4.3 角 能力培优练习(含答案)

2020-2021苏科版七年级数学上册第4章一元一次方程4.1-4.3 阶段培优训练卷一、选择题1、已知下列方程：①x ﹣2＝；②0.2x ＝1；③＝x ﹣3；④x ﹣y ＝6；⑤x ＝0， 其中一元一次方程有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2、已知（a ﹣2）x |a |﹣1＝﹣2是关于x 的一元一次方程，则a 的值为（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．±2 D ．±1 3、若2（a+3）的值与4互为相反数，则a 的值为（ ）A ．﹣1B ．27-C ．﹣5D ．21 4、下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ） A ．若a ＝b ，则B ．若a ＝b ，则ac ＝bcC ．若a （x 2+1）＝b （x 2+1），则a ＝bD ．若x ＝y ，则x ﹣3＝y ﹣35、若a ＝b ，则下列等式：①a ＋2＝b ＋2；②a －3＝b －3，③4a ＝4b ；④－5a ＝－5b ；⑤ac ＝bc 仍成立的有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6、已知3x =-是方程(4)25k x k x +--=的解,则k 的值为( )A.-2B.2C.3D.57、若关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为 ( ) A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 8、适合|2a+7|+|2a ﹣1|=8的整数a 的值的个数有（ ）A ．5B ．4C ．3D ．29、某轮船在静水中的速度为20km/h ，水流速度为4km/h ，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用5h （不计停留时间），求甲、乙两码头间的距离。

设甲、乙两码头的距离为xkm ， 则所列方程正确的是（ ）A 、（20+4）x+（20-4）x=5B 、 20x+4x=5C 、5420=+x xD 、5420420=-++x x10、商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%， 则商品卖这两件商品总的盈亏情况是（ ）A 、亏损20元B 、盈利30元C 、亏损50元D 、不盈不亏11、一项工作，甲单独做需要6天完成，乙单独做需要8天完成，丙单独做需要12天完成。

4.3 角
一、选择题（共15小题）
1. 下面四幅图中，用量角器测得度数是的图是
A. B.
C. D.
2. 如图所示，用量角器度量，可以读出的度数为
A. B. C. D.
3. 用量角器测得的度数，下列操作正确的是
A. B.
C. D.
4. 如图所示，能用，，三种方法表示同一个角的图形的是
A. B.
C. D.
5. 两个锐角的和不可能是
A. 锐角
B. 直角
C. 钝角
D. 平角
6. 如图所示，下列表示角的方法错误的是
A. 与表示同一个角
B. 表示的是
C. 图中共有三个角：，，
D. 也可用来表示
7. 一个钝角与一个锐角的差是
A. 锐角
B. 钝角
C. 直角
D. 不能确定
8. 下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是
A. B.
C. D.
9. 下列各数中，正确的角度互化是
A. B.
C. D.
10. 一艘轮船行驶在处同时测得小岛，的方向分别为北偏西和
西南方向，则的度数是
A. B. C. D.
11.
A. B. C. D.
12. 如图，为我国南海某人造海岛，某国商船在的位置，，下
列说法正确的是
A. 商船在海岛的北偏西方向
B. 海岛在商船的北偏西方向。

角的度量与计算(第2课时)(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2014·南宁模拟)如果∠1和∠2互为余角,∠1与∠3互为补角,∠2与∠3的和等于120°,那么∠1,∠2,∠3的度数分别是( )A.75°,15°,105°B.30°,60°,120°C.50°,40°,130°D.70°,20°,110°【解析】选A.设∠1=x°,则∠2=(90-x)°,∠3=(180-x)°,因为∠2与∠3的和等于120°,所以90-x+180-x=120,解得x=75,所以∠1=75°,∠2=15°,∠3=105°.2.(2014·庆阳实验质检)如图所示,∠1是锐角,则∠1的余角是( )A.∠2-∠1B.∠2-∠1C.(∠2-∠1)D.(∠2+∠1)【解析】选C.由题图可知,∠1+∠2=180°,(∠1+∠2)=90°,所以∠1的余角为90°-∠1=(∠1+∠2)-∠1=(∠2-∠1).3.如果∠α和∠β互补,且∠α>∠β,则下列表示∠β的余角的式子中:①90°-∠β;②∠α-90°;③(∠α+∠β);④(∠α-∠β).正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个【解题指南】把①②③④中的角分别与∠β相加,若和等于90°,则为∠β的余角,否则不是∠β的余角.【解析】选B.①因为90°-∠β+∠β=90°,故90°-∠β为∠β的余角.②因为∠α-90°+∠β=∠α+∠β-90°,又∠α和∠β互补,所以∠α+∠β=180°,所以∠α+∠β-90°=90°,即∠α-90°为∠β的余角.③(∠α+∠β)+∠β=90°+∠β≠90°,故(∠α+∠β)不是∠β的余角.④(∠α-∠β)+∠β=∠α-∠β+∠β=∠α+∠β=(∠α+∠β)=×180°=90°,故(∠α-∠β)为∠β的余角.二、填空题(每小题4分,共12分)4.如图,若∠BOC=90°,∠AOD∶∠BOD=2∶7,则∠COD的度数等于.【解析】因为∠BOC=90°,所以∠AOC=180°-∠BOC=90°.因为∠AOD+∠BOD=180°,∠AOD∶∠BOD=2∶7,所以∠AOD=×180°=40°,所以∠COD=90°-40°=50°.答案:50°5.(2014·鞍山中学质检)已知∠α与∠β互余,且∠α=40°,则∠β的补角为度.【解析】因为∠α与∠β互余,且∠α=40°,所以∠β=50°,所以∠β的补角=180°-∠β=130°.答案:1306.已知∠1=2∠2,∠1的余角的3倍等于∠2的补角,则∠1= ,∠2= .【解析】设∠2=x°,根据题意,得3(90-2x)=180-x,解得x=18,所以∠2=18°,所以∠1=36°.答案:36°18°三、解答题(共26分)7.(8分)已知一个角的余角比这个角的补角的小12°,求这个角的余角和补角的度数. 【解析】设这个角为x°,则它的余角为(90-x)°,补角为(180-x)°.根据题意,得90-x=(180-x)-12,解得x=24.所以90-x=66,180-x=156,即这个角的余角和补角的度数分别为66°,156°.8.(8分)如图,已知直线AB和CD相交于点O,OM平分∠BOD,∠NOM=90°,∠AOC=50°.(1)求∠AON的度数.(2)写出∠DON的余角.【解析】(1)因为直线AB和CD相交于点O,所以∠BOD=∠AOC=50°.因为OM平分∠BOD,所以∠BOM=∠BOD=×50°=25°.因为∠NOM=90°,所以∠BON=∠BOM+∠MON=25°+90°=115°.所以∠AON=180°-∠BON=180°-115°=65°.(2)图中与∠DON互余的角是∠DOM和∠MOB.【培优训练】9.(10分)按图所示的方法折纸,然后回答问题:(1)∠2是多少度的角?为什么?(2)∠1与∠3有何关系?(3)∠1与∠AEC,∠3和∠BEF分别有何关系?【解析】(1)∠2=90°.因为折叠,则∠1与∠3的和与∠2相等,而这三个角加起来,正好是平角∠BEC,所以∠2=×180°=90°.(2)因为∠1与∠3的和与∠2相等,且三个角加起来恰好是一个平角,所以∠1+∠3=90°,所以∠1与∠3互余.(3)因为∠1与∠AEC的和为180°,∠3与∠BEF的和为180°,所以∠1与∠AEC互补,∠3与∠BEF互补.命题、定理、证明知识要点：1.定义：判断一件事情的语句，叫做命题，如：对顶角相等．2.组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，通常写成：“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．3.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题．4.假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题5.定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理也可以作为继续推理的依据．6.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明．一、单选题1．1．下列判断正确的个数是( )①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③锐角和钝角互补；④如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列命题中，正确的是（）A．相等的角是对顶角B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．两条不相交的线段一定互相平行D．互为邻补角的两角的角平分线互相垂直3．下列说法：①若a为有理数，则﹣a表示负有理数；②a2=（﹣a）2；③若|a|＞b，则a2＞b2；④若a+b=0，则a3+b3=0．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．下列四个命题是真命题的是（ ）A ．同位角相等B ．互补的两个角一定是邻补角C ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行D ．相等的角是对顶角5．下列命题:①同旁内角互补；②若a b =，则a b =；③对顶角相等；④三角形的外角和360°；⑤如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角互补:其中真命题的个数有( )个A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．下列语句中真命题有( )①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；②内错角相等；③两点之间线段最短；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行．A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个7．对于命题“若22a b >，则a b >”，下列四组关于a 、b 的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）A ．3a =，1b =B ．3a =-，2b =C ．3a =，1b =-D ．1a =-，3b =8．给出下列4个命题：①对顶角相等；②等角的补角相等；③同旁内角相等，两直线平行；④同位角的平分线平行．其中真命题为 （）A ．①④B ．①②C ．①③④D ．①②④二、填空题9．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是______．10．能说明命题“若a＞b，则ac＞bc”是假命题的一个c值是_____．11．命题“对顶角相等”的题设是________；结论是________．12．命题“如果a2=b2，那么a=b”是_____(填写“真命题”或“假命题”).13．破译密码：根据下面五个已知条件，推断正确密码是_________．14．下面有3个命题：①两个锐角的和还是锐角；②同位角相等；③平方后等于4的数一定是2．其中有____个假命题．三、解答题15．指出下命题的题设和结论，并判断其真假，如果是假命题，举出一个反例．（1）邻补角是互补的角；（2）同位角相等．16．指出下列命题的条件和结论．(1)同位角相等，两直线平行；(2)同角的余角相等；(3)平行于同一条直线的两直线平行；(4)同旁内角不互补，两直线不平行．17．阅读下列语句，完成后面的题目．①同类项的数字系数必相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③抗震救灾；④两直线平行，同旁内角互补；⑤两点之间的线段是这两点之间的距离；⑥今晚你去看电影吗？(1)其中属于命题的是________，不属于命题的是________(填序号)；(2)其中属于真命题的是________(填序号)；(3)对于每个假命题，你是怎样判断的？答案1．B2．D3．B4．C5．C6．D7．B8．B9．如果两个角是等角的补角，那么它们相等．10．0（答案不唯一）．11．两个角是对顶角；这两个角相等12．假命题13．79814．315．（1）邻补角是互补的角的题设是两个角是邻补角，结论是这两个角互补，是真命题；（2）同位角相等的题设是两个角是同位角，结论是这两个角相等，为假命题，反例：如图，∠1和∠2是同位角，但∠1≠∠2．．16．(1)该命题可以写成：如果同位角相等，那么两直线平行，所以命题的条件是同位角相等，结论是两直线平行；(2)该命题可以写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等，所以命题的条件是同角的余角，结论是相等；(3)该命题可以写成：如果两条件直线平行于同一条件直线，那么这两条直线平行，所以命题的条件是平行于同一条直线的两条直线，结论是平行；(4)该命题可以写成：如果同旁内角不互补，那么两直线不平行，所以命题的条件是同旁内角不互补，结论是两直线不平行．17．(1)①②④⑤③⑥；(2)④；(3)为说明命题是假命题，可采用举反例(举一个即可)的方法，如：①中a和－a是同类项，但它们的系数不同；②中|7|＝|－7|，但7≠－7；⑤中两点之间的距离是指两点之间的线段的长度．第一章有理数1.2 有理数【知识与技能】（1）借助数轴，使学生了解相反数的概念；（2）会求一个有理数的相反数.【过程与方法】（1）从数和形两个不同的侧面来理解相反数的真正含义；（2）培养学生分析和解决问题的能力，逐步渗透数形结合思想.【情感态度与价值观】（1）逐步培养学生探索学习数学的方法；（2）培养学生归纳总结的能力.理解相反数的概念.会求一个有理数的相反数.多媒体课件1.数轴的三要素是什么?2.填空:数轴上与原点的距离是2的点有个，这些点表示的数是；与原点的距离是5的点有个，这些点表示的数是 .一、思考探究，获取新知一、向前走和向后走.教师提问：如果向前为正、向后为负，向前走5步，向后走5步分别记作什么？学生思考回答.教师：这位同学两次行走的距离都是5步，但两次行走的方向相反，这就决定了这两个数的符号不同.二、动手操作并回答问题.在数轴上，画出表示6，-6，212，-212，413，-413的点.（1）上述中6和-6，212和-212，413和-413，每对数有什么特点？（2）数轴上表示每对数的点的位置有什么特点？学生动手画图，教师引导学生对数进行归类与分析，归纳出其外在的特征：只有符号不同，进而引出相反数的概念.教师归纳总结：一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点左右，表示-a和a，我们说这两个点关于原点对称，如图1-2.3-1.相反数的概念：只有符号不同的两个数叫作互为相反数.一般地，a和-a互为相反数.特别地，0的相反数是0.二、典例精析，掌握新知例1分别写出下列各数的相反数：5，-7，-312，+11.2，0.【分析】在正数前面添上“-”，就得到这个正数的相反数.在任意一个数的前面添上“-”，新的数就表示原数的相反数.【解】5的相反数是-5；-7的相反数是7；-312的相反数是312；+11.2的相反数是-11.2；0的相反数是0.例2化简下列各数：（1）-（+5）；（2）+（-7）；（3）+（+2）；（4）-［-（-2）］.【分析】化简符号有两种类型：（1）前面带“+”的，等于原数；（2）前面带“-”的，等于原数的相反数.一般地，式子中含有奇数个“-”时，结果为负；式子中含有偶数个“-”时，结果为正.【解】（1）-（+5）=-5.（2）+（-7）=-7.（3）+（+2）=2.（4）-［-（-2）］=-2.1.只有符号不同的两个数叫作互为相反数.2.化简多重符号时，“+”可省略，有奇数个“-”时保留1个，有偶数个“-”时全部省略.教材P10练习第1，2，3，4题。

