高中数学奥赛辅导第五讲高斯函数解析

高斯函数的性质和应用1、对x∈R，[x]表示不超过x 的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数.人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2，[1]=1，且有性质（1)任意x∈R,0≤x-[x]＜1,性质（2）[x+1]-[x]=1，性质（3）[x]＋[-x]=-1（x∈Z），定义域为R,值域为Z;不单调，无最值，无奇偶性对任意实数x，都有[x]≤x<[x]+1,x-1<[x]≤x；2、g(x)=x-[x]定义域为R,值域：[0,1)无单调性，最小值0，周期为1.例1、（多选题）高斯函数也称取整函数，记作[x]，是指不超过实数x 的最大整数，例如[6.8]=6，[-4.1]=-5，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.下列关于高斯函数y=[x]的性质叙述正确的是（ABC）A.y=[x]值域为Z B.y=[x]不是奇函数C.y=x-[x]为周期函数 D.y=[x]在R 上单调递增例2、设{x}=x-[x]，则函数f(x)=2x{x}-x-1的所有零点之和为？由f(x)=01,由图像可知，两函数除以交点（-1,0)之外，其余的交点关于点（0，1)对称，所以，函数y=f(x)的所有零点之和为-1；故答案为：-1；例3、已知函数f(x)=|x-1|(3-[x])，x∈[0,2),若f(x)=52，则x=；不等式f(x)≤x 的解集为__。

【解析】由题意，得f(x)=3−3s 0≤<12−2s 1≤<1,当0≤x<1时,3-3x=52,当1≤x<252,即x=9/4(舍),综上x=16;当0≤x<134≤x<1,当1≤x＜2时,2x-2≤x,即1≤x＜2,综上，答案为：34≤x<2；例4、高斯函数()[]f x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），若函数()2x xg x e e -=--的零点为0x ，则()0g f x =⎡⎤⎣⎦（B ）A．12e e--B．2-C．12e e--D．2212e e --例5、.设x∈R，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.已知函数f(x)=22+1，则函数y=[f(x)）]的值域为(D )A.{0,-1} B.{-1,1} C.{0,1} D.{-1,0,1}小练习：条件同上已知函数f(x)=12x 2-x+1(0<x<3)，则函数y=[f(x)]的值域为(?){0,1,2}例6、定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a 的最大整数．加强练习一、选择题1、已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点，则()0g x =()A.4 B.5 C.2D.32、函数y=[]x 叫做“取整函数”，][][][2222log 1log 2log 3log 64⎡⎤+++⋯+⎣⎦的值为()A.21B.76C.264D.6423、某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）4、我们定义函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）为“下整函数”，定义函数{}y x =（{}x 表示不小于x 的最小整数）为“上整函数”，例如[4.3]4=，[5]5=；{4.3}5=，{5}5=.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费（单位：元）()A.2[1]x + B.2([]1)x + C.2{}x D.{2}x6、已知[]y x =为高斯函数，令函数()[]f x x x =-，以下结论正确的有()A.()2.30.7f -= B.()f x 为奇函数 C.()()1f x f x += D.()f x 的值域为[]0,17、[]y x =高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”.则下列命题中正确的是()A.[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B.x ∃∈R ，[]1x x ≥+C.,x y ∀∈R ，[][][]x y x y +≤+ D.函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)8、对x ∀∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数.十八世纪,[]y x =被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数,人们更习惯称为“取整函数”,则下列命题中的真命题是()A.x ∃∈R ,[]1x x ≥+B.x ∀,y ∈R ,[][][]x y x y +≤+ C.函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[)0,1D.若t ∃∈R ,使得31t ⎡⎤=⎣⎦,42t ⎡⎤=⎣⎦,53t ⎡⎤=⋯⎣⎦,2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立,则正整数n 的最大值是5三、填空题9、由“不超过x 的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常记为[]y x =，例如[][]1.210.31=-=-，，则函数[][)21,1,3y x x =+∈-的值域为_________________.10、取整函数y=[x]，x∈R 称为高斯函数，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]=1，[-1.1]=-2.则点集P={（x，y）|[x]2+[y]2=1]所表示的平面区域的面积是?4四、解答题10、已知[]x 表示不超过x 的最大整数，称为高斯取整函数，例如[3.4]3=，[ 4.2]5-=-，不等式213x ≤+<的解集为A ，不等式2230x x -≤的解集为B .(1)求A B ；(2)已知x A ∈，正数a ，b 满足[]a b x +=，求11a b+的最小值.11、已知函数()[]f x x =.(1)记()()2h x f x x =-，[)0,3x ∈，求()h x 的解析式，并在坐标系中作出函数()h x 的图像.(2)结合(1)中的图象，解不等式()1524h x <≤直接写出结果.(3)设()3131x x g x -=+，判断()g x 的奇偶性，并求函数()()()()2y f g x f g x =+-的值域.。

