广西南宁市数学高考文数第一次适应性检测试卷

2022年广西高考数学第一次适应性试卷（文科）1. 设集合，则( )A.B. C.D.2. 若两个向量、满足，，，则与的夹角是( )A.B.C. D.3. 已知i 是虚数单位，若复数，则( )A. 2B.C. 3D. 44. 已知，则( )A.B.C.D.5. 已知实数x ，y 满足则点所在平面区域的面积为( )A. 3B. 4C. 5D. 66.在正方体中，O 为面的中心，为面的中心，若E 为CD 的中点，则异面直线AE 与所成角的余弦值为( )A.B.C.D. 7. 已知直线l ：与圆C ：交于A ，B 两点，则的最小值为( )A. B.C.D.8. 函数的图象最有可能是以下的( )A. B.C. D.9. 过抛物线C：的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线C于A，B两点，则的值为( )A. 3B. 2C.D. 110. 已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. 将的图象向左平移个单位长度，得到新函数为奇函数B. 函数的图象关于点对称C. 的解析式为D. 函数在区间上的值域为11. 设，是双曲线C：的左、右两个焦点，若双曲线C上存在点P满足：：1且，则双曲线C的渐近线方程是( )A. B. C. D.12. 已知，，，则实数a，b，c的大小关系是( )A. B. C. D.13. 已知向量，若，则实数______.14. 已知函数，则的极小值为______.15. 2021年9月17日，搭载着3名英雄航天员的神舟十二号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功．假设返回舱D是垂直下落于点C，某时刻地面上点A、B观测点观测到点D的仰角分别为、，若A、B间距离为10千米其中向量与同向，试估算该时刻返回舱距离地面的距离约为______千米结果保留整数，参考数据：16. 在三棱锥中，面BCD，是边长为的正三角形．若，则该三棱锥的外接球表面积为______.17. 已知数列的前n项和为，满足，求的通项公式；设，的前n项和为若对于任意恒成立，求n的取值范围．18. 某市公安交管部门曾于2017年底公布了一组统计数据：一年来全市范围内共发生涉及电动自行车的交通事故一般程序共3558起，造成326人死亡因颅脑损伤导致死亡占，死亡人数中有263人未佩戴头盔占驾乘电动自行车必需佩戴头盔，既是守法的体现，也是对家庭和社会负责的表现．该市经过长期开展安全教育，取得了一定的效果．表一是该市某主干路口连续5年监控设备抓拍到的驾乘人员未佩戴头盔的统计数据：表一年度20172018201920202021年度序号x12345未佩戴头盔人数y125012001010920870请利用表一数据求未佩戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程，并预测该路口2022年驾乘人员未佩戴头盔的人数；交管部门从年在该路口发生涉及电动自行车的交通事故案例中随机抽取了50起作为样本制作出表二：表二未佩戴头盔佩戴头盔合计伤亡61016无伤亡43034合计104050请问能否有的把握认为驾乘电动自行车未佩戴头盔的行为与事故伤亡有关？附：参考公式及数据：，，，其中k19. 如图所示，已知四棱锥中，底面ABCD是矩形，面底面ABCD且，，E为PD中点．求证：平面平面ACE；求点B到平面ACE的距离．20. 已知椭圆的右焦点为F，过点F且不垂直于x轴的直线交C于A，B两点，分别过A，B作平行于x轴的两条直线，，设，分别与直线交于点M，N，点R是MN的中点．求证：；若AR与x轴交于点异于点，求的取值范围．21. 已知函数为自然对数的底数讨论的单调性；当时，证明：的最小值小于22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为设点是曲线C上的一个动点，求的取值范围；经过变换公式把曲线C变换到曲线，设点P是曲线上的一个动点，求点P到直线l的距离的最小值．23. 已知函数，当时，解不等式；若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，，故选：求出集合A，利用交集定义能求出本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：两个向量、满足，，，，，则与的夹角是故选：利用向量夹角余弦公式直接求解．本题考查向量的运算，考查向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：i是虚数单位，复数，则故选：利用复数的性质、运算法则直接求解．本题考查复数的运算，考查复数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：，，则，故选：由题意，利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，不等式组对应的区域为以及其内部区域，如图：且，，，则，，故的面积为：；故选：根据题意，分析不等式组对应的平面区域，进而计算可得答案．本题考查简单线性规划的应用，注意二元一次不等式的几何意义，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为2，则，，，，，，，异面直线AE与所成角的余弦值为，故选：以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出相应点的坐标，再利用向量，求出异面直线AE与所成角的余弦值即可．本题主要考查了异面直线所成的角，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：因为直线l：，变形为，令，解得，，所以直线l恒过定点，设圆心到直线l的距离为d，圆的半径为r，所以，所以当d取最大值时，取得最小值，而当时，此时即为d的最大值，所以，所以，故选：首先求得直线l所过的定点，由，可知当d最大值，取最小值，由圆的性质可知当时，此时即为d的最大值，代入计算可得结果．本题考查了直线过定点的问题，圆的最短弦长问题，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：根据题意，，其定义域为，则，则函数为奇函数，排除CD，在区间上，，排除A，故选：根据题意，先分析函数的奇偶性，排除CD，计算区间上，的符号，排除A，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性分析和函数值的计算，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：抛物线的焦点坐标为，直线l倾斜角为，直线l的方程为：设直线与抛物线的交点为、，，，联立方程组，消去y并整理，得，解得，，，，：：1，的值为故选：首先，写出抛物线的焦点坐标，然后，求解直线的方程，利用焦半径公式求解比值．本题重点考查了抛物线的几何性质、方程、直线与抛物线的位置关系等知识，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：根据函数的部分图象，可得，，结合五点法作图，可得，，即故C正确；将的图象向左平移个单位长度得函数，函数为偶函数，故A 错误．令，代入函数解析式得，故函数的图象不关于点对称，故B错误；当，，，故D错误．故选：由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：根据题意，得；，；又，，即，，；双曲线C的渐近线方程是故选：由题意，求出、的值，由得，从而求出的值，即得渐近线方程．本题考查了双曲线的几何性质的应用问题，解题时应结合双曲线的定义进行解答，是基础题．12.【答案】A【解析】解：设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，，，，，即，故选：先构造函数，再判断单调性即可求解．本题考查三个数大小的比较，利用构造函数再判断单调性是关键，属于难题．13.【答案】【解析】解：向量，，，，解得实数故答案为：利用向量坐标运算法则求出，再由，利用向量平行的性质列方程，能求出实数本题考查向量的运算，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】1【解析】解：函数，则，令，可得或，当和时，，函数是减函数，时，，函数是增函数，所以是函数的极小值点，极小值为故答案为：求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极小值即可．本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数的极值的求法，是基础题．15.【答案】14【解析】解：根据题意，作出示意图如图所示，由，所以，在中，，又，，解得千米故答案为：根据题意，作出示意图，结合题意计算即可求得本题考查解三角形的应用，属基础题．16.【答案】【解析】解：三棱锥中，面BCD，是边长为的正三角形．若，如图所示：设点E为底面的中心，r为的外接圆半径，故；过点E作平面BCD，过AB的中点F作AB的垂线，交于点O，所以点O为三棱锥的外接球的球心．所以OB为三棱锥的外接球的半径；所以，所以故答案为：首先根据三棱锥的性质确定外接球的半径，进一步求出外接球的表面积．本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的求法，外接球的半径的确定，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．17.【答案】解：，时，，化为：，数列是公差为2的等差数列，，解得，的前n项和为…，对于任意恒成立，，化为：，解得的取值范围为，【解析】，时，，整理化简利用等差数列的通项公式即可得出．，利用裂项求和方法即可得出的前n 项和为，根据对于任意恒成立，即可得出n的取值范围．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：由表中数据可得，，，，，故回归直线方程为，2022年，即，列联表如下：未戴头盔戴头盔合计伤亡 6 10 16无伤亡 4 30 34合计 10 4050，有的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关．【解析】根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题．19.【答案】解：证明：由正三角形PAD中，E为PD中点，可得，因为，平面平面ABCD，所以平面PAD，而平面PAD，所以，由，则平面PCD，而平面AEC，所以平面平面ACE；连接BD，与AC交于O，则O为BD的中点，所以D到平面ACE的距离即为B到平面ACE的距离．由平面平面ACE，过D作，垂足为M，则平面ACE，则DM为D到平面ACE的距离．由平面PAD，可得，又，所以，即B到平面ACE的距离为【解析】本题考查面面垂直的判定和点到平面的距离的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．由正三角形的性质和面面垂直的性质定理可得平面PAD，再由线面垂直的判定定理可得平面PCD，由面面垂直的判定定理进而得到结论；连接BD，与AC交于O，可得D到平面ACE的距离即为B到平面ACE的距离．过D作，垂足为M，由面面垂直的性质定理可得DM为D到平面ACE的距离，解直角三角形可得所求距离．20.【答案】解：由题意可得，设直线AB的方程为，，，因为，则，，，又R是MN的中点，联立，，所以，，所以，，所以，又，，所以，则，所以，得证．因为，则，设直线AR的方程为，令，得，则，则，，所以，因为，则则则即，所以的取值范围为【解析】由题意可得，设直线AB的方程为，，，，，又R是MN的中点，联立直线AB与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，再计算，，计算，即可得出答案．由于，则，设直线AR的方程为，进而可得D点坐标，则，化简即可得出答案．本题考查椭圆方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：因为，则，①若，则，令，则，所以当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，故的单调递增区间为，单调递减区间为；②若，则，令，则或，则或时，，则单调递减，当时，，则单调递增，故的单调递增区间为，单调递减区间为和；综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和证明：由知当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和，所以在处取得极小值，在处取得极大值，又时，，，所以在上恒大于0，且，故在处取得最小值，故而因为时，，则，即，故的最小值小于【解析】求导以后，分和进行讨论即可求出结果；由可知函数在时的单调性，进而可得，从而求出的值域即可得出结论．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：曲线C的极坐标方程为，转换为圆的方程为，转换为参数方程为，所以，当时取得最大值，，当时取得最小值，，故的取值范围为圆经过变换公式把曲线C变换到曲线，得到；直线l的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为；设点，到直线的距离，当时，【解析】直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用伸缩变换的应用和点到直线的距离公式的应用及三角函数的关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出最小距离．本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式，三角函数的关系式的变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：依题意，，当时，不等式可化为，即，因为，，故；当时，不等式可化为，即，故；当时，不等式可化为，即，故，综上所述，不等式的解集为或；依题意在上恒成立，即的图象恒在直线的上方，如图所示．直线过点，则只需或在时的函数值大于等于1，即或，所以实数m的取值范围是或【解析】对x进行分类讨论，化简不等式，由此求得不等式的解集；结合的图象与的图象的关系来求得m的取值范围．本题考查了含绝对值不等式的解法、分类讨论思想、数形结合思想，难点在于第问中作出两函数的图象，属于中档题．。

[考试时间：2021年3月16日9：00~11：30]南宁市2021届高中毕业班第一次适应性测试数学（文史类）（考试时间：120分钟 试卷满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。

