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Chapter8相量法2

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【第8章】 相量法

【第8章】 相量法
实轴 +1
复数在复平面上可 以用向量表示。
0
a1
2. 复数的四种表示形式
⑴ 表达式 ① 代数形式 A= a1+ ja2 +j a2 A
② 极坐标形式
③ 三角函数式 ④ 指数形式
0 模 幅角 A a cos j + j a sin j
A aj
a φ
a1 +1
A ae jj
（由欧拉公式e jφ = cos φ + jsin φ得到） ⑵ 四种表达式关系
I e jy i I y I m m m i
复振幅与正弦量的一一对应关系： 复振幅的模是正弦量的最大值 复振幅的幅角为正弦量的初相位
jy i I Ie Iy i 复有效值
复有效值与正弦量的一一对应关系： 复有效值的模是正弦量的有效值 复有效值的幅角为正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
φ =0，同相； i i1
0 i2
φ = (180o) ，反相； i i1 i2
wt
0 i i1
wt
φ = /2，正交；
i2
wt 因为规定了： |φ| (180°)。 0 所以，我们说i1 领先 i2 /2, 而不说i2落后i1 3 /2
注：我们此处比较的是两个电流的相位差，那么，我们是 否可以比较一个电压和一个电流的相位差？在今后的分析 中可以利用电压和电流的相位差来判断电路的性质。
线圈从中性面开始转过了ωt 时，导线切割磁 力线的速度是ωr SIN ωt
可见：交流电是电流的大小和方向都随时间做周期 性变化的电流。
交流电有许多优点: •交流电可以用变压器升高或降低电压， •交流电可以驱动结构简单，运行可靠的交流 感应电动机，交流电是廉价的动力或能量来源。

第8章 相量法

第8章 相量法

Chapter 8 相量法主要内容：1.复数；2.正弦量；3.相量、相量法；4.电路定律的相量形式。

§8-1复数一、复数的几种表示形式1. 代数形式：jb a F +=2. 三角形式：)sin cos ( θθj F F += 欧拉公式 θθθsin cos j e j +=3. 指数形式：θj eF F =4. 极坐标形式：θ∠=F F二、复数的运算1.相等若两复数的实部和虚部分别相等，则这两复数相等；若它们的模相等，辐角相等，则这两复数相等。

2.加减运算)()()()(2121221121b b j a a jb a jb a F F ±+±=+±+=±复数的加减运算可以在复平面上用图形来表示。

求复数之和的运算在复平面上符合平行四边形求和法则。

3.乘法运算)(2122121211θθθθ+==j j j eF F eF eF F F)arg()arg()arg( , 21212121F F F F F F F F +==∴复数相乘时，其模相乘，其辐角相加。

4.除法运算)arg()arg(arg,212121212121221121F F F F F F F F F F F F F F -==∴-∠=∠∠=θθθθ复数相除时，其模相除，其辐角相减。

5.旋转因子 ①)( , ,1θθθθθθ+==∠=a aj j j j eA eA eA A e则若② 1 ,1 , ,222=-=-==-ππππj j jjeej e j e例8-1：设 212121,13510,43F F F F F j F 和求+︒∠=-=。

解：)252543135104321j j j F F +-+-=︒∠+-=+（ ︒∠=+=1435.13.07-4.07j︒∠=︒-∠=︒∠︒-∠=︒∠-=9.1715.01.1885.0135101.535135104321j F F§8-2 正弦量一、正弦量时变电压和电流：随时间变化的电压和电流。

