)100 ，21(2)2018．（2022年安徽省蚌埠中考二模数学试卷　）观察以下等式：第1个等式：222022+=；第2个等式：222345+=；第3个等式：2228610+=；第4个等式：22215817+=；第5个等式：222241026+=……按照以上规律，解决下列问题：(1)第6个等式是____________；(2)写出你猜想的第n 个等式：____________（用含n 的等式表示），并证明．【答案】(1)222351237+=(2)()()222221(2)1n n n -+=+，证明见解析【分析】（1）由前几个中等式的特点直接得出第6个式子即可；（2）根据前几个式子的规律即可猜想第n 个等式，再证明等式的左边等于右边即可．【详解】（1）解：根据前面几个等式的规律可得第6个等式为：2222(61)(26)(61)-+´=+，即222351237+=．故答案：222351237+=（2）解：猜想的第n 个等式是()()222221(2)1n n n -+=+，理由是：∵左边＝()2221(2)n n -+＝()224214n n n -++＝422214n n n -++＝4221n n ++＝222()21n n ++＝22(1)n +＝右边，∴ ()()222221(2)1n n n -+=+，即等式成立．【点睛】此题主要考查了数字的运算规律，理解题意并找出数字之间的运算规律是解题的关键．19．（2022年安徽省城名校中考最后三模（一）数学试题）观察以下等式：第1个等式：2214223411-æö´-=ç÷-èø；第2个等式：2424224422-æö´-=ç÷-èø；第3个等式：2634225433-æö´-=ç÷-èø；第4个等式：2844226444-æö´-=ç÷-èø；第5个等式：21054227455-æö´-=ç÷-èø；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：___________；(2)写出你猜想的第n 个等式：__________（用含n 的等式表示），并证明．20．（2022年安徽省合肥市瑶海区中考二模数学试题）观察以下等式：第1个等式：732(23333´-=-；第2个等式：1332(2)3755´-=-；第3个等式：1932(2)31177´-=-；第4个等式：2532(231599´-=-；……；按照以上规律，解答下列问题：(1)写出第5个等式： ；(2)写出你猜想的第n 个等式：（用含n 的等式表示），并证明．21．（2022年安徽省全椒县中考第二次模拟考试数学试题）观察下列等式：第1个等式：1411=332æö-¸ç÷èø；第2个等式：1921=483æö-¸ç÷èø；第3个等式：11631=5154æö-¸ç÷èø；第4个等式：12541=6245æö-¸ç÷èø；第5个等式：13651=7356æö-¸ç÷èø；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：___________；(2)写出你猜想的第n个等式_________（用含n的等式表示），并证明．22．（2022年安徽省合肥市庐阳区九年级阶段调研二模数学试题）已知：当n为自然数时，11223(1)(1)(1)3n n n n n´+´++-´=+-L，观察下列等式：第1个：21=1第2个：22+++´12=1(11)2++´=1212＝（1＋2）＋1´2第3个：222++++´++´123=1(11)2(12)3++´++´=1212323+++´+´=(123)(1223)(1)依此规律，填空：2222L L++++=++´++´+++-n n n1231(11)2(12)3[1(1)]=++´++´+++-´Ln n n1212323(1)=+(______________)[________________________]=＋1=´6(2)运用以上结论，计算：2222L．++++12320=23．（2022年安徽省宣城市三县四校中考联盟考试试题）用同样大小的两种不同颜色（白色．灰色）的正方形纸片，按如图方式拼成长方形．[观察思考]第（1）个图形中有212=´张正方形纸片；第（2）个图形中有2(12)623´+==´张正方形纸片；第（3）个图形中有2(123)1234´++==´张正方形纸片；第（4）个图形中有2(1234)2045´+++==´张正方形纸片；……以此类推(1)[规律总结]第（5）个图形中有__________张正方形纸片（直接写出结果）．(2)根据上面的发现我们可以猜想：123n ++++=L __________．（用含n 的代数式表示）(3)[问题解决]根据你的发现计算：101102103200++++L ．24．（2022年安徽省淮北市九年级中考模拟一数学试题）观察下列等式：第1个等式：11111(15415a ==´-´，第2个等式：21111()59459a ==´-´，第3个等式：31111(9134913a ==´-´，…请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：5a =________= ________．(2)用含有n 的代数式表示第n 个等式：（n 为正整数）；n a =________________________=________________________．(3)求1232022a a a a ++++L 的值．25．（2022年安徽省合肥市瑶海区育英学校中考二模数学试题）观察下列图形中小黑点个数与等式的关系，按照其图形与等式的规律，解答下列问题：＝第1个等式：1221+=+＝第2个等式：4682+=+＝第3个等式：912183+=+＝第4个等式：1620324+=+(1)写出第5个等式：________．(2)写出你猜想的第n 个等式：________（用含n 的等式表示）．(3)若第n 组图形中左右两边各有210个小黑点，求n ．【答案】(1)2530505+=+(2)()2212n n n n n++=+26．（安徽省六安市舒城县仁峰实验学校2021-2022学年九年级下学期第一次月考数学试题（一模））观察以下等式：第1个等式：1112 12111 +=´´-；第2个等式：1112 22423+=´´-；第3个等式：1112 32935+=´´-；第4个等式：1112 421647+=´´-；第5个等式：1112 522559+=´´-；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第7个等式：；(2)写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．27．（安徽省六安市汇文中学2021-2022学年九年级下学期第一次月考（一模）数学试题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，已知图1中有5个黑色圆点；图2中有12个黑色圆点；图3中有22个黑色圆点；图4中有35个黑色圆点；……。

