襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中六月联考文科数学试卷答案

2015-2016学年湖北省襄阳五中、钟祥一中、夷陵中学高三（上）10月联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U={1，2，3，4}，M={x|x2﹣5x+p=0}，若∁U M={2，3}，则实数p的值（）A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．62．若复数z与其共轭复数满足：，则复数z的虚部为（）A．1 B．i C．2 D．﹣13．已知，是夹角为的两个单位向量，若向量=3﹣2，则•=（）A．2 B．4 C．5 D．74．教师想从52个学生中，利用简单随机抽样的方法，抽取10名谈谈学习社会主义核心价值观的体会，一小孩在旁边随手拿了两个号签，教师没在意，在余下的50个号签中抽了10名学生，则其中的李明同学的签被小孩拿去和被教师抽到的概率分别为（）A．B．，C．，0 D．，5．下列选项中，说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x＞0”B．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件C．命题“若am2≤bm2，则a≤b”是假命题D．命题“在△ABC中，若sinA＜，则A＜”的逆否命题为真命题6．如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（）A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤7．下列命题中，错误的是（）A．平行于同一平面的两个不同平面平行B．一条直线如果与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交C．如果两个平面不垂直，那么其中一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直D．若直线不平行于平面，则此直线与这个平面内的直线都不平行8．定义某种运算S=a⊗b，运算原理如图所示，则式子：的值是（）A．B． C．3 D．49．函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣C．D．10．已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N+）在经过点（5，3）的定直线l上，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．9 B．10 C．18 D．2711．一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯，桶子和玻璃杯的形状都是圆柱形，桶口的半径是杯口半径的2倍，其主视图如左图所示．小亮决定做个试验：把塑料桶和玻璃杯看作一个容器，对准杯口匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列能反映容器最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是（）A．B．C．D．12．若以曲线y=f（x）上任意一点M1（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M的点N（x2，y2），以点N为切点做切线l2，且l1∥l2，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”，现有下列命题：①偶函数的图象都具有“可平行性”；②函数y=sinx的图象具有“可平行性”；③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足；④要使得分段函数的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1．以上四个命题真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．不等式的解集为．14．若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是．15．已知偶函数f（x）满足f（x）﹣f（x+2）=0，且当x∈[0，1]时，f（x）=x•e x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣2k有且仅有3个零点，则实数k的取值范围是．16．在正项等比数列{a n}中，已知a1＜a4=1，若集A={t|（a1﹣）+（a2﹣）+…+（a t﹣）≤0，t∈N*}，则A中元素个数为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A （1）求角A的大小；（2）已知+=4，求sinBsinC的值．18．已知正项数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足（n≥2）．（Ⅰ）求证：{}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，不等式4T n＜a2﹣a恒成立，求实数a的取值范围．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；（3）证明：EF⊥平面PAB．20．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切．过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．（I）求圆A的方程；（Ⅱ）当时，求直线l的方程；（Ⅲ）是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．21．已知f（x）=x﹣ae x（a∈R，e为自然对数的底）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）有两个不同零点x1，x2，求证：x1+x2＞2．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．请答题时写清题号22．如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（Ⅰ）当∠PEC=75°时，求∠PDF的度数；（Ⅱ）求PE•PF的值．23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的参数方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）记曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求线段MN的长度．24．已知函数f（x）=|1﹣2x|﹣|1+x|．（1）解不等式f（x）≥4；（2）若关于x的不等式a2+2a+|1+x|＞f（x）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年湖北省襄阳五中、钟祥一中、夷陵中学高三（上）10月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U={1，2，3，4}，M={x|x2﹣5x+p=0}，若∁U M={2，3}，则实数p的值（）A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6【考点】并集及其运算．【分析】根据题目给出的全集及集合∁U M求得集合M，然后利用根与系数关系求解p的值．【解答】解：由U={1，2，3，4}，M={x|x2﹣5x+p=0}，若∁U M={2，3}，所以M={1，4}．由根与系数关系得：p=1×4=4．故选C．2．若复数z与其共轭复数满足：，则复数z的虚部为（）A．1 B．i C．2 D．﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】根据所给的复数和它的共轭复数之间的关系，设出复数的代数形式，根据所给的等式写出关于复数的实部和虚部之间的关系式，根据复数相等的充要条件写出结果．【解答】解：设复数z=a+bi，∵复数z与其共轭复数满足：，∴a+bi=a﹣bi+2i∴b=2﹣b∴b=1故选A．3．已知，是夹角为的两个单位向量，若向量=3﹣2，则•=（）A．2 B．4 C．5 D．7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得•=（3﹣2）•=3﹣2，代入已知数据化简可得．【解答】解：∵，是夹角为的两个单位向量，且=3﹣2，∴•=（3﹣2）•=3﹣2=3﹣2×1×1×cos=4故选：B4．教师想从52个学生中，利用简单随机抽样的方法，抽取10名谈谈学习社会主义核心价值观的体会，一小孩在旁边随手拿了两个号签，教师没在意，在余下的50个号签中抽了10名学生，则其中的李明同学的签被小孩拿去和被教师抽到的概率分别为（）A．B．，C．，0 D．，【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用古典概型概率计算公式能求出李明同学的签被小孩拿去的概率；利用古典概型概率计算公式和相互独立事件乘法概率计算公式能求出李明同学的签被教师抽到的概率．【解答】解：由古典概型概率计算公式，得：李明同学的签被小孩拿去的概率为：=，由古典概型概率计算公式和相互独立事件乘法概率计算公式，得：李明同学的签被教师抽到的概率为：=．故选：B．5．下列选项中，说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x＞0”B．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件C．命题“若am2≤bm2，则a≤b”是假命题D．命题“在△ABC中，若sinA＜，则A＜”的逆否命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，逐一分析四个答案是否成立，最后综合讨论结果，可得结论．【解答】解：对于A，命题“∃x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＞0”，故错误；对于B，命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件，故错误；对于C，命题“若am2≤bm2，则a≤b”在m=0时，不一定成立，故是假命题，故正确；对于D，“在△ABC中，若sinA＜，则A＜或A＞”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；故选：C6．如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（）A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知中的四面体ABCD的直观图，分析出四面体ABCD的三视图的形状，可得答案．【解答】解：由已知中四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点，可得：四面体ABCD的正视图为①，四面体ABCD的左视图为②，四面体ABCD的俯视图为③，故四面体ABCD的三视图是①②③，故选：B7．下列命题中，错误的是（）A．平行于同一平面的两个不同平面平行B．一条直线如果与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交C．如果两个平面不垂直，那么其中一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直D．若直线不平行于平面，则此直线与这个平面内的直线都不平行【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】由平面平行的判定定理，知A正确；由直线与平面相交的性质，知B正确；由直线与平面垂直的性质定理，知C正确；当l⊂α时，在平面α内存在与l平行的直线，故D 不正确．【解答】解：由平面平行的判定定理知，平行于同一平面的两个不同平面平行，故A正确；由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，故B正确；由直线与平面垂直的性质定理，知如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，故C正确；若直线l不平行平面α，则当l⊂α时，在平面α内存在与l平行的直线，故D不正确．故选D．8．定义某种运算S=a⊗b，运算原理如图所示，则式子：的值是（）A．B． C．3 D．4【考点】程序框图．【分析】根据流程图，a≥b时，a⊗b=a（b+1）；a＜b时，a⊗b=a（b﹣1），可得结论．【解答】解：根据流程图，a≥b时，a⊗b=a（b+1）；a＜b时，a⊗b=a（b﹣1），可得：=（﹣）⊗（﹣1）+⊗2=（﹣）×（﹣1+1）+×（2﹣1）=．故选：A．9．函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数图象的平移得到，再由函数为奇函数及φ的范围得到，求出φ的值，则函数解析式可求，再由x的范围求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）图象向左平移个单位得，由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，又|φ|＜π，∴，得，∴，由于，∴0≤2x≤π，∴，当，即x=0时，．故选：A．10．已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N+）在经过点（5，3）的定直线l上，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．9 B．10 C．18 D．27【考点】等差数列的性质．【分析】由题意可得a5=3，而S9==，代入可得答案．【解答】解：∵点（n，a n）（n∈N+）在经过点（5，3）的定直线l上，∴数列{a n}为等差数列，且a5=3，而S9===27，故选D11．一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯，桶子和玻璃杯的形状都是圆柱形，桶口的半径是杯口半径的2倍，其主视图如左图所示．小亮决定做个试验：把塑料桶和玻璃杯看作一个容器，对准杯口匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列能反映容器最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象．【解答】解：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向大桶内流，这时水位高度不变，因为杯子和桶底面半径比是1：2，则底面积的比为1：4，在高度相同情况下体积比为1：4，杯子内水的体积与杯子外水的体积比是1：3，所以高度不变时，杯外注水时间是杯内注水时间的3倍，当桶水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢．故选：C．12．若以曲线y=f（x）上任意一点M1（x1，y1）为切点作切线l1，曲线上总存在异于M的点N（x2，y2），以点N为切点做切线l2，且l1∥l2，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”，现有下列命题：①偶函数的图象都具有“可平行性”；②函数y=sinx的图象具有“可平行性”；③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b具有“可平行性”，且对应的两切点M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标满足；④要使得分段函数的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1．以上四个命题真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别求出函数导数，根据导数的几何意义求出对应的切线斜率，结合曲线y=f（x）具有“可平行性”，即可得到结论．【解答】解：①函数y=1满足是偶函数，函数的导数y′=0恒成立，此时，任意两点的切线都是重合的，故①不符号题意．②由y′=cosx和三角函数的周期性知，cosx=a（﹣1≤a≤1）的解有无穷多个，符合题意．③三次函数f（x）=x3﹣x2+ax+b，则f′（x）=3x2﹣2x+a，方程3x2﹣2x+a﹣m=0在判别式△=（﹣2）2﹣12（a﹣m）≤0时不满足方程y′=a（a是导数值）至少有两个根．命题③错误；④函数y=e x﹣1（x＜0），y′=e x∈（0，1），函数y=x+，y′=1﹣，则由1﹣∈（0，1），得∈（0，1），∴x＞1，则m=1．故要使得分段函数f（x）的图象具有“可平行性”，当且仅当实数m=1，④正确．∴正确的命题是②④．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．不等式的解集为．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】首先将2写成，再根据对数函数定义域及单调性解不等式．【解答】解：∵2=，∴原不等式可写成，（2﹣x）＞，再根据对数函数f（x）=x在（0，+∞）上单调递减，⇒，解得x∈，故填：．14．若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是24．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x易得最大值和最小值，作差可得答案．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x可知当直线经过点A（8，0）时，目标函数取最小值b=﹣8，当直线经过点B（4，4）时，目标函数取最大值a=16，∴a﹣b=16﹣（﹣8）=24故答案为：2415．已知偶函数f（x）满足f（x）﹣f（x+2）=0，且当x∈[0，1]时，f（x）=x•e x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣2k有且仅有3个零点，则实数k的取值范围是（）．【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．【分析】由f（x）﹣f（x+2）=0得f（x）=f（x+2），得到函数的周期是2，由g（x）=f（x）﹣kx﹣2k=0，得到f（x）=k（x+2），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：∵f（x）﹣f（x+2）=0，∴f（x）=f（x+2），即函数的周期是2，∵当x∈[0，1]时，f（x）=x•e x，∴根据增函数的性质可知，此时函数f（x）单调递增，且f（0）=0，f（1）=e，∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）=f（﹣x）=﹣x•e﹣x，由g（x）=f（x）﹣kx﹣2k=0，得到f（x）=k（x+2），作出两个函数f（x）和g（x）=k（x+2）在[﹣1，3]的图象，由图象可知当x=1时，f（1）=e，当x=3时，f（3）=f（1）=e，即B（1，e），C（3，e），当直线y=k（x+2）经过点B（1，e）时，此时两个函数有2个交点，此时e=3k，解得k=，直线y=k（x+2）经过点C（3，e）时，此时两个函数有4个交点，此时e=5k，解得k=，∴要想使函数g（x）=f（x）﹣kx﹣2k有且仅有3个零点，则直线应该位于直线AB和AC之间，∴此时直线的斜率k满足，故k的取值范围是（），故答案为：（）16．在正项等比数列{a n }中，已知a 1＜a 4=1，若集A={t|（a 1﹣）+（a 2﹣）+…+（a t ﹣）≤0，t ∈N *}，则A 中元素个数为 7 ． 【考点】等比数列．【分析】设公比为q ，由已知得a 1=q ﹣3，从而（a 1﹣）+（a 2﹣）+…+（a t ﹣）=﹣=（a 12q n ﹣1﹣1）=•[q n ﹣7﹣1]≤0，由此求出n ≤7．【解答】解：设公比为q ∵a 1＜a 4=a 1q 3=1∴0＜a 1＜1 1＜q 3，q ＞1，① ∴a 1=q ﹣3，②∴（a 1﹣）+（a 2﹣）+…+（a t ﹣）=（a 1+a 2+…+a t ）﹣（++…+）（后一个首项，公比）=﹣=（a 12q n ﹣1﹣1），代入②，得•[q n ﹣7﹣1]≤0∵＞0∴q t﹣7﹣1≤0q t﹣7≤1∴t﹣7≤0解得t≤7故答案为：7．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A （1）求角A的大小；（2）已知+=4，求sinBsinC的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（1）通过三角恒等变换，得到关于cosA的一个一元二次方程，求解cosA，从而求解角A．（2）通过已知条件得到b2+c2=4bc，利用余弦定理，然后求解．【解答】解：（1）由题意可得：3cosBcosC﹣3sinBsinC+2﹣2cos2A=0，3cos（B+C）+2﹣2cos2A=0，﹣3cosA+2﹣2cos2A=0，2cos2A+3cosA﹣2=0，解得cosA=或cosA=﹣2（舍去），又A为三角形内角，故角A=60°．（2）由题意可得：b2+c2=4bc，联立余弦定理：b2+c2=a2+2bccosA可得a2=3bc，又由正弦定理得：sinBsinC===．18．已知正项数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足（n≥2）．（Ⅰ）求证：{}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，不等式4T n＜a2﹣a恒成立，求实数a的取值范围．【考点】等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定．【分析】（I）由已知可得，，结合等差数列的通项公式可求s n，进而可求a n（II）由==，利用裂项求和可求T n，求出T n的范围可求a的范围【解答】解：（I）∵∴∴∴数列{}是首项为1，公差为1的等差数列∴=n∴∴=n+n﹣1=2n﹣1（n≥2）当n=1时，a1=1也适合∴a n=2n﹣1（II）∵==∴==∴T n∵4T n＜a2﹣a恒成立∴2≤a2﹣a，解得a≥2或a≤﹣119．