初中数学江苏省丹阳市九年级数学10月月考考试题

苏教版九年级数学上册10月份月考测试卷本卷满分 130分 ， 用时 120 分钟 一．选择题（每题3分，共24分）1．式子1x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ( ) A ．x ＜1 B.x≤1 C. x＞1 D.x ≥12. 用配方法解关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0，配方后的方程可以是 ( ) A ．（x ﹣1）2=4 B ．（x+1）2=4 C ．（x ﹣1）2=16 D ．（x+1）2=163、 若方程()a x =-24有解，则a 的取值范围是 （ ）A ．0≤aB ．0≥aC ．0>aD ．无法确定4．下列说法中，不正确的是 ( ) A.直径是弦， 弦是直径 B.半圆周是弧C.圆上的点到圆心的距离都相等D.在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长5.为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要投入教育经费3600万元，已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，该增长率为 ( )A. 10%B.20 %C. 30%D.40%6. 如图1，△ABC 是⊙O的内接三角形，AC 是⊙O的直径，∠C=500，∠ABC的平分线BD 交⊙O于点D ，则∠BAD的度数是 ( )A.450B.850C.900D.9507、设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根, 则22a a b ++的值为 （ ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．20098.关于x 的方程a (x ＋m )2＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程 0)2(2=+++b m x a 解是 ( )A ．－2或1B ．－4或－1C ．1或3D ．无法求解(图1） (图2）二．填空题（本大题共有10小题，每空2分，共22分）9．在实数范围内分解因式：2a 2－6＝ . 10．64的算术平方根是 . 已知0xy >， 2yx x-= 11.如果关于x 的方程(m －3)x m 2－2m －1＋mx ＋1＝0是一元二次方程，则m 为 =12.对相等的两个实数a 、b ，定义运算※如下：a ※b =, 如3※2= , 那么8※12= ．13.若x 、y 为实数，且满足|x －3|＋y ＋3＝0，则(x y)2012的值是 .14． 若关于x 的方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．15．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简 22)1(a a +-＝ .16.如图2,在⊙O 中,直径AB⊥弦CD 于点M,AM=18,BM=8,则CD 的长为________.17.等腰三角形一边长是3，另两边长是方程的0452=+-x x 根，则这个三角形的周长为 。

苏教版九年级数学上册10月月考测试卷一．选择题（本大题共有８小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题纸相应位置上）1.若关于x 的一元二次方程的两个根为11x =，22x =，则这个方程是 （ ）A.2320x x +-=B.2320x x -+=C.2230x x -+=D.2320x x ++=2．在统计中，样本的方差可以反映这组数据的 （ ） A ．平均状态 B ．分布规律 C ．离散程度 D ．数值大小 3.已知⊙O 的半径是6cm ，点O 到同一平面内直线L 的距离为5cm ，则直线L 与⊙O 的位置关系是 （ ）A.相交B.相切C.相离D.无法判断 4.如图，在⊙O 中，∠ABC=52°，则∠AOC 等于 （ ） A.52° B.80° C.90° D. 104°5．甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经过计算：甲、乙射击成绩的平均数都是8环，甲的方差是 1.2,乙的方差是1.8．下列说法中不一定正确的是 （ ） A ．甲、乙射中的总环数相同 B ．甲的成绩稳定C ．乙的成绩波动较大D ．甲、乙的众数相同 6. 以2、4为两边长的三角形的第三边长是方程01072=+-x x 的根，则这个三角形的周长为 （ ） A. 8 B.11 C. 11或8 D.以上都不对 7.如果关于x 的方程22(21)10k x k x -++=有实数根，那么k 的取值范围是 （ ）A.14k ≥-B.k ＞14-且0k ≠C.k ＜14- D.14k ≥-且0k ≠8.在平面直角坐标系xoy 中，直线经过点A （－3，0），点B （0，3），点P 的坐标为（1，0），⊙P 与y 轴相切于点O ，若将⊙P 沿x 轴向左平移，平移后得到（点P 的对应点为点P ′）⊙P ′，当⊙P ′与直线相交时，横坐标为整数的点P ′共有 （ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题纸相应位置上） 9.方程042=-x x 的解是 （ （10.若一元二次方程0892=+-x kx 的一个根为1，则k= ， 11．数据-5，6，4，0，1，7，5的极差为 （__ 12．数据11、12、13、14、15的方差是13.请给C 一个值，C= 时，方程x 2 -3x+C=0无实数根。

名思教育集团暑期内部测试九年级数学试卷(本试卷共150分考试时间120分钟考试形式：闭卷)一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．3（x+1）2=2（x+1） B．C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣12．方程x2=9的解是（）A．x1=x2=3 B．x1=x2=9 C．x1=3，x2=﹣3 D．x1=9，x2=﹣93．如图，已知A，B，C为⊙O上三点，若∠AOB=80°，则∠ACB度数为（）A．80°B．70°C．60°D．40°4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则以A，B，C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3） B．（3，2） C．（3，1） D．（1，3）5．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC 并延长交AE于点D．若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．20°6．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A．AD=BD B．OC=2CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）7．一元二次方程x2﹣2x=0的解为．8．关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是．9．当x=时，代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2．10．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA=cm．11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB=cm时，BC与⊙A相切．