65 线性子空间

线性空间子空间概念在线性代数中，线性空间是指具有加法和标量乘法运算的集合，它满足以下四个条件：1.加法封闭性：对于任意的两个向量u和v，它们的和u+v也属于线性空间中。

2.标量乘法封闭性：对于任意的标量k和向量u，它们的乘积ku也属于线性空间中。

3.加法结合律：对于任意的三个向量u、v和w，满足(u+v)+w = u+(v+w)。

4.零向量存在性：存在一个零向量0，满足对于任意的向量u，都有u+0 = u。

线性空间中的子空间是指线性空间的一个子集，且在该子集上定义的加法和标量乘法运算仍然满足线性空间的四个条件。

换句话说，如果一个集合是某个线性空间的子空间，那么它也是一个线性空间。

性质线性空间子空间具有以下性质：1.子空间包含零向量：任意线性空间的子空间都必然包含零向量0。

2.子空间封闭性：对于任意子空间中的两个向量，它们的和仍然属于该子空间。

3.子空间封闭于标量乘法：对于任意子空间中的一个向量和一个标量，它们的乘积仍然属于该子空间。

例子考虑一个实数域上的线性空间R^3，其中的向量可以表示为(x, y, z)的形式。

假设我们要研究关于平面x = 0的子空间。

这个子空间可以表示为{(0, y, z) | y, z∈R}。

验证这个集合是线性空间的子空间需满足以下条件：1.加法封闭性：对于任意两个向量(0, y₁, z₁)和(0, y₂,z₂)，它们的和(0, y₁+y₂, z₁+z₂)仍然属于这个集合。

2.标量乘法封闭性：对于任意向量(0, y, z)和标量k，它们的乘积(k⋅0, k⋅y, k⋅z)仍然属于这个集合。

3.加法结合律：满足(u+v)+w = u+(v+w)对于这个集合中任意的向量u、v和w。

4.零向量存在性：这个集合中存在一个零向量(0, 0, 0)，满足任意向量(0, y, z)加上零向量仍然得到(0, y, z)。

由于满足这四个条件，我们可以得出结论，这个集合是我们所考虑的线性空间R^3的子空间。

学习单元5：线性子空间_________________________________________________________ 导学学习目标：了解线性子空间的概念；掌握线性子空间的判别法；理解生成子空间的概念；掌握生成子空间的维数与基的计算；了解齐次线性方程组的解空间。

学习建议：建议大家多看书，多读定义，注意定义中的条件，多看例题，认真比照例题多做练习题，通过练习掌握理论。

重点难点：重点：深刻理解子空间的概念与判别。

难点：掌握生成子空间的基与维数的计算。

_________________________________________________________ 学习内容一、线性子空间的定义与判别空义设V为P上线性空间，W为V的非空子集合，如果W关于V的运算也构成P上线性空间，则称W为V的线性子空间，简称W为V的子空间，记为W V。

例1V P3,W{(a,0,0)|a P},W V。

证明按定义验证。

定理设V为P上线性空间，W为V的非空子集合，则W V的充要条件是：1）对任何,W，有W；合也是V的子空间，这两个子空间通常叫V的平凡子空间。

例3P[x]n P[x]。

证明按判别定理验证。

例4齐次线性方程组的解空间。

解由齐次线性方程组的解向量的性质及子空间的判别定理知一个齐次线性方程组的所有解向量的集合构成Pn的子空间，通常称为齐次线性方程组的解空间。

二、生成子空间命题设V为P上线性空间，1,L,r V，令L(1,L,r){k11L krr|k1,L,kr P}，则L(1,L,r)V。

定义称L(1,L,r)为由1,L,r生成的子空间。

定理设V为P上线性空间，1,L,r与1,L,s为V中两个向量组。

（1）L(1,L,r)L(1,L,s)的充要条件是1,L,r与1,L,s等价。

（2）dim(1,L,r)R(1,L,r)。

（3）1,L,r的一个极大线性无关组是L(1,L,r)的一个基。

三、V中线性无关组与V的基的关系定理设V为P上n维线性空间，1,L,m为V的一个线性无关向量组，m n，则在V中存在n m个向量，m1,L,n使1,L,m,m1,L,n为V的一个基。

线性空间与子空间的性质线性空间是数学中的一个重要概念，广泛应用于线性代数、函数分析和其他相关领域。

线性空间由两个基本要素组成：一个域和一个向量集合。

在线性空间中，向量之间可以进行加法和数乘操作，并满足相应的性质。

子空间是线性空间的一个重要概念，它由线性空间中的一部分向量组成，同时满足线性空间的定义和运算规则。

本文将介绍线性空间和子空间的性质。

一、线性空间的性质1. 加法封闭性线性空间中的任意两个向量相加仍然属于该空间。

即对于任意的向量u和v，u+v仍然属于线性空间。

2. 数乘封闭性线性空间中的任意向量与一个标量相乘仍然属于该空间。

即对于任意的向量u和标量c，cu仍然属于线性空间。

3. 加法交换律线性空间中的向量加法满足交换律。

即对于任意的向量u和v，u+v=v+u。

4. 加法结合律线性空间中的向量加法满足结合律。

即对于任意的向量u、v和w，(u+v)+w=u+(v+w)。

5. 零向量的存在线性空间中存在一个特殊的向量，称为零向量，它与任意向量相加得到该向量本身。

即对于线性空间中的任意向量u，存在一个零向量0，使得u+0=u。

6. 加法逆元的存在线性空间中的任意向量都存在一个相反向量，使得它们相加等于零向量。

即对于线性空间中的任意向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v)=0。

二、子空间的性质1. 非空性子空间中至少包含一个向量。

2. 加法封闭性子空间中的任意两个向量相加仍然属于该子空间。

即对于任意的子空间中的向量u和v，u+v仍然属于该子空间。

3. 数乘封闭性子空间中的任意向量与一个标量相乘仍然属于该子空间。

即对于任意的子空间中的向量u和标量c，cu仍然属于该子空间。

4. 包含零向量子空间中必须包含零向量。

5. 子空间的维数子空间的维数是指子空间中所含向量的最大线性无关组的向量个数。

6. 子空间的性质继承子空间继承了线性空间的所有性质。

总结：线性空间是由向量组成的数学结构，具有加法和数乘操作，并满足一系列性质，如加法封闭性和数乘封闭性。

第二讲 线性子空间一、线性子空间的定义及其性质1. 定义：设1V 是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果1,V y x ∈，则1V y x ∈+； （2） 如果1V x ∈，K k ∈，则1V kx ∈， 则称1V 是V 的一个线性子空间或子空间。

2. 性质：（1）线性子空间1V 与线性空间V 享有共同的零元素； （2）1V 中元素的负元素仍在1V 中。

[证明]（1）O x =0V V x ⊂∈1∴ V 中的零元素也在1V 中，1V 与V 享有共同的零元素。

（2）1V x ∈∀1)()1(V x x ∈-=- 封闭性∴ 1V 中元素的负元素仍在1V 中3. 分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间平凡子空间：{0}和V 本身 非平凡子空间：除以上两类子空间4. 生成子空间：设m x x x ,,21 为V 中的元素，它们的所有线性组合的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈∑=m i i i i m i K k x k 1,2,1,也是V 的线性子空间，称为由m x x x ,,21 生（张）成的子空间，记为),,(21m x x x L 或者),,(21m x x x Span 。