1．已知集合A={x |x 2≤4}，B={-1，0，1，2，3}，则A∩B=A ．{-2，3}B ． {-1，0}C ．{-1，0，1}D ． {-1，0，1，2} 2．复数x=（1+i ）（1-2i ），则z 的虛部是A ．-3B ．-1C ．1D ．3 3．若cos(π4—a)=35则sin2a= A ．−725B ．725C ．1825D ．24254．记Sn 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，S 3=92，则数列{a n }的通项公式a n = A ．n B ．n+12C ．2n -1D ．3n−125．已知直线l ，两个不同的平面a 和β．下列说法正确的是A ．若l ⊥a ，a ⊥β，则l ∥βB ．若l ∥a ，a ⊥β，则l ⊥β ．C ．若l ∥a ，l ∥β，则a ∥βD ．若l ⊂a ，a ∥B ，则l ∥ 6．若实数x ，y 满足约束条件{x −y +2≥0x −3≤0 x +y −3≥0，则 x=x+y 的最大值为A ．3B ．5C ．6D ．87．已知过点P(2，2)且与两坐标轴都有交点的直线l 与圆(x-1)2+y 2=1相切，则直线l 的方程为A ．3x －4y+2=0B ．4x －3y －2=0C ．3x － 4y+2=0或x=2D ．4x －3y －2=0 或x=2 8．已知函数f (x )=1ln x ，则其大致图象为9．某中学高三文科2班在每周的星期一、三、五的晚自习前都要用半个小时进行英语听力测试，一共30个小题，每个小题1分，共30分．测试完后，该班英语老师都会随机抽取一个小组进行现场评阅，下表是该班英语老师在某个星期-随机抽取一个小组进行现场评阅的得分情况：对这个小组的英语听力测试分数，有下面四种说法：①该小组英语听力测试分数的极差为12 ②该小组英语听力测试分数的中位数为21 ③该小组英语听力测试分数的平均数为21 ①该小组英 语听力测试分数的方差为11 其中说法正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．410．已知抛物线C ：x 2=2py(p>0)的焦点为圆x 2 +(y-1)2=2的圆心，又经过抛物线C 的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C 于A 、B 两点，则|AB|= A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 11．已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a>0，b>0)的左焦点为F ，过点F 的直线与两条渐近线的交点分别为M 、N 两点(点F 1位于点M 与点N 之间)，且MF 1→ =2F 1N→ ，又过点F 1作F 1P ⊥OM 于P(点O 为坐标原点)，且|ON|=|OP|，则双曲线E 的离心率e=A ．√5B ．√3C ．2√33D ．√6212．设a =log 23,b =2log 32 ,c =2−log 32 ， 则a ，b ，c 的大小顺序为A ．b<c<aB ．c<b<aC ．a<b<cD ．b<a<c 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届高三毕业班第一次适应性测试数学（文科）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

2. 请将各题答案填写在答题卡上。

3. 本试卷主要考试内容：高考全部范围。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式得集合B，再利用集合的并集和补集定义直接求解即可.【详解】因为，，所以，故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.2.已知复数，则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算得，进而可得共轭复数，从而得解.【详解】因为，所以，对应点的坐标为.故选：A【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.3.在等比数列中，若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由得公比，进而可得首项.【详解】因为，所以，从而.故选：C.【点睛】本题考查了等比数列的基本量运算，属于基础题.4.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由两角差的正弦得，进而有，结合角的范围可得解. 【详解】因为，所以由，得.故选：D【点睛】本题主要考查了两角差的正弦展开及同角三角函数的基本关系，考查了计算能力，属于基础题.5.如图所示，长方体的棱和的中点分别为，，，，，则异面直线与所成角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作，垂足为，连接，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），进而根据边长求解即可.【详解】作，垂足为，连接，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），且，因为，，所以.故选：B【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，属于基础题.6.已知直线：与圆：相交于，两点，若，则圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得圆心到直线的距离，再结合弦长为6，利用垂径定理可求得半径.【详解】圆：可化为，设圆心到直线的距离为，则，又，根据，所以圆的标准方程为.故选：A【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式，垂径定理的应用，属于基础题.7.已知，分别是函数图象上相邻的最高点和最低点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两个最值得横坐标的距离可得周期，进而得，把的坐标代入方程，可得，从而得解.【详解】因为，所以，把的坐标代入方程，得，因为，所以，.故选：D【点睛】已知函数的图象求参数的方法：可由观察图象得到，进而得到的值．求的值的方法有两种，一是“代点”法，即通过代入图象中的已知点的坐标并根据的取值范围求解；另一种方法是“五点法”，即将作为一个整体，通过观察图象得到对应正弦函数图象中“五点”中的第几点，然后得到等式求解．考查识图、用图的能力．8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，使得最后退出循环时，即可得解.【详解】时，；时，；时，；时，退出循环.此时，，解得.故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确结论，属于基础题.9.已知实数，满足，则目标函数的最小值为（）A. -24B. -22C. -17D. -7【答案】B【解析】【分析】作出不等式的可行域，平移直线，纵截距最大时z有最小值，数形结合即可得解.【详解】画出可行域，如图所示，平移直线，纵截距最大时z有最小值.，解得当直线过点时，取得最小值-22.故选：B【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合的思想，属于基础题. 10.已知四棱锥，平面，，，，，.若四面体的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设的中点为，的中点为，可知点为四面体外接球的球心，进而根据垂直关系利用边长求解即可.【详解】因为，所以，，，四点共圆，.由，得，所以.设的中点为，的中点为，因为平面，所以平面.易知点为四面体外接球的球心，所以，. 故选：C【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．11.已知抛物线的焦点为，准线为，直线交抛物线于，两点，过点作准线的垂线，垂足为，若等边三角形的面积为，则的面积为（）A. B. C. 16 D.【答案】B【解析】【分析】由为等边三角形，得，边长为，结合条件中的面积可得，进而由直线与抛物线联立可得交点坐标，利用面积公式求解即可.【详解】因为为等边三角形，所以，边长为，由，得，抛物线方程为，联立，得，所以，所以，.故.故选：B【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，利用了抛物线的定义研究抛物线上的点到焦点的距离，考查了数形结合和计算能力，属于中档题.12.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由比较，的大小，利用中间量比较,，从而得解.【详解】∵，，∴.∵，∴，∴.又，∴，即.故选：D【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性比较大小，解题的关键是找到合适的中间量进行比较大小，属于难题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.在正方形中，为线段的中点，若，则_______．【答案】【解析】【分析】由即可得解.【详解】因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的加法运算和线性运算，属于基础题.14.已知数列的前项和为，若，，，则___．【答案】26【解析】【分析】根据条件可知数列为等差数列，先求数列的公差，进而利用求和公式求和即可.【详解】因为，所以数列为等差数列，设公差为，则，所以.故答案为：26.【点睛】本题主要考查了等差数列的定义及求和公式的应用，属于基础题.15.不透明的袋中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中任意摸取2个球，则摸到同色球的概率为______．【答案】【解析】【分析】基本事件总数n10，摸到同色球包含的基本事件个数m4，由此能求出摸到同色球的概率．【详解】不透明的袋中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中任意摸取2个球，基本事件总数n10，摸到同色球包含的基本事件个数m4，∴摸到同色球的概率p．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.已知函数的图象是以点为中心的中心对称图形，，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直，则__________．【答案】【解析】【分析】由中心对称得，可解得，再由两切线垂直，求导数得斜率，令其乘积为-1，即可得解.【详解】由，得，解得，所以.又，所以.因为，，，由，得，即.故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性，考查了导数的几何意义即切线斜率，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的值.【答案】(1) ；（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理直接求解可得，进而可得；（2）由正弦定理角化边可得，再利用面积公式求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，从而.（2）因为，所以，即.因为的面积为，所以，即，所以，解得.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题.18.某电子商务平台的管理员随机抽取了1000位上网购物者，并对其年龄（在10岁到69岁之间）进行了调查，统计情况如下表所示.年龄人数100 150 200 50已知，，三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列. （1）求的值；（2）若将年龄在内的上网购物者定义为“消费主力军”，其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”.现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，再从这5人中抽取2人，求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据人数和为100及人数的等比关系列方程组求解即可；（2）在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为，，，有2人是消费潜力军，分别记为，，利用列举法及古典概型的公式求解即可.【详解】（1）由题意得，解得，.（2）由题意可知，在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为，，，有2人是消费潜力军，分别记为，.记“这2人中至少有一人是消费潜力军”为事件.从这5人中抽取2人所有可能情况为，，，，，，，，，，共10种.符合事件的有，，，，，，，共7种.故所求概率为.【点睛】本题主要考查了统计的简单应用，考查了古典概型的求解，属于基础题.19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为线段的中点，为线段上的一点.（1）证明：平面平面.（2）若交于点，，，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由得平面，进而可得证；（2）先计算，再由得，从而可得体积.【详解】（1）证明：因为，为线段的中点，所以.又，，所以为等边三角形，.因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：因为，，所以，，同理可证，所以平面.因为是的中位线，所以，又，所以.设点到底面的距离为，由，得，所以.【点睛】本题主要考查了线面垂直、面面垂直的证明，考查了三棱锥体积的求解，属于基础题.20.设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知点，过的直线交曲线于两点，交直线于点.判定直线的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）设点，，由条件的线段比例可得，，代入圆的方程中即可得解；（2）设直线的方程为，与椭圆联立得得，设，，由，结合韦达定理代入求解即可.【详解】（1）设点，，因为，点在直线上，所以，.①因为点在圆：上运动，所以.②将①式代入②式，得曲线的方程为.（2）由题意可知的斜率存在，设直线的方程为，令，得的坐标为.由，得.设，，则有，.③记直线，，的斜率分别为，，，从而，，.因为直线的方程为，所以，，所以.④把③代入④，得.又，所以，故直线，，的斜率成等差数列.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，斜率的坐标表示，设而不求的数学思想，考查了计算能力，属于中档题.21.已知函数.（1）讨论函数的单调区间；（2）证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1),分和两种情况讨论单调性即可；(2)法一：将不等式变形为，构造函数，证明即可；法二：将不等式变形为，分别设，求导证明即可.【详解】(1) ，当时，，函数的单调增区间为，无减区间；当时，，当，，单增区间为上增，单调减区间为上递减。