探索规律型问题归类解析探索规律型问题是历年中考数学试题中的重要题型之一，其特点是给出一组变化了的数字、式子、表格、图形等，要求学生通过观察、归纳、猜想、验证、类比，探求其内在规律．1.通用的解题策略解答规律型问题一般要从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论．这种“特殊——一般——特殊”的解题模式，体现了总结归纳的数学思想，也正是人们认识新事物的一般过程．具体来说，就是先写出开头几个数式的基本结构，然后通过横比或纵比找出各部分的特征，写出符合要求的结果．例1 如图1，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色“L”形由3个正方形组成，第2个黑色“L”形由7个正方形组成，…那么组成第6个黑色“L”形的正方形个数是( )(A)22 (B)23 (C)24 (D)25解析从特例入手：如图1．纵比正方形的个数3，7，11，15中，后一个数比前一个大4（即相邻两数的差为4），猜想与4有关．横比3与1，7与2，11与3，15与4之间有何关系？联想到与4有关，故改写为：3＝4×1－1，7＝4×2－1．11＝4×3－1，15＝4×4－1．猜想组成第6个黑色L形的正方形个数是4 ×6－1＝23个．故选B．点评考察相邻两数的差（或商）是探究数字规律的常用手段．常见的类型有：相邻两数的差（或商）相等或成倍数关系，相邻两数的差相等与商相等交替出现等．2.关注特殊数列(1)斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21…（其规律为：从第三项开始，每一项都等于前两项之和）；(2)平方数数列：1，4，9，16，25，36…（其规律为：n2，即每一项都等于项数的平方）．例2 有一组数：1，2，5，10，17，26…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为_______．解析规律为：n2＋1（n＝0，1，2…）．答案：50．点评此类题要注意n2，n2＋1，n2－1等(3)三角形数列：1，3，6，10，15，21，…（其规律为1＋2＋3＋…＋n）例3 世界上著名的莱布尼茨三角形如图2所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是：( )（A）（B）（C）（D）解析从第3行起，从左边数第3位置上的数分别为，，，，…它们的分母可分别改写为：1×3，3×4，6×5，10×6，15×7，21×8，…，而1，3，6，10，15，21，…，正是三角形数，故答案为：．选B．(4)杨辉三角形，杨辉三角形斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，如图3．(5)与等差等比数列有关的数列．如例1中3，7，11，15…就是一个等差数列．例4 数字解密：第一个数是3＝2＋1，第二个数是5＝3＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8，……观察并猜想第六个数应是_______．解析第二个加数1，2，4，8…规律为2n（为一等比数列，也要关注这一数列），第一个加数2，3，5，9…比第二个加数大1．所以第六个数为(25＋1)＋25＝65．例5 一组按规律排列的数：…请你推断第9个数是________．解析这列数的分母为2，3，4，5，6…的平方数，分子形成二阶等差数列，依次相差2，4，6，8…故第9个数分子为1＋2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＝73，分母为100，故答案为．(6)与循环有关的问题例6 让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1＝5，计算n12＋1得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22＋1得a3；第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n32＋1得a3；……依此类推，则a2008＝_______．解析根据题意可算出a1＝26，a2＝65，a3＝122，a4＝26，a5＝65，a6＝122，…发现每3个数就出现一次循环．所以由2008＝669×3＋1，可得a2008＝a1＝26．点评一列数由某m个数循环出现组成，可依据同余等值(由n＝p·m＋r得a n＝a r)实施转换．(7)分奇数项偶数项的问题例7 一组按规律排列的式子：，…(a b≠0)，其中第7个式子是________，第n个式子是_(n为正整数)．解析6的指数2，5，8，11…，相邻两数差为3，是等差数列，其规律为3n－1；再注意到奇数项为负，偶数项为正，则第n个式子为第七个式子为3.特殊数列的迁移例8 把数字按如图4所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、…，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1.5.13.25.…，则第10个数为_______．解析1 中间框出的一列数的规律为：第n个数为1＋4＋8＋12＋…＋4（n－1）．所以第10个数为1＋4＋8＋12＋…＋36＝．解析2 用虚线圈出的一列数1，5，13，25可改写为：02＋12，12＋22，22＋32，32＋42，猜想第10个数为92＋102＝181．点评此列数可看成是平方数数列的迁移．例9 图5中是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒．a，b，c，d是相邻两行的前四个数，那么当a＝8时，c＝_______，d＝_______．解析除两边外，中间的每个数等于肩上两数的和．答案：9；32．点评此列数可看成是杨辉三角形的迁移．4.关注中考新题型例10 观察图6所示表格，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有_______次．解析从特例入手，通过扩充表格可得：数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10出现次数分别为1，2，2，3，2，4，2，4，3，4．出现的次数恰为给定数的所有因数的个数，而2008的因数为1，2，4，8，251，502，1004，2008等8个．故答案为8．点评本例中新产生的数为自然数的倍数，因此，其出现的次数与其因数的多少有关，仔细观察便会发现，其出现次数就是给定数所有因数的个数，本题规律的隐蔽性较强，因而有一定的难度．。