若m x x x ,,21 线性无关，则{}m x x x L m =),,(dim 215. 基扩定理：设1V 是数域K 上的线性空间n V 的一个m 维子空间，m x x x ,,21 是1V 的一个基，则这m 个基向量必可扩充为n V 的一个基；换言之，在n V 中必可找到m n -个元素n m m x x x ,,21 ++，使得n x x x ,,21 成为n V 的一个基。

这m n -个元素必不在1V 中。

二、子空间的交与和1.定义：设1V 、2V 是线性空间V 的两个子空间，则 {}2121,V x V x x V V ∈∈={}2121,V y V x y x V V ∈∈+=+分别称为1V 和2V 的交与和。

线性代数中的子空间与直和在线性代数中，子空间是指由向量空间中的一部分向量所组成的空间。

子空间在线性代数中起着重要的作用，它们可以帮助我们理解向量空间的结构以及解决许多实际问题。

本文将介绍子空间的概念、性质以及与之相关的直和运算。

一、子空间的定义与性质子空间是指一个向量空间中的一个非空子集合，且满足以下三个条件：（1）零向量属于该子集合；（2）对于该子集合中的任意两个向量，它们的线性组合仍然属于该子集合；（3）该子集合对于向量的加法和标量的乘法封闭。

简而言之，子空间就是一个满足向量空间的定义的向量集合。

对于子空间，有一些重要的性质需要注意。

首先，子空间的交集仍然是一个子空间，即两个子空间的交集是一个子空间。

其次，子空间的和也是一个子空间，即两个子空间的和是一个子空间。

最后，子空间的维数不超过父空间的维数，即子空间的维数小于等于父空间的维数。

二、直和的定义与性质在了解了子空间的基本概念后，我们可以介绍直和的概念。

直和是指将多个子空间进行合并得到的新的子空间。

具体来说，给定两个子空间U和V，它们的直和表示为U⊕V，定义为所有可以写成u+v的形式的向量的集合，其中u属于U，v属于V。

直和有一些重要的性质。

首先，直和的维数等于所有子空间维数的和，即dim(U⊕V) = dim(U) + dim(V)。

其次，子空间U和V的直和U⊕V是直和的充要条件是U和V的交集只包含零向量。

三、子空间与直和的应用子空间与直和的概念在线性代数中具有广泛的应用。

在实际问题中，我们经常需要将一个向量空间分解成几个子空间的直和，以便更好地理解向量空间的结构。

例如，在图像处理中，我们可以将一幅图像分解为由亮度和色彩组成的子空间的直和。

通过对每个子空间独立地处理，我们可以对图像进行降噪、增强等操作，从而得到更好的视觉效果。

此外，子空间与直和也在最小二乘法等问题的求解中起着重要作用。

通过将问题的解空间分解为多个子空间的直和，我们可以更方便地求解问题的最优解。

线性空间与子空间线性空间是线性代数中的重要概念，它是指具有线性运算和封闭性的向量集合。

在线性空间中，有一个与之相关的概念，那就是子空间。

子空间是线性空间的一个非空子集，且在同样的线性运算下也构成了一个线性空间。

本文将重点讨论线性空间和子空间的相关概念以及它们之间的关系。

一、线性空间的定义与性质线性空间可以定义为一个非空集合V，上面定义了两种运算：“加法”和“数乘”。

具体而言，对于V中的任意两个元素u和v，其和u+v也属于V，并且对于任意的α∈R（实数域）或C（复数域），定义了数乘运算，即αu也属于V。

这样的集合V称为线性空间，也称为向量空间。

对于线性空间V，具有以下性质：1. 零向量：存在一个元素0∈V，对于V中的任意元素v，有0+v=v+0=v。

2. 加法逆元：对于V中任意的元素v，存在一个元素-v∈V，使得v+(-v)=-v+v=0。

3. 数乘分配律：对于α，β∈R（或C）和v∈V，有(α+β)v=αv+βv，α(βv)=(αβ)v。

4. 数乘结合律：对于α∈R（或C）和u，v∈V，有α(u+v)=αu+αv，(α+β)v=αv+βv。

二、子空间的定义与判定条件在线性空间V中，如果非空集合W满足以下条件，则W称为V的一个子空间：1. 零向量：零向量0∈W。

2. 加法封闭性：对于W中任意的元素u和v，有u+v∈W。

3. 数乘封闭性：对于W中任意的元素u和任意的α∈R（或C），有αu∈W。

判定一个集合是否为线性空间V的子空间，可以应用以下方法：1. 非空性：判断该集合是否为空集，如果为空集，则不是V的子空间。

2. 加法封闭性：取集合中的任意两个元素，进行加法运算，看结果是否属于该集合。

3. 数乘封闭性：取集合中的一个元素，进行数乘运算，看结果是否属于该集合。

三、线性空间与子空间的关系子空间是线性空间的一个重要概念，它可以理解为线性空间的一个子集，且在同样的线性运算下也成为了一个线性空间。

子空间与线性空间之间有以下关系：1. 子空间是线性空间的一个子集，即子空间的元素也是线性空间的元素。

目 录绪论.................................................................................... (1) 1 预备知识 (1)1.1 线性空间 (1)1.2 子空间 (2)1.3 商空间 (2)1.4 线性变换 (3)1.5 有限域........................................................................... (5) 2 线性空间的同态、同构定理 (5)2.1 秩与零度定理 (6)2.2 线性空间的同态定理 (7)2.3 线性空间的同构定理......................................................... (8) 3 有限域上的线性子空间...............................................................(10) 4 线性空间的－结构............................................................... (12) q F 参考文献 (17)线性子空间摘 要线性空间及其子空间理论是线性代数的核心内容之一，在数学及其它领域中有着广泛的应用．态射的观点已经是现代数学的基本观点之一，同构分类也是现代数学的主要内容．本文基于线性空间的秩与零度定理，首先建立了线性空间的同态基本定理及三个同构定理，这可以看作是群、环等代数结构的类似．其次，我们讨论了有限域上的线性子空间．随着计算机技术的空前发展，有限域已经成为现代工程、技术等许多发展领域的数学基础．在数学中扮演着越来越重要的角色．因而有限域上的线性空间的研究已成为现代数学的一个重要领域．本文的第二部分主要运用组合的方法，讨论了有限域上的线性子空间的个数问题．当系数域的特征大于零时，我们讨论了通过扩张系数域的方法，将研究线性空间的问题转化为研究它的较小的特殊子空间，即线性空间的-结构．我们给出了线性空间存在-结构的判定定理，以及-结构的唯一性定理．q F q F q F 【关键词】线性空间 线性子空间 线性变换 有限域 -结构 q F Frobenius 映射Linear SubspaceAbstractLinear spaces and subspaces are one of important contents of linear algebra ，and they have been applied to mathematics or other fields extensively ．Morphism is a basic viewpoint of modern mathematics and classification up to isomorphism is also a main content of modern mathematics ．