三角函数 正切、余切图象及其性质

常见三角函数图像及其性质三角函数介绍正弦函数主词条：正弦函数格式：sin（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-余弦函数主词条：余弦函数格式：cos（θ）作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-正切函数主词条：正切函数格式：tan（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。

函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：()∞-∞，+余切函数主词条：余切函数格式：cot（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数值域：()∞-∞，+正割函数主词条：正割函数格式：sec（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：(][)∞-1-，1∞，+余割函数主词条：余割函数格式：csc（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数值域：(][)∞-1-∞，+，1。

高中数学正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质一、正弦函数的图象与性质1、正弦函数图象的作法：（1）描点法：关键是选定一个周期，把这个周期分成四等份，根据三个分点及两个端点所对应的函数值确定出的点，确定函数图象的大致形状；（2）几何法：一般是用三角函数线来作出图象。

注意：①的图象叫正弦曲线；②作图象时自变量要用弧度制；③在对精确度要求不太高时，作的图象一般使用“五点法”。

2、正弦函数的性质（1）定义域为，值域为；（2）周期性：正弦函数具有周期性，这可由诱导公式来推导，其最小正周期是。

函数的最小正周期是；（3）奇偶性：奇函数；（4）单调性：在每一个闭区间，上为增函数，在每一个闭区间，上为减函数。

3、周期函数函数周期性的定义：对于函数y＝，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数y＝就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。

如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数y＝的最小正周期。

4、关于函数的图象和性质（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；（3）函数取最值的点与其相邻的与x轴的交点间的距离为函数的个周期。

5、正弦型图象的变换方法（1）先平移后伸缩的图象的图象的图象的图象的图象。

（2）先伸缩后平移的图象的图象的图象的图象的图象。

二、余弦函数、正切函数的图象与性质1、余弦函数的图象和性质（1）由函数可知，用平移变换法可以得到余弦函数的图象，也可以使用“五点法”得到，同时还要学会用这两种方法画出函数的图象。

（2）余弦函数的性质可类比正弦函数的性质得到。

2、正切函数与正、余弦函数的比较（1）正切函数的定义域不是全体实数，这与正、余弦函数的定义域为全体实数有着较大的差别；（2）正、余弦函数是有界函数，而正切函数是无界函数；（3）正、余弦函数是连续函数，反映在图象上是连续无间断的点；而正切函数在定义域上不连续，它有无数条渐近线（垂直于x轴的直线），其图象被这些渐近线分割开来；（4）正、余弦函数的图象既是中心对称图形（对称中心分别为），又是轴对称图形（对称轴分别为）；而正切函数的图象只是中心对称图形，其对称中心为；（5）正、余弦函数既有单调递增区间，又有单调递减区间；而正切函数只有单调递增区间，即正切函数，在每一个区间上都是单调递增函数。