例谈猜想探索规律型问题的解法作者：沈瑞荣来源：《现代教育创新》2013年第11期近几年来，全国各地的中考数学试题中出现了一类新题型——猜想探索规律型问题，这类试题的特点是给出几个具体的特殊的数式或图形，要求寻求其中的变化规律，从而猜想出一般的结论，它的思路是从简单的局部的特殊的情况出发，经过提炼、归纳、猜想未知，寻找规律并做结论证明，这类试题更有利于开发智力，培养和提高想象力和创造力.笔者以2010年的中考题为例说明这类题的解法.一、探索一般数列规律例1：观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…….通过观察，用你所发现的规律确定32000的个位数字是（）A.3B.9C.7D.1析解：观察前4个数字的个位数字分别是3、9、7、1，第5、6、7、8个数的个位数又是3、9、7、1，依此类推每四个数重复前四个数的个位数字.2000÷4=500故32000的个位数字是1，因此选择D.例2：填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是A.38B.52C.66D.74析解：规律1：数m的位置除外，其它相应位置的数都是偶数，且后面的数比对应的前面的数大2，如0、2、4、6，其它位置上的数是4、6、8、10、；2、4、6、8.规律2：一条对角线位置的数字之和等于另一对角线位置的数字之积，如4+44=6×8，则6+m=8×10，m=74 故选D.二、探索算式的运算规律例3：如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2010次输出的结果为（）A.6B.3C.322006D.321003 +3×1003析解：由题设知，第三次输出的结果为6，第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为6，它的规律是从第三次开始按照6、3、6、3……呈现，因此第2010次输出的结果为3.故选B.三、直角坐标系中点的坐标变化规律例4：已知是正整数， P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）是反比例函数y=kx图象上的一列点，其中 x1=1，x2=2，……，xn=n，….记 A1=x1y2， A2=x2y3，…，An=xn yn+1，…若A1=a （ a是非零常数），则A1·A2·A3……An的值是（用含a和 n的代数式表示）.解：∵A1=x1y2=a ∴y2=a k=x2y2=2a，则yn+1= kxn+1 =2an+1x1y1= x2y2= x3y3=…xnyn=2a∴ A1·A2·A3……An= x1y2·x2y3·…··xn-1yn·xnyn+1=x1·（2a）n-1 yn+1= （2a）nn+1。

