高三数学专练20

利用多出来的一个月，多多练习，提升自己，加油！ 一、选择题：(每题5分，共60分)1．已知a 为不等于零的实数，那么集合{}R x x a x x M ∈=++-=,01)1(22的子集的个数为A ．1个B ．2个C ．4个D ．1个或2个或4个2．函数x x y cot tan -=的最小正周期是A ．2π B ．π C ．2π D ．3π 3．已知关于x 的不等式b xax ≥+的解集是[-1，0）则a +b = A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．34．过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若AB =4，则满足条件的直线l 有A ．2条B ．3条C ．4条D ．无数条 5．若向量d a c b a b c a d 与则,)()(⋅⋅-⋅⋅=的夹角是A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 6．设a 、b 是两条异面直线，P 是a 、b 外的一点，则下列结论正确的是A ．过P 有一条直线和a 、b 都平行；B ．过P 有一条直线和a 、b 都相交；C ．过P 有一条直线和a 、b 都垂直；D ．过P 有一个平面和a 、b 都垂直。

7．互不相等的三个正数321,,x x x 成等比数列，且点P 1（，，)log ,(log )log ,log 22211y x P y x b a b a )log ,(log 333y x P b a 共线 )1,0,10(≠>≠>b b a a 且且则1y ，成32,y yA ．等差数列，但不等比数列；B ．等比数列而非等差数列C ．等比数列，也可能成等差数列D ．既不是等比数列，又不是等差数列8．若从集合P 到集合Q={}c b a ,,所有的不同映射共有81个，则从集合Q 到集合P 可作的不同映射共有A ．32个B ．27个C ．81个D ．64个9．对于函数⎩⎨⎧<≥=时当时当x x xx x xx f cos sin cos cos sin sin )(给出下列四个命题：①该函数的值域为[-1，1]②当且仅当;1,)(22该函数取得最大值时z k k x ∈+=ππ③该函数是以π为最小正周期的周期函数； ④当且仅当0)(,)(2322<∈+<<+x f z k k x k 时ππππ 上述命题中错误命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．已知等差数列{}{}121211,,++==n n n n b a b a b a 且各项都是正数和等比数列，那么，一定有A．1111.++++≥≤n n n n b a B b a C 、1111.++++>>n n n n b a D b a二、填空题：(每題4分，共16分)11、若31)3tan(,53)tan(=-=+πy y x ,则)3tan(π+x 的值是 .12、不等式xx m 22+≤对一切非零实数x 恒成立 , 则m 的取值范围是 .13、如图，底面ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD =AD , 则PA 与BD 所成的角等于 .14、若函数)3(log )(2+-=kx x x f k 在区间⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-2,k 上是减函数，则实数k 的取值范围是 。

3．在平行四边形ABCD 60，AD ，若P 是平0xAB y AD PA ++=(,x y ∈在以A 为圆心，||BD 为半径的圆上时，实数．22421x y xy ++= 21xy -= 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF =的点的直线与抛物线交于点，且在轴上截得弦长为4，设该动圆圆心的轨迹为曲线．(Ⅰ)求曲线C 方程；(Ⅱ)设点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P ，Q ，求APQ △面积的最小值及此时点A 的坐标．8．如图，已知点1F ，2F 是椭圆1C ：2212x y +=的两个焦点，椭圆2C ：222x y λ+=经过点1F ，2F ，点P 是椭圆2C 上异于1F ，2F 的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆1C 的交点分别是A ，B 和C ，D ．设AB ，CD 的斜率分别为k ，k '．(Ⅰ)求证kk '为定值； (Ⅱ)求||||AB CD 的最大值．9．在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，D 为垂足，点M 在线段PD 上，且||2||DP DM =，点P 在圆上运动．(1)求点M 的轨迹方程；(2)过定点(1,0)C -的直线与点M 的轨迹交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在N ，使NA NB 为常数，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．121244x x kx x b+==-，且112k y ==01)(1)y x - 是椭圆2C 上的点，故212()x x +4[4|||CD =当且仅当k =±|||CD 的最大值等于00(,)P x y 2x y ∴+(Ⅱ)假设存在．当直线1+212212k x x k -=+1(NA NB x ∴=-412k+11NA NB 是与k 202n ∴+= 74n ∴=-即(4N -此时1516NA NB =-则1516NA NB =-综上所述，在x 轴上存在定点，使NA NB 为常数．。

高三数学专项训练：排列与组合练习题一、选择题1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（）A．81 B．64 C．14 D．122．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )A.324B.328C. 360D.6483．A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法共有（）A．60种 B．48种 C．36种 D．24种4．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法的种数是（）A．360 B．288 C．216 D．965．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A．12种 B．10种 C．9种 D．8种6．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，从中任选1人参加某项活动，则不同选法种数为（）（A）60 （B）12 （C）5 （D）57．从10名大学生中选3个人担任乡村干部，则甲、丙至少有1人入选，而乙没有入选的不同选法的种数为（）A． 85 B． 56 C． 49 D． 288．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（）A. 24种B. 36种C. 38种D. 108种9．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙不能排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A）36种（B）42种(C)48种（D）54种10．有6人被邀请参加一项活动，必然有人去，去几人自行决定，共有（）种不同去法A. 36种B. 35种C. 63种D. 64种11．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）A． 6种B． 12种C． 30种D． 36种12．从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有（）A．240种 B．280种 C． 96种 D．180种13．2位教师与5位学生排成一排，要求2位教师相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A. 480种B.720种C. 960种D.1440种14．4名运动员报名参加3个项目的比赛，每人限报一项，不同的报名方法有（A）43种（B）34种（C）34A种（D）34C种15．从9名学生中选出4人参加辩论赛，其中甲、乙、丙三人至少有两人入选的不同选法的种数为（）A．36 B．51 C．63 D．9616．今有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，现从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有A.1260种B.2025种C.2520种D.5054种17．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有 ( )A．16种 B．36种 C．42种 D．60种18．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )A．140种 B． 120种 C． 35种 D． 34种19．有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有（）不同的装法.A．240 B．120 C．600 D．36020．有11名学生,其中女生3名,男生8名,从中选出5名学生组成代表队,要求至少有1名女生参加,则不同的选派方法种数是 ( )A.406B.560C.462D.15421．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的种数为（）A．5 B．80 C．105 D．21022．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为A．85B．56 C．49 D．2823．某班乒乓球队9名队员中有2名是校队选手，现在挑5名队员参赛，校队必须选，那么不同的选法共有（）种.A）126；B）84；C）35；D）21；24．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有（）Ａ．18种Ｂ．24种Ｃ．45种Ｄ．90种25．某班级有一个8人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余5人座位不变，则不同的调整方案的种数有（）A．56B．112C．336D．16826．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种B．48种C．96种D．192种27．平面上有5个点,其中任何3个点都不共线,那么可以连成的三角形的个数是( ) A.3 B.5 C.10 D.2028．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（）A．2264C C B C．336A D．36C29．某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A.14B.24C.28D.4830．有5盆互不相同的玫瑰花，其中黄玫瑰2盆、白玫瑰2盆、红玫瑰1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆白玫瑰不能相邻，则这5盆玫瑰花的不同摆放种数是（）A、120 B、72 C、12 D、3631．从6人中选4人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且在这6人中甲、乙不去哈尔滨游览，则不同的选择方案共有A.300种B.240种C.144种D.96种32．将4个不同的球放入3个不同的盒中，每个盒内至少有1个球，则不同的放法种数为（）（A）24 （B）36 （C）48 （D）9633．现安排5名同学去参加3个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案个数为（）（A）72 （B）114 （C）144（D）150 34．某人有3个不同的电子邮箱，他要发5个电子邮件，发送的方法的种数（）A . 8 B. 15 C. 243 D. 12535．7名志愿者安排6人在周六，周日两天参加社区公益活动若每天安排3人，则不同的安排方案共有（）Ａ．280种Ｂ．140种Ｃ．360种Ｄ．300种36．某班级要从4名男生、2名女生中选4人接受心理调查，如果要求至少有1名女生，那么不同的选法种数为（）A．14 B．24 C．28 D．4837．某节目表有6个节目，若保持其相对顺序不变，在它们之间再插入2个小品节目，且这2个小品在表中既不排头也不排尾，那么不同插入方法有（）A. 20种B. 30种C. 42种D. 56种38．现从甲、乙、丙等6名学生中安排4人参加4×100m接力赛跑。

高三数学专题练习题【题目一】已知集合$A=\{x|x^2-2x>5\}$，集合$B=\{y|y^2+y-12>0\}$，求集合$(A\cup B)\cap B^C$。

【解答一】首先，我们来求解集合$A$和$B$。

给定不等式$x^2-2x>5$，我们可以将其转化为$x^2-2x-5>0$，进一步因式分解为$(x-5)(x+1)>0$。

然后，我们可以通过建立数表或绘制数轴进行分析，最终得到$x<-1$或$x>5$。

类似地，我们可以解得集合$B$为$y<-4$或$y>3$。

接下来，我们来求解$(A\cup B)\cap B^C$，其中$B^C$表示集合$B$的补集，即$B^C=\{y|y\leq-4\text{或}y\geq3\}$。

首先，求解$A\cup B$，即找出同时属于集合$A$或属于集合$B$的元素。

由于$A$中的元素范围是$x<-1$或$x>5$，而$B$中的元素范围是$y<-4$或$y>3$，因此$A\cup B$的元素范围是$x<-1$或$x>5$，$y<-4$或$y>3$。

