高中数学第2章函数概念与基本初等函数I2.6函数的奇偶性和周期性习题苏教版必修1

2。

1 函数的概念和图象2.1。

1 函数的概念名师导航知识梳理1.函数的概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有__________的数f （x)和它对应,那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的函数，记作y=f （x)，x ∈A.其中x 叫__________，x 的取值范围A 叫做函数y=f （x ）的__________;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{f(x ）|x ∈A ｝(⊆B ）叫做函数y=f(x ）的__________。

函数符号y=f （x)表示“y 是x 的函数"，有时简记作函数__________。

（1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f:A →B ，这里A ，B 为__________的数集.（2)A:定义域；{f(x ）|x ∈A}：值域,其中｛f(x ）｜x ∈A}__________B ；f ：对应法则，x ∈A,y ∈B.(3）函数符号：y=f （x ）↔y 是x 的函数，简记f(x).2。

已学函数的定义域和值域(1)一次函数f （x ）=ax+b(a ≠0):定义域为__________，值域为__________;(2）反比例函数f(x ）=xk （k ≠0）：定义域为__________，值域为__________； （3）二次函数f （x)=ax 2+bx+c （a ≠0）:定义域为__________，值域:当a 〉0时,为__________；当a 〈0时，为__________。

3。

函数的值:关于函数值f(a ）例：f （x)=x 2+3x+1，则f(2)= __________.4。

函数的三要素：对应法则f 、定义域A 和值域{f(x ）|x ∈A}.只有当这三要素__________时,两个函数才能称为同一函数。

疑难突破有关函数概念的理解剖析:(1)如果一个函数需要几条限制时，那么定义域为各限制所得x 的范围的交集。

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函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性和周期性（一)一、考点突破1。

判断函数的奇偶性和周期性；2。

函数性质的综合应用。

二、重难点提示重点：结合函数图象理解函数的奇偶性、周期性；难点:函数性质的综合应用。

函数的奇偶性和周期性（二)一、考点突破1. 函数奇偶性、周期性的重要特征与性质；2。

函数性质的综合应用。

二、重难点提示重点：函数奇偶性、周期性的判断，及它们之间的关系；难点：利用数形结合思想解决函数的综合问题.函数的奇偶性和周期性（一）奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf-=-,那么函数f(x）就叫做奇函数。

都有)()(xfxf=-，那么函数f（x)就叫做偶函数.图象描述图象是关于原点对称的图象是关于y轴对称的注意1。

判断函数的奇偶性时，先判断函数的定义域；重要提示:函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.2. 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

思考:若函数)(x f 是奇函数，且在0=x 处有定义,则=)0(f ____,为什么？解析：∵0与0互为相反数,又∵函数)(x f 为奇函数,∴)0()0(f f -=，∴0)0(2=f ，∴0)0(=f 。

2。

3 映射的概念名师导航知识梳理1.映射的概念映射f:A→B的定义是：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的__________一个元素，在集合B中都有__________的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作__________。

2.象与原象在映射f:A→B中，如果a∈A，b∈B，且元素a和元素b对应，那么，元素b叫做元素a的__________，元素a叫做元素b的__________，记作__________.3.一一映射如果映射f:A→B再满足_________________，那么这个映射叫做A到B上的一一映射.4.用映射的概念定义函数，函数的定义域、值域如果A、B都是__________,那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)(x∈A，y∈B）.原象的集合A叫做函数y=f（x)的__________;象的集合C(C B）叫做函数y=f(x)的__________.__________、__________和__________,通常称为函数的三要素.疑难突破怎样理解映射概念？(1）映射是一种特殊的对应。

教科书上介绍了一些不同的对应，如一对多、一对一、多对一等，而且集合A、B中元素个数也注意了多样化，集合B中有的元素没有得到对应。

（2)映射定义中的两个集合A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射是不同的.(3）映射是由集合A、B以及从A到B的对应法则f所确定的.（4）在一个映射中，在对应法则f的作用下，集合A中的任何一个元素a对应着集合B中的元素b,b叫a(在f下）的象，并且a的象是唯一的，a叫做b的原象，b的原象不要求唯一。

B中的每一个元素不要求都有原象.(5）记号“f：A→B"表示集合A到集合B的映射,其中对应法则f的具体内容在教材中是用汉字叙述的，如“求正弦”“乘以2再加5”等.在专业教材中，一般用比较抽象的符号来表示。

第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1函数的概念和图象函数的概念和图象函数的表示方法函数的简单性质映射的概念2.2指数函数分数指数幂指数函数2.3对数函数对数对数函数2.4幂函数2.5函数与方程二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解2.6函数模型及其应用数学2第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.2.3直线与平面的位置关系1.2.4平面与平面的位置关系1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第4章平面解析几何初步4.1直线与方程直线的斜率直线的方程两条直线的平行与垂直两条直线的交点平面上两点间的距离点到直线的距离4.2圆与方程圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系4.3空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离数学3第5章算法初步5.1算法的意义5.2流程图5.3基本算法语句5.4算法案例第6章统计6.1抽样方法6.2总体分布的估计6.3总体特征数的估计6.4线性回归方程第7章概率7.1随机事件及其概率7.2古典概型7.3几何概型7.4互斥事件及其发生的概率数学4第8章三角函数8.1任意角、弧度8.2任意角的三角函数8.3三角函数的图象和性质第9章平面向量9.1向量的概念及表示9.2向量的线性运算9.3向量的坐标表示9.4向量的数量积9.5向量的应用第10章三角恒等变换10.1两角和与差的三角函数10.2二倍角的三角函数10.3几个三角恒等式数学5第11章解三角形11．1正弦定理11．2余弦定理11．3正弦定理、余弦定理的应用第12章数列12．1等差数列12．2等比数列12．3数列的进一步认识第13章不等式13．1不等关系13．2一元二次不等式13．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题13．4基本不等式选修系列11-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线与方程第3章导数及其应用3．1导数的概念3．2导数的运算3．3导数在研究函数中的应用3．4导数在实际生活中的应用1-2第1章统计案例1．1假设检验1．2独立性检验1．3线性回归分析1．4聚类分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义第4章框图4．1流程图5．2结构图选修系列22-1第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑连接词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3．2空间向量的应用2-2第1章导数及其应用1．1导数的概念1．2导数的运算1．3导数在研究函数中的应用1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3数学归纳法2．4公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入6．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义2-3第1章计数原理1．1两个基本原理1．2排列1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理第2章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2．4二项分布2．5离散型随机变量的均值与方差2．6正态分布第3章统计案例3．1假设检验3．2独立性检验3．3线性回归分析4．4聚类分析。