一、单选题二、多选题1. 在圆柱内有一个球，球分别与圆柱的上、下底面及母线均有且只有一个公共点.若，则圆柱的表面积为（ ）.A．B．C．D．2. 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD ，且，点G 为MC 的中点.则下列结论中正确的是（）A．B ．平面平面ABNC ．直线GB 与AM 是异面直线D ．直线GB 与平面AMD 无公共点不3. 已知集合，集合，则（ ）A．B．C．D．4. 直径为4的半球形容器，装满水然后将水全部倒入底面直径和高均为4的圆柱容器．则圆柱容器中水面的高度为（ ）A ．1B．C．D ．25. 设，则（ ）A．B．C．D．6. 已知直线：与圆：交于、两点，则（ ）A．B．C．D．7. 为了得到函数y ＝lg的图像，只需把函数y ＝lgx 的图像上所有的点A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度8. 已知复数z 对应的向量为(O 为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z 的模为2，则复数z 为（ ）A ．1＋iB ．2C．D ．－1＋i9.半正多面体（）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.传统的足球，就是根据这一发现而制成，最早用于1970年的世界杯比赛.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若这个二十四等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是（ ）广西南宁市2022届高三第一次适应性考试数学（文）试题(1)广西南宁市2022届高三第一次适应性考试数学（文）试题(1)三、填空题四、解答题A ．平面B ．异面直线和所成角为60°C．该二十四等边体的体积为D．该二十四等边体外接球的表面积为10. 已知函数，则（ ）A．有两个极值点B．有三个零点C ．若，则D ．直线是曲线的切线11.已知函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）A ．为奇函数B ．为周期函数C ．为奇函数D ．为偶函数12. 设点为抛物线：的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D ．的面积为（为坐标原点）13. 已知在时有极值0，则的值为______．14. 如图，正四棱锥的每个顶点都在球M的球面上，侧面是等边三角形.若半球O 的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O 的体积与球M 的体积的比值为___________.15. 一个袋中装有9个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，…，9，随机依次摸出两个球（不放回），则两个球编号之和大于9的概率是___________（结果用分数表示）.16. 我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429年-500年）计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540年-1610年）用一生精力计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用计算器得出函数的零点的近似值，为了实际应用，本题中取的值为-0.57．哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线，其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为，其在处的切线为，现计划再建一条总干线，其中m为待定的常数．注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．(1)求出的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方；(2)在直角坐标系中，设直线，计划将仓库中直线与之间的部分设为隔离区，两条运货总干线、分别在各自的区域内，即曲线上的点不能越过直线，求实数m的取值范围．17. 多面体中，△为等边三角形，△为等腰直角三角形，平面，平面.（1）求证：；（2）若，，求平面与平面所成的较小的二面角的余弦值.18. 如图，已知，，，平面⊥平面，，，F为的中点．(1)证明：平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．19. 已知函数(1)判断函数的零点个数；(2)证明：当时，证明：20. 已知椭圆的右焦点为，点M是椭圆C上异于左、右顶点，的任意一点，且直线与直线的斜率之积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与直线相交于点，且，求证：.21. 如图①，在平面五边形中，，，，，将沿折起，到达的位置，使平面平面，得到如图②所示的四棱锥，，，分别为棱，，的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥与五棱锥的体积的比值．。

广西南宁市2023届高三第一次适应性测试（文科）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}N13,2,4A x x B =∈-≤≤=∣，则A B ⋃=（ ） A ．{}1,2,3 B ．{}1,2,3,4 C ．{}0,1,2,3,4 D ．{}1,0,1,2,3,4- 2．已知复数z 满足()1i 3i z +=-（i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．12i +B ．12i -C ．1i +D ．1i - 3．已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．14．已知2sin cos 1αα=-，则3πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1 B ． 1- C ．2 D ．12- 5．下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（ ）A ．()tan =f x xB ．()1f x x =-C ．()cos f x x x =-D ．()e e x x f x -=-6．2023年贺岁档共有七部电影，根据猫眼专业版数据显示，截止到2023年1月29日13时，2023年度大盘票房（含预售）突破了90亿元大关．其中历史题材的轻喜剧《满江红》位列第一，总票房已经达到了30亿+，科幻题材的《流浪地球2》也拥有近25亿元的票房，现有编号为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲､乙两个人，每人至少分得一张，那么不同分法种数为（ ）A ．10B ．14C ．16D ．12 7．如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长3SA =，一只蚂蚁从A 点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点A ，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）A．B．C ．6 D ．2π 8．2022年10月16日中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂召开，某校全体党员在报告厅集中观看大会盛况．该报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位．若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是（ ） A ．800 B ．820 C ．840 D ．8809．已知π4sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．125- B ．725- C ．2425 D ．925 10．已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数=a ABCD．11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线上两点A B ､在第一象限，且满足3,7,5AF BF AB ===，则直线AB 的斜率为（ ）A ．34B ．35C ．1 D12．23(2ln3)1ln3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．a c b << B ．c<a<bC ．a b c <<D ．b a c <<二、填空题13．若,x y 满足约束条件202202x y x y x ++≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最大值为__________．14．已知函数()()1cos 32f x x ϕ=+的图象关于点4π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，那么ϕ的最小值为__________．15．已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，1260F PF ∠=o ，且2112sin 2sin PF F PF F ∠∠=，则C 的离心率为__________．16．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E F ､分别为1AA ，AB 的中点，点P 是正方体表面上的动点，若1C P P 平面1CD EF ，则点P 在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为__________．三、解答题17．随着新课程新高考改革的推进，越来越多的普通高中认识到了生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习观､生活观．某校高一年级1200名学生参加生涯规划知识大赛初赛，学校将初赛成绩分成6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，成绩大于等于80分评为“优秀”等级．(1)求a 的值，并估计该年级生涯规划大赛初赛被评为“优秀”等级的学生人数；(2)在评为“优秀”等级的学生中采用分层抽样抽取6人，再从6人中随机抽取3人进行下一步的能力测试，求这3人中恰有1人成绩在[]90,100的概率．18．在ABC V 中，角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，已知()()()sin sin sin sin b c B C a A C -+=-，(1)求B ；(2)若ABC V 为锐角三角形，b =22a c +的取值范围．19．如图1，平面图形ABCD 是一个直角梯形，其中//AB CD ，90ABC ∠=o ，2BC DC ==，6AB =，E 是AB 上一点，且2AE EB =．将AED △沿着ED 折起使得平面AED ⊥平面DEBC ，连接AB 、AC ，过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ，如图2．(1)证明AC EF ⊥；(2)若G 是AC 上一点，且13CG AC =，求直线BG 与平面ADC 所成角的正弦值． 20．已知函数()()2ln f x x a x a R =-∈，(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()y f x =在区间(]1,e 上存在两个不同零点，求实数a 的取值范围．21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左焦点为()1F ，点12P ⎫⎪⎭在E 上． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知椭圆E 的上顶点为A ，圆222:(1)(0)M x y r r -+=>，椭圆E 上是否存在两点,B C 使得圆M 内切于ABC V ？若存在，求出直线BC 的方程；若不存在，请说明理由． 22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为3π4sin 0,π,2ρθθ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦． (1)求C 的参数方程；(2)已知点D 在C 上，若C 在D 处的切线与直线:3l y =-平行，求点D 的极坐标． 23．已知函数()2|1||1|f x x x =--+，()|1|g x x =-．(1)在给出的坐标系中画出函数()y f x =的图像；(2)若关于x 的不等式()()f x ag x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．。

2021届广西南宁市高三毕业班第一次适应性测试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}10,12A x x B x x =->=-≤≤，则A B =（ ）A ．(1,)+∞B ．[1,)-+∞C ．[1,1]-D ．[1,2]-【答案】B【解析】解出集合A 中的一次不等式即可. 【详解】因为{}{}101A x x x x =->=>，{}12B x x =-≤≤ 所以A B =[1,)-+∞故选：B 【点睛】本题考查的是集合的运算，较简单.2．设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11,1x x x y y ==⎧⎧∴⎨⎨-==-⎩⎩，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限. 本题选择D 选项.3．已知(0,)απ∈，3cos 5α=，则sin()6πα-的值为( )A ．310B ．410C ．710D ．5【答案】A【解析】由已知结合同角平方关系可求sin α，然后结合两角差的正弦公式即可求解． 【详解】解：(0,)απ∈，3cos 5α=， 4sin 5α∴=， 则314331433sin()sin cos 62552πααα--=-=⨯-⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了同角平方关系及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题.4．PM 2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM 2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM 2.5日均值在35μg /m 3以下空气质量为一级，在35μg /m 3～75μg /m 3之间空气质量为二级，在75μg /m 3以上空气质量为超标.如图是某市2019年12月1日到10日PM 2.5日均值（单位：μg /m 3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）A ．这10天中，12月5日的空气质量超标B ．这10天中有5天空气质量为二级C ．从5日到10日，PM 2.5日均值逐渐降低D ．