然后，我们在$B^C$的基础上再求解$(A\cup B)\cap B^C$，即找出同时属于$(A\cup B)$和$B^C$的元素。

根据前面的分析，我们可以得到$(A\cup B)\cap B^C$的元素范围是$x<-1$或$x>5$，$-4\leq y\leq3$。

综上所述，集合$(A\cup B)\cap B^C$的元素范围是$x<-1$或$x>5$，$-4\leq y\leq3$。

【题目二】已知函数$f(x)=\frac{2x}{x-1}$，求函数$f(x)$的反函数。

【解答二】要求一个函数的反函数，首先需要让函数是双射的，即函数是一一对应的。

我们来分析函数$f(x)=\frac{2x}{x-1}$的定义域。

高三数学练习题库一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 已知等差数列{an}的前三项依次为2，5，8，则该数列的公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3的最小值为（）A. -1B. 0C. 1D. 24. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, -4)，则向量a与向量b的夹角的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/55. 圆x^2 + y^2 - 6x - 8y + 24 = 0的圆心坐标为（）A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (3, -4)D. (-3, 4)6. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，若f(a) = 0，则a的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 27. 直线x + 2y - 3 = 0与圆x^2 + y^2 = 9的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 重合8. 已知等比数列{bn}的前三项依次为3，9，27，则该数列的公比q为（）A. 2B. 3C. 4D. 59. 函数f(x) = ln(x)的定义域为（）A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. (-∞, 0) ∪ (0, +∞)10. 抛物线y^2 = 4x的准线方程为（）A. x = -1B. x = 1C. x = 0D. y = -1二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，若f(1) = 0，则f'(1)的值为______。

2. 已知等差数列{an}的前n项和为S_n，若S_5 = 55，则a_3的值为______。

3. 已知向量a = (2, -3)，向量b = (-4, 6)，则向量a与向量b的点积为______。

高三数学练习题及答案一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x + 3，那么f(1)的值为（）。

A. 1B. 5C. 1D. 52. 若|a| = 5，则a的值为（）。

A. 5 或 5B. 0C. 5D. 53. 下列函数中，奇函数是（）。

A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = 1/x4. 在等差数列{an}中，若a1 = 1，a3 = 3，则公差d为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数z满足|z 1| = |z + 1|，则z在复平面上的对应点位于（）。

A. 实轴上B. 虚轴上C. 原点D. 不在坐标轴上二、填空题1. 已知等差数列{an}的通项公式为an = 3n 2，则第7项的值为______。

2. 若向量a = (2, 3)，向量b = (4, 1)，则2a 3b = ______。

3. 不等式2x 3 > x + 1的解集为______。

4. 二项式展开式(a + b)^10中，含a^3b^7的项的系数为______。

5. 在三角形ABC中，a = 5, b = 8, sinA = 3/5，则三角形ABC的面积为______。

三、解答题1. 讨论函数f(x) = x^3 3x在区间(∞, +∞)上的单调性。

2. 设函数f(x) = (1/2)^x 2^x，求f(x)的单调递减区间。

3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = 2n^2 + n，求该数列的通项公式。

4. 在△ABC中，a = 10, b = 15, C = 120°，求sinA和cosA的值。

5. 解三角形ABC，已知a = 8, b = 10, sinB = 3/5。

6. 已知函数f(x) = x^2 + ax + 1在区间[1, 3]上的最小值为3，求实数a的值。

7. 设函数f(x) = x^2 2x + c，讨论函数在区间[0, 3]上的最大值和最小值。

1．抛物线x 2＝12y 的焦点到准线的距离是( )A ．2B ．1 C.12 D.14 2．过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y3．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0，1)，则a ＝( )A ．1 B.12 C ．2 D.144．若抛物线y 2＝2px 上一点P(2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝6xC ．y 2＝8xD ．y 2＝10x5．已知点A(－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－126．若抛物线y 2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36xD ．y 2＝8x 或y 2＝32x7．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．88．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2 C.115 D ．39．点A 是抛物线C 1：y 2＝2px(p>0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( )A. 2B. 3C. 5D. 610．设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|＝5，若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x11．已知抛物线y 2＝2px(p>0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )A ．± 3B ．±1C ．±34D ．±3312．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k BC ＋1k CA＝( )A ．0B ．1C ．2D ．2p13．经过抛物线y 2＝8x 的焦点和顶点且与其准线相切的圆的半径为________．14．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF|＝________．15．已知定点Q(2，－1)，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，动点P 为抛物线上任意一点，当|PQ|＋|PF|取最小值时，P 的坐标为________．16.右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．17．抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为513，求此抛物线方程．18．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，圆O：x2＋y2＝1.(1)若抛物线C的焦点F在圆上，且A为C和圆O的一个交点，求|AF|；(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相交于点M，N，求|MN|的最小值及相应p的值．1．抛物线x 2＝12y 的焦点到准线的距离是( )A ．2B ．1 C.12 D.14答案 D 解析 抛物线标准方程x 2＝2py(p>0)中p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又p ＝14，故选D.2．过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y答案 A 解析 设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P(－2，3)，解得k ＝－92， m ＝43，∴y 2＝－92x 或x 2＝43y ，选A.3．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0，1)，则a ＝( )A ．1 B.12 C ．2 D.14答案 D 因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为(0，14a )，则有14a ＝1，a ＝14， 4．若抛物线y 2＝2px 上一点P(2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝6xC ．y 2＝8xD ．y 2＝10x答案 C 解析 ∵抛物线y 2＝2px ，∴准线为x ＝－p2.∵点P(2，y 0)到其准线的距离为4， ∴|－p2－2|＝4.∴p ＝4，∴抛物线的标准方程为y 2＝8x.5．已知点A(－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12答案 C 解析 因为点A 在抛物线的准线上，所以－p2＝－2，所以该抛物线的焦点F(2，0)，所以k AF ＝3－0－2－2＝－34. 6．若抛物线y 2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36xD ．y 2＝8x 或y 2＝32x答案 C 解析 因为抛物线y 2＝2px(p>0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ，则P(x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F(p2，0)的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p2＝10 ①.因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0 ②.由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x.7．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)，由|AB|＝42，|DE|＝25，可取A(4p ，22)，D(－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2 C.115 D ．3答案 B 解析 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF|，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2，故选B.9．点A 是抛物线C 1：y 2＝2px(p>0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( )A. 2B. 3C. 5D. 6 答案 C解析 求抛物线C 1：y 2＝2px(p>0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的交点为⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝b a x ，解得⎩⎨⎧x ＝2pa 2b 2，y ＝2pa b ，所以2pa 2b 2＝p 2，c 2＝5a 2，e ＝5，故选C.10．设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|＝5，若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案 C 解析 方法一：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x 0＋p2＝5，则x 0＝5－p 2. 又点F 的坐标为(p 2，0)，所以以MF 为直径的圆的方程为(x －x 0)(x －p2)＋(y －y 0)y ＝0.将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0，即y 022－4y 0＋8＝0，所以y 0＝4. 由y 02＝2px 0，得16＝2p(5－p2)，解之得p ＝2或p ＝8. 所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x.故选C.方法二：由已知得抛物线的焦点F(p2，0)，设点A(0，2)，抛物线上点M(x 0，y 0)， 则AF →＝(p 2，－2)，AM →＝(y 022p，y 0－2)．由已知得，AF →·AM →＝0，即y 02－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M(8p ，4)．由抛物线定义可知：|MF|＝8p ＋p2＝5.又p>0，解得p ＝2或p ＝8，故选C.11．已知抛物线y 2＝2px(p>0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )A ．± 3B ．±1C ．±34D ．±33答案 A 解析 设M(x M ，y M )，由抛物线定义可得|MF|＝x M ＋p 2＝2p ，解得x M ＝3p2，代入抛物线方程可得y M ＝±3p ，则直线MF 的斜率为y M x M －p 2＝±3pp ＝±3，选项A 正确．12．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k BC ＋1k CA＝( )A ．0B ．1C ．2D ．2p 答案 A解析 设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，F(p 2，0)，则(x 1－p 2，y 1)＋(x 2－p 2，y 2)＋(x 3－p2，y 3)＝(0，0)，故y 1＋y 2＋y 3＝0.∵1k AB ＝x 2－x 1y 2－y 1＝12p （y 22－y 12）y 2－y 1＝y 2＋y 12p ，同理可知1k BC ＝y 3＋y 22p ，1k CA ＝y 3＋y 12p ，∴1k AB ＋1k BC ＋1k CA ＝2（y 1＋y 2＋y 3）2p＝0. 13．经过抛物线y 2＝8x 的焦点和顶点且与其准线相切的圆的半径为________． 答案 3 解析 圆心是x ＝1与抛物线的交点．r ＝1＋2＝3.14．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF|＝________．答案 43解析 设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝233.设P(x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF|＝|PA|＝y 0＋1＝43. 15．已知定点Q(2，－1)，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，动点P 为抛物线上任意一点，当|PQ|＋|PF|取最小值时，P 的坐标为________．答案 (14，－1)解析 设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，∴要使|PQ|＋|PF|取得最小值，即D ，P ，Q 三点共线时|PQ|＋|PF|最小．将Q(2，－1)的纵坐标代入y 2＝4x 得x ＝14，故P 的坐标为(14，－1)．16.右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．答案 26解析 建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为x 2＝－2py(p>0)，由点(2，－2)在抛物线上，可得p ＝1，则抛物线方程为x 2＝－2y. 当y ＝－3时，x ＝±6，所以水面宽为2 6 米．17．抛物线y 2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．解析 设抛物线y 2＝2px(p>0)的内接直角三角形为AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p)． ∵|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝513，∴⎝⎛⎭⎫p 24＋p 2＋(64p 2＋16p 2)＝325.∴p ＝2，∴所求的抛物线方程为y 2＝4x.18．已知抛物线C ：x 2＝2py(p>0)，圆O ：x 2＋y 2＝1.(1)若抛物线C 的焦点F 在圆上，且A 为C 和圆O 的一个交点，求|AF|；(2)若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相交于点M ，N ，求|MN|的最小值及相应p 的值．解析 (1)由题意F(0，1)，∴C ：x 2＝4y.解方程组⎩⎨⎧x 2＝4y ，x 2＋y 2＝1，得y A ＝5－2，∴|AF|＝5－1.(2)设M(x 0，y 0)，则切线l ：y ＝x 0p (x －x 0)＋y 0，整理得x 0x －py －py 0＝0. 由|ON|＝1得|py 0|＝x 02＋p 2＝2py 0＋p 2，∴p ＝2y 0y 02－1且y 02－1>0.∴|MN|2＝|OM|2－1＝x 02＋y 02－1＝2py 0＋y 02－1＝4y 02y 02－1＋y 02－1＝4＋4y 02－1＋(y 02－1)≥8，当且仅当y 0＝3时等号成立．∴|MN|的最小值为22，此时p ＝ 3.。