正切与余切函数图像与性质一、一周内容概述（一）、正切函数的图象1、“三点两线法”作上的简图.2、左、右平移π的整数倍即得正切曲线.注：正切曲线是被互相平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的.（二）、函数y=tanx与y=tan(ωx＋φ)的性质对比：二、重难点知识归纳及讲解（一）、利用正切函数的图象及图象变换规律作有关函数的简图.例1、作下列函数的简图（1）y=tan(－x) （2）y=|tanx|（3）y=tan|x|（二）、利用正切函数的单调性比较大小及求单调区间.例2、比较下列各组数的大小. （1）tan2和tan9 （2）例3、求函数单调区间（三）正切函数性质的综合运用例4、已知函数f(x)是以3为周期的奇函数，且f(－1)=1，若，求f(tan2α).选择题1、下列命题中，正确的是（）A．y=tanx是增函数B．y=tanx在第一象限是增函数C．y=tanx在每个区间上是增函数D．y=tanx是某一区间内的减函数2、正切函数的定义域是（）A．B．C．D．3、下列不等式中正确的是（）A ．B．C ．D ．4、直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx(ω为常数，且ω＞0）相交的相邻两点间的距离是（）A．πB ．C ．D．与a值有关5、将函数y=tan2x 的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式是（）A ．B ．C ．D ．6、以下四个函数：①y=sinx＋cotx；②y=xtanx－cotx；③；④，其中奇函数的个数是（）A．1B．2 C．3D．47、同时满足在上递增，以π为周期，是奇函数的是（）A．y=|tanx|B．y=tanxC．y=|cotx|D．y=cotx8、若tanα＞sinα＞cosα，且，则α∈（）A ．B ．C ．D ．9、若，则（）A．α＜βB．α＞βC．α＋β＞3πD．α＋β＜2π10、如图所示为函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx在上的图象，则它们所对应的图象的编号顺序是（）A．①②③④B．①③②④C．③①②④D．③①④②综合题1、函数的定义域是_______________.2、已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c的大小关系为______ ____.3、已知（1）用定义判断f(x)的奇偶性；（2）在[－π,π]上画出y=f(x)的简图；（3）指出f(x)的最小正周期及在[－π,π]上的单调区间.4、已知函数（1）求出函数的定义域和值域；（2）判断函数是否为周期函数，若是，则求出周期；（3）讨论这个函数的单调性.5、有两个函数，它们的周期之和为，求这两个函数，并求g(x)的单调递增区间.。

高考数学中的三角函数图像及解析式在高中数学的学习中，三角函数是一个非常重要的概念之一，而三角函数的图像及解析式往往是高考数学中的常考的知识点之一。

在本文中，我们将详细地探讨三角函数的图像及解析式，帮助读者更好地掌握这一知识点，提高高考数学的成绩。

一、正弦函数的图像及解析式正弦函数是三角函数中最为基础的一个函数，其通式为：y = sin x正弦函数的图像为一条波形曲线，波峰和波谷交替出现，形状类似于一条弯曲的绳子或者水波。

正弦函数的图像以 y 轴为对称轴，且有一个最高点和最低点，最高点为(π/2，1)，最低点为(3π/2，-1)。

而整张图像的周期为2π，也就是说函数在 x 轴上每隔2π 个单位长度就会重复一次。

二、余弦函数的图像及解析式余弦函数也是一个基础的三角函数，通式为：y = cos x余弦函数的图像也是一条波形曲线，波峰和波谷也是交替出现，但是与正弦函数的图像不同，余弦函数图像是以 x 轴为对称轴，它也有一个最高点和最低点，最高点为(0，1)，最低点为(π，-1)。

余弦函数的周期也是2π。

三、正切函数的图像及解析式正切函数是三角函数中比较特别的一个函数，通式为：y = tan x正切函数的图像类似于一条斜率一直不断变大或变小的直线，它的图像在π/2 和3π/2 处有一个垂直渐近线。

除此之外，还有一个水平渐近线 y=0。

正切函数的周期为π。

四、余切函数的图像及解析式余切函数是正切函数的倒数，通式为：y = cot x余切函数的图像是一条波形曲线，它也有一个垂直和水平的渐近线。

余切函数的周期也是π。

总之，三角函数的图像及解析式是高考数学中的重要知识点，掌握这些知识不仅能够帮助我们在数学考试中取得好成绩，还能增进我们对数学知识的理解和掌握。

年级：高一辅导科目：数学课时数：课题正切函数和余切函数的图像与性质1、让学生掌握正切函数的图像，性质教学目的2、熟练求出正切函数的周期，单调区间等教学内容【知识梳理】正切函数y tan x x R ，且 x k k z 的图象，称“正切曲线”2余切函数y＝ cotx， x∈(kπ， kπ+π )， k∈ Z 的图象（余切曲线）正切函数的性质：1．定义域：x | x k , k z ，22．值域： R3．当xk , k k z 时y0 ，当x k, k k z 时y 0224．周期性：5．奇偶性：Ttan x tan x 奇函数6．单调性：在开区间k ,k k z内，函数单调递增22余切函数y＝ cotx， x∈(kπ， kπ+π )， k∈ Z 的性质：1．定义域：x R且x k , k z2．值域： R，3．当 xk , k k z 时 y 0 ，当 x k, k k z 时 y 0224．周期： T5．奇偶性：奇函数6．单调性：在区间k , k 1上函数单调递减【典型例题分析】例 1、用图象解不等式tan x 3 。