3 角基础巩固1.（知识点1）有下列说法：①两条射线所组成的图形叫作角；①一条射线旋转而成的图形叫作角；①两边成一直线的角是平角；①平角是一条直线.其中正确的有（）2.（知识点5）一块手表，早上8时的时针.分针的位置如图4-3-1，那么时针与分针所成的角（小于平角）的度数是（）A.60°B.80°C.120°D.150°图4-3-1 图4-3-23.（题型一）图4-3-2中大于0°且小于180°的角的个数为（）A.4B.5C.6D.74.（知识点6）学校.电影院.公园在平面图上对应的点分别是A，B，C，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西25°方向，那么平面图上的①CAB=（）5.（知识点3）将一个周角分成360份，其中每一份是__________°的角，直角等于___________°，平角等于____________°.6.（题型二）换算：（1）1.36°=__________°__________′__________″；（2）41°18′36″=___________°.图4-3-38.（知识点5）9点20分时，时钟上时针与分针的夹角α等于多少度?能力提升9.（题型二）计算：（1）49°38′+66°22′；（3）22°16′×5；（4）182°36′÷4.10.（知识点4）马路上铺的地砖有很多种图案，如图4-3-4的图案是某条马路辅的地砖的示意图，请你用量角器测量一下其中标出的所有角的度数.图4-3-4答案基础巩固1.A解析：①错误，因为没有说明两条射线是否有公共端点，缺少组成角的要素；①错误，因为没有说明是绕射线的端点旋转；①正确，①错误，因为平角是角，它具有角的顶点.角的两边以及角的内部这三个特点，而直线显然不具备这些特点.故选A.2.C 解析：表盘被平均分成12个大格，每个大格对应的角的度数为360°÷12=30°.8时时针指向8，分针指向12，时针与分针之间共有4个大格，所以早上8时的时针与分针所成的角（小于平角）的度数是120°.故选C.3.D 解析：大于0°且小于180°的角有①ABC，①ACB，①BAC，①ADC，①ADB，①BAD，①DAC，共7个.故选D.4.A 解析：先以点A为中心，作出它正东方向的一条射线AB，再以点A为中心，作出在它南偏西25°方向上的一条射线AC，则①CAB=25°+90°=115°.故选A.5.1 90 1806.（1）1 21 36 （2）41.31 解析：（1）因为0.36°=21.6′，0.6′=36″，所以1.36°=1°21′36″.（2）因为18′=0.3°，36″=0.01°，所以41°18′36″=41.31°.7.解：经测量，得①A=140°是钝角，①B=25°，①C=15°.8.分析：因为钟盘被平均分成12个大格，每个大格为30°，所以首先借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°，然后进行度.分的换算即可.9点20分时，时针和分针之个大格.间相差153解：因为时钟上有12个大格，每相邻两个大格之间的夹角为30°，×30°=160°.所以9点20分时，时针和分针的夹角为153能力提升9.解：（1）原式=（49°+66°）+（38′+22′）=115°+1°=116°.（2）原式=（179°-79°）+（60′-19′）=100°+41′=100°41′.（3）原式=22°×5+16′×5=110°+80′=111°+20′=111°20′.10.解：经测量，得①1=①2=①3=①5=①6=60°，①4=①7=120°.。