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为°．13．已知⊙O的半径为2，则其内接正三角形的面积为．14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是．15．如图，将长为10cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形= cm2．16．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k ≠0）的图象经过圆心P，则k=．三、解答题（本大题共11小题，共102分）17．解下列方程：（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（2）x2﹣5x+1=0（用配方法）．18．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．19．已知某等腰三角形的腰和底分别是一元二次方程x2﹣6x+5=0的两根，求此三角形的周长．20．已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．21．如图，要建一个面积为45m2的长方形养鸡场（分为两片），养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙，另几条边用总长为22m的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽1m的门、求这个养鸡场的长与宽．22．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．（1）求∠DOA的度数；（2）求证：直线ED与⊙O相切．23．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，求圆片的半径R．24．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠C=22.5°，求阴影部分的面积．25．已知⊙O的直径AB的长为4cm，C是⊙O上一点，∠BAC=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，求CP的长．26．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．27．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别与EF，GF 交于I，H两点．（1）求∠FDE的度数；（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；（3）当G为线段DC的中点时，①求证：FD=FI；②设AC=2m，BD=2n，求m：n的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．3（x+1）2=2（x+1） B．C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1【考点】A1：一元二次方程的定义．【分析】一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．（4）二次项系数不为0．【解答】解：A、3（x+1）2=2（x+1）化简得3x2+4x﹣4=0，是一元二次方程，故正确；B、方程不是整式方程，故错误；C、若a=0，则就不是一元二次方程，故错误；D、是一元一次方程，故错误．故选：A．2．方程x2=9的解是（）A．x1=x2=3 B．x1=x2=9 C．x1=3，x2=﹣3 D．x1=9，x2=﹣9【考点】A5：解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】利用直接开平方法求解即可．【解答】解：x2=9，两边开平方，得x1=3，x2=﹣3．故选C．3．如图，已知A，B，C为⊙O上三点，若∠AOB=80°，则∠ACB度数为（）A．80°B．70°C．60°D．40°【考点】M5：圆周角定理．【分析】根据圆周角定理得出∠ACB=∠AOB，代入求出即可．【解答】解：∵∠AOB=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°，故选D．4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则以A，B，C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3） B．（3，2） C．（3，1） D．（1，3）【考点】MA：三角形的外接圆与外心；D5：坐标与图形性质．【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．【解答】解：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．故选C．5．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC 并延长交AE于点D．若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．20°【考点】MC：切线的性质．【分析】由AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，推出AD⊥AB，∠DAC=∠B=∠AOC=40°，推出∠AOD=50°．【解答】解：∵AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，∴∠BAD=90°，∵∠B=∠AOC=40°，∴∠ADB=90°﹣∠B=50°，故选B．6．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A．AD=BD B．OC=2CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB【考点】M2：垂径定理；L9：菱形的判定．【分析】利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．【解答】解：OC=2CD．理由如下：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD=DB，∵OC=2CD，∴AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，∴四边形OACB为菱形．故选B．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）7．一元二次方程x2﹣2x=0的解为x1=0，x2=2．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：x（x﹣2）=0，可得x=0或x﹣2=0，解得：x1=0，x2=2．故答案为：x1=0，x2=28．关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是k≥﹣6．【考点】AA：根的判别式；85：一元一次方程的解．【分析】由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．【解答】解：当k=0时，﹣4x﹣=0，解得x=﹣，当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣=0是一元二次方程，根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6，k≠0，综上k≥﹣6，故答案为k≥﹣6．