变式练习： tan x1。

例 2、作出函数 ytan x , x 0,2 且 x ,3的简图1 tan2 x2 2例 3、求下列函数的定义域。

cot x cot x csc x1、 y2、 ytan x1变式练习：求下列函数的定义域。

（1）y cos x tan x；（2）y log2 (cot x1)1（ 3）y1 tan x例 4、求函数y tan 3x的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性3变式练习：画出函数y cot( x)tan x 的图像，并指出其定义域，值域，最小正周期和单调区间。

2例5、（ 1）求y tan2 x 4tan x1的值域；（ 2）若x,时，y k tan(2x) 的值总不大于零，求实数k 的取值范围。

633变式练习：求函数 y tan2x tan x 1的最大值、最小值，并求函数取得最大值最小值时自变量x 的集合。

三角函数入门什么是正弦余弦和正切三角函数入门：什么是正弦、余弦和正切三角函数是数学中的重要概念，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

其中，正弦、余弦和正切是三个基本的三角函数，今天我们就来探讨一下它们的定义和性质。

一、正弦函数（sin）正弦函数是最基本的三角函数之一，它描述了一个角度对应的正弦值。

在直角三角形中，正弦值等于对边与斜边的比值。

以角记作θ，那么正弦函数sinθ可以表示为：sinθ = 对边 / 斜边其中，对边指的是角θ的对边的边长，斜边指的是角θ对应直角三角形的斜边的边长。

在单位圆中，以圆心为原点，角θ的顶点P(x, y)位于圆上。

这时，对边就是点P的纵坐标y，斜边则是单位圆的半径1。

因此，我们可以将正弦函数sinθ定义为：sinθ = y正弦函数sinθ的定义域是所有实数，值域在[-1, 1]之间。

二、余弦函数（cos）余弦函数是另一个基本的三角函数，它描述了一个角度对应的余弦值。

在直角三角形中，余弦值等于邻边与斜边的比值。

以角记作θ，那么余弦函数cosθ可以表示为：cosθ = 邻边 / 斜边其中，邻边指的是角θ的邻边的边长。

在单位圆中，以圆心为原点，角θ的顶点P(x, y)位于圆上。

这时，邻边就是点P的横坐标x，斜边仍然是单位圆的半径1。

因此，我们可以将余弦函数cosθ定义为：cosθ = x余弦函数cosθ的定义域是所有实数，值域在[-1, 1]之间。

三、正切函数（tan）正切函数是三角函数中的第三个基本函数，它描述了一个角度对应的正切值。

在直角三角形中，正切值等于对边与邻边的比值。

以角记作θ，那么正切函数tanθ可以表示为：tanθ = 对边 / 邻边其中，对边指的是角θ的对边的边长，邻边指的是角θ的邻边的边长。

在单位圆中，以圆心为原点，角θ的顶点P(x, y)位于圆上。

这时，对边就是点P的纵坐标y，邻边就是点P的横坐标x。

因此，我们可以将正切函数tanθ定义为：tanθ = y / x正切函数tanθ的定义域是所有不等于π/2 + kπ（k为整数）的实数，值域是整个实数集。

三角函数正切与余切的定义三角函数是数学中非常重要的一类函数，其中正切函数和余切函数在解决三角形相关问题以及在物理、工程等领域中有广泛的应用。