这10天的PM 2.5日均值的中位数是47 【答案】C【解析】先对图表信息进行分析，再由频率分布折线图逐一检验即可得解. 【详解】解：由图表可知，选项A ，B ，D 正确，对于选项C ，由于10日的PM 2.5日均值大于9日的PM 2.5日均值， 故C 错误， 故选：C . 【点睛】本题考查了频率分布折线图，考查数据处理和分析能力，属于基础题.5．若实数x ，y 满足110220x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩，则2z x y =+的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．10【答案】C【解析】先画出满足条件的平面区域，有2z x y =+得到2y x z =-+，通过平移直线发现直线过(1,2)时，z 最小，代入求出z 的最小值即可．【详解】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由2z x y =+得：2y x z =-+，由图象得：2y x z =-+过(1,2)时，z 最小，4z =最小值， 故选：C ． 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于基础题.6．已知圆22420x y ax ay +++=与直线2100x y +-=相切，则圆的半径为( ) A 5B ．2C ．5D ．4【答案】A【解析】求出圆的圆心与半径，利用直线与圆相切，列出方程求解即可. 【详解】解：圆22420x y ax ay +++=的圆心(2,)a a --25a 圆22420x y ax ay +++=与直线2100x y +-=相切，=解得1a =-．故选：A ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆的一般方程求解圆的圆心以及半径，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.7．已知双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为线在第一象限的交点为A ，且1AF •2AF =0，若a =1，则F 2的坐标为（ ）A ．（1，0）B ．0）C ．（2，0）D ．1，0）【答案】C【解析】根据条件可得12AF AF ⊥，126AF F π∠=2c a -=，带入a 的值即可． 【详解】解：因为120AF AF =，所以12AF AF ⊥，又因为2AF k =，所以126AF F π∠=，则由1=AF ，2c a -=，则2c ==，故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的定义，根据条件得到特殊角是关键，属于中档题.8．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为A 1B 1，CD 的中点，则异面直线D 1E 与A 1F 所成的角的余弦值为（ ）A 5B 5C ．33D ．3【答案】A【解析】连结BE ，BF 、1D F ，推导出1BED F 为平行四边形，从而1//D E BF ，异面直线1D E 与1A F 所成角为1A F 与BF 所成锐角，即1A FB ∠，由此能求出异面直线1D E 与1A F 所成的角的余弦值． 【详解】解：如图，连结BE ，BF 、1D F ，由题意知1BED F 为平行四边形，1//D E BF ∴，∴异面直线1D E 与1A F 所成角为1A F 与BF 所成锐角，即1A FB ∠，连结1A B ，设2AB =，则在△1A BF 中，122A B =5BF =222113AF AA AD DF ++， 22211115cos 2235A F BF AB A FB A F BF +-∴∠===⨯⨯．∴异面直线1D E 与1A F 5．故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.9．已知a 为正实数，若函数322()32f x x ax a =-+的极小值为0，则a 的值为( )A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】A【解析】由于()3(2)f x x x a '=-，而0a >，可求得()f x 在2x a =处取得极小值，即()()20f x f a ==极小值，从而可求得a 的值． 【详解】解：由已知2()363(2)f x x ax x x a '=-=-， 又0a >，所以由()0f x '>得0x <或2x a >，即函数在(),0-∞和()2,a +∞上单调递增， 由()0f x '<得02x a <<，函数在()0,2a 上单调递减， 所以()f x 在2x a =处取得极小值0，即()32232()2(2)3(2)2420f x f a a a a a a a ==-+=-+=极小值，又0a >， 解得12a =， 故选：A ． 【点睛】本题考查了函数的极值与导数关系的应用，考查运算求解的能力，属于中档题.10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA l '⊥，垂足为A '．若3cos 5FAA '∠=，则||(AF = )A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D【解析】过F 做FB AA '⊥于B ，可得||2||2A B OF '==，因为3cos 5FAA '∠=，可得||AF ，||BA ，||A B '的关系，进而求出||AF 的值． 【详解】解：由题意如图过F 做FB AA '⊥于B ，||2||2A B OF '== 因为3cos 5FAA '∠=，设||3AB x =，则可得||||5AA AF x '==，由抛物线的性质可得||||||52AB AA A B x ''=-=-，所以352x x =-解得1x =，所以||5AF =， 故选：D ．【点睛】本题考查余弦值的应用及抛物线的性质，属于中档题. 11．已知函数2()2cos()1(0)3f x x πωω=+->的一个零点是4x π=，则当ω取最小值时，函数()f x 的一个单调递减区间是( ) A ．[3π-，]6π-B ．[12π-，]6π C ．[12π，]3πD ．[3π，7]12π【答案】D【解析】根据函数零点关系，求出ω的取值，利用函数的单调性进行求解即可． 【详解】解：()f x 的一个零点是4x π=，由()04f π=得21cos(()432ππω+=，得22433k πππωπ+=±，即84k ω=-或483k ω=-，k Z ∈， 0ω>，ω∴的最小值为4ω=，此时2()2cos(4)13f x x π=+-，由220423k x k ππππ+++，k Z ∈，得1126212k x k ππππ-+，k Z ∈，当1k =时，()f x 的一个单调递减函数区间为[3π，7]12π， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式以及利用单调性是解决本题的关键.属于中档题12．已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()xf x f x '>.若2424(sin )(log 3)(log 6)8,,log 3log 6sin 8f f f a b c ππ-===-，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】设()()f xg x x=，由条件可得出()g x 是偶函数且在0,上单调递增，然后即可比较出,,a b c的大小 【详解】 设()()f xg x x=，因为()f x 是奇函数，所以()g x 是偶函数 当0x >时()()()20xf x f x g x x'-'=>，所以()g x 在0,上单调递增因为2420sin1log log 6log 38π<<<=<，()2222log 3(log 3)log 3log 3f f a -==-所以()()42sin log 6log 38g g g π⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即c b a << 故选：C 【点睛】本题考查的是利用函数的奇偶性和单调性比较大小，构造出合适的函数是解题的关键，属于中档题.二、填空题13．在平面上，12,e e 是方向相反的单位向量，若向量b 满足()()12b e b e -⊥-，则b 的值____________． 【答案】1【解析】由()()12b e b e -⊥-得()()120b e b e -⋅-=，由12,e e 是方向相反的单位向量得120e e +=，121e e ⋅=-，然后即可算出答案【详解】由()()12b e b e -⊥-得()()120b e b e -⋅-= 即()212120b e e b e e -++⋅=因为12,e e 是方向相反的单位向量，所以120e e +=，121e e ⋅=-所以210b -=，即1b =故答案为：1 【点睛】本题考查的是平面向量数量积的有关计算，较简单.14．设a ，b ，c 分别为三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知三角形ABC 222)b c a +-，则内角A 的大小为____________． 【答案】3π【解析】由2221)sin2S b c a bc A =+-=得222sin b c a A +-=，结合余弦定理可推出tan A =【详解】因为22231()sin 2S b c a bc A =+-= 所以222sin 3b c a bc A +-=由余弦定理得222cos 2b c a A bc+-=所以cos sin 3A A =，即tan 3A = 因为()0,A π∈，所以3A π=故答案为：3π 【点睛】本题考查的是三角形的面积公式及余弦定理，较简单.15．已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为____________．【答案】203【解析】由三视图画出几何体的直观图即可 【详解】由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如下：其体积为：1120222222323⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= 故答案为：203【点睛】本题考查的是几何体的三视图及体积的求法，较简单，画出直观图是解题的关键.16．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值，先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x ，y 组成的实数对（x ，y ）；若将（x ，y ）看作一个点，再统计点（x ，y ）在圆x 2+y 2＝1外的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值，假如统计结果是m ＝52，那么可以估计π的近似值为_______.（用分数表示） 【答案】4715【解析】由试验结果知200对0~1之间的均匀随机数x ，y ，对应区域的面积为1，两个数对(,)x y ，满足2211x y +>且x ，y 都小于1，面积为14π-，由几何概型概率计算公式即可估计π的值．【详解】解：由题意，240对都小于l 的正实数对(,)x y ，对应区域的面积为1， 两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y ， 满足221x y +>且x ，y 都小于1，1x y +>，面积为14π-，因为点(,)x y 在圆221x y +=外的个数52m =；∴5212404π=-； 4715π∴=． 故答案为：4715．【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，考查运算求解能力，属于中档题.三、解答题17．水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如下表：约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （2）请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++：【答案】（1）100块直播农田的平均产量为907斤，（2）有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关. 【解析】（1）根据48183931850870890910930100100100100100X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，算出答案即可 （2）由题目中给的数据完善22⨯列联表，然后算出2K 的观察值即可 【详解】（1）100块直播农田的平均产量为：48183931850870890910930907100100100100100X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（斤） （2）由题中所给的数据得到22⨯列联表如下所示：由表中的数据可得2K的观察值()2120820070503050258 6.01001635300k ⨯⨯⨯>⨯⨯-⨯==>所以有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关 【点睛】本题考查的是平均数的算法及独立性检验，考查了学生的计算能力，属于基础题.18．已知数列{a n }满足14a =，11232n n n a a ++=+⨯．（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设164nn n n b a a +⨯=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见详解，()312nn a n =-⋅，（2）364n nT n =+【解析】（1）由11232n n n a a ++=+⨯得11322n n n n a a ++-=，然后()213312n na n n =+-⨯=-，即可算出答案 （2）()()()()13126431322313213132n n n n b n n n n n n +-⋅⋅⨯===-+⋅--++，然后即可求出n T 【详解】（1）因为11232n n n a a ++=+⨯，所以11322n nn na a ++-= 即数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为2，公差为3的等差数列所以()213312nn a n n =+-⨯=- 所以()312nn a n =-⋅ （2）由()312nn a n =-⋅得()()()()13126431322313213132n n n n b n n n n n n +-⋅⋅⨯===-+⋅--++ 所以1111111125582331323264n n n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++= ⎪--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ 【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法19．