【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题4.3角及其比较运算专项提升训练（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题,选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•天山区校级期中）如图，下列说法中不正确的是（ ）A．∠1与∠AOB是同一个角B．∠α与∠COB是同一个角C．∠AOC可以用∠O来表示D．图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC【分析】由角的概念，角的表示方法，即可判断．【解析】A、∠1与∠AOB是同一个角，正确，故A不符合题意；B、∠α与∠COB是同一个角，正确，故B不符合题意；C、在角的顶点处只有一个角时，才能用一个大写字母表示角，∠AOC不可以用∠O表示，故C符合题意；D、图中共有三个角，∠AOB，∠BOC，∠AOC，正确，故D不符合题意．故选：C．2．（2021秋•新乐市期末）若∠α＝5.12°，则∠α用度、分、秒表示为（ ）A．5°12'B．5°7'12''C．5°7'2''D．5°10'2''【分析】利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解．【解析】∠α＝5.12°＝5°+0.12×60′＝5°+7′+0.2×60″＝5°7′12″．故选：B．3．（2022春•冠县期中）如图所示，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，若∠1＝28°，则∠2的度数为（ ）A．118°B．108°C．62°D．152°【分析】利用∠AOC＝90°，∠1＝28°，进而求出∠BOC的度数，利用平角的定义可知∠BOD＝180°，即可求出∠2的度数．【解析】∵∠AOC＝90°，∠1＝28°，∴∠BOC＝90°﹣28°＝62°，∵点B，O，D在同一直线上，∴∠BOD＝180°，∴∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣62°＝118°．故选：A．4．（2021秋•乌当区期末）如图，点O在直线AB上，射线OD是∠AOC的平分线，若∠COB＝40°，则∠DOC的度数是（ ）A．20°B．45°C．60°D．70°【分析】由∠COB与∠AOC互补得到∠COB，由OD是∠AOC的平分线得到∠DOC的度数．【解析】由题意可知，∠COB与∠AOC互补，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，∵射线OD是∠AOC的平分线，∴∠DOC＝∠AOC＝70°．故选：D．5．（2022春•东营期末）如图，OC平分∠AOB，OD平分∠BOC，下列各式正确的是（ ）A．B．C．∠BOC＝∠AOD D．【分析】根据角平分线的定义逐一进行判断即可．【解析】∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝∠AOB，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC，∴∠COD＝∠AOB，故A选项不符合题意；∵∠AOD＝∠AOC+∠COD＝3∠BOD，∴∠BOD＝∠AOD，故B选项不符合题意；∴∠BOC＝∠AOD，故C选项符合题意；∵∠AOB＝4∠BOD，∠AOD＝3∠BOD，∴∠AOD＝∠AOB，故D选项不符合题意；故选：C．6．（2022春•红河州期末）在同一平面内，若∠AOB＝60°，∠AOC＝45°，则∠BOC的度数是（ ）A．15°B．105°C．25°或105°D．15°或105°【分析】根据题意画出图形，分两种情况考虑：当OC在∠AOB内部时；当OC在∠AOB 外部时，分别求出∠BOC的度数即可．【解析】当OC在∠AOB内时，如图所示：∵∠AOB＝60°，∠AOC＝45°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝15°；当OC在∠AOB外时，如图2所示：∵∠AOB＝60°，∠AOC＝45°，∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝105°．故选：D．7．（2022•南昌模拟）如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则下列结论中正确的个数有（ ）①∠AOE＝∠EOC②∠EOC＝∠COB③∠AOD＝∠AOE④∠DOB＝2∠AODA．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据角平分线的定义得出∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，求出∠AOE＝∠COE＝∠BOC，根据∠AOE+∠COE+∠BOC＝180°求出∠AOE＝∠COE＝∠BOC＝60°，再根据对顶角相等求出答案即可．【解析】∵OE是∠AOC的平分线，OC恰好平分∠EOB，∴∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，∴∠AOE＝∠COE＝∠BOC，∵∠AOE+∠COE+∠BOC＝180°，∴∠AOE＝∠COE＝∠BOC＝60°，∴∠AOD＝∠BOC＝60°，∴∠BOD＝120°，∴①②③④都正确．故选：D．8．（2022春•乳山市期末）如图，∠AOB与∠COB的度数分别记为m，n（m＞n），OM，ON分别是∠COB，∠AOC的平分线，则∠MON的度数为（ ）A．B．C．D．【分析】根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论．【解析】∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝m+n，∵射线ON平分∠AOC，∴∠CON＝∠AOC＝（m+n），∵OM平分∠BOC，∴∠COM＝∠BOC＝n，∴∠MON＝∠CON﹣∠COM＝（m+n）﹣n＝m；故选：A．9．（2021秋•惠安县期末）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则α、β、γ三个角的数量关系为（ ）A．α+β+γ＝90°B．α+β﹣γ＝90°C．α﹣β+γ＝90°D．α+2β﹣γ＝90°【分析】根据β＝∠BOD﹣∠BOC，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOF 的度数从而求解．【解析】如图：∵∠DOE＝90°﹣α，∴∠BOD＝90°﹣∠DOE＝α，∵∠BOC＝90°﹣γ，又∵β＝∠BOD﹣∠BOC，∴β＝α﹣（90°﹣γ）＝α﹣90°+γ，∴α﹣β+γ＝90°，故选：C．10．（2022春•忠县期末）如图中∠AOB＝60°，图①中∠AOC1＝∠C1OB，图②中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OB，图③中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OC3＝∠C3OB，…，按此规律排列下去，前④个图形中的∠AOC1之和为（ ）A．60°B．67°C．77°D．87°【分析】根据前三个图形可知图①中OC1为2等分线，图②中OC1为3等分线，图③中OC1为4等分线，依次类推，可得第④个图中OC1为5等分线，计算即可得出答案．【解析】根据题意可得，图①中，∠AOC1＝＝，图②中，∠AOC1＝＝，图③中，∠AOC1＝＝＝15，依次类推，第④个图中，∠AOC1＝＝，∴前④个图形中的∠AOC1之和为30°+20°+15°+12°＝77°．故选：C．二．填空题（共8小题）11．（2022春•牟平区期中）从8：12分到8：35分，时钟的分针转过的角度是　138°　．【分析】根据钟面角的特征得出分钟每转动“1分钟”所转过的角度，再计算从8：12分到8：35分，时钟的分针转过的角度即可．【解析】由钟面角的特征可知，分针每转动“1分钟”，转过的角度为360°÷60＝6°，所以从8：12分到8：35分，时钟的分针转过的角度是6°×（35﹣12）＝138°，故答案为：138°．12．（2021秋•钱塘区期末）若∠α＝42°24′，∠β＝15.3°，则∠α与∠β的和等于　57°42′　．【分析】先将0.3°化成18′，即∠β＝15.3°＝15°18′，然后计算两个角的和即可．【解析】∵∠β＝15.3°＝15°+0.3×60′＝15°18′，∴∠α+∠β＝42°24′+15°18′＝57°42′．故答案为：57°42′．13．（2021秋•藁城区期末）在同一平面内，若∠AOB＝75°，∠AOC＝27°，则∠BOC＝　102°或48°　．【分析】分情况计算∠BOC的可能取值，当∠AOC在∠AOB外部时和在∠AOC内部时两种情况，利用角的加减计算即可．【解析】当∠AOC在∠AOB外部时，∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝27°+75°＝102°；在∠AOB内部时，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝75°﹣27°＝48°．故答案为：102°或48°．14．（2022春•宁阳县期末）如图，将长方形纸片进行折叠，ED，EF为折痕，A与A′，B 与B′，C与C′重合，若∠AED＝26°38'，则∠BEF的度数为　63°22′　．【分析】根据折叠的性质和平角的定义即可得到结论．【解析】根据翻折的性质可知，∠AED＝∠A′ED，∠BEF＝∠FEB′，∵∠AED+∠A′ED+∠BEF+∠FEB′＝180°，∴∠AED+∠BEF＝90°，又∵∠AED＝26°38′，∴∠BEF＝63°22′．故答案为：63°22′．15．（2022春•上虞区期末）如图1，直线ED上有一点O，过点O在直线ED上方作射线OC，将一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线ED上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t秒．若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．则在旋转过程中，如图2，当t＝　2或8或32　秒时，射线OA，OC与OD中的某一条射线恰好是另两条射线所夹角的平分线．【分析】分三种情况进行解答，即①射线OA是∠COD的平分线，②射线OC是∠AOD 的平分线，③射线OD是∠COA的平分线，根据角平分线的定义以及角之间的和差关系进行计算即可．【解析】当射线OA是∠COD的平分线时，∵∠COD＝180°﹣∠COE＝40°，OA是∠COD的平分线，∴∠AOD＝∠COD＝20°，∴t＝＝2；当射线OC是∠AOD的平分线时，∠AOD＝2∠COD＝80°，∴t＝＝8；当射线OD是∠COA的平分线时，360﹣10t＝40，∴t＝32，故答案为：2或8或32．16．（2021秋•巴彦县期末）已知∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是　45°或25°　．【分析】分两种情况，当∠AOB在∠AOC的内部时，当∠AOB在∠AOC的外部时，分别求出∠AOM和∠AOD的度数，即可求出答案．【解析】分为两种情况：如图①，当∠AOB在∠AOC的内部时，∵∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，∴∠AOD＝，∴∠MOD＝∠AOM﹣∠AOD＝35°﹣10°＝25°；如图②，当∠AOB在∠AOC的外部时，∵∠AOB＝20°，∠AOC＝70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，∴，∴∠MOD＝∠AOM+∠AOD＝35°+10°＝45°，故答案为：25°或45°．17．（2021秋•庐阳区校级期末）在同一平面内，O为直线AB上一点，射线OE将平角∠AOB 分成∠AOE、∠BOE两部分，已知∠BOE＝α，OC为∠AOE的平分线，∠DOE＝90°，则∠COD＝　或180°﹣　．（用含有α的代数式表示）【分析】分两种情况：射线OD，OE在直线AB的同侧；射线OD，OE在直线AB的异侧；利用角平分线的定义，互补，角的和差关系即可求得结果．【解析】①当射线OD，OE在直线AB的同侧时，如图所示：∵OC为∠AOE的平分线，∴∠1＝∠2，∵∠AOE+∠BOE＝180°，∠BOE＝α，∴∠AOE＝180°﹣α，∴∠1＝∠2＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠COD＝∠DOE+∠1＝90°+90°﹣＝180°﹣；②当射线OD、OE在直线AB的异侧时，如图所示：∵OC为∠AOE的平分线，∴∠l＝∠2，∵∠AOE+∠BOE＝180°，∠BOE＝α，∴∠AOE＝180°﹣α，∴∠1＝∠2＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠COD＝∠DOE﹣∠1＝90°﹣（90°﹣）＝．综上所述，∠COD＝或180°﹣．故答案为：或180°﹣．18．（2021秋•仓山区期末）如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD＝3∠DOE，∠COE＝α，则∠BOE＝　360°﹣4α　．（用含α的式子表示）【分析】设∠DOE＝x，则∠BOE＝2x，根据角之间的等量关系求出∠AOD、∠COD、∠COE的大小，然后解得x即可．【解析】设∠DOE＝x，则∠BOE＝2x，∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD，∴∠BOD＝3x，∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣3x．∵OC平分∠AOD，∴∠COD＝∠AOD＝（180°﹣3x）＝90°﹣x．∵∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°﹣32x+x＝a，解得x＝180°﹣2α，∴∠BOE＝2x＝360°﹣4α，故答案为：360°﹣4α．三．解答题（共6小题）19．（2022春•让胡路区校级期末）计算题．（1）34°27′36″÷2；（2）58°32′21″﹣20°42′44″．【分析】根据度、分、秒的计算方法进行计算即可．【解析】（1）34°27′36″÷2＝17°13.5′18″＝17°13′48″；（2）58°32′21″﹣20°42′44″＝57°91′81″﹣20°42′44″＝37°49′37″．20．（2021秋•云岩区期末）已知：如图，O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC＝30°，求∠COE的度数；（2）若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）．【分析】（1）利用平角减∠AOC求出∠BOC，再利用角平分线定义求出∠COE的度数；（2）利用平角减∠AOC求出∠BOC，再利用角平分线定义求出∠COE的度数，再由∠COD减去∠COE就是∠DOE的度数．【解析】（1）∵OE平分∠BOC，∠AOC＝30°，∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°，∴∠COE＝150°×＝75°．（2））∵OE平分∠BOC，若∠AOC＝α，∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，∴∠COE＝（180°﹣α）×＝90°﹣α，∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α．21．（2021秋•绵阳期末）如图，点O是直线AB上一点，OM，ON在直线AB的异侧，且∠MON＝90°，OE平分∠MOB，OF平分∠AON．（1）若∠BOM＝150°，求∠BOE和∠NOF的度数；（2）设∠AOF＝θ，用含θ的式子表示∠MOE．【分析】解：（1）由OE平分∠BOM，可以求出∠BOE的度数，根据平角求出∠AOM30°，由∠MON＝90°，求出∠AON＝90°﹣30°＝60°，再根据OF平分∠AON，即可求出∠NOF的度数．（2由OF平分∠AON，得到∠AON＝2θ，所以∠MOA＝90°﹣2θ，由平角得到∠BOM＝180°﹣（90°﹣θ）＝90°+θ，再根据OE平分∠MOB，即可求出∠MOE．【解析】（1）∵OE平分∠BOM，∠BOM＝150°，∴∠BOE＝，∵∠BOM＝150°，∴∠AOM＝180°﹣150°＝30°，∵∠MON＝90°，∴∠AON＝90°﹣30°＝60°，∵OF平分∠AON，∴∠NOF＝．（2）∵∠AOF＝θ，OF平分∠AON，∴∠AON＝2θ，∵∠MON＝90°，∴∠MOA＝90°﹣2θ，∴∠BOM＝180°﹣（90°﹣2θ）＝90°+2θ，∵OE平分∠MOB，∴∠MOE＝∠BOM＝45°+θ．22．（2021秋•长安区期末）如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，已知∠DOE＝15°．（1）若∠AOB＝48°，求∠BOE的度数；（2）若∠AOD与∠BOD的和是180°，求∠AOC的度数．【分析】（1）可以根据角平分线的定义求得∠COD，∠BOC的度数，即可求∠BOD；（2）设∠AOB＝α，则∠AOD＝2α+15°，∠BOD＝α+15°，由题意列出方程，解方程即可．【解析】（1）因为OB是∠AOC的平分线，所以∠AOB＝∠BOC＝48°，因为OD是∠COE的平分线，所以∠COD＝∠DOE＝15°，所以∠BOE＝∠BOC+∠COD+∠DOE＝48°+15°+15°＝78°；（2）设∠AOB＝α，所以∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝2α+15°，∠BOD＝∠BOC+∠COD＝α+15°，因为∠AOD+∠BOD＝180°，所以2α+15°+α+15°＝180°，所以α＝50°，所以∠AOC＝2α＝2×50°＝100°．23．（2021秋•方城县期末）（1）如图1所示，将两块不同的三角尺（∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）的直角顶点C叠放在一起．①若∠DCE＝25°，则∠ACB＝　155°　；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝　50°　．②猜想∠ACB与∠DCE有何数量关系，并说明理由．（2）如图2所示，若两个相同的三角尺的60°角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．（3）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角），如图3所示，∠AOD与∠BOC有何数量关系，请直接写出结果，不说明理由．【分析】（1）①先求出∠BCD，再代入∠ACB＝∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD求出即可；②根据∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠DCE求出即可；（2）根据∠DAB＝∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；（3）根据∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．【解析】（1）①∵∠BCE＝90°，∠DCE＝25°，∴∠BCD＝∠BCE﹣∠DCE＝65°，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°+65°＝155°；∵∠ACB＝130°，∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝130°﹣90°＝40°，∵∠BCE＝90°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝90°﹣40°＝50°，故答案为：155°，50°；②∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：∵∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠DCB，∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠DCB+∠DCE＝∠ACD+∠BCE＝180°；（2）∠DAB与∠CAE的数量关系是：∠DAB+∠CAE＝120°．理由：∵∠DAB+∠CAE＝（∠DAC+∠BAC）+∠CAE＝∠DAC+∠BAC+∠CAE＝∠DAC+（∠BAC+∠CAE）＝∠DAC+∠BAE又∠DAC＝∠BAE＝60°，∴∠DAB+∠CAE＝60°+60°＝120°；（3）∠AOD+∠BOC＝α+β，理由如下：∵∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝α+β．24．（2021秋•松滋市期末）（问题）（1）如图①，点C是线段AB上一点，点D，E分别是线段AC，BC的中点，若线段AB＝26cm，则线段DE的长为　13　cm．（拓展）（2）在（问题）中，若把条件“如图①，点C是线段AB上一点”改为“如图②，点C是线段AB延长线上一点”，其余条件不变，试求DE的长．（应用）（3）如图③，∠AOB＝α，点C在∠AOB内部，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，则∠MON的大小为　α　（用含字母α的式子表示）；（4）如图④，在（3）中，若点C在∠AOB外部，且射线OC与射线OB在OA所在直线的同侧，其他条件不变，则（3）中的结论是否成立，若成立，请写出求解过程；若不成立，请说明理由．【分析】（1）根据中点的定义，结合线段的中点定义解题即可；（2）当C点在AB的延长线上时，利用DE＝DC﹣CE求出即可；（3）根据角平分线的定义解题即可；（4）在（3）的基础上，利用角平分线的定义解题即可【解析】（1）∵点D，E分别是线段AC，BC的中点，∴CD＝AC，CE＝BC，∵AB＝26cm，∴DE＝DC+CE＝AC+BC＝AB＝13cm，故答案为：13；（2）如图，当C点在AB的延长线上时，∵点D，E分别是线段AC，BC的中点，∴CD＝AC，CE＝BC，∵DE＝DC﹣CE＝AC﹣BC＝AB＝13cm；答：DE的长度等于13cm；（3）∵射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC∴∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC，∴∠MON＝∠CON+∠MOC＝∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∵∠AOB＝α，∴∠MON＝α，故答案为：α；（4）（3）结论成立，理由如下：∵射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，∴∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC，∴∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB，∵∠AOB＝α，∴∠MON＝α，∴（3）中的结论成立．。