探索规律【新知讲解】1、规律是事物之间的内在的必然联系。

规律是客观存在的，人们可以在实践、生活中归纳、发现它。

2、 人们通常对简单或特殊情况观察、探索与分析，从中发现某种有规律的东西，再验证这种规律的合理性。

探索规律就是一种观察、归纳、猜想、验证的过程。

是一个创新意识的培养过程，体现了从特殊到一般的数学思想。

3、探索规律的一般方法： (1) 从具体的，实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律； (2) 由此及彼，合理联想； (3) 善于类比，从不同事物中发现其相似或相同点； (4) 总结规律，大胆猜想，作出结论，并验证结论正确与否； (5) 在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，收到事半功倍的效果。

【精典例题解析】例1. 餐桌的摆法：（填表）若按照上图的摆法摆放餐桌和椅子，完成下表：若按照上图的摆法摆放餐桌和椅子，完成下表：变式训练：n … 3 2 1 可坐人数 桌子张数n … 3 2 1 可坐人数桌子张数1、用火柴棒按下图的方式搭图形：(1)填写下表：三角形个数 1 2 3 4 5火柴棒根数（2）搭第13个图形需根火柴棒.（3）搭第n个这样的三角形需根火柴棒。

2、用火柴棒按下图的方式搭正方形，并填写表格.图形编号①②③④火柴棒根数按此规律，第n号图形需要根火柴棒？3、用●表示实心圆，○表示空心圆，向右若干个实心圆与空心圆按一定的规律排列如下:●○●●○●●●●○●●○●●●●○●●○●●●●○●●○●●●……问：前2012个圆中，有________个空心圆例2.观察下列有规律的数，并根据此规律写出第五个数,174,103,52,21＿，376（变式练习）观察下列各式：212212+=⨯ 323323+=⨯ 434434+=⨯……想一想，什么样的两数之积等于这两数的和？设n 表示正整数，用关于n 的等式表示这个规律：______× ________=_____+_________例3．观察下列等式： 2＝2＝1×2 2＋4＝6＝2×3 2＋4＋6＝12＝3×4 2＋4＋6＋8＝20＝4×5 ……（1） 可以猜想，从2开始到第n （n 为自然数）个连续偶数的和是__________； （2） 利用以上规律计算： 1. 2+4+6+………+2002.126+128+130+………+300(变式练习)：有数组（1,1,1），（2,4,8）（3,9,27），……则第百组的三个数之和是_______例4 观察：1×2×3×4+1=25 1115432=+⨯⨯⨯,21916543=+⨯⨯⨯ 1.写出一个普遍性的结论，并证明2.并计算2003200220012000⨯⨯⨯例5 (举一反三) (1)如果依次用321,,,a a a a 分别表示图（1）（2）（3）（4）中三角形的个数，那么====4321,15,8,3a a a a _______,如果按照上述规律继续画图，那么+=89a a _____(2)有一列数4321,,,a a a a ……n a ，其中456,346,236,1264321+⨯=+⨯==⨯=+⨯=a a a a ……则第九个数9a =_______,当2001=n a 时，n=_________例6．在一下两个数窜中，1,3,5,7，……1991,1993,1995,1997，1999和1,4.7,10，……1990,1993,1996,1999.同时出现在这两个数串中的数的个数共有_________个（变式练习）：观察下列的数， 5,9，13,17,21,25,29,33,……4,7,10,13,16,19,22,25,……则它们中间低15对相同的数是________ 例7．将正整数依以下规律排列：第一行 1第二行 2 3 4 第三行 5 6 7 8 9第四行10 11 12 13 14 15 16 …………若2006在第m 行，而且是在在该行从左向右数的第n 个数，则m+n=________ （变式练习）将正偶数按下表排列第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 2 4 6 8 第二行 16 14 12 10 …… 第三行 18 20 22 24 …… 28 26根据以上排列规律，则2000应在（ ）行（ ）列。