高斯函数一、基本知识定义：设R x ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]x y =称为高斯函数.函数的定义域为R ,值域为Z .任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即[]α+=x x ()10<≤α,因此. [][]1+<≤x x x 。

我们称[]x 为x 的整数部分，称{}[]x x x -=为x 的小数部分。

函数{}x y =的定义域为R ，值域为[)1,0。

二、性质1. 函数[]x y =是不减函数,即当21x x ≤时,有[][]21x x ≤；2. [][]11+<≤<-x x x x ；3. [][]n x n x Z n +=+⇔∈；4. [][][]y x y x +≤+，{}{}{}y x y x +≥+； 推广：（1）[][][][]n n x x x x x x +++≤+++ 2121 （2）[][]nx x n ≤ ()N n ∈5. 若0,0≥≥y x ，则[][][]y x xy ≥；6. 若0,1>≥y x ，则[][]x y x y ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡；7. []⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x （其中*N n ∈） 8. （1）若121≥-x x ，则存在整数k ，使[][]12121x k x x k x ≤≤+⇒≤<；（2）[][][][]110212121+==⇒<-≤x x x x x x 或； （3）[][]12121<-⇒=x x x x9. [][]()[]()⎩⎨⎧∉--∈-=-Z x x Z x x x 110. [][]1,,-+=+⇒∈+∉y x y x Z y x Z y x ；11. 若整数b a ,满足r bq a += ()b r r q b <≤>0,,,0是整数，则q b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡；12. [][]x x x 221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++；13. 设1>x ，m 为正整数，则从1到x 的整数中，m 的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡m x 个；14. 设为p 任一质数，在!n 中含p 的最高乘方次数记为()!n p ，则()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m p n p n p n n p 2! ()1+<≤m m p n p例1．求!30的标准分解式。

高斯函数[x]程乐根1一、定义,[][]R x R x x y x Z ∈=1、定义：设用表示不超过的最大整数。

通常称函数为取整函数，也叫高斯函数。

显然，其定义域是，值域是。

{}=[]{}R [0,1)x x x y x x -=2、进一步，记则称函数为小数部分函数，它表示的是的小数部分，显然，其定义域是，值域是。

2二、高斯函数y=[x]的性质121212121212**,1[].[],,,[][].,[][],().,,[][][].,[][],().[],[][],().x R x x x y x x x R x x x x m Z m x m x x R x x R x x x x n N nx n x x R x x n N x R n n∀∈-<≤=∀∈≤≤∈+=+∈∈+≥+∈≥∈∈=∈性质1：性质2：函数是不减的函数，即若则性质3：若则有其中性质4：若则性质5：若则其中性质6：若则其中3二、高斯函数y=[x]的性质**23,[1,][],![][][]...n N x x xn n n N n n n np p p p∈∈+++定理1：若是正实数，则在区间中内，恰有个整数是的倍数。

定理2：：若则在的质因数分解式中，质数的指数是4三、函数y={x}的性质*{}0.,{}{},().,,,0,{}{}.x x Z m Z m x x x R m aq r m Z a N m rr a a a=∈∈+=∈=+∈∈≤<=性质1：的充要条件是性质2：若则有其中性质3：若则53[] 3.(20)x x -=例1：解方程：第届莫斯科数学竞赛题62[]lg [lg ]20995x x x x --=例2：用表示不大于实数的最大整数，方程的实根的个数是多少？（1年全国高中数学联赛试题）72004!0例3：求末尾的的个数。