函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用1.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期为T,且当x=2时,f(x)取得最大值,那么()A.T=2,θ=π2B.T=1,θ=π C.T=2,θ=π D.T=1,θ=π2T=2ππ=2,当x=2时,由π×2+θ=π2+2kπ(k∈Z),得θ=-3π2+2kπ(k∈Z).又0<θ<2π,所以θ=π2.2.已知函数f(x)=sinπ3-x ,则要得到g(x)=-cosπ3-x 的图象,只需将函数y=f(x)的图象( )A.向左平移2π3个单位 B.向右平移2π3个单位C.向左平移π2个单位 D.向右平移π2个单位解析y=-sin x-π3y=-cos x-π3=-cosπ3-x ,故选C.3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ6x+φ+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10sinπ6x+φ ∈[-1,1],所以函数y=3sinπ6x+φ +k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.(2016河南洛阳二模)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π8个单位,所得到的函数图象关于y轴对称,则φ的一个可能取值为()A.3π4B.π4C.0D.-π4y=sin2 x+π8+φ =sin2x+π4+φ .由平移后的函数图象关于y轴对称,可得π4+φ=kπ+π2(k∈Z),即φ=kπ+π4(k∈Z),故选B.5.将函数y=3sin2x+π3的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间π12,7π12上单调递减 B.在区间π12,7π12上单调递增C.在区间-π6,π3上单调递减 D.在区间-π6,π3上单调递增f(x),则f(x)=3sin2 x-π2+π3=3sin2x+π3-π =-3sin2x+π3.令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z,解得f(x)的单调递减区间为 kπ-5π12,kπ+π12,k∈Z,同理得单调递增区间为 kπ+π12,kπ+7π12,k∈Z.从而可判断B正确.6.(2016山东滨州二模)若函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移φ0<φ<π2个单位后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为π6,则φ=()A.π6B.π4C.π3D.5π12〚〛f(x)=2sin 2x的图象向右平移φ0<φ<π2个单位后得到函数g(x)=2sin2(x-φ)的图象,可知对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为T2-φ.故T2-φ=π6,即φ=π3.7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ) ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则y=f x+π6取得最小值时x的集合为()A. x x=kπ-π6,k∈Z B. x x=kπ-π3,k∈ZC. x x=2kπ-π6,k∈Z D. x x=2kπ-π3,k∈Z〚,周期T=4×7π12-π3=π,故π=2πω,即ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ),又图象经过7π12,0,代入有2×7π12+φ=kπ(k∈Z),再由|φ|<π2,得φ=-π6,故f x+π6=sin2x+π6,当2x+π6=-π2+2kπ(k∈Z),即x=-π3+kπ(k∈Z)时,y=f x+π6取得最小值.8.(2016河南信阳、三门峡一模)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,把f(x)的图象向左平移12个单位后,得到函数g(x)的图象,则g52=()A.-1B.1C.-3D.3〚〛f(x)=A sin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π2的图象,可得A=2,14·2πω=56−13,求得ω=π.再根据五点法作图可得π·13+φ=π2,求得φ=π6,故f(x)=2sin πx+π6.把f(x)的图象向左平移12个单位后,得到函数g(x)=2sin π x+12+π6=2cos πx+π6的图象,则g52=2cos5π2+π6=2cos2π3=-1,故选A.9.(2016全国丙卷,文14)函数y=sin x-3cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移_________个单位长度得到.y=sin x-3cos x=2sin x-π3,所以函数y=sin x-3cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移π3个单位长度得到.10.已知函数y=g(x)的图象由f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位得到,这两个函数的部分图象如图所示,则φ=________f(x)=sin 2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x=π2,则x=π4.x=π8关于x=π4对称的直线为x=3π8,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为x=3π8的点平移到x=17π24,则φ=17π24−3π8=π3.11.(2016山东临沂一模)将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后,得到g(x)=2sin2x+π6的图象,则f(x)= ________2cos 2x,把g(x)=2sin2x+π6的图象向右平移π3个单位长度后,得到f(x)=2sin2 x-π3+π6=2sin2x-π2=-2cos 2x的图象.12.设函数f(x)=sin2x+π6,则下列命题:①f(x)的图象关于直线x=π3对称;②f(x)的图象关于点π6,0对称;③f(x)的最小正周期为π,且在区间0,π12上为增函数;④把f(x)的图象向右平移π12个单位长度,得到一个奇函数的图象.其中正确的命题的序号为________①,fπ3=sin2×π3+π6=sin5π6=12,不是最值,因此x=π3不是函数f(x)的图象的对称轴,故该命题错误;对于②,fπ6=sin2×π6+π6=1≠0,因此点π6,0不是函数f(x)的图象的对称中心,故该命题错误;对于③,函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π,当x∈0,π12时,令t=2x+π6∈π6,π3,显然函数y=sin t在区间π6,π3上为增函数,因此函数f(x)在区间0,π12上为增函数,故该命题正确;对于④,把f(x)的图象向右平移π12个单位长度后所对应的函数为g(x)=sin2 x-π12+π6=sin 2x,是奇函数,故该命题正确.13.(2016东北三省四市二模)将函数f(x)=sin(2x+φ)|φ|<π2的图象向右平移π12个单位后的图象关于y轴对称,则函数f(x)在0,π2上的最小值为()A.0B.-1C.-12D.-32,平移后的函数为y=sin2 x-π12+φ=sin2x+φ-π6.∵平移后的图象关于y轴对称,∴φ-π6=kπ+π2,k∈Z,解得φ=kπ+2π3,k∈Z.由|φ|<π2,可得当k=-1时,φ=-π3,故f(x)=sin2x-π3.由x∈0,π2,可得2x-π3∈-π3,2π3,故当2x-π3=-π3,即x=0时,f(x)min=sin-π3=-32,故选D.14.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正常数)的最小正周期为π,当x=2π3时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A.f(2)<f(-2)<f(0)B.f(0)<f(2)<f(-2)C.f(-2)<f(0)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(-2) 〚〛T=2πω=π,得ω=2.当x=2π3时,f(x)取得最小值,所以4π3+φ=3π2+2kπ,k∈Z,即φ=π6+2kπ,k∈Z,所以f(x)=A sin2x+π6.所以f(0)=A sinπ6=A2>0,f(2)=A sin4+π6=32A sin 4+A2cos 4<0,f(-2)=A sin-4+π6=-32A sin 4+A2cos 4.因为f(2)-f(-2)=3A sin 4<0, 所以f(2)<f(-2).又f(-2)-f(0)=-A sin4-π6−A2=-A sin4-π6+12,因为π<4-π6<π+π6<32π,所以sin4-π6>sin π+π6=-12,即sin4-π6+12>0,所以f(-2)<f(0).综上,f(2)<f(-2)<f(0),故选A.15.(2016山东烟台二模)已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点2π3,0对称,若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位得到一个偶函数的图象,则实数m的最小值为________〚函数f(x)的图象关于点2π3,0对称,∴2×2π3+φ=kπ+π2(k∈Z),解得φ=kπ-5π6,k∈Z.∴f(x)=cos2x+kπ-5π6,k∈Z.∵f(x)的图象向右平移m个单位得到函数y=cos2x-2m+kπ-5π6,k∈Z 为偶函数,∴x=0为其对称轴,即-2m+kπ-5π6=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=(k-k1)π2−5π12(k∈Z,k1∈Z),∵m>0,∴m的最小正值为π12,此时k-k1=1,k∈Z,k1∈Z.16.已知函数y=3sin12x-π4.(1)用五点法作出函数的图象;(2)说明此图象是由y=sin x的图象经过怎么样的变化得到的.列表:描点、连线,如图所示:(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.先把y=sin x的图象上所有点向右平移π4个单位,得到y=sin x-π4的图象;再把y=sin x-π4的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin12x-π4的图象,最后将y=sin12x-π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin12x-π4的图象.(方法二)“先伸缩,后平移”先把y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin12x的图象;再把y=sin12x图象上所有的点向右平移π2个单位,得到y=sin12 x-π2=sin x2-π4的图象,最后将y=sin x2-π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin12x-π4的图象.17.已知函数f(x)=sin ωx(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=sin ωx+π4的图象,只要将y=f(x)的图象()A.向左平移π4个单位长度 B.向右平移π4个单位长度C.向左平移π8个单位长度 D.向右平移π8个单位长度f(x)=sin ωx(x∈R,ω>0)的最小正周期为π, ∴ω=2.∴f(x)=sin 2x,g(x)=sin2x+π4.∴将y=f(x)的图象向左平移π8个单位长度得到函数g(x)=sin2x+π4的图象,故选C.。

