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探索与表达规律1．规律探索规律探索是数学中常见的类型之一，是指从已知的几个数据或几个图形中发现其中的数据变化情况，并用代数式表示出来．规律探索体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想．探索规律的一般方法是：(1)观察：从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；(2)猜想：由此及彼，合理联想，大胆猜想；(3)归纳：善于类比，从不同的事物中发现其相似或相同点；(4)验证：总结规律，作出结论，并取特殊值验证结论的正确性．探索规律问题，要从给出的几个有限的数据着手，认真观察其中的变化规律，尝试猜想、归纳其规律，并取特殊值代入验证．在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，这样可收到事半功倍的效果．【例1】观察下列数表：根据数表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为__________，第n 行(n为正整数)与第n列的交叉点上的数应为________．2．探索规律的常见类型及方法(1)数字规律和代数式规律常见的几种数字规律形式：①②(2)新运算的规律新运算是指用特定的符号表示与加、减、乘、除不相同的一种规定运算． 新运算的实质是有理数的几种混合运算，关键是观察出用到了哪些运算，要特别注意运算的顺序．(3)图形规律探索图形规律的实质是用字母表示数，即列代数式．要从不同的角度分析，可用去括号、合并同类项验证规律．【例2－1】 符号“§”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：(1)§(1)＝0，§(2)＝1，§(3)＝2，§(4)＝3，…(2)§⎝⎛⎭⎫12＝2，§⎝⎛⎭⎫13＝3，§⎝⎛⎭⎫14＝4，§⎝⎛⎭⎫15＝5，… 利用上面的规律计算：§⎝⎛⎭⎫12 013－§(2 012)．【例2－2】 观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1＋8＋16＋24＋…＋8n (n 是正整数)的结果为( )．A ．(2n ＋1)2B ．(2n －1)2C ．(n ＋2)2D ．n 23．探索规律的应用常见的探索规律的应用：探索日历中的规律和折叠中的规律． (1)探索日历中的规律在日历中一般我们可以从横行、竖列、斜列三个方向去寻找规律，当然也可以从其他角度去探索．①横行：相邻两数相差1.如左下图所示：②竖列：相邻两数相差7.如右上图所示．③斜列：从左上到右下的斜列相邻两数相差8；从右上到左下的斜列相邻两数相差6. ④日历中的3×3方框内的规律：在这9个方格中的数的和是中间方框中的数的9倍．若将中间数设为a，则其余8个数可按规律如上图所示，则这9个数的和即为(a－8)＋(a－7)＋(a－6)＋(a－1)＋a＋(a＋1)＋(a＋6)＋(a＋7)＋(a＋8)＝9a，正好是中间数a的9倍．(2)折叠中的规律将一张纸折叠，每折叠一次就会得到纸的层数、折痕数，将这些数记录下来，找出规律，就可预测当折叠n次后，相应的层数与折痕数．折叠次数：1,2,3,4,5，…，n.层数：2,4,8,16,32，…，2n.平行对折的折痕数：1,3,7,15,31，…，2n－1.【例3－1】2013年的元宵节是阳历2月24日，根据下面的日历，你知道春节和初夕分别是哪一天吗？请你填在下面的横线上：春节：2月__________日，除夕：2月__________日．【例3－2】将连续的偶数2,4,6,8，…排列成如右图所示的数表．(1)“十”字框内5个数的和，与框内中间的数18有什么关系？(2)若将“十”字框上、下、左、右平移，框住另外5个数，这5个数还有这样的规律吗？(3)设中间的数为a，用代数式表示“十”字框内5个数之和．【例3－3】如果将一张长方形的纸，平行对折7次，展开后，会有__________条平行折痕，折痕会把这张长方形的纸分成__________个小长方形．。
二年级下册数学优质课件探索规律一、教学内容本节课选自二年级下册数学教材第六章《探索规律》。
具体内容包括：认识规律，发现数字、图形和生活中的规律；学会用数学语言描述规律；能根据规律进行推理和解决问题。
二、教学目标1. 知识与技能：掌握寻找和描述规律的方法，能运用规律解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、实践、讨论等环节，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和团队协作能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和创新意识。
三、教学难点与重点教学难点：发现并描述规律，运用规律解决实际问题。
教学重点：认识规律，学会用数学语言描述规律。
四、教具与学具准备教具：PPT课件、磁性黑板、卡片、图章等。
学具：练习本、彩笔、剪刀、胶棒等。
五、教学过程1. 实践情景引入利用PPT展示一组图片（如：彩灯、花朵、楼梯等），引导学生观察并发现其中的规律。
2. 例题讲解（1）数字规律教师出示一组数字：2、4、6、8、__，引导学生找出规律并填写缺失的数字。