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；（3）证明：EF⊥平面PAB．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）因为AB⊥平面PAD，所以PH⊥AB，因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD，由此能够证明PH⊥平面ABCD．（2）连接BH，取BH中点G，连接EG，因为E是PB的中点，所以EG∥PH，因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，由此能够求出三棱锥E﹣BCF的体积．（3）取PA中点M，连接MD，ME，因为E是PB的中点，所以，因为ME，所以ME DF，故四边形MEDF是平行四边形．由此能够证明EF⊥平面PAB．【解答】解：（1）证明：∵AB⊥平面PAD，∴PH⊥AB，∵PH为△PAD中AD边上的高，∴PH⊥AD，∵AB∩AD=A，∴PH⊥平面ABCD．（2）如图，连接BH，取BH中点G，连接EG，∵E是PB的中点，∴EG∥PH，∵PH⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，则，∴=（3）证明：如图，取PA中点M，连接MD，ME，∵E是PB的中点，∴ME，∵，∴ME DF，∴四边形MEDF是平行四边形，∴EF∥MD，∵PD=AD，∴MD⊥PA，∵AB⊥平面PAD，∴MD⊥AB，∵PA∩AB=A，∴MD⊥平面PAB，∴EF⊥平面PAB．20．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切．过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．（I）求圆A的方程；（Ⅱ）当时，求直线l的方程；（Ⅲ）是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程；圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设出圆A的半径，根据以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切．点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；（Ⅱ）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线l 过点B（﹣2，0），求出直线的斜率，进而得到直线l的方程；（Ⅲ）由直线l过点B（﹣2，0），我们可分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别讨论是否为定值，综合讨论结果，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）设圆A的半径为R，由于圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，∴…．∴圆A的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20…．（Ⅱ）①当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣2符合题意…②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0，连接AQ，则AQ⊥MN∵，∴，…则由，得，∴直线l：3x﹣4y+6=0．故直线l的方程为x=﹣2或3x﹣4y+6=0…（Ⅲ）∵AQ⊥BP，∴…①当l与x轴垂直时，易得，则，又，∴…②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+2），则由，得P（，），则∴综上所述，是定值，且．…21．已知f（x）=x﹣ae x（a∈R，e为自然对数的底）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）有两个不同零点x1，x2，求证：x1+x2＞2．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导f′（x）=1﹣ae x，由导数的正负确定函数的单调性；（2）f（x）≤e2x对x∈R恒成立可化为x﹣ae x≤e2x对x∈R恒成立，故a≥对x∈R恒成立，令F（x）=，从而化成最值问题；（3）由题意可求出0＜a＜；则a=的两个不同根为x1，x2，做y=的图象，利用数形结合证明．【解答】解：（1）当a≤0时，易知f（x）=x﹣ae x在R上是增函数，当a＞0，f′（x）=1﹣ae x，故当x≤﹣lna时，f′（x）＞0，当x＞﹣lna时，f′（x）＜0；故函数f（x）在（﹣∞，﹣lna）上是增函数，在（﹣lna，+∞）上是减函数；（2）f（x）≤e2x对x∈R恒成立可化为x﹣ae x≤e2x对x∈R恒成立，故a≥对x∈R恒成立，令F（x）=，则F′（x）=；则当x＜0时，F′（x）＜0，x＞0时，F′（x）＞0；故F（x）=在x=0处有最大值F（0）=﹣1；故a≥﹣1；（3）证明：∵函数f（x）有两个不同零点x1，x2，结合（1）可知，﹣lna﹣ae﹣lna＞0，解得，0＜a＜；则x1=ae x1，x2=ae x2；则a=的两个不同根为x1，x2，令g（x）=，则g′（x）=，知g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；又∵当x∈（﹣∞，0]时，g（x）≤0，故不妨设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意a1，a2∈（0，），设a1＞a2，若g（m1）=g（m2）=a1，g（n1）=g（n2）=a2，其中0＜m1＜1＜m2，0＜n1＜1＜n2，∵g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；又∵g（m1）＞g（n1），g（m2）＞g（n2）；∴m1＞n1，m2＜n2；∴＜；故随着a的减小而增大，令=t，x1=ae x1，x2=ae x2，可化为x2﹣x1=lnt；t＞1；则x1=，x2=；则x2+x1=，令h（t）=，则可证明h（t）在（1，+∞）上单调递增；故x2+x1随着t的增大而增大，即x2+x1随着的增大而增大，故x2+x1随着a的减小而增大，而当a=时，x2+x1=2；故x2+x1＞2．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．请答题时写清题号22．如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（Ⅰ）当∠PEC=75°时，求∠PDF的度数；（Ⅱ）求PE•PF的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连结BD，则∠BDA=90°，利用∠CDB=∠CAB，即可证明结论；（Ⅱ）利用割线定理，即可求出PE•PF的值．【解答】解：（Ⅰ）连结BD，则∠BDA=90°…∵∠CDB=∠CAB…∠PEC=90°﹣∠CAB，…∠PDF=90°﹣∠CDB…∴∠PEC=∠PDF=75°；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：∠PEC=∠PDF，∴D，C，E，F四点共圆，…∵AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，∴PE•PF=PC•PD=PB•PA=2×12=24．23．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的参数方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）记曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求线段MN的长度．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）对C1的极坐标方程两边同乘ρ，得出普通方程，再化为参数方程，将C2的极坐标方程展开得到直角坐标方程；（2）将两曲线普通方程联立方程组，解出M，N坐标计算距离．【解答】解：（1）∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，故曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（）2+（）2=1．令，=sinθ，得．∴曲线C1的参数方程是（θ为参数）．∵，∴ρcosθ﹣ρsinθ=4．∴曲线C2的直角坐标方程是x﹣y﹣4=0．（2）解方程组得或．∴|MN|==2．24．已知函数f（x）=|1﹣2x|﹣|1+x|．（1）解不等式f（x）≥4；（2）若关于x的不等式a2+2a+|1+x|＞f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得a2+2a＞|2x﹣1|﹣|2x+2|，再利用绝对值三角不等式求得|2x﹣1|﹣|2x+2|的最大值为3，可得a2+2a＞3，求得a的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=|1﹣2x|﹣|1+x|，故f（x）≥4，即|1﹣2x|﹣|1+x|≥4．∴①，或②，或③．解①求得x≤﹣2，解②求得x∈∅，解③求得x≥6，综上可得，云不等式的解集为{x|x≤﹣2，或x≥6}．（2）关于x的不等式a2+2a+|1+x|＞f（x）恒成立，即a2+2a＞|2x﹣1|﹣|2x+2|，而|2x﹣1|﹣|2x+2|≤|2x﹣1﹣（2x﹣2）|=3，故有a2+2a＞3，求得a＜﹣3，或a＞1．即实数a的取值范围为{a|a＜﹣3，或a＞1}．2016年5月10日。

2014—2015学年度第二学期期中联考高二数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（每小题5分，共60分）.1．已知集合{}c b a M ,,=，集合{}Mx x A ⊆=，则集合A 有几个元素（ ）A ．3B ． 6C ．7D ． 8[来2．函数12log (4)y x =-的定义域是（ ）A ．B ．C ．D ．3. “2a =”是“直线230ax y a ++=与直线()1340a x y +-+=垂直”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数()1f x lg x x =-的零点所在的区间是（ ）A ．()01,B ．()110,C ．()10100, D ．()100,+∞5．ABC ∆中，AB 边上的高为CD ，若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===u u u r r u u u r r r r r r ，则AD =u u u r （ ）A ．1133a b -r rB ．2233a b -r rC ．3355a b -r rD ．4455a b -r r 6．在平面内，设半径分别为12,r r 的两个圆相离且圆心距为d ，若点,M N 分别在两个圆的圆周上运动，则||MN 的最大、最小值分别为d +r 1+r 2,12d r r --，在空间中，设半径分别为12,R R 的两个球相离且球心距为d ，若点,M N 分别在两个球面上运动，则||MN 的最大、最小值分别为（ ） A ．12d R R --和12d R R ++ B12d R R ++和12d R R --C ．12d R R -+和12d R R +- D12 R R d+-和07．已知三角形的三边是10以内（不包含10）的三个连续的正整数，则任取一个三角 形是锐角三角形的概率是（ ）A．5 9B34 C23 D128．已知x>1,y>1且x+y=20.则lgx+lgy的最大值是（）A．1 B．2 C．D．9．已知函数2()cos,f x x x=-对于[,]22ππ-上的任意1x，2x，有如下条件：①12x x>；②2212x x>；③12||x x>，其中能使12()()f x f x>恒成立的条件序号是（）A．(1) B．(2) C．(3) D．以上都不对。

2021-2022学年湖北省襄阳市第五中学高一下学期6月月考数学试题一、单选题1．已知复数满足，则z 的虚部是（ ）z ()i i 1i z +=+A ．B ．C ．D ．1-i-2-2i-【答案】C【分析】由复数的综合运算求得，再根据复数的定义得结论．z 【详解】由题意，所以其虚部为．1ii i 1i 12i i z +=-=-+-=-2-故选：C ．2．的值为（ ）cos15cos30cos75⋅︒⋅︒︒A ．BC ．D 1812【答案】B【分析】运用正弦的二倍角公式可求解【详解】cos15cos30cos 75cos15cos30sin15︒︒=⋅︒⋅︒⋅︒⋅︒sin15cos15cos30sin 30cos30sin 6011122244=⨯︒⋅︒⨯⋅︒=︒⋅⨯︒=︒=故选：B3．下列命题中正确的有（1）；（2）；（3）；（4）0AB BA += 00AB ⋅= AB AC BC -= ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】根据向量的运算律及数量积的定义逐一验证即可得出结果.【详解】由向量加法三角形法则可知，，故（1）正确；0AB BA +=，故（2）错误；00cos 0,0AB AB AB ⋅=⋅=由向量的加法法则可知，故（3）错误；AB AC CB -=向量乘法不满足分配律， 不一定成立，故（4）错误.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 故选：A【点睛】本题考查向量运算律，考查基本分析判断能力，属基础题.4．如图是函数的图像的一部分，则要得到该函数的图像，()()sin (0,0,02f x A x A πωϕωϕ=+>><<只需要将函数的图像（ ）()2cos 2g x x x=-A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度4π4πC ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度2π2π【答案】A【分析】先由图像求得，再由辅助角公式化简，最后由三角函数的平移变()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()g x 换即可求解.【详解】由题图知：，又，712,1234T T ππππω-=∴==()()0,2,sin 2f x A x ωωϕ>∴=∴=+，20,sin 0,0332f A πππϕϕ⎛⎫⎛⎫=∴+=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得，又(),sin 233f x A x ππϕ⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭，()()()0sin2,2sin 2,cos233f A A f x x g x x x ππ⎛⎫=∴=∴=∴=+=-= ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭将向左平移得.()g x 4π()2sin 22sin 22sin 246263x x x f x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：A.5．图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h ，日影长为l .图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A 处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭2326'︒2dm 表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（ ）（参考数据：2.98dm，）tan 340.67︒≈tan 56 1.49︒≈A ．B ．C ．D ．2326'︒3234'︒34︒56︒【答案】B 【分析】由题意有，可得，从而可得2tan 0.672.98α=≈MAN ∠β【详解】由图1可得，又，2tan 0.672.98α=≈tan 340.67︒≈所以，所以，34α=︒903456MAN ∠=︒-︒=︒所以，5623263234β''=︒-︒=︒该地的纬度约为北纬，3234'︒故选：．B 6．半正多面体亦称“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由八个正三角形和六个正方形构成的（如图所示），则异面直线与所成的角为（ ）AB CFA ．B ．C ．D ．6π4π3π2π【答案】C【分析】依题意将图形放到正方体中，如图所示，由正方体的性质可得为异面直线与PQM ∠AB 所成的角，即可得解；CF 【详解】解：二十四等边体可认为是由正方体切去八个全等的三棱锥得到的，如图所示，可知，，//AB PQ //CF MQ 所以为异面直线与所成的角，因为是等边三角形，所以，PQM ∠AB CF PQM 3PQM π∠=故异面直线与所成的角为；AB CF 3π故选：C 7．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则111A B C ∆222A B C ∆A ．和都是锐角三角形111A B C ∆222A B C ∆B ．和都是钝角三角形111A B C ∆222A B C ∆C ．是钝角三角形，是锐角三角形111A B C ∆222A B C ∆D ．是锐角三角形，是钝角三角形111A B C ∆222A B C ∆【答案】D 【详解】的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，若是锐角三角形，111A B C ∆111A B C ∆222A B C ∆由，得，那么，，矛盾，所以2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-2222A B C π++=是钝角三角形，故选D.222A B C ∆8．已知矩形沿矩形的对角线 所在的直线进行翻折，在翻折,ABCD 1,AB BC ==ABD BD 过程中A ．存在某个位置，使得直线与直线 垂直AC BDB ．存在某个位置，使得直线与直线 垂直AB CDC ．存在某个位置，使得直线与直线 垂直AD BC D ．对任意位置，三对直线“与 ”，“与 ”，“与 ”均不垂直AC BD AB CD AD BC 【答案】B【详解】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项B 是正确的二、多选题9．如图是某市5月1日至10日PM 2.5的日均值（单位：μg/m 3）变化的折线图，关于PM 2.5日均值说法错误的是（ ）A ．这10天日均值的83%分位数为78；B ．这10天的日均值的中位数为41；C ．前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差；D ．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差．【答案】BC【分析】根据折线图可得10天中的PM 2.5日均值按从小到大排列为30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，根据统计相关概念运算辨析．【详解】对于选项A ：将10天中的PM 2.5日均值按从小到大排列为30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，根据第80百分位数的定义可得，这10天中PM 2.5日均值的第80百分位数是，6078692+=由于这10天日均值的83%分位数估计值大于这10天日均值的80%分位数估计值下一个所以这10天日均值的83%分位数估计值为78，故选项A 正确；对于选项B ：这10天中PM 2.5日均值的中位数为，故选项B 错误；4145432+=对于选项C ：由折线图和方差的定义可知，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的差，故选项C 错误；对于选项D ：前5天的日均值的极差为41﹣30＝11，后5天的日均值的极差为80﹣45＝35，故选项D 正确．故选：BC ．10．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（ ）ABCDEFGH 1OA =A ．B ．OA OD ⋅= OB OH +=C ．D ．在AH HO BC BO ⋅=⋅AH AB【答案】AB【分析】首先明确正八边形的特征，然后数量积的定义进行计算，可判断A,C;根据向量的加发运算可判断B;根据向量投影的概念可判断D.【详解】图2中的正八边形中，每个边所对的角皆为，其中，ABCDEFGH π4||1OA =对于3πA :11cos 4OA OD ⋅=⨯⨯=对于，故正确．πB :,2BOH OB OH ∠=+==对于，，的夹角为 ,的夹角为 ,C :||||AH BC = ||||HO BO =,AH HO πAHO -∠,BC BO OBC AHO ∠=∠故，故错误．AH HO BC BO ⋅=-⋅对于在向量上的投影向量的模为D :AH AB cos AH 故选：．AB 11．中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，BC 边上的中线，则下列说法ABC 2a =2AD =正确的有：（ ）A ．B ．C ．D ．∠BAD 的最大值为60°3AB AC ⋅=2210b c +=3cos 15A ≤<【答案】ABC【分析】利用向量的数量积公式,余弦定理及基本不等式对各个选项进行判断即可.【详解】∵．A 正确；()()22413AB AC AD DB AD DB AD DB ⋅=+⋅-=-=-= ∵，cos cos ADC ADB ∠=-∠∴2222222cos 2cos b c AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠，故B 正确；22222221110AD DB DC =++=⨯++=由余弦定理及基本不等式得（当且仅当时，等号成立），由224242cos 122b c bc A bc bc bc +--=≥=-b c =A 选项知，∴，解得，故C 正确；对于D ，cos 3bc A =22cos cos1133cos AA A ≥-=-3cos 5A ≥，2222213cos 44c c BAD c c+-+∠==≥=c =∵，∴，又∴∠BAD 的最大值30°，D 选项错误．