高三数学向量专项练习题及答案一、选择题1. 设向量a = (2, 3)、b = (4, -1)，则a + b的坐标表示为：A. (6, 2)B. (2, 2)C. (6, -2)D. (2, -2)答案：A. (6, 2)2. 设向量a = (3, 2)，则2a的坐标表示为：A. (3, 2)B. (6, 4)C. (2, 3)D. (6, 2)答案：B. (6, 4)3. 已知向量a = (5, -3)和b = (1, 2)，则向量a与向量b的数量积为：A. 5B. 1C. -7D. -1答案：C. -74. 向量a, b的夹角θ满足sinθ = 1/2，则θ的大小为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C. 60°5. 平面上三点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)所确定的三角形ABC的面积为：A. 4B. 6C. 7D. 8答案：B. 6二、填空题1. 设向量a = (2, 5)，则|a|的值为________。

答案：sqrt(29)2. 设向量a与向量b的夹角θ满足cosθ = 1/√2，则θ的大小为________。

答案：45°3. 平面直角坐标系中，若点A(3, 4)到点B(-2, -3)的距离为√k，则k= ________。

答案：504. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, -1)，则向量a - b = (_______,_______)。

答案：(-2, 4)5. 平面上三点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)所确定的三角形ABC的周长为________。

答案：约9.21三、解答题1. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, -1)，求向量a与向量b的数量积。

解答：向量a与向量b的数量积为：a·b = 2×4 + 3×(-1) = 8 - 3 = 5。

(第8题图)(第11题图)江苏高考数学预测卷20一、填空题。

每小题5分，共70分。

1.已知集合{}2log 0|2≤≤=x x A ，集合{}321|≤≤=x x B ，则B A = . 2．已知全集为实数集，2{|20},{|M x x x N x y =-<==，则)(N C M U = ____ _． 3．复数2i1iz =-(i 为虚数单位)的实部是 . 4．已知椭圆的中心在原点、焦点在y 轴上，若其离心率是12，焦距是8，则该椭圆的方程为 ．5．在等差数列{n a }中，若4681012120a a a a a ++++=，则数列{n a } 前15项的和为 .6.在ABC ∆中，如果sin A ∶sin B ∶sin C =5∶6∶8，那么此三角形最大 角与最小角之和的余弦值是 ．7．若命题“x ∃∈R ，使得2(1)10x a x +-+<”是真命题，则实数a 的 取值范围是 .89.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,的数字外完全相同.现从中随机取出两个小球,和为5或7的概率是 .10．若方程1n 2100x x +-=的解为0x ，则不小于0x 11．如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线是l ，则(2)f = ．12.若数列}{n a 满足12 (01),1 (1).n n n n n a a a a a +≤≤⎧=⎨->⎩且167a =,则=2010a .13. 函数f(x)＝2＋2x 2＋2x 2＋2x ＋1的最小值为__________．14. 设函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象C 上有两个极值点P 、Q ，其中P 为坐标原点，当点Q 在圆D ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上时，曲线C 的切线斜率的最大值为__________． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知a ＝⎝⎛⎭⎫12，12sinx ＋32cosx ，b ＝(1，y)，且a ∥b .设函数y ＝f(x)．(1) 求函数y ＝f(x)的解析式；(2) 若在锐角△ABC 中，f ⎝⎛⎭⎫A －π3＝3，边BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．16. (本小题满分14分)如图甲，在直角梯形PBCD 中，PB ∥CD ，CD ⊥BC ，BC ＝PB ＝2CD ，A 是PB 的中点，现沿AD 把平面PAD 折起，使得PA ⊥AB(如图乙)，E 、F 分别为BC 、AB 边的中点．(1) 求证：平面PAE ⊥平面PDE ；(2) 在PA 上找一点G ，设AG ＝λAP ，试求当λ为何值时可使FG ∥平面PDE.17. (本小题满分15分)某销售商销售某品牌手机，该品牌手机进价为每部1 580元，零售价为每部1 880元．为促进销售，拟采用买一部手机赠送一定数量礼物的方法，且赠送礼物的价值不超过180元．统计表明：在促销期间，礼物价值每增加15元(礼物的价值都是15元的整数倍，如礼物价值为30元，可视为两次增加15元，其余类推)，销售量都增加11%.(1) 当赠送礼物的价值为30元时，销售的总利润变为原来不赠送礼物时的多少倍？(精确到0.1)(2) 试问赠送礼物的价值为多少元时，商家可获得最大利润？18. (本小题满分15分)已知(2,0),(2,0),A B C D -点、依次满足12,().2AC AD AB AC ==+（1）求过点D 的轨迹；（2）过点A 作直线l 交以A B 、为焦点的椭圆于M N 、两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程；（3）经过（2）中椭圆上顶点B 作直线m ，n ，使m ⊥n ，直线m ，n 分别交椭圆于P ，Q ，连接PQ ，求证PQ 经过定点.19. (本小题满分16分)已知函数2()(33)x f x x x e =-+⋅定义域为[]t ,2-(2t >-),设n t f m f ==-)(,)2(.(Ⅰ)试确定t 的取值范围,使得函数)(x f 在[]t ,2-上为单调函数； (Ⅱ)求证:n m >；(Ⅲ)求证:对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.20. (本小题满分16分) 已知数列{}n a 单调递增，且各项非负，对于正整数K ，若对任意i ，j (K j i ≤≤≤1)，j i a a - 仍是{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“K 项可减数列”。