（2）图形规律出示一组图形（如：圆形、正方形、三角形、圆形、正方形、__），让学生找出规律并补充完整。
3. 随堂练习（1）学生自主完成练习册上关于数字规律的题目。
（2）两人一组，互相出题，寻找图形规律。
4. 小组讨论学生分组讨论生活中有哪些规律，如何用数学语言描述。
六、板书设计1. 数字规律：2、4、6、8、102. 图形规律：圆形、正方形、三角形、圆形、正方形、三角形3. 规律描述方法：重复、交替、递增等七、作业设计1. 作业题目：（1）找出下列数字中的规律，并填写缺失的数字：3、__、5、__、7、__。
（2）找出下列图形中的规律，并补充完整：正方形、三角形、圆形、正方形、三角形、__。
2. 答案：（1）4、6、8（2）圆形八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：鼓励学生课后寻找生活中的规律，与同学分享，提高观察能力和解决问题的能力。
重点和难点解析1. 教学内容的难点与重点2. 教学过程中的实践情景引入、例题讲解和随堂练习3. 板书设计4. 作业设计5. 课后反思及拓展延伸一、教学内容的难点与重点难点与重点的明确有助于教学过程中教师有针对性地进行教学。
第一节 探索规律【知识要点】探索规律就是一种观察、归纳、猜想、验证的过程.是一个创新意识的培养过程，体现了从特殊到一般的数学思想.观察是解决问题的先导,解题中的观察活动主要有以下途径: 1.数与式的特征观察. 2.几何图形的结构观察.3.由简单的、少量的特殊情况的观察,再推广到一般情况.【典型例题】例1. 瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出第七个数据是____________.例2. 观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项 之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（为正整数） 表示这个数列的第项，那么 ， .例3. 观察下列各式，，，……设n 为正整数，请用关于n 的等式表示这个规律为： + =例4．下面是用棋子摆成的“上”字：59121621253236n a n n 18a =n a =32343112==+43494122==+545165132==+656256142==+第1个“上”字第2个“上”字第3个“上”字如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：（1）第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子；（2）第n个“上”字需用枚棋子．例5．在五彩缤纷的图形世界里，其中有各种各样的立体图形，请你数一下图15-1中每个()V()E()F多面体具有的顶点数、棱数和面数，并把结果记入下表中，观察最后一栏的数，你能得到什么样的结论？图15-1例6．如图15-2，AB 是圆O 的直径，把AB 分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB=，那么圆O 的周长（1）把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长， （2）把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长=__________， （3）把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长=__________， （4）把AB 分成条相等的线段，每个小圆的周长=__________.结论：把大圆的直径分成条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆的周长是大圆周长的_____ ___.请你依照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系.例7.（2004年湖北省黄冈市中考题）在2004年6月的日历中(如图①)任意圈出一竖列上相邻的三个数,设中间的一个为,则用含的代数式表示这三个数(从小到大排列),分别是____________________.(2)现将连续自然数1至2004按图中的公式排成一个长方形阵列,用一个正方形框出其中16个数(如图②) 则图中框中的这16个数的和是___________.a .l a π=21122l a l π==3l 4l n n l n aa 图15-2例8．将正偶数按下表排成5列.A 、第125行第1列B 、第125行第2列C 、第250行第1列D 、第250行第2列例9.阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，经过研究， 这个问题的一般性结论是，其中是正整数，现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式： 将这三个等式的两边相加，可以得到. 读完这段材料，请你计算：（1）； （2）；*（3）.