在这篇文章中，我们将探讨正切和余切函数的定义及其性质。

一、正切函数的定义正切函数是指以单位圆上的一点为端点所得到的射线与x轴的正切值。

设角A为一个锐角，点P(x,y)为单位圆上的一点，其中点P与x轴的夹角为A。

则正切函数tanA定义为tanA=y/x。

在直角三角形中，角A的角度为θ，则tanθ可以表示为对边与邻边的比值，即tanθ=opposite/adjacent。

二、余切函数的定义余切函数是指以单位圆上的一点为端点所得到的射线与x轴的余切值。

同样设角A为一个锐角，点P(x,y)为单位圆上的一点，其中点P与x轴的夹角为A。

则余切函数cotA定义为cotA=x/y。

在直角三角形中，角A的角度为θ，则cotθ可以表示为邻边与对边的比值，即cotθ=adjacent/opposite。

三、正切和余切函数的性质1. 定义域和值域正切函数和余切函数的定义域为所有实数，除了使分母为零的点，因为在这些点上，函数无定义。

正切函数的值域为所有实数，而余切函数的值域也是所有实数。

正切函数和余切函数的值可以是正无穷、负无穷或任意实数。

2. 周期性正切函数和余切函数均具有周期性。

正切函数的周期为π，即tan(θ+π)=tanθ。

余切函数的周期也为π，即cot(θ+π)=cotθ。

3. 奇偶性正切函数是奇函数，即tan(-θ)=-tanθ，而余切函数是奇函数，即cot(-θ)=-cotθ。

这意味着对于正切函数和余切函数，如果角度取负，函数值的符号会改变。

4. 关系式正切函数和余切函数之间存在着一种关系，即tanθ=1/cotθ，cotθ=1/tanθ。

这可以通过函数定义推导得出。

5. 图像特点当角度增大时，正切函数和余切函数都会体现出图像上升或下降的趋势。

正切函数的图像曲线在每个周期内交替地上升和下降，且在θ=π/2的点上有一个正无穷的间断点。

(2) /(航+如型三角函数的奇偶性（i ） g （x ） = /沏（颜+如（x€ R）(x)为偶函数匕鼠U 力（而+ 出=j4sin （-<at + 炉）（x W 氏）0 sin 曲匚*0=。

（工 W R ）7Tcos 卯=。

=上7T+一1左 e Z ）由此得 2 ,同理，式夫4皿皈+双相的 为奇函数 =顺@=0/3=上网海2)（ii ）飙# =+劭SwR]妖N = .Aa 式题+钠为偶函数见双t")；就= 式以+如为奇函数7T=中=无产+ — (k e Z)3、周期性(1)基本公式(ii) 〃皈+⑺+氏型三角函数的周期竺y =+ G + 5 =加+中出 的周期为何；（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx y= tanx ； 偶函数：y=cosx.(i )基本三角函数的周期的周期为；丁.y=sinx , y=cosx 的周期为 之并 ；y = tanx , y = cotx4-212yy=cotxy=tanx 3-32X 03 27 3,y=cosx-5-4 .7223 2322 5 2“如血的+朗+9=心服如+沟+用的周期为何.（2）认知⑴A =1/W +创型函数的周期y = |月劭（枷+或）| j = A 匚。