第8章-相量法

第8章-相量法

拉 cos ej e-j
公
2
式
sin
ej
e-j 2
F* a jb F ej F
2. 复数运算
设 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 ①加减运算 —— 采用代数形式
F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
Im F2
F1+F2
Im
F1+F2
F2
o 图解法
F1 Re o
F1
Re
F1-F2 -F2
②乘除运算 —— 采用极坐标形式
设 F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
则:
F1F2 F1 ej1
F2 ej2 F1
F ej(1 2 ) 2
F1
F2 1 2
模相乘 角相加
F1F2 F1 F2
Im F1F2
argF1F2 argF1 argF2
F2 θ2 θ1 F1
2
2
us
2Us cos wt u
1 2
U sme jwtu
U
e-jwt
sm
u
i
2I cos wt i
1 2
I
m
e
jwt
i
Ime-jwti
取Usmejwtu
Imejwti
代入方程
Ri L
di dt
1 C
idt us
RImejwti jwLImejwti
1
jwC
Ime jwti
高频
HF
330MHz
短波
100m10m 天波与 地波
甚高频 VHF 30-
300MHz 米波

[理学]第08章 相量法_OK

[理学]第08章 相量法_OK

即表示 di/dt 的相量为
•
j I I /i / 2
32
3、正弦量的积分
设i 2I cos(t i ), 则
•
idt Re[ 2 I e jt ]dt
•
Re[ ( 2 I e jt )dt]
•
Re[ 2 ( I e jt )]
j
2
I
c os (t
i
/
2)
即表示 ∫idt 的相量为
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
设 i(t)=Imcos( t+ ), I
1 T
T 0
I
2 m
cos 2 (
t
Ψ
)
dt
T cos2( t Ψ ) dt
T 1 cos 2( t Ψ ) 1
dt t
T 1T
0
0
2
20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
23
二、正弦量的相量
如果复数 F | F | e j中的辐角 t ,
则F 就是一个复指数函数。
根据欧拉公式可展开为
F F e j(t ) F cos(t ) j F sin(t )
显然有 Re[F] F cos(t )
所以正弦量可以用上述形式的复指数函数描述， 使正弦量与其实部一一对应起来。 如以正弦电流 i 2I cos(t i ) 为例
解：求复数的代数和用代数形式：
F2 = 10 /135°=10（cos135°+jsin135°)
= -7.07 + j7.07
F1 + F2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 )

第八章 相量法

第八章 相量法
2
t φ
2、 φ<0；即ψ1<ψ2，则u1滞后 2φ角。 、 滞后u 角 ； ψ u u =u +u u2 φ 3、 φ=0； 3、 φ=0；即ψ1=ψ2， ψ 同相。 则u1与u2同相。 u u1 u2 t Um= Um1+Um2 u1 t =Um1cos(ωt+ψ1)+ Um2cos(ωt+ψ2) ψ ψ =Umcos(ωt+ψ) ψ Um× m1+Um2 =U ψ ≠ ψ1+ ψ2 4、 φ=±π；即ψ1=ψ2 ±π ， 、 ± ； ψ 反相。 则u1与u2反相。 u u u1
例 1： I R 4V
–j 1 jωL ωC
10V 7V U=？ ？ 方法一： 方法一：相量图法 UL 10V 3V 7V UC U 4V UR I U=5V
解：串联电路电流 相同，而R、L、C上电 相同， 、 、 上电 压的相位不同。所以， 压的相位不同。所以， 不能直接用有效值相加。 不能直接用有效值相加。 方法二： 方法二：相量法 设： I =I 0º 则：UR = 4 0º V UC= 7 –90º V
相量形式电路图 I U 相量图
相量关系既反映了u、 相量关系既反映了 、i 的有效 值关系又反映了相位的关系。 值关系又反映了相位的关系。

若： = 2 Icos(ωt+ψi ) i i L di i u=L dt = – 2 IωLsin(ωt+ψi ) 则： t u = 2 IωLsin(ωt+ψi +90º) 比较u 的表达式 的表达式： 比较 、i的表达式： = 2 Ucos(ωt+ψu ) ψ ①u、i 同频率 、 ② ψu= ψi +90º 电感上电压相位超前电流相位 。 电感上电压相位超前电流相位90º。 U 感抗 = ωL =XL 有效值关系： ③有效值关系： U=IωL I 直流： 直流：ω=0, XL=0, 电路短路 感抗与ω成正比 成正比,ω↑ 感抗与 成正比 ↑,XL↑ 高频交流： →∞,电路断路 高频交流： XL→∞ 电路断路 相量关系： ④相量关系： I jωL U U =jωL=jX I 相量图 U L I 相量形式电路图