Firstly ，in this paper we establish the homomorphism and three isomorphism theorems of linear spaces based on rank and nullity theorem ，which can be regarded as an analog of the corresponding theorems on the algebraic systems such as group ，ring and so on ．Secondly ， we discuss linear subspaces over finite field ．With the unprecedented development of computer science ，finite field has been the mathematical fundament of modern engineering ，technology and so on ．And it plays a more and more important role in mathematics ．So the study of linear subspace over finite field has been an important subject of modern mathematics ．We discuss the number of linear subspace of a given linear space over finite field in terms of combinatorics in the second part of this paper ．Finally ，in case the characteristic of the coefficient field is positive ，we transform the study of linear space into that of a smaller ，special subspace of it by extending the coefficient field ，that is ，we discuss the -structures of linear spaces ．Moreover ，we give the criterion theorems of existence and uniqueness of -structure of linear spaces ．q F q F 【Key words 】Linear space Linear subspace Linear transformation Finite field q F -structure Frobenius map绪论线性空间及其子空间理论是高等代数中的重要内容，在数学、物理、通信、化学等各方面有广泛应用．线性空间的概念是维向量空间概念的抽象和提高，它把具体、直观的平面与集合空间推广到抽象的线性空间．线性子空间是线性空间的子集，线性子空间中的元素满足对原线性空间的加法与数量乘法封闭．n 邓春红，唐建国]1[给出并证明了若干个子空间的并以及两个子空间的交构成子空间的充要条件．从而本质地揭示了除子空间的交与和是构造新的子空间的方法外，集合的其它运算不能构造新的子空间．最后分析了子空间直和的两种不同定义的优缺点，指出了张禾瑞教材中子空间直和定义 推广时应注意的一个问题.杨闻起和金志英引入了线性空间的极大子空间的概念，主要得出了三个]2[结论：（1）线性空间V 的子空间M 是极大子空间当且仅当M 是一维子空间的余子空间．（2）线性空间的任意子空间都可表示成一些极大子空间的交．（3）在满足子空间降链条件的线性空间中，每个子空间可表示成有限个极大子空间的交．在本篇论文中,我们首先给出了线性空间的同态以及三个同构定理．这与近世代数中群或环的同态、同构定理的证明思想类似．通过已经证明的定理，我们可以得出两个有限维线性空间同构的充要条件．有限域是一类特殊的域，在编码理论、正交试验设计、信息论、密码学以及计算机技术中都有广泛应用．我们考虑有限域上的线性空间的子空间的一些问题．本论文给出了给定维数的线性子空间的个数定理的证明．这个定理为我们提供一个计算有限域上线性空间的有限维子空间个数的方法．已知域K 上的线性空间V 且V 是维的．能否通过用扩大系数域的方法而只研究V 的一个特定的子空间来达到研究V 的目的呢？为此我们引入-结构的定义．利用Frobenius 映射我们证明了-结构的存在性和唯一性定理，从而回答了上述问题．设n 0V q F q F K 是的代数闭域．研究域q F K 上的线性空间V 可以转化为研究它的-结构．粗略地说即研究V 的子空间，使得．这里是V 上的Frobenius 映射的稳定点集．q F 0V V K V q F ≅⊗00V F F V 1预备知识线性空间是数学中最基本的概念之一．线性空间理论不仅是高等代数的核心，而且广泛渗透到各自然科学、工程技术、经济管理科学中．因而线性空间理论既是现代数学的支柱，又是应用广泛的理论之一．线性空间又称为向量空间．在一定意义上，线性空间是几何学特别是解析几何学的推广与升华．1.1线性空间定义1.1.1 若是域，其中元素称为纯量．F 上的向量空间是一个非空集合V ，它的元素称为向量，有运算加法，对，有F V V v u ×∈),(V v u ∈+；以及与V 的运算数乘，用毗连表示，对．并且满足下列条件：F V ru V F u r ∈×∈有,),(（1）V 对“+”成Abel 群，令其单位元是0，称为零向量；（2）任取F r ∈， ，有一双向运算（通常称为乘法“.”）存在，使及V v ∈V v r ∈⋅v v =⋅1．此处1为的乘法单位元（乘法符号经常忽略不写）； F （3）四种运算（域的加法与乘法，V 的加法与对V 的数量乘法）适合结合律与分配律．即 F F 对所有的V v u F s r ∈∈,,，有分配律．；su ru u s r rv ru v u r +=++=+)()( 结合律．；u u su r u rs ==1)()( 性质1.1.1 线性空间除了对加法作成Abel 群，对数量乘法满足结合律与分配律之外，还有如下性质：（1）零元是唯一的．（2）对，都有唯一的（），使得V u ∈u −0)(=−+u u ，称（u −）为的负元或负向量．u （3）消去律： 若，且V w v u ∈,,w u v u +=+，则w v =．（4）u u u V u r F r −=−=⋅∈∀=⋅∈∀)1(0000；　，　；，．（5）F r ∈， ，且，则V u ∈0=ru 0=r 或0=u ．1.2子空间本节介绍了运算的封闭性定义，子空间的定义以及要注意的问题．运算的封闭性 设是域上的线性空间V 的子集．如果对任意的S F S v u ∈,，有，则称对加法封闭．如果对任何S v u ∈+S F r ∈， S u ∈，有S ru ∈，则称对数量乘法封闭．S 定义1.2.1 设是域上的线性空间V 的非空子集．如果对V 的加法与数量乘法也构成一个线性空间，则称是V 的子空间，简称子空间．S F S S 注意 子空间的定义应该注意下面两点．（1）设是线性空间V 的非空子集，则下面三个命题等价：S （i）是V 的子空间．S （ii）S 对V 的加法，数量乘法封闭．（iii ）任意的V v u F s r ∈∈,,,　，有S sv ru ∈+．（2）在子空间的定义中，要求中的两种运算与V 中的两种运算一致．因而如果在子集中另外定义加法与数量乘法使成为线性空间，不能叫做V 的子空间．S 1S 1S 1S 1.3商空间商空间可看成是整数、多项式等代数体系中同余概念的推广．商空间也是线性代数中的重要概念．本节介绍了同余及同余类的性质，给出了商空间的定义．定义 1.3.1设是域上的线性空间V 的子空间．称u 与模同余，如果有．记作． ]6[S F v S S v u V v u ∈−∈，,)(mod S v u ≡将所有与同余的元素的全体记作[]．[]= v v v }{)(mod S v u u ≡：．则有)(mod ][S v u v u ≡⇔∈．称[]为线性空间V 中的陪集．v S 性质1.3.1 同余、同余类有以下性质．