第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ单元测验（本卷满分160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．（2012•诸城市）已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是_________．2．（2008•浙江）已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=_________．3．已知图象变换：①关于y轴对称；②关于x轴对称；③右移1个单位；④左移一个单位；⑤右移个单位；⑥左移个单位；⑦横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；⑧横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变．由y=e x的图象经过上述某些变换可得y=e1﹣2x 的图象，这些变换可以依次是_________（请填上变换的序号）．4．（2010•天津）设函数f（x）=x﹣，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是_________．5．已知函数f（x）=x2，x∈[﹣1，2]，g（x）=ax+2，x∈[﹣1，2]，若对任意x1∈[﹣1，2]，总存在x2∈[﹣1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，则a的取值范围是_________．6．设定义域为R的函数f（x），若关于x的方程2f2（x）+2bf（x）+1=0有8个不同的实数根，则b的取值范围是_________．7．设函数f（x）=x3+x，若时，f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则m取值范围是_________．8．若不等式对于一切实数x∈（0，2）都成立，则实数λ的取值范围是_________．9．（2010•天津）设函数f（x）=x2﹣1，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是_________．10．已知函数，，设F （x ）=f （x+3）•g （x ﹣3），且函数F （x ）的零点均在区间[a ，b]（a ＜b ，a ，b ∈Z ）内，则b ﹣a 的最小值为 _________ ．11．不等式a ＞2x ﹣1对于x ∈[1，2恒成立，则实数的取值范围是 _________ ．12．若函数y=f （x ）存在反函数y=f ﹣1（x ），且函数y=2x ﹣f （x ）的图象过点（2，1），则函数y=f ﹣1（x ）﹣2x 的图象一定过点 _________ ．13．定义在R 上的函数满足f （0）=0，f （x ）+f （1﹣x ）=1，，且当0≤x 1＜x 2≤1时，f （x 1）≤f （x 2），则= _________ ．14．（2010•福建）已知定义域为（0，+∞）的函数f （x ）满足： （1）对任意x ∈（0，+∞），恒有f （2x ）=2f （x ）成立； （2）当x ∈（1，2]时f （x ）=2﹣x 给出结论如下：①任意m ∈Z ，有f （2m）=0； ②函数f （x ）的值域为[0，+∞）；③存在n ∈Z ，使得f （2n+1）=9；④“函数f （x ）在区间（a ，b ）上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得（a ，b ）⊆（2k，2k ﹣1）．其中所有正确结论的序号是 _________二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）（2012年高考（上海文理））已知函数)1lg()(+=x x f .(1)若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.16．（本小题满分14分）已知函数()21f x x =-，2,0()1,0x x g x x ⎧≥=⎨-<⎩，求[()]f g x 和[()]g f x 的解析式.17．（本小题满分14分）设函数.)2(,2)2(,2)(2⎩⎨⎧>≤+=x x x x x f（1）求)9(f 的值； （2）若8)(0=x f ，求.0x18. （本题满分16分）已知函数32)(2-+-=mx x x f 为)3,5(n +--上的偶函数， （1）求实数n m ,的值； （2）证明：)(x f 在]0,5(-上是单调增函数19. （本题满分16分）（2012年高考（江苏））如图,建立平面直角坐标系xoy ,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上,其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.20.（本小题满分16分）已知函数()log (1)log (3)a a f x x x =-++，其中01a <<，记函数)(x f 的定义域为D ． （1）求函数)(x f 的定义域D ；（2）若函数()f x 的最小值为4-，求a 的值；（3）若对于D 内的任意实数x ,不等式2222x mx m m -+-+＜1恒成立,求实数m 的取值范围．第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ单元测验参考答案与试题解析一、填空题（共14小题）（除非特别说明，请填准确值）1．（2012•诸城市）已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（13，49）．﹣1）的图象关于点（1，0）对称，）的图象关于点（0，0）对称，）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2）恒成立，y2，4）2＜4恒成立，，则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意d=表示区域内的点和原点的距离．，2．（2008•浙江）已知t为常数，函数y=|x2﹣2x﹣t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=1．3．已知图象变换：①关于y轴对称；②关于x轴对称；③右移1个单位；④左移一个单位；⑤右移个单位；⑥左移个单位；⑦横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；⑧横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变．由y=e x的图象经过上述某些变换可得y=e1﹣2x 的图象，这些变换可以依次是①⑧⑤或①③⑧或⑧①⑤或⑧⑥①或④⑧①或④①⑧（请填上变换的序号）．的图象与函数y=e的图象，均在x轴上方，关于x轴对称变换，但观察到两个解析式，底数相同，指数部分含x项符号相反，故一定要进行）若第一步进行对称变换，第二步进行伸缩变换，第三步进行平移变换，平移变换为：右移个单位，即①⑧⑤；）若第一步进行对称变换，第二步进行平移变换，第三步进行伸缩变换，1个单位，即①③⑧；）若第一步进行伸缩变换，第二步进行对称变换，第三步进行平移变换，则平移变换为：右移个单位，即⑧①⑤；则平移变换为：左移个单位，即4．（2010•天津）设函数f（x）=x﹣，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是m＜﹣1．时，有1+5．已知函数f（x）=x2，x∈[﹣1，2]，g（x）=ax+2，x∈[﹣1，2]，若对任意x1∈[﹣1，2]，总存在x2∈[﹣1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．，解得6．设定义域为R的函数f（x），若关于x的方程2f2（x）+2bf（x）+1=0有8个不同的实数根，则b的取值范围是﹣1.5＜b＜﹣．）∈（0，1）时，有四个不同的x与f（x）对应．再结合题中+1=0有8个不同实数解“，可以分解为形如关于有两个不同的实数根K1、K2，且K1和K2均为大于0且小于列式如下：，即＜﹣＜﹣7．设函数f（x）=x3+x，若时，f（mcosθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则m取值范围是（﹣∞，1）．时，，解得：8．若不等式对于一切实数x∈（0，2）都成立，则实数λ的取值范围是[4，+∞）．+8）（8﹣x），y1=f（x），y2=λ（x+1）．利用导数工具得出）单调增，原不等式对于一切实数x∈（0，2）都成立转化为：y1＜f（x）都成立，从而得出实数λ的取值范围．x2+8）（8﹣x），y1=f（x），y2=λ（x+1（x）=24x2﹣4x3+64﹣16x＞0．）时，f（x）单调增，=12 9．（2010•天津）设函数f（x）=x2﹣1，对任意，恒成立，则实数m的取值范围是．依据题意得上恒定成立，即在立，求出函数函数的最小值即可求出解：依据题意得在时，函数取得最小值，所以解得，﹣[，10．已知函数，，设F（x）=f（x+3）•g（x﹣3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为9．﹣﹣，=+…11．不等式a＞2x﹣1对于x∈[1，2恒成立，则实数的取值范围是a≥3．12．若函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=2x﹣f（x）的图象过点（2，1），则函数y=f﹣1（x）﹣2x的图象一定过点（3，﹣4）．13．定义在R上的函数满足f（0）=0，f（x）+f（1﹣x）=1，，且当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），则=．求出一些特值，），（，再利用条件将逐步转化到内，代入求解即可．）的图象关于中令），=可得因为所以所以故答案为：14．（2010•福建）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时f（x）=2﹣x给出结论如下：①任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k﹣1）．其中所有正确结论的序号是①②④，则）﹣（（，﹣17. 解：（1）因为29>，所以1892)9(=⨯=f（2） ⅰ）若8220=+x ，则620=x ，即660-=或x ，而20≤x ，所以0x 的值不存在；ⅱ）若2,24,82000=>==x x x 所以则 综上得20=x 18. 解：（1）8,0==n m（2）由（1）知，32)(2--=x x f设215x x <<-，22212122)()(x x x f x f +-=- =))((22112x x x x +- 因为215x x <<-，所以0,02112<+>-x x x x所以0)()(21<-x f x f ，即)(x f 在]0,5(-上是单调增函数. 19. 解:(1)在221(1)(0)20y kx k x k =-+>中,令0y =,得221(1)=020kx k x -+.由实际意义和题设条件知00x>k >，. ∴2202020===10112k x k k k≤++,当且仅当=1k 时取等号. ∴炮的最大射程是10千米.(2)∵0a >,∴炮弹可以击中目标等价于存在0k >,使221(1)=3.220ka k a -+成立, 即关于k 的方程2222064=0a k ak a -++有正根. 由()()222=204640a a a ∆--+≥得6a ≤.此时,0k (不考虑另一根).∴当a 不超过6千米时,炮弹可以击中目标.20. 解：（1）要使函数有意义：则有1030x x ->⎧⎨+>⎩，解得13<<-x∴ 函数的定义域D 为)1,3(- ………………………………………2分（2）22()log (1)(3)log (23)log (1)4a a a f x x x x x x ⎡⎤=-+=--+=-++⎣⎦13<<-x 201)44x ++≤∴<-(10<<a ，2log (1)4log 4a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦∴，即min ()log 4a f x =， ……5分由log 44a =-，得44a-=，1424a -==∴． ………………………7分 （注：14242a -==∴不化简为14242a -==∴扣1分）（3）由题知－x 2+2mx －m 2+2m ＜1在x ∈)1,3(-上恒成立，2x ⇔－2mx +m 2－2m +1＞0在x ∈)1,3(-上恒成立， ……………………9分令g (x )=x 2－2mx+m 2－2m+1，x ∈)1,3(-，配方得g (x )=(x －m )2－2m +1，其对称轴为x =m ， ①当m ≤－3时， g (x )在)1,3(-为增函数，∴g (－3)= (－3－m )2－2m +1= m 2+4m +10≥0， 而m 2+4m +10≥0对任意实数m 恒成立，∴m ≤－3． ………………11分 ②当－3＜m ＜1时，函数g (x )在（－3,－1）为减函数，在（－1, 1）为增函数， ∴g (m )=－2m +1＞0，解得m ＜.21 ∴－3＜m ＜21…………13分 ③当m ≥1时，函数g (x )在)1,3(-为减函数，∴g (1)= (1－m )2－2m +1= m 2－4m+2≥0， 解得m ≥2m ≤2 ∴－3＜m ＜21………………15分 综上可得，实数m 的取值范围是 (－∞，21)∪[2+∞) ……………16分。

（江苏专版）2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时跟踪检测（六）函数的奇偶性及周期性文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专版）2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时跟踪检测（六）函数的奇偶性及周期性文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时跟踪检测(六）函数的奇偶性及周期性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2）＝________。

解析：因为f（x）为R上的奇函数,所以f(0）＝0，即f（0）＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f（－2)＝－f(2）＝－（22－1)＝－3。

答案:－32．(2017·南京三模）已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时，f(x）＝2x－2，则不等式f(x－1)≤2的解集是________．解析:偶函数f(x)在[0，＋∞）上单调递增，且f（2)＝2.所以f（x－1）≤2,即f（｜x－1｜)≤f(2），即|x－1｜≤2，所以－1≤x≤3。

答案：［－1,3]3．函数f（x）＝x＋错误!＋1，f(a)＝3，则f（－a）＝________。

解析:由题意得f（a)＋f(－a）＝a＋错误!＋1＋(－a）＋错误!＋1＝2。

所以f(－a)＝2－f（a）＝－1.答案：－14．函数f（x）在R上为奇函数，且x〉0时，f（x）＝x＋1，则当x<0时，f(x）＝________.解析:因为f（x）为奇函数，x>0时,f(x)＝错误!＋1，所以当x〈0时,－x〉0，f(x）＝－f(－x）＝－（错误!＋1)，即x<0时，f(x）＝－（错误!＋1)＝－错误!－1。