第八章 相量法(Phasor method

第八章 相量法(Phasor method
k =1
由相量的线性特性，有
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
28
& Re[ 2e jω t ∑ I k ] = 0
k =1
n
上式成立的条件为
∑ I&
k =1
n
k
=0
——KCL的相量形式
表明：在正弦稳态电路中，流入（或流出）结点的各支 路电流相量的代数和为零。 同理可得KVL的相量形式：
对应的相量为 5∠−60° 2)
− 8 2 cos(ω t − 45°) = 8 2 cos(ω t − 45° + 180°) = 8 2 cos(ω t + 135°)
对应的相量为 8∠135°
18
3)
− 6 2 sin(ω t − 60°) = 6 2 sin(ω t − 60° + 180 °) = 6 2 sin(ω t + 120 °) = 6 2 cos(ω t + 120 ° − 90°) = 6 2 cos(ω t + 30°)
10
3）复数的三角形式 由图可见 a1= |A| cosθ a2= |A|sinθ A= |A|（cos θ +jsin θ ） 4）复数的指数形式 根据欧拉公式 e jθ
a2
Im |A|
θ
o a1 Re
= cos θ + j sin θ jθ A = Ae 复数的三角形式变为指数形式，即
A = A ∠θ
i1 = 100 i 2 = 10
2 cos( 6280 t − 60 o ) A 2 cos( 6280 t + 30 o ) A
s
20

第八章 相量法

第八章 相量法

w 2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒 i Im O T 2
(3) 初相位(initial phase angle) i 反映正弦量的计时起点。
/w i
twt
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i
一般规定：| | 。
O
t
=0 =－/2
二. 相位差 ：
T
0
1 cos 2(w t i ) 1 dt t 2 2
T 0
1 T 2
1 2 T Im I Im 0.707 I m T 2 2
i(t ) I m cos(w t i ) 2I cos(w t i )
Im 2I
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
u( t ) u1 ( t ) u2 ( t ) Re( 2 U 1 e Re( 2 U 1 e
可得其相量关系为：



jwt
) Re( 2 U 2 e jwt )


jwt
2U2 e

jwt
) Re( 2 (U 1 U 2 )e jwt )
U U1 U 2
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u( t ) 2U cos(w t θ ) U Uθ
例1 已知
i 141.4 cos(314t 30o )A u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u .
e cos j sin
指数形式
F=|F|（cos + jsin ）

第8章相量法

第8章相量法
o o
式 原 = (3.41+ j3.657) + (9.063 − j4.226) o =12.47 − j0.569 =12.48∠− 2.61
o
(17 + j9) (4 + j6) 220 ∠ + 35 =? 例2 20+ 20 + j5 19.24∠27.9o ×7.211∠ .3o 56 解 原 =180.2 + j .2 + 126 式 20.62∠ .04o 14 =180.2 + j .2 + 6.728∠ .16o 126 70
ωt
ϕ1
i2 = I m2 cos(ω t + ϕ
i1 = I m1 cos(ω t − ϕ 1 )
2
)
称
i2
超前
ϕ = (ω t +ϕ 2 ) − (ω t −ϕ 1 ) = ϕ 2+ϕ1
i1
第8章相量法 特殊相位关系： 特殊相位关系：
ϕ =±π (±180o ) ，反相： 反相： ±π ±
u, i u iω t
正弦波 特征量之二 -- 幅度
第8章相量法
最大值
电量名称必须大 写,下标加 m。
i = I m cos (ω t + ϕ )
I m 为正弦电流的最大值
如：Um、Im
在工程应用中常用有效值表示幅度。 在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电 有效值表示幅度 表指示的电压、电流读数， 表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效 也是指供电电压的有效值。 值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。 标准电压
第8章相量法
第8章 相量法
§8.1 复数 §8.2 正弦量的基本概念 §8.3 正弦量的相量表示 §8.4 电路定理的相量形式