2020 届山东省烟台市高三新高考数学模拟试题一、单项选择题1．已知会合 A12 x 4 ， B y | y, 1（）x | lg x x ，则AIB4 10．2,2 ． (1, ) ．1,2A B CD．, 1 (2, ) 【答案】 C【分析】先解得不等式12x 4 及 x 1 时函数y lg x的值域 , 再依据交集的定义4 10求解即可 . 【详解】由题,不等式12x 4,解得 2 x 2 , 即A x | 2 x 2 ；4因为函数 y lg x 单一递加 , 且x11,即B y | y1 , , 所以y10则 A B 1,2 ,应选 :C【点睛】此题考察会合的交集运算, 考察解指数不等式, 考察对数函数的值域.2．设i是虚数单位，若复数5i(a R ) 是纯虚数，则 a 的值为（）a2 iA．3 B． 3 C． 1 D．1【答案】 D【分析】整理复数为 b ci 的形式,由复数为纯虚数可知实部为0, 虚部不为 0, 即可求解 . 【详解】5ia 5i 2 i由题 , a2 i a 2i 1 a 1 2i ,2 i 2 i因为纯虚数 , 所以 a 1 0 , 则a1 ,应选 :D【点睛】此题考察已知复数的种类求参数范围, 考察复数的除法运算.3．“a 2”是“x 0, a1x”的（）xA．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【答案】 A【分析】若1 1x 0,a x , 则axx x, 利用均值定理可得x12 ,则xmin mina 2 ,从而判断命题之间的关系.【详解】若 x 0,a x 1 1, , 则a xx x min因为 x 12 ,当且仅当x1x时等号成立 ,x所以 a 2 ,因为 a | a 2 a | a 2 ,所以“ a 2 ”是“x 0,a x 1”的充足不用要条件 , x应选 :A【点睛】此题考察充足条件和必需条件的判断, 考察利用均值定理求最值 .4．甲、乙两名学生的六次数学测试成绩( 百分制 ) 的茎叶图以下图.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的均匀分比乙同学的均匀分高；③甲同学的均匀分比乙同学的均匀分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的选项是（）A．③④B．①②C．②④D．①③④【答案】 A【分析】由茎叶图中数据可求得中位数和均匀数, 即可判断①②③, 再依据数据集中程度判断④ .【详解】80 82 , 乙同学成绩的中位数为 由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为81287 8887.5 , 故①错误；2x 甲 = 172+76+80+82+86+90 =81, x 乙 =169+78+87+88+92+96 =85 , 则66甲乙 , 故②错误 , ③正确；xx明显甲同学的成绩更集中 , 即颠簸性更小 , 所以方差更小 , 故④正确 ,应选 :A【点睛】此题考察由茎叶图剖析数据特点, 考察由茎叶图求中位数、均匀数 .5．刘徽 ( 约公元 225 年-295 年 ) ，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠定人 之一他在割圆术中提出的， “割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不行割，则与圆周合体而无所失矣” ，这可视为中国古代极限观点的佳作，割圆术的中心思想是将一个圆的内接正n 边形平分红 n 个等腰三角形 ( 以下图 ) ，当 n 变得很大时， 这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，获得sin 2o 的近似值为（）A ．πB ．πC ．πD ．π 90 180270360【答案】 A【分析】 设圆的半径为 r , 每个等腰三角形的顶角为360 , 则每个等腰三角形的面积为n1 r2 sin 360 , 由割圆术可得圆的面积为 r 2n 1 r 2 sin 360, 整理可得2 n2nsin3602 , 当 n 180 时即可为所求 .nn【详解】由割圆术可知当 n 变得很大时 , 这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为 r , 每个等腰三角形的顶角为360 ,n所以每个等腰三角形的面积为1r 2sin 360,1 2 360 n 360 2所以圆的面积为r 2n r 2 sin , 即 sin ,2n n n所以当 n 180 时,可得 sin 360sin 2 2 , 180 180 90应选 :A【点睛】此题考察三角形面积公式的应用, 考察阅读剖析能力 .6．函数f x2x 2 a 的一个零点在区间1,2 内，则实数 a 的取值范围是（）xA．1,3 B．1,2 C．0,3 D．0,2【答案】 C【分析】明显函数 f x 2x 2 a 在区间 1,2 内连续 , 由 f x 的一个零点在区间x1,2 内,则 f 1 f 2 0 , 即可求解 .【详解】由题 , 明显函数f x 2x 2 a 在区间1,2 内连续 , 因为f x 的一个零点在区间x1,2 内,所以 f 1 f 2 0 ,即2 2 a 4 1 a 0 , 解得0 < a < 3 ,应选 :C【点睛】此题考察零点存在性定理的应用, 属于基础题 .7．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的地点关系是（）A．内切B．订交C．外切D．相离【答案】 B【分析】化简圆到直线的距离，又两圆订交 . 选 B8．《九章算术》中记录，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥 . 如图，在堑堵ABC A1 B1C1中，AC BC， AA1 2 ，当阳马 B ACC1 A1体积的最大值为4时，堑堵 ABC A1B1C1的外接球的体积为（）3A ． 4πB ．8 2πC ．32πD ．64 2π3333【答案】 B【分析】 利用均值不等式可得VB ACC 1A 11BC AC AA 1 2BC AC1 BC2 AC 21 AB2 , 即可求得 AB ,进3 333而求得外接球的半径 , 即可求解 . 【详解】由题意易得 BC ⊥ 平面 ACC 1 A 1 ,所以 V B ACC A1 BC AC AA 1 2BC AC 1 BC 2 AC 21AB 2, 113 3 3 3当且仅当 AC BC 时等号成立 ,又阳马 B ACC 1A 1 体积的最大值为4,3所以 AB2,22所以堑堵 ABCA 1B 1C 1 的外接球的半径AA 1AB,R222所之外接球的体积 V4 r 3 8 2 ,33应选 :B【点睛】此题以中国传统文化为背景, 考察四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用 , 表现了数学运算、直观想象等中心修养.二、多项选择题9．以下函数中，既是偶函数，又在(0, ) 上单一递加的是（）A ． y ln( 1 9x 23x)B ． ye x e xC．y x21D．y cos x 3【答案】 BC【分析】易知 A,B,C,D 四个选项中的函数的定义域均为R ,先利用f x与 f x 的关系判断奇偶性, 再判断单一性 , 即可获得结果.【详解】由题 , 易知 A,B,C,D 四个选项中的函数的定义域均为R ,关于选项 A, f x f x ln 1 9x2 3x ln 1 9x2 3x 0 ,则f x ln( 1 9x2 3x) 为奇函数 , 故 A 不切合题意；关于选项 B, f x e x e x f x ,即 f x e x e x为偶函数,当 x (0, ) 时,设t x t 1 , 则y 1, 当t 1, 时e t , 由对勾函数性质可得t是增函数 , 又t e x单一递加,所以f x e x e x在(0, ) 上单一递加,故B切合题意；关于选项 C, f x x 2x2 1 f x , 即f x x2 1为偶函数,由二次函1数性质可知对称轴为x 0 ,则 f x x2 1在(0, )上单一递加 , 故 C切合题意；关于选项 D, 由余弦函数的性质可知y cos x 3 是偶函数 , 但在(0, )不恒增,故D不切合题意；应选 :BC【点睛】此题考察由分析式判断函数的奇偶性和单一性, 娴熟掌握各函数的基天性质是解题关键 .10．已知 (ax21 )n(a 0)的睁开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且睁开式的x各项系数之和为1024，则以下说法正确的选项是（）A．睁开式中奇数项的二项式系数和为256B．睁开式中第 6 项的系数最大C．睁开式中存在常数项D．睁开式中含x15项的系数为45【答案】 BCD【分析】由二项式的睁开式中第 5 项与第 7 项的二项数系数相等可知n10 ,由睁开式x 21 10x 2 1 10的各项系数之和为 1024 可得 a 1, 则二项式为x 2, 易得该二x项式睁开式的二项式系数与系数同样 , 利用二项式系数的对称性判断A,B ；依据通项判断 C,D 即可. 【详解】由二项式的睁开式中第 5 项与第 7 项的二项数系数相等可知n 10 ,又睁开式的各项系数之和为1024, 即当x 1 时 , 10a110241 ,, 所以 a1 10110所以二项式为x 2x 2x 2,x则二项式系数和为 210 1024 , 则奇数项的二项式系数和为1 1024 512, 故 A 错误；2由 n10 可知睁开式共有 11 项, 中间项的二项式系数最大 , 即第 6 项的二项式系数最大 ,因为 x 2 与1, 所以第 6项的x 2 的系数均为 1, 则该二项式睁开式的二项式系数与系数同样系数最大 , 故 B 正确；, 由通项 T r 1 C 10r x2 10 r 1 r可得210r10, 解得若睁开式中存在常数项 x 2r2r 8, 故 C 正确；由通项T r 11r可得 2 10 r1C 10r x 2 10 r x 2r 15 , 解得 r = 2 , 所以系数为2C 102 45, 故D 正确 ,应选 : BCD【点睛】此题考察二项式的定理的应用, 考察系数最大值的项 , 考察求指定项系数 , 考察运算能力 .11．在 V ABC 中，D 在线段 AB 上，且 AD5, BD 3 若 CB 2CD ,cosCDB5 ，5则（ ）A ． sin3B ． V ABC 的面积为 8CDB10C ． VABC 的周长为 8 4 5D ． V ABC 为钝角三角形【答案】 BCD【分析】由同角的三角函数关系即可判断选项A ；设 CD a , 则 BC 2a , 在 VBCD 中,利用余弦定理求得 a , 即可求得 S △DBC , 从而求得 S V ABC , 即可判断选项 B ；在 VADC 中 ,利用余弦定理求得AC ,从而判断选项C；由BC为最大边 , 利用余弦定理求得cosC , 即可判断选项 D.【详解】因为 cos CDB 5 , 所以sin CDB 1 cos2 CDB 2 5 , 故 A错误；5 5设 CD a ,则 BC 2a , 在VBCD中, BC2 CD 2 BD 2 2BC CD cos CDB,解得 a 5 ,所以S V DBC1BD CD sin CDB 1 3 5 2 5 3,2 2 5所以 S VABC 3 5S V DBC 8,故B正确；3因为ADC CDB ,所以cos ADC cos CDB cos CDB5 5,在 VADC中,AC2 AD 2 CD 2 2 AD DC cos ADC ,解得AC 2 5 , 所以 C VABC AB AC BC 3 5 2 5 2 5 8 4 5 , 故 C正确；因为 AB 8 为最大边,所以cosC BC 2 AC 2 AB 2 3 0 , 即C为钝角,所以2BC AC 5V ABC 为钝角三角形,故D正确.