811,2,2!().k n k n n --=例4：求证：当且仅当存在某个正整数使得时能整除加拿大数学奥林匹克试题9222005,[]([])[1,]n x x x x n -=-例设为一个正整数问方程在区间上有多少个解？106.[][2][4][8][16][32]12345x x x x x x +++++=例求证：方程无实数解。

高斯函数ｘ[]性质及其应用文贵双(甘肃省天水市一中㊀７４１０００)摘㊀要:高斯函数是一个有名的特殊的函数.教材以及各类考试中经常出现有关高斯函数的试题.文章列举了高斯函数的性质ꎬ举例说明高斯函数在考试中的各种应用.关键词:高斯函数ꎻ高考试题ꎻ教材中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００５１－０３收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:文贵双(１９６４.１１－)ꎬ男ꎬ甘肃省天水人ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高考试题根植于教材ꎬ但又不断创新ꎬ将教材内容与高等数学巧妙结合ꎬ成为高考㊁竞赛的热点.高斯函数就是一个好的结合点ꎬ高斯函数出现在教材的习题中ꎬ各类考试中都有高斯函数的 倩影 ꎬ此类问题新颖灵活ꎬ能更好考查学生的思维品质和数学素养.高斯函数也叫取整函数.取整函数ｘ[]表示不大于ｘ的最大整数ꎬ且由于对于任意的实数ｘꎬ对应的函数值ｘ[]都是整数ꎬ故称函数ｙ＝ｘ[]为取整函数.ｘ[]满足下面几条简单性质(１)ｘ[]是整数.(２)ｘ[]ɤｘ<ｘ[]＋１.(３)取整函数是一个不减函数ꎬ即对任意ｘ１ꎬｘ２ɪＲꎬ若ｘ１<ｘ２ꎬ则ｘ１[]ɤｘ２[](４)若ｘꎬｙɪＲꎬ则ｘ[]＋ｙ[]ɤｘ＋ｙ[]ɤｘ[]＋ｙ[]＋１(５)若ｎ是正整数ꎬｘɪＲꎬ则ｎｘ[]ȡｎｘ[](６)若ｍ是整数ꎬ则ｘ＋ｍ[]＝ｘ[]＋ｍꎬｙ＝ｘ[]的图象如图１所示.其图象是一组阶高为１的平行与ｘ轴的线段ꎬ不包括右端点ꎬ这组平行线段成阶梯状ꎬ故取整函数亦称阶梯函数.而函数ｆ(ｘ)＝ｘ－ｘ[]称为ｘ的非负纯小数部分ꎬ并用 ｘ{} 表示.任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和ꎬ即:ｘ＝ｘ[]＋ｘ{}ꎬ其中ｘ{}ɪ[０ꎬ１)称为小数部分函数.ｆ(ｘ)＝ｘ－ｘ[]图象如图２所示ꎬ是一个周期函数.高斯函数ｘ[]是一个非常有趣的数论函数ꎬ在许多数学分支中都有广泛的应用ꎬ在高中数学竞赛和高考试题中也经常出现与高斯函数有关的试题.由于高斯函数ｘ[]性质不如初等函数(利如二次函数ꎬ指数函数㊁对数函数㊁三角函数)多ꎬ使用起来不方便.所以涉及取整函数ｘ[]的题目ꎬ有其特殊的技巧ꎬ下面举例说明其解法.㊀㊀一㊁有关高斯函数求值题例１㊀Ｓｎ为等差数列{ａｎ}的前ｎ项和ꎬ且ａ１＝１ꎬＳ７＝２８.记ｂｎ＝[ｌｇａｎ]ꎬ其中[ｘ]表示不超过ｘ的最大整数ꎬ如[０.９]＝０ꎬ[ｌｇ９９]＝１.