第八章-相量法

第八章-相量法

θ
arctan
b a
或
o
aห้องสมุดไป่ตู้
a | F | cos

b| F | sin
Re
2. 复数运算
①加减运算 —— 采用代数式
返回 上页 下页
若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
Im F2
F1+F2
Im
F1+F2
F2
o 图解法
F1 Re o
i2(t)3co1s0(π0 t300)
返回 上页 下页
4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值定义
物 直流I R 理 意
义 WR2IT
交流 i R
W0TRi2(t)dt
返回 上页 下页
均方根值
F (t)2 Ijy e e jw t2 I e jw t
F(t) 包含了三要素：I、 、w， 正弦量对 复常数包含了两个要素：I , 。 应的相量
i(t)2Icowts(Ψ) II Ψ
相量的模表示正弦量的有效值
注意
相量的幅角表示正弦量的初相位
返回 上页 下页
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
周期T 和频率f
t
f1 T
周期T ：重复变化一次所需的时间。单位：秒s 频率f ：每秒重复变化的次数。单位：赫(兹)Hz
返回 上页 下页
正弦电流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路
（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
研究正弦电路的意义 1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。

第八章相量法

第八章相量法
...... 幅角
A 可在复平面中画出
佛山科学技§术学8院-1 复数
现代制造装备工程技术开发中心
（3）直角坐标和极坐标间转换
A = a + jb = a2 + b2 tan-1 a b
A = A φ = A cosφ + j A sinφ
例： A = 1 + j = 245 A = 230 = 2cos30 + j 2sin30
B b1 + jb2
b12
+
b2 2
b2 1
+
b2 2
佛山科学技§术学8院-1 复数
现代制造装备工程技术开发中心
三，复数的旋转因子
（1） 含义： A • e jΨ = A （φa + Ψ） 复数模不变，将此复数向量逆时针旋转
一个角度
A • e jΨ
A
φa
佛山科学技§术学8院-1 复数
现代制造装备工程技术开发中心
佛山科学§技术8学-院2 正弦量
现代制造装备工程技术开发中心
二、正弦 、 （以正弦 为例）
1、正弦 ：一种特殊的、周期的、交变的电流
2、正弦 表示方法：
（1）数学式： i = Imcos(ωt + φi )
说明： ——正弦电流的最大值，振幅 ——角频率（反映正弦量变化快慢） ——周期 ——频率
乘法：模相乘， 角相加。
A = A φa
说明：
AB = A B φa + φb
B=
B
Байду номын сангаасφb
A
=
A φa - φb
B B
AB = (a1 + ja2)(b1 + jb2) = (a1b1 - a2b除2)法+ ：j(模a1b相2 +除a，2b1)

第8章 相量法

第8章 相量法


T
0
i (t ) Rdt I RT
2 2
1 T 2 I 0 i (t )dt T
(1)式中代入
(1)式
i(t ) I m cos( t i ) 得
Im I 2
i(t ) I m cos( t i )
2.角频率（周期T、频率f）：表示变化快慢 Angular frequency(period, frequency) 定义：相角(t+i)随时间变化的速度（rad/s）
The Phasor
相量法即用复数为工具来表示正弦量。 正弦量 相量(复数)
变换的思想
相量是一个包含正弦量“幅值”和“相 位”信息的复数。
一、复习复数：
1.复数的表示形式 (1)代数形式 b 0
+j
F
r
θ
a +1
F a jb
(2)三角形式 (3)指数形式 (4)极坐标形式
F r
a b
u(t ) 2U cos( t u )
X Y 53.1
xy 3 X Y
4
2.复数的代数运算 相加(减):使用代数形式
(a jb) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
相乘（除）:使用指数形式
F F1F2 r1r2e
j (1 2 )
F1 r1 j (12 ) F e F2 r2
二．正弦信号的相量表示
根据欧拉公式:
e
jx
cos x j sin x
j (t )
对于同频 正弦量而 言相同
u 2U cos ( t ) Re[ 2Ue
时域 一 一 对 应
] Re[ 2Ue j e jt ]