应选 :BCD【点睛】此题考察利用余弦定理解三角形, 考察三角形面积的公式的应用, 考察判断三角形的形状 .12．如图，在四棱锥P ABCD 中， PC底面ABCD，四边形ABCD 是直角梯形，AB / /CD , AB AD, AB 2AD 2CD 2，F 是AB的中点， E 是PB上的一点，则以下说法正确的选项是（）A．若PB2PE ，则EF / /平面PACB．若PB2PE ，则四棱锥P ABCD 的体积是三棱锥 E ACB 体积的 6 倍C．三棱锥P ADC 中有且只有三个面是直角三角形D．平面BCP平面ACE【答案】 AD【分析】利用中位线的性质即可判断选项A；先求得四棱锥P ABCD 的体积与四棱锥E ABCD 的体积的关系,再由四棱锥 E ABCD 的体积与三棱锥 E ABC 的关系进而判断选项 B；由线面垂直的性质及勾股定理判断选项C；先证明AC 平面 BCP,进而证明平面 BCP 平面 ACE ,即可判断选项 D.【详解】关于选项 A, 因为PB 2PE,所以E是 PB的中点,因为 F是AB的中点,所以EF //PA,因为 PA 平面 PAC , EF 平面 PAC,所以 EF //平面 PAC,故A正确；关于选项 B, 因为PB 2PE ,所以V P ABCD 2V E ABCD,因为 AB / /CD, AB AD, AB 2 AD 2CD 2 , 所以梯形 ABCD 的面积为1CD AB AD 1 1 2 1 3 , SVABC1AB AD12 1 1,所以23 V 2 2 2 2VABC ,E ABCD 2 E所以VP ABCD 3V E ABC , 故 B错误；关于选项 C, 因为PC 底面 ABCD ,所以 PC AC , PC CD ,所以VPAC, VPCD 为直角三角形 ,又 AB / /CD,AB AD ,所以AD CD ,则VACD为直角三角形,所以PA2 PC 2 AC 2 PC 2 AD 2 CD2, PD2 CD 2 PC2,则PA2 PD 2 AD2 , 所以△PAD是直角三角形 ,故三棱锥 P ADC 的四个面都是直角三角形, 故 C错误；关于选项 D, 因为PC 底面 ABCD ,所以 PC AC ,在 RtVACD 中,AC AD 2 CD 2 2 ,在直角梯形 ABCD 中, BC AD 2 AB CD 2 2 ,所以AC2 BC2 AB2,则AC BC ,因为 BC PC C,所以AC平面BCP,所以平面 BCP平面ACE,故D正确,应选 :AD【点睛】此题考察线面平行的判断 , 考察面面垂直的判断 , 考察棱锥的体积 , 考察空间想象能力与推理论证能力 .三、填空题v vv v13．已知向量 a (2, m) ， b(1, 2) ，且 a b ，则实数 m 的值是 ________．【答案】 1【分析】 依据【详解】r rrr2 2m 0，从而求出 m 的值．ab 即可得出 a b rr解：∵ ab ；r r∴a b 2 2m 0；∴ m ＝ 1．故答案为： 1．【点睛】此题考察向量垂直的充要条件，向量数目积的坐标运算．14．已知数列 { a n } 的前 n 项和公式为S n 2n 2 n1 ，则数列 { a n } 的通项公式为 ___．【答案】 a n2, n 14n 3,n 2【分析】 由题意，依据数列的通项a n 与前 n 项和 S n 之间的关系，即可求得数列的通项公式． 【详解】由题意，可知当n 1 时， a 1S 1 2 ；当 n 2 时， a nS nSn 12n 22n 1 4n 3 .n 2 n 1又因为 a 1 1 不知足 a n4n 3 ，所以 a2,n 1.n4n 3,n2【点睛】此题主要考察了利用数列的通项 a n 与前 n 项和 S n 之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项a n 与前 n 项和 S n 之间的关系，合理正确推导是解答的要点，侧重考察了推理与运算能力，属于基础题．15．已知双曲线 C : x2 y2P 2a, b 为某个等腰三角a 2 2 1(a 0,b 0) 的左、右焦点和点b形的三个极点，则双曲线C的离心率为________.10 2【答案】2【分析】由等腰三角形及双曲线的对称性可知F1 F2PF1或 F1F2PF2,从而利用两点间距离公式求解即可 .【详解】由题设双曲线的左、右焦点分别为F1 c,0 , F2 c,0 ,因为左、右焦点和点 P 2a, b 为某个等腰三角形的三个极点,当 F1F2 PF2时, 2c 2a c 2 b2,由b2 c2 a2可得2c2 4ac 3a2 0 ,等式两边同除a2 可得 2e2 4e 3 0 ,解得 e 10 2 1（舍）；2当 F1F2 PF1时, 2c 2a c 2 b2,由b2 c2 a2可得2c2 4ac 3a2 0,等式两边同除a2可得2e2 4e 3 0 , 解得 e 10 2 ,2故答案为 :10 22【点睛】此题考察求双曲线的离心率, 考察双曲线的几何性质的应用, 考察分类议论思想 .16．设定义域为R的函数f x 知足 f x fx 1f 2x 1 的x ，则不等式 e f x解集为 __________ ．【答案】 (1, )【分析】依据条件结构函数（） f x，求函数的导数，利用函数的单一性即可得F x e x到结论．【详解】设 F（ x）f x，e x则′（） f ' x f x，F x e x∵ f x f x ，∴ F′（ x）＞0，即函数 F（ x）在定义域上单一递加．∵ e x 1 f x f 2x 1∴ f x ＜f 2x 1，即 F（ x）＜ F（2x 1）e x e2 x 1∴x＜ 2x 1，即x＞1∴不等式 e x 1 f x f 2x 1 的解为1,故答案为：1,【点睛】此题主要考察函数单一性的判断和应用，依据条件结构函数是解决此题的要点．四、解答题17．已知函数f x 1 2 3sin x cosx 2cos2 x m 在 R 上的最大值为 3. （ 1）求m的值及函数 f x 的单一递加区间 ;（2）若锐角ABC中角A B C所对的边分别为a、b、c，且 f A 0 ，求b的、、c取值范围 .【答案】（ 1）m, 函数f x 的单一递加区间为k ， k 2 ， k Z ；（2）1 6 31 b2 2 .c【分析】（ 1）运用降幂公式和协助角公式，把函数的分析式化为正弦型函数分析式形式，依据已知，能够求出 m 的值，再联合正弦型函数的性质求出函数 f x 的单一递加区间 ;（ 2）由（ 1）联合已知f A 0 ，能够求出角 A 的值，经过正弦定理把问题b的取值c范围转变为两边对角的正弦值的比值的取值范围，联合已知ABC 是锐角三角形，三角形内角和定理，最后求出b的取值范围 . c【详解】解：（ 1）f x 1 2 3sin x cosx 2cos2 x m3 sin 2x cos 2xm 2sin 2xm6由已知 2m 3，所以 m1所以 f x2sin 2x16令 2k2 x 2k3 ， k Z26 2得 kx k 2 Z6， k3所以函数 fx 的单一递加区间为 k， k2 ， k Z 36（ 2）由已知 2sin 2A1 0 ，∴ sin2 A 6= 162由 0A得2 A 7 ，所以 2A 566 6266所以 A3bsin B sinC3cosC1sin C 31 32 csin Csin Csin C 2 tan C 20 C因为为锐角三角形ABC ，所以2 ，解得C262BC32所以tan C3 1 b，那么 23 2 c【点睛】此题考察了降幂公式、 协助角公式， 考察了正弦定理， 考察了正弦型三角函数的单一性，考察了数学运算能力 .18．已知数列 a n 的前 n 项和 S n 3n 2 8n ， b n 是等差数列，且 a n b n b n 1 .（Ⅰ）求数列b n 的通项公式；（Ⅱ）令c n(a n 1)n 1 . 求数列 c的前 n 项和 T n.(b2)nnn【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）【分析】 试题剖析：（1）先由公式 a n S n S n 1 求出数列 a n 的通项公式；从而列方程组求数列b n 的首项与公差，得数列 b n 的通项公式；（ 2）由（ 1）可得c n 3 n 1 2n 1 ，再利用“错位相减法”求数列c n 的前 n 项和 T n .试题分析：（ 1）由题意知当 n2 时， a nS n S n 16n 5 ，当 n 1 时， a 1 S 1 11 ，所以 a n 6n 5 ．设数列b n 的公差为 d ，a 1b 1 b 211 2b 1 d 4, d3， 由 {b 2 ，即 {17 2b 1 ，可解得 b 1a 2b 33d所以 b n 3n 1．6n 6（ 2）由（ 1）知 c n3n 3n1n3 n 1 2n 1 ，又 T n c 1 c 2 c 3c n ，得T n 3 222 3 23 4 24 n 1 2n 1 ，2T n32 233 244 25n12n 2 ，两式作差，得3 222 23242n 1n 1 2n 24 2n13n 2n 2T n3 4n 1 2n 22 1所以 T n3n 2n 2 ．考点 1 、待定系数法求等差数列的通项公式； 2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和 .【易错点晴】此题主要考察待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前 n 项和，属于难题 . “错位相减法”求数列的前n 项和是要点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③乞降时注意项数别犯错；④最后结果必定不可以忘掉等式两边同时除以1 q .19．如图， 已知四棱锥P ABCD 的底面是等腰梯形，AD //BC ， AD 2，BC4 ，ABC 60 ，为等边三角形， 且点 P 在底面 ABCD 上的射影为AD 的中点 G ，△PAD点 E 在线段 BC 上，且 CE :EB1:3 .（1）求证：DE平面PAD .（2）求二面角A PC D的余弦值 .65【答案】（ 1）证明看法析（2）13【分析】（ 1）由等腰梯形的性质可证得DE AD ,由射影可得PG平面ABCD,从而求证；（ 2）取BC的中点F, 连结GF , 以G为原点 , GA所在直线为x轴, GF所在直线为y轴 , GP所在直线为z轴 , 成立空间直角坐标系 , 分别求得平面APC与平面DPC的法向量 , 再利用数目积求解即可 .【详解】（ 1）在等腰梯形ABCD 中,Q 点E在线段BC上,且CE:EB1:3 ,点 E 为BC上凑近 C点的四平分点,Q AD 2,BC4,CE1,DE AD ,Q 点P在底面ABCD上的射影为AD 的中点G,连结PG,PG平面 ABCD ,Q DE平面ABCD,PG DE .又 AD PG G, AD平面PAD,PG平面PAD,DE平面 PAD .（ 2）取BC的中点F, 连结GF , 以G为原点 , GA所在直线为x轴, GF所在直线为y轴 , GP所在直线为z轴 , 成立空间直角坐标系 , 以下图 ,由（ 1）易知 , DE CB ,CE 1,又 ABCDCB60,DE GF3 ,Q AD 2 , △ PAD 为等边三角形 , PG3 ,则 G (0,0,0) , A(1,0,0) , D ( 1,0,0) , P(0,0, 3) , C ( 2, 3,0) ,uuuruuur( 1,0,uuuruuurAC ( 3, 3,0) , AP 3), DC( 1, 3,0) , DP (1,0, 3) ,r设平面 APC 的法向量为 m ( x 1 , y 1, z 1) ,r uuuv 0 3x 1 3y 1 0m AC,则 r uuuv ，即 x 1 3z 1 0 m AP 0令x 13 , 则 y 1 3 , z 1 1,r( 3, 3,1) ,mr(x 2 , y 2 , z 2 ) ,设平面 DPC 的法向量为 nr uuuv 0 x 2 3 y 2 0n DC则 ruuuv , 即 x 2 3z 2 0 , n DP 0令x 23 , 则 y 2 1 , z 21 , r( 3,1, 1) ,n 设平面 APC 与平面 DPC 的夹角为 θ, 则r r3 3 1 65cosm nr r 13 513m n二面角 A PCD 的余弦值为65 .13【点睛】此题考察线面垂直的证明, 考察空间向量法求二面角 , 考察运算能力与空间想象能力 .20．