（1）（自反性）． （2）若)(mod S u u ≡)(mod S v u ≡，则)(mod S u v ≡（对称性）． （3）若，则)(mod ),(mod S w v S v u ≡≡)(mod S w u ≡（传递性）．由以上三条知道同余是一种等价关系，它可以将V 进行划分．（4）][][,,v u V v u =∈当且仅当Φ≠∩][][v u 当且仅当)(mod S v u ≡．证明 若，则必有][][v u =Φ≠∩][][v u ．设∈w ][][v u ∩，则有、，进而)(mod S w u ≡)(mod S w v ≡)(mod S v u ≡．若)(mod S v u ≡，则)(mod S u ≡γ当且仅当)(mod S v ≡γ，即 [u ]=[]．v 性质1.3.1中的（4）说明两个同余类或者相等，或者不相交．定理1.3.1 设V 是上的线性空间, 是V 的子空间．用F S S V表示V 中元素模的同余类的集合．在S S V中定义 加法[u ]+[v ]=[]，∀[u ]，[] v u +v ∈S V．数量乘法 ][u r = []，[u ] ru ∀∈S V，F r ∈． 则S V 构成域上的线性空间，称为V 对的商空间．F S 证明思路 首先证明上述两种运算定义的合理性．即证：① 对任意[]=[u ]，[]=[]，其中[]，[]，[]，[v ]∈1u 1v v 1u u 1v S V ，有[][]11v u v u +=+ (加法的合理性)；② 对任意F r ∈，[]=[u ] 1u ∈S V ，则= []（数量乘法的合理性）；③ 再验证上述两种运算满足线性空间定义的条件．证明从略．][1ru ru 1.4线性变换这一节主要介绍了映射乘积的概念及性质，线性变换的概念和性质．为了将有限维线性空间分类，先介绍映射的乘积．定义1.4.1 设，．现定义的映射为：，对任意 ，称为21S S f →：32S S g →：31S S →gf ))(()(a f g a gf =1S a ∈gf g 与的乘积．f 性质1.4.1 映射乘积有如下性质：（1）若，是一一的，则也是一一的．g f gf （2）若，是满的，则也是满的．g f gf （3）若g ，是一一对应，则也是一一对应，而且．f gf 111−−−=g f gf ）（定义 1.4.2 设V 与是域W F 上的两个线性空间．映射W V →:τ称为线性变换，若，有V v u F s r ∈∈∀,,，)()()(v s u r sv ru τττ+=+．记从V 到W 的所有线性变换的全体为．特别地，若),(W V L ∈τ),(W V L 且τ是一一对应，则称τ是V 到W 的同构映射，此时称V 与W 同构．定义1.4.3 )(V τ=}{w v t s V v W w =∈∃∈)(,τ　．　是W 的子空间，称)(V τ为V 在τ下的象，记为)(τim ．事实上，由)()0(0V ττ∈=，知)(V τΦ≠．又任意V v u F s r ∈∈,,，，有)()()(sv ru v s u r +=+τττ∈)(V τ．故)(V τ是W 的子空间（可用子空间的定义证明）． 定义1.4.4 }{0)()ker(=∈=u V u ττ称为τ的核，则)ker(τ为V 的子空间（可用子空间的定义证明）．性质1.4.2 τ是同构映射当且仅当)(V τ=W 和0)ker(=τ．证明 设τ是同构映射，故τ为满射，则)(V τ=W ．由τ是一一映射且0)(=u τ，必有=0．即u 0)ker(=τ．反之，设W V =)(τ且0)ker(=τ．由W V =)(τ，知τ为满射．若)()(v u ττ=，则0)(=−v u τ，有)ker(τ∈−v u ．由0)ker(=τ，知0=−v u ，从而v u =．即τ是同构映射．证毕．性质1.4.3 同态和同构映射有如下性质：（1）若W V →：τ是同构映射，则是同构映射．V W →−：1τ（2）若W V →：τ是同态映射，G W →：φ是同态映射，则φτ是V 到G 的同态映射．特别地，若φτ,都是同构映射，则φτ也是同构映射．（3）由V 到V 的恒等映射I ：，V V →αα=)(I 是V 到V 的同构映射．由性质1.4.3，知线性空间的同构关系具有自反性、对称性和传递性．故可将F 上线性空间按同构关系分类．在同一类中只要找到一个具有代表性的空间进行研究即可．性质1.4.4 对于映射τ我们有如下结论：（i ）τ是满射的充分必要条件是)(τim =W ． （ii ）τ为单射的充分必要条件是0)ker(=τ． 证明 （i ）可以根据象的定义得出．（ii ）如果τ为单射，则对任意，有y x V y x ≠∈,,)()(y x ττ≠．即若 则必有0≠−y x 0)(≠−y x τ，从而)ker(τ∉−y x ．故0)ker(=τ．反过来，如果0)ker(=τ，不妨设)()(y x ττ=，则根据τ为线性映射，有0)(=−y x τ．即)ker(τ∈−y x ⇒0=−y x ⇒y x =⇒ τ为单射．证毕．特别地，若线性变换),(W V L ∈τ是双射，则称τ为从V 到 的同构变换．称V 与W 同构，记作．W W V ≅1.5有限域有限域是一类特殊的域，在编码理论、正交试验设计、信息论、密码学以及计算机技术中都有广泛应用．定义1.5.1 只含有有限个元素的域叫有限域．下面我们给出有限域的三个同构定理．]3[定理1.5.1 设F 是一个特征为的有限域，那么的元素个数一定是的方幂．（这个定理给出了有限域的元素个数与域的特征的关系．）p F p 定理1.5.2 设p 是一个素数，而是一个正整数，那么总存在一个有个元素的有限域． n n p 注 把包含个元素的有限域称为阶Galois 域，记作．n p n p )(np GF 定理 1.5.3 任意两个元素个数相同的有限域一定同构．定理1.5.1的推广 设F 是一个有限域，它包含一个有q 个元素的有限域作为子域．那么的元素个数一定是的一个方幂．q F F q 接下来给出有限域子域的存在性与唯一性．定理1.5.4 对n 的每个正因数，中存在唯一的阶子域，并且这些是m )(n p GF m p )(n p GF 中仅有的子域． 2线性空间的同态、同构定理在高等代数中有：若V 是一个线性空间，是V 的一个子空间，则存在的补空间，]54[，S S c S使得并且．Φ=∩S S c S S V c ⊕=2.1秩与零度定理下面在给出秩与零度概念的基础上，给出秩与零度定理及其证明．]6[定义 2.1.1 若V ，W 为两个线性空间，),(W V L ∈τ．称))dim(ker(τ为τ的零度，记作)(τnull ．称))(dim(τim 为τ的秩，记作)(τrk ．定理2.1.1（秩与零度定理）若),(W V L ∈τ，则)(τrk +)(τnull =．)dim(V 证明 由于),(W V L ∈τ，故)ker(τ为的一个子空间．于是有补，满足．设是V c )ker(τc V )ker()ker(ττ⊕=Κ)ker(τ的基，C 是的基．由c )ker(τΦ=∩C K 及是V 的基，知．将C K ∪))dim(ker())dim(ker()dim(c V ττ+=]6[τ限制在上，记作．易证：是同构．c)ker(τc τc τ)()ker(ττim c →(1) 先证为单射：若，则．由是c τ∈v c )ker(τ0)(=v c τc ττ在)ker(τc 上的限制，故0)(=v τ（只将零向量映到零向量），则，进而c v )ker()ker(ττ∩∈0=v ． (2) 再证为满射：若c τ，)()(ττim v ∈则w u v +=，这里．故 cw u )ker(),ker(ττ∈∈)()()()(w u w u v ττττ+=+==，．)()(w w c ττ=)()(c im v ττ∈即，而是显然的．从而． ）（）（c im im ττ⊂)()(ττim im c ⊂)()(ττim im c=(3) 显然是线性的．故由(1)，(2)，(3) 可知是将映到c τc τc )ker(τ)(τim 的同构映射．即．有)()ker(ττim c ≅)()())(dim())dim(ker())dim(ker())dim(ker()dim(ττττττrk null im V c +=+=+=．