如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB CD ，1224AB AD AA ===．（1）证明：1A D ⊥平面11ABC D ； （2）若四棱锥111A ABC D -的体积为103，求四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）1413+【解析】（1）由侧棱1AA ⊥平面ABCD ，得1AA AD ⊥，1AA AB ⊥，结合AB AD ⊥，可得AB ⊥平面11AA D D ，则11AB A D ⊥，再由1AA AD ⊥，1AA AD =，得到四边形11AA D D 是正方形，则11A D AD ⊥，进一步得到1A D ⊥平面11ABC D ；（2）记1A D 与1AD 的交点为O ，则1A O ⊥平面11ABC D ，设11CD C D x ==，由四棱锥111A ABC D -的体积为103列式求得x ，进一步求得BC ，再由侧面积公式求得四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积． 【详解】 （1）证明：侧棱1AA ⊥平面ABCD ，1AA AD ∴⊥，1AA AB ⊥，又AB AD ⊥，1AA AD A =，AD ⊂平面11AA D D ，1AA ⊂平面11AA D D ，AB ∴⊥平面11AA D D ，而1A D ⊂平面11AA D D ，11AB A D ∴⊥，又1AA AD ⊥，1AA AD =，∴四边形11AA D D 是正方形，则11A D AD ⊥， 又1ABAD A =，1AD ⊂平面11ABC D ，AB 平面11ABC D ，1A D ∴⊥平面11ABC D ；（2）解：记1A D 与1AD 的交点为O ，1A O ∴⊥平面11ABC D ， 又1224AB AD AA ===，∴12AO ，122AD = 设11CD C D x ==，则1111111128103233A ABC D ABCD x V AD AO -++===． 解得：1x =，即1CD =．22(41)213BC ∴=-+=∴四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积(12413)214213S =+++⨯=+．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了棱柱体积与侧面积的求法，属于中档题.20．已知函数2()2(1)2(0)f x x a x alnx a =-++≠．（1）当1a =时，求函数()f x 的图象在点1x =处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性． 【答案】（1）y +3＝0；（2）见解析【解析】（1）先把1a =代入，对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程； （2）先对函数求导，对a 进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性． 【详解】解：（1）1a =时，2()42f x x x lnx =-+，2()24f x x x'=-+， ()13f ∴=-，()10f '=，故()f x 的图象在点1x =处的切线方程30y +=； （2）函数的定义域(0,)+∞， 22(1)()()22(1)a x x a f x x a x x--'=-++=， 当0a <时，(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增， 当01a <<时，(,1)x a ∈时，()0f x '<，函数单调递减，(1,)x ∈+∞，(0,)a 时，()0f x '>，函数单调递增，当1a =时，22(1)()0x f x x-'=恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当1a >时，(1,)x a ∈时，()0f x '<，函数单调递减，(,)x a ∈+∞，(0,1)时，()0f x '>，函数单调递增，综上：当0a <时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 当01a <<时，函数在(,1)a 上单调递减，在(1,)+∞，(0,)a 上单调递增， 当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当1a >时，函数在(1,)a 单调递减，在(,)a +∞，(0,1)上单调递增． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数求解函数的单调性，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题.21．已知椭圆222:1(02)4x y C b b +=<<的离心率0,2e ⎛ ⎝⎭∈，F 为椭圆C 的右焦点，D ，E 为椭圆的上、下顶点，且DEF ∆ （1）求椭圆C 的方程； （2）动直线1:2l y x t =+与椭圆C 交于A ，B 两点，证明：在第一象限内存在定点M ，使得当直线AM 与直线BM 的斜率均存在时，其斜率之和是与t 无关的常数，并求出所有满足条件的定点M 的坐标．【答案】（1）2243x y +=1；（2）证明见解析，（1，32） 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，由a ，b ，c 的关系和三角形的面积公式，结合离心率公式，解方程可得b ，c ，进而得到椭圆方程；（2）设1(A x ，11)2x t +，2(B x ，21)2x t +，(,)M m n ，联立直线l 和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及斜率公式，化简计算AM BM k k +，考虑它的和为常数，可令t 的系数为0，进而得到M 的坐标．【详解】解：（1）设椭圆的半焦距为c ，则22224c a b b =-=-，又由DEF ∆122c b bc =1c =，或c =离心率e ∈，则c =c e a ==，舍去，则1c =，b =22143x y +=；（2）证明：设1(A x ，11)2x t +，2(B x ，21)2x t +，(,)M m n ，将直线1:2l y x t =+代入椭圆223412x y +=可得2230x tx t ++-=， 由224(3)0t t ∆=-->，可得22t -<<，则有12x x t +=，2123x x t =-，12122122121211113()()()()()2322222()()3AM BM n x t n x t n x t m x n x t m x n m t mn k k m x m x m x m x t mt m -------+----+-+=+==----++-为与t 无关的常数，可得当32n m =，23mn =时，斜率的和恒为0，解得132m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或132m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍去）， 综上所述，在第一象限内满足条件的定点M 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和斜率公式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30，且经过点()2,1A ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足| 12OM ON ⋅=，记点N 的轨迹为曲线C ．（1）①设动点1P l ∈，记e 是直线1l 的向上方向的单位方向向量，且AP te =，以t 为参数求直线1l 的参数方程②求曲线C 的极坐标方程并化为直角坐标方程；（2）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求11AP AQ+的值 【答案】（1）①直线1l的参数方程为2112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），②曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直角坐标方程为：()22400x y x x +-=≠；（2）3【解析】（1）①由题意可得直线1l 的参数方程为2cos301sin 30x t y t =+︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数），②设()()()111,,,0,0N M ρθρθρρ>>，由题意可得1112ρρθθ=⎧⎨=⎩，由11cos 3ρθ=可得12cos 3θρ⋅= （2）将1l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中得：221214202t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得230t t +-=，设12,t t 为方程230t t +-=的两个根，则12121,30t t t t +=-=-<，然后利用11AP AQ+=.【详解】（1）①由题意可得直线1l 的参数方程为2cos301sin 30x t y t =+︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数）即22112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） ②设()()()111,,,0,0N M ρθρθρρ>>，由题意可得1112ρρθθ=⎧⎨=⎩ 因为点M 在直线2:cos 3l ρθ=上，所以11cos 3ρθ= 所以12cos 3θρ⋅=，即4cos ρθ=所以24cos ρρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为：()22400x y x x +-=≠ （2）将1l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中得：221214202t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得230t t +-= 设12,t t 为方程230t t +-=的两个根，则12121,30t t t t +=-=-<所以1212121111t t AP AQ t t t t -+=+====【点睛】本题考查了直线的参数方程、直角坐标方程与极坐标方程的互化及动点的轨迹方程的求法，属于中档题.23．己知函数()21f x x x =++- （1）求不等式()8f x x ≥+的解集；（2）记函数()y f x =的最小值为k ，若,,a b c 是正实数，且33112ka kb kc++=，求证239a b c ++≥. 【答案】（1）不等式的解集为(][),37,x ∈-∞-⋃+∞，（2）证明见详解 【解析】（1）分3种情况解出即可 （2）首先求出3k =，即可得到111123a b c++=，然后()122332323323233211a ab bc c a b c a b c a b c b c a c a b ⎛⎫++=++++=++++++ ⎪⎝⎭，用基本不等式即可证明.【详解】（1）()218f x x x x =++-≥+等价于1218x x x ≥⎧⎨+≥+⎩或2138x x -≤<⎧⎨≥+⎩或2218x x x <-⎧⎨--≥+⎩解得7x ≥或x ∈∅或3x ≤-所以不等式的解集为(][),37,x ∈-∞-⋃+∞ （2）因为()212(1)3f x x x x x =++-≥+--= 当[]2,1x ∈-时等号成立，所以()f x 的最小值为3，即3k = 所以111123a b c++= 所以()122332323323233211a ab bc c a b c a b c a b c b c a c a b ⎛⎫++=++++=++++++⎪⎝⎭23233322292332a b a c b c b a c a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当23a b c ==时等号成立 【点睛】本题考查的是含绝对值不等式的解法及利用基本不等式求最值，属于典型题.。

绝密★启用前2021届广西南宁市高三第一次适应性测试数学（文）试题一、选择题（（每小题5分,共60分））1. 已知集合,则( )A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】可求出集合,然后进行交集的运算即可. 【详解】∵, , ∴.故选:D.2. 复数的虚部是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数除法运算化简复数,由虚部定义可得结果. 【详解】∵,∴的虚部为. 故选:A.3. 若,则( )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由诱导公式即可求出. 【详解】∵, ∴.故选:C.4. 的展开式中,的系数是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式,令的幂指数等于可求得,代入可求得结果. 【详解】展开式通项公式为:, 令,解得:,∴的系数为.故选:C.5. 已知直线,两个不同的平面和.下列说法正确的是( )A. 若,,则B. 若,,则C. 若,,则D. 若,,则【答案】D【解析】【分析】根据线面和面面位置关系的性质即可依次判断. 【详解】对A,若, ,则或,故A错误; 对B,若,,则与相交,平行或在平面内,故B错误; 对C,若,,则与平行或相交,故C错误; 对D,若,,则由面面平行的性质可得,故D正确. 故选:D.6. 记为等差数列的前项和,若,则数列的通项公式( )A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据等差数列通项和求和公式可构造方程组求得,根据等差数列通项公式得到结果. 【详解】设等差数列的公差为,则,解得:, ∴. 故选:B.7. 过点的直线与圆相切,则直线的方程为( )A. B.C. 或D. 或【答案】C【解析】根据题意,圆的圆心为,半径, 若直线的斜率不存在,则直线的方程为,与圆相切,符合题意, 若直线的斜率存在,设直线的斜率为, 则直线的方程为,即, 此时有,解可得, 则切线方程为,变形可得. 综合可得:要求直线方程是或,故选:C.8. 已知函数,则其大致图象为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】令且,,利用导数求极值,进而判断在定义域内的符号,即可知的大概图象. 【详解】令且,,则, ∴,有单调增;,有单调减; ∴,故在定义域内恒成立.故选:D.9. 春天是鲜花的季节,水仙花就是其中最迷人的代表,数学上有个水仙花数,它是这样定义的:“水仙花数”是指一个三位数,它的各位数字的立方和等于其本身.