9．当x=﹣1时，代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2．【考点】A5：解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2，即将两式相减值为2，即可得到关于x的方程，解方程可得出答案．【解答】解：由题意得：x2﹣3x﹣（2x2﹣x﹣1）=2∴可得：﹣x2﹣2x﹣1=0∴（x+1）2=0，故x=﹣1．10．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA=5cm．【考点】MG：切线长定理．【分析】由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解．【解答】解：如图，设DC与⊙O的切点为E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA=PB；同理，可得：DE=DA，CE=CB；则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；∴PA=PB=5cm，故答案为：5．11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB=6cm时，BC与⊙A相切．【考点】MD：切线的判定．【分析】当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．∵AB=AC，∠B=30°，∴AD=AB，即AB=2AD．又∵BC与⊙A相切，∴AD就是圆A的半径，∴AD=3cm，则AB=2AD=6cm．故答案是：6．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为80°．【考点】MI：三角形的内切圆与内心．【分析】连接DO，FO，利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=90°，再利用三角形内角和以及四边形内角和定理求出∠DOF的度数，进而利用圆周角定理得出∠DEF的度数．【解答】解：连接DO，FO，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°∴∠A=20°，∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∴∠ODA=∠OFA=90°，∴∠DOF=160°，∴∠DEF的度数为80°．13．已知⊙O的半径为2，则其内接正三角形的面积为3．【考点】MM：正多边形和圆．【分析】连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB=90°，BD=CD，∠OBC=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OD，由勾股定理求出BD，得出BC，根据△ABC的面积=3S△OBC计算即可．【解答】解：如图所示，连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB=90°，BD=CD，∠OBC=30°，∴OD=OB=1，∴BD==，∴BC=2BD=2，=3××BC×OD=3××2×1=3．∴△ABC的面积=3S△OBC14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是3＜r＜5．【考点】M8：点与圆的位置关系．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，则BD==5．由图可知3＜r＜5．故答案为：3＜r＜5．15．如图，将长为10cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形= 6cm2．【考点】MO：扇形面积的计算．lr 【分析】扇形的周长等于AB的长，AB得长﹣2r求得扇形的弧长，再根据S扇形=计算即可．【解答】解：l+4=10，l=6，S扇形=lr=×6×2=6，故答案为6．16．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k ≠0）的图象经过圆心P，则k=﹣5．【考点】MC：切线的性质；F8：一次函数图象上点的坐标特征；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r，AD=AE，再利用勾股定理计算出OB=6，则可判断△OBC为等腰直角三角形，从而得到△PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r，AE=AD=2+r，通过证明△ACH∽△ABO，利用相似比计算出CH=，接着利用勾股定理计算出AH=，所以BH=10﹣=，然后证明△BEP∽△BHC，利用相似比得到即=，解得r=1，从而易得P点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值．【解答】解：作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，∵⊙P与边AB，AO都相切，∴PD=PE=r，AD=AE，在Rt△OAB中，∵OA=8，AB=10，∴OB==6，∵AC=2，∴OC=6，∴△OBC为等腰直角三角形，∴△PCD为等腰直角三角形，∴PD=CD=r，∴AE=AD=2+r，∵∠CAH=∠BAO，∴△ACH∽△ABO，∴=，即=，解得CH=，∴AH===，∴BH=10﹣=，∵PE∥CH，∴△BEP∽△BHC，∴=，即=，解得r=1，∴OD=OC﹣CD=6﹣1=5，∴P（5，﹣1），∴k=5×（﹣1）=﹣5．故答案为﹣5．三、解答题（本大题共11小题，共102分）17．解下列方程：（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（2）x2﹣5x+1=0（用配方法）．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；A6：解一元二次方程﹣配方法．【分析】（1）因式分解法求解可得；（2）配方法求解可得．【解答】解：（1）∵3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，∴（x﹣2）[3（x﹣2）﹣x]=0，即（x﹣2）（2x﹣6）=0，则x﹣2=0或2x﹣6=0，解得：x=2或x=3；（2）∵x2﹣5x=﹣1，∴x2﹣5x+=﹣1+，即（x﹣）2=，则x﹣=±，∴x=．18．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【考点】AA：根的判别式；A3：一元二次方程的解；AB：根与系数的关系．【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．【解答】解：（1）∵b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．19．已知某等腰三角形的腰和底分别是一元二次方程x2﹣6x+5=0的两根，求此三角形的周长．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质．【分析】利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=5，利用三角形三边的关系得等腰三角形的腰为5，底为1，然后计算三角形的周长．【解答】解：（x﹣1）（x﹣5）=0，x﹣1=0或x﹣5=0，所以x1=1，x2=5，因为1+1=2＜5，所以等腰三角形的腰为5，底为1，所以三角形的周长为5+5+1=11．20．已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．