(１)求ｂ１ꎬｂ１１ꎬｂ１０１ꎻ(２)求数列{ｂｎ}的前１０００项和.解㊀(１)设ａｎ{}的公差为ｄꎬＳ７＝７ａ４＝２８ꎬ由ａ４＝４ꎬ得ｄ＝ａ４－ａ１３＝１ꎬａｎ＝ａ１＋(ｎ－１)ｄ＝ｎ.故ｂ１＝ｌｇａ１[]＝ｌｇ１[]＝０ꎬｂ１１＝ｌｇａ１１[]＝ｌｇ１１[]＝１ꎬｂ１０１＝ｌｇａ１０１[]＝ｌｇ１０１[]＝２.(２)记ｂｎ{}的前ｎ项和为Ｔｎꎬ则Ｔ１０００＝ｂ１＋ｂ２＋ ＋ｂ１０００＝ｌｇａ１[]＋ｌｇａ２[]＋ ＋ｌｇａ１０００[].当０ɤｌｇａｎ<１时ꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ９ꎻ当１ɤｌｇａｎ<２时ꎬｎ＝１０ꎬ１１ꎬ ꎬ９９ꎻ当２ɤｌｇａｎ<３时ꎬｎ＝１００ꎬ１０１ꎬ ꎬ９９９ꎻ当ｌｇａｎ＝３时ꎬｎ＝１０００.故Ｔ１０００＝０ˑ９＋１ˑ９０＋２ˑ９００＋３ˑ１＝１８９３例２㊀求ｌｏｇ２１[]＋ｌｏｇ２２[]＋ｌｏｇ２３[]＋ ＋ｌｏｇ２２０１２[]的值.解㊀ｌｏｇ２１[]＝０ꎬｌｏｇ２２[]＝１ꎬｌｏｇ２３[]＝１ꎬｌｏｇ２４[]＝ｌｏｇ２５[]＝ｌｏｇ２６[]＝ｌｏｇ２７[]＝２ꎬ当２ｋɤｎ<２ｋ＋１时ꎬｌｏｇ２ｎ[]＝ｋꎬｋꎬｎ是自然数ꎬ故有:１５原式＝０＋１ˑ(２２－２)＋２ˑ(２３－２２)＋ ＋９ˑ(２１０－２９)＋１０ˑ(２０１２－１０２３)＝１ˑ２＋２ˑ２２＋３ˑ２３＋ ９ˑ２９＋９８９０＝８１９４＋９８９０＝１８０８４评注例１ꎬ例２不需要什么技巧ꎬ只要理解取整函数的概念即可解决问题.㊀㊀二㊁有关高斯函数图象题例３㊀已知ｘɪＲꎬ若函数ｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ－ａꎬ(ｘʂ０)有且有３个零点ꎬ则ａ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.３４ꎬ４５æèç]ɣ４３ꎬ３２[öø÷㊀㊀Ｂ.３４ꎬ４５[]ɣ４３ꎬ３２[]Ｃ.１２ꎬ２３æèç]ɣ５４ꎬ３２[öø÷Ｄ.１２ꎬ２３[]ɣ５４ꎬ３２[]图３解㊀ｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ－ａ的零点ꎬ就是方程ｘ[]＝ａｘꎬ(ｘʂ０)的根ꎬ即为函数ｙ＝ｘ[]ꎬｙ＝ａｘꎬ(ｘʂ０)交点的横坐标.作出两函数图象可知选Ａ.例４㊀已知ｘɪＲꎬ符号ｘ[]表示不超过ｘ的最大整数.若函数ｆ(ｘ)＝ｘ－ｍ[]ｘ－ｍꎬ其中ｍɪＮ∗ꎬ则给出以下四个结论其中正确的是(㊀㊀).Ａ.函数ｆ(ｘ)在ｍ＋１ꎬ＋¥()上的值域为１２ꎬ１æèç]Ｂ.函数ｆ(ｘ)图象关于直线ｘ＝ｍ对称Ｃ.函数ｆ(ｘ)在ｍꎬ＋¥()是减函数Ｄ.函数ｆ(ｘ)在ｍ＋１ꎬ＋¥()上的最小值为１２.