证毕． 由秩与零度定理，可得如下定理．定理2.1.2 若),(W V L ∈τ，且∞<=)dim()dim(W V ，则下面三个条件等价：(i)τ为单射． (ii) τ为满射． （iii ）τ为双射．证明 由),(W V L ∈τ，故τ：是一个线性映射．不妨设． W V →n W V ==)dim()dim((i)(ii) 如果⇒τ为单射，则有)ker(τ=0，故0)0)dim(ker()(===ττnull ．据秩与零度定理得n n null V rk =−=−．即n rk im ==)())(dim(ττ．又)(τim 是W 的子空间，=0)()dim()(ττ故W im =)(τ．即τ为满射．(ii)(i) 如果⇒τ为满射，则W im =)(τ，有n rk im ===)dim()())(dim(τττ．据秩与零度定理得0)()dim()())dim(ker(=−=−==．得)ker(τ=0，即τ为单射．n n rk V null τττ(ii)(iii) 如果⇒τ为满射，则τ为单射，即τ为双射．(iii)(ii) 如果⇒τ为双射，则τ为满射是显然的．证毕．定理2.1.3 若是线性空间V 的一个子空间，是的补空间，则有S c S S c S S V ≅，．)dim()dim()dim(V S S c =+证明 由于V =+，故V 中的任何一个向量均可以唯一地写成．其中,．现定义线性算子S c S v c s s v +=S s ∈c c S s ∈ρ：V V → ．c s s +a c s (1) 这样定义的映射是合理的：任意V v ∈，v 可唯一写成．其中， c s s v +=S s ∈c c S s ∈．由于，故在c c s s s =+)(ρv ρ下有唯一象．c s (2) 及c S im =)(ρ}{}{S s S s s s s V s s c c c ==+∈===+∈+=0)0(0)()ker(ρρρ：：．由同构第一定理得：c S S V≅．由秩与零度定理得： )dim()dim()dim(V S S c =+．证毕．说明 这是高等代数线性空间理论中的一个定理，但是证明思路换了一个角度．2.2线性空间的同态定理在近世代数中曾经接触过群的同态基本定理和环的同态定理，与这些定理的证明类似，本节给出线性空间的同态定理．]7[定理2.2.1（线性空间的同态定理）若),(W V L ∈τ，)ker(τV 是V 模)ker(τ的商空间，则有)()ker(ττim V ≅．证明 由),(W V L ∈τ，故τ：是一个线性变换．我们定义一个映射W V →W V →)ker('ττ：)ker(τ+v a )(v τ．(1) 这样定义的映射是合理的：若V v u ∈,且)ker()ker(ττ+=+u v ，则)()(u v ττ=．即证若)ker(τ∈−v u ，则0=−）（v u τ．据核的定义即得． (2) 这样定义的'τ是单射：如果)ker()ker(ττ+≠+v u ，则)ker(τ∉−v u ．进而0)(≠−v u τ， 有0)()(≠−v u ττ，即)()(v u ττ≠．(3) 显然W V →)ker('ττ：是一个线性变换．)))ker(())ker((('τττ+++v s u r ))ker()(('ττ++=sv ru)(sv ru +=τ))()(v s u r ττ+=)ker((')))(ker(('ττττ+++=v s u r ．(4) 由秩与零度定理与'τ是单射知：)'())ker(dim()'())'(dim(ττττnull Vrk im −==))ker(dim(0))ker(dim(ττVV =−=．}{}{)()()ker()ker())ker((')'(τττττττim V v v Vv v im =∈=∈++=：：．故'τ为)ker(τV到)(τim 的满射．据（1），（2），（3），（4）知W V →)ker('ττ：是线性同构映射．故)()ker(ττim V ≅．证毕．说明 线性空间的同态定理又称为第一同构定理．2.3线性空间的同构定理定理2.3.1（第二同构定理）若V 是一个向量空间，为其两个子空间，则有T S ,TS STTS ∩≅+．证明 （1）首先证明和T S +S ∩T 均为V 的子空间．]8[不妨设V 是域F 上的向量空间．对任意''t s t s ++，∈T S +，F b a ∈,．其中S s s ∈',，．由与T 是V 的子空间，知T t t ∈',S S bs as ∈+'，．从而T bt at ∈+'T S bt at bs as +∈+++)'()'(．故+T 是V 的子空间．S 对任意，，有T S v u ∩∈,F b a ∈,T v u S v u ∈∈,,，．由与是V 的子空间，故S T au+, +bv ．从而bv ∈S au ∈T T S bv au ∩∈+．所以S ∩T 是V 的子空间．（2）现在定映射τ：TT S +→TS S∩，使得T S s T t s ∩，对任意，S s ∈T t ∈．+++a 由，则．即T t ∈T t =+T T S s T s ∩++a ：τ， 对任意S s ∈．(i) 首先τ是合理的：对任意TTS T s T s +∈+=+'，其中S s s ∈',．故，又T s s ∈−'S s s ∈−'，则有T S s T s ∩+=+)(τ，T S s T s ∩+=+')'(τ．故 T S s s ∩∈−'．即T S s ∩+＝．因此T S s ∩+')(T s +τ＝)'(T s +τ．(ii)再证τ是一个一一映射．①τ是一个单射：对任意T s T s +≠+'∈TTS +，其中S s s ∈',．有，故，也就是T s s ∉−'T S s s ∩∉−'T S s ∩+≠T S s ∩+'．即)(T s +τ≠)'(T s +τ．②τ是一个满射：对任意TS ST S s ∩∈∩+，其中S s ∈．则存在TTS T s +∈+，满足T S s T s ∩+=+)(τ．（iii ）不妨设V 是域F 上的线性空间．现在证明τ是一个线性映射：对任意，F s r ∈,TT+S T s T s ∈++21,，其中．则有21,s s S ∈=++=+++))(())()((2121T ss rs T s s T s r ττT S ss rs ∩++)(21=)()(21T S s s T S s r ∩++∩+=)()(21T s s T s r +++ττ综上，结论TS STTS ∩≅+成立．证毕．定理2.3.2（第三同构定理）若V 是一个向量空间，均为V 的子空间，则有V T S ⊂⊂TV STSV≅．分析 要证明这个定理成立，分为以下步骤： (1) 设S V V ST T ==____,，则__T 为的一个子空间；__V (2) 定义一个映射TVSV →：τ，证明τ是一个满线性映射且它的核为ST；(3) 根据第一同构定理即得结论． 证明 （1）由分析中知要证__T =ST是=__V SV的子空间．不妨设V 是域F 上的向量空间．如果∈++S S βα，__T =ST，其中βα,∈T ．对F b a ∈∀,，)(S a +α+=+)(S b β(βαb S a ()+++) (是V 的子空间，则S S S bS S aS ==,)． S b a ++=)(βα． (T 为W 的子空间，则T b a ∈+βα)．从而有S b a ++)(βα∈__T =ST，即__T =ST是=__V SV的子空间．(2) 下面证τ是满线性映射且核为ST．首先映射τ是合理的：若有SVS v S v ∈+=+21，其中V v v ∈21,．则．由，则．故有S v v ∈−21T S ⊂T v v ∈−21T v T v +=+21，即)()(21S v S v +=+ττ．其次τ是满射：任意TVT v ∈+，其中V v ∈． 存在SVS v ∈+，使得T v S v +=+)(τ．然后τ是一个线性映射：不妨设V 是域F 上的线性空间．对F s r ∈∀,，SV T v T v ∈++21，，其中．