4.3 角专题一角的概念与分类及应用1．下列说法：（1）大于直角的角是钝角；（2）任何一个角都可以用一个大写字母表示；（3）在平面内，有公共顶点的两个直角组成了一个平角；（4）一条直线就是一个平角．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个２．下列说法中正确的有（）①由两条射线组成的图形叫做角；②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关；③角的两边是两条射线；④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数也扩大10倍．A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列计算中错误的是（）A．0．25°=900″ B．C．32．15°=32°15′D．4．钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角为（）A．90° B．82．5° C．67．5°D．60°5．一条船向北偏东50°方向航行到某地，然后依原航线返回，船返回时航行的正确方向是（）A．南偏西40°B．南偏西50°C．北偏西40°D．北偏西50°6．计算下列各题：（1）153°19′42″+26°40′28″；（2）90°3″﹣57°21′44″；（3）33°15′16″×5；（4）175°16′30″﹣47°30′÷6+4°12′50″×3．7．（1）若时针由2点30分走到2点55分，问分针、时针各转过多大的角度？（2）钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？8．如图，由一个公共端点引出的2条射线，形成了1个角，由一个公共端点引出的3条射线，形成了3个角，由一个公共端点引出的4条射线，形成了6个角，……，由一个公共端点引出的n 条射线，形成多少个角？（注：图中最大的角为钝角）状元笔记：【知识要点】理解角的有关概念、分类及表示方法．2．认识角的表示及度、分、秒，并会进行简单的换算．【方法技巧】在钟表问题中，时针一小时即60分钟转30°，一分钟转动0．5°，分针一小时转360°，一分钟转6°，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（112）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．……A 5A n A 1A 2A 3A 4A 4A 3A 2A 1A 3O A 2O A 1O A 2A 1O参考答案：１．D２．B 解析：①角就是有公共端点的两条射线所构成的图形，故该选项错误；②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，故该选项正确；③角的两边是两条射线，故该选项正确；④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数不变，故该选项错误．②③正确．3．C4．B 解析：∵时针在钟面上每分钟转0．5°，分针每分钟转6°，∴钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时0．5°×15=7．5°，分针在数字3上．∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴12时15分钟时分针与时针的夹角90°﹣7．5°=82．5°．5．B6．解：（1）153°19′42″+26°40′28″=179°+59′+70″=179°+60′+10″=180°10″．（2）90°3″﹣57°21′44″=89°59′63″﹣57°21′44″=32°38′19″．（3）33°15′16″×5=165°+75′+80″=165°+76′+20″=166°16′20″．（4）175°16′30″﹣47°30′÷6+4°12′50″×3=175°16′30″﹣42°330′÷6+12°36′150″=175°16′30″﹣7°﹣55′+12°38′30″=187°54′60″﹣7°55′=180°．7．解：（1）分针转过的角度：（360°÷60）×（55﹣30）=150°，时针转过的角度：（360°÷60÷12）×（55﹣30）=12．5°，∴分针、时针各转过150°、12．5°．（2）（360°÷12）﹣15×（360°÷60÷12）=30°﹣7．5°=22．5°，∴时针与分针所成的锐角的度数是22．5°．8．解：由一个公共端点引出的n条射线，一共组成角的个数为：1＋2＋3＋4＋5＋……＋n－1＝2)1(nn．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

2020-2021学年苏科版七年级数学上册第4章4.3用方程解决问题（6）同步培优训练卷一、选择题1、某人按定期3年在银行存了10000元,若银行定期3年的年利率为3%,则到期后可得本息和为( )A.10900元B.300元C.10300元D.10075元2、如果某人用原价的八折价钱买一件上衣节省了20元，那么这件上衣的原价为()A．80元B．100元C．140元D．160元3、学校办了储蓄所，开学时，李健存了200元，王兵存了140元，以后李健每月存20元，王兵每月存35元，求经过几个月，李健和王兵的存款相等．设经过x个月，两人的存款相等，则可列方程为() A．200＋20x＝140＋35x B．200＋35x＝140＋20xC．200－20x＝140－35x D．200－35x＝140＋20x4、王叔叔买了25000元某公司1年期的债券，1年后扣除20%的利息税之后得到本息和为26000元，这种债券的年利率是()A．4% B．5% C．6% D．8%5、六一期间,某商店将单价标为130元的书包按8折出售可获利30%,该书包的进价是( )A.65元B.80元C.100元D.104元6、某商城将一件男式衬衫按进价提高90%标价，然后再按八折出售，这样商城每卖出一件衬衫可盈利60元，设每件衬衫的进价是x元，根据题意列一元一次方程，正确的是()A．(1＋90%)x·80%－x＝60 B．90%x·80%－x＝60C．(1＋90%)x·80%＝60 D．(1＋90%)x－x＝607、一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是()A．亏损20元B．盈利30元C．亏损50元D．不盈不亏8、某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装标价是()A．350元B．400元C．450元D．500元9、某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法:(1)一次购买金额不超过1万元的不予优惠;(2)一次购买金额超过1万元,但不超过3万元的九折优惠;(3)一次购买金额超过3万元,其中3万元的部分九折优惠,超过3万元的部分八折优惠.某厂因库存原因,第一次在该供应商处购买原料付款7800元,第二次购买付款26100元.如果该厂一次性购买这些原料,可少付( )A.1170元B.1540元C.1460元D.2000元10、已知面包店的面包一袋15元，小明去此店买面包，结账时店员告诉小明：“如果你再多买一袋面包就可以打九折，价钱比现在便宜45元”，小明说：“我买这些就好了，谢谢．”根据两人的对话，判断结账时小明买了多少袋面包．()A．38 B．39 C．40 D．41二、填空题11、一种书包每件定价150元，售出后可以获利50%，如果按定价的八折出售，那么可获利_______元．12、如图1所示是超市某洗发水的价格标签，服务员不小心将墨水滴在标签上，致使原价显示不清，请帮忙算一算，该洗发水的原价是________元．13、购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，那么这本书的原价是________元．14、我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的15、某品牌自行车进价为每辆800元,标价为每辆1 200元.店庆期间,商场为了答谢顾客,进行打折促销活动,但是要保证利润率不低于5%,则最多可以打_______折.16、某种商品每件的标价为240元，按标价的八折销售时，每件仍能获利20%，则这种商品每件的进价为________元．17、爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄(3年期的年利率为4.5%)，3年后能取5675元，则他开始时存入了________元．18、书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元，一律按原价打九折；③一次性购书超过200元，一律按原价打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书的原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是________元．三、解答题19、某商店为了促销某种空调，2019年元旦那天购买该空调可分两期付款，在购买时先付一笔款，余下部分及其利息(年利率为5.6%)在2020年元旦付清，该空调每台售价为8224元，若两次付款的钱数相同，则每次应付款多少元？20、大明共有4 800元钱,他将一部分钱按活期存了一年,剩下的钱买了企业债券,一年后共获利48元.已知活期储蓄的年利率是0.8%,企业债券的年利率是1.1%,大明存活期和买债券分别用了多少钱?21、某商店买入100个整理箱，进价为每个40元，卖出时每个整理箱的标价为60元．当按标价卖出一部分整理箱后，剩余的部分以标价的九折出售．所有整理箱卖完时，该商店获得的利润一共是1880元，求以九折出售的整理箱有多少个．22、某书城开展学生优惠售书活动,凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠,超过200元的,其中200元的部分按九折优惠,超过200元的部分按八折优惠.某学生第一次购书付款72元,第二次又去购书享受了八折优惠.他查看了所买书的定价,发现两次共节省了34元钱.则该学生第二次购书实际付款多少元?23、联华商场以150元/台的价格购进某款电风扇若干台，很快售完．商场用相同的货款再次购进这款电风扇，因每台的价格提高了30元，所以进货量减少了10台．(1)这两次各购进电风扇多少台？(2)商场以250元/台的售价卖完这两批电风扇，商场共获利多少元？24单位分别购票，则一共应付1240元．问：(1)两班各有多少学生？(2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？(3)如果七年级一班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票才最省钱？25、红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡(注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款)，花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物．(1)顾客购买多少元的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？(2)小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？(3)小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果红旗商场还能盈利25%，那么这台冰箱的进价是多少元？2020-2021学年苏科版七年级数学上册第4章4.3用方程解决问题（6）同步培优训练卷（答案）一、选择题1、某人按定期3年在银行存了10000元,若银行定期3年的年利率为3%,则到期后可得本息和为( A)A.10900元B.300元C.10300元D.10075元2、如果某人用原价的八折价钱买一件上衣节省了20元，那么这件上衣的原价为(B)A．80元B．100元C．140元D．160元3、学校办了储蓄所，开学时，李健存了200元，王兵存了140元，以后李健每月存20元，王兵每月存35元，求经过几个月，李健和王兵的存款相等．设经过x个月，两人的存款相等，则可列方程为(A)A．200＋20x＝140＋35x B．200＋35x＝140＋20xC．200－20x＝140－35x D．200－35x＝140＋20x4、王叔叔买了25000元某公司1年期的债券，1年后扣除20%的利息税之后得到本息和为26000元，这种债券的年利率是(B)A．4% B．5% C．6% D．8%5、六一期间,某商店将单价标为130元的书包按8折出售可获利30%,该书包的进价是( )A.65元B.80元C.100元D.104元【答案】B解:设该书包的进价为x元,由题意得130×80%=(1+30%)x,解得x=80,即该书包的进价为80元.注意可获利30%,即按售价的80%计算仍比进价高.6、某商城将一件男式衬衫按进价提高90%标价，然后再按八折出售，这样商城每卖出一件衬衫可盈利60元，设每件衬衫的进价是x元，根据题意列一元一次方程，正确的是(A)A．(1＋90%)x·80%－x＝60 B．90%x·80%－x＝60C．(1＋90%)x·80%＝60 D．(1＋90%)x－x＝607、一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是(A)A．亏损20元B．盈利30元C．亏损50元D．不盈不亏8、某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装标价是(B)A．350元B．400元C．450元D．500元9、某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法:(1)一次购买金额不超过1万元的不予优惠;(2)一次购买金额超过1万元,但不超过3万元的九折优惠;(3)一次购买金额超过3万元,其中3万元的部分九折优惠,超过3万元的部分八折优惠.某厂因库存原因,第一次在该供应商处购买原料付款7800元,第二次购买付款26100元.如果该厂一次性购买这些原料,可少付( )A.1170元B.1540元C.1460元D.2000元【答案】C解:设第二次购买原料不打折需付款为x元,根据优惠办法,则90%·x=26100,解得x=29000.两次购买原料付款为29000+7800=36800(元).如果该厂一次性购买这些原料,则可少付(26100+7800)-30000×90%-6800×80%=1 460(元).10、已知面包店的面包一袋15元，小明去此店买面包，结账时店员告诉小明：“如果你再多买一袋面包就可以打九折，价钱比现在便宜45元”，小明说：“我买这些就好了，谢谢．”根据两人的对话，判断结账时小明买了多少袋面包．(B)11、一种书包每件定价150元，售出后可以获利50%，如果按定价的八折出售，那么可获利___20_____元．12、如图1所示是超市某洗发水的价格标签，服务员不小心将墨水滴在标签上，致使原价显示不清，请帮忙算一算，该洗发水的原价是________元．[解析] 设洗发水的原价为x 元，根据题意，得80%x ＝19.2，解得x ＝24.13、购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，那么这本书的原价是___20_____元．14、我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是________元．[解析] 设共有x 个人共同购买该物品，依题意得8x －3＝7x ＋4，解得x ＝7.8x －3＝8×7－3＝53(元)．故答案为53.15、某品牌自行车进价为每辆800元,标价为每辆1 200元.店庆期间,商场为了答谢顾客,进行打折促销活动,但是要保证利润率不低于5%,则最多可以打_______折.【答案】七解:设最多可以打x 折,则根据题意,得1200x-800=800×5%,解得x=0.7,即最多可以打七折.16、某种商品每件的标价为240元，按标价的八折销售时，每件仍能获利20%，则这种商品每件的进价为________元．[解析] 设每件的进价为x 元，则240×0.8－x ＝20%x ，解得x ＝160.17、爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄(3年期的年利率为4.5%)，3年后能取5675元，则他开始时存入了________元．[解析] 设他开始时存入了x 元．根据题意，得x (1＋4.5%×3)＝5675，解得x ＝5000.18、书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元，一律按原价打九折；③一次性购书超过200元，一律按原价打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书的原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是________元．[解析] 设第一次购书的原价为x 元，则第二次购书的原价为3x 元．根据x 的取值范围分段考虑，根据“付款金额＝第一次付款金额＋第二次付款金额”即可列出关于x 的一元一次方程，依题意得：①当0<x ≤1003时，x ＋3x ＝229.4，解得x ＝57.35(舍去)； ②当1003<x ≤2003时，x ＋910×3x ＝229.4，解得x ＝62，此时两次购书原价总和为4x ＝4×62＝248； ③当2003<x ≤100时，x ＋710×3x ＝229.4，解得x ＝74， 此时两次购书原价总和为4x ＝4×74＝296.综上可知，小丽这两次购书原价的总和是248元或296元．三、解答题19、某商店为了促销某种空调，2019年元旦那天购买该空调可分两期付款，在购买时先付一笔款，余下部则每次应付款多少元？解：设每次应付款x元，则(8224－x)×(1＋5.6%)＝x，解得x＝4224.答：每次应付款4224元．20、大明共有4 800元钱,他将一部分钱按活期存了一年,剩下的钱买了企业债券,一年后共获利48元.已知活期储蓄的年利率是0.8%,企业债券的年利率是1.1%,大明存活期和买债券分别用了多少钱?解:设大明存活期用了x元.由题意得0.8%x+1.1%(4800-x)=48,解得x=1600.4800-x=4800-1600=3200.答:大明存活期和买债券分别用了1600元、3200元.21、某商店买入100个整理箱，进价为每个40元，卖出时每个整理箱的标价为60元．当按标价卖出一部分整理箱后，剩余的部分以标价的九折出售．所有整理箱卖完时，该商店获得的利润一共是1880元，求以九折出售的整理箱有多少个．解：设以九折出售的整理箱有x个，则按标价出售的整理箱有(100－x)个．依题意，得60(100－x)＋60×0.9x＝100×40＋1880，解得x＝20.答：以九折出售的整理箱有20个．22、某书城开展学生优惠售书活动,凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠,超过200元的,其中200元的部分按九折优惠,超过200元的部分按八折优惠.某学生第一次购书付款72元,第二次又去购书享受了八折优惠.他查看了所买书的定价,发现两次共节省了34元钱.则该学生第二次购书实际付款多少元?解:设第一次购书的原价为x元,则x×0.9=72,解得x=80.第一次优惠了80-72=8(元),故第二次优惠了34-8=26(元).设第二次购书的原价为y元,根据题意得200×0.9+(y-200)·0.8=y-26,解得y=230.答:该学生第二次购书实际付款230-26=204(元).23、联华商场以150元/台的价格购进某款电风扇若干台，很快售完．商场用相同的货款再次购进这款电风扇，因每台的价格提高了30元，所以进货量减少了10台．(1)这两次各购进电风扇多少台？(2)商场以250元/台的售价卖完这两批电风扇，商场共获利多少元？解：(1)设第一次购进了x台，根据题意列方程得150x＝(150＋30)(x－10)．解得x＝60.∴第一次购进电风扇60台，第二次购进电风扇50台．(2)(250－150)×60＋(250－180)×50＝6000＋3500＝9500(元)．∴商场两次共获利9500元．24某校七年级一班和二班共104人去游园，其中一班有40多人，不足50人．经估算，若两个班以班为单位分别购票，则一共应付1240元．问：(1)两班各有多少学生？(2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？(3)如果七年级一班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票才最省钱？解：(1)设七年级一班有x人，则七年级二班有(104－x)人，依题意，得13x＋11(104－x)＝1240，解得x＝48，答：一班有48人，二班有56人．(2)1240－104×9＝304(元)．答：可省304元．(3)48×13＝624(元)，51×11＝561(元)，561<624，所以购买51张票最省钱．25、红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡(注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款)，花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物．(1)顾客购买多少元的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？(2)小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？(3)小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果红旗商场还能盈利25%，那么这台冰箱的进价是多少元？解：(1)设顾客购买x元的商品时，买卡与不买卡花钱相等．根据题意，得300＋0.8x＝x，解得x＝1500.所以当顾客消费少于1500元时不买卡合算；当顾客消费1500元时买卡与不买卡花钱相等；当顾客消费大于1500元时买卡合算．(2)小张买卡合算．3500－(300＋3500×0.8)＝400(元)．所以小张能节省400元钱．(3)设这台冰箱的进价为y元．根据题意，得(300＋3500×0.8)－y＝25%y，解得y＝2480.答：这台冰箱的进价是2480元．。