2．2．2 函数的奇偶性1．了解函数奇偶性的含义．2．会判断一些简单函数的奇偶性． 3．了解奇函数和偶函数图象的特点．1．奇函数和偶函数(1)一般地，设y ＝f (x )的定义域为A ，如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么称函数y ＝f (x )是偶函数．(2)如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么称函数y ＝f (x )是奇函数．【做一做1】有下列函数：①y ＝2x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝x 2；④y ＝x 3＋x ；⑤y ＝x 2－x ；⑥y ＝－3x；⑦y ＝2x 2－1；⑧y＝2|x |＋2．其中奇函数有__________，偶函数有__________． 答案：①④⑥ ③⑦⑧ 2．奇偶性(1)如果函数f (x )是奇函数或偶函数，就说函数f (x )具有奇偶性． (2)偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称．(1)在奇函数和偶函数的定义中，都要求x ∈A ，－x ∈A ，这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐标原点对称．(2)根据函数奇偶性的定义，函数可分为：①是奇函数但不是偶函数；②是偶函数但不是奇函数；③是奇函数又是偶函数；④既不是奇函数也不是偶函数．【做一做2－1】已知f (x )＝ax 3＋bx －3中，f (－2)＝3，则f (2)＝__________． 解析：因为f (－x )＋f (x )＝－6， 所以由f (－2)＝3，得f (2)＝－9． 答案：－9【做一做2－2】函数f (x )＝－x ＋1x的奇偶性是__________．答案：奇函数如何判断函数的奇偶性？剖析：(1)根据函数奇偶性定义判断，其基本步骤为：①先看定义域是否关于原点对称，若函数没有标明定义域，应先找到使函数有意义的x 的集合，因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数．如函数f (x )＝x 4＋1，x ∈［－1,2］．由于它的定义域不关于原点对称，当1＜x ≤2时，－x 不在函数的定义域中，所以它不符合奇、偶函数的定义，故f (x )＝x 4＋1，x ∈［－1,2］是非奇非偶函数．②再看f (－x )与f (x )的关系，这是因为定义域关于原点对称的函数也不一定是奇函数或偶函数．如f (x )＝x 2＋x ，g (x )＝x 3＋1，它们的定义域都是R ，因为f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ≠±f (x )，所以它是非奇非偶函数．同理可证g (x )＝x 3＋1也是非奇非偶函数．③然后得出结论．(2)定义域关于原点对称，满足f (－x )＝－f (x )＝f (x )的函数既是奇函数也是偶函数，如f (x )＝0(x ∈R )．应注意：既是奇函数又是偶函数的函数有无数个．(3)分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x 与－x 的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，而不能以其中一个区间来代替整个定义域．(4)判断函数的奇偶性有时可用定义的等价形式f (－x )±f (x )＝0或f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)来代替．(5)有时可以直接借助函数的图象与相关性质，如奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称等，从而直观地判断函数的奇偶性．题型一 判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(2)f (x )＝x 3－2x ； (3)f (x )＝a (x ∈R )；(4)f (x )＝⎩⎨⎧x (1－x )，x ≥0，x (1＋x )，x ＜0.分析：按奇函数或偶函数的定义或几何特征进行判断即可． 解：(1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，不关于原点对称， 所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)函数的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝2x －x 3＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)函数的定义域为R ，关于原点对称， 当a ＝0时，f (x )既是奇函数又是偶函数；当a ≠0时，f (－x )＝a ＝f (x )，即f (x )是偶函数． (4)函数的定义域为R ，关于原点对称，当x ＞0时，－x ＜0，此时f (－x )＝－x ［1＋(－x )］＝－x (1－x )＝－f (x )； 当x ＜0时，－x ＞0，此时f (－x )＝－x ［1－(－x )］＝－x (1＋x )＝－f (x )； 当x ＝0时，－x ＝0，此时f (－x )＝0，f (x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )．综上，f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． 反思：根据奇函数以及偶函数的定义，判断是不是有f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )，前者是偶函数，后者是奇函数；如果这两个都不成立，则是非奇非偶函数．说一个函数是非奇非偶函数，有时只要说明它的定义域不合要求即可，而不必套用作差法进行检验．有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一．题型二 求函数解析式【例2】设f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋1，求f (x )的解析式．解：当x ＜0时，则－x ＞0，所以f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋1＝x 2＋2x ＋1． 又f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝x 2＋2x ＋1．所以f (x )＝－x 2－2x －1．当x ＝0时，因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以一定有f (0)＝0．所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋1，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －1，x <0.反思：本题中x ∈R ，容易遗漏x ＝0的情况，对于定义在R 上的奇函数一定有f (0)＝0，这是一个重要的结论，要引起重视．【例3】已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )－g (x )＝x 2＋2x ＋3．求f (x )和g (x )的解析式．分析：充分利用奇、偶函数的性质，利用方程思想求其解析式．解：由条件得f (－x )－g (－x )＝(－x )2＋2(－x )＋3＝x 2－2x ＋3．又f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．∴－f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋3．∵f (x )－g (x )＝x 2＋2x ＋3， 两式相减得f (x )＝2x ，两式相加得g (x )＝－x 2－3．反思：对于基本初等函数，大致有三类：其一是奇函数，其二是偶函数，其三是非奇非偶函数，但此类函数均可表示为奇、偶函数的和或差．题型三 函数奇偶性的应用【例4】画出函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值． 分析：函数的图象关于y 轴对称，先画出y 轴右侧的图象，再对称到y 轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间．解：函数图象如图所示．由图象，得函数的图象在区间(－∞，－1］和［0,1］上是上升的，在［－1,0］和［1，＋∞)上是下降的，最高点是(±1,4)，故函数在(－∞，－1］，［0,1］上是增函数；函数在［－1,0］，［1，＋∞)上是减函数，最大值是4．反思：本题中，已知函数满足f (－x )＝f (x )，说明f (x )是偶函数，它的图象关于y 轴对称，由此可先作出函数在y 轴右侧的图象，再将其沿y 轴翻折即可．1函数f (x )＝x (x 2－1)的大致图象是__________．解析：因为f (－x )＝－x ［(－x )2－1］＝－f (x )， 所以原函数是奇函数．排除③④．又当x ＝12时，y ＝12×114⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－38＜0，说明点13,28⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．排除②．答案：①2函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 是奇函数，函数g (x )＝3x 2＋(c －2)x ＋5是偶函数，则b ＝____，c ＝____．解析：由条件得f (－x )＋f (x )＝2bx 2＝0，∴b ＝0． 由条件得g (－x )＝g (x )，且g (－x )＝3x 2－(c －2)x ＋5， g (x )＝3x 2＋(c －2)x ＋5，∴c ＝2． 答案：0 23判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2x 2－7；(2)f (x )＝2x 3＋5x ； (3)f (x )＝5x －3．解：(1)因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝2(－x )2－7＝2x 2－7＝f (x )，所以f (x )＝2x 2－7为偶函数；(2)因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝2(－x )3＋5(－x )＝－(2x 3＋5x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x 3＋5x 为奇函数； (3)f (x )的定义域是R ．因为f (－1)＝5×(－1)－3＝－8≠－2＝－f (1)， 故f (x )＝5x －3不是奇函数．又f (－1)＝5×(－1)－3＝－8≠2＝f (1)， 故f (x )＝5x －3不是偶函数．综上所得f (x )＝5x －3为非奇非偶函数．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－7xx 2＋x ＋1．求当x ＜0时，f (x )的解析式．解：令x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝－7×(－x )(－x )2＋(－x )＋1＝7xx 2－x ＋1． 又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )＝7xx 2－x ＋1(x ＜0)．5已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，在［2,6］上是减函数，试比较f (－5)与f (3)的大小．分析：利用单调性比较大小．解：∵函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－5)＝f (5)．又∵函数y ＝f (x )在［2,6］上是减函数，且5＞3， ∴f (5)＜f (3)．∴f (－5)＜f (3)．。