则21,v v V ∈))(())()((2121S sv rv S v s S v r ++=+++ττT sv rv ++=)(21)()(21T v s T v r +++= )()(21S v s S v r +++=ττ．即τ是一个线性映射．最后τ的核为ST ： }{}{S T T v S V S v T T v S v SVS v =∈∈+==+=+∈+=)()ker(ττ．根据同构第一定理TV STSV≅成立．证毕．3有限域上的线性子空间我们在这一章考虑：计算一给定维数的有限域上线性空间的特定维数的线性子空间的个数问题．令是有个元素的有限域，是域上的线性空间．如果给定，那么V 的维子空间的个数是多少，该如何去计算呢？q F q nq F V =q F n m ≤≤1m 定理3.1 若是域上的线性空间，则V 有个向量．nq F V =q F nq 证明 不妨设}{n ααα,,,21⋅⋅⋅是V 的一组基，对V v ∈∀，有n n a a a v ααα⋅⋅⋅++=2211，其中q i F a ∈．每个的取法有q 种，故的取法有种．即V 有个向量．证毕．i a v n q n q ]9[问题 中线性无关的向量组V }{m v v v ,,,21⋅⋅⋅有多少个？}计算方法 计算V 中线性无关的向量组{m v v v ,,,21⋅⋅⋅有多少个，可应用排列组合的思想．即先确定的取法有种，然后再确定的取法有种．依次类推，最后计算的取法个数有种．则中有线性无关的向量组的个数为1v 1n 2v 2n m v m n V }{v ,1m v v ,,2⋅⋅⋅m n n n ⋅⋅⋅21．定理3.2 中线性无关的向量组V }{m v v v ,,,21⋅⋅⋅有个．）（）（1)1(−−⋅⋅⋅−−m nnnqq q q q 证明 由是线性无关的向量组中的向量，故是一非零向量．即的取法有种．在取定后，可取V 中任何一个与线性无关的向量．若与线性相关，则存在1v 1v 1v 1−nq 1v 2v 1v 2v 1v ，，011≠∈r F r q 使得．由的取法有种，知与线性相关的向量的个数为个．故的取法有种．在与取定后，可以取V 中任何一个与线性无关的向量．若与线性相关，则存在或，使得112v r v =1r q 1v q ]10[2v qq n−1v 2v 3v 21,v v 3v 21,v v 0,121≠∈r F r r q ，02≠r 22113v r v r v +=．从而与线性相关的向量的个数为个．故的取法有种．21,v v 2q 3v 2q q n −依次类推，一旦,,确定，则可以是V 中任何一个与,,线性无关的向量．但,,是线性无关的，则的取法有种．因此V 中线性无关的向量组有个．证毕． 1v 2v 1,−⋅⋅⋅m v m v 1v 2v 1,−⋅⋅⋅m v 1v 2v 1,−⋅⋅⋅m v m v 1−−m nq q}{m v v v ,,,21⋅⋅⋅）（）（1)1(−−⋅⋅⋅−−m n n n q q q q q 注 特别地，任意维子空间W ，中线性无关的向量组有个．m W }{m u u u ,,,21⋅⋅⋅）（）（1)1(−−⋅⋅⋅−−m m m m q q q q q 最后给出本章主要的定理．定理3.3 的维子空间的个数为V m )1()1)(1()1()1)(1()())(1()())(1(11111−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−=−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−−+−−−−q q q q q q q q q q q q q q q q m m m n n n m m m m m n n n ． 证明 设V 有t 个m 维子空间．不妨设为t W W W ,,,21⋅⋅⋅．据“两个有限维线性空间同构的充要条件是它们的维数相同”，得．其中]11[j i W W ≅=j i ,1,2,t ,⋅⋅⋅．若取中的一个线性无关的向量组，则存在一个线性同构映射和线性子空间．根据同构映射的性质，知这个线性无关的向量组在i W j W线性映射下的象仍然是线性无关的．由上面分析知：中线性无关向量组i W }{mi i i w w w ,,,21⋅⋅⋅的个数必然和中线性无关向量组j W }{mj j jw w w,,,21⋅⋅⋅的个数相同．在维数是的线性子空间中，任何一组由m 个向量组成的线性无关向量组必然生成．m i W }{mi i i w w w ,,,21⋅⋅⋅i W 故可把V 中线性无关的向量组进行分类，则一共有t 类．每一类中共有＝个线性无关的个向量组成的线性无关组．在每一类中，任意取一个由个向量组成的线性无关组i W )()−q )(1(1−−⋅⋅⋅−m m m m q q q q 2A m i W m }{mi i i w w w ,,,21⋅⋅⋅，由这一组向量生成的线性空间即是（的维数是）．如果把这些所有类中的线性无关组全部取出，加起来的个数之和即为V 中的线性无关的向量组的个数＝．i W i W m )())(1(1−−⋅⋅⋅−−m nnnqq q q q 1A 我们可以很容易得出V 的维子空间的个数m t 满足：2A t ＝，也就是说V 的维子空间的个数为1A m )1()1)(1()1()1)(1()())(1()())(1(11111−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−=−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−=−+−−−−q q q q q q q q q q q q q q q q t m m m n n n m m m m m n n n ．证毕． 4线性空间的-结构q F 线性空间有两个要素：系数域和向量集合V ．对一个给定的维向量空间V ，能否通过用扩大系数域的方法，只研究V 的一个特定的子空间来达到研究V 的目的呢？为此我们引入线性空间-结构的定义．表示有个元素的有限域，其中为素数的方幂．是的代数闭域．F n F 0V q F q F q q __q F K =q F 定义4.1(-结构)一个代数闭域qF ]13[K 上的线性空间的-结构是：一个V 的-子空间，满足标准同态是一个同构．其中q F q F 0V V K V q F →⊗0⊗表示上的张量积．我们通常记V 为． q F K V q F ⊗0定义4.2(Frobenius 映射)映射称为Frobenius 映射，如果映射 满足：]12[F V V F →：（a ），对所有的)()(v F v F qλλ=V v ∈且K ∈λ； （b ）对任意的，存在某一个使得． V v ∈1≥n v v F n=)(下面将给出这一章的主要定理．定理4.1(-结构的存在性定理)q F K -空间V 有一个-结构当且仅当存在一个Frobenius 映q F 0V射，使得0V ＝}{v v F V v V F =∈=)(：． 证明 必要性：若V 有一个-结构，则V ＝q F 0V K V q F ⊗0．现在定义映射 ， 亦即 V V F →：K V K V F q q F F ⊗→⊗00：λ⊗v ． q v λ⊗a λ⊗v ．q v λ⊗a 其中Ｋ，∈∈λ0V v ． 则有)()()(v F v v v F v F q q ==⊗=⊗=λλλλ．其中．即（a ）成立．现在对任意V 中元，有0V v ∈v i iivv λ⊗=∑，m i ,,2,1⋅⋅⋅= ．可得∑∑∑⊗=⊗=⊗=iqi i ii i i ii v v F v F v F λλλ)()()(．由于Ｋ∈i λ，从而i λ必是某一有限域中的元素，并且这一有限域是的扩域．则对每一个q F i λ，都存在一个，使得．取i n i q i in λλ=}{m n n n n ,,,max 1⋅⋅⋅=２，可得对任意i λ，有成立．也就是存在，使得i q inλλ=n v v v v F i ii q iii nn=⊗=⊗=∑∑λλ)(．即（b ）成立．充分性：设是一个-结构，满足条件（a ）和（b ）且令＝．