专题三规律探索与猜想专题命题规律纵观怀化7年中考，规律探索与猜想题型共考查了5次，以选择、填空形式出现，3分或4分，难度中等，考查类型有：1.数字规律；2.图形规律，常以图形变换中的规律探索为主．善于发现图形变换的过程中的特点，抓住其周期性是解决此类问题的关键．2022预测预计2022年怀化中考还会以类似方式和方法、难度来考查，故在学习中应突出训练、总结规律．,中考重难点突破)数字规律【经典导例】【例1】(2022中考预测)正整数按如图所示的规律排列，请写出第20行第21列的数字．【解析】首先应发现第1列中的数与所在行数的关系，再关注第n行的第1个数与第(n＋1)列的第1个数的关系，那么第n行第n＋1列这个数应该不难确定．【学生解答】【方法指导】1.对于数阵类的规律问题，题目中的数据与有序数对是对应的，设问方式有求有序数对数值和表示某个数值的有序数对．解题步骤为：(1)分析数阵中的数字排列方式，从以下方面寻找规律：①每行的个数，②每列的个数，③相邻数据的变化特点，并且观察是否某一行或者某一列的数具有某些特别的性质(如完全平方数、正整数)等；(2)找出该行或列上的数字与其所在的行数和列数的关系；(3)使用(1)中找出的具有特殊性质的数字根据(2)中的性质定位，求得答案．2．对于数字不循环变换类规律题，需要掌握如下方法：(1)当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正整数数列、奇数列、偶数列还是正整数数列经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一个符号，如果是交替出现的用(－1)n表示数字的符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果；(2)当数字规律题的数字是分数和整数结合的时候，把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的数字规律[其他方法同(1)]，从而得出分子和分母的规律，最后得到该组第n 项的规律．3．对于数字循环变换类规律题，求经过N 次变换后对应的数字的解题步骤为：(1)通过观察这组数字，得到该组数字经过一个循环变换需要的次数，记为n ；(2)用N 除以n ，当商b 余m(0≤m＜n)时，第N 次变换后对应的数字就是一个循环变换中第m 次变换后对应的数字；(3)根据题意，找出第m 次变换后对应的数字，推断出第N 次变换后对应的数字．4．对于数式的规律探究题，求第n 个等式(式子的结果)的解题步骤为：(1)先观察给出的等式式子(计算出给出式子的计算结果)；(2)分析对比所得的结果，从结果与序数或结果与所给数式中数字的构成个数两方面进行对比，寻找不变的量和变化的量之间的变化关系，从而得到结果与各自等式或式子之间满足的关系式，求第n 个数式直接套用关系式即可．1．(2022安徽中考)按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x 、y 、z 表示这列数中的连续三个数，猜测x 、y 、z 满足的关系式是________．2．(2022怀化二模)计算下列各式的值：92＋19；992＋199；9992＋1999；99992＋19999.观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得99…922022个9＋199…92,2022个9) )＝________． 3．(2022东营中考)将自然数按以下规律排列：第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 1 4 5 16 17 …第二行 2 3 6 15 …第三行 9 8 7 14 …第四行 10 11 12 13 …第五行 ……表中数2在第二行，第一列，与有序数对(2，1)对应；数5与(1，3)对应；数14与(3，4)对应；根据这一规律，数2022对应的有序数对为________．4．(2022常德中考)已知：2－122－12＝13；4－3＋2－142－32＋22－12＝15；计算：6－5＋4－3＋2－162－52＋42－32＋22－12＝________；猜想：[（2n ＋2）－（2n ＋1）]＋…＋（6－5）＋（4－3）＋（2－1）[（2n ＋2）2－（2n ＋1）2]＋…＋（62－52）＋（42－32）＋（22－12）＝________． 5．(2022广东中考)观察下列一组数：13，25，37，49，511，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是________． 6．(2022乌鲁木齐中考)如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数均为1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数(从左往右数)为( ) 1112 121 316131 411211214A.160B.1168C.1252D.12807．(2022武威中考)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是________，2022是第________个三角形数．8．(2022临沂中考)观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，….按照上述规律，第2022个单项式是( )A．2022x2022B．4029x2022C．4029x2022D．4031x2022图形规律【经典导例】【例2】(2022娄底中考)如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n(n为正整数)个图案由________个▲组成．【解析】观察发现：第1个图案有3×2－3＋1＝4个三角形；第2个图案有3×3－3＋1＝7个三角形；第3个图案有3×4－3＋1＝10个三角形；…第n个图案有3(n＋1)－3＋1＝(3n＋1)个三角形．【学生解答】【方法指导】图形规律探索有以下几种类型：1．