培优三考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项是正确的数学表达式？A. 3 + 4 = 6B. 5 × 2 = 12C. 9 ÷ 3 = 2D. 8 - 1 = 7答案：D2. 根据题目所给的选项，我们可以发现选项A、B、C的计算结果都是错误的，而选项D的计算结果是正确的，即8减去1等于7。

3. 选择题部分考查了学生对基本数学运算的掌握情况，包括加法、减法、乘法和除法。

二、填空题（每空1分，共10分）1. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。

答案：162. 如果一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是________平方厘米。

答案：78.5三、简答题（每题5分，共30分）1. 请解释什么是质数，并给出一个质数的例子。

答案：质数是指只能被1和它本身整除的大于1的自然数。

例如，2就是一个质数，因为它只能被1和2整除。

2. 解释什么是百分比，并给出一个使用百分比的例子。

答案：百分比是一种比例，表示每100单位中的一部分。

例如，如果一个班级有50名学生，其中有30名学生通过了考试，那么通过率是60%。

四、计算题（每题10分，共20分）1. 计算下列表达式的值：(3x + 2) / (x - 1)，其中x = 4。

答案：将x = 4代入表达式，得到(3 * 4 + 2) / (4 - 1) = (12 + 2) / 3 = 14 / 3 = 4.67（保留两位小数）。

2. 解下列方程：2x + 5 = 11。

答案：首先将方程中的常数项移至等式右边，得到2x = 11 - 5，即2x = 6。

然后将等式两边除以2，得到x = 6 / 2 = 3。

五、论述题（每题20分，共20分）1. 论述数学在日常生活中的重要性。

答案：数学是日常生活中不可或缺的工具。

它帮助我们进行基本的计算，如购物时计算价格和找零。

数学也是解决更复杂问题的基础，如在建筑和工程领域中的设计和测量。

4．3 角专题一角度的有关计算1．计算下列各题：(1)133°19′42″+16°40′28″；(2)80°3″﹣57°21′44″；(3)33°15′16″×5；(4)175°16′30″﹣47°30′÷6+4°12′50″×3．2．如图，∠AOB=110°，∠COD=70°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，求∠EOF的大小．3．如图，射线OC、OD在∠AOB的内部，∠AOC AOB，OD平分∠BOC，∠BOD 与∠AOC互余，求∠AOB的度数．专题二与角度有关的探究题4．一天上午八点多，小明与几个同学外出参加社会实践活动，临出门他一看钟，时针与分针正好是重合的，下午两点多他回到家里，一进门看钟的时针与分针方向相反，正好成一条直线，问小明是几点出去，几点回到家的，共用了多少时间？5．如图所示，将两块三角板的直角顶点重合．(1)写出以C为顶点的相等的角；(2)若∠ACB=150°，求∠DCE度数；(3)写出∠ACB与∠DCE之间所具有的数量关系；(4)当三角板ACD绕点C旋转时，你所写出的(3)中的关系是否变化？请说明理由．6．如图，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线．(1)如果∠AOC=48°，∠BOC=42°，求∠DOE的度数；(2)如图∠AOB的大小不变，与(1)相同，而射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，∠DOE的大小是否发生变化？若不变，请求出其度数；(3)如果∠AOB的大小仍不变，而射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转(∠AOC不大于90о)，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线，请画出相应的图形，此时∠DOE的大小是否发生变化？并说明理由．【知识要点】1．把一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一位置时所成的图形叫做角．2．当射线绕着端点旋转到与原来的位置在同一直线上但方向相反时，所成的角叫做平角，当射线绕着端点旋转一周，又重新回到原来的位置时，所成的角叫做周角．一个周角等于360°，一个平角等于180°．平角的一半(即90°的角)叫做直角．小于直角(即小于90°)的角叫做锐角．大于直角但小于平角(即大于90°但小于180°)的角叫做钝角．1°=60′，1′=60″，，3．以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线．4．如果两个角的和等于一个直角，那么就说这两个角互为余角(简称互余)，也说其中一个角是另一个角的余角．如果两个角的和等于一个平角，那么就说这两个角互为补角(简称互补)，也说其中一个角是另一个角的补角．同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等．【温馨提示】1．表示角的时候，不要遗漏角的符号，同一个顶点出发的角不止一个时，不可只用一个大写字母表示．2．角平分线是一条射线，这条射线的端点就是这个角的顶点．3．互余、互补都是针对两个角的大小关系而言，与两个角所处的位置无关．【方法技巧】1．角度的度分秒互化可借助时间单位来理解，由相邻的大单位化小单位乘以60，由相邻的小单位化大单位除以60．2．正确运用“角平分线”这一条件，与线段的中点相类似，由“全部”由其中的一半乘以2得到“全部”．参考答案1．解：(1)133°19′42″+16°40′28″=149°+59′+70″=149°+60′+10″=150°10″.(2)80°3″﹣57°21′44″=79°59′63″﹣57°21′44″=22°38′19″.(3)33°15′16″×5=165°+75′+80″=165°+76′+20″=166°16′20″.(4)175°16′30″﹣47°30′÷6+4°12′50″×3=175°16′30″﹣2850′÷6+12°36′150″=175°16′30″﹣7°55′+12°38′30″=187°54′60″﹣7°55′=180°．2．解：因为∠AOB=110°，∠COD=70°，所以∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=40°．因为OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，所以∠AOE=∠AOC，∠BOF=∠BOD．所以∠AOE+∠BOF=40°．所以∠EOF=∠AOB+∠AOE+∠BOF=150°．3．解：设∠AOC=x°，因为∠AOC AOB，所以∠AOB=5x°．所以∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=4x°．因为OD平分∠BOC，所以∠BOD=∠COD=2x°．因为∠BOD与∠AOC互余，所以2x+x=90°，解得x=30°．所以∠AOB=5×30=150°．答：∠AOB的度数为150°．4．解：设8点x即8设2点y2所以8点．故共用了6个小时．5．解：(1)根据同角的余角相等可得：∠ACE=∠BCD，(2)因为∠ACB=150°，∠BCE=90°，所以∠ACE=150°﹣90°=60°．所以∠DCE=90°﹣∠ACE=90°﹣60°=30°.(3)因为∠ACB+∠DCE=∠BCE+∠ACE+∠DCE=90°+90°=180°，所以∠ACB与∠DCE互补.(4)不变化，理由：①当三角板ACD与三角板BCE有除C点外的重合部分时，∠ACB+∠DCE=∠BCE+∠ACE+∠DCE=90°+90°=180°；②当三角板ACD与三角板BCE除C点外的没有重合部分时，∠ACB+∠DCE=360°－(∠ACD+∠BCE)=360°－(90°+90°)=180°；所以无论如何旋转，∠ACB与∠DCE互补．6．解：(1)因为OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，∠AOC=48°，∠BOC=42°，所以∠DOC AOC48°=24°，∠COE BOC42°=21°．所以∠DOE=∠DOC+∠EOC=24°+21°=45°.(2)因为OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，所以∠DOC AOC，∠COE BOC．所以∠DOE=∠DOC+∠EOC AOC BOC∠AOC+∠BOC AOB．因为∠AOB=∠AOC+∠BOC=48°+42°=90°，所以∠DOE AOB90°=45°．故∠DOE的大小不变，仍为45°；(3)∠DOE的大小不变，仍为45°.理由：因为OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，所以∠DOC AOC，∠COE BOC，所以∠DOE=∠EOC﹣∠DOC BOC AOC∠BOC﹣∠AOC AOB．因为∠AOB=90°，所以∠DOE AOB90°=45°．故∠DOE的大小不变，仍为45°．。