第三节函数的奇偶性及周期性．函数的奇偶性()周期函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有()对于函数(＋()＝)，那么就称函数()为周期函数，称为这个函数的周期．()最小正周期最小的正数的所有周期中存在一个()如果在周期函数最小正数的最()就叫做，那么这个小正周期．[小题体验]．已知函数()是定义在上的奇函数，且当＞时，()＝＋，则(－)＝.答案：－．若函数()是周期为的奇函数，且满足()＝，()＝，则()－()＝.答案：－．若函数()＝(－)＋(＋)＋－是奇函数，则实数的值是．解析：由于函数()的定义域为，又函数()是奇函数，故()＝，解得＝或＝－(舍去)，经检验＝时符合题意．答案：．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．．判断函数()的奇偶性时，必须对定义域内的每一个，均有(－)＝－()或(－)＝()，而不能说存在使(－)＝－()或(－)＝()．．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]．已知()＝＋是定义在[－]上的偶函数，那么＋＝.解析：因为()＝＋是定义在[－]上的偶函数，所以－＋＝，所以＝.又(－)＝()，所以＝，所以＋＝.答案：．函数()＝(\\(，＞，－，＜))的奇偶性为．解析：因为≠，故()的定义域关于原点对称．当＞时，－＜，所以(－)＝＝()．当＜时，－＞，所以(－)＝(－)＝()．故(－)＝()，所以()为偶函数．答案：偶函数函数奇偶性的判断)[题组练透]判断下列函数的奇偶性：()()＝＋；()()＝＋；()()＝－－；()()＝；()(易错题)()＝(\\(＋，＞，－，＜.))解：()因为由(\\(－≥，－≥，))得＝±，所以()的定义域为{－}．又()＋(－)＝，()－(－)＝，即()＝±(－)．所以()既是奇函数又是偶函数．()因为函数()＝＋的定义域为，不关于坐标原点对称，所以函数()既不是奇函数，也不是偶函数．()因为()的定义域为，所以(－)＝－－＝－(－－)＝－()，所以()为奇函数．()因为由(\\(－≥，＋－≠，))得－≤≤且≠.所以()的定义域为[－)∪(]，所以()＝＝＝，所以(－)＝－()，所以()是奇函数．()易知函数的定义域为(－∞，)∪(，＋∞)，关于原点对称，又当＞时，()＝＋，则当＜时，－＞，故(－)＝－＝()；当＜时，()＝－，则当＞时，－＜，故(－)＝＋＝()，故原函数是偶函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的种常用方法()定义法()图象法()性质法①设()，()的定义域分别是，，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒] ()“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．()判断分段函数的奇偶性应分段分别证明(－)与()的关系，只有对各段上的都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．函数的周期性)[典例引领]设()是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有(＋)＝－()，当∈[]时，()＝－.()求证：()是周期函数；()计算()＋()＋()＋…＋( )．解：()证明：因为(＋)＝－()，所以(＋)＝－(＋)＝()．所以()是周期为的周期函数．()因为()＝，()＝，()＝，()＝－()＝－.又()是周期为的周期函数，所以()＋()＋()＋()＝()＋()＋()＋()＝…＝( )＋( )＋( )＋( )＝.所以()＋()＋()＋…＋( )＝( )＋( )＋( )＝()＋()＋()＝.[由题悟法]．判断函数周期性的个方法()定义法．()图象法．．周期性个常用结论()若(＋)＝－()，则＝.()若(＋)＝，则＝.()若(＋)＝－，则＝(＞)．[即时应用]．(·镇江调研)已知()是定义在上周期为的函数，且(－)＋()＝，当＜＜时，()＝－，则(－)＋()＝.解析：由(－)＋()＝，知()是定义在上的奇函数，∴()＝.又(＋)＝()，且当＜＜时，()＝－，∴(－)＋()＝(－)＋()＝－()＝－(－)＝－.答案：－．已知()是上最小正周期为的周期函数，且当≤＜时，()＝－，则函数＝()的图象在区间[]上与轴的交点个数为．解析：因为当≤＜时，()＝－，又()是上最小正周期为的周期函数，且()＝，所以()＝()＝()＝()＝.又()＝，所以()＝()＝.故函数＝()的图象在区间[]上与轴的交点个数为.答案：函数性质的综合应用)[锁定考向]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以填空题形式出现．常见的命题角度有：()奇偶性的应用；()单调性与奇偶性结合；()周期性与奇偶性结合；()单调性、奇偶性与周期性结合．[题点全练]角度一：奇偶性的应用．(·连云港模拟)函数＝()是上的奇函数，当＜时，()＝，则当＞时，()＝.解析：＞时，－＜，因为＜时，()＝，所以当＞时，(－)＝－.因为()是上的奇函数，所以当＞时，()＝－(－)＝－－.答案：－－角度二：单调性与奇偶性结合．已知函数()＝(\\(－＋，＞，，＝，＋，＜))是奇函数，且函数()在区间[－，－]上单调递增，则实数的取值范围为．解析：当＜时，－＞，()＝－(－)＝－[－(－)＋×(－)]＝＋，＜，所以＝，所以()的单调递增区间为[－，]，因此[－，－]⊆[－]⇒－＜－≤⇒＜≤.答案：(]角度三：周期性与奇偶性结合．(·江阴期中)已知()是定义在上的偶函数，并满足(＋)＝－，当≤≤时()＝－，则()＝.解析：∵(＋)＝－，∴(＋)＝[(＋)＋]＝－＝()，即函数()的周期为.∵()是定义在上的偶函数，∴(－)＝()，∴()＝(－)＝()＝－.答案：－角度四：单调性、奇偶性与周期性结合．已知函数＝()是定义在上的奇函数，对任意∈，(－)＝(＋)成立，当∈()且≠时，有＜，给出下列命题：①()＝；②()在区间[－]上有个零点；③点( )是函数＝()图象的一个对称中心；④直线＝是函数＝()图象的一条对称轴．则正确命题的序号为．解析：在(－)＝(＋)中，令＝，得(－)＝()，又(－)＝－()，∴()＝，∴()＝，故①正确；由(－)＝(＋)，得()＝(＋)，∴()是周期为的周期函数，∴()＝()＝，又当∈()且≠时，有＜，∴函数()在区间()上单调递减，可作出函数()的大致图象如图所示．由图知②③正确，④不正确，故正确命题的序号为①②③.答案：①②③[通法在握]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略()函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．()周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．()周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．[演练冲关]．(·启东中学月考)已知函数()在定义域[－]上是偶函数，在[]上单调递减，且＞(－＋－)，则实数的取值范围是．解析：因为函数()在定义域[－]上是偶函数，所以－＋＝，所以＝，所以＞(－＋－)，即(－－)＞(－＋－)．由题意知偶函数()在[－]上单调递增，而－－＜，－＋－＝－(－)－＜，所以由(－－)＞(－＋－)，得(\\(－≤－－≤，,－≤－＋－≤，,－－＞－＋－，))解得－≤＜.答案：．设()是定义在上周期为的奇函数，若在区间[－)∪(]上，()＝(\\(＋，－≤＜，－，＜≤，))则( )＝.解析：设＜≤，则－≤－＜，(－)＝－＋()是定义在上周期为的奇函数，所以(－)＝－()＝－＋＝－＋，所以＝.而(－)＝(－＋)＝()，所以－＋＝－，解得＝，所以( )＝()＝×－＝.答案：一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·南通中学高三测试)已知函数()是定义域为的奇函数，且(－)＝，那么()＋()＝.解析：因为函数()是上的奇函数，所以(－)＝－()，()＝－(－)＝－，()＝，所以()＋()＝－.答案：－．(·南京三模)已知()是定义在上的偶函数，当≥时，()＝－，则不等式(－)≤的解集是．解析：偶函数()在[，＋∞)上单调递增，且()＝.所以(－)≤，即(－)≤()，即－≤，所以－≤≤.答案：[－]．函数()＝＋＋，()＝，则(－)＝.解析：由题意得()＋(－)＝＋＋＋(－)＋＋＝.所以(－)＝－()＝－.答案：－．函数()在上为奇函数，且＞时，()＝＋，则当＜时，()＝.解析：因为()为奇函数，＞时，()＝＋，所以当＜时，－＞，()＝－(－)＝－(＋)，即＜时，()＝－(＋)＝－－.答案：－－．(·连云港高三测试)已知函数()是定义在上的奇函数，且当＞时，()＝，则(－＋)＝.解析：由()是定义在上的奇函数，得(－＋)＝－(－)，由于当＞时，()＝，故(－＋)＝－＝－＝－.答案：－．(·南通一调)若函数()＝(\\(－，＋，＜))(，∈)为奇函数，则(＋)＝.解析：法一：因为函数()为奇函数，所以(\\(－＝－，－＝－，))即(\\(－＝－＋，－＝－＋，))解得(\\(＝－，＝，))经验证＝－，＝满足题设条件，所以(＋)＝()＝－.法二：因为函数()为奇函数，所以()的图象关于原点对称，由题意知，当≥，二次函数的图象顶点坐标为，当＜，二次函数的图象顶点坐标为(－，－)，所以(\\(－()＝－，,()＝－，))解得＝－，＝，经验证＝－，＝满足题设条件，所以(＋)＝()＝－.答案：－二保高考，全练题型做到高考达标．(·抚顺期末)设()是定义在[－＋]上的偶函数，且在[－]上为增函数，则(－)≥()的解集为．解析：∵()是定义在[－＋]上的偶函数，∴－＋＋＝，∴＝，∴()是定义在[－]上的偶函数，且在[－]上为增函数，∴()在[]上为减函数，∴由(－)≥()，得－≤，解得－≤≤，∴(－)≥()的解集为{－≤≤}．答案：{－≤≤}．(·常州一中模拟)设定义在上的偶函数()满足(＋)＋()＝，且当∈[]时，()＝－，则(－ )＝.解析：由(＋)＋()＝在上恒成立，得(－)＋()＝，两式相减得(＋)－(－)＝，即(＋)＝(－)恒成立，故函数()的周期是，∴(－ )＝(－)＝()，又当∈[]时，()＝－，∴(－ )＝()＝－＝.答案：．已知函数()是定义在[－]上的奇函数，且在区间[]上是单调减函数．若(＋)＋()＜，则的取值范围是．解析：∵函数()是定义在[－]上的奇函数，且在区间[]上是单调减函数，∴函数()在区间[－]上是单调减函数．∵(＋)＋()＜，即(＋)＜－()，∴(＋)＜(－)．则(\\(－≤＋≤，＋＞－，))解得－＜≤.∴的取值范围是.答案：．(·泰州期末)设()是上的奇函数，当＞时，()＝＋，记＝(－)，则数列{}的前项和为．解析：数列{}的前项和为(－)＋(－)＋…＋()＝(－)＋((－)＋())＋((－)＋())＋((－)＋())＋()＝(－)＝－()＝－＝－.答案：－．(·徐州期中)已知函数()＝－－＋(为自然对数的底数)，若(－)＋(－)＞，则实数的取值范围为．解析：令()＝()－＝－－，则()为奇函数，且在上单调递增．因为(－)＋(－)＞，所以(－)－＋(－)－＞，即(－)＋(－)＞，所以(－)＞(－)，即－＞－，解得∈(－)．答案：(－)．(·镇江中学测试)已知奇函数()在定义域上是单调减函数，若实数满足(－)＋(－)＞，则的取值范围是．解析：由(－)＋(－)＞，可得(－)＞－(－)．因为()为奇函数，所以(－)＞()．因为()在定义域上是单调减函数，所以－＜，即－＜，解得－＜＜.答案：．(·苏州调研)已知奇函数()在(－∞，)上单调递减，且()＝，则不等式＞的解集为．解析：由＞，可得(\\(＞，＞))或(\\(＜，＜.))因为奇函数()在(－∞，)上单调递减，所以()在(，＋∞)上单调递减，且()＝(－)＝，所以当＞时，()＞的解集为()；当＜时，()＜的解集为(－)．所以不等式＞的解集为(－)∪()．答案：(－)∪()．函数()在上满足(－)＝－()，当≥时，()＝－＋＋(π＋)，记＝－π(－π)，＝－·，＝()，则，，的大小关系为．解析：∵函数()为上的奇函数，且当≥时，()＝－＋＋(π＋)，∴()＝－＋－＝，即＝，∴()＝－＋(≥)．令()＝()，有(－)＝(－)(－)＝()＝()，∴函数()为偶函数，当≥时，()＝()＝(－)，′()＝()＋′()＝－(＋)＜，∴函数()在[，＋∞)上为减函数，∵＝－π(－π)＝(－π)＝(π)，＝－＝＝，＝()＝()，又＜π＜，∴＜＜.答案：＜＜．已知函数()＝(\\(－＋，＞，，＝，＋，＜))是奇函数．()求实数的值；()若函数()在区间[－，－]上单调递增，求实数的取值范围．解：()设＜，则－＞，所以(－)＝－(－)＋(－)＝－－.又()为奇函数，所以(－)＝－()，于是＜时，()＝＋＝＋，所以＝.()要使()在[－，－]上单调递增，结合()的图象(如图所示)知(\\(－＞－，－≤，))所以＜≤，故实数的取值范围是(]．．(·大同期末)已知函数()＝(＋)，()＝(－)，其中＞，≠.()求函数()＝()－()的定义域；()判断()＝()－()的奇偶性，并说明理由；()当＞时，求使()＞成立的的取值范围．解：()∵()＝()－()＝(＋)－(－)，∴(\\(＋＞，－＞，))解得－＜＜，∴函数()的定义域为(－)．()()为(－)上的奇函数．理由如下：由()知()的定义域为(－)，关于原点对称，(－)＝(－＋)－(＋)＝－[(＋)－(－)]＝－()，∴函数()为(－)上的奇函数．()根据题意，()＝(＋)－(－)，当＞时，由()＞，得(＋)＞(－)，即(\\(＋＞，－＞，＋＞－，))解得＜＜，故的取值范围为()．三上台阶，自主选做志在冲刺名校．(·南通模拟)已知定义在上的奇函数＝()满足(＋)＝(－)，当－≤＜时，()＝，若＝()(∈*)，则＝.解析：∵(＋)＝(－)，以＋代替上式中的，得(＋)＝(－)，又函数＝()是定义在上的奇函数，∴(－)＝－()，∴(＋)＝(－)＝－()，再以＋代替上式中的，得(＋)＝－(＋)＝()，∴函数()的周期为.∴＝( )＝(×＋)＝()，而()＝－(－)＝－，∴＝－.答案：－．设函数()是定义在上的奇函数，对任意实数有＝－成立．()证明＝()是周期函数，并指出其周期；()若()＝，求()＋()的值；()若()＝＋＋，且＝()·()是偶函数，求实数的值．解：()由＝－，且(－)＝－()，知(＋)＝＝－＝－(－)＝()，所以＝()是周期函数，且＝是其一个周期．()因为()为定义在上的奇函数，所以()＝，且(－)＝－()＝－，又＝是＝()的一个周期，所以()＋()＝(－)＋()＝－＋＝－.()因为＝()·()是偶函数，且(－)＝－()＝()，所以()为偶函数．故()＝＋＋为偶函数，即(－)＝()恒成立，于是(－)＋(－)＋＝＋＋恒成立．于是＝恒成立，所以＝.。