第八章 相量法

第八章 相量法
I
单位 : 欧
相量图
3. 电容中的正弦电流
相量法： 从求正弦量的幅值和初相角入手，通过 引 入相量，建立相量电路模型，直接应用直流分 析方法，把在时域范围内求微分方程的问题转化 为在频域范围内求复数代数方程的问题，从而使 正弦电路的稳态解法大为简化。
(1)正弦量的相量表示法
u ( t ) U m cos( t ) Re[ U m e Re[( U m e
Im
U2 U1
U
Im
U1
U
U2
60

41 . 9
60


41 . 9
30


30

Re
Re
(2)一个正弦量乘以一个常数的运算相当于对应相量乘以常数
Au 1 ( t ) A 2 U 1 cos( t y ) Re( 2 A U 1 e 1

j t
)
(3)一个正弦量对时间求导的运算，就变成了对应相量乘以 j 的运算 di j I i I
A
C
+1
O 复数的乘法
复数的除法
C A B A B ( a b )
C
A B

A B
( a b )
e
j
1
3. 旋转因子：
任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个角. j F 例 F=F1e j 特殊： F1
j


e e
2 j
j

2
yu yi
t
(3) = 0， u与i 同相：
(4) = ( 180o ) ， u与i 反相：

第八章相量法

第八章相量法
复指数中I 是以正弦量的有效值为模，以初相为幅角的复数（复常数），它定义为正弦量的相量。计作：
=I =I i有效值相量
m=Im i幅值相量
2．向量图：相量是一个复数，它在复平面上的图形成为相量图。
3．复指数函数 I = I 的几何意义
在复指数函数 I （Re[ I ]=Re[ I ]）中，复常数 I = I i——称为旋转矢量的复振幅； ——称为旋转因子，两者相乘，表示复振幅在复平面上不断逆时针旋转的旋转矢量。正弦量的瞬时值等于对应的旋转矢量在实轴上的投影。可见相量和正弦量建立了一一对应的关系
3．正弦量的积分
设i= Icos（ t+ i）,则对电流微分有：
上式表明：正弦量的积分是同频的正弦量，其相量等于原相量 除以 ,若为n阶导数则除以（ ）n。
例题8-2已知两个正弦电流为i1=10 cos（314t+ /3）i2=22 cos（314t+5 /6），求：和、微分、积分
解： 1=10 /3 2=22 5 /6
2．复பைடு நூலகம்的乘除：化成极坐标形式，模与模相乘除，幅角相加。
§8-1 正弦量
一、正弦量
1．随时间按正弦规律变化电流和电压，统称正弦量。正弦电流在图示参考方向下，其数学表达式为：
i=Imcos（ t+ i）
若方向相反i=-Imcos（ t+ i）则初相于参考方向有关。改变参考方向，初相改变1800。
2．正弦量的三要素（频率、幅值、初相位）
（3） i—初相。正弦量在t=0时的相位，称为初相位。 i〈180o
初相与计时零点的有关
3．性质：乘以常数、求和、积分、微分等运算，应为同频率的正弦量。
二、正弦量的有效值
在工程上，将电流电压在一个周期内产生的平均效应换算成与之相等得直流量，这一直流量称为周期量的有效值；用I、U表示。