第四章　基本平面图形3　角基础过关全练知识点1　角的认识1.如图,能用∠1,∠ABC,∠B三种方法表示同一个角的是( )A BC D2.30°的角是( )A.钝角B.直角C.锐角D.平角知识点2　角的度量及换算3.如图所示,∠AOB的大小可由量角器测得,则图中∠AOB的度数为( )A.60°B.75°C.120°D.150°4.下列等式正确的是()( )A.23°12'36″=23.48°B.47.11°=47°7'36″C.18°18'30″=18.183°D.22.25°=22°15'5.(2023宁夏吴忠期末)计算:15°37'+42°51'= .()6.【教材变式·P117T3】(2023重庆沙坪坝期中)如图,当时钟指向9点整时,时针与分针的较小夹角为90度,当时钟指向上午9:10时,时针与分针的较小夹角为 度.()知识点3　方位角7.在海上,灯塔位于一艘船的北偏东50°方向,那么这艘船位于这座灯塔的( ) A.南偏西40°方向 B.南偏西50°方向C.北偏西40°方向D.北偏西50°方向8.(2022陕西西安雁塔期中)一个人从A地出发沿北偏东50°方向走到B地,再从B地出发沿南偏西20°方向走到C地,那么∠ABC的度数为 .9.如图,射线OA的方向是北偏西66°,射线OB的方向是南偏东21°,求∠AOB的度数.能力提升全练10.(2022河北保定十七中期中,20,★☆☆)七年级(1)班同学小明在用一副三角板画角时,画出了许多不同度数的角,但他画不出来下列哪个度数的角( )A.135°B.25°C.120°D.75°11.(2023辽宁沈阳第一三四中学期末,6,★☆☆)如图,下列表示角的方法中,不正确的是( )A.∠AB.∠αC.∠ED.∠112.(2022湖南益阳中考,15,★☆☆)如图,PA,PB表示以P为起点的两条公路,其中公路PA的走向是南偏西34°,公路PB的走向是南偏东56°,则这两条公路的夹角∠APB= °.13.(2021内蒙古兴安盟中考,14,★☆☆)74°19'30″= °.()14.(2020云南昆明中考,3,★☆☆)如图,点C位于点A的正北方向,点B位于点A的北偏东50°方向,点C位于点B的北偏西35°方向,则∠ABC的度数为 .15.(2020内蒙古通辽中考,13,★☆☆)如图,点O在直线AB上,∠AOC=53°17'28″,则∠BOC的度数是 .()素养探究全练16.【推理能力】【规律探究题】(1)如图①,在∠AOB内引一条射线,共有 个角;(2)如图②,在∠AOB内引两条射线,共有 个角;(3)如图③,在∠AOB内引三条射线,共有 个角;(4)在∠AOB内引n条射线(n为正整数),共有 个角.17.【空间观念】如图所示的是一只蜗牛在地面上爬行时留下的痕迹,若蜗牛从P点出发按顺时针方向沿图中弧线爬行,最后又回到P点,则该蜗牛共转过的角度是多少?答案全解全析基础过关全练1.B　A.以B为顶点的角不止一个,不能用∠B表示,故本选项错误;B.能用∠ABC,∠B,∠1三种方法表示同一个角,故本选项正确;C.以B为顶点的角不止一个,不能用∠B表示,故本选项错误;D.以B为顶点的角不止一个,不能用∠B表示,故本选项错误.故选B.2.C　30°的角是锐角.3.C　由题图得∠AOB=120°,故选C.4.D　A.∵1°=60',∴0.48°=28.8',∵1'=60″,∴0.8'=48″,∴23.48°=23°28'48″,故A不符合题意;B.∵1°=60',∴0.11°=6.6',∵1'=60″,∴0.6'=36″,∴47.11°=47°6'36″,故B不符合题意;C.∵1°=60',∴0.183°=10.98',∵1'=60″,∴0.98'=58.8″,∴18.183°=18°10'58.8″,故C不符合题意;D.∵1°=60',∴0.25°=15',∴22.25°=22°15',故D符合题意.故选D.5.答案　58°28'解析　∵37+51=88,∴88'=1°28',∴15°37'+42°51'=58°28'.故答案为58°28'.6.答案　145解析　当时钟指向上午9:10时,时针与分针的较小夹角为30°×4+30°×1―°,故答案为145.7.B　在海上,灯塔位于一艘船的北偏东50°方向,那么这艘船位于这座灯塔的南偏西50°方向.故选B.8.答案　30°解析　∠ABC=50°-20°=30°,故答案为30°.9.解析　由题图可知∠AOB=(90°-66°)+90°+21°=135°.能力提升全练10.B　∵45°+90°=135°,90°+30°=120°,30°+45°=75°,∴画不出来25°的角,故选B.11.C　根据角的表示方法可知,A、B、D的表示方法正确.C选项中,以E 为顶点的角不止一个,则C 的表示方法不正确.故选C.12.答案　90解析　如图:由题意得∠APC =34°,∠BPC =56°,∴∠APB =∠APC +∠BPC =90°,故答案为90.13.答案　74.325解析　=0.5',19'+0.5'=19.5',19.=0.325°,74°+0.325°=74.325°,故答案为74.325°.14.答案　95°解析　如图所示.由题意可得∠1=∠A =50°,则∠ABC =180°-35°-50°=95°.故答案为95°.15.答案　126°42'32″解析　∠BOC =180°-∠AOC =180°-53°17'28″=126°42'32″,故答案为126°42'32″.素养探究全练16.答案　(1)3　(2)6　(3)10　(4)(n+1)(n+2)217.解析　由P点开始转一圈回到P点与由A点开始转一圈回到A点所转角度相同,而由A点转到C点转了180°,由C点转到D点转了180°,由D点转到E点转了180°,由E点转到F点转了180°,由F点转到B点转了180°,由B点转到A点转了180°,共转了6×180°=1 080°.答:该蜗牛共转过的角度是1 080°.。

4.3角4.3.1角能力提升1.下列说法中正确的是()A.两条射线组成的图形叫做角B.角是一条线段绕它的一个端点旋转而成的图形C.有公共端点的两条线段组成的图形叫做角D.角是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形2.如图,O是直线AB上一点,图中小于180°的角的个数为()A.7B.9C.8D.103.下午2点30分时(如图),时钟的分针与时针所成角的度数为()A.90°B.105°C.120°D.135°(第2题图)(第3题图)4.若∠1=75°24',∠2=75.3°,∠3=75.12°,则()A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠1=∠3D.以上都不对5.由2点15分到2点30分,钟表的分针转过的角度是()A.30°B.45°C.60°D.90°6.(1)32.6°=°';(2)10.145°=°'″;(3)50°25'12″=°.7.小明说:我每天下午3:00准时做“阳光体育”活动.则下午3:00这一时刻,时钟上分针与时针所夹的角等于.8.指出图中所示的小于平角的角,并把它们表示出来.★9.如图,从点O引出的5条射线OA,OB,OC,OD,OE组成的图形中共有几个角?创新应用★10.观察下图,回答下列问题.(1)在∠AOB内部任意画1条射线OC,则图①中有个不同的角;(2)在∠AOB内部任意画2条射线OC,OD,则图②中有个不同的角;(3)在∠AOB内部任意画3条射线OC,OD,OE,则图③中有个不同的角;(4)在∠AOB内部任意画10条射线OC,OD,…,则共形成个不同的角.参考答案能力提升1.D2.B3.B时钟上每一大格是30°,2点30分时时针与分针之间是3.5个格,所以夹角为3.5×30°=105°.4.D因为∠1=75°24'=75.4°,所以∠1,∠2和∠3都不相等.5.D6.(1)3236(2)10842(3)50.427.90°8.解:满足条件的角有6个,它们是∠A,∠D,∠ABE,∠ABF,∠DCE,∠DCF.9.解:图形中有∠AOB,∠AOC,∠AOD,∠AOE,∠BOC,∠BOD,∠BOE,∠COD,∠COE,∠DOE,共10个角.创新应用10.(1)3(2)6(3)10(4)66(1)2+1=3;(2)3+2+1=6;(3)4+3+2+1=10;(4)11+10+9+…+3+2+1=66.。

4.3角4.3.1角知识点一 :角的定义及其表示方法1.以下说法中,正确的选项是(C)A.两条射线构成的图形叫做角B.有公共端点的两条线段构成的图形叫做角C.角能够看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D.角能够看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形2.如图 ,写出图中切合以下条件的角(图中全部的角均指小于平角的角):(1)能用一个大写字母表示的角 ;(2)以点 A 为极点的角 .解 (1)能用一个大写字母表示的角有∠ C,∠ B.(2)以点 A 为极点的角有∠ CAB,∠CAD 和∠ DAB.知识点二 :角的胸怀与换算3.计算16°5'24″=16.09°;47.28°= 47°16'48″.拓展点一 :钟面角1.时钟显示为8:30 时 ,时针与分针所夹的角是( C)A.90 °B.120XXC.75 °D.84 °2.如图,察看时钟,回答:(1)分针多长时间转一圈 ?它的转速是多少 ?(2)从 0 点(12 时 )开始到 6 时整 ,时针转动了几度 ?(3)从 12 时到 12 时 30 分 ,分针转动了几度 ?解 (1)分针 60 分钟转一圈 ,它的转速是 360÷60=6(度 /分 ).(2)从 0 点(12 时)开始到 6 时整 ,时针转动了 180°;(3)从 12 时到 12 时 30 分 ,分针转动了 180°.拓展点二 :与角的个数相关的问题3.如下图,在∠AOB的内部引出 5 条射线能构成21个角.4.如图,图中共有8个角.1.(20XX·北京中考)如下图,用量角器胸怀∠AOB,能够读出∠ AOB 的度数为 (B)A.45 °B.55 °C.125 °D.135 °2.(20XX·福建厦门中考)1°等于(C)A.10 'B.12'C.60'D.100'3.导学号19054127(20XX ·广西百色中考 )以下关系式正确的选项是(D )A.35 .5°= 35°5'B.35 .5°= 35°50'°< 35°5' D.35 .5°> 35°5'4.(20XX·河北唐山期末)如图 ,以下表示角的方法中,不正确的选项是 (B)A.∠ AB.∠EC.∠ αD.∠ 15.导学号19054128(20XX·山东单县期末)正午12时15分时,钟面上的时针和分针所成的角是(C)A.90 °B.75 °° D.60 °6.(20XX ·四川雅安中考°87'.)1.45 =7.(20XX·天津河西区校级期末)35.36 度 =35度 21分 36秒 .8.(20XX ·河北邯郸月考 )如下图 ,把用数字或希腊字母表示的角用三个大写字母表示.解∠1 可表示为∠ BAC;∠2 可表示为∠ ADB ;∠α可表示∠ DBC,∠β可表示为∠ ACD.9.(20XX·江苏启东市月考)用度表示以下各角.(1)37 36°″;(2)51 6';°(3)15 24'36°″.解 (1)37 °36″=37°+'= 37°+0.6'= 37°+°= 37°+ 0.01°=37.01°;(2)51 °6'= 51°+°= 51°+0.1°= 51.1°;(3)15 °24'36″=15°24'+'=15°24'+ 0.6'= 15°+ 24.6'=15°+°= 15°+ 0.41°= 15.41°.10.导学号19054129察看常用时钟,回答以下问题:(1) 清晨 8 时整 ,时针和分针构成多少度的角?(2)时针多长时间转一圈 ?它转动的速度是每小时多少度 ?(3)从 8:00 到 8:40,分针转动了多少度 ?解 (1)8 时 ,时针和分针中间相差 4 个大格 .因此 8 时 ,分针与时针的夹角是4×30°= 120XX答 :清晨 8 时整 ,时针和分针构成 120XX 角.(2)由时钟可知时针 12 个小时转一圈 ,360°÷12= 30°.答 :时针 12 个小时转一圈 ,它转动的速度是每小时30 度.(3)分针转过的角度为(360 °÷60)×40=240°.答 :分针转动了240 度 .。