三位的水仙花数共有个,其中仅有个在区间内,我们姑且称它为“水仙四妹”,则在集合,“水仙四妹”,共个整数中,任意取其中个整数,则这个整数中含有“水仙四妹”,且其余两个整数至少有一个比“水仙四妹”小的概率是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据定义求内的“水仙四妹”,由集合知:“含有水仙四妹的3个整数”的取法有种,而其中“其余两个没有比小”的只有1种,即所求事件的取法有种,进而即可求概率.【详解】设“水仙四妹”为且,,依题意知:,即有,可得,即“水仙四妹”为, ∴集合为,故“含有,但其余两个整数至少有一个比小”的对立事件为“含有,但其余两个没有比小”, ∴“含有”的取法有:种,而事件只有种,故所求事件的取法有种,∴即所求概率为.故选:D.10. 已知抛物线的焦点在直线上,又经过抛物线C的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于､两点,则( )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直线与轴的交点就是抛物线的焦点,从而可求出抛物线方程,然后将倾斜角为的直线方程与抛物线方程联立成方程组,消去,整理后利用根与系数的关系可得,从而再利用抛物线的定义可求出【详解】因为直线与轴的交点为, 所以抛物线的焦点坐标为,设,抛物线方程为,所以过焦点且倾斜角为的直线方程为, 设,由,得, 所以,所以,故选:C.11. 已知双曲线的左焦点为,过点的直线与两条渐近线的交点分别为两点(点位于点与点之间),且,又过点作于(点为坐标原点),且,则双曲线E的离心率( )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意作出图示,根据角度以及长度关系分别求解出,然后根据二倍角的正切公式求解出的关系式,则离心率可求. 【详解】不妨设在第二象限,在第三象限,如下图所示:因为,,所以, 所以, , 又,所以, 所以,所以, 因为,所以, 所以,所以.故选:C.12. ,则的大小顺序为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】构造函数,应用导数研究其单调性,进而比较,,的大小,若有两个解,则,,构造,利用导数确定,进而得到,即可判断、的大小,即可知正确选项. 【详解】令,则,,, 而且,即时单调增,时单调减,又,∴, .若有两个解,则,,即,,令,则,即上递增,∴,即在上,,若即,故,有∴当时,,故, 综上:.故选:A.二、填空题（（每小题5分,共20分））13. 已知向量,,若,则__________.【答案】2【解析】【分析】利用向量垂直的性质直接求解. 【详解】∵向量,,, ∴,解得.故答案为:.14. 记为递增等比数列的前项和,若,则的值为__________.【答案】【解析】【分析】利用等比数列通项,结合求,,进而求的值. 【详解】设等比数列首项为,公比为,则, 由题意,,得,解得或(舍), ∴,故. 故答案为:.15. 函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,且的图象关于轴对称,则的最小值为__________【答案】【解析】【分析】根据平移求得,再根据的图象关于轴对称建立关系即可求解. 【详解】由题可得, ∵的图象关于轴对称,∴,解得, ∵,故的最小值为.故答案为:.16. 已知母线长为的圆锥的顶点为,点、为圆锥的底面圆周上两动点,当与所夹的角最大时,锐角的面积为,则此时圆锥的体积为__________.【答案】【解析】【分析】可得当与所夹的角最大时,为底面圆的直径,根据三角形面积可得,进而得,再由余弦定理可求出半径,得出体积. 【详解】设底面半径为, 当与所夹的角最大时,为底面圆的直径, 此时,解得, ∵为锐角三角形,∴, 则,解得, 则圆锥的体积为.故答案为:.三、解答题（（每小题12分,共60分））17. 在中,分别为角的对边,且. (1)求角A;(2)若的面积,求的取值范围.【答案】见解析【解析】【分析】 (1)由正弦定理化角为边可得,再利用余弦定理即可求出; (2)由面积公式可得,再利用基本不等式即可求出. 【详解】 (1)由已知结合正弦定理可得,即, 则由余弦定理可得, ∵,∴; (2),则, 由,当且仅当时等号成立, ∴.18. 在某地区的教育成果展示会上,其下辖的一个数育教学改革走在该地区前列的县级民族中学近几年升入“双一流”大学的学生人数(单位:个)有如下统计表:(1)根据表中数据,建立关于的线性回归方程. (2)根据线性回归方程预测年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数(结果保留整数). 附:对于一组数据,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,;(参考数据:).【答案】见解析【解析】【分析】 (1)由表格中的数据及所给公式求得和的值,则线性回归方程可求; (2)由回归方程求解预测值,注意的取值. 【详解】(1)由题意,,∴∴关于的线性回归方程为; (2)由(1)可知,当年份为年时,年份代码,此时保留整数为或人,所以年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数为或76人.19. 如图,在直四棱柱中,上､下底面均为菱形,且,点M为的中点.(1)求证:平面; (2)若,求二面角的余弦值.【答案】见解析【解析】【分析】 (1)根据菱形和直四棱柱的特点可证得,,由线面垂直判定定理可证得结论; (2)连接,交于点,以为坐标原点可建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【详解】 (1)∵四边形为菱形,,∴为等边三角形, 又为中点,∴,又,∴; ∵四棱柱为直四棱柱,∴平面, 又平面,∴; ∵平面, ,∴平面. (2)连接,交于点,以为坐标原点,可建立如下图所示的空间直角坐标系,则,,, , ∴,,, 设平面的法向量,则, 令,则,,∴; 设平面的法向量,则, 令,则, ,∴; ∴, 由图形知:二面角为锐二面角,∴二面角的余弦值为.20. 设,,其中,且. (1)试讨论的单调性;(2)当时,恒成立,求实数的取值范围.【答案】见解析【解析】【分析】 (1)分别在和两种情况下,结合定义域,根据导函数的正负可确定原函数的单调性; (2)将不等式化为,利用导数和复合函数单调性可确定,进而转化为,利用导数可求得的最小值,由可得结果. 【详解】(1), ①当时,由得:,即定义域为; ∴当时,;当时,; ∴在上单调递减,在上单调递增; ②当时,由得:,即定义域为; ∴当时,;当时, ; ∴在上单调递减,在上单调递增; 综上所述:当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增. (2)由得:,即, 设,则∴上单调递减,在上单调递增,∴; ∴在上恒成立,∴; 设,则, ∴当时,;当时,; ∴在上单调递减,在上单调递增,∴,∴, 即实数的取值范围为.21. 如图所示,已知椭圆的左､右焦点分别为､,且,点在直线上运动,线段与椭圆的交点为,当轴时,直线的斜率的绝对值为.(1)求椭圆的标准方程; (2)设点在椭圆上,若直线的斜率与直线的斜率之积等于,证明:直线始终与椭圆相切.【答案】见解析【解析】【分析】 (1)由焦距、过焦点直线的斜率求参数、、,写出椭圆方程; (2)设, ,椭圆上过点的切线方程,联立椭圆方程结合判别式,确定为切线方程,由得,代入切线方程判断是否过点,即可证结论. 【详解】(1)由,即, ∵当轴时,直线的斜率的绝对值为, ∴,即,而且, ∴,故,得, ∴椭圆方程为. (2)由(1),,结合题设,令且, ,, 设椭圆上过点的切线方程,以下证明该方程确为椭圆切线方程: ∴联立方程,整理得, ∴,又, ∴,即为椭圆切线方程, ∴由,即,得,代入切线方程, 得,故切线方程必过点. 综上,直线始终与椭圆相切,得证.四、选做题（（每小题12分,共24分））22A. 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),又以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为. (1)求曲线的极坐标方程,若原点在曲线C的内部,则求实数的取值范围; (2)当时,直线与曲线交于、两点,又点为此时曲线上一动点,求面积的最大值.【答案】见解析【解析】【分析】 (1)将曲线的参数方程消去参数得出普通方程,将代入可得曲线的极坐标方程,由可求出的范围; (2)利用弦长公式求出,求出点到直线的最大距离,即可得出面积的最大值. 【详解】 (1)将曲线的参数方程消去参数, 可得普通方程为,即, 将代入可得曲线的极坐标方程为, 若原点在曲线C的内部,则,解得; (2)当时,圆C的方程为,圆心为,半径, 直线的极坐标方程化为直角坐标方程为, 由得, 设,则, ∴, 要使面积最大,只需点到直线的距离最大, 圆心到直线的距离, 则点到直线的最大距离为, 所以面积的最大值为.22B. 已知函数. (1)当时,求不等式的解集; (2)若时,不等式成立,求实数的取值范围.【答案】见解析【解析】【分析】 (1)当时,得原不等式等价于,分、、三种情况解不等式,综合可得出原不等式的解集; (2)由,可得出不等式等价于,分、、三种情况进行讨论,在前两种情况下验证即可,在时,解不等式,根据已知条件可得出集合间的包含关系,综合可得出实数的取值范围.【详解】 (1)当时,,则等价于. 当时,则有,解得,此时; 当时,则有,解得,此时; 当时,则有,解得,此时. 综上所述,当时,不等式的解集为; (2)当时,不等式成立等价于当时成立. 若,则当时,恒成立; 若,则当时,,不合乎题意; 若,由可得或,解得或. 由题意可得,则,解得. 综上所述,实数的取值范围是.。

绝密★启用前2020届高中毕业班第一次适应性测试文 科 数 学（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}10|A x x =->，12{|}B x x =-≤≤，则A B ⋃=A ．(1,)+∞B ．[)1,-+∞C ．[]1,1-D ．[]1,2-2．设()1i 1i x y -=+，其中x ，y 是实数，则i x y +在复平面内所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知,()0απ∈，3cos()65πα+=，则sin 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为A B C ．710D 4．PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在335g/m μ以下空气质量为一级，在33~35g/m 75g/m μμ之间空气质量为二级，在375g/m μ以上空气质量为超标．如图是某市2019年12月1日到10日PM2.5日均值（单位：3g/m μ）的统计数据．若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率为 A ．310B ．35C ．25D ．1305．若实数x ，y 满足110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为A ．2B ．4C ．5D ．106．已知圆22420x y ax ay +++=与直线2100x y +-=相切，则圆的半径为AB ．2C．D ．47．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F且斜率为线在第一象限的交点为A ，线段1F A 的中点为D ，若120AF AF ⋅=u u u r u u u u r，1a =，则此双曲线的离心率为 A ．()1,0B．C ．()2,0D．1,0)8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A B ，CD 的中点，则异面直线1D E 与1A F 所成的角的余弦值为A．5B．6C．3D．69．设a 为正实数，函数322()32f x x ax a =-+的极小值为0，则a 的值是A ．12B ．1C ．32D ．210．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA l '⊥，垂足为A '．若3cos 5FAA '=，则AF = A ．8B ．7C ．6D ．511．已知函数2()2cos()1(0)3f x x πωω=+->的一个零点是4x π=，则当ω取最小值时，函数()f x 的一个单调递减区间是 A ．,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()xf x f x '>．若22(log 3)log 3f a -=-，44(log 6)log 6f b =，(sin )8sin 8f c ππ=，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面上，1e r ，2e r是方向相反的单位向量，若向量b r 满足()()12b e b e -⊥-r r r r ，则b 的值为______．14．设a ，b ，c 分别为三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知三角形ABC的面积等于222()4b c a +-，则内角A 的大小为______．15．已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为______．16．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x ，y 组成的实数对(),x y ，若将(),x y 看作一个点，再统计点(),x y 在圆221x y +=外的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值．假如统计结果是52m =，那么可以估计π的近似值为____________．（用分数表示）三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久．目前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒播两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如下表：约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”．（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足14a =，11232n n n a a ++=+⨯．（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设164nn n n b a a +⨯=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB CD ．1224AB AD AA ===．（1）证明：1A D ⊥平面11ABC D ； （2）若111A ABC D -的体积为103，求四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积．20．（本小题满分12分）已知函数2()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =-++≠.