函数的奇偶性和周期性（答题时间：50分钟）函数的奇偶性和周期性（一）一、填空题1. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线21=x 对称，则=++++)5()4()3()2()1(f f f f f _______。

2. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足2)()(+-=+-x x a a x g x f （10≠>a a 且）.若a g =)2(，则=)2(f ______。

3. 已知定义在R 上的奇函数f （x ），满足f （x －4）＝－f （x ），且在区间[0，2]上是增函数，比较)80(),11(),25(f f f -的大小，用“＜”连接。

__________________________________。

4. 已知定义在R 上的奇函数f （x ），满足f （x －4）＝－f （x ），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f （x ）＝m （m >0）在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________。

5. 设奇函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，且0)1(=f ，则不等式0)()(<--xx f x f 的解集为_________。

6. 设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩则3()2f = 。

7. 设函数()f x 、()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数。

则下列结论中正确的是________。

①()f x ()g x 是偶函数； ②|()|()f x g x 是奇函数；③()|()|f x g x 是奇函数； ④|()()|f x g x 是奇函数。

二、解答题8. 函数21)(x b ax x f ++=是定义在)1,1(-内的奇函数，且52)21(=f 。

§2.3 函数的奇偶性与周期性1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数．(2)奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于 ，即“定义域关于 ”是“一个函数具有奇偶性”的 条件．4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数对于函数f (x )，如果存在一个 T ，使得当x 取定义域内 的值时，都有 ，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．5．函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f (x )为奇函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ；(2)若函数f (x )为偶函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ．6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ .7．函数的对称性如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a ＋x )＝f (b －x )，那么函数的图象有对称轴x ＝a ＋b 2；如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a －x )＝－f (b ＋x )，那么函数的图象有对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0.8．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a ，0)，B (b ，0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b ，0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |.自查自纠1．(1)f (－x )＝f (x ) (2)f (－x )＝－f (x ) 2．y 轴 原点3．原点对称 原点对称 必要不充分4．(1)非零常数 每一个 f (x ＋T )＝f (x ) (2)最小 5．(1)增(减)函数 (2)减(增)函数 6．奇 偶 偶 偶 奇(2015·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋e xB ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝1＋x 2解：令f (x )＝x ＋e x，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，有f (1)±f (－1)≠0，∴y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而选项B ，C ，D 中的函数依次是奇函数，偶函数，偶函数．故选A .(2014·福建)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ， x ≤0， 则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解：由f (x )的图象易判断f (x )不是偶函数，不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D .(2014·湖南)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解：用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1.故选C .(2014·四川)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.故填1. 若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则实数a ＝____________. 解：∵函数f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )， 即x ln(x ＋a ＋x 2)＝－x ln(－x ＋a ＋x 2)，∴x ＋a ＋x 2＝1－x ＋a ＋x 2，得a ＝1.故填1.类型一 函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x ；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ＞0，x 2＋2x －1，x ＜0；(3)f (x )＝4－x2x；(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(5)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a >0且a ≠1)．解：(1)定义域要求1－x1＋x ≥0，∴－1＜x ≤1，∴f (x )的定义域不关于原点对称， ∴f (x )不具有奇偶性．(2)解法一(定义法)：当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．解法二(图象法)：作出函数f (x )的图象，由图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，x ≠0， ∴－2≤x ≤2且x ≠0，∴定义域关于原点对称．又f (－x )＝4－（－x ）2－x ＝－4－x2x ，∴f (－x )＝－f (x )． 故函数f (x )为奇函数．(4)∵f (x )的定义域为{－1，1}，关于原点对称，又f (－1)＝f (1)＝0，即f (－1)＝f (1)，且f (－1)＝－f (1)，故f (x )既是奇函数，又是偶函数．(5)∵函数的定义域为R ， 又∵f (－x )＋f (x )＝log a [－x ＋（－x ）2＋1]＋log a (x ＋x 2＋1) ＝log a (x 2＋1－x )＋log a (x 2＋1＋x ) ＝log a [(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )] ＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0.即f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．【点拨】(1)判断函数奇偶性的步骤是：①求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；②验证f (－x )是否等于±f (x )，或验证其等价形式f (x )±f (－x )＝0或f （－x ）f （x ）＝±1(f (x )≠0)是否成立．(2)对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断．(3)对于含有x 的对数式或指数式的函数通常用“f (－x )±f (x )＝0”来判断．(1)(2015·安徽模拟)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.解：∵f (－x )＝k －2－x 1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x＋k， ∴f (－x )＋f (x ) ＝（k －2x ）（2x ＋k ）＋（k ·2x －1）（1＋k ·2x）（1＋k ·2x ）（2x＋k ）＝（k 2－1）（22x＋1）（1＋k ·2x ）（2x＋k ）. 由f (－x )＋f (x )＝0对定义域中的x 均成立可得k 2＝1，∴k ＝±1.故填±1.(2)已知函数f (x )＝ln 1－x1＋x.判断函数的奇偶性．解：由1－x 1＋x ＞0，得－1＜x ＜1，即f (x )＝ln 1－x 1＋x 的定义域为(－1，1)．又f (－x )＝ln1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1.判断函数的奇偶性． 解：令1＋9x 2－3x ＞0，得x ∈R ，故函数f (x )的定义域为R .f (x )＋f (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1＋ln(1＋9x 2＋3x )＋1＝2，故f (x )不是奇函数； f (x )－f (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1－ln(1＋9x 2＋3x )－1＝ln(1＋9x 2－3x )2，不恒为0，故f (x )不是偶函数．综上得f (x )不具有奇偶性．(4)已知函数f (x )＝lg （4－x 2）|x －2|＋|x ＋4|.判断函数的奇偶性．解：由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2＞0，|x －2|＋|x ＋4|≠0， 得－2＜x ＜2，即函数f (x )的定义域是{x |－2＜x ＜2}．又f (x )＝lg （4－x 2）|x －2|＋|x ＋4|＝lg （4－x 2）2－x ＋x ＋4＝16lg(4－x 2)，∴f (－x )＝16lg[4－(－x )2]＝16lg(4－x 2)＝f (x )，故函数f (x )是偶函数．(5)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0. 判断函数的奇偶性．解：当x ＜0时，f (x )＝x 2＋x ，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋x ，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．类型二 利用函数性质求解析式已知函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13. (1)求证：f (x )是周期函数； (2)若f (1)＝2，求f (99)的值；(3)若当x ∈[0，2]时，f (x )＝x ，试求x ∈[4，8]时函数f (x )的解析式．解：(1)证明：由题意知f (x )≠0，则f (x ＋2)＝13f （x ）.用x ＋2代替x 得f (x ＋4)＝13f （x ＋2）＝f (x )，故f (x )为周期函数，且4为f (x )的周期．(2)若f (1)＝2，则f (99)＝f (24×4＋3)＝f (3)＝13f （1）＝132.(3)当x ∈[4，6]时，x －4∈[0，2]，则f (x －4)＝x －4，又周期为4，所以f (x )＝f (x －4)＝x －4.当x ∈(6，8]时，x －6∈(0，2]，则f (x －6)＝x －6，根据周期为4，则f (x ＋2)＝f (x －6)＝x －6.又f (x )·f (x ＋2)＝13，所以f (x )＝13f （x ＋2）＝13x －6.所以解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，4≤x ≤6，13x －6，6＜x ≤8.【点拨】本题存在规律性：若f (x ＋a )·f (x )＝b (常数)，则2a 为f (x )的周期(a ＞0)；同理，f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f （x ）或f (x ＋a )＝－1f （x ），均可推得2a 为f (x )的周期(a ＞0)．(2015·山东模拟)设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )．当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式． 解：(1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x )． 又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0，1]时，－x ∈[－1，0]， 则f (x )＝f (－x )＝x ；进而当x ∈[1，2]时，x －2∈[－1，0]，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故所求为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ， x ∈[－1，0），x ， x ∈[0，1），－x ＋2，x ∈[1，2].类型三 奇偶性与单调性的综合设定义在[－2，2]上的偶函数f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________________．解：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． ∴f (1－m )＜f (m )⇔f (|1－m |)＜f (|m |)． 