专题4.3 角一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）如图，能用∠1、∠ABC 、∠B 三种方法表示同一个角的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】解：B 、C 、D 选项中，以B 为顶点的角不只一个，所以不能用∠B 表示某个角，所以三个选项都是错误的；A 选项中，以B 为顶点的只有一个角，并且∠B=∠ABC=∠1，所以A 正确．故选A ． 2．（2020·新疆期末）如图，甲从A 点出发向北偏东70°方向走到点B ，乙从点A 出发向南偏西15°方向走到点C ，则∠BAC 的度数是（ ）A ．85°B ．105°C ．125°D ．160°【答案】C 【解析】根据题意得：∠BAC ＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，故选：C ．3．（2020·全国单元测试）将一个直角分成1:2:3的三个角，那么这三个角中，最大的角与最小的角相差（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】C 【解析】最大角为：39045123°°´=++，最小角为：19015123°°´=++，451530°°°-=，故选：C ．4．（2020·陕西西安·西北工业大学附属中学初一期末）如图，射线OB 和OD 分别为AOC Ð和COE Ð的角平分线，45,20AOB DOE Ð=°Ð=°，则AOE Ð=（ ）A ．110°B ．120°C ．130°D ．140°【答案】C 【解析】∵射线OB 和OD 分别为AOC Ð和COE Ð的角平分线，∴290,240AOC AOB COE DOE Ð=Ð=°Ð=Ð=°，∴AOE Ð=AOC Ð+COE Ð=130°故选C ．5．（2020·内蒙古海勃湾·初一期末）2018年4月12日我军在南海举行了建国以来海上最大的军事演习，位于点O 处的军演指挥部观测到军舰A 位于点O 的北偏东70°方向（如图），同时观测到军舰B 位于点O 处的南偏西15°方向，那么∠AOB 的大小是（ ）A ．85°B ．105°C ．115°D ．125°【答案】D 【解析】∵A 位于点O 的北偏东70°方向，B 位于点O 处的南偏西15°∴∠AOB ＝20°＋90°＋15°＝125°，故选D.6．（2020·全国课时练习）已知180ab Ð+Ð=°，且a b Ð>Ð，那么b Ð的余角一定是（ ）A ．a bÐ-ÐB ．90a °-ÐC ．90a Ð-°D ．90b Ð-°【答案】C【解析】∵180ab Ð+Ð=°，且a b Ð>Ð，∴b Ð是锐角，∴b Ð的余角为90°-b Ð=90°-（180°-a Ð）=90a Ð-°故选C ．7．（2020·全国课时练习）如图所示，OC 是AOB Ð的平分线，OD 是BOC Ð的平分线，那么下列各式中正确的是（ ）A ．23AOD AOB Ð=ÐB ．13BOD AOB =∠C ．23BOC AOB Ð=ÐD ．12Ð=ÐCOD BOC 【答案】D 【解析】∵OC 是∠AOB 的平分线，OD 是∠BOC 的平分线，∴∠BOC ＝∠AOC ＝12∠AOB ，COD Ð=∠BOD ＝12∠AOC ＝12∠BOC ，∴∠AOD ＝34∠AOB ，∠BOD ＝14∠AOB 故选：D ．8．（2020·浙江镇海·期末）一个角的余角比它的补角的一半少30°，则这个角的度数为（）A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°【答案】C【解析】解：设这个角为,x ° 则它的余角为()90,x -° 它的补角为()180,x -° ()19018030,2x x \-=-- 180218060x x \-=--60,x \=故选C ．9．（2020·北京海淀实验中学开学考试）如图，已知CO ⊥AB 于点O ，∠AOD =5∠DOB ＋6°，则∠COD 的度数（ ）A．58°B．59°C．60°D．61°【答案】D【解析】解：∵∠AOD=5∠BOD+6°，设∠BOD=x°，∠AOD=5x°+6°．∵∠AOD+∠BOD=180°，∴x+5x+6°=180．∴x=29°．∴∠BOD=29°．∵CO⊥AB，∴∠BOC=90°．∴∠COD=∠BOC-∠BOD=90°-29°=61°．故选：D.10．（2020·岳阳市第十中学初一期末）下列语句中，正确的个数是（ ）①直线AB和直线BA是两条直线；②射线AB和射线BA是两条射线；③若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1、∠2、∠3互余；④一个角的余角比这个角的补角小；⑤一条射线就是一个周角；⑥两点之间，线段最短．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：①直线AB和直线BA是一条直线，原来的说法是错误的；②射线AB和射线BA是两条射线是正确的；③互余是指的两个角的关系，原来的说法是错误的；④一个角的余角比这个角的补角小是正确的；⑤周角的特点是两条边重合成射线．但不能说成周角是一条射线，原来的说法是错误的；⑥两点之间，线段最短是正确的．故正确的个数是3个．故选：C．11．（2020·内蒙古额尔古纳·期末）将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α与∠β互余的是（）A．B．C ．D ．【答案】C【解析】解：A 、∠α与∠β不互余，故本选项错误；B 、∠α与∠β不互余，故本选项错误；C 、∠α与∠β互余，故本选项正确；D 、∠α与∠β不互余，∠α和∠β互补，故本选项错误；故选：C ．12．（2020·山东莘县·期末）如图，∠AOC 和∠BOC 互补，∠AOB ＝α，OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线，∠MON 的度数是（ ）A ．1802α-o B ．12a C ．1902a +o D ．1902a -o 【答案】B 【解析】解：∵∠AOC 和∠BOC 互补，∴∠AOC +∠BOC ＝180°①，∵OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线，∴∠AOM ＝12∠AOC ，∠CON ＝12∠BOC ，∴∠AOM +∠CON ＝90°，∵∠AOB ＝α，∴∠AOC ﹣∠BOC ＝∠AOB ＝α②，①+②得：2∠AOC ＝180°+α，∴∠AOC ＝90°+12α，∴∠MON ＝∠AOC ﹣∠AOM ﹣∠CON ＝90°+12﹣90°＝12α．故选B ．13．（2020·浙江松阳·期末）在同一平面内，已知∠AOB ＝70°，∠BOC ＝20°，如果OP 是∠AOC 的平分线，则∠BOP 的度数为（ ）A ．25°B ．25°或35°C ．35°D ．25°或45°【答案】D 【解析】①当∠BOC 在∠AOB 的外部时，∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝70°＋20°＝90°，∵OP 是∠AOC 的平分线，∴∠COP ＝12∠AOC ＝45°，∴∠BOP ＝∠COP －∠COB ＝25°；②当∠BOC 在∠AOB 的内部时，∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝70°－20°＝50°，∵OP 是∠AOC 的平分线，∴∠COP ＝12∠AOC ＝25°，∴∠BOP ＝∠COP ＋∠COB ＝45°；故选D ．14．（2020·湖南湘潭电机子弟中学初一月考）如图，已知点A ，O ，B 在同一直线上，∠2是锐角，则∠2的余角是（ ）A ．1122Ð-ÐB ．()1123Ð+ÐC ．()1122Ð-ÐD ．131222Ð-Ð【答案】C【解析】解：∵点A ，O ，B 在同一直线上，∴∠1＋∠2=180°∵1122Ð-Ð＋∠2=112∠，而112∠≠90°，故A 不符合题意；()1123Ð+Ð＋∠2=60°＋∠2，不一定等于90°，故B 不符合题意；()1122Ð-Ð＋∠2=()1122Ð+Ð=90°，故C 符合题意；131222Ð-Ð＋∠2=111222Ð-Ð，不等于90°，故D 不符合题意．故选C ．二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．（2020·怀安县教育体育和科学技术局教育科学研究室开学考试）图书馆在餐厅的北偏东40°方向，那么餐厅在图书馆的________方向．【答案】南偏西40°（或西偏南50°）【解析】∵图书馆在餐厅的北偏东40°方向，∴餐厅在图书馆的南偏西40°（或西偏南50°），故答案为：南偏西40°（或西偏南50°）.16．（2020·全国初一课时练习）下列角度换算错误的是（ ）A ．10.6°＝10°36″B ．900″＝0.25°C ．1.5°＝90′D ．54°16′12″＝54.27°【答案】A【解析】解：A 、10.6°＝10°36'，错误；B 、900″＝0.25°，正确；C 、1.5°＝90′，正确；D 、54°16′12″＝54.27°，正确；故选：A ．17．（2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末）若一个角的补角加上10º后等于这个角的4倍，则这个角的度数为____．【答案】38º【解析】解：设这个角为x ，由题意得：180°-x+10°=4x ，解得x=38°故答案为38°．18．（2020·全国单元测试）过点O 引三条射线OA 、OB 、OC ，使2AOC AOB Ð=Ð，如果32AOB Ð=°，那么BOC Ð的度数是_______．【答案】32°或96°【解析】解：∵∠AOC=2∠AOB ，∠AOB=32°，∴∠AOC=64°．（1）当∠BOC 在∠AOC 的内部时，∠BOC=∠AOC-∠AOB=64°-32°=32°，（2）当∠BOC 在∠AOC 的外部时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=32°+64°=96°．故∠BOC 的度数为32°或96°．三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．（2020·全国课时练习）用一副三角尺画角．（1）135AOB Ð=°．（2）150BOC Ð=°．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【解析】（1）如图，∠AOB 为所求；（2）如图，∠BOC 为所求；20．（2019·全国初一课时练习）计算：（1）2027'3554'°+°；（2）90431836"¢°-°.【答案】（1）5621'°（2）4641'24"°【解析】（1）2027'3554'5581'5621'+=°=°°°°-°=°-°=°′（2）904318'36"8959'60"4318'36"464124"21．（2020·湖南古丈·初一期末）完成推理填空：如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE 的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤．解：∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°（ ）∴∠EOF＝ °又∵OF是∠AOE的角平分线（ ）∴∠AOF＝ ＝56°（ ）∴∠AOC＝∠　—∠　＝ °∴∠BOD＝∠AOC＝ °（ ）【答案】已知；56；已知；∠EOF；角平分线定义；AOF；COF；22；22；对顶角相等【解析】解：∵∠EOC=90°∠COF=34° （已知）∴∠EOF=90°-34°=56°，∵OF是∠AOE的角平分线∴∠AOF＝∠EOF＝56°（角平分线定义）∴∠AOC=∠AOF-∠COF=22°，∴∠BOD=∠AOC=22° （同角的余角相等），22．（2020·新疆期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O,∠COE= 90°，OF平分∠AOE, ∠COF=28°．求∠AOC的度数．【答案】34°【解析】解：∵∠EOF=∠COE-∠COF=90°-28°=62°．又∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF=62°，∴∠AOC=∠AOF-∠COF=62°-28°=34°．23．（2019·黑龙江甘南·初一期末）请仔细观察如图所示的折纸过程，然后回答下列问题：（1）2Ð的度数为__________；（2）1Ð与3Ð有何数量关系：______；（3）1Ð与AEC Ð有何数量关系：__________；【答案】（1）90°；（2）1390°Ð+Ð=；（3）1180AEC °Ð+Ð=.【解析】解：（1）根据折叠的过程可知：∠2=∠1+∠3，∵∠1+∠2+∠3=∠BEC ，B 、E 、C 三点共线∴∠2=180°÷2=90°．故答案是：90°．（2）∵∠1+∠3=∠2，∴∠1+∠3=90°．故答案是：∠1+∠3=90°．（3）∵B 、E 、C 三点共线，∴∠1+∠AEC=180°，故答案是：∠1+∠AEC=180°．24．（2020·辽宁庄河·期末）如图，已知直线和直线外三点A ，B ，C ，按下列要求画图：（1）画线段AB（2）画出射线BC（3）以A 为顶点画出表示东西南北的十字线，再画出表示北偏西30o 的射线AD （注：D 为射线与直线l 的焦点，标注字母D 与30o 角）【答案】（1）图见详解；（2）图见详解；（3）图见详解．【解析】解：（1）线段AB 作图如下，（2）射线BC 作图如下，（3）方向角作图如下，25．（2020·云南兰坪·期末）如图，OM ，ON 分别是BOC Ð和AOC Ð的平分线，且84AOB Ð=°．（1）当OC 静止时，求MON Ð的度数；（2）当OC 在AOB Ð内转动时，MON Ð的大小是否会发生变化，简单说明理由．【答案】（1）42MON Ð=°；（2）MON Ð的大小不会发生变化，42MON Ð=°．【解析】解：（1）Q OM ，ON 分别是BOC Ð和AOC Ð的平分线，11,,22MOC BOC NOC AOC \Ð=ÐÐ=Ð ()11,22MON MOC NOC BOC AOC AOB \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð 84AOB Ð=°Q ，18442.2MON \Ð=´°=° （2）MON Ð的大小不会发生变化，理由如下：Q OM ，ON 分别是BOC Ð和AOC Ð的平分线，11,,22MOC BOC NOC AOC \Ð=ÐÐ=Ð ()11,22MON MOC NOC BOC AOC AOB \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð 84AOB Ð=°Q ，18442.2MON \Ð=´°=° 所以只要∠AOB 的大小不变，无论OC 在∠AOB 内怎样转动，∠MON 的值都不会变．26．（2020·哈尔滨工业大学附属中学校初一开学考试）已知:AOB Ð和COD Ð是直角．（1）如图，当射线OB 在COD Ð内部时，请探究AOD Ð和BOC Ð之间的关系；（2）如图2，当射线,OA 射线OB 都在COD Ð外部时，过点О作射线OE ，射线OF ，满足13BOE BOC Ð=Ð，23DOF AOD Ð=Ð，求EOF Ð的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG ，使得:2:3GOF GOE ÐÐ=，若不存在，请说明理由，若存在，求出GOF Ð的度数．【答案】（1）180AOD BOC Ð+Ð=°，详见解析；（2）150o ；（3）GOF Ð的度数是60°或84o【解析】解：（1）180AOD BOC Ð+Ð=° ，证明：AOB ÐQ 和COD Ð是直角，90AOB COD \Ð=Ð=°，BOD BOC COD Ð+Ð=ÐQ ，90BOD BOC \Ð=°-Ð，同理：90AOC BOC Ð=°-Ð，9090180AOD AOB BOD BOC BOC \Ð=Ð+Ð=°+°-Ð=-Ðo ，180AOD BOC \Ð+Ð=°；（2）解：设BOE a Ð=，则3BOC a Ð=，BOE EOC BOC Ð+Ð=ÐQ ，2EOC BOC BOE a \Ð=Ð-Ð=，360AOD COD BOC AOB Ð+Ð+Ð+Ð=°Q ，360AOD COD BOC AOB \Ð=°-Ð-Ð-Ð360903901803a a =°-°--°=°-，23DOF AOD Ð=ÐQ ，21803103(22DOF a a \Ð=°-=°-），(1118036033AOF AOD a a \Ð=Ð=-=°-o ），9060150EOF BOE AOB AOF a a \Ð=Ð+Ð+Ð=+°+°-=°，答：EOF Ð的度数是150o ；（3）①如图，当射线OG 在EOF Ð内部时，:2:3GOF GOE ÐÐ=Q ，222150602355GOF EOF EOF \Ð=Ð=Ð=´°=°+，②如图，当射线OG 在EOF Ð外部时，:2:3GOF GOE ÐÐ=Q ，()()222352360360150210845GOF EOF °\Ð=Ð=+-°-°=´°=°，综上所述，GOF Ð的度数是60°或84°．。