图４解㊀函数ｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ中ꎬ当０<ｘ<１时ꎬｆ(ｘ)＝０ꎻ当１ɤｘ<２时ꎬｆ(ｘ)＝１ｘꎻ当２ɤｘ<３时ꎬｆ(ｘ)＝２ｘꎻ 函数ｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ在(０ꎬ＋¥)值域是１２ꎬ１æèç]ꎬ将函数ｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ的图象向右平移ｍ个单位得到ｆ(ｘ)＝ｘ－ｍ[]ｘ－ｍ的图像ꎬ故选Ａ.评注㊀熟练地掌握函数ｙ＝ｘ[]ꎬｆ(ｘ)＝ｘ－ｘ[]ꎬｆ(ｘ)＝ｘ[]ｘ的图像ꎬ由图定夺.㊀㊀三㊁有关高斯函数方程题例５㊀解方程５＋６ｘ８[]＝１５ｘ－７５解㊀令１５ｘ－７５＝ｎ(ｎɪＺ)ꎬ则ｘ＝５ｎ＋７１５ꎬ代入原方程得:１０ｎ＋３９４０[]＝ｎꎬ由取整函数的定义有０ɤ１０ｎ＋３９４０－ｎ<１ꎬ解得:－１３０<ｎɤ１３１０ꎬ则ｎ＝０ꎬ１.当ｎ＝０时ꎬ则ｘ＝７１５ꎻ当ｎ＝１时ꎬ则ｘ＝４５.例６㊀解方程１＋ｘ２[]＋３－２ｘ[]＝２解㊀设１＋ｘ２[]＝ｎꎬ３－２ｘ[]＝ｍꎬ则原方程ｎ＋ｍ＝２ꎬ且有ｎɤ１＋ｘ２<ｎ＋１ꎬｍɤ３－２ｘ<ｍ＋１ꎬ即２ｎ－１ɤｘ<２ｎ＋１ꎬ１－ｍ２<ｘɤ３－ｍ２ꎬ结合这两个不等关系ꎬ得１－ｍ２<２ｎ＋１２ｎ－１ɤ３－ｍ２ìîíïïïïꎬ即－ｍ<４ｎ４ｎ<５－ｍ{ꎬ又ｍ＝２－ｎꎬ解得ｎ＝０ꎬｎ＝１ꎬ进而可得ｎ＝０ｍ＝２{ꎬｎ＝１ｍ＝１{ꎬ得到方程的解为０<ｘɤ１２与ｘ＝１.评注㊀型如ａｘ＋ｂ[]＝ｃｘ＋ｄ或ａｘ＋ｂ[]＋ｃｘ＋ｄ[]＝ｅ的方程通常利用取整函数的定义与性质ꎬ结合换元法求解.㊀㊀㊀四㊁有关高斯函数的数列题例７㊀记[ｘ]为不超过实数ｘ的最大整数ꎬ例如ꎬ[２]＝２ꎬ[１.５]＝１ꎬ[－０.３]＝－１.设ａ为正整数ꎬ数列ｘｎ{}满足ｘ１＝ａꎬｘｎ＋１＝[ｘｎ＋[ａｘｎ]２](ｎɪＮ∗)ꎬ现有下列命题:①当ａ＝５时ꎬ数列ｘｎ{}的前３项依次为５ꎬ３ꎬ２ꎻ②对数列ｘｎ{}都存在正整数ｋꎬ当ｎȡｋ时总有ｘｎ＝ｘｋꎻ③当ｎȡ１时ꎬｘｎ>ａ－１ꎻ④对某个正整数ｋꎬ若ｘｋ＋１ȡｘｋꎬ则ｘｎ＝[ａ].其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)解㊀当ａ＝５时ꎬｘ１＝ａ＝５ｘ２＝５＋５５２＝３ꎬｘ３＝２５[３＋[５３]２]＝２ꎬ故①正确ꎻ当ａ＝１时ꎬｘ１＝１ꎬｘ２＝ｘ３＝ ＝ｘｎ＝１ꎬ但当ａ＝３时ꎬｘ１＝３ꎬｘ２＝２ꎬｘ３＝１ꎬｘ４＝２ꎬｘ５＝１ꎬｘ６＝２ꎬｘ７＝１ꎬ ꎬ此时可以看出数列ｘｎ{}ꎬ从第二项起是以２为周期重复出现ꎬ不存在正整数ｋꎬ使得当ｎȡｋ时总有ｘｎ＝ｘｋꎬ故②不正确.对于③ꎬｘ１＝ａ>ａ－１成立ꎬ因ｘｎ是整数ꎬ故若ｘｎ＋ａｘｎ[]是正奇数ꎬ则ｘｎ＋１＝ｘｎ＋ａｘｎ[]－１２>ｘｎ＋ａｘｎ－２２ȡ２ａ－１２>ａ－１ꎬ若ｘｎ＋ａｘｎ[]是正偶数ꎬｘｎ＋１＝ｘｎ＋ａｘｎ[]２>ｘｎ＋ａｘｎ－１２ȡ２ａ－１２>ａ－１.综上知③正确.对于④ꎬ由ｘｋ＋１ȡｘｋ得ａｘｋ[]－ｘｋȡ０ꎬａｘｋ－ｘｋȡａｘｋ[]－ｘｋȡ０ꎬｘｋɤａꎻ结合③有ａ－１<ｘｋɤａꎬ因此有ｘｋ＝ａ[]ꎬ④正确.综上知真命题是①③④.