某单位准备购置三台设施，型号分别为A, B,C 已知这三台设施均使用同一种易耗品，供给设施的商家规定： 能够在购置设施的同时购置该易耗品，每件易耗品的价钱为100 元，也能够在设施使用过程中， 随时独自购置易耗品，每件易耗品的价钱为 200 元 .为了决议在购置设施时应购置的易耗品的件数. 该单位检查了这三种型号的设施各60台，调査每台设施在一个月中使用的易耗品的件数，并获得统计表以下所示.每台设施一个月中使用的易耗品的件数6 7 8型号 A 30 30 0 频数型号 B 20 30 10型号 C4515将检查的每种型号的设施的频次视为概率，各台设施在易耗品的使用上互相独立.（ 1）求该单位一个月中A, B,C 三台设施使用的易耗品总数超出21 件的概率；（ 2）以该单位一个月购置易耗品所需总花费的希望值为决议依照，该单位在购置设施时应同时购置 20 件仍是 21 件易耗品？【答案】（ 1） 1（ 2）应当购置 21 件易耗品6【分析】（ 1）由统计表中数据可得型号分别为A, B,C 在一个月使用易耗品的件数为6,7,8 时的概率 , 设该单位三台设施一个月中使用易耗品的件数总数为 X , 则P( X 21) P( X 22) P( X23) , 利用独立事件概率公式从而求解即可；（ 2）由题可得 X 全部可能的取值为 19,20,21,22,23 , 即可求得对应的概率 , 再分别议论该单位在购置设施时应同时购置20 件易耗品和 21 件易耗品时总花费的可能取值及希望,即可剖析求解 . 【详解】（ 1）由题中的表格可知A 型号的设施一个月使用易耗品的件数为6 和7 的频次均为301 ；60 2B 型号的设施一个月使用易耗品的件数为6,7,8 的频次分别为 20 1 30 60 3 ,60 C 型号的设施一个月使用易耗品的件数为7 和 8 的频次分别为 45 3 15 60 4 ,60 设该单位一个月中 A, B, C 三台设施使用易耗品的件数分别为x, y, z ,则1101 ,； 260 6 14 ；P( x6) P( x 7)1 , P( y 6) 1, P( y 7) 1 ,2 3 2P( y8) 1 3 8) 1 , P(z 7) , P( z ,6 4 4设该单位三台设施一个月中使用易耗品的件数总数为X ,则 P(X 21) P( X 22) P( X 23)而 P(X 22) P(x6, y 8, z 8) P (x 7, y 7, z 8) P( x 7, y 8, z 7)1 1 111 1 1 1 3726 4 2 24 2 64 48 ,P( X23) P( x 7, y 8, z 8)1 1 112 6 4,48故 P(X 21) 7 1 1 ,48 48 6即该单位一个月中A, B, C 三台设施使用的易耗品总数超出21 件的概率为 1.6（ 2）以题意知 , X 全部可能的取值为 19,20,21,22,23P( X19) P( x 6, y 6, z 7)1 1 3 12 34 ；8P( X 20) P( x 6, y 6, z 8) ( x 6, y 7, z 7) P( x 7, y 6, z 7)1 1 1 1 1 3 1 1 3 17；2 3 4 2 24 2 34 48P( X 21) P( x 6, y 7, z 8) (x 6, y 8, z 7) P( x 7, y 6, z 8) P( x 7, y 7, z 7) 1 1 11 13 1 1 1 1 1 3 17 ；2 24 2 64 2 3 4 2 24 48由（ 1）知, P(X22)7, P(X 23) 1 ,48 48若该单位在购置设施的同时购置了 20 件易耗品 , 设该单位一个月中购置易耗品所需的总花费为 Y 1 元 , 则 Y 1 的全部可能取值为 2000,2200,2400,2600,P(Y 1 2000)P( X 19) P( X20) 117 23 ；848 48P(Y 1 2200)P( X 21)17；48 P(Y 1 2400)P( X 22)7；48 P(Y 1 2600)P( X 23)1；48 EY 1200023 17 726001220024002142 ；48484848若该单位在肋买设施的同时购置了 21 件易耗品 , 设该单位一个月中购置易耗品所需的总花费为 Y 2 元, 则 Y 2 的全部可能取值为 2100,2300,2500,P(Y 2 2100)P( X 19) P( X20) P( X1 17 17521)4848 ；8 6P(Y 2 2300)P( X 22)7；48 P(Y 2 2500)P( X 23)1；48EY 25 23007 1 2138 ；2100250048648EY 2EY1 , 所以该单位在购置设施时应当购置 21 件易耗品【点睛】此题考察独立事件的概率 , 考察失散型随机变量的散布列和希望 , 考察数据办理能力 .21．已知直线 xy 1 过椭圆x 2y 2 1 a b 0 的右焦点，且交椭圆于A ，B两a 2b 2点，线段 AB 的中点是 M2, 1，3 3（ 1）求椭圆的方程；（ 2）过原点的直线 l 与线段 AB 订交（不含端点） 且交椭圆于C ，D 两点，求四边形 ACBD面积的最大值 .2 1（2）43【答案】（ 1）xy 223【分析】（ 1）由直线 x y 1可得椭圆右焦点的坐标为(1,0) , 由中点 M 可得x x4 , y y 22, 且由斜率公式可得y 2 y 11,由点 A,B 在椭圆上 ,则123 13x 2 x 122 22x 1 y 1x 2 y 21 , 两者作差 , 从而代入整理可得 22, 即可求解；a 2b 21, 2 b 2a2ba（ 2）设直线 l : y kx , 点 A, B 到直线 l 的距离为 d 1 , d 2 , 则四边形的面积为S1 CD d 11CD d 2 1 CD d 1 d 2, 将 ykx 代入椭圆方程 , 再利用弦长公式求22 2得 CD , 利用点到直线距离求得d 1, d 2 , 依据直线 l 与线段 AB （不含端点）订交 , 可得k 0 1 4 k 10 , 即 k1 , 从而整理换元 , 由二次函数性质求解最值即可 .3 34【详解】（ 1）直线 xy 1 与 x 轴交于点 (1,0) , 所以椭圆右焦点的坐标为(1,0) , 故 c 1,因为线段 AB 的中点是 M2 , 1 ,3 3设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2, 则 x 1x 24 y 22 y 2 y 1 1,, y 1, 且x 2 x 133又 x 12y 121, x 2 2 y 221 x 22x 12 y 22 y 120 ,a 2b 2a 2b 2, 作差可得a 22b则 x 2x 1 a 2 x 2 x 1y 2 y 1b 2 y 2 y 10 , 得 a 22b 2又 a 2 b 2 c 2 ,c 1 ,所以 a 2 2, b 2 1 ,所以椭圆的方程为 x 2 y21 . 2x 2y 2x 0x4（ 2）由（ 1）联立1解得或3,2,y 1x y 1y13不如令 A 0,1 ,B 4 , 1 , 易知直线 l 的斜率存在 ,3 3设直线 l : y kx , 代入x 2y 2 1 , 得 2k 21 x2 2 ,2解得 x2 或2,2k 2 12k 21设 C x , y3 , D x , y4, 则 x 3 x 4222 2,342k 212 k 2 12k 2 1则 CD2x 422 2 ,1 k x 31 k2k 214141A 0,1 ,B ,1k因为 3 3 到直线 ykx 的距离分别是 d 1, d 23 3 ,1 k2 1 k 2因为直线l 与线段 （不含端点）订交 , 所以 k 0 1 4 k 10 , 即 k1,AB3344 4 4 1所以k 3k,d 1 d 2331k 21 k 21 d 11CD d 2 1 CD d 1 d 24 2 k 1四边形 ACBD 的面积 S CD 2 232k 2 ,21令 k 1 t , t3 , 则 2k21 2t24t 3 ,4S4 2t4 22t 24 212所以32t 4t332t4t3 341,22t3t当1 2 , 即 k1 时 , S min4 2 1 4 3324 16 3 ，t3212所以四边形ACBD 面积的最大值为43.3【点睛】此题考察求椭圆的标准方程 , 考察椭圆中的四边形面积问题, 考察直线与椭圆的地点关系的应用 , 考察运算能力 .22．已知函数 f xa x 2 x ln xb 1 ， a,b R .2（ 1）当 b -1 时，议论函数 f x 的零点个数；（ 2）若 fx 在 0,上单一递加，且c2a b求 c 的最大值 .e【答案】（ 1）看法析（ 2） 2【分析】（ 1）将 b1 代入可得 f xax 2x ln x , 令 f (x )= 0 , 则a ln x , 设22x g xln xg x 与 yag x 的图象 ,, 则转变问题为的交点问题 , 利用导函数判断x2即可求解；（ 2）由题可得 fx ax b ln x 0在 (0,+? )上恒成立 , 设hxax b ln x , 利用1 ln a , 则 h x min 0 , 即 2a 导函数可得 h xminh 1 b b 2a 1 ln a , 再设am x2x 1 ln x , 利用导函数求得m x 的最小值 , 则 2ab ln2 , 从而求解 .【详解】b -1f xa2x ln x , 定义域为 (0,+? ),（ 1）当 时 , 2 xa ln x由 f(x ) = 0 可得 2x,令 gxln xgx1 ln xx , 则 x2,由 g ￠得 0 x e￠0 , 得 x e ,(x )> 0 , ；由 g (x )<所以 g x 在 0, e 上单一递加 , 在 e,上单一递减 ,则 gx 的最大值为 g e1,e且当 xe 时 , 0 g x1；当0x e 时 , g x1 ,ee由此作出函数g x 的大概图象 , 以下图 .由图可知 , 当02时 , 直线 yag x 的图象有两个交点, 即函数f x 有a 和函数e 2两个零点；当a1 或a0 ,即 a 2 或 a 0 时 , 直线ya和函数 g x 的图象有一个交点, 即2 e 2 e 2函数 f x 有一个零点；当a1 即 a2 时 , 直线ya与函数 g x 的象没有交点,即函数 f x 无零点.2 e e 2（ 2）因为f x 在(0,+? )上单一递加,即f x ax b ln x 0在(0,+? )上恒成立 ,设 h x ax b ln x , 则 h x a1, x①若 a 0 ,则 h x 0 ,则 h x 在 (0,+? ) 上单一递减,明显 fx b ln x 0 ,在(0,+? )上不恒成立；0 , 则h x 0 , h x 在(0,+? )上单一递减,当x max b②若 a a ,1 时 , ax b 0, ln x 0 , 故h x 0 , f x 单一递减 , 不切合题意；③若 a 0 ,当0 x 1时, h x 0 , h x 单一递减, a当 x 1h x 0 , h x 单一递加,时 ,a所以 h xmin11 b ln a ,ha由 h x min 0 ,得2a b 2a 1 ln a ,设 m x 2 x 1 ln x, x 0 , 则m x 2 1 , x当 01时 , m x 0 , m x单一递减；x2当 x 1m x 0 , m x 单一递加, 时 ,2所以 m x m 1 ln 2 ,所以2a b ln2 ,2又 c e2a b , 所以c 2 ,即c的最大值为 2.【点睛】此题考察利用导函数研究函数的零点问题, 考察利用导函数求最值, 考察运算能力与分类议论思想 .。