第八章 相量法

第八章 相量法

第八章相量法第一节正弦交流电路的基本概念一、讨论正弦函数的意义：1、电力工程中所用的电压、电流几乎均为正弦时间函数。

2、正弦函数是周期函数的特例，任何非正弦周期函数都可以利用傅立叶级数分解为一系列不同频率正弦函数的代数和。

3、正弦交流电路的分析和计算具有重要的理论价值和实际意义。

二、正弦量的三要素：正弦时间函数的一般表达式为：u=U m Sin(ωt+φu)，电流i= I m Sin(ωt+φi)，其中U m （I m）、ω、φu（φi）称为正弦量的三要素。

U m（I m）：正弦量的最大值，称为振幅。

它是从量的大小和变化幅度上描绘正弦量的一个要素。

ω：角频率：正弦量随时间变化的核心部分是(ωt+φu)，反映了正弦量随时间变化的进程，称为正弦量的相位角。

ω是相位角随时间变化的速率，它是反映正弦量变化快、慢的一个要素。

ω与周期T、频率f的关系为：ω=2π/T=2πf。

φ：初相角，即ω=0时正弦量的相位角。

它决定了t=0时，瞬时值的大小。

综上：正弦量的特征表现在正弦量的大小、变化的快慢、初始值三个方面，它们分别由振幅、角频率、初相角来决定。

三、两个同频率的正量之间的相位关系：当同频率的正弦激励作用于电路时，电路中各部分的电压、电流都是与电源同频率的正弦量。

比如两个同频率的正弦交流电压：u1=U1m Sin(314t+φ1) u2=U2m Sin(314t+φ2)两个正弦量ω相同，但初相角不同，因而任何瞬间相位角不同。

相位角的差：φ=(314t+φ1)- (314t+φ2)= φ1-φ2 即初相角的差。

若φ1-φ2＞0 称为u1超前于u2或u2滞后于u1。

若φ1-φ2＜0 称为u1滞后于u2或u2超前于u1。

若φ1-φ2＝0 称为u1与u2同相。

从图8-1-1可以看出它们之间的超前、滞后关系。

注意：（1）只有同频率正弦量之间超前、滞后才有意义。

（2）相位差通常用≤π的角度表示。

【实例8-1】i 1= I 1m Sin(ωt+120°) i 2= I 2m Sin(ωt-120°)则φ=φ1-φ2=120°- ( -120°)=240°所以i 1超前于i 2 240°，但常称为i 1滞后于i 2 120°。

chap8相量法(修改)

chap8相量法(修改)

cos
T 0
2
( wt y ) dt
T
0
cos 2(wt y ) 1 1 dt t 2 2
T 0
1 T 2
Im 1 2 T I Im 0.707 I m T 2 2 Im 2I
注意:只适用正弦量
i(t ) I m cos(wt y ) 2I cos(wt y )
时域列写微分方程
相量形式代数方程
相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。
四. 相量图 1. 同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中； 2. 以w 角速度反时针方向旋转；
3. 选定一个参考相量(设初相位为零)
+ UL -
选 ÙR为参考相量
IR
IC
jw L
IL
+
U
IC
u Ri di uL dt 1 u idt C

I 0 U 0
U RI
二. 电路元件的相量关系
U jwLI 1 I U jw C
三. 电路的相量模型 (phasor model ) iR jw L L + uS 时域电路
i L iC i R
di 1 L L iC dt uS dt C 1 R i R iC dt C
IR
iL
iC C
R
US
+ -
IL
1/jw C
IC
R
相量模型
I L IC I R
1 jwLI L IC US jwC 1 I RI R C jwC
1/jw C
UC R

第08章 相量法

第08章 相量法
F1 F2
F1
F1 F2
F2
+1
O
F2
3、乘法 用极坐标形式比较方便 设
F1 | F1 | 1
F2 | F2 | 2
F F2 F 1 F2 2 1 1
F F2 / 1 2 1
4、除法
F1 F2
| F1 | 1
| F2 | 2