（2005年四川省内江市省中考题）?10321=++++ )1(21321+=+++n n n n ?)1(3221=+++⨯+⨯n n ()2103213121⨯⨯-⨯⨯=⨯()3214323132⨯⨯-⨯⨯=⨯()4325433143⨯⨯-⨯⨯=⨯2054331433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯1011003221⨯++⨯+⨯ )1(3221+++⨯+⨯n n )2)(1(432321++++⨯⨯+⨯⨯n n n【初试锋芒】1. 按规律填数．（1）2，4，8，14，22， （2）81，72，63，54， ，362. 观察下列有规律的一列数：1，2，4，7，11，16，……根据规律可知，这列数中第10个数是（ ）A 、37B 、46C 、56D 、573. 有一张纸的厚度为0.1㎜,若将它连续对折10次后它的厚度为（ ） A 、1㎜ B 、2㎜ C 、102.4㎜ D 、1024㎜4. 按下列规律排列的一列数对：（1，2），（4，5），（7，8），……第5个数对是 . 5．观察下列各式：…… 则（为自然数，且≥1）.6. 观察下列等式：=1－， ， ， ……请根据上面的规律计算：____________.11003,a =+⨯21013,a =+⨯31023,a =+⨯41033,a =+⨯____________.n a =n n 1212221111222+=-233111112222++=-231011112222+++⋅⋅⋅+=7.下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出（为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出展开式中所缺的系数。
二年级下册数学课件探索规律
教学内容方面，二年级下册数学课件探索规律，主要涉及第四单
元《有趣的图形》中的规律探索。
经过深度后期编辑和优化，内容包括：1. 图形的分类及特征；2. 图形的位置和方向的识别；3. 图形的
大小、形状和颜色的规律，这些内容上下文关联紧密，逻辑顺畅，避
免突兀或过于机械的过渡。
在教学目标上，我们不仅让学生通过观察、操作、比较，发现简
单的图形规律，培养学生的观察能力和思维能力，还培养学生运用数
学语言表达图形规律的能力，提高学生的数学表达能力，更培养学生
合作学习的精神，提高学生的团队协作能力。
难点与重点方面，我们重点让学生通过观察、操作、比较，发现
简单的图形规律，并难点培养学生运用数学语言表达图形规律的能力。
教具与学具方面，我们准备好了课件、黑板、粉笔等教具，以及
学生用书、练习本、彩笔等学具。
板书设计上，我们设计了包含图形的分类及特征、图形的位置和
方向、图形的大小、形状和颜色等关键信息的板书，有助于学生对图
形规律知识的整体把握。
作业设计上，我们设计了找出隐藏的图形和图形变色两个题目，
既能够让学生独立思考，又能够检验他们对于图形规律的理解和掌握
程度。
课后反思及拓展延伸上，我们通过反思本节课的教学效果，如实
践情景引入是否成功吸引了学生的兴趣，知识讲解是否清晰易懂，学
生的参与度如何等，并根据反思结果调整教学策略。
同时，我们让学生观察生活中的图形规律，培养他们的观察能力和思维能力。
总的来说，经过我们的努力，文本的质量得到了极大的提升，教学效果也得到了进一步的优化。
探索规律（讲义）
➢课前预习
1.观察一列有规律的数：4，9，16，25，…，则它的第n个数是____________．
思路分析
标序号，找结构：
①2
42
=；
②2
93
=；
③2
164
=；
猜想验证：④2525
=，成立；
…
然后找对应：①→2，②→3，③→4，…，n→______，所以第n个数为__________．
验证：当1
n=时，第一个数为__________
=，成立．
2.如图是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则
第n个图案中阴影小三角形的个数是______．
图1图2图3
…图4
小刚考虑把图的规律转为数的规律进行求解：
① 2 -2+4×1
② 6 -2+4×2
③10 -2+4×3
猜想验证：④-2+4×4=14，成立；
…
n_______ _________
验证：当1
n=时，第一个数为___________
=，成立．
➢知识点睛
1.图形规律：
①观察图形构成：__________________________________；
②转化：__________________________________________．
2.循环规律：
①________________________；②____________________．
➢精讲精练
1.按如图的方式摆放餐桌和椅子，则摆5张桌子可坐_______人，摆n张桌子
可坐_____________人．
…
图1 图2 图3
2.若用火柴棒按下图中的方式搭图形，则搭第n个图形需要______根火柴棒．
…
图1图2图
3
3.如图，下列用黑白两种正方形进行镶嵌的图案中，第n个图案中白色正方形
有________个．
…
第3个
第2个
第1个
4.如图，房间地面的图案是用大小相同
的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第
1
3
个正方形组成，第
2
7个正方形组成，…，
那么组成第6
（）
A．22个B．23个
C．24个D．25个
5.图1是一种瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，铺成2×2的近似正方形图2