求个数，方法为：(1)标序数：按图号标序；(2)找关系：找后一个图与前一个图中所求量之间的关系(一般是通过作差或作商的形式观察是否含有定量)或找出图中的所求量与序数之间的关系；(3)算结果：计算每个给出图中所求量的个数；(4)找规律：对求出的结果进行一定的变形，使其呈现一定的规律；(5)归纳：归纳结果与序数之间的关系，即可得到第n个图中所求量的个数；(6)验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．2．求面积，方法为：(1)根据题意可得出第一次变换前图形的面积为S；(2)通过计算得到第一次变换后图形的面积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，第四次变换后图形的面积，……，归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍数关系n；(3)第M次变换后，求得图形的面积为n M S.1．(2022山西中考)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第(1)个图案有4个三角形，第(2)个图案有7个三角形，第(3)个图案有10个三角形，……依此规律，第n 个图案有________个三角形(用含n 的代数式表示)．2．(2022武汉中考)观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第5个图中共有点的个数是( )A ．31B ．46C ．51D ．663.(2022沧州模拟)如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，则第n 个三角形中以A n 为顶点的内角度数是( )A ．(12)n ·75°B ．(12)n －1·65°C ．(12)n －1·75°D ．(12)n ·85°4．(2022内江中考)如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2022个图形是________．5．(2022衡阳中考)如图，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…，△A n B n A n ＋1都是等腰直角三角形，其中点A 1，A 2，…，A n 在x 轴上，点B 1，B 2，…，B n 在直线y ＝x 上，已知OA 1＝1，则OA 2022的长为________． (第5题图)(第7题图)6．(2022深圳中考)如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有________．7．(2022珠海中考)如图，在等腰Rt △OAA 1中，∠OAA 1＝90°，OA ＝1，以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2，以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3，…，则OA 6的长度为________．点的坐标规律【经典导例】【例3】(2022威海中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OA 1C 1，Rt △OA 2C 2，Rt △OA 3C 3，Rt △OA 4C 4…的斜边都在坐标轴上，∠A 1OC 1＝∠A 2OC 2＝∠A 3OC 3＝∠A 4OC 4＝…30°，若点A 1的坐标为(3，0)，OA 1＝OC 2，OA 2＝OC 3，OA 3＝OC 4…，则依此规律，点A 2022的横坐标为( )A ．0B ．－3×(233)2022C ．(23)2022D ．3×(233)2022 【解析】∵∠A 2OC 2＝30°，OA 1＝OC 2＝3，∴OA 2＝23OC 2＝3×233；∵OA 2＝OC 3＝3×233，∴OA 3＝23OC 3＝3×(233)2；∵OA 3＝OC 4＝3×(233)2，∴OA 4＝23OC 4＝3×(233)3，∴OA 2022＝3×(233)2022，而2022＝4×503＋3.∴点A 2022在x 轴的负半轴上，∴点A 2022的横坐标为－3×(233)2022. 【学生解答】【方法指导】求点坐标，根据图形点坐标的变换特点可知这类题有两种考查形式：一类是点坐标变换是在同一象限递推变化；另一类是点坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化；解决这类题的方法如下：(1)若第一个点的坐标未给出，可先由所给信息求出坐标(a ，b)；(2)根据题目中给出的线段的数量关系及角度，通过勾股定理或直角三角形的边角关系得到第二个，第三个，第四个…的坐标，观察它们之间存在的比例关系，比值记为n ；(3)当点坐标在同一象限变换时，通过第M 次变换后，图形的点坐标为(n M a ，n M b)；(4)当点坐标在整个平面直角坐标系里变换，先观察点的变换规律为顺时针循环还是逆时针循环，通过第M 次变换后，用M÷4＝w ＋q(0≤q＜4)，当q ＝0时，点坐标所在象限与起点相同，依此类推，当确定出点坐标落在x 轴正半轴时，点坐标为(n M c ，0)，点坐标落在y 轴正半轴时，点坐标为(0，n M c)，点坐标落在x 轴负半轴时，点坐标为(－n M c ，0)，点坐标落在y 轴负半轴时，点坐标为(0，－n M c)．1.(2022靖州模拟)如图，以O(0，0)、A(2，0)为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作正△P2CP3，…，如此继续下去．则第六个正三角形中，不在第五个正三角形边上的顶点P6的坐标是________．2．(2022聊城中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，0)，…，那么点A4n＋1(n是自然数)的坐标为________．3.(2022齐齐哈尔中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x 轴上，且AO＝1.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O＝2A1O，…依此规律，得到等腰直角三角形△A2022OB2022，则点A2022的坐标为________．4．(2022河北中考)如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝________．。