BAD ABD ∠<∠0,2BAD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭cos BAD ∠≥故选: ABC12．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，ABCDES SA ⊥ABCD ABCD //DE SA ，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），2=2SA AB DE ==,M N ,BC SB Q DC ,D C 则下列说法正确的是（ ）A ．存在点，使得Q NQ SB⊥B ．存在点，使得异面直线与所成的角为Q NQ SA 60C ．三棱锥体积的最大值是Q AMN -43D ．当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大Q D C N MQ A --【答案】AD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积解决垂直，夹角问题，利用等体积法求三棱锥体积最大值.【详解】以A 为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，,,AB AD AS,,x y z 设，则；1DE =2SA AB ==，，，，，，，；()0,0,0A ∴()2,0,0B ()2,2,0C ()0,2,0D ()0,2,1E ()0,0,2S ()1,0,1N ()2,1,0M 对于选项A ，假设存在点，使得，()(),2,002Q m m ≤≤NQ SB ⊥则，又，()1,2,1NQ m =--()2,0,2SB =-，解得：，()2120NQ SB m ∴⋅=-+=0m =即点与重合时，，选项A 正确；Q D NQ SB ⊥对于选项B ，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，()(),2,002Q m m ≤≤NQ SA 60，，()1,2,1NQ m =--()0,0,2SA =-，方程无解；1cos ,2NQ SA NQ SA NQ SA⋅∴<>===⋅不存在点，使得异面直线与所成的角为，选项B 错误；∴Q NQ SA 60对于选项C ，连接；,,AQ AM AN设，()02DQ m m =≤≤，22AMQ ABCD ABM QCM ADQ m S S S S S =---=-当，即点与点重合时，取得最大值；∴0m =Q D AMQ S 2又点到平面的距离，N AMQ 112d SA ==，选项C 错误；()()max max 122133Q AMN N AMQ V V --∴==⨯⨯=对于选项D ，由上分析知：，，()1,2,1NQ m =-- (1,1,1)NM =-若是面的法向量，则，(,,)m x y z =NMQ =(1)+2=0=+=0m NQ m x y z m NM x y z ⎧⋅--⎪⎨⋅-⎪⎩ 令，则，而面的法向量，=1x (1,2,3)m m m =-- AMQ (0,0,1)n = 所以，cos ,m n m n m n ⋅<>==3[1,3]t m =-∈则，而，cos ,m n ==11,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由从到的过程，由小变大，则由大变小，即由小变大，Q D C m t 1t 所以先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角，cos ,m n <> 故二面角先变小后变大，选项D 正确．故选：AD ．三、填空题13．为了考查某种小麦的长势，从中抽取10株麦苗，测得苗高（单位：cm ）为16，9，14，11，12，10，16，8，17，19，则这组数据的极差是______．【答案】11【分析】根据已知数据，利用极差的定义计算.【详解】苗高数据中最大的为19，最小的为8，所以极差为，19811-=故答案为：1114．已知非零向量满足，且，则__________．,a b ||3|3a b == a b += a b -=【答案】【分析】先求得，从而求得.a b ⋅ a b -【详解】由，a b += 22224a a b b +⋅+=，.1221224a b ++⋅+-= 0a b ⋅=所以.a -===故答案为：15．在某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是__________(填写序号)．①平均数； ②标准差； ③平均数且极差小于或等于2；3x ≤2S ≤3x ≤④平均数且标准差； ⑤众数等于1且极差小于或等于4．3x ≤2S ≤【答案】③⑤【分析】按照平均数、极差、方差依次分析各序号即可.【详解】连续7天新增病例数：0，0，0，0，2，6，6，平均数是2<3，①错；连续7天新增病例数：6，6，6，6，6，6，6，标准差是0<2，②错；平均数且极差小于或等于2，单日最多增加4人，若有一日增加5人，3x ≤其他天最少增加3人，不满足平均数，所以单日最多增加4人，③对；3x ≤连续7天新增病例数：0，3，3，3，3，3，6，平均数是3且标准差小于2，④错；众数等于1且极差小于或等于4，最大数不会超过5，⑤对.故答案为：③⑤.16．如图，在棱长为2的正方体中，点､分别是棱，的中点，是侧1111ABCD A B C D -E F BC 1CC P 面内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的最小值是___________.11BCC B 1//A P AEF 1A P【分析】分别取棱的中点、，连接，易证平面平面，由题意111,BB B C M N 1,MN BC 1//A MN AEF 知点必在线段上，由此可判断P 位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可P MN MN 1A OM 求出结果．【详解】如下图所示，分别取棱的中点、，连接，111,BB B C M N 1,MN BC ∵分别为所在棱的中点，则，,,,M N E F 11//,//MN BC EF BC ∴，又平面， 平面，//MN EF MN ⊄AEF EF ⊂AEF ∴平面．//MN AEF ∵， ，∴四边形为平行四边形，1//AA NE 1AA NE =1AENA ∴，1//A N AE 又平面，平面，1A N ⊄AEF AE ⊂AEF ∴平面，又，1//A N AEF 1A N MN N = ∴平面平面．1//A MN AEF ∵是侧面内一点，且平面，P 11BCC B 1//A P AEF∴点必在线段上．P MN 在中，11Rt A B M 1A M==同理，在中，可得11Rt A B N 1A N =∴为等腰三角形．1A MN 当点为中点时，即 ，此时最短；P MN O 1A P MN ⊥1A P 又1A O===∴线段1A P 四、解答题17．已知方程的两复数根分别为，，其中的虚部大于02220x x +=-1z 2z 1z (1)求复数，；1z 2z (2)若复数，且，求实数的取值范围34i z a =+312z z z -<a 【答案】(1)，11i z =+21iz =-(2)()0,4【分析】（1）直接解方程即可求解；（2）利用复数的模，再解不等式即可求解.【详解】（1）由，得，2220x x +=-()211x -=-所以，所以，1i x -=±1i x =±而的虚部大于0，所以，.1z 11i z =+21i z =-（2）由（1）中可知，()()211i 1i 2z z =+-=所以可化为312z z z -<4i 2a +-<即()24i a -+<，解得，<04a <<即实数的取值范围是.a ()0,418．2022年2月8日，中国选手谷爱凌在北京冬奥会女子大跳台项目决赛中以之前从未有人在正式比赛中完成的“左转1620”动作一举夺得冠军，为中国代表团揽入一枚里程碑式的金牌．受奥运精神的鼓舞，某滑雪俱乐部组织100名滑雪爱好者进行了一系列的大跳台测试，并记录他们的动作得分（单位：分），将所得数据整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该100名射击爱好者的射击平均得分（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(3)该俱乐部计划招募成绩位列前10%的滑雪爱好者组成集训队备战明年的滑雪俱乐部联盟赛，请根据图中信息，估计集训队入围成绩（记为k ）．【答案】(1)0.025(2)76(3)90k ≥【分析】（1）根据频率和为1列式求解；（2）用该组区间的中点值估计，代入计算；1ni ii x x f ==∑（3）根据题意入围成绩的临界值为，则计算求解．[]85,95m ∈()850.0200.1m -⨯=【详解】（1）由题意可得：，解得()100.0050.0100.0400.0201a ++++=0.025a =（2）由题意可得：50100.00560100.01070100.02580100.04090100.02076x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=估计该100名射击爱好者的射击平均得分76（3）根据频率分布直方图可知：的频率为[]85,95100.0200.2⨯=设入围成绩的临界值为，则，即[]85,95m ∈()850.0200.1m -⨯=90m =估计集训队入围成绩90k ≥19．如图，在三棱锥中，D ，E 分别为的中点，且平面．-P ABC ,AC PB ,AD DB EC =⊥ABC(1)证明：；AB PC ⊥(2)若，求锐二面角的大小．2AC BC ==B AP C --【答案】(1)证明见解析；(2).π6【分析】(1)根据线面垂直可证，再证平面即可得证；EC AB ⊥AB ⊥EBC （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.【详解】（1）∵D 为中点，且，∴，即．AC AD DB =2ABC π∠=AB BC ⊥∵平面，平面，∴．EC ⊥ABC AB ⊂ABC EC AB ⊥∵，∴平面．BC EC C = AB ⊥EBC 又∵平面，∴；PC ⊂BCE AB PC ⊥（2）由（1）可知，以为x 轴，为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．BC BA设，∵，∴，，EC a =2AC BC ==(0,0,0),,0,)B E a ,0,2),(0,3,0).,0,0)P a A a C∴．(0,3,0),,0,2)BA a BP a ==设平面的法向量为，有PAB ()111,,n x y z = 0,0.n BA n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即，令，得．11130,20,ay az =⎧⎪⎨+=⎪⎩11x=(1,0,n = 设平面的法向量为，APC ()222,,m x y z =由，,3,0),,0,2)AC a CP a =-=有，取，则22223020AC m ay CP m az ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩2x =222,3y z ==-可得，3)m =-有，m n ⋅==||5,||2m n ===∴二面角的余弦值为，BAP C --|||cos ,|||||m n m n m n →⋅<>===故锐二面角的大小为．B APC --π620．设的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且的面积．ABC ABC 224a b S -=(1)求的值；()sin sin sin A B A B -(2)若，求的取值范围．π2A ≠tan A 【答案】(1)2(2)()1tan ,0,2A ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）先由余弦定理得到，结合三角形面积公式，正弦定理得到22cos cos a b ac B bc A -=-，化简后得到答案；()2sin sin sin sin sin cos sin cos A B C C A B B A =-（2）在第一问的基础上化简得到，根据三角函数的性质进行求解.cos 12sin tan B B A -=【详解】（1）由余弦定理得：①，2222cos a b c bc A =+-②，两式相减得：2222cos b a c ac B =+-，22cos cos a b ac B bc A -=-因为，1sin 2ABC S ab C =所以，221sin 24ab C a b -=即，2sin cos cos ab C ac B bc A =-由正弦定理得：()2sin sin sin sin sin cos sin cos A B C C A B B A =-因为，所以，且，()0,πC ∈sin 0C ≠()sin sin cos sin cos A B B B A A -=-故，即.()2sin sin sin A B A B =-()sin 2sin sin A B A B -=（2）由（1）知：，()sin sin cos cos sin cos 12sin sin sin sin sin tan A B A B A B B A B A B B A --==-=因为，所以，，224a b S -=>a b >π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，()tan 0,B ∈+∞又因为，112tan tan A B =-所以，()12,tan A ∈-+∞所以.()1tan ,0,2A ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 21．如图，在某景区依湖畔而建的半径为500米的一条圆弧形小路上，为吸引游客，景区在这条弧形小路上取两点A ，B ，准备分别以A，B 两处为入口，在河岸内侧建造两条玻璃栈道，，AP BP 并在两条栈道的终点P 处建造一个观景台，已知弧所对的圆心角为.AB π3(1)若为等腰直角三角形，且为斜边，求的面积；ABP AB ABP (2)假设玻璃栈道的宽度固定，修建玻璃栈道的造价按照长度来计算，且造价为1200元/米，试问当时，修建两条玻璃栈道最多共需要多少万元？3APB π∠=,AP BP 【答案】(1)平方米.62500(2)万元.120【分析】（1）根据圆心角和半径求出弦长，根据等腰直角三角形求出直角边，再根据面积公式AB 求出面积.（2）设，，利用正弦定理求出、，在求出的最大值，然后乘PAB θ∠=2π(0,)3θ∈PB PA PA PB +以即可得解.0.12【详解】（1）因为弧所对的圆心角为，圆的半径为500，所以米，AB π3500AB =又为等腰直角三角形，且为斜边，所以米，ABPAB PA PB AB ===所以的面积为平方米.ABP 221125026250022PA =⨯⨯=（2）设，，PAB θ∠=2π(0,)3θ∈由正弦定理得，得，πsin sin3AB PB θ=sin πsin 3AB PB θθ⋅===由正弦定理得，得，π2πsin sin()33AB PA θ=-PA=2πsin()3θ=-所以2πsin sin()3PA PB θθ⎤+=+-⎥⎦1sin sin 2θθθ⎫=+⎪⎪⎭，3sin 2θθ⎫=⎪⎪⎭π)6θ=+π1000sin()6θ=+因为，所以，2π03θ<<ππ5π666θ<+<所以当，即时，取得最大值为米，ππ62θ+=π3θ=PA PB +1000所以修建两条玻璃栈道最多共需要万元.,AP BP 10000.12120⨯=22．如图，四棱柱中，底面．四边形为梯形，，且1111ABCD A B C D -1A A ⊥ABCD ABCD AD BC ∥．过三点的平面记为与的交点为．2AD BC =1,,A C D 1,BB ααQ(1)证明：为的中点；Q 1BB (2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；α(3)若，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小．14,2A A CD ==ABCD αABCD 【答案】(1)证明见解析(2)117(3)4π【分析】（1）利用面面平行，证明线线平行，进而得到，进而证明为的中点；1QBC A AD Q 1BB （2）连接，四棱柱被平面所分成上､下两部分的体积为，分别求出和，可得答,QA QD α12,V V 1V 2V 案；（3）在中，作，垂足为，连接，为平面与底面所成二面角ADC △AE DC ⊥E 1A E 1AEA ∠αABCD 的平面角，然后，计算可得，进而得到.11tan 1AA AEA AE ∠==1AEA ∠【详解】（1）证明：四棱柱中，四边形为梯形，，1111ABCD A B C D -ABCD AD BC ∥平面平面，∴QBC 11A D DA 平面与面和平面的交线平行，∴1A CD QBC 11A D DA 1QC A D ∴∥，1QBC A AD ∴~ ，1112BQ BQ BC BB AA AD ∴===为的中点；Q ∴1BB（2）解：连接，设，,QA QD 1AA h =梯形的高为，ABCD d 四棱柱被平面所分成上､下两部分的体积为，α12,V V 设，则，BC a =2AD a =，11112323Q AA D V a h d ahd-∴=⋅⋅⋅⋅=，1213224Q ABCD a a h V d ahd-+=⋅⋅⋅=27V 12ahd ∴=棱柱，V 32ahd=111V 12ahd ∴=四棱柱被平面所分成上､下两部分的体积之比∴α117（3）解：在中，作，垂足为，连接，ADC △AE DC ⊥E 1A E 则平面，DE ⊥1AEA ，1DE A E ∴⊥为平面与底面所成二面角的平面角，1AEA ∴∠αABCD ，,2BC AD AD BC = ∥，2ADC ABC S S ∴= 梯形的面积为，ABCD 6,2DC =，4,4ADC S AE ∴== ，11tan 1AA AEA AE ∴∠==，14AEA π∴∠=平面与底面所成二面角的大小为．∴αABCD 4π。

6月高二统考试题解答(文科)襄樊市高中调研测试题(_．6)高二数学(文科)参考答案及评分标准命题人:襄樊市教学研究室郭仁俊说明:1．本解答指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分．3．解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数．一．选择题:BADD BCBC CDBB二．填空题:13．5 14．240 15．16．②④三．解答题:17．解:2分依题意得,即n2＝81,n＝96分设第r＋1项含_3项,则 8分∴,r＝1∴第二项为含_3的项:T2＝－2＝－18_312分18．证法一:设直线a与平面相交于点A,在平面取一点B若点B在直线a上,则直线a与平面相交于点B4分若点B不在直线a上,则直线a和点B确定一个平面且平面与平面相交于过A点的直线b,平面与平面相交于过B点的直线c∵,∴b∥c8分又在平面内,直线a与直线b相交,∴直线a与直线c相交于一点C∵,∴,故直线a与平面相交于C点． 12分证法二:设a与不相交,则或2分(1)若,∵,∴与a与相交矛盾4分(2)若,过作平面,∩＝b,∩＝c 6分∵,∴,因此,8分又∵,∴与a与相交矛盾11分由(1)(2)可得:a与相交12分19．(1)解:分别记甲.乙.丙三个网络系统在这段时间内受黑客入侵的事件为A.B.C依题意:A.B.C三个事件相互独立2分∴在这段时间内三个网络系统都受到黑客入侵的概率为P1＝P(A ·B ·C)＝ P(A)·P(B)·P(C)4分＝0.1_0.2_0.15＝0.0035分(2)解:在这段时间内只有一个网络系统受到黑客入侵为三个事件..之一,且这三个事件彼此互斥7分∴只有一个网络系统受到黑客入侵的概率为P2＝P(＋＋)＝P()＋P()＋P()9分＝0.1_(1－0.2)_(1－0.15)＋(1－0.1)_0.2_(1－0.15)＋(1－0.1)_(1－0.2)_0.15＝0.32911分答:在这段时间内三个网络系统都受到黑客入侵的概率为0.003,只有一个网络系统受到黑客入侵的概率为0.329 12分20.方法一:(1)取CD边中点R,连结MR.NR,则NR∥PD,MR∥AD 2分∵AB⊥AD_THORN; AB⊥MR又PA⊥平面ABCD ,由三垂线定理知AB⊥PD _THORN; AB⊥NR∴AB⊥面MNR_THORN;AB⊥MN．4分(2)PA⊥平面ABCD,由三垂线定理知PD⊥CD,∴∠PDA＝45°6分∴PA＝AD∵M是AB的中点,∴BM＝AM,∠ABC＝∠PAD＝90°∴△CBM≌△PAM,故PM＝CM8分∵N是PC的中点,∴MN⊥PC10分即MN是异面直线AB与PC的公垂线．12分方法二:以为_轴.y轴.z轴建立空间直角坐标系,设AB＝a,AD＝b,AP＝c 则B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,b,0),P(0,0,c)∴M(,0,0),N(),R()故,＝(a,0,0),＝(a,b,－c)(1)∵,∴AB⊥MN．4分(2) ∵PA⊥平面ABCD,由三垂线定理知PD⊥CD∴∠PDA＝45°6分∴b＝c∵8分∴MN⊥PC10分即MN是异面直线AB与PC的公垂线．12分21．(1)解:设青蛙顺时针跳动1次为事件A,逆时针跳动1次为事件B,则P(A)＝,P(B)＝1－P(A)＝2分青蛙从A点开始经过3次跳动到达D点有两种方式:顺时针跳动3次或逆时针跳动3次4分故所求概率为P(A·A·A)＋P(B·B·B)＝6分(2)青蛙从A点开始经过3次跳动到达F点的方式为:顺时针跳动2次而逆时针跳动1次 8分故所求概率为．12分22．方法一:(1)证:记AC与BD的交点为O,连接OE, ∵O.M分别是AC.EF的中点,ACEF是矩形,∴四边形AOEM是平行四边形,∴AM∥OE．2分∵平面BDE, 平面BDE,∴AM∥平面BDE．4分(2)解:∵BD⊥AC,BD⊥AF且AC交AF于A,∴BD⊥平面ACEF,故BD⊥AM6分∵在正方形ABCD中,AD＝,∴OA＝1又AF＝1,∴AOMF是正方形,因此AM⊥OF∴AM⊥平面BDF．8分(3)解:设AM与OF相交于H,过H作HG⊥DF于G,连结AG由三垂线定理得AG⊥DF∴∠AGH是二面角A－DF－B的平面角10分∵,∴,∴∠AGH＝60°即二面角A－DF－B的大小为60°．14分方法二:(1)同方法一(2)解:以为_轴.y轴.z轴建立空间直角坐标系．则A(,,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),F(,,1),M∴∵,∴6分同理∴AM⊥平面BDF．8分(3)解:∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF∩AD＝A,∴AB⊥平面ADF．∴为平面DAF的法向量． 10分设平面BDF的法向量为n＝(_,y,1),则,即,解得_＝y＝∴n＝(,,1)12分∴cos_lt;,n_gt;＝,∴与n的夹角是60_ordm;．即所求二面角A—DF—B的大小是60_ordm;．14分。