评注㊀本题借用取整函数ꎬ构造一个新数列ꎬ主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力.本题是取整函数(高斯函数)与数列二者交汇而成ꎬ设计新颖ꎬ构思精妙ꎬ难度较大.解此类题的关键是理解函数ｘ[]的意义.㊀㊀参考文献:[１]蒋孝国.数学竞赛中的高斯函数[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１５(１９):４５－４８.[责任编辑:李㊀璟]点差法的基本原理及其在高考数学中的简单应用武增明(云南省玉溪第一中学㊀６５３１００)摘㊀要:本文给出点差法的基本原理和点差法的简单应用ꎬ与同仁及同学们共飨.关键词:点差法ꎻ圆锥曲线ꎻ解题研究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００５３－０３收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:武增明(１９６５.５－)ꎬ男ꎬ云南省玉溪市易门人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁点差法的基本原理在研究直线被圆锥曲线截得中点弦问题时ꎬ设出弦端点坐标ꎬ并分别代入圆锥曲线方程得两式ꎬ将其两式相减ꎬ可得弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式ꎬ这种解题方法叫做点差法.如ꎬ圆锥曲线ｍｘ２＋ｎｙ２＝１(ｍꎬｎɪＲꎬ且ｍʂ０ꎬｎʂ０ꎬ)上两点ＰꎬＱꎬ设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ弦ＰＱ的中点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ弦ＰＱ的斜率为ｋꎬ则ｍｘ２１＋ｎｙ２１＝１ꎬ①ｍｘ２２＋ｎｙ２２＝１ꎬ②{由①－②ꎬ得ｍ(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)＋ｎ(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)＝０ꎬ又ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝ｋ(ｘ１ʂｘ２)ꎬ于是ｍｘ０＋ｎｋｙ０＝０ꎬ这一等式建立了圆锥曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式.㊀㊀二㊁点差法的简单应用与弦中点相关的问题有三种ꎬ一是平行弦的中点轨迹ꎻ二是过定点的弦的中点轨迹ꎻ三是过定点且被定点平分的弦所在直线方程.其他问题都是由这三类问题衍生出来的.１.已知弦中点坐标简求弦所在直线方程此类问题是点差法的最基本的简单应用.例１㊀(２００２年高考江苏卷 文理２０)设ＡꎬＢ是双曲线ｘ２－ｙ２２＝１上的两点ꎬ点Ｎ(１ꎬ２)是线段ＡＢ的中点.３５。