又当x ∈[0，2]时，f (x )是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |＞|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2.解得－1≤m ＜12.故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 【点拨】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1－m ，m 转化到同一单调区间上，避免了由于单调性不同导致1－m 与m 大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化．另外，不要忘记定义域．设函数f (x )＝x 3＋x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，求实数m 的取值范围．解：f (x )＝x 3＋x 是R 上的奇函数与增函数，故由f (m cos θ)＋f (1－m )>0得f (m cos θ)>－f (1－m )＝f (m －1)，m cos θ>m －1，即m (1－cos θ)<1对任意θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2成立．当θ＝0时，不等式m (1－cos θ)<1成立；当θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2时，cos θ∈[0，1)，1－cos θ∈(0，1]，11－cos θ∈[1，＋∞)．由m (1－cos θ)<1，得m <11－cos θ，即m <1.因此，m 的取值范围是(－∞，1)．类型四 函数周期性和奇偶性的应用(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，s inπx ， 1＜x ≤2， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.解：由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2×4－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋12＝516.故填516. 【点拨】借助函数周期性解决求函数值或求函数零点个数等问题是常考问题，在周期未明确指出的情况下，注意运用对称性与周期性的关系等先确定周期．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)解：f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，∴T ＝8，又f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0. ∵f (x )在[0，2]上是增函数，且f (x )≥0， ∴f (x )在[－2，0]上也是增函数，且f (x )≤0，又x ∈[2，4]时，f (x )＝－f (x －4)≥0，且f (x )为减函数． 同理f (x )在[4，6]上为减函数且f (x )≤0， 从而可得y ＝f (x )的大致图象如图所示．∵f (－25)＝f (－1)＜0，f (11)＝f (3)＞0，f (80)＝f (0)＝0. ∴f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D .1．判断函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，如果函数定义域不关于原点对称，那么它不具有奇偶性)，若定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，从而确定函数的奇偶性．2．奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了方便判断函数的奇偶性，有时需要将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔f（－x）f（x）＝±1(f(x)≠0)进行判断．3．判断函数奇偶性的方法通常有(1)定义法：根据定义判断．(2)图象法：函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性，f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图象关于y轴对称．(3)运用奇、偶函数的运算结论．要注意定义域应为两个函数定义域的交集．4．判断周期函数的一般方法(1)定义法：应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化．运用“考点梳理”栏目中有关周期的结论可简化运算．(2)公式法：若函数f(x)是周期函数，且周期为T，则函数f(ax＋b)(a≠0)也为周期函数，且周期T′＝T|a|.5．函数奇偶性和周期性的应用已知奇(偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，一定要注意区间的转换．如：若x＞0，则－x＜0；若1＜x＜2，则3＜x＋2＜4等．如果要研究其值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上．6．解题中要注意以下性质的灵活运用(1)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)；(2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；(3)若f(x)既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在x轴上．1．(2015·福建)下列函数为奇函数的是( )A．y＝x B．y＝e xC．y＝cos x D．y＝e x－e－x解：显然A，B，C中的函数均不是奇函数，令f(x)＝e x－e－x，则f(－x)＝e－x－e x＝－f(x)，是奇函数．故选D.2．(2014·课标Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解：f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )g (x )|为偶函数．故选C .3．(2013·沈阳一模)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足不等式f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立的x 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，43 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，43 解：因为偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在区间(－∞，0]上单调递增，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，则－53<2x －1<53，解得－13<x <43.故选B . 4．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，对任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (4)成立，则f (2016)的值为( )A ．4024B ．2016C ．2012D ．0解：函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，则f (－2)＝0. ∵f (x ＋4)＝f (x )＋f (4)，∴令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (4)，∴f (4)＝0. ∴f (x ＋4)＝f (x )，即4为f (x )的周期．∴f (2016)＝f (504×4＋0)＝f (0)，因为y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0，故f (2016)＝0.故选D .5．(2015·湖北省襄阳市高三第一次调研)设f (x )为奇函数且在(－∞，0)内是增函数，f (－2)＝0，则xf (x )>0的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－2，0)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)解法一：由题意得f (x )在(0，＋∞)内是增函数，且f (2)＝－f (－2)＝0.作出符合条件的f (x )的大致图象如图所示，易得xf (x )＞0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．解法二：由已知得x ＜－2时，f (x )<0，故xf (x )>0；当－2≤x ＜0时，f (x )≥0，xf (x )≤0.又f (x )为奇函数，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝0.故0＜x ≤2时，xf (x )≤0；当x ＞2时，xf (x )>0.因此，xf (x )＞0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选A .6．(2015·衡水模拟)函数f (x )在定义域R 上的导函数是f ′(x )，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (2)，c ＝f (log 28)，则( )A ．a <b <cB ．a >b >cC ．c <a <bD ．a <c <b解：当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，得f ′(x )>0，所以函数在(－∞，1)上单调递增，又f (x )＝f (2－x )，得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以函数f (x )图象上的点距离x ＝1越近函数值越大．又log 28＝3，所以log 28－1>1－0>2－1，得f (2)>f (0)>f (log 28)．故选C .7．已知奇函数f (x )与偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2，且g (b )＝a ，则f (2)的值为．解：∵f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，f (－x )＋g (－x )＝a －x －a x＋2，又f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴f (x )－g (x )＝a x－a －x－2.∴f (x )＝a x －a －x ，g (x )＝2，∴a ＝2，f (2)＝22－2－2＝154.故填154. 8．(2014·课标Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是_________．解：∵f (x )是偶函数，∴f (x －1)>0⇔f (|x －1|)>0＝f (2)，又∵f (x )在[0，＋∞)单调递减，∴|x －1|<2，解之得－1<x <3.故填(－1，3)．9．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足： ①f (x )＝f (2－x )；②当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2. (1)判断函数f (x )是否为周期函数；(2)求f (5.5)的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝f （2－x ），f （x ）＝f （－x ） ⇒f (－x )＝f (2－x )⇒f (x )＝f (x ＋2)⇒f (x )是周期为2的周期函数．(2)f (5.5)＝f (4＋1.5)＝f (1.5)＝f (2－1.5) ＝f (0.5)＝0.25.10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋…＋f (2016)的值． 解：(1)证明：因为f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 因此，f (x )是以4为周期的函数． (2)x ∈[－2，0]时，－x ∈[0，2]，f (－x )＝－2x －x 2，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(－2x －x 2)＝2x ＋x 2， 当x ∈[2，4]时，x －4∈[－2，0]，所以f (x －4)＝2(x －4)＋(x －4)2，因为f (x )以4为周期， 所以f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8.高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数（Ⅰ）及函数的应用2.3函数的奇偶性与周期性习题理11 / 11 (3)由(1)、(2)可知f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2016)＝504×[f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)]＋f (2016)＝0.11．(2014·上海)设常数a ≥0，函数f (x )＝2x ＋a 2x －a.根据a 的不同取值，讨论函数y ＝f (x )的奇偶性，并说明理由．解：∵f (x )＝2x ＋a 2x －a且a ≥0， ∴①当a ＝0时，f (x )＝1，x ∈R ，∴对任意的x ∈R 都有f (x )＝f (－x )，∴y ＝f (x )为偶函数；②当a ＝1时，f (x )＝2x ＋12x －1，x ≠0， f (－x )＝2－x ＋12－x －1＝1＋2x 1－2x ， ∴对任意的x ≠0且x ∈R 都有f (x )＝－f (－x )，∴y ＝f (x )为奇函数；③当a ≠0且a ≠1时，定义域为{x |x ≠log 2a ，x ∈R }，∴定义域不关于原点对称，∴y ＝f (x )为非奇非偶函数．(2014·全国大纲)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解：由f (x ＋2)为偶函数可得f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，由于函数f (x )是奇函数，故f (－x ＋2)＝－f (x －2)，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)，以x ＋2代x 得f (x ＋4)＝－f (x )，故f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，所以8是函数f (x )的一个周期，所以f (9)＝f (1)＝1，又f (8)＝f (0)＝0，所以f (8)＋f (9)＝1.故选D .。