2023年湖北省襄阳市六校联考中考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．．．．．．下列说法错误的是（）．掷一枚硬币，正面朝上这一事件是随机事件A ．x ＜﹣6C ．x ＞210．如图，二次函数y ax =点C ．下列结论：①ac >0；②当中正确的是（）A ．④B ．③二、填空题11．计算：32713⎛+-+ ⎝12．解不等式组()10325x x +⎧>⎪⎨⎪+≥⎩13．小颖有两件上衣，分别为红色和黑色，有三条裤子，分别为蓝色、黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上．恰好为红色上衣和白色裤子的概率是14．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离解析式是0.25S t =-15．在ABC 中，50A ∠=︒，30B ∠=︒，点D 在AB 边上，连接CD ，若ACD 为直角三角形，则BCD ∠的度数为_______________度.16．如图，正方形ABCD 的边长为24，点E 是对角线BD 上一点，且3BE DE =，F 是BC 的中点．连接,,,AE EF AF AF 与BD 交点G ，将EFG 沿EF 翻折，得到EFH △，连接AH ，交EF 于点M ，则MH =_________．三、解答题20．如图，在四边形ABCD中，(1)请用尺规作图作边AD的垂直平分线(2)连接BE，试判断四边形BCDE21．已知关于x的一元二次方程（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；①写出、两种商品所获总利润为②设销售A B参考答案：∵30B ∠=︒，∴903060BCD ∠=︒-︒=︒；∵50A ∠=︒，30B ∠=︒，∴1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒，∴1009010BCD ∠=︒-︒=︒，综上，则BCD ∠的度数为60︒或10︒；故答案为60︒或10︒；【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及数学的分类讨论思想，解题的关键.16．52【分析】过E 作EK ∥CD 交AD 于N 相似比为1∶4，NE =164AB =，ND 610,AE =125,AF =得△AEF 为等腰直角三角形，∠∠GFE =∠AFE =45°，则△AFH =Rt △．设QF =a ，121212a a a a-+=-，解得a =4125,12545b b -=解得b =35,由AM AH 【详解】解：过E 作EK ∥CD 交AD故答案为92.595、；（2）解：∵八年级的中位数为92.5分，九年级的中位数为∴八年级甲同学测试成绩为94分比九年级乙同学测试成绩为（3）解：∵八年级95分以上是3人，∴该校八年级的优秀人数为3120036010⨯=（人），【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数的定义，众数的定义，读懂条形统计图和扇形统计图是解题的关键．19．不能返回，见解析；【分析】根据锐角三角函数得到EF EG 、，再根据路程与速度即可得到时间．【详解】解：由题意得37MFE ∠=︒，45NGE ∠=︒过E 点作EQ FG ⊥于Q 点，∴37FEQ ∠=︒，800EQ =米，在Rt EFQ △中，8001000cos 37EF ==︒米，在Rt EGQ 中，80080021120cos 45EG ==︒≈米，∴2120EF EG +=（米），【详解】（1）解：设A 商品进价m 元，B 商品进价n 元，由题意得：84724338m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得82m n =⎧⎨=⎩，∴A 商品单价8元，B 商品单价2元；（2）解：①设A 商品购进x 件，B 商品为()200x -件，A 商品的总售价为1z 元，B 商品的总售价为2z 元，与销量a 件数；根据题意：设1z 的解析式为11z k x =，将()1，10代入11z k x =，∴110k =,∴110z x =，当80100a ≤≤时，设222z k a b =+，根据题意可得222280240100300k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2230k b =⎧⎨=⎩，∴当80100a ≤≤时，23z a =，当100200a ≤≤时，设233z k a b =+，根据题意可得：3333100300200550k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：332.550k b =⎧⎨=⎩，∴当80100a ≤≤时，2 2.550z a =+，∴232.550a z a ⎧=⎨+⎩，。

湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中三校2020届高三数学下学期6月适应性考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设1i2i 1iz -=++，则||z =A. 0B.12C. 1【答案】C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模.详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.已知集合2{|2}A x x =<，201x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B =（ ）A. ([)1,-∞-+∞B. (-C. ⎡-⎣D. 2⎤⎦【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出集合A 与B ，再利用集合的交集运算进行求解.【详解】{}2{|2}22A x x x x =<=-<<；{}20121x B x x x x ⎧⎫-=≤-<≤⎨⎬+⎩⎭，∴()1,2A B ⋂=-.故选：B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行集合的基本运算.求交集时，要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点. 3.对于平面、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )A. 若,,,,αα⊥⊥⊂⊂a m a n m n ,则a α⊥B. 若//,a b b α⊂,则//a αC. 若//,,,αβαγβγ==a b 则//a bD. 若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα 【答案】C 【解析】 【详解】若由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有错误；若此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面外时,才有错误；由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若//αβ，a αγ⋂=，b βγ=，则//a b 为真命题, 正确；若此时由面面平行的判定定理可知,只有当、为相交线时,才有//,D βα错误. 故选C.考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系. 4.给出下列结论：在回归分析中（1）可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好； （2）可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好； （3）可用相关系数r 的值判断模型的拟合效果，r 越大，模型的拟合效果越好；（4）可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高. 以上结论中，不．正确的是（ ） A. （1）（3） B. （2）（3）C. （1）（4）D. （3）（4）【答案】B 【解析】 【分析】由2R 越大，模型的拟合效果越好，2R 越大，模型的拟合效果越好，相关系数r 越大，模型的拟合效果越好，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，作出判断即可. 【详解】用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好，故（1）正确；用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故（2）不正确； 可用相关系数r 的值判断模型的拟合效果，r 越大，模型的拟合效果越好，故（3）不正确； 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故（4）正确； 故选：B【点睛】本题主要考查了相关系数和相关指数的性质，属于中档题. 5.已知ln0.5a =，b =，c 满足1ln c c e=，则实数a ，b ，c 满足（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质确定出,a b 的范围，借助图象确定出c 的范围，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】ln0.50a =<，01b e<=<， 1ln c c e =，即1ln cc e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，画出1xy e ⎛⎫= ⎪⎝⎭和ln y x =的图象，如图，可知1c >，所以01a b c <<<<，故a b c <<， 故选：A.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性以及图象，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数单调性：xy a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.6.在13nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64:1，则展开式中常数项为（ ） A. 540 B. 480 C. 320 D. 160【答案】A 【解析】【分析】由题得464,21n n =求出n 的值，再利用二项式展开式的通项求出常数项.【详解】由题得242642,6221n n n n n n ===∴=.613x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为66621661(3)()3(0,1,2,3,4,5,6)r r r r r rr T C x C x r x ---+===， 令620,3r r -=∴=.所以展开式中的常数项为3363540C =. 故选：A.【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数，考查二项式定理求指定的项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.设{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且n S 为数列{}n b 的前n 项和若21a =，1016a =，且66a b =，则11S =（ ） A. 20 B. 30C. 44D. 88【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可求出6a ，再利用11611S a =即可得解. 【详解】{}n a 为等比数列，∴2621016aa a =⋅=且4620a a q =⋅>，∴664b a ==，又 {}n b 为等差数列，∴1111161111442a a S a +=⨯==. 故选：C.【点睛】本题考查了等差、等比数列性质的应用以及等差数列的求和，属于基础题.8.已知实数,x y 满足3060x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则实数a 的取值范围是（ ）A. []2,1-B. []1,1-C. []1,3-D. []2,3-【答案】B 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合分类讨论，即可求解.【详解】画出约束条件3060x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域，如图所示，由z ax y =+，可得y ax z =-+，直线y ax z =-+的斜率为a -，在y 轴上的截距为z ， 则(3,9),(3,3),(3,3)A B C --，因为z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，可知目标函数经过点A 时取得最大值，经过点C 时取得最小值，若0a =，则y z =，此时目标函数z ax y =+经过点A 时取得最大值，经过点C 时取得最小值，满足条件；若0a >时，则目标函数的斜率为0k a =-<，要使得目标函数在点A 时取得最大值，经过点C 时取得最小值， 则目标函数的斜率满足1BC a k -≥=-，解得1a ≤，可得(0,1]a ∈； 若0a <，则目标函数的斜率为0k a =->，要使得目标函数在点A 时取得最大值，经过点C 时取得最小值， 则目标函数的斜率满足1BA a k -≤=，解得1a -≤，可得[1,0)a ∈-， 综上可得实数a 的取值范围是[]1,1-. 故选：B.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．9.已知P 是双曲线22:14y x E m-=上任意一点，,M N 是双曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线,PM PN 的斜率分别为12,k k (120k k ≠)，若12k k +的最小值为1，则实数m 的值为（ ） A. 16 B. 2C. 1或16D. 2或8【答案】A 【解析】 【分析】先求得12k k 为定值（用m 表示），再根据基本不等式求12k k +的最小值，最后根据最小值为1求m 的值.【详解】双曲线22:14y x E m-=中0m >设111122(,),(,),(,)M x y N x y P x y --，则222211221144y x y x m m-=-=，，所以相减得222222121212221240=4y y x x y y m x x m ----=∴-， 因此2221212112222121214=y y y y y y k k x x x x x x m-+-=⋅=-+-从而12122=116k k k k m m+≥=∴=（当且仅当12k k =时取等号） 故选：A【点睛】本题考查双曲线中有关斜率乘积为定值问题、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.10.已知函数()cos()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则3212x g π⎛⎫+=⎪⎝⎭是1()3f x =的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平移变换得到3()cos 4πωϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦g x A x ，再根据图象得到3731,46124πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭T A ，结合图象经过点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，求得()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()cos(2)3f x x π=-，然后根据充分和必要条件的定义求解.【详解】因为()cos()f x A x ωϕ=+，由函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到3()cos 4πωϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦g x A x ， 由图知：3731,46124πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭T A ，所以T π= ，解得22Tπω==， 所以()3()cos 2sin 24πϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦g x x x ， 又因为()g x 的图象经过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以7sin 16πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 所以7262k ππϕπ-+=+， 所以523k πϕπ=+，k Z ∈又因为||2ϕπ<，解得3πϕ=-，所以()sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()cos(2)3f x x π=-，若sin 2sin 21221236ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦x x g x ，则21()cos(2)cos 212sin 3663πππ⎛⎫⎛⎫=-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x x ，故充分； 若1()3f x =，即21()cos(2)cos 212sin 3663πππ⎛⎫⎛⎫=-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x x ，解得()sin 63π⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭g x x所以2123x g π⎛⎫+=⎪⎝⎭是1()3f x =的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，图象变换以及逻辑条件的判断，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.11.某中学高三年级在返校复学后，为了做好疫情防护工作，一位防疫督察员要将2盒完全相同的95N 口罩和3盒完全相同的普通医用口罩全部分配给3个不同的班，每个班至少分得一盒，则不同的分法种数是（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 30【答案】C 【解析】 【分析】首先分配3个普通口罩分为3种情况，再分配2个N 95口罩，按照分类加法计数原理与分步乘法计数原理求解即可.【详解】首先分配3个普通口罩分为3种情况，再分配2个N 95口罩：①3个普通口罩分配到同一个班级，2个N 95口罩分别分配到另外两个班级共133C =种情况；②3个普通口罩分别分配到3个班级(即每个班一个口罩)，2个N 95口罩随机分配到3个班级共21336C C +=种情况；③有1个班有1个普通口罩、1个班有2个普通口罩，剩余的1个班分配1个N 95口罩，剩余的1个N 95口罩随机分配共有11132318C C C ⋅⋅=种情况.共有361827++=种分法. 故选：C【点睛】本题考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合，属于基础题. 12.锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且1a =，cos cos 1b A B -=，若A ，B 变化时，2sin 2sin B A λ-存在最大值，则正数λ的取值范围是（ ）A. (0,3B. 1(0,)2C. (32D. 1(,1)2【答案】A 【解析】 【分析】由1a =，cos cos 1b A B -=可得cos cos b A a B a -=，由正弦定理转化为角的关系可以得到sin()sin B A A -=，由此推出2B A =，又ABC 为锐角三角形，可求出62A ππ<<，将2sin 2sin B A λ-都用角A 表示可以得到()2A ϕλ+-，且tan ϕλ=，当2sin 2sin B A λ-取最大值时利用tan tan 22A πϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭可求得λ的范围.【详解】解：因为1a =，cos cos 1b A B -=，所以cos cos b A a B a -=， 可得：sin cos sin cos sin B A A B A -=，即sin()sin B A A -=，2B A ∴=因为ABC 为锐角三角形，则有020202A B C πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得：62A ππ<<.2sin 2sin B A λ-()2sin 22sin sin 21cos2A A A A λλ=-=--()2A ϕλ+- ()tan ϕλ=， 当22A πϕ+=λ，此时22A πϕ=-，则1tan tan 22tan 2A Aπλϕ⎛⎫==-=⎪⎝⎭，232A ππ<<，tan 2A ∴>，即10tan 23A<<，所以0,3λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数正弦定理的应用，考查三角函数辅助角公式，对辅助角公式的熟练应用是解题的关键，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数21()1(0)()2log (0)xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，则1(())2=f f _____________．