(a1 a2 ) j(b1 b2 )
几何意义 +j
F1 F2
F1
F2
O
+1
2、减法 用代数形式进行， 设
F1 a1 j b1
F2 a2 j b2
F1 F2 (a1 j b1 ) (a2 j b2 )
几何意义
+j
(a1 a2 ) j(b1 b2 )
二、正弦量的三要素
i + 瞬时值表达式： i(t ) u -
I m cos(t i )
1、振幅Im 2、角频率ω
i(t ) I m cos(t i )
i
Im 2π π 2π ωt
正弦量在整个振荡过程中达到的最大值
反映正弦量变化的快慢 ω =d(ωt+ )/dt 单位时间内变化的角度, 单位:rad/s ωT=2π,ω=2πf , f=1/T 频率f :每秒钟完成循环的次数， 单位为赫兹（Hz） 周期T :完成一个循环变化所需 的时间,单位为秒（s）
接下来…… i(t)=Imcos( t + )
(a) 角频率 ( )
所有电压电流均以相 同角频率ω变化!!
(b) 幅值 (Im)
(c) 初相角( )
用什么可以同时表示幅 值和相位？
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④ I m = 2 I 的关系只适用正弦量。
4. 同频率正弦量的相位差(phase difference)
设
i1 2I1 cos wt i1 u2 2U 2 cos wt u 2
相位差 ：j 12 = (w t +i1)- (w t +u2)= i1- u2
F
|F|