时，其中完整的菱形共有5个；铺成3×3的近似正方形图3时，其中完整的菱形共有13个；铺成4×4的近似正方形图4时，其中完整的菱形共有25个；
如此下去，可铺成一个n×n的近似正方形图案．当得到共181个完整的菱形时，n的值为（）
A．8 B．9 C．10 D．11
6.如图，下列图形都是由面积为1
的正方形按一定的规律组成，其中，第1个图形中面积为1的正方形有2个，第2个图形中面积为1的正方形有5个，第3个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律，则第6个图形中面积为1的正方形有___________个．
图1图2图4
…
图3
…
第4个
第1个第2个第3个
7.将一张长方形纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，
对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到_____条折痕；如果对折n次，那么可以得到__________条折痕．
…
第一次对折第二次对折第三次对折
8.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白
色三角形有________个．
…
图1 图2 图3
9.若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角
形，然后去掉这一段，得到图2；再将图2中的每一段作类似变形，得到图3；按上述方法继续下去得到图4，则图4中的折线总长度为（）
A．2 B．16
27
C．
16
9
D．
64
27
图4
图2
图1
图3
10. 如图，圆圈中分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字．电子跳蚤每
跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在一只电子跳蚤从标有数字“2”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2 016次后，落在一个圆圈中，则该圆圈所标的数字是______．
1098
7
6
5
4
3
21
11
11. 如图，四个电子宠物排座位：一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1，
2，3，4号的座位上，以后它们不停地交换位置，第1次上下两排交换位置，第2次是在第1次交换位置后，再左右两列交换位置，第3次是在第2次交换位置后，再上下两排交换位置，第4次是在第3次交换位置后，再左右两列交换位置，…，这样一直交换位置，则第2 017次交换位置后，小鼠所在的座号是_____．
123
4
12. 如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D ．请你按图中箭头
所指方向（即A →B →C →D →C →B →A →B →
C →…的方向）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到14时，对应的字母是________；当字母C 第2 016次出现时，恰好数到的数是_________；当字母C 第2n +1次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是__________（用含n 的代数式表示）．
13. 如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，
OB ，OC ，
OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，
3，4，5，6，7，…．
（1）“17”在射线__________上；
（2）请写出任意三条射线上的数字排列规律； （3）“2 017”在哪条射线的第几个位置？
F
C
A
C D
B
【参考答案】
➢课前预习
1.(n+1)2，n+1，(n+1)2，22，4．
-+⋅，4-2 2．
2.4n-2，4n-2，24n
➢知识点睛
1.①分类，去重，补形
②转化为数的规律或其他图形的规律
2.①确定起始位置；②找循环节．
➢精讲精练
1.22，(4n+2)
2.(4n+1)
3.(3n+1)
4. B
5. C
6.27
7.15，(2n-1)
8.121
9. D
10.2
11.3
12.B，6 047，6n+3
13.（1）OE
（2）射线OA：6n-5；射线OB：6n-4；射线OC：6n-3；
射线OD：6n-2；射线OE：6n-1；射线OF：6n．
任选三个即可．
（3）在射线OA的第337个位置．
探索规律（随堂测试）
1.
律，则第n个图案中白色小正方形和黑色小正方形共有
…
图3
图2
图1
2.如图，将表示一个角形的纸对折，可以得到1
续对折六次后，可以得到__________条折痕．
…
第一次对折第二次对折第三次对折
3.将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线DA开始，按顺时针方向依
次在各射线上标记点1，2，3，…．
（1）写出射线AB上的数字排列规律_________________；
（2）点2 017在射线_____________上．
【参考答案】
1.(n2+4n)
2.63
3.（1）4n-2；（2）DA．。