【答案】1 【解析】 【分析】先求出1()12f =-，再求(1)f -即得解. 【详解】由题得211()log 122f ==-， 所以111(())(1)()121122f f f -=-=-=-=. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查对数指数的运算，考查分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”； 丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“C 作品获得一等奖”． 若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据“学校艺术节对A B C D 、、、四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设A B C D 、、、分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果．【详解】若A 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 若B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意； 若C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意； 若D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 综上所述，故B 获得一等奖．【点睛】本题属于信息题，可根据题目所给信息来找出解题所需要的条件并得出答案，在做本题的时候，可以采用依次假设A B C D 、、、为一等奖并通过是否满足题目条件来判断其是否正确．15.已知抛物线2C:x =2(0)py p >的焦点为F ，点(1,0)A ，直线FA 与抛物线C 在第一象限内交于点P ，直线FA 与抛物线C 的准线l 交于点Q ，若2PQ FP =，则点P 到y 轴的距离为________【答案】2 【解析】 【分析】先求出直线AF 的方程，再求出点Q 的坐标，根据2PQ FP =，即可求出答案.【详解】由题意，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,)2p F ，其准线方程为2p y =-，因为(1,0)A ，所以直线AF 的方程为(1)2p y x =--，则(2,)2pQ -，因为2PQ FP =，所以(2,)2(,1)2P P P P px y x y ---=-，所以22P P x x -=，解得222P x =-， 所以点P 到y 的距离为222-.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用，以及向量的坐标运算，着重考查推理与运算能力16.7的球面上有三点,,A B C ，23AB =O ，二面角-C AB O -的大小为60°，当直线OC 与平面OAB 所成角最大时，三棱锥O ABC -的体积为____． 【答案】3 【解析】 【分析】先表示出二面角-C AB O -的平面角，结合长度及垂直关系求出三棱锥O ABC -的高，及底面积的最大值，代入体积公式可求体积.【详解】设ABC 所在截面圆的圆心为1,O AB 的中点为D, 连接1,OD O D ， 因为OA OB =，所以⊥OD AB ，同理1O D AB ⊥，所以1ODO ∠即为二面角C AB O --的平面角， 即160ODO ∠=； 因为7,3OA OB AB ===2OD =在1Rt ODO △中，13sin 60OO OD ==11cos602O D OD ==，所以13OO =11O D =;所以22112O A O D AD =+=;当直线OC 与平面OAB 所成角最大时，1,,C O D 三点共线，ABC 的面积为1233332S =⨯⨯=，此时三棱锥O ABC -的体积为111333333V S OO =⋅=⨯⨯=. 故答案为：3.【点睛】本题主要考查多面体和球的组合问题，综合了二面角，线面角及三棱锥的体积，综合性强，稍有难度，侧重考查数学运算及直观想象的核心素养.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知数列{}n a 满足1111,24n n n n a a a a a --=-=•()*2,,0n n n N a ≥∈≠ ()1证明数列()*11n n N a ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭为等比数列，求出{}n a 的通项公式；()2数列{}n a 的前项和为n T，求证：对任意*2,.3n n N T ∈<【答案】（1）证明见解析，11321n n a -=⨯+；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）把已知等式的两边同时除以1n n a a -⋅，然后再依据问题构造一个等比数列，可得到证明并能求{}n a ；（2）将各项进行放缩后得到一个等比数列，可求和，进而得到证明的问题.【详解】（1）由1120n n n n a a a a ----⋅=有1121111,121n n n n a a a a --⎛⎫-=∴-=- ⎪⎝⎭∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为1113a -=，公比为2的等比数列.1111132,.321n n n n a a --∴-=⋅∴=⨯+ （2） 11321n n a -=⨯+， 212111111111313213213213323232n n n T --∴=+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅++⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯， =121111113222n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=11121221.1332312n n -⎛⎫⋅=-< ⎪⎝⎭- 【点睛】本题考查了数列的递推式、等比数列的证明、通项公式及求和公式，考查了由递推式构造新数列的方法，考查了放缩的技巧，属于中档题．18.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，且12BC BB ==，1160A AB A AD ∠=∠=︒．（1）求证：1BD CC ⊥；（2）若动点E 在棱11C D 上，试确定点E 的位置，使得直线DE 与平面1BDB 所成角的正弦值7【答案】(1)见解析【解析】试题分析：（1）连接1A B ，1A D ，AC ，AC 与BD 的交点为O ，连接1A O ，则1A O BD ⊥，由正方形的性质可得AC BD ⊥，从而得BD ⊥平面1A AC ，1BD AA ⊥，又11//CC AA ，所以1BD CC ⊥；（2）由勾股定理可得1A O AO ⊥，由（1）得1AO BD ⊥，所以1A O ⊥底面ABCD ，所以OA 、OB 、1OA 两两垂直．以点O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，设111D E DC λ=（[]0,1λ∈），求得()1,,1DE λλ=--，利用向量垂直数量积为零可得平面1B BD 的一个法向量为()1,0,1n =，利用空间向量夹角余弦公式列方程可解得12λ=，从而可得结果. 试题解析：（1）连接1A B ，1A D ，AC ，因为1AB AA AD ==，1160A AB A AD ∠=∠=︒， 所以1A AB ∆和1A AD ∆均为正三角形， 于是11A B A D =．设AC 与BD 的交点为O ，连接1A O ，则1A O BD ⊥， 又四边形ABCD是正方形，所以AC BD ⊥，而1AO AC O ⋂=，所以BD ⊥平面1A AC ． 又1AA ⊂平面1A AC ，所以1BD AA ⊥， 又11//CC AA ，所以1BD CC ⊥．（2）由11A B A D ==2BD ==，知11A B A D ⊥，于是11122AO A O BD AA ===，从而1A O AO ⊥， 结合1A O BD ⊥，AO AC O ⋂=，得1A O ⊥底面ABCD ， 所以OA 、OB 、1OA 两两垂直．如图，以点O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，则()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()10,0,1A ，()1,0,0C -，()0,2,0DB =， ()111,0,1BB AA ==-，()111,1,0D C DC ==-，由()111,0,1DD AA ==-，易求得()11,1,1D --． 设111D E DC λ=（[]0,1λ∈）， 则()()1,1,11,1,0E E E x y z λ++-=-，即()1,1,1E λλ---， 所以()1,,1DE λλ=--．设平面1B BD 的一个法向量为(),,n x y z =， 由10,0,n DB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,0,y x z =⎧⎨-+=⎩令1x =，得()1,0,1n =，设直线DE 与平面1BDB 所成角为θ，则()()22110117sin cos ,211DE n λλθλλ⨯--+⨯+⨯===⨯+--+， 解得12λ=或13λ=-（舍去）， 所以当E 为11D C 的中点时，直线DE 与平面1BDB 所成角的正弦值为714．【方法点晴】本题主要考查利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知613AB BC =. （1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.【答案】（1）12e =；（2）22143x y +=.【解析】【详解】（1）∵A (,0)a -,设直线方程为2()y x a =+,11(,)B x y 令0x =,则2y a =,∴(0,2)C a ,∴1111(,),(,2)AB x a y BC x a y =+=--∵613AB BC =，∴1x a +=11166(),(2)1313x y a y -=-, 整理得111312,1919x a y a =-=∵B 点在椭圆上,∴22221312()()11919a b+⋅=,∴223,4b a ∴2223,4a c a -=即2314e -=,∴12e = （2）∵223,4b a可设223.4b t a t ==, ∴椭圆的方程为2234120x y t +-=由2234120{x y t y kx m+-==+得222(34)84120k x kmx m t +++-=∵动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P∴0∆=,即2222644(34)(412)0k m m m t -+-= 整理得2234m t k t =+ 设P 11(,)x y 则有122842(34)34km km x k k =-=-++,112334my kx m k =+=+ ∴2243(,)3434km mP k k -++又(1,0)M ,Q (4,4)k m +若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥, ∴2243(1,)(3,(4))03434km mk m k k +-⋅--+=++恒成立整理得2234k m +=,∴223434k t k t +=+恒成立,故1t =所求椭圆方程为22143x y +=考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，共线向量，平面向量垂直的充要条件. 20.湖北七市州高三5月23日联考后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩()x 和物理成绩()y ，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点,A B ．经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：4242421114620,3108,350350,i i i i i i i x y x y ======∑∑∑()422116940,i i x x =∑-=()42215250,i i y y =∑-=其中i x ，i y 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，1i =，2，…，42，y 与x 的相关系数0.82r =．（1）若不剔除,A B 两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为0r ．试判断0r 与r 的大小关系，并说明理由；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并估计如果B 考生参加了这次物理考试（已知B 考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（3）从概率统计规律看，本次考试七市州的物理成绩ξ服从正态分布()2,N μσ，以剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数y 作为μ的估计值，用样本方差2s 作为2σ的估计值．试求七市州共50000名考生中，物理成绩位于区间（62.8，85.2）的人数Z 的数学期望．附：①回归方程y a bx =+中：121()()()niii nii x x yy a y bx b x x ==--==--∑∑，②若()2~,N ξμσ，则()0.6827,(22)0.9545P P μσξμσμσξμσ-<<+≈-<<+≈11.2≈【答案】（1）0r r ＜，理由详见解析；（2）ˆ0.519y x =+，81分；（3）34135．【解析】 【分析】（1）根据正相关关系可判断0r r ＜，理由可从偏差大小与相关系数大小关系分析；（2）先计算均值，再代入公式求ˆˆb a ，，即得线性回归方程，最后令125x =，求出y 值即为估计值；（3）先确定区间（62.8，85.2）为(,)μσμσ-+，即可得对应概率，再根据二项分布公式可得数学期望.【详解】【解】（1）0r r ＜．理由如下（任写一条或几条即可）：由图可知，y 与x 成正相关关系，①异常点,A B 会降低变量之间的线性相关程度．②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小．③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大．④42个数据点更贴近其回归直线l ．⑤44个数据点与其回归直线更离散（2）由题中数据可得：42421111110,744242i i i i x x y y ======∑∑， 所以()()4242114235035042110748470i i i ii i x x y y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑ 又因为()422116940ii x x =-=∑，所以()()()1218470ˆ0.516940n i i i n ii x x y y b x x ==--===-∑∑， ˆˆ740.511019ay bx =-=-⨯=，所以ˆ0.519y x =+， 将125x =代入，得0.512518.6462.51981.5y =⨯+=+=，所以估计B 同学的物理成绩为81（3）4242221111174,()5250125424242i i i i y y s y y =====-=⨯=∑∑， 所以~(74,125)N ξ11.2≈所以(62.885.2)(7411.27411.2)0.6827P P ξξ<<=-<<+= 因为~(50000,0.6827)Z B ，所以()500000.682734135E Z =⨯=，即物理成绩位于区间（62.8，85.2）的的人数Z 的数学期望为34135．【点睛】本题考查相关系数、线性回归方程、利用线性回归方程估计、利用正态分布求特定区间概率、利用二项分布求数学期望，考查综合分析求解能力，属中档题.21.已知函数cos ()sin cos ,()x f x x x x g x x=+=． （1）判断函数()f x 在区间(0,3)π上零点的个数；（2）设函数()g x 在区间(0,3)π上的极值点从小到大分别为12,,,n x x x ⋯，证明()()()120n g x g x g x ++⋯+<成立【答案】（1）3；（2）详见解析．【解析】【分析】（1）先求出()cos f x x x '=，再对x 分四个区间讨论得到()f x 在(0,3)π有3个零点；（2）由题得2()()f x g x x '=-，证明在3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有极小值点，即为1x ，在35,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭有极大值点即为2x ，在5,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭有极小值点3x ，再证明()()120g x g x +<，()30g x <，即得证. 【详解】解（1）()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-= 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0,()0,()(0)1,()x f x f x f f x '>∴>∴>=无零点； 当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0,()0,()x f x f x '<∴<∴单调递减 又330,0,()2222f f f x ππππ⎛⎫⎛⎫=>=-<∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有唯一零点； 当35,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0,()0,()x f x f x '>∴>∴单调递增 又33550,,()2222f f f x ππππ⎛⎫⎛⎫=-<=∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有唯一零点； 当5,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0,()0,()x f x f x '<∴<∴单调递减 又55,(3)1()22f f f x πππ⎛⎫==-∴ ⎪⎝⎭有唯一零点； 综上所述：()f x 在(0,3)π有3个零点.（2）22sin cos ()()x x x f x g x x x +'=-=-， 由（1）知：()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭无极值点；在3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有极小值点，即为1x ，在35,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭有极大值点即为2x ，在5,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭有极小值点3x ， 又330,()10,02222f f f πππππ⎛⎫⎛⎫=>=-<=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (2)10f π=>，55,(3)122f f πππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 可知123135,,,2,,3222x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∈∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由sin cos 0n n n x x x +=得cos 1sin ,tan ,n n n n nx x x x x =-=- 120x x <<，()1121211,tan tan tan x x x x x π∴-<-+=<， 而1233,2,,222x x πππππ⎛⎫⎛⎫+∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故有12x x π+< ()()()1212121212cos cos sin sin sin sin x x g x g x x x x x x x π∴+=+=--=+- sin y x =在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是增函数，()12sin sin 0x x π∴+-<， 即()()120g x g x +<()3335,3sin 02x g x x ππ⎛⎫∈∴=-< ⎪⎝⎭()()()1230g x g x g x ∴++<.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分．22.