2.3 函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【知识拓展】1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a>0).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.( ×)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.( √)(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.( √)(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( √)(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.( √)1.(教材改编)对于定义域是R的任意奇函数f(x)，下列结论正确的有________.(填序号)①f(x)－f(－x)＞0；②f(x)－f(－x)≤0；③f(x)·f(－x)≤0; ④f(x)·f(－x)＞0.答案③解析①②显然不正确.对任意奇函数f(x)，有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故③正确，④不正确.2.(教材改编)函数y＝f(x)为(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(|a|)＝3，则f(－a)＝________. 答案 3解析若a≥0，则f(－a)＝f(a)＝f(|a|)＝3；若a<0，则f(－a)＝f(|a|)＝3.故对a∈R，总有f(－a)＝3.3.(教材改编)若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________.答案 1解析∵f(x)＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，∴f(－x)＝f(x)对任意x∈R恒成立，∴(1－a)x＝(a－1)x恒成立，∴1－a＝0，∴a＝1.4.(教材改编)设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0,1]上的图象如图所示，则它在[－1,0]上的解析式为________.答案f(x)＝x＋2解析由题意知f(x)在[－1,0]上为一条线段，且过(－1,1)、(0,2)，设f(x)＝kx＋b，代入解得k＝1，b＝2.所以f(x)＝x＋2.5.(2016·四川)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.答案 －2解析 ∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又0<x <1时，f (x )＝4x，∴f (12)＝124＝2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2) ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋f (2) ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0) ＝－2＋0＝－2.题型一 判断函数的奇偶性例1 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是________. ①y ＝1＋x 2； ②y ＝x ＋1x；③y ＝2x＋12x ；④y ＝x ＋e x.答案 ④解析 ①中的函数是偶函数；②中的函数是奇函数；③中的函数是偶函数；只有④中的函数既不是奇函数也不是偶函数.(2)判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0的奇偶性.解 当x >0时，－x <0，f (x )＝－x 2＋x ， ∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (x )＝x 2＋x ， ∴f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x ).∴对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f (－x )＝－f (x ). ∴函数f (x )为奇函数.思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断.(1)(2016·北京海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是________.①y ＝1x；②y ＝lg|x |；③y ＝(x －1)2； ④y ＝2x.(2)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)＝________. 答案 (1)② (2)3解析 (1)②中，函数y ＝lg|x |的定义域为{x |x ≠0}且lg|－x |＝lg|x |， ∴函数y ＝lg|x |是偶函数.(2)∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，∴－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，得g (1)＝3. 题型二 函数的周期性例2 (1)(2016·淮安模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)＝________. (2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f x，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______. 答案 (1)0 (2)2.5解析 (1)由题意，得g (－x )＝f (－x －1)，又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )， ∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)， ∴f (x )的周期为4，∴f (2 017)＝f (1)，f (2 019)＝f (3)＝f (－1)， 又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0， ∴f (2 017)＋f (2 019)＝0.(2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1fx ＋＝－1－1f x＝f (x ).故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5). ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5.∴f (105.5)＝2.5. 引申探究例2(2)中，若将f (x ＋2)＝－1f x改为f (x ＋2)＝－f (x )，其他条件不变，则f (105.5)的值为________. 答案 2.5解析 f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数的周期为4(下同例题).思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝________. 答案 339解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1， f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＋f (2 016) ＝1×2 0166＝336.又f (2 017)＝f (1)＝1，f (2 018)＝f (2)＝2， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝339. 题型三 函数性质的综合应用 命题点1 解不等式问题例3 (1)(2016·南通模拟)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是____________.(2)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为______.答案 (1)(13，23) (2)(－1,4)解析 (1)因为f (x )是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f (2x －1)<f (13)，所以|2x －1|<13，所以13<x <23.(2)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4. 命题点2 求参数问题 例4 (1)函数f (x )＝lg(a ＋21＋x)为奇函数，则实数a ＝________. (2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________.答案 (1)－1 (2)－10解析 (1)根据题意得，使得函数有意义的条件为a ＋21＋x>0且1＋x ≠0，由奇函数的性质可得f (0)＝0.所以lg(a ＋2)＝0，即a ＝－1，经检验a ＝－1满足函数的定义域. (2)因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12且f (－1)＝f (1)， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题. (2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |).②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.(1)若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝________. 答案 (1)－32(2)1解析 (1)函数f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3xe 3x ＋e6x ＝2ax ＝ln e 2ax，即1＋e 3xe 3x ＋e 6x ＝e 2ax ， 整理得e 3x＋1＝e 2ax ＋3x(e 3x＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.(2)由f (x ＋2)是偶函数可得f (－x ＋2)＝f (x ＋2)， 又由f (x )是奇函数得f (－x ＋2)＝－f (x －2)， 所以f (x ＋2)＝－f (x －2)，f (x ＋4)＝－f (x )，f (x ＋8)＝f (x )，故f (x )是以8为周期的周期函数， 所以f (9)＝f (8＋1)＝f (1)＝1， 又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，所以f (8)＝f (0)＝0，故f (8)＋f (9)＝1.2.抽象函数问题考点分析 抽象函数问题在高考中也时常遇到，常常涉及求函数的定义域，由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以填空题来呈现，有时在解答题中也有所体现.此类题目较为抽象，易失分，应引起足够重视. 一、抽象函数的定义域典例 1 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,8]，则函数g (x )＝f x 2－2－log 2x ＋的定义域为________.解析 要使函数有意义， 需使⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2－1≤8，x ＋1>0，2－log 2x ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，x >－1，x ≠3，解得1≤x <3，所以函数g (x )的定义域为[1,3). 答案 [1,3)二、抽象函数的函数值典例2 若定义在实数集R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f x，对任意x ∈R 恒成立，则f (2 019)＝________. 解析 因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f x ， 所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1fx ＋＝11f x＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，所以f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1). 因为函数f (x )为偶函数， 所以f (2 019)＝f (－1)＝f (1). 当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f－，得f (1)＝1f.即f (1)＝1，所以f (2 019)＝f (1)＝1. 答案 1三、抽象函数的单调性与不等式典例3 设函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y ).若f (3)＝1，且f (a )>f (a －1)＋2，求实数a 的取值范围. 规范解答解 因为f (xy )＝f (x )＋f (y )且f (3)＝1， 所以2＝2f (3)＝f (3)＋f (3)＝f (9).又f (a )>f (a －1)＋2，所以f (a )>f (a －1)＋f (9). 再由f (xy )＝f (x )＋f (y )，可知f (a )>f [9(a －1)]，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －，aa －，解得1<a <98.故所求实数a 的取值范围是(1，98).1.(教材改编)已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，则f (x )＝____________. 答案 x 2－2解析 f (－x )＋g (－x )＝x 2－x －2， 由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， 得f (x )－g (x )＝x 2－x －2， 又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2， 两式联立得f (x )＝x 2－2.2.(2016·苏州模拟)设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的有________.(填序号) ①f (x )f (－x )是奇函数； ②f (x )|f (－x )|是奇函数； ③f (x )－f (－x )是奇函数； ④f (x )＋f (－x )是偶函数. 答案 ③④解析 对于①，设g (x )＝f (x )f (－x )，g (－x )＝f (－x )f (x )＝g (x )，∴f (－x )f (x )是偶函数；对于②，设g (x )＝f (x )|f (－x )|，g (－x )＝f (－x )|f (x )|≠g (x )，g (－x )≠－g (x )，∴f (x )|f (－x )|是非奇非偶函数； 对于③，设g (x )＝f (x )－f (－x )，g (－x )＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－g (x )，∴f (x )－f (－x )是奇函数； 对于④，设g (x )＝f (x )＋f (－x )，g (－x )＝f (－x )＋f (x )＝g (x )，∴f (x )＋f (－x )是偶函数.3.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x 2，则f (2019)＝________. 答案 2解析 由f (x ＋4)＝f (x )知，f (x )是周期为4的周期函数，f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)， 又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (3)＝f (－1)， 由－1∈(－2,0)得f (－1)＝2， ∴f (2 019)＝2.4.(2016·南京模拟)若函数f (x )＝2x －k ·2－x2x ＋k ·2－x (k 为常数)在定义域内为奇函数，则k 的值为________. 答案 ±1解析 依题意，得f (－x )＝2－x－k ·2x2－x ＋k ·2x＝－2x－k ·2－x2x ＋k ·2－x ，整理得k 2＝1，k ＝±1.5.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos π6x ＜x ，log 2x x，则f (f (－16))＝________.答案 12解析 由题意f (－16)＝－f (16)＝－log 216＝－4， 故f (f (－16))＝f (－4)＝－f (4)＝－cos 4π6＝12.6.(2016·盐城模拟)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________. 答案 13解析 依题意得f (－x )＝f (x )， ∴b ＝0，又a －1＝－2a ， ∴a ＝13，∴a ＋b ＝13.7.(2017·苏北四市联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，g x ，x <0，若f (x )为奇函数，则g (－14)＝________. 答案 2解析 g (－14)＝f (－14)＝－f (14) ＝－log 214＝－log 22－2＝2. 8.(2016·常州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝________.答案 0解析 由f (x ＋1)是偶函数得f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x －1)，即－f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，即f (x )＋f (x ＋2)＝0，所以f (1)＋f (3)＝0，f (2)＋f (4)＝0，因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.9.函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案 －－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝－f (x )，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.10.(2016·南京模拟)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t 满足f (ln t )＋f (ln 1t)≤2f (1)，那么t 的取值范围是________. 答案 [1e，e] 解析 由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝f (ln 1t)， 由f (ln t )＋f (ln 1t)≤2f (1)， 得f (ln t )≤f (1).又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e≤t ≤e. 11.(2016·江苏苏北四市二调)定义在R 上的奇函数f (x )满足当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)＋(a －1)x ＋b (a ，b 为常数)，若f (2)＝－1，则f (－6)的值为________.答案 4解析 由已知得f (0)＝0＝1＋b ，∴b ＝－1，又f (2)＝2＋2(a －1)－1＝－1，∴a ＝0，∴f (x )＝log 2(x ＋2)－x －1(x ≥0)，∴f (－6)＝－f (6)＝－3＋6＋1＝4.12.(2016·江苏扬州中学开学考试)已知f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m ，如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2，2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是____________.答案 [－5，－2]解析 ∵f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，∴f (0)＝0，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x－1的值域为(0,3]，∴当x ∈[－2,2]时，f (x )的值域为[－3,3]，若∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则g (x )max ≥3且g (x )min ≤－3，∵g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1，∴当x ∈[－2,2]时， g (x )max ＝g (－2)＝8＋m ，g (x )min ＝g (1)＝m －1，故8＋m ≥3且m －1≤－3，解得m ≥－5且m ≤－2，故－5≤m ≤－2.13.设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积.解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数.∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x ).从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示.设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×(12×2×1)＝4。