（1）当1a =时，求函数()f x 的图象在点1x =处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性． 21．（本小题满分12分）已知椭圆222:1(02)4x y C b b +=<<的离心率为0,2e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，F 为椭圆C 的右焦点，D ，E 为过椭圆中的上、下顶点，且DEF V（1）求椭圆C 的方程； （2）动直线1:2l y x t =+与椭圆交于A ．B 两点，证明：在第一象限内存在定点M ，使得当直线AM 与直线BM 的斜率均存在时，其斜率之和是与t 无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标．请考生在第22．23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30︒，且经过点()2,1A ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足12OM ON ⋅=，记点N 的轨迹为曲线C ．（1）①设动点1P l ∈，记e r是直线1l 的向上方向的单位方向向量，且AP te =u u u r r ，以t 为参数求直线1l 的参数方程；②求曲线C 的极坐标方程并化为直角坐标方程； （2）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求11||||AP AQ +的值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x x =++-． （1）求不等式()8f x x ≥+的解集；（2）记函数()y f x =的最小值为k ，若a ，b ，c 是正实数，且33112ka kb kc++=，求证：239a b c +≥＋．2020届高中毕业班第一次适应性测试文科数学参考答案一、选择题1．B 【解析】由已知得{}|1A x x =>，又12{|}B x x =-≤≤，所以{|1}A B x x ⋃=≥-．故选B ． 2．D 【解析】由1i 1i ()x y -=+，其中x ，y 是实数，得1x x y =⎧⎨-=⎩，11x y =⎧∴⎨=-⎩，所以i x y +在复平面内所对应的点位于第四象限．故选D ． 3．A 【解析】由,()0a π∈，3cos 5α=，得4sin 5α=， 所以sin sin cos cos sin 666πππααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4313525210=⨯-⨯=，故选A ． 4．C 【解析】由图易知：A ，B ，D 正确，对于选项C ，由于10日的PM2．5的日均值大于9日的PM2．5的日均值，C 错误，故选C ． 5．B 【解析】作出可行域如图所示：作直线2y x z =-+，再将其平移至()1,2A 时，直线的纵截距最小，的最小值为4．故选B ． 6．A 【解析】由题意知圆心坐标为()2,a a --=1a =-，A ． 7．C 【解析】由120AF AF ⋅=u u u r u u u u r及2AF的斜率为 易得126F AF π∠=，得1AF =，2AF c = ，2c a -=，又1a =-，所以2c ==．故选C ．8．A 【解析】如图，连接BE ，BF ，1D F ，易知1BED F 为平行四边形，所以1//D E BF ， 所以异面直线1D E 与1A F 所成的角即为1A F 与BF 所成的锐角， 即1A FB ∠，连接1A B ， 设2AB =，则在1A BF V 中，1A B =BF =，13A F ==．所以2221111cos 25A F BF A B FB A A BF F +-∠===⋅．故选A ．9．A 【解析】由已知2()363(2)f x x ax x x a '=-=-， 又0a >，所以由()0f x '>得0x <或2x a >，由()0f x '>得02x a <<，所以()f x 在2x a =处取得极小值， 即32232(2)(2)3(2)2420f a a a a a a a =-+=-+=，又0a >，解得12a =，故选A ． 10．C 【解析】作出图形如下所示，过点F 作FF AA ''⊥，垂足为F '．设3AP x '=，因为3cos 5FAA ='∠，故5AF x =，|4|FF x '=， 由抛物线定义可知，5AF AA x '==，则||22A F x ''==，故1x =． 所以55AF x ==，故选D ． 11．D 【解析】由已知21cos()432ωππ+=，得22433k ωππππ+=±， 所以84k ω=-或48()3k k ω-∈=Z ， 又0ω>，所以min 4ω=，此时2()2cos(4)13f x x π=+-， 由22423k x k ππππ≤+≤+ 得(2622)1k k k x ππππ≤≤+∈-Z ， 当1k =时，得()f x 的一个单调递减区间为7,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ． 12．C 【解析】设()()f x g x x=，因为()f x 为奇函数，所以()g x 为偶函数； 又当0x >时，2()()()0xf x f x g x x'-'=>， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，因为2420sin1log log 6log 38π<<<=<，又2222(log 3)(log 3)log 3log 3f f a -==-，所以42(sin )(log 6)(log 3)8g g g π<<-，即c b a <<，故选C ．二、填空题 13．1【解析】由题意()()120b e b e -⋅-=r r r r ，即()212120b e e b e e -+⋅+⋅=r r r r r r，又12,e e r r 是方向相反的单位向量，所以120e e +=r r ，121e e ⋅=-r r，所以210b -=r ，即21b =r ，所以1b =r ．14．3π【解析】由已知22212sin )ABC A S bc b c a ==+-V ，及余弦定理得sin A A =，所以tan A =0A π<<，所以3A π=．15．203【解析】由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥，作出该几何体的体积为311202222323V =-⨯⨯⨯⨯=．16．4715【解析】由题意，240对都小于1的正实数对(),x y ，满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1， 点(),x y 在圆221x y +=外满足221x y +>， 且0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为14π-， 因为点(),x y 在圆221x y +=外的个数52m =， 所以5212404π=-，∴4715π=． 三、解答题17．【解析】 （1）100块直播农田的平均产量为48183931850870890910930907100100100100100X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（斤）． （2）由题中所给的数据得到2×2列联表如下所示：由表中数据可得2K 的观测值2200(70503050)258 6.635120*********k ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯． 所以有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关．18．【解析】（1）因为11232n n n a a ++=+⋅，所以11322n n n na a ++-=， 所以2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项，3为公差的等差数列． 从2(1)3312n n a n n =+-⨯=-，所以(31)2n n a n =-． （2）由（1）212116432(31)2(32)n n n n n n n b a a n n +++⨯⨯==-⨯+ 311(31)(32)3132n n n n ==--+-+． 111111()()()25583132n n T n =-+-++--+∴L 11323264n n n =-=++． 19．【解析】（1）因为侧棱1AA ⊥平面ABCD ，所以1AA AD ⊥，1AA AD ⊥，又AB AD ⊥，1AA AD A ⋂=，所以AB ⊥平面1ADD A ，而1A D ⊂平面1ADD A ，所以1AB A D ⊥；又1AA AD ⊥，1AA AD =，所以四边形11ADD A 为正方形，所以11A D AD ⊥，又1AB AD A ⋂=，所以1A D ⊥平面11ABC D ．（2）记1A D 与1AD 的交点为O ，所以1AO ⊥平面11ABC D ， 又1224AB AD AA ===，所以1AO =1AD =设11CD C D x ==，则1111111128331203A ABC D ABCD x V D AO A -++=⋅⋅==⋅， 解得1x =，即1CD =CD=1，所以BC ==所以四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积为(124214S =+++⨯=+20．【解析】（1）当1a =时，2()42ln f x x x x =-+，2()24f x x x'=-+， ∴()13f =-，()10f '= ，所以函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为30y +=．（2）由已知()f x 的定义域为(0,)+∞，22(1)22(1)()()22(1)x a x a a x x a f x x a x x x ⎡⎤-++--⎣⎦'=-++==． 当0a <时，由()0f x '<得()0,1x ∈，由()0f x '>得,()1x ∈+∞，所以()f x 在()0,1单调递减，在(1,)+∞单调递增， 当01a <<时，由()0f x '<得(),1x a ∈，由()0f x '>得()(0,1),x a ∈⋃+∞，所以()f x 在()0,a ，(1,)+∞单调递增，在(),1a 单调递减；当1a =时，22(1)()0x x xf -'=≥恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递增； 当1a >时，由()0f x '<得()1,x a ∈，由()0f x '>得()(0,1,)x a ∈⋃+∞，所以()f x 在()0,1，(),a +∞单调递增，在()1,a 单调递减．21．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，则22224c a b b =--=，①又由PQF V122c b bc ⋅⋅== 由①②解得1c =，所以b =又椭圆C的离心率e ⎛∈ ⎝⎭，则c =c e a ⎛== ⎝⎭，舍去， 所以1c =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）设111(,)2A x x t +，221(,)2B x x t +，(,)M m n 将1:2l y x t =+代入22143x y +=，得2230x tx t ++-=． 由()22430t t ∆=-->得24t <，则有12x x t +=-，2123x x t =-．直线AM 与直线BM 的斜率之和 12211211()()()()22()()MA AB n x t m x n x t m x k k m x m x ---+---+=-- 2232323n m t mn t mt m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=++-为与t 无关的常数， 可知当32n m =，23mn =时斜率的和恒为0，解得132m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，或132m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍）． 综上所述，所有满足条件的定点M 的坐标为3(1,)2．22．【解析】（1）①依题设直线1l 的参数方程为2cos301sin30x t y t =+︒⎧⎨=+︒⎩（t 为参数），即2212x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．②设,()N ρθ，11(),00(,)M ρθρρ>>，由题设则1112ρρθθ=⎧⎨=⎩ 又点M 在2:cos 3l p θ=，即11cos 3ρθ=上， 所以312cos ρθ⋅=，即4cos ρθ=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得曲线C 的直角坐标方程为 2240(0)x y x x +-=≠．（2）将1l 的参数方程代入C 的直角坐标方程中，得221(2)4(2)(1)02t +-+++=， 即230t t +-=，则1t ，2t 为方程的两个根，121t t +=-，1230t t =-<，121111||||||||AP AQ t t +=+121212||||t t t t -==3==23．【解析】（1）()218f x x x x =++-≥+等价于1218x x x ≥⎧⎨+≥+⎩，或2138x x -≤<⎧⎨≥+⎩，或2218x x x <-⎧⎨--≥+⎩， 解得7x ≥或x ∈∅或3x ≤-，所以不等式的解集为][,3)7,(x ∈∞--+∞U ．（2）依题意()()()21213f x x x x x =++-≥+--=，当[]2,1x ∈-时等号成立，所以()f x 的最小值为3，即3k =， 所以111123a b c++=， 又a ，b ，c 是正实数，由均值不等式得11123(23)23a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭223332332a a b b c c b c a c a b=++++++ 23233322292332a b a c b c b a c a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当23a b c ==时取等号．也即239a b c ++≥．。