小学数学教学中的猜想与验证数学猜想是依据已有的数学知识和数学知识，对未知的数学规律和结论进行推测的一种数学方法。

猜想是一种合情推理，它是科学发现的必经之路，也是学生学好数学的一种有效手段。

在小学数学教学中，教师应重视数学猜想的教学，使学生在数学猜想中体验数学发现的真实过程，培养学生主动探索、积极思考的良好品质，同时提高学生的猜想能力。

一、小学数学教学中猜想的重要性1.激发学生学习数学的兴趣在小学数学教学中，教师通过引导学生进行猜想，可以激发学生的学习兴趣，使学生积极主动地参与到数学学习中。

例如，在学习“圆的周长”这一节内容时，教师可以引导学生猜想圆的周长与直径之间的关系，并让学生通过实验进行验证。

学生在操作的过程中会发现圆的周长总是直径的三倍多一些，从而对圆的性质有一个深刻的认识。

这种教学方式可以激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效果。

2.培养学生的创新意识在小学数学教学中，教师通过引导学生进行猜想和验证，可以培养学生的创新意识。

学生在猜想和验证的过程中，需要开动脑筋，发挥自己的想象力，提出自己的观点和想法。

同时，学生还需要通过实验、观察、分析等方法来验证自己的猜想是否正确，这需要学生具备一定的观察能力和动手能力。

这种教学方式可以培养学生的创新意识和创新能力。

二、小学数学教学中猜想的策略1.创设情境，引导学生猜想在小学数学教学中，教师可以通过创设情境来引导学生进行猜想。

例如，在学习“分数的加减法”这一节内容时，教师可以让学生自己提出一些分数的加减法问题并进行猜想和验证。

通过这种方式，可以激发学生的学习兴趣和积极性，使学生积极主动地参与到数学学习中。

2.提出问题，鼓励学生猜想在小学数学教学中，教师可以提出问题来鼓励学生进行猜想。

例如，在学习“三角形的高”这一节内容时，教师可以让学生自己画出一些不同类型的三角形并标出其高，然后让学生根据自己画出的三角形进行猜想和验证。

通过这种方式，可以培养学生的观察能力和思维能力，使学生更好地掌握三角形的相关知识。