浅析简单的高斯方程的解法广东省深圳市建文中学高中数学老师欧阳文丰一、知识概念介绍1、高斯函数的表示； [x]表示不超过x的整数部分,{x}表示x的小数部分。

2、高斯函数的基本性质；性质1： [x]≤x＜[x]+1 x-1＜[x] ≤x 0≤{x}<1性质2: [n+x]=n+[x],x为实数, n为整数性质3:{x+n}={x}, n为整数性质4:X= [x] + ｛χ｝3、简单的高斯方程；是指含有[x]表示不超过x的整数部分,{x}表示x的小数部分的简单方程。

求解简单的含高斯函数方程就是利用以上的性质进行转化来求解方程的未知数的值。

二、例题学习例1、解方程:[x]-4{x}=3,其中:[x]表示不超过x的整数部分,{x}表示x的小数部分。

解：把[x]-4{x}=3整理变形得：[x]= 4{x}+3因为0≤{x}<1，所以3≤4{x}+3＜7即3≤ [x] ＜7 [x] =3, 4, 5, 6。

(1)、当[x] =3时, 代入原方程得:3- 4{x}=3, 解得： {x}=0；所以x= [x] + {x}=3+0=3(2)、当[x] =4时, 代入原方程:4- 4{x}=3, 解得： {x}=；所以x= [x] + {x}=4+=(3)、当[x] =5,代入原方程: 5- 4{x}=3, 解得： {x}=； 所以x= [x] + {x}=5+=5. 5(4)、当[x] =6时,代入原方程得: 6- 4{x}=3, 解得：{x}=； 所以x= [x] + {x}=6+=综上所述， 方程[x]-4{x}=3 的解有四个， 分别为：x=3, , 5. 5, 。

例2、符号[X]表示不超过X 的最大整数.{X}表示X 的正的小数部分,求方程2[X]+5{X}+3=0的解 。

解： 由2[X]+5{X}+3=0得：{X}=(-3-2 [X]) ÷5因为0≤{x}<1 所以0≤ (-3-2 [X]) ÷5 ＜1解以上关于[X]的不等式得：≥ [X] ＞-4故[X]=-2, -3。

高一专属课程——配套课程讲义
第五讲 高斯函数
【例题】
例1. 求方程[]2870x x -+= 的所有解．
例2. 已知m ，n 是任意的非负整数．证明若规定0!1=，则
()()()2!2!!!!
m n m n m n + 是整数．
例3. 设正实数1a >，自然数2n ≥，且方程[]ax x =恰有n 个不同的解．试求a 的取值范围．
例4. []a 表示不大于数a 的最大整数，例如1=，2⎡=-⎣．那么方程[]13122x x +=-的所有根的和是多少？．
例5. 解方程[]{}{}210x x x x +=+．
例6. 求方程10011!2!10!x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
的整数解．
例7. 对每一正整数n ，证明===．
例8. 若x 为正实数，n 为正整数．证明[][][][][]23123x x x nx nx n ≥
++++．
例9. 试求出最大的正数c ，对于每个自然数n ，均有{c n ≥．确定使{c n =的自然数n ．（这里{
⎡=⎣，[]x 表示x 的整数部分）．
例10. 已知α是方程2198910x x --= ①的正根．证明存在无穷多个自然数n ，满足方程
[]()[]21989198919891n n n n αααα⎡⎤+=++⎣⎦ ②．。

作者： 穆德华
作者机构： 昭通地区一中
出版物刊名： 昭通学院学报
页码： 74-83页
主题词： 高斯函数 数学竞赛 中学数学教师 数论函数 取整函数 解题技巧 竞赛试题 辅导讲座 整数集 文介
摘要： 高斯函数又称取整函数,是一个非常重要的数论函数,与它相关的问题在目前国内外数学竞赛试题中频繁出现。

作为参加数学竞赛的选手,要获取优异成绩,掌握一些高斯函数的基础知识和解题技巧是十分必要的,因此高斯函数也就成为许多中学数学教师关注的一个重要课题。

本文介绍几类有关高斯函数的问题的解法技巧。

高斯函数公式
高斯(Gaussian)函数是指满足下列一元二次方程的函数：
y (x) = ae^(-bx^2)
其中，a，b为常数。

更深入的说，高斯函数是一种随机变量的概率分布，它描述了满足正态性质的随机变量的概率分布，这种性质可以从高斯分布曲线中清楚地看出。

高斯函数具有众多的应用，广泛应用于统计学、物理学、信号处理、机器学习、数字图像处理等各个领域。

在机器学习中，经常用到高斯函数，例如：机器学习算法中的高斯核函数，表示两个输入点之间的相似程度。

在聚类分析和分类分析中，要求输入点的相似程度，以便更好地聚类分析和分类分析。

除此之外，高斯函数还常被用作信号滤波器、模糊处理器等。

此外，高斯函数也能应用于有监督式和无监督式学习，可以帮助人们找出相关的数据和特征，从而更好的理解决策的背后的原因。

总的来说，高斯函数是一种非常有用的数学函数，广泛地应用在各个领域，具有着广泛的应用前景。

无论是分析问题，理解数据，还是从数据中寻找出新的解决方案，高斯函数都是一个极好的工具。