o a
+1
②三角函数形式 F | F | (cos jsin ) ③指数形式 F | F | e j
④极坐标形式 F | F | F *——共轭复数
F a jb
| F | a 2 b 2 b arg F arctan a
a | F | cos b | F | sin
注意 同一个正弦量，计时起点不同，初相 位不同。 一般规定：|y | 。 i
y =0
o
wt
y =－/2
y =/2
频段划分
1-12 频道
名称 甚低频 符号 频率 VLF 330KHz 1KKm100Km 低频 LF 30300KHz 长波 10Km1Km 地波为 主 中频 MF 0.33MHz 中波 1Km100m 地波与 天波 高频 HF 330MHz 短波 100m10m 天波与 地波 甚高频 VHF 30300MHz 米波 超高频 UHF 0.33GHz 分米波 1m0.1m 空间波
u i 0
u
wt
④ |j12|=π ， i1 、u2反相
0
i wt
u
⑤ |j12|=π/2 ， i1 、u2正交 i 0
wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差
例 计算下列两正弦量的相位差。
(1) i1 (t ) 10cos(100π t 3π 4)
j12 3π 4 ( π 2) 5π 4
Ie
ji
I i
ji
I me I mi
相量的模表示正弦量的有效值 注意 相量的幅角表示正弦量的初相位
相量图
在复平面上表示的相量的图形
i(t ) 2Icos(ω t Ψ ) I I Ψ
f (t ) Ak cos( kwt k )
k 1
n
对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。
2. 正弦量的三要素
Im——振幅(最大值) (amplitude) imax－ imin= 2Im 峰-峰值
ω——角频率(angular frequency) ，反映正弦量变化快慢。
这样，一个复数方程可分解为2个实数方程。
例 设F1=3-j4，F2=10∠135°。求F1+F2 , 解
求复数的代数和用代数形式 F2 10135 10 cos135 j sin135 7.07 j7.07
F1 F2 3 j4 7.07 j7.07 4.07 j3.07
周期电流、电压有效值定义
物 理 意 义
直流I
R
交流 i
R
W RI T
2
W Ri (t )dt
2 0
T
1 T 2 I i (t )dt 0 T
def
有效值也称均方根值(root-meen-square，简记为 r.m.s。)
i I m cos(wt i )
I 1 T
T 0
F1 F1 F2 F2 F1 arg arg F1 arg F2 F2 F1 a1 jb1 a1 jb1 a2 jb2 F2 a2 jb2 a2 jb2 a2 jb2 a1a2 b1b2 j a2b1 a1b2 2 2 a2 b2
R 2I cos wt i w L 2I sin wt i 1 2 I sin wt i 2U s cos wt u wC
根据欧拉公式，将正弦函数用复指数函数表示： j -j j -j j e e e e e cos jsin cos sin 2 2j 1 j wt -j wt us 2U s cos wt u U sm e u U sm e u 2 1 jwt i -jwt i I me i 2I cos wt i I m e 2 di 1 jwt i 取U sme jwt u Ri 代入方程 L idt us I me dt C 1 jwt i jwt u jwt i jwt i I me U sm e RI me jwLIme jwC ju 1 U e j ji s Ie ji U s e ju RIe ji jw LIe i j Ie 1 wC R jw L j wC
重点
2. 正弦量的相量表示 任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。
us 2U s cos wt u
U s U s e U s u U sm
振幅 相量
ju
i 2I sin wt i
I
正弦量对 j u U sm e Usm 应的相量 I m u
F1 。 F2
转换为指数形式有
3.07 arg F1 F2 arctan 143 4.07 3.07 4.07 2 2 5.1 F1 F2 3.07 4.07 sin143 cos143
F1 F2 5.1143 F1 3 j4 5 53.1 0.5 188.1 0.5171.9 F2 10135 10135
π 2
j A
ejπ cos( π ) j sin( π ) 1
0
Re
j A
故+j, –j, -1 都可以看成旋转因子
A
两个复数相等： 如： F1= F2 则必须有：
Re F1 Re F2 Im F1 Im F2
或：
F 1 F2
arg F1 arg F2
13频道 以上
特高频 SHF 3-30GHz 厘米波 10cm1cm 空间波 极高频 EHF 30300GHz 毫米波 10mm1mm 空间波
波段 超长波
波长
10m-1m
空间波
传播 空间波 特性 为主
3. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
ej cos j sin
F a jb F e
*
j
F
2. 复数运算
设 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 ①加减运算 —— 采用代数形式 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) Im F2
F1+F2
Im
F1+F2
F2
F1 o 图解法 Re o
第8章
8.1 8.2 8.3 8.4
相量法
复数 正弦量 相量法的基础
电路定律的相量形式
重点：
1. 正弦量的表示、相位差 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式
§8.1
1. 表示形式
①代数形式
F a jb (j 1 为虚单位 )
Re F Im F
复数
b
+j
规定： |j12 | (180°) ① j12>0 ， i1 超前 u2 (i1 比 u2 先到达最大值)； u, i i1 u2
等于初相 位之差
j12
0
j12 wt
i1
u 2
j12
② j12<0 ， i1 滞后 u2 u, i u2
i1
0
u 2
wt i1
j12
③ j12=0 ， i1 、u2同相
θ2
arg F1F2 arg F1 arg F2
F1F2 a1 jb1 a2 jb2 a1a2 b1b2 j a1b2 a2b1
o
θ1
F1
Re
F1 | F1 | θ1 | F1 | θ1 θ2 模相除 F2 | F2 | θ2 | F2 | 角相减
单位： rad/s ，弧度/秒
i——初相位（角）(initial phase angle)
w 2 f 2 T
单位： rad ，度（°） 反映正弦量的计时起点，通常在主值范围内取值， 即 i 180 。 i 波形 T imax i=Imcos(w t+i) t φi 0 ωt imin
8.2
1. 正弦量
瞬时值表达式
正弦量
i
T
波形
i(t)=Imcos(w t+y)
正弦量为周期函数
正弦电流电路
0
f(t)=f ( t+kT )
1 f T
t
激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
研究正弦电路的意义
1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分 重要的地位。 ①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运 算后仍是同频率的正弦函数； ②正弦信号容易产生、传送和使用。 2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信号可 以分解为按正弦规律变化的分量。
5π 4 2π 3π 4
i2 (t ) 10cos(100π t π 2) (2) i1 (t ) 10cos(100π t 300 )
i2 (t ) 10sin(100 π t 150 ) (3) u1 (t ) 10cos(100π t 300 )
i2 (t ) 10cos(100πt 1050 ) j12 300 (1050 ) 1350