已知点A 为圆C ：()2211x y -+=上的动点，O 为坐标原点，过()0,4P 作直线OA 的垂线（当A 、O 重合时，直线OA 约定为y 轴），垂足为M ，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点M 的轨迹的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为sin 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，连接OA 并延长交l 于B ，求OA OB 的最大值. 【答案】（1）4sin ρθ=；（2）28 【解析】【分析】（1）设M 的极坐标为(),ρθ，在OPM 中，有4sin ρθ=，即可得结果；（2）设射线OA ：θα=，,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，联立两个方程，可求出OA ，联立sin 43πρθθα⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得OB ，则计算可得1sin 243OA OB πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭利用三角函数的性质可得最值.【详解】（1）设M 的极坐标为(),ρθ，在OPM 中，有4sin ρθ=， ∴点M 的轨迹的极坐标方程为4sin ρθ=；（2）设射线OA ：θα=，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 由2cos ρθθα=⎧⎨=⎩得：12cos OA ρα==， 由sin 43πρθθα⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得：24sin 3OB ρα==π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 2cos 4sin 3OA OB αα∴=π⎛⎫+ ⎪⎝⎭1cos sin 23ααπ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭ 1cos sin sin cos cos sin 233αααππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21sin cos cos 44ααα=+)1sin 2cos 2188αα=++1sin 243πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭242333απππ∴-<+<， ∴当232ππα+=，即12πα=时，max OA OB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，OAOB ∴. 【点睛】本题考查极坐标方程的应用，考查三角函数性质的应用，是中档题.23.已知函数()1f x x =+.（1）求不等式()423f x x ≤--的解集；（2）若正数m 、n 满足2m n mn +=，求证：()()28f m f n +-≥.【答案】（1）{}02x x ≤≤；（2）见解析【解析】【分析】 （1）()423f x x ≤--等价于（Ⅰ）()()11234x x x <-⎧⎨-+--≤⎩或（Ⅱ）()()3121234x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或（Ⅲ）()()321234x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩，分别解出，再求并集即可；（2）利用基本不等式及2m n mn +=可得28m n +≥，代入()()21212f m f n m n m n +-=++-+≥+可得最值.【详解】（1）()423f x x ≤--等价于（Ⅰ）()()11234x x x <-⎧⎨-+--≤⎩或（Ⅱ）()()3121234x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或（Ⅲ）()()321234x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩ 由（Ⅰ）得：123x x x <-⎧⎪⇒∈∅⎨≥-⎪⎩由（Ⅱ）得：3130220x x x ⎧-≤≤⎪⇒≤≤⎨⎪≥⎩由（Ⅲ）得：332222x x x ⎧>⎪⇒<≤⎨⎪≤⎩. ∴原不等式的解集为{}02x x ≤≤；（2）0m >，0n >，2m n mn +=，()()221122224m n m n m n +∴+=⋅≤⨯， 28m n ∴+≥，当且仅当22m n m n mn =⎧⎨+=⎩，即42m n =⎧⎨=⎩时取等号， ()()212128f m f n m n m n ∴+-=++-+≥+≥，当且仅当210n -+≤即12n ≥时取等号， ()()28f m f n ∴+-≥.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，考查三角不等式的应用及基本不等式的应用，是一道中档题.。

湖北省襄阳五中、钟祥一中、夷陵中学2025届高考数学倒计时模拟卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10 B ．14-C ．–18D ．–202．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i - B ．2z =C ．z 的共轭复数为1i --D ．2z 为纯虚数3．已知复数12iz i-=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭4．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ）A ．24πB ．C D ．12π5．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅的值为（ ）A ．201912--B ．201912-+C ．201912-D ．201912+6．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x 成立 7．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π8．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（ ）A ．8B ．4C ．2D ．19．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（ ）A ．B ．18C ．1D ．19-10．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．23,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．231,3⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．(1,3⎤⎦11．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）．A ．{|31}x x -<<-B ．1{|1}3x x -<<- C ．{|3x x <-或1}x >- D ．{|1x x <-或1}3x >-12．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2014届高三襄阳五中、钟祥一中、夷陵中学五月联考数学试卷（理科）【试卷综析】本试卷是高三高考模拟试卷，但是考查了高中的的全部内容。

以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查。

知识考查注重基础、注重常规、不过多涉及综合性较强的问题、注重主干知识，兼顾覆盖面。

试题重点考查：平面向量及三角函数，统计与概率，立体几何中的垂直关系、直线与平面所成的角、点到平面的距离，解析几何中的双曲线及其性质，运用导数处理函数的性质及最值等。

本试景卷考查了分类讨论、数形结合、函数与方程的思想方法，具有很好的区分度，是份非常好的高考训练试卷一、选择题（每题5分，共50分）1． 复数2341i i i i++-在复平面内对应的点与原点的距离为 A ．1 B ．22 C ．2 D ．2【知识点】复数的四则运算法则、复数的几何意义及两点间的距离【答案解析】B 解析： 23411(1)1111(1)(1)22i i i i i i i i i i i ++--+-⋅+===----⋅+对应点为11(,)22-，它与原点的距离为22112()()222+-=，故选：B ． 【思路点拨】利用复数的四则运算法则化简复数，由复数的几何意义可知其对应的点的坐标，再利用两点间的距离公式求得距离2．当01x << 时，则下列大小关系正确的是A ．x x x 33log 3<<B ．x x x 33log 3<<C ．x x x 3log 33<<D ．333log x x x << 【知识点】指数函数、对数函数及幂函数的图象及性质【答案解析】C 解析：01x << ，301x ∴<<，0331x >=，33log log 10x <=，所以x x x 3log 33<<，故选：C ． 【思路点拨】这三个数既有指数式、又有对数式，还有幂的形式，利用中间变量0与1进行比较3．已知α，β表示两个相交的平面，直线l 在平面α内且不是平面α，β的交线，则“β⊥l "是“α⊥β”的A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点】充要条件、两个平面垂直的判断与性质、直线与平面垂直的判断与性质【答案解析】A 解析：由两平面垂直的判定定理，得l βαβ⊥⇒⊥；若αβ⊥，当直线l不与交线垂直时， l 与β不垂直，l αββ⊥⇒⊥故选：A ．【思路点拨】若l βαβ⊥⇒⊥，则β⊥l "是“α⊥β”的充分条件；若l αββ⊥⇒⊥，则β⊥l "是“α⊥β”的必要条件；若l βαβ⊥⇔⊥，则β⊥l "是“α⊥β”的充要条件4某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：考试次数x1 2 3 4 所减分数y 4.5 4 3 2.5显然所减分数y 与模拟考试次数x 之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为A ．25.57.0+=x yB ．25.56.0+-=x yC ．25.67.0+-=x yD ．25.57.0+-=x y【知识点】回归分析、线性相关、回归中心【答案解析】D 解析：由于随关x 的增大，y 却减小，所以x 与y j 负相关，所以0b< ，排除A ；由于1(1234) 2.54x =+++=，1(4.543 2.5) 3.54y =+++=，所以回归中心为(2.5,3.5)，将其代入其它三个选项，得直线25.57.0+-=x y 通过回归中心为(2.5,3.5)故选：D ．【思路点拨】排除法，利用正相关0b> ，负相关0b < ，及回归直线一定过回归中心 5．若一个底面是等腰直角三角形（C 为直角顶点）的三棱柱的正视图如图所示，则该三棱柱的体积等于A ．31B ．1C ．33 D ．3 【知识点】三视图、多面体的体积【答案解析】B 解析：由正视图及已知，可得这个三棱柱的高为1，底面等腰直角三角形的斜边是2，所以两条直角边是2，从而三棱柱的体积为1(22)112V S h ==⨯⨯⨯=底，故选：B ．【思路点拨】由已知与三视图画出几何体，再用6．实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥-b x y x y y x 02，则y x z +=2的最小值为3，则实数b 的值为A ．94B ．—94C ．49D ．—49 【知识点】一元二次不等式所表示的平面区域，线性规划【答案解析】Ｃ 解析：画出图形可知，当直线y x z +=2过20x y -=与直线y x b =-+的交点4(,)33b b 时，z 的值最小，所以2923334b b b ⨯+=⇒=，故选：Ｃ． 【思路点拨】先画出不等式组所表示的区域，观察可知，当直线y x z +=2过20x y -=与直线y x b =-+的交点时，z 的值最小，列式可求出b 的值7．如图，在矩形OABC 内：记曲线3y x =与直线y x =围成的区域为M （图中阴影部分）．随机往矩形OABC 内投一点P ，则点P 落在区域M 内的概率是( )A ．118 B. 732 C .532 D ．116【知识点】几何概型、定积分 【答案解析】 Ｃ 解析：区域M 的面积为123301()()M S x x dx x x dx =-+-⎰⎰ 2414220111115()|()|24422x x x x =-+-=，所以则点P 落在区域M 内的概率是5521632P ==故选：Ｃ． 【思路点拨】由于基本事件是无数多个，所以本题是几何概型的应用，用阴影部分的面积除以矩形的面积即可，阴影部分的面积可以用定积分求解8．如果1111221011...)23(x a x a x a a x ++++=+，那么210420211531)...()...(a a a a a a a a ++++-++++的值是A ．—1B ．0C ．3D ．1【知识点】二项式定理、整体代入思想【答案解析】Ｄ解析：取1x =得，11012311...(23)a a a a a +++++=+，令1x =-，得11012311...(32)a a a a a -+-+-=-，210420211531)...()...(a a a a a a a a ++++-++++0121101211(...)(...)a a a a a a a a =++++⋅-+--11[(32)(32)]1=+-=所以故选：Ｄ．【思路点拨】先将所求的式子因式分解，然后分别令1x =±，所得结果整体代入既可9．点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点∠F 1PF 2=90°,且△F 1PF 2的三条边长之比为3：4：5．则双曲线的渐近线方程是A ．x y 32±=B ．x y 4±=C ．x y 52±=D ．x y 62±=【知识点】双曲线及其性质【答案解析】Ｄ解析：设1||4PF x =，2||3PF x =，12||5F F x =，由双曲线定义，得12||||||2PF PF a -=，所以2a x =，25c x =，12a x ∴=，52c x =，226b c a x =-=，所以渐近线方程为26b y x x a=±=±，故选：Ｄ．【思路点拨】由比例关系可以设设1||4PF x =，2||3PF x =，12||5F F x =，这样由勾股定理及双曲线定义及性质可以用x 表示a 与b ，即可以求出双曲线的渐近线方程10．定义域为[a ,b ]的函数y =f (x )图象的两个端点为A 、B ，向量OB OA ON )1(λλ-+=， M (x ,y )是f (x )图象上任意一点，其中]1,0[,)1(∈-+=λλλb a x . 若不等式|MN |≤k 恒成立， 则称函数f (x )在[a ,b ]上满足“k 范围线性近似”，其中最小的正实数k 称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[1,2]上函数中，线性近似阀值最小的是 （ ）A ． 2y x = Ｂ. 2y x= C. sin 3x y π= D. 1y x x =- 【知识点】向量知识的运用，考查函数最值求解,函数恒成立问题 【答案解析】Ｄ 解析：由题意，M 、N 横坐标相等，不等式||MN k ≤对[0,1]λ∈恒成立，最小的正实数k 应为||MN 的最大值．①对于函数2y x =，由A 、B 是其图象上横坐标分别为a 、b 的两点，则(1,1)A ，(2,4)B ∴AB 方程为411(1)21y x --=--，即32y x =- 22131|||(32)||()|424MN x x x =--=--≤，，线性近似阀值为14．②同样对于函数2y x=，由(1,2)A ，(2,1)B ，AB 方程为3y x =-+，22|||3||3()|322MN x x x x=-+-=-+≤-，线性近似阀值为322-．③同样对于函数sin 3xy π=，3(1,)2A ，，3(2,)2B ，AB 方程为32y =，由三角函数图象与性质可知3||12MN ≤-，线性近似阀值为312-，④同样对于函数1y x x =-，，得(1,0)A ，3(2,)2B ∴直线AB 方程为3(1)2y x =-，13313|||(1)||()|22222x MN x x x x ∴=---=-+≤-，线性近似阀值为322-.由于为133********>->->-．所以线性近似阀值最小的是1y x x =-,故选：D ． 【思路点拨】由已知，先得出M 、N 横坐标相等，将问题转化为求函数的最值问题二、填空题（本大题共5-11题，每小题5分，满分25分．1 1～1 4题为必做题，1 5题、16题为选做题）：必做题11．执行如图2所示的程序框图，若输出7S =，则输入()k k N *∈的值为 .【知识点】程序框图 ．【答案解析】3 解析0,01,1n S n S ==→==→2,33,7n S n S ==→==,所以输入()k k N *∈的值为３【思路点拨】当n k ≥时，执行输出S ．12．10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能人选的选法有 种．【知识点】加法原理与乘法原理、组合 ．【答案解析】77解析：分为两类：当选的３人中没有老队员时，有3735C =种选法；当有一名老队员时，有122742C C =种选法；共有31272777C C C +=种选法【思路点拨】按照题目要求将选法分为两类：一类是当选的３人中没有老队员，另一类是只有一名老队员，然后相加即可，由于选３人参加团体比赛与次序无关，所以组合不是排列．13．已知a, b 均为正数且θθθθ2222sin cos ,6sin cos b a b a +≤+则的最大值为 ．【知识点】重要不等式 ． 【答案解析】6 解析 由于22222()()(c )ac bd a b d +≤++，所以2222222(cos sin )(cos sin )(cos sin )6a b a b θθθθθθ+≤++≤ ，22cos sin 6a b θθ∴+≤，所以22cos sin a b θθ+的最大值为6【思路点拨】根椐柯西不等式容易求解14．已知等比数列()1nn c =-和等差21n b n =-,数列{}n a 的项由{}n b 和{}n c 中的项构成且11a b =,在数列{}n b 的第k 和第1k +项之间依次插入2k 个{}n c 中的项,即： 1122345637891011124,,,,,,,,,,,,,,,,...b c c b c c c c b c c c c c c b 记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2014S = ．【知识点】等差数列、等比数列求和．【答案解析】16 1936 解析 ：由已知，得10n n c c ++=，2012341216()()S b b b b c c c =+++++++ 135716=+++=；数列{}n a 中从1b 到1k b +共有212(123)(1)k k k ++++++=+ 项。

2015-2016学年湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=( ) A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}2．若a=3a+1，b=ln2，c=log2sin，则( )A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a3．某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的P为24，则输出的n，S的值分别为( )A．n=4，S=30 B．n=4，S=45 C．n=5，S=30 D．n=5，S=454．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为( )①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．A．①③ B．②③ C．②④ D．①④5．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为( )A．2 B．3 C．4 D．56．若将函数y=2sin（4x+ϕ）的图象向右平移个单位，得到的图象关于y轴对称，则|ϕ|的最小值是( )A．B．C．D．7．函数f（x）=cosx，（﹣＜x＜）的图象大致是( )A． B．C．D．8．已知直线Ax+By+C=0（其中A2+B2=C2，C≠0）与圆x2+y2=4交于M，N，O是坐标原点，则•=( )A．﹣1 B．﹣1 C．﹣2 D．29．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．54 B．27 C．18 D．910．已知过原点O的直线与函数y=log9x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y=log3x的图象交于C，D两点，当BC∥x轴时，A点的横坐标是( )A．B．2 C．D．311．已知平面向量、、满足＜，＞=60°，且{||，||，||}={1，2，3}，则||的最大值是( )A．B．C．D．12．定义函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间（n∈N*）内的所有零点的和为( )A．n B．2n C．（2n﹣1）D．（2n﹣1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=x﹣4y的最大值为__________．14．设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为上的最小值．18．已知函数（x∈是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．19．如图直三棱柱ABC﹣A′B′C′的侧棱长为3，AB⊥BC，且AB=BC=3，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．（1）求证：无论E在何处，总有CB′⊥C′E；（2）当三棱锥B﹣EB′F的体积取得最大值时，求AE的长度．（3）在（2）的条件下，求异面直线A′F与AC所成角．20．