5（西+励|（ii ）若函数为,（收斗劭 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明.（3）特殊情形研究JT(i ) y = tanx — cotx 的最小正周期为27T（ii ） y=卜由H+|M 幻的最小正周期为，；7T（iii ） y = sin 4x + cos 4x 的最小正周期为，. _由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 .4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区问（或减区问）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 .揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域（2） y=/（而+初 型三角函数的单调区问的周期为y = （助+切1_r= |达匚祖（姗+阖| 的周期为 7T(ii) > = 1/(耽+如+同3=0)的周期1y 二|金£血（为工卜8］妣+3）+甘¥ = |例如（而+5+上］ J = |总二加侬大+的+. 的周期为祠；,7T的周期为:. 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数的周期不变.注意这一点与（i ）的区别.y=八加+◎+上的解析式施加绝对值后，该函此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u =z 中,将所给函数分解为内、外两层：y = f (u) , u =®x+卯;②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u)的单调性，而后利用(1)中公 式写出关于u 的不等式；③还原、结论：将u =^+W 代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间 形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y sinx y cosxy tanxy cotxy Asin x(A 、 >0)定义域 R R x | x R 且 x k 1 ,k Zx| x R 且x k ,k ZR值域 [1, 1][1, 1]R RA, A周期性 2 22奇偶性奇函数 偶函数奇函数 奇函数当 0,非奇非偶 当0,奇函数单调性[2 2k , —2k ] 2上为增函 数； [2 2k ,3——2k ] 2上为减函 数(k Z )[2k 1 , 2k ]上为增函 数[2k , 2k 1 ]上为减函数(k Z )一k ,一 k 2 2 上为增函数(k Z )k , k 1上为减函数(k Z )2k2(A),2k -2( A)上为增函数；2k 一------ 2— (A), 2k------ 2——(A)上为减函数(k Z )注意：①y sinx 与y sinx 的单调性正好相反；y cosx 与y cosx 的单调性也同样相反.一般 地，若y f(x)在［a,b ］上递增(减)，则y f (x)在［a,b ］上递减(增)y忖n x 与y cosx 的周期是.-(k Z),对称中心(k ,0); y cos( x )的对称轴方); y tan( x )的对称中心(工,0).,02③ y sin( x )或 y cos( x )0)的周期T 2y tan x 的周期为2 2 (T _ T 2，如图，翻折无效)④y sin( x )的对称轴方程是x k 程是x k (k Z ),对称中心(ky cos2x 原点对称 y cos( 2x) cos2x⑤ 当 tan tan 1, k ,(k Z) ; tan tan 1, k ,(k Z).⑥y cosx 与y s in x _ 2k是同一函数，而y ( x )是偶函数，则2 1 、，、y ( x ) sin( x k ) cos( x).2⑦函数y tanx 在R 上为增函数.(耳［只能在某个单调区间单调递增 .若在整个定义域,y tanx 为增函数，同样也是错误的］.⑧定义域关于原点对称是f (x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件：一是定义域 关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数：f( x) f(x),奇函数：f( x) f(x)) 奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y tanx 是奇函数，y tan(x 1)是非奇非偶.(定义域不 3 关于原点对称)奇函数特有性质：若0 x 的定义域，则f(x)一定有f(0) 0. (0 x 的定义域，则无此性质)⑨y sinx 不是周期函数；y sinx 为周期函数(T )； y cosx 是周期函数(如图)；y cosx 为周期函数(T )；y cos2x1的周期为(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期,2y f (x) 5 f (x k),k R . ⑩ y a cos bsinVa 2 b 2sin( ) cos b 有 Va 2 b 2 y .、形如y Asin( x )的函数:11、几个物理量：A 一振幅；f 1—频率(周期的倒数)；x 一相包； 一初相；2、函数y Asin( x )表达式的确定：A 由最值确定； 由周期确定； 由图象上的特殊点确定，如 f(x) Asin( x )(A 0,0, | 3.函数 y Asin( x ) B (其中 A 0,0)最大值是A B,最小值是B A,周期是T —,最小正周期T 六频率是f「相位是x,初相是；其图象的对称轴是直线x k 7k Z),凡| "^0的图象如图所小，则f (x)(答：f(x)152sin(-2x -));y=| cos2x+1/2|图象是该图象与直线y B 的交点都是该图象的对称中心4、研究函数y Asin( x )性质的方法：类比于研究y sin x 的性质，只需将y Asin( x ) 中的x 看成y sinx 中的x,但在求y Asin( x )的单调区间时，要特别注意 A 和 的 符号，通过诱导公式先将 化正。