【考点】M6：圆内接四边形的性质；KI：等腰三角形的判定．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A=∠BCE，根据等腰三角形的判定和性质定理证明．【解答】证明：∵A，B，C，D是⊙O上的四点，∴∠A=∠BCE，∵BC=BE，∴∠E=∠BCE，∴∠A=∠E，∴DA=DE，即△ADE是等腰三角形．21．如图，要建一个面积为45m2的长方形养鸡场（分为两片），养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙，另几条边用总长为22m的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽1m的门、求这个养鸡场的长与宽．【考点】&E：二元二次方程组．【分析】设鸡场的长为xm，宽为ym，根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．【解答】解：设鸡场的长为xm，宽为ym，由题意可得：，且x＜14，解得y=3或5；当y=3，x=15；∵x＜14，∴不合题意，舍去；当y=5时，x=9，经检验符合题意．答：这个养鸡场的长为9m，宽为5m．22．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．（1）求∠DOA的度数；（2）求证：直线ED与⊙O相切．【考点】MD：切线的判定．【分析】（1）根据圆周角定理即可得到结论；（2）连接OE，通过△EAO≌△EDO，即可得到∠EDO=90°，于是得到结论．【解答】（1）解；∵∠DBA=50°，∴∠DOA=2∠DBA=100°，（2）证明：连接OE．在△EAO与△EDO中，，∴△EAO≌△EDO，∴∠EDO=∠EAO，∵∠BAC=90°，∴∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切．23．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，求圆片的半径R．【考点】M3：垂径定理的应用；KH：等腰三角形的性质．【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；（2）构建直角△BOE，利用勾股定理列方程可得结论．【解答】解：（1）作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；（2）连接AO、BO，AO交BC于E，∵AB=AC，∴AE⊥BC，∴BE=BC=×8=4，在Rt△ABE中，AE===3，设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中，OB2=BE2+OE2，即R2=42+（R﹣3）2，R=，答：圆片的半径R为cm．24．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠C=22.5°，求阴影部分的面积．【考点】MC：切线的性质；KH：等腰三角形的性质；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）连接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代换得∠ODB=∠ACB，利用平行线的判定得OD∥AC，由切线的性质得DF⊥OD，得出结论；（2）连接OE，利用（1）的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．【解答】解：（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O的半径为4，=4π，S△AOE=8 ，∴S扇形AOE8．∴S阴影=4π﹣25．已知⊙O的直径AB的长为4cm，C是⊙O上一点，∠BAC=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，求CP的长．【考点】MC：切线的性质．【分析】连接OC，即可求得∠P=30°，从而求得OP的长，再根据勾股定理即可求CP的长．【解答】解：连接OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO=30°，∴∠COB=60°，∵PC是切线，∴OC⊥PC，∴∠P=30°，∴OP=2OC=4cm，∴CP==2．26．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：等边三角形；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．【考点】M5：圆周角定理；KD：全等三角形的判定与性质；KM：等边三角形的判定与性质；M2：垂径定理．【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得；（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积．【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD=AP，如图1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．=AB•PE，S△ABC=AB•CF，∵S△APB=AB•（PE+CF），∴S四边形APBC当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=，=×2×=．∴S四边形APBC27．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别与EF，GF 交于I，H两点．（1）求∠FDE的度数；（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；（3）当G为线段DC的中点时，①求证：FD=FI；②设AC=2m，BD=2n，求m：n的值．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠FDE的度数；（2）利用平行四边形的判定方法，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；（3）①利用圆周角定理可得出∠1=∠2，进而得到∠3=∠4，即可得出答案；②利用菱形的性质以及平行四边形的性质得出EF=FI+IE=FD+AE=3m，进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：（1）∵EF是⊙O的直径，∴∠FDE=90°；（2）四边形FACD是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴∠AEB=90°．又∵∠FDE=90°，∴∠AEB=∠FDE，∴AC∥DF，∴四边形FACD是平行四边形；（3）①连接GE，如图．∵四边形ABCD是菱形，∴点E为AC中点．∵G为线段DC的中点，∴GE∥DA，∴∠FHI=∠FGE．∵EF是⊙O的直径，∴∠FGE=90°，∴∠FHI=90°．∵∠DEC=∠AEB=90°，G为线段DC的中点，∴DG=GE，∴=，∴∠1=∠2．∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，∴∠3=∠4，∴FD=FI；②∵AC∥DF，∴∠3=∠6．∵∠4=∠5，∠3=∠4，∴∠5=∠6，∴EI=EA．∵四边形ABCD是菱形，四边形FACD是平行四边形，∴DE=BE=n，AE=EC=m，FD=AC=2m，∴EF=FI+IE=FD+AE=3m．在Rt△EDF中，根据勾股定理可得：n2+（2m）2=（3m）2，即n=m，∴m：n=：5．。