如果是上的线性无关元，我们断言它们在V V F →：q F 0V F V 021,,,V v v v n ∈⋅⋅⋅q F K 上仍线性无关：否则，设021,,,V v v v n ∈⋅⋅⋅是上的线性无关元，它们在q F K 上是线性相关的．设是满足这样的向量组的最小的向量个数(最小数原理)．即有不全为零的，使得n K a i ∈01=∑=n i i i v a ．)1.2.4(不妨设（如果11=a 11≠a 并且．由01≠a K 是域，则可以把转化成1．若，则可以适当地调换的位置，使得的左边求和中第一个系数不为零）．对式两边作用1a 01=a i a )1.2.4()1.2.4(F ，就有 )()()(111i ni qi i i n i n i i i v F a v a F v a F ∑∑∑=====．由，有．我们可以得到0V v i ∈i i v v F =)(i ni i qi i n i qi i i n i n i i i v a v F a v a F v a F ∑∑∑∑========1111)()()(．)2.2.4(用式减去式，可得)2.2.4()1.2.4(0)(2=−∑=ni i i qi v a a ．我们知道为i q i a a −K 中元，是不全为零的．否则，对所有的n i ≤≤2，有，即有得出．这将与0=−i q i a a i qi a a =q i F a ∈K a i ∈矛盾．故不全为零．从而我们有i qi a a −02,,V v v n ∈⋅⋅⋅是上的线性无关元，但在q F K 上是线性相关的，而此时的向量个数为1−n ．这与我们对的取法矛盾．因此自然映射是一个单射．n K V q F ⊗0V →为证明结论成立，须证这个映射为满射．即V 是由的固定点集生成的．条件（b ）说明对任意，有v 是有限维稳定子空间的元素．现在假设V 是有限维的．F 0V V v ∈F 对V 的维数用数学归纳法来讨论生成V ．设V 是域0V K 上的线性空间．若＝1，令，则，对某一非零元)dim(V V v ∈≠0av v F =)(K a ∈．若对任意K b ∈，取，有q b a −=1bv v b b av b v F b bv F q q q q ====−1)()(．此时有V 是生成的．0V 现在假设V 有一个非空-稳定的真子空间W ．设F n m W <=dim ，W 有基．根据据归纳法，}{m w w w ,,,21⋅⋅⋅W V存在被固定的非零向量F W v +．不妨设存在K 上的元，使得i a ∑+=+i i i w a v W v ．)3.2.4(由于在的作用下保持不动，因此有W v +F W v W v F W F v F W v F +=+=+=+)()()()(．)4.2.4(根据和，得)2.2.4()4.2.4(∑=−i i i w a v v F )(．对．对任意，存在m i ≤≤1K a i ∈K b i ∈，使得．定义且．则qi i i b b a −=∑∈+=i iiVw b v v 0'：''Kv W W +=： '')(v v F −)()(ii iii iw b v w b v F ∑∑+−+=)()]()([ii iii iw b v w b F v F ∑∑+−+=))(())((i i i i i qi w b w F b v v F ∑∑−+−=i i qi i w b b v v F ∑−−−=)())((i i i w a v v F ∑−−=))(( 0=−=∑∑i i i i i i w a w a ．即．故是由生成的'')(v v F =''Kv W W +=：F W W '0'=1+m 维子空间．归纳地我们可以得V 是由生成的．0V 最后证明V 上任何非空真子空间W ，W 不是的稳定子空间．如果，则V 是由生成的．设F V v ∈≠0⋅⋅⋅),(),(,2v F v F v n V =)dim(，由是一个单射，则是F )(,),(),(,12v F v F v F v n −⋅⋅⋅K -线性无关的 ，因而∑−==1)()(n i ii n v F a v F ， K a a a n ∈⋅⋅⋅−110,,,且00≠a ． 则当且仅当010)(V v F b n i i i ∈∑−= ．i qn qi i a b b b 11−−−=)5.2.4(对，其中．即n i ≤≤101=−：b ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=⋅⋅⋅−=−=−=−−−−−−−112121121101010n qn q nn qn q qn q qna b b b a b b b a b b b a b b ')5.2.4(在中消去，得出一个关于的次数为的可分多项式方程．用这种方法，可被逆推解出．')5.2.4(210,,,−⋅⋅⋅n b b b 1−n b 1−n q)5.2.4(110,,,−⋅⋅⋅n b b b 且01≠−n b ，从而00≠V ．由于在中有q 组解，故．证毕．)5.2.4(q F 1=n 注 一个V 上的-结构等价于一个Frobenius 映射的存在性．从证明过程来看，若是一个Frobenius 映射，则存在一组V 中的基q F V V F →：}{i v 满足∑∑=ipi iii v v F λλ)(．定义4.3 设V 和W 是两个K -线性空间．一个上的线性同构称为一个q -扭转映射，如果，对所有的q F W V F →：)()=(v F v F qλλK V v ∈∈λ且．由上面定理的证明可得出如下推论．推论 令V 是一个有限维K -空间，则一个映射是一个Frobenius 映射当且仅当是一个-扭转映射．V V F V →：V F q 定理4.2（-结构的唯一性）若和是q F F 'F K -空间V 上的两个Frobenius 映射，则是1'−F F o K -线性的．更进一步，如果V 是有限维的，则存在一个正整数，满足n n nF F'=．证明 第一步的证明是显然的．令V 是有限维的且，则． l V K =)(dim l V V FF F F q q ==)(dim )(dim '取，，且}{l F v v v V ,,,21⋅⋅⋅的基}{l F w w w V ,,,'21⋅⋅⋅的基ii ijj v x w ∑=．其中．令满足所有的在中，则．可容易验证在上有，因此在V 上有．证毕．K xij∈1≥n ij x n q F n q n q n q F F q F F q F V F V F V ⊗=⊗=')(：)(n q F V n n F F '=n n F F '=参考文献[1] 邓春红，唐建国．由给定的子空间构造新的子空间．数学理论与应用[J]．辽宁师专学报：自然科学版，2003年，23卷，２期：53～55[2] 杨闻起，金志英．线性空间的极大子空间[J]．宝鸡文学院学报：自然科学版，2001年，21卷，4期：265～267[3] 万哲先．有限域上典型群的几何学[M]．第二版．北京：科学出版社，1993．95～97[4] 丘维声．高等代数[M]．第二版．北京：高等教育出版社，2003．102～103[5] 潘仲等．高等代数与几何[M]．西安交通大学出版社，1999．200～201[6] 龚升．线性代数五讲[M]．北京：科学出版社，2005． 50～55[7] （苏）阿伊柯斯特利金．代数学引论[M]．张顺燕．北京：高等教育出版社，1988．86～88[8] 许以超．线性代数与矩阵论[M]．北京：高等教育出版社，1992． 120～122[9] 韩士安，林磊．近世代数[M]. 北京：科学出版社，2004． 110～112[10] 孟道骥．高等代数与解析几何[M]． 第二版（上册）．北京：科学出版社，2004．95～97[11] 王萼芳, 石生明. 高等代数[M]. 第三版. 北京：高等教育出版社，2003．134～136[12] Strang G.，Linear Algebra[M]． Academic Press，1976． 126～128[13] Gilbert J.and Gilbert L.，Linear Algebra and Matrix Theory[M]．Academic Press,San Diego，1995．301～303。