2019届广西南宁市高三第一次适应性测试数学（文）试题一、单选题1．设全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得集合B，再利用集合的并集和补集定义直接求解即可.【详解】因为，，所以，故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.2．已知复数，则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用复数的除法运算得，进而可得共轭复数，从而得解.【详解】因为，所以，对应点的坐标为.故选：A【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.3．在等比数列中，若，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得公比，进而可得首项.【详解】因为，所以，从而.故选：C.【点睛】本题考查了等比数列的基本量运算，属于基础题.4．已知，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由两角差的正弦得，进而有，结合角的范围可得解.【详解】因为，由，可得所以得.故选：D【点睛】本题主要考查了两角差的正弦展开及同角三角函数的基本关系，考查了计算能力，属于基础题.5．如图所示，长方体的棱和的中点分别为，，，，，则异面直线与所成角的正切值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作，垂足为，连接，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），进而根据边长求解即可.【详解】作，垂足为，连接，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），且，因为，，所以.故选：B【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，属于基础题.6．已知直线：与圆：相交于，两点，若，则圆的标准方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先求得圆心到直线的距离，再结合弦长为6，利用垂径定理可求得半径.【详解】圆：可化为，设圆心到直线的距离为，则，又，根据，所以圆的标准方程为.故选：A【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式，垂径定理的应用，属于基础题.7．已知，分别是函数图象上相邻的最高点和最低点，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据两个最值得横坐标的距离可得周期，进而得，把的坐标代入方程，可得，从而得解.【详解】因为，所以，把的坐标代入方程，得，因为，所以，.故选：D【点睛】已知函数的图象求参数的方法：可由观察图象得到，进而得到的值．求的值的方法有两种，一是“代点”法，即通过代入图象中的已知点的坐标并根据的取值范围求解；另一种方法是“五点法”，即将作为一个整体，通过观察图象得到对应正弦函数图象中“五点”中的第几点，然后得到等式求解．考查识图、用图的能力．8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的（）A．B．C．D．【答案】C【解析】模拟执行程序框图，使得最后退出循环时，即可得解.【详解】时，；时，；时，；时，退出循环.此时，，解得.故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确结论，属于基础题.9．已知实数，满足，则目标函数的最小值为（）A．-24 B．-22 C．-17 D．-7【答案】B【解析】作出不等式的可行域，平移直线，纵截距最大时z有最小值，数形结合即可得解.【详解】画出可行域，如图所示，平移直线，纵截距最大时z有最小值.，解得当直线过点时，取得最小值-22.故选：B【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.10．已知四棱锥，平面，，，，，.若四面体的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设的中点为，的中点为，可知点为四面体外接球的球心，进而根据垂直关系利用边长求解即可.【详解】因为，所以，，，四点共圆，.由，得，所以.设的中点为，的中点为，因为平面，所以平面.易知点为四面体外接球的球心，所以，.故选：C【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．11．已知抛物线的焦点为，准线为，直线交抛物线于，两点，过点作准线的垂线，垂足为，若等边三角形的面积为，则的面积为（）A．B．C．16 D．【答案】B【解析】由为等边三角形，得，边长为，结合条件中的面积可得，进而由直线与抛物线联立可得交点坐标，利用面积公式求解即可.【详解】因为为等边三角形，所以，边长为，由，得，抛物线方程为，联立，得，所以，所以，.故.故选：B【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，利用了抛物线的定义研究抛物线上的点到焦点的距离，考查了数形结合和计算能力，属于中档题.12．设，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由比较，的大小，利用中间量比较,，从而得解.【详解】∵，，∴.∵，∴，∴.又，∴，即.故选：D【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性比较大小，解题的关键是找到合适的中间量进行比较大小，属于难题.二、填空题13．在正方形中，为线段的中点，若，则_______．【答案】【解析】由即可得解.【详解】因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的加法运算和线性运算，属于基础题.14．已知数列的前项和为，若，，，则___．【答案】26【解析】根据条件可知数列为等差数列，先求数列的公差，进而利用求和公式求和即可.【详解】因为，所以数列为等差数列，设公差为，则，所以.故答案为：26.【点睛】本题主要考查了等差数列的定义及求和公式的应用，属于基础题.15．不透明的袋中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中任意摸取2个球，则摸到同色球的概率为______．【答案】【解析】基本事件总数n10，摸到同色球包含的基本事件个数m4，由此能求出摸到同色球的概率．【详解】不透明的袋中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中任意摸取2个球，基本事件总数n10，摸到同色球包含的基本事件个数m4，∴摸到同色球的概率p．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．已知函数的图象是以点为中心的中心对称图形，，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直，则__________．【答案】【解析】由中心对称得，可解得，再由两切线垂直，求导数得斜率，令其乘积为-1，即可得解.【详解】由，得，解得，所以.又，所以.因为，，，由，得，即.故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性，考查了导数的几何意义即切线斜率，属于中档题.三、解答题17．在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的值.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）根据余弦定理直接求解可得，进而可得；（2）由正弦定理角化边可得，再利用面积公式求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，从而.（2）因为，所以，即.因为的面积为，所以，即，所以，解得.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题.18．某电子商务平台的管理员随机抽取了1000位上网购物者，并对其年龄（在10岁到69岁之间）进行了调查，统计情况如下表所示.已知，，三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列.（1）求的值；（2）若将年龄在内的上网购物者定义为“消费主力军”，其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”.现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，再从这5人中抽取2人，求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率.【答案】（1），；（2）【解析】（1）根据人数和为100及人数的等比关系列方程组求解即可；（2）在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为，，，有2人是消费潜力军，分别记为，，利用列举法及古典概型的公式求解即可.【详解】（1）由题意得，解得，.（2）由题意可知，在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为，，，有2人是消费潜力军，分别记为，.记“这2人中至少有一人是消费潜力军”为事件. 从这5人中抽取2人所有可能情况为，，，，，，，，，，共10种.符合事件的有，，，，，，，共7种.故所求概率为.【点睛】本题主要考查了统计的简单应用，考查了古典概型的求解，属于基础题.19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为线段的中点，为线段上的一点.（1）证明：平面平面.（2）若交于点，，，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由得平面，进而可得证；（2）先计算，再由得，从而可得体积.【详解】（1）证明：因为，为线段的中点，所以.又，，所以为等边三角形，.因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：因为，，所以，，同理可证，所以平面.因为是的中位线，所以，又，所以.设点到底面的距离为，由，得，所以.【点睛】本题主要考查了线面垂直、面面垂直的证明，考查了三棱锥体积的求解，属于基础题. 20．设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知点，过的直线交曲线于两点，交直线于点.判定直线的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）设点，，由条件的线段比例可得，，代入圆的方程中即可得解；（2）设直线的方程为，与椭圆联立得得，设，，由，结合韦达定理代入求解即可.【详解】（1）设点，，因为，点在直线上，所以，.①因为点在圆：上运动，所以.②将①式代入②式，得曲线的方程为.（2）由题意可知的斜率存在，设直线的方程为，令，得的坐标为.由，得.设，，则有，.③记直线，，的斜率分别为，，，从而，，.因为直线的方程为，所以，，所以.④把③代入④，得.又，所以，故直线，，的斜率成等差数列.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，斜率的坐标表示，设而不求的数学思想，考查了计算能力，属于中档题.21．已知函数.（1）讨论函数的单调区间；（2）证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1),分和两种情况讨论单调性即可；(2)法一：将不等式变形为，构造函数，证明即可；法二：将不等式变形为，分别设，求导证明即可.【详解】(1) ，当时，，函数的单调增区间为，无减区间；当时，，当，，单增区间为上增，单调减区间为上递减。

绝密★启用前2020届高中毕业班第一次适应性测试文 科 数 学（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}10|A x x =->，12{|}B x x =-≤≤，则A B ⋃=A ．(1,)+∞B ．[)1,-+∞C ．[]1,1-D ．[]1,2-2．设()1i 1i x y -=+，其中x ，y 是实数，则i x y +在复平面内所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知,()0απ∈，3cos()65πα+=，则sin 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为A B C ．710 D 4．PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在335g/m μ以下空气质量为一级，在33~35g/m 75g/m μμ之间空气质量为二级，在375g/m μ以上空气质量为超标．如图是某市2019年12月1日到10日PM2.5日均值（单位：3g/m μ）的统计数据．若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率为A ．310B ．35 C ．25 D ．1305．若实数x ，y 满足110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为A ．2B ．4C ．5D ．10 6．已知圆22420x y ax ay +++=与直线2100x y +-=相切，则圆的半径为AB ．2 C．D ．47．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F且斜率为线在第一象限的交点为A ，线段1F A 的中点为D ，若120AF AF ⋅=u u u r u u u u r，1a =，则此双曲线的离心率为A ．()1,0 B． C ．()2,0 D．1,0)8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A B ，CD 的中点，则异面直线1D E 与1A F 所成的角的余弦值为A．5 B．6 C．3 D．6 9．设a 为正实数，函数322()32f x x ax a =-+的极小值为0，则a 的值是A ．12B ．1C ．32D ．2 10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA l '⊥，垂足为A '．若3cos 5FAA '=，则AF = A ．8 B ．7C ．6D ．5 11．已知函数2()2cos()1(0)3f x x πωω=+->的一个零点是4x π=，则当ω取最小值时，函数()f x 的一个单调递减区间是A ．,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()xf x f x '>．若22(log 3)log 3f a -=-，44(log 6)log 6f b =，(sin )8sin 8f c ππ=，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．b c a << 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面上，1e r ，2e r 是方向相反的单位向量，若向量b r 满足()()12b e b e -⊥-r r r r ，则b 的值为______． 14．设a ，b ，c 分别为三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知三角形ABC的面积等于222()4b c a +-，则内角A 的大小为______． 15．已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为______．16．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启。