4.4 角的比较专题一角的比较与运算、角平分线的定义1．若∠1=20°18′，∠2=20°15′30′′，∠3=20．25°，则（）A．∠1＞∠2＞∠3 B．∠2＞∠1＞∠3C．∠1＞∠3＞∠2 D．∠3＞∠1＞∠22．已知点P和∠MAN，现有四个等式：①∠P AM=∠NAP；②∠P AN=∠MAN；③∠MAP=∠MAN；④∠MAN=2∠MAP．其中一定能推出AP是角平分线的等式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，已知∠AOC=90°，∠COB=α，OD平分∠AOB，则∠COD等于（）A．B．45°﹣C．45°﹣αD．90°﹣α4．点M，O，N顺次在同一直线上，射线OC，OD在直线MN同侧，且∠MOC=64°，∠DON=46°，则∠MOC的平分线与∠DON的平分线夹角的度数是（）A．85°B．105°C．125°D．145°5．如图，∠ABC=90°，则∠DBE的度数是．6．已知∠AOB=40°，过点O引射线OC，若∠AOC∶∠COB=2∶3，且OD平分∠AOB，则∠COD=．7．如图，AB＞AC，AD平分∠BAC，且CD=BD．试说明∠B与∠C的大小关系．8．如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．（1）①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由．②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由．（2）若将这幅三角尺按图乙所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处．①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由．②∠AOC和∠BOD的以上关系还成立吗？说明理由．状元笔记：【知识要点】1．比较角的大小．2．角的分类及角的和差倍分．3．角平分线的概念．【温馨提示】根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解，根据题意画出图形是解题的关键．参考答案1．A2．A3．B解析：∵∠AOC=90°，∠COB=α，∴∠AOB=90°+α．∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=∠AOB=（90°+α）=45°+，∠COD=∠AOC﹣∠AOD=90°﹣（45°+）=45°﹣．4．C解析：如图，设∠MOC的平分线为OE，∠DON的平分线为OF，∵∠MOC=64°，∠DON=46°，∴∠MOE=∠MOC=×64°=32°，∠NOF=∠DON=×46°=23°，∴∠EOF=180°﹣∠MOE﹣∠NOF=180°﹣32°﹣23°=125°．5．50°解析：根据图形，易得∠DBE=∠ABC﹣∠ABE﹣∠COD=90°﹣30°﹣10°=50°．6．4°或100°解析：如图（1），射线OC在∠AOB的内部，图（2）射线OC在∠AOB的外部．（1）设∠AOC、∠COB的度数分别为2x、3x，则2x+3x=40°，∴x=8°，∠AOC=2x=16°，∠AOD=×40°=20°，∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=20°﹣16°=4°．（2）设∠AOC、∠COB的度数分别为2x、3x，则∠AOB=3x﹣2x=x=40°，∴∠AOC=2x=80°，∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．7．解：由题意知，∠C=180°﹣∠CAD﹣∠CDA，∠B=180°﹣∠DAB﹣∠ADB，∵AB＞AC，AD平分∠BAC，且CD=BD，∴∠CAD=∠BAD，∠CDB＜∠ADB，∴∠C＞∠B．8．解：（1）①相等．理由：∵∠AOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°+∠BOD，∴∠AOD和∠BOC相等．②∠AOC+∠BOD=180°．理由：∵∠AOC+90°+∠BOD+90°=360°，∴∠AOC+∠BOD=180°；（2）①相等．理由：∵∠AOD=90°﹣∠BOD，∠BOC=90°﹣∠BOD，∴∠AOD和∠BOC 相等．②成立．理由：∵∠AOC=90°+90°﹣∠BOD，∴∠A OC+∠BOD=180°．。

专题一利用三角形的内角和求角度1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，那么∠D=〔〕A．15°B．20°C．25°D．30°2．如图，：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D. 假设AP平分∠BAC 且交BD于P，求∠BP A的度数．3．：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB 和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答以下问题：〔1〕在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：__________；〔2〕在图2中，假设∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；〔写出解答过程〕〔3〕如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．〔直接写出结论即可〕专题二利用三角形外角的性质解决问题4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，假设∠A=50°，∠D=10°，那么∠P的度数为〔〕A．15°B．20°C．25°D．30°5．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，假设∠A=40°，∠B=72°．〔1〕求∠DCE的度数；〔2〕试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．〔不必证明〕6．如图：〔1〕求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；〔2〕如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜测∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．状元笔记【知识要点】1．三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°．2．直角三角形的性质及判定性质：直角三角形的两个锐角互余．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3．三角形的外角及性质外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【温馨提示】1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角．2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．【方法技巧】1．在直角三角形中一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余〞．2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．参考答案1．C解析：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠1=12∠ACE，∠2=12∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=12∠A=25°．应选C．2．解：〔法1〕因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°.因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠BAP=12∠BAC，∠ABP=12∠ABC，即∠BAP＋∠ABP=45°，所以∠APB=180°－45°=135°.〔法2〕因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°，因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠DBC=12∠ABC，∠P AC=12∠BAC，所以∠DBC＋∠P AD=45°.所以∠APB=∠PDA＋∠P AD =∠DBC＋∠C＋∠P AD=∠DBC＋∠P AD＋∠C =45°＋90°=135°.3．解：〔1〕∠A+∠D=∠B+∠C；〔2〕由〔1〕得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B－∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P－∠D=∠B－∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=〔40°+30°〕÷2=35°．〔3〕2∠P=∠B+∠D．4．B解析：延长DC，与AB交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC与BP相交于点O，那么∠AOB=∠POC，∴∠P+12∠ACD=∠A+12∠ABD，即∠P=50°－12〔∠ACD－∠ABD〕=20°．应选B．5．解：〔1〕∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°．∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=12∠ACB=34°．∵CE是AB边上的高，∴∠ECB=90°－∠B=90°－72°=18°．∴∠DCE=34°－18°=16°．〔2〕∠DCE=12〔∠B－∠A〕．6．〔1〕证明：延长BD交AC于点E，∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC=∠A+∠B．∵∠BDC是△CED的外角，∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．〔2〕猜测：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．证明：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1=〔∠3+∠2+∠1〕+〔∠6+∠5+∠4〕=180°+180°=360°．。