线性空间与子空间的定义与性质线性空间是线性代数中的基本概念之一，它是由一组元素及其对应的运算所构成的数学结构。

本文将介绍线性空间的定义和性质，并讨论其子空间的特点。

一、线性空间的定义线性空间也称为向量空间，它由定义在一个域上的元素所组成，这些元素称为向量。

一个线性空间必须满足以下条件：1. 封闭性：对于任意向量a和b，其线性组合a+b也是线性空间中的向量。

2. 可加性：对于任意向量a、b和c，满足(a+b)+c = a+(b+c)的结合律。

3. 零向量：存在一个零向量0，使得对于任意向量a，有a+0=a。

4. 负向量：对于每个向量a，存在一个负向量-b，使得a+b=0。

5. 数乘性：对于任意向量a和标量k，其标量倍数ka也是线性空间中的向量。

6. 数乘分法：对于任意标量k和l，以及向量a，满足(kl)a=k(la)的结合律。

7. 数乘加法混合性：对于任意向量a和标量k、l，满足(k+l)a=ka+la 的分配律。

8. 数加分法混合性：对于任意向量a、b和标量k，满足k(a+b)=ka+kb的分配律。

二、线性子空间的定义线性子空间是指线性空间中的一个子集，它也是一个线性空间。

对于给定的线性空间V，如果集合W是V的子集，并且满足以下条件：1. 零向量：零向量0属于W。

2. 封闭性：对于任意向量a和b，若a和b都属于W，则其线性组合a+b也属于W。

3. 数乘性：对于任意向量a和标量k，若a属于W，则其标量倍数ka也属于W。

三、子空间的性质线性子空间具有如下性质：1. 非空性：线性子空间不能是空集。

2. 零向量唯一性：线性子空间中的零向量是唯一的。

3. 维数性质：设V是一个线性空间，W是V的一个有限维子空间，如果W的一组基包含n个向量，则W的任意一组线性无关的向量组也包含不超过n个向量。

4. 直和性质：设V是一个线性空间，W是V的一个子空间。

如果存在一个子空间U，使得V是U和W的直和，即任意向量v∈V都可以唯一地表示成v=u+w，其中u∈U，w∈W，则称V是子空间U和W 的直和。

线性子空间知识点线性代数是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括数学、物理、计算机科学等等。

其中，线性子空间是线性代数中的一个重要概念，本文将逐步介绍线性子空间的相关知识点。

1.什么是线性子空间？在了解线性子空间之前，我们首先要明白什么是向量空间。

向量空间是一个满足一系列特定条件的集合，其中包含了一些特殊的向量，可以进行向量的加法和标量乘法运算。

而线性子空间就是向量空间中的一个子集，满足向量加法和标量乘法运算的封闭性。

2.线性子空间的特点线性子空间具有以下几个特点：•包含零向量：线性子空间必须包含零向量，即加法单位元素。

•封闭性：线性子空间对于向量的加法和标量乘法运算都是封闭的，即对于任意属于线性子空间的向量，进行这两种运算后得到的向量仍然属于该线性子空间。

•相对于向量空间的操作：线性子空间是向量空间的一个子集，因此线性子空间遵循向量空间的所有运算规则和性质。

3.线性子空间的例子现在我们通过几个具体的例子来更好地理解线性子空间的概念。

例子1：考虑三维空间中的一个平面P，该平面上的所有向量构成了一个线性子空间。

这个线性子空间满足加法和标量乘法运算的封闭性，包含零向量，并且相对于三维空间的操作遵循向量加法和标量乘法的规则。

例子2：在n维空间中，所有分量为零的向量构成了一个线性子空间，也就是零子空间。

这个线性子空间是向量空间的一个子集，满足线性子空间的所有特点。

4.线性子空间的基与维数对于一个线性子空间来说，它可以由一个或多个向量张成。

我们将这些向量称为线性子空间的基。

一个线性子空间的基向量要满足以下两个条件：•线性无关：基向量之间不能通过线性组合得到零向量。

•极大线性无关组：如果再添加任意一个向量进来，就会导致线性相关。

而线性子空间的维数则是由基向量的个数决定的。

维数是线性子空间的一个重要概念，可以用来描述线性子空间的大小和维度。

5.线性子空间的运算线性子空间之间可以进行加法和标量乘法运算。

线性空间和子空间线性空间是线性代数中的重要概念，它是指一个集合，在这个集合中定义了向量的相加和数乘两种运算，并且满足了一系列的性质。

而子空间是线性空间的一个重要概念，它是指线性空间中的一个子集，同时也是一个线性空间。

一、线性空间的定义和性质线性空间是指一个空间，其中的元素可以进行向量的相加和数与向量的乘法运算。

它的定义如下：定义：设V是一个非空集合，如果在V中定义了两种运算：向量的相加和数与向量的乘法，使得V满足以下性质：1. 向量加法运算：对于任意的u、v∈V，有u+v也属于V，并且满足交换律，即u+v=v+u。

2. 数与向量的乘法：对于任意的k∈R（实数域）和v∈V，有kv 也属于V，并且满足分配律，即k(u+v)=ku+kv。

3. 存在零向量：存在一个元素0∈V，使得对于任意的v∈V，有v+0=v。

4. 对于任意的v∈V，存在一个元素w∈V，使得v+w=0。

根据以上的定义，线性空间V满足了一系列的性质，如交换律、结合律、分配律等。

在实际应用中，线性空间可以是多维的，例如欧几里得空间、函数空间、向量空间等。

二、子空间的定义和判定子空间是线性空间的一个重要概念，它是指线性空间V的一个子集U，同时也是一个线性空间。

子空间的定义如下：定义：设V是一个线性空间，U是V的一个子集。

如果U本身也是一个线性空间，那么U称为V的子空间。

判定一个集合是否是线性空间的子空间，可以通过以下三个步骤进行：1. 非空性：子空间U必须是非空的，即U中必须至少有一个元素。

2. 加法封闭性：对于任意的u、v∈U，必须有u+v∈U，即子空间U在向量的相加运算下封闭。

3. 数乘封闭性：对于任意的k∈R（实数域）和u∈U，必须有ku∈U，即子空间U在数与向量的乘法运算下封闭。

通过以上的判定方法，可以得出一个集合是否是线性空间的子空间。

三、子空间的例子1. 平面空间：设V是三维向量空间，平面P是其中一个过原点的平面。

则平面P是V的一个子空间。