小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）根据图中的数据信息，求出众数x1和中位数x2（精确到整数分钟）；（Ⅱ）小明的父亲上班离家的时间y在上午7：00至7：30之间，而送报人每天在x1时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A）的概率．21．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD 的方程；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．22．已知数列{a n}、{b n}中，对任何正整数n都有：a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2…+a n﹣1b2+a n b1=2n+1﹣n﹣2．（1）若数列{a n}是首项和公差都是1的等差数列，求b1，b2，并证明数列{b n}是等比数列；（2）若数列{b n}是等比数列，数列{a n}是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；（3）若数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，求证：++…+＜．2015-2016学年湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=( ) A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∁R B={1，5，6}；∴A∩（∁R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．故选：B．【点评】考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．2．若a=3a+1，b=ln2，c=log2sin，则( )A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=3a+1，化为＞0，当0＜a≤3时不成立，∴a＞3．0＜b=ln2＜1，c=log2sin＜0，∴a＞b＞c，故选：B．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的P为24，则输出的n，S的值分别为( )A．n=4，S=30 B．n=4，S=45 C．n=5，S=30 D．n=5，S=45【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入24，可得：进入循环的条件为S＜24，即S=0，1，2，3，模拟程序的运行结果，即可得到输出的n，S值．【解答】解：开始S=0时，S=0+3=3，n=2；S=3+6=9，n=3；S=9+9=18，n=4；S=18+12=30，n=5；此时S＞24，退出循环，故最后输出的n，S的值分别为n=5，S=30．故选C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．4．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为( )①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；推理和证明．【分析】利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答．【解答】解：对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m 平行的直线．故①错误；对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．故②正确；对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故③错误；对于④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故④正确；故选：C．【点评】本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系；关键是熟练运用定理，全面考虑．5．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为( )A．2 B．3 C．4 D．5【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；概率与统计．【分析】求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=6．设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3．故选：B．【点评】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键．6．若将函数y=2sin（4x+ϕ）的图象向右平移个单位，得到的图象关于y轴对称，则|ϕ|的最小值是( )A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】常规题型；三角函数的图像与性质．【分析】先根据左加右减的原则将函数y=2sin（4x+ϕ）的图象向右平移个单位，然后根据图象关于y轴对称，知函数为偶函数，结合诱导公式求出|ϕ|的最小值．【解答】解：将函数y=2sin（4x+ϕ）的图象向右平移个单位后得到的图象对应函数为，又图象关于y轴对称，所以所得函数为偶函数，故，即，所以|φ|的最小值为，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数图象的平移及三角函数的性质，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．三角函数奇偶性的转化结合诱导公式实现．7．函数f（x）=cosx，（﹣＜x＜）的图象大致是( )A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】通过函数的奇偶性以及特殊值即可得到正确选项．【解答】解：﹣＜x＜时，y=cosx是偶函数，并且y=cosx∈（0，1]，函数f（x）=cosx，（﹣＜x＜）是偶函数，cosx∈（0，1]时，f（x）≥0．∴四个选项，只有C满足题意．故选：C．【点评】本题考查函数的图象的判断，一般通过函数的定义域、值域．单调性，奇偶性，变化趋势等知识解答．8．已知直线Ax+By+C=0（其中A2+B2=C2，C≠0）与圆x2+y2=4交于M，N，O是坐标原点，则•=( )A．﹣1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】本题是考查平面几何、向量、解析几何有关知识，先求出圆心到直线的距离，这样得到特殊的直角三角形，求出圆心角，根据圆的半径知道向量的模是2，代入数量积公式求解．【解答】解：圆心O到直线Ax+By+C=0的距离，∴，∴•=，故选C．【点评】通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，注意与方程、函数等知识的联系，一般的向量问题的处理有两种思路，一种是纯向量式的，另一种是坐标式，两者互相补充．9．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．54 B．27 C．18 D．9【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，由体积公式可求．【解答】解：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，且底面为矩形，长6，宽3；体高为3．则=18．故选：C．【点评】做三视图相关的题时，先要形成直观图，后要注意量的关系．属于基础题．10．已知过原点O的直线与函数y=log9x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y=log3x的图象交于C，D两点，当BC∥x轴时，A点的横坐标是( )A．B．2 C．D．3【考点】函数与方程的综合运用．【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用．【分析】可分别设A（x1，log9x1），B（x2，log9x2），A，B在过点O的直线上，从而便有（1），可得到点C的纵坐标为log3x1，根据BC∥x轴便可得到log3x1=log9x2，从而可得到，带入（1）式便可求出x1，即求出C点的横坐标．【解答】解：如图，设点A，B的横坐标分别为x1，x2，由题设知，x1＞1，x2＞1；∴A，B点的纵坐标分别为log9x1，log9x2；∵A，B在过点O的直线上；∴；点C，D的坐标分别为（x1，log3x1），（x2，log3x2）；∵BC∥x轴；∴log3x1=log9x2；∴；∴；∴；∴x1=2．故选B．【点评】考查根据点的坐标求直线的斜率，以及对数的运算性质，对数函数的单调性．11．已知平面向量、、满足＜，＞=60°，且{||，||，||}={1，2，3}，则||的最大值是( )A．B．C．D．【考点】向量的模．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由题意可知，当和+同向时，||有最大值，根据向量的数量积的运算得到||2=||2+||2+||||，分别令||∈{1，2，3}，求出值，再比较大小即可．【解答】解：平面向量、、满足＜，＞=60°，当和+同向时，||有最大值，∴||max=||+||，∵||2=||2+||2+2=||2+||2+2||||cos60°=||2+||2+||||，当||=1时，∴||2=4+9+6=19，∴||=1+，当||=2时，∴||2=1+9+3=13，∴||=2+，当||=3时，∴||2=1+4+2=7，∴||=3+，∵3+＞2+＞1+，||的最大值是3+．故选：A．【点评】本题考查了向量的模的运算和向量的数量积的运算，关键得到当和+同向时，||有最大值，属于中档题．12．定义函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间（n∈N*）内的所有零点的和为( )A．n B．2n C．（2n﹣1）D．（2n﹣1）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x≤2，f（x）是二次函数，当x ＞2时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出．【解答】解：当时，f（x）=8x﹣8，所以，此时当时，g（x）max=0；当时，f（x）=16﹣8x，所以g（x）=﹣8（x﹣1）2+2＜0；由此可得1≤x≤2时，g（x）max=0．下面考虑2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）的最大值的情况．当2n﹣1≤x≤3•2n﹣2时，由函数f（x）的定义知，因为，所以，此时当x=3•2n﹣2时，g（x）max=0；当3•2n﹣2≤x≤2n时，同理可知，．由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）max=0．综上可得：对于一切的n∈N*，函数g（x）在区间上有1个零点，从而g（x）在区间上有n个零点，且这些零点为，因此，所有这些零点的和为．故选：D【点评】本题属于根的存在性及根的个数的判断的问题，是一道较复杂的问题，首先它是分段函数，各区间上的函数又很复杂，挑战人的思维和耐心．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=x﹣4y 的最大值为1．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值和最小值．【解答】解：由z=x﹣4y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B（1，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大．此时z的最大值为z=1﹣4×0=1．故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．注意目标函数的几何意义．14．设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为故答案为：a＞2或a＜﹣3或﹣1＜a＜2．【点评】本题考查了分段函数的性质的判断与应用．16．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦×矢+矢2）．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为π，弦长等于9米的弧田．按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为9π﹣﹣．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用扇形的面积公式，计算扇形的面积，从而可得弧田的实际面积；按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢2），从而可求误差．【解答】解：扇形半径r=3扇形面积等于=9π（m2）弧田面积=9π﹣r2sin=9π﹣（m2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为．按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢2）=（9×+）=（+）．∴9π﹣﹣（+）=9π﹣﹣按照弧田面积经验公式计算结果比实际少9π﹣﹣平方米．故答案为：9π﹣﹣．【点评】本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知函数f（x）=sinx﹣2sin2（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函数的周期性及其求法即可得解；（2）由x∈，可求范围x+∈，即可求得f（x）的取值范围，即可得解．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin（x+）﹣∴f（x）的最小正周期T==2π；（2）∵x∈，∴x+∈，∴sin（x+）∈，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈，∴可解得f（x）在区间上的最小值为：﹣．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．18．已知函数（x∈是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）设1≤x1＜x2＜+∞，=（x1﹣x2）（），由1≤x1＜x2＜+∞，m＜1，能够证明函数f（x）在，由此进行分类讨论，能够求出实数m的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：设1≤x1＜x2＜+∞，=（x1﹣x2）（）∵1≤x1＜x2＜+∞，m＜1，∴x1﹣x2＜0，＞0，∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）在①g（x）在上单调递增，且g（x）＞0，②g（x）在上单调递减，且g（x）＞0，无解综上所述【点评】本题考查函数的恒成立问题的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．19．如图直三棱柱ABC﹣A′B′C′的侧棱长为3，AB⊥BC，且AB=BC=3，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．（1）求证：无论E在何处，总有CB′⊥C′E；（2）当三棱锥B﹣EB′F的体积取得最大值时，求AE的长度．（3）在（2）的条件下，求异面直线A′F与AC所成角．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质．【专题】综合题；转化思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】（1）先由线线垂直证明线面垂直，再利用线面垂直的性质证明即可．（2）利用函数求最值的方法，求解最值时符合的条件，确定E，F是AB，BC的中点，再求解．（3）根据异面直线所成角的定义进行求解即可．【解答】解：（1）连接AC′、BC′，∵BB'C'C是正方形，∴B′C⊥BC′又∵AB⊥BC，BB′⊥AB，∴AB⊥平面BB′C′C∴B′C⊥AB，BC′∩AB=B∴B′C⊥平面ABC′，又∵C′E⊂平面ABC′，∴B′C⊥C′E（2）设AE=BF=m，∵直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∴BB′为三棱锥B﹣EB′F的高，底面△BEF为直角三角形，∴三棱椎B′﹣EBF的体积为．当时取等号，故当，即点E，F分别是棱AB，BC上的中点时，体积最大，此时△ABC为正三角形，则AF=3×=（3）由（2）知点E，F分别是棱AB，BC上的中点时，体积最大，则EF∥AC，∴∠A′FE为异面直线AC与C′F所成的角；∵，，，∴．【点评】本题考查异面直线所成的以及线面垂直的判定与性质，利用定义法是解决本题的关键．20．小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）根据图中的数据信息，求出众数x1和中位数x2（精确到整数分钟）；（Ⅱ）小明的父亲上班离家的时间y在上午7：00至7：30之间，而送报人每天在x1时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等），求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A）的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）众数为出现频率最高的数，体现在直方图中应为最高矩形所在区间两端点的中点，中位数是从小到大排列中间位置的数，在直方图中其两边的小矩形面积相等，（Ⅱ）考查几何概型，条件中已有父亲上班离家的时间y，再设报纸送达时间为x，关于两个变量的不等式围成平面区域内的点为所有可能，收到报纸即报纸送到时间早于父亲上班时间即想x≤y，围成平面区域为梯形，利用几何概型转化为面积之比求解即可．【解答】解：（Ⅰ）众数最高矩形所在区间的中点，则x1=7：00由频率分布直方图可知6：50＜x2＜7：10即410＜x2＜430∴20×0.0033+20×0.0117+（x2﹣410）×0.0233=20×0.0100+20×0.0017+（430﹣x2）×0.0233解得x2=6：59，（Ⅱ）设报纸送达时间为x，则小明父亲上班前能取到报纸等价于，如图所求概率为P=1﹣=【点评】本题（Ⅰ）考查在丢失原始数据的情况下利用直方图求解一些数据，尤其是众数，中位数和平均数，要理解并记忆，（Ⅱ）概率不是古典概型就是几何概型，事件可一一列举多位古典概型，否则为几何概型，设报纸送达时间为x，关于x、y的二元一次不等式组对应平面区域，转化为几何概型，求面积之比．21．已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD 的方程；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【考点】圆方程的综合应用．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）设P（2m，m），代入圆方程，解得m，进而可知点P的坐标．（2）设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2），由圆心M到直线CD的距离求得k，则直线方程可得．（3）设P（2m，m），MP的中点，因为PA是圆M的切线，进而可知经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到经过A，P，M三点的圆必过定点的坐标．【解答】解：（1）设P（2m，m），由题可知MP=2，所以（2m）2+（m﹣2）2=4，解之得：，故所求点P的坐标为P（0，0）或．（2）设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2），易知k存在，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，解得，k=﹣1或，故所求直线CD的方程为：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0．（3）设P（2m，m），MP的中点，因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为：化简得：x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，此式是关于m的恒等式，故x2+y2﹣2y=0且（2x+y﹣2）=0，解得或所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或（，）．【点评】本题主要考查了圆方程的综合运用．解题的关键是对圆性质的熟练掌握．22．已知数列{a n}、{b n}中，对任何正整数n都有：a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2…+a n﹣1b2+a n b1=2n+1﹣n﹣2．（1）若数列{a n}是首项和公差都是1的等差数列，求b1，b2，并证明数列{b n}是等比数列；（2）若数列{b n}是等比数列，数列{a n}是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；（3）若数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，求证：++…+＜．【考点】数列与不等式的综合．【专题】证明题；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用递推关系式得出b n+2b n﹣1+3b n﹣2+…+（n﹣1）b2+nb1=2n+1﹣n﹣2，b n﹣1+2b n﹣2+3b n+…+（n﹣2）b2+（n﹣1）b1=2n﹣n﹣1，（n≥2），﹣3相减得出b n+b n﹣1+…+b2+b1=2n﹣1，利用前n项的和S n求解b n=2n﹣1，证明即可．（2）bq n﹣1a1+bq n﹣2a2+bq n﹣3a3+…+bqa n﹣1+ba n=2n+1﹣n﹣2，又bq n﹣2a1+bq n﹣3a2+bq n﹣4a3+…+ba n﹣1=2n ﹣n﹣1（n≥2），a n=×2n×n，讨论求解即可．（3）求解++…+=+…+＜++…+求解为和的形式，放缩即可．【解答】解：（1）b1=1，b2=2，依题意数列{a n}的通项公式是a n=n，故等式即为b n+2b n﹣1+3b n﹣2+…+（n﹣1）b2+nb1=2n+1﹣n﹣2，b n﹣1+2b n﹣2+3b n﹣3+…+（n﹣2）b2+（n﹣1）b1=2n﹣n﹣1，（n≥2），两式相减可得b n+b n﹣1+…+b2+b1=2n﹣1，得b n=2n﹣1，数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．（2）设等比数列{b n}的首项为b，公比为q，则b n=bq n﹣1，从而有：bq n﹣1a1+bq n﹣2a2+bq n﹣3a3+…+bqa n﹣1+ba n=2n+1﹣n﹣2，又bq n﹣2a1+bq n﹣3a2+bq n﹣4a3+…+ba n﹣1=2n﹣n﹣1（n≥2），故（2n﹣n﹣1）q+ba n=2n+1﹣n﹣2，a n=×2n×n，要使a n+1﹣a n是与n无关的常数，必需q=2，即①当等比数列{b n}的公比q=2时，数列{a n}是等差数列，其通项公式是a n=；②当等比数列{b n}的公比不是2时，数列{a n}不是等差数列．（3）由（2）知a n b n=n•2n﹣1，显然n=1，2时++…+＜，当n≥3时++…+=+…+＜++…+=1=．【点评】本题考查了数列的综合应用，递推关系式的运用，不等式，放缩法求解证明不等式，属于综合题目，难度较大，化简较麻烦．。

湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知A⊆B，A⊆C，B={1，2，3，5}，C={0，2，4，8}，则A可以是（）A．{1，2} B．{2，4} C．{2} D．{4}2．（5分）等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{a n}前9项的和S9等于（）A．99 B．66 C．297 D．1443．（5分）有如下四个游戏盘，撒一粒黄豆，若落在阴影部分，就可以中奖，若希望中奖的机会最大，则应该选择的游戏是（）A．B．C．D．4．（5分）要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos（x﹣）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位5．（5分）直线2（m﹣1）x﹣3y+1=0与直线mx+（m+1）y﹣3=0平行，则m=（）A．B．﹣2 C．﹣或3 D．或﹣26．（5分）设a，b为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若a∥b，l⊥a，则l⊥b；②若m⊥a，n⊥a，m∥b，n∥b，则a∥b；③若l∥a，l⊥b，则a⊥b；④若m、n是异面直线，m∥a，n∥a，且l⊥m，l⊥n，则l⊥a．其中真命题的序号是（）A．①③④B．①②③C．①③D．②④7．（5分）已知x与y之间的一组数据如下表，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，那么b的值为（）x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.88．（5分）函数y=（0＜φ＜）的图象如图，则（）A．k=，ω=，φ=B．k=，ω=，φ=C．k=﹣，ω=2，φ=D．k=﹣2，ω=2，φ=9．（5分）当曲线y=1﹣与直线kx﹣y﹣3k+3=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，2]C．（0，]D．分析：先根据A⊆B，A⊆C可知A⊆（B∩C），然后求出B∩C，最后求出所求满足条件的A，最后得到结论．解答：解：∵A⊆B，A⊆C，∴A⊆（B∩C）∵B={1，2，3，5}，C={0，2，4，8}，∴B∩C={2}而A⊆（B∩C）则A={2}或∅故选C点评：本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，以及函数子集的运算，同时考查了分析问题的能力，属于集合的基础题．2．（5分）等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{a n}前9项的和S9等于（）A．99 B．66 C．297 D．144考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：已知两式相加结合等差数列的性质可得（a1+a9）=22，整体代入求和公式可得．解答：解：∵a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，∴两式相加可得（a1+a9）+（a4+a6）+（a3+a7）=3（a1+a9）=39+27=66，解之可得（a1+a9）=22，故S9===99，故选：A．点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，得出（a1+a9）=22是解决问题的关键，属中档题．3．（5分）有如下四个游戏盘，撒一粒黄豆，若落在阴影部分，就可以中奖，若希望中奖的机会最大，则应该选择的游戏是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：根据题意，分析可得中奖的概率为图形中阴影部分的面积与总面积的比值；进而依次计算选项的游戏盘中奖的概率，A游戏盘的中奖概率为，B游戏盘的中奖概率为，C游戏盘的中奖概率为，D游戏盘的中奖概率为，比较可得答案．解答：解：根据题意，分析可得中奖的概率为图形中阴影部分的面积与总面积的比值；对于A、设正方形边长为1，其面积为1，则阴影部分三角形的面积为3×（）2=；故A游戏盘的中奖概率为，对于B、分析可得圆被6等分，阴影部分占其中2份，则B游戏盘的中奖概率为=，对于C、设图中圆的半径为r，则圆的面积为π•r2，正方形边长为2r，其面积为（2r）2，故C游戏盘的中奖概率为，对于D、设图中圆的半径为r，则圆的面积为π•r2，等腰直角三角形的面积为2××r2=r2，故D游戏盘的中奖概率为，比较可得，A游戏盘的中奖概率最大；故选A．点评：本题主要考查几何概型的计算，关键是根据图形，正确计算出总面积与阴影部分的面积．4．（5分）要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos（x﹣）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由于函数y=sinx=cos（x﹣），再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由于函数y=sinx=cos（x﹣），故只需将函数的图象象右平移可得函数y=cos（x﹣）的图象，故选A．点评：本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于中档题．5．（5分）直线2（m﹣1）x﹣3y+1=0与直线mx+（m+1）y﹣3=0平行，则m=（）A．B．﹣2 C．﹣或3 D．或﹣2考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：利用直线与直线平行的性质求解．解答：解：∵直线2（m﹣1）x﹣3y+1=0与直线mx+（m+1）y﹣3=0平行，∴，解得m=或m=﹣2．故选：D．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要注意直线与直线平行的性质的合理运用．6．（5分）设a，b为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若a∥b，l⊥a，则l⊥b；②若m⊥a，n⊥a，m∥b，n∥b，则a∥b；③若l∥a，l⊥b，则a⊥b；④若m、n是异面直线，m∥a，n∥a，且l⊥m，l⊥n，则l⊥a．其中真命题的序号是（）A．①③④B．①②③C．①③D．②④考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：综合题．分析：结合直线与直线位置关系，直线与平面的位置关系，对选项逐一判断即可．解答：解：①若a∥b，l⊥a，则l⊥b，是正确的；②若m⊥a，n⊥a，m∥b，n∥b，则a∥b，是错误的；应该是a⊥b③若l∥a，l⊥b，则a⊥b；是正确的；④若m、n是异面直线，m∥a，n∥a，且l⊥m，l⊥n，则l⊥a．是正确的．故选A．点评：本题考查直线与直线、直线与平面之间的平行和垂直关系的判定，对所学定理的应用，是基础题．7．（5分）已知x与y之间的一组数据如下表，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，那么b的值为（）x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：先计算平均数，然后根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．解答：解：由题意，==4.5，==3.5代入线性回归方程，可得3.5=b×4.5+0.35，解得b=0.7故选C．点评：本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用线性回归方程恒过样本中心点是解题的关键，属于基础题．8．（5分）函数y=（0＜φ＜）的图象如图，则（）A．k=，ω=，φ=B．k=，ω=，φ=C．k=﹣，ω=2，φ=D．k=﹣2，ω=2，φ=考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：用待定系数法求出k的值，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：把（﹣2，0）代入y=kx+1，求得k=．再根据•=﹣=π，可得ω=．再根据五点法作图可得×+φ=π，求得φ=，故选：A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．9．（5分）当曲线y=1﹣与直线kx﹣y﹣3k+3=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，2]C．（0，]D．∪不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，且当直线x+y=a过直线y=x与直线2x+y=2的交点时，a=．所以a的取值范围是：0＜a≤1或a≥故答案为：．点评：本题考查的是简单线性规划问题．在解答的过程当中成分体现了数形结合的思想和构成三角形的相关知识．特别是对线性规划中的区域边界考查得到了充分的体现．值得同学们体会反思．17．（5分）已知函数f（x）=3x2﹣1在区间（0，1）上有唯一零点x0，如果用“二分法”求这个零点（精确度ε=0.05）的近似值，那么将区间（0，1）等分的次数至少是5，此时并规定只要零点的存在区间（a，b）满足|a﹣b|＜ε时，用作为零点的近似值，那么求得x0=．考点：二分法求方程的近似解．专题：函数的性质及应用．分析：根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足＜精确度确定．解答：解：开区间（0，1）的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n此操作后，区间长度变为，故有≤0.05，即2n＞20，因为25=32，所以n=5．故计算5次就可满足要求，所以将区间（0，1）等分的次数至多是5次．因为f（）＜0，所以第一次得到区间为（，1）；因为f（）＞0，所以第二次得到区间为（）；因为f（）＞0，所以第三次得到区间为（）；因为f（）＜0，所以第四次得到区间为（）；因为f（）＞0，所以第五次得到区间为（）；所以函数零点为；故答案为：点评：本题考查了二分法求方程的根；在用二分法求方程的近似解时，精确度与区间长度和计算次数之间存在紧密的联系，可以根据其中两个量求得另一个．设须计算n次，则n满足＜精确度即可．三．解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知向量=（sinωx，cosωx），=（cosωx，cosωx），（ω＞0），函数f（x）=•﹣的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A，B，C，且满足b2+c2=a2﹣bc，求f（A）的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据已知最小正周期求出ω的值，确定出函数解析式，利用正弦函数的单调性即可确定出函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA，把已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出A的度数，即可求出f（A）的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinωxcosωx+cos2ωx﹣=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0∴=π，∴ω=1，∴f（x）=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的增区间为，k∈Z；（Ⅱ）∵b2+c2=a2﹣bc，∴b2+c2﹣a2=﹣bc，由余弦定理得：cosA===﹣，∴在△ABC中，A=，∴f（A）=sin（2×+）=sin2π=0．点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的定义域与值域，以及正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）对某校2014-2015学年高一年级学生参加社区服务次数统计，随机抽去了M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表如下：分组频数频率（1）求出表中M，r，m，n的值；（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至少一人参加社区服务次数在区间又AF⊥CD，CD∩DE=D∴AF⊥平面CDE（6分）又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE又∵BP平面BCE∴平面BCE⊥平面CDE（8分）（3）此多面体是以C为顶点，以四边形ABED为底边的四棱锥，等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高（12分）点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，直线与平面平行的判定，其中熟练掌握空间直线与平面平行、垂直的判定、性质、定义及几何特征，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．21．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=1（n∈N+）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4（1﹣S n+1）（n∈N+），T n=++…+，求使T n＞成立的最小的正整数n的值．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用“n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”即可转化为等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出；（Ⅱ）利用对数的运算性质、“裂项求和”即可得出．解答：解：（Ⅰ）当n=1时，．当n≥2时，，．∴数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．故（n∈N*）．（Ⅱ）由（1）知，∴．∴==．∴，∴，故使成立的最小的正整数n的值n=2013．点评：本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2﹣6x+4y+9=0，圆C2：（x+m）2+（y+m+5）2=2m2+8m+10（m∈R，且m≠﹣3）．（Ⅰ）若m=5时，试求圆C1与圆C2的交点个数；（Ⅱ）设P为坐标轴上的点，满足：过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线，切点分别为T1、T2，使得PT1=PT2，试求出所有满足条件的点P的坐标；（Ⅲ）若斜率为k的直线l平分圆C1，且满足直线l与圆C2总相交，求直线l斜率k的范围．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：（1）若m=5时，求得两个圆的圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得两圆相交，从而得到交点个数为2个．（2）设点P的坐标为（x0，y0），圆C1与圆C2的半径分别为r1、r2，由题意得，化简得x0+y0+1=0，根据P为坐标轴上的点，求得点P的坐标．（3）设直线l的方程为：y+2=k（x﹣3），根据圆心C2（﹣m，﹣m﹣5）到直线l的距离小于圆C2的半径，化简可得．记，求得y的最小值为1，可得，从而求得k的范围．解答：解：（1）若m=5时，圆C1即：（x﹣3）2+（y+2）2 =4，圆C2：（x+5）2+（y+10）2=100，圆心距，∴两圆相交，交点个数为2个．（2）设点P的坐标为（x0，y0），圆C1与圆C2的半径分别为r1、r2，由题意得，即，化简得x0+y0+1=0，版权所有：中华资源库 因为P 为坐标轴上的点，所以点P 的坐标为（0，﹣1）或（﹣1，0）．（3）依题意可知，直线l 经过点C 1 （3，﹣2），设直线l 的方程为：y+2=k （x ﹣3），化简得kx ﹣y ﹣3k ﹣2=0，则圆心C 2（﹣m ，﹣m ﹣5）到直线l 的距离为，又圆C 2的半径为，所以，“直线l 与圆C 2总相交”等价于“∀m ∈R ，且m ≠﹣3，，即①”． 记，整理得（y ﹣2）m 2+2（3y ﹣4）m+9y ﹣10=0， 当y=2时，m=﹣2；当y ≠2时，判别式△=2﹣4（y ﹣2）（9y ﹣10）≥0，解得y ≥1． 综上得，m ≠﹣3的最小值为1，所以，①式等价于，等价于k ＞0．点评： 本题主要考查圆和圆的位置关系的判定，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．。

湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中2014-2015学年高二上学期期中联考数学（文）试题考试时间：2014年11月 日 试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A B ⊆，A C ⊆，{}1,2,3,5B =，{}0,2,4,8C =，则集合A 可以是（ ）A ．{}1,2B ．{}2,4C ．{}2D ．{}42．在等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S =（ ）A ．297B ．144C ．99D ． 663．有如下四个游戏盘，撒一粒黄豆，若落在阴影部分，就可以中奖，小明希望中奖，则他应该选择的游戏是（ ）4．要得到y=sinx 的图象，只须将函数y=cos （x —3π）的图象（ ） A ．向左平移6π个单位； B ．向右平移6π个单位；C ．向左平移65π个单位；D ．向右平移65π个单位5．直线()01312=+--y x m 与直线()031=-++y m mx 平行 ，则=m （ ）A ．21B ．2-C ．321或-D ．221-或 6．设βα,为两个不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若βαβα//,,//l l 则⊂；②若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂ ③若βαβα⊥⊥则,,//l l ；④若m ，n 是异面直线，ααα⊥⊥⊥l n l m l n m 则且,,,//,//其中真命题的序号是（ ）A ．①③④B ．①②③C ．①③D ．②④7．已知x 与y 之间的一组数据如下表，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为 ˆ0.35y b x =+ ， 那么b 的值为（ ）A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.758．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=)380(),sin(2)02(,1πϕωx x x kx y )20(πϕ<<的图象如图，则（ ） A ．6,21,21πϕω===k B ．3,21,21πϕω===k C ．6,2,21πϕω==-=kD ．3,2,2πϕω==-=k9．当曲线241x y --=与直线033=+--k y kx 有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛512,0 B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛2,52C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛52,0D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡512,210．已知集合M={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={1(x,y )|y x=}； ②M={1(x,y )|y sin x =+}； ③M={2(x,y )|y log x =}；④M={2x(x,y )|y e =-}；⑤M={()()211,+=x y y x }；其中是“垂直对点集”的序号是（ ） A ．①②③B ．②④⑤C ．①③④D ．②③⑤第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。