课时作业6 函数的奇偶性与周期性一、填空题1．设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈ [0,1]时，f(x)＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝__________. 2．函数f(x)＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为__________．3．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则－－x ＜0是2x ＞4成立的__________条件．4．若f(x)是偶函数，且当x ∈ [0，＋∞)时，f(x)＝x －1，则不等式f(x 2－1)＜0的解集为__________．5．函数y ＝f(x ＋1)为定义在R 上的偶函数，且当x≥1时，f(x)＝2x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23的大小关系为__________． 6．(2013届江苏三校联考)已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋a是奇函数，则a ＝__________. 7．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －－1，x≤1，log a x ，x>1.若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为__________．8．定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x ＋1)＝－f(x)，若f(1.5)＝1，则f(2 010.5)＝__________.9．已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，则满足：f(1－m)＋f(1－m 2)＜0的实数m 的取值范围为__________． 二、解答题10．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ，x>0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x<0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．11．设a ＞0，f(x)＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数． (1)求a 的值；(2)证明f(x)在(0，＋∞)上为增函数．12．已知函数f(x)，当x ，y ∈R 时，恒有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f(x)＜0，并且f(1)＝－12，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．参考答案一、填空题1.32 解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝12＋1＝32. 2．0 解析：∵f(a)＝a 3＋sin a ＋1＝2，∴a 3＋sin a ＝1.又∵函数g(x)＝x 3＋sin x 为奇函数，∴f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－1＋1＝0.3．必要不充分 解析：因为f(x)为奇函数，f(x)－f(－x)x＜0，则2f(x)x＜0. 又f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，可得当x ∈(－∞，－2)∪(0,2)时，f(x)＞0；当x ∈(－2,0)∪(2，＋∞)时，f(x)＜0.2f(x)x＜0，即f(x)与x 异号，因此x ＜－2或x ＞2.解2x ＞4得x ＞2，因此f(x)－f(－x)x＜0是2x ＞4成立的必要不充分条件． 4．(－2，0)∪(0，2) 解析：根据f(x)是偶函数，可得f(x)＝f(|x|)＝|x|－1.因此f(x 2－1)＝|x 2－1|－1.解不等式|x 2－1|－1＜0得0＜x 2＜2，因此x ∈(－2，0)∪(0，2)．5．f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13 6．27．(2,3] 解析：要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则分段函数应该在各自定义域内分别单调递增．若f(x)＝(a －2)x －1在区间(－∞，1]上单调递增，则a －2＞0，即a ＞2.若f(x)＝log a x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则a ＞1.另外要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a －2)×1－1≤log a 1＝0，即a≤3.故实数a 的取值范围为2＜a≤3.8．－1 解析：∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x ＋1)＝f(x)，∴2为函数f(x)的一个周期．因此f(2 010.5)＝f(0.5)＝f(－1.5)＝－f(1.5)＝－1.9．－1≤m＜1 解析：∵f(x)的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤1－m≤2，－2≤1－m 2≤2， 解得－1≤m≤3.①又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，∴f(1－m)＜－f(1－m 2)＝f(m 2－1) ⇒1－m ＞m 2－1，即－2＜m ＜1.②综合①②可知，－1≤m＜1.二、解答题10．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x 2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．于是x ＜0时，f(x)＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f(x)在[－1，a －2]上单调递增，结合f(x)的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．11．(1)解：依题意，对一切x ∈R ，有f(－x)＝f(x)，即1ae x ＋ae x ＝e x a ＋a e x ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －1a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立，则a －1a＝0.∴a＝±1. ∵a＞0，∴a＝1.(2)证明：设0＜x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝ex 1－ex 2＋1ex 1－1ex 2＝(ex 2－ex 1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1ex 1＋x 2－1 ＝ex 1(ex 2－x 1－1)1－ex 2＋x 1ex 2＋x 1，由x 1＞0，x 2＞0，x 2－x 1＞0，得x 1＋x 2＞0，ex 2－x 1－1＞0，1－ex 2＋x 1＜0，∴f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)．∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．12．(1)证明：∵函数f(x)的定义域为R ，∴其定义域关于原点对称．∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y ＝－x ，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x ＝y ＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)解法一：设x ，y ∈R ＋，∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)．∵x ∈R ＋，f(x)＜0，∴f(x＋y)－f(x)＜0，∴f(x＋y)＜f(x)．∵x＋y ＞x ，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．又∵f(x)为奇函数，f(0)＝0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－12， ∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.解法二：设x 1＜x 2，且x 1，x 2 R.则f(x 2－x 1)＝f[x 2＋(－x 1)]＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2)－f(x 1)． ∵x 2－x 1＞0，∴f(x 2－x 1)＜0.∴f(x 2)－f(x 1)＜0.即f(x)在R 上单调递减．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－12， ∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3. ∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.。