2020年高考数学大题专练导数综合问题1.已知函数f(x)=ax3+bx+4，当x=-2时，函数f(x)有极大值8.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若不等式f(x)+mx>0在区间[1,3]上恒成立，求实数m的取值范围.2.设函数f(x)=ln x-2mx2-n(m，n∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有最大值-ln 2，求m＋n的最小值．3.已知函数f(x)=(x-1)e x＋1，g(x)=e x＋ax-1(其中a∈R，e为自然对数的底数，e=2.718 28…)．(1)求证：函数f(x)有唯一零点；(2)若曲线g(x)=e x＋ax-1的一条切线方程是y=2x，求实数a的值．4.已知函数f(x)=ln x＋ax.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=1时，函数g(x)=f(x)－x＋12x－m有两个零点x1，x2，且x1<x2.求证：x1＋x2>1.5.已知函数f(x)=1－ln x x ，g(x)=ae e x ＋1x－bx ，若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的一个公共点是 A(1，1)，且在点A 处的切线互相垂直．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.6.已知函数f(x)=(x －1)e x ＋1，x ∈[0,1]．(1)证明：f(x)≥0；(2)若a<e x －1x<b 对任意的x ∈(0,1)恒成立，求b －a 的最小值．7.已知f(x)=12x 2-a 2ln x ，a>0. (1)若f(x)≥0，求a 的取值范围；(2)若f(x 1)=f(x 2)，且x 1≠x 2，证明：x 1＋x 2>2a.8.已知函数f(x)=ln x ＋a x，a ∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，证明f(x)≥2a －1a.9.已知a 为实数，函数f(x)=aln x ＋x 2-4x.(1)若x=3是函数f(x)的一个极值点，求实数a 的取值；(2)设g(x)=(a-2)x ，若∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，使得f(x 0)≤g(x 0)成立，求实数a 的取值范围．10.已知函数f(x)=2a －x 2e x (a ∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间；(2)若∀x ∈[1，＋∞)，不等式f(x)>-1恒成立，求实数a 的取值范围．11.设函数f(x)=-x 2＋ax ＋ln x(a ∈R)．(1)当a=-1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3上有两个零点，求实数a 的取值范围．12.设函数f(x)=e 2x －aln x.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a>0时，f (x)≥2a＋aln 2a.13.已知函数f(x)=ae x －ln x －1.(1)设x=2是f(x)的极值点，求a ，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥1e时，f (x)≥0.14.设函数f(x)=e x －x 2－ax －1(e 为自然对数的底数)，a∈R.(1)证明：当a ＜2－2ln 2时，f ′(x)没有零点；(2)当x ＞0时，f(x)＋x≥0恒成立，求a 的取值范围．15.已知函数f(x)=lnx-mx2，g(x)=0.5mx2+x，mϵR,令F(x)=f(x)+g(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x的不等式F(x)≤mx-1恒成立，求整数m的最小值.16.已知f(x)=(x3-6x2+3x+t)ex.(1)当t=-3时,求函数f(x)的单调递增区间.(2)如果f(x)有三个不同的极值点,求t的取值范围.17.已知y=f(x),f(x)=x3+ax2-a2x+2.(1)若a=1，求曲线在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若a<0, 求函数f(x)的单调区间；(3)若不等式2xlnx≤f/(x)+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．18.已知函数．(1)若函数f(x)在区间[2,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a>0，使得函数y=f(x)图像与直线y=2a有两个交点？若存在，求出所有a的值；若不存在，请说明理由．19.设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)若a=0，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．20.已知函数f(x)=xlnx+ax+1-a.(1)求证：对任意实数a，都有[f(x)]min≤1；(2)若a=2，是否存在整数k，使得在x∈(2,+∞)上，恒有f(x)>(k+1)x-2k-1成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由.（e=2.71828）答案详解1.解：（I ）∵当时，函数有极大值8 ∴，解得∴所以函数的解析式为. （II ）∵不等式在区间上恒成立∴在区间上恒成立 令，则由解得，解得所以当时，单调递增，当时，单调递减所以对，都有，所以，即实数的取值范围是.2.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)=1x -4mx=1－4mx2x，当m≤0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当m>0时，令f′(x)>0，得0<x<m 2m ，令f′(x)<0，得x>m2m ，∴f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，m 2m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当m≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无最大值．当m>0时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 2m 上单调递增，在m 2m ，＋∞上单调递减．∴f(x)max =f ⎝⎛⎭⎪⎫m 2m =ln m 2m -2m·14m -n=-ln 2-12ln m-12-n=-ln 2， ∴n=-12ln m-12，∴m ＋n=m-12ln m-12.令h(x)=x-12ln x-12(x>0)，则h′(x)=1-12x =2x －12x，由h′(x)<0，得0<x<12；由h′(x)>0，得x>12，∴h(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，∴h(x)min =h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=12ln 2，∴m ＋n 的最小值为12ln 2.3.解：(1)证明：因为f(x)=(x-1)e x＋1(x∈R)，所以f′(x)=xe x，由f′(x)=xe x =0，得x=0，f′(x)=xe x >0时，x>0；f′(x)=xe x<0时，x<0；所以f(x)=(x-1)e x＋1在(-∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)=(x-1)e x＋1的最小值为f(0)=0，即函数f(x)=(x-1)e x＋1有唯一零点．(2)设曲线g(x)=e x＋ax-1与切线y=2x 相切于点(x 0，y 0)，因为g(x)=e x ＋ax-1，所以g′(x)=e x＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ex 0＋a ＝2，y 0＝ex 0＋ax 0－1，y 0＝2x 0，消去a ，y 0，得(x 0-1)ex 0＋1=0，由(1)知方程(x 0-1)ex 0＋1=0有唯一根x 0=0，则e 0＋a=2，所以a=1. 4.解:(1)f′(x)=1x＋a ，x ∈(0，＋∞)．①当a≥0时，f′(x)>0恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a<0时，令f′(x)=0，解得x=－1a，令f′(x)>0，得0<x<－1a ，令f′(x)<0，得x>－1a，∴f(x)在0，－1a 上单调递增，在－1a，＋∞上单调递减．(2)证明：当a=1时，g(x)=ln x ＋12x－m.由已知得ln x 1＋12x 1=m ，ln x 2＋12x 2=m.两式相减得ln x 1x 2＋12x 1－12x 2=0，整理得x 1x 2=x 1－x 22lnx 1x 2，∴x 1=x 1x 2－12ln x 1x 2，x 2=1－x 2x 12ln x 1x 2.∴x 1＋x 2=x 1x 2－x 2x 12lnx 1x 2，令t=x 1x 2∈(0，1)，h(t)=t －1t －2ln t.则h′(t)=1＋1t 2－2t =t 2－2t ＋1t 2>0， ∴h(t)在(0，1)上单调递增．∴h(t)<h(1)=0，即t －1t <2ln t ，又∵ln t<0，∴t －1t 2ln t>1.∴x 1＋x 2>1. 5.解：(1)f′(x)=ln x －1x 2，g′(x)=－ae 1－x－1x2－b. 由⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝1，g′(1)·f′(1)＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，a ＋b ＝－2，所以a=b=－1.(2)证明：由(1)可知g(x)=－e e x ＋1x＋x.f(x)＋g(x)≥2x ⇔1－ln x x －e 1－x ＋1x ＋x≥2x ⇔x －ln x≥ex ex ＋1－x 2.记h(x)=x －ln x ，则h′(x)=x －1x ≥0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，因此h(x)≥h(1)=1.记φ(x)=ex ex ，则φ′(x)=(1－x)e 1－x≤0，所以φ(x)在[1，＋∞)上单调递减，因此φ(x)≤φ(1)=1.而当x≥1时，1－x 2≤0，所以xe 1－x ＋1－x 2≤x－ln x.综上所述，当x≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.6.解：(1)证明：因为f ′(x)=xe x≥0，即f(x)在[0,1]上单调递增， 所以f(x)≥f(0)=0，即结论成立．(2)令g(x)=e x －1x ，则g ′(x)=x －1e x ＋1x2>0，x ∈(0,1)， 所以当x ∈(0,1)时，g(x)<g(1)=e －1，要使e x－1x <b ，只需b≥e－1.要使e x－1x >a 成立，只需e x－ax －1>0在x ∈(0,1)恒成立，令h(x)=e x －ax －1，x ∈(0,1)，则h ′(x)=e x－a.由x ∈(0,1)，得e x∈(1，e)．①当a≤1时，h ′(x)>0，此时x ∈(0,1)，有h(x)>h(0)=0成立，所以a≤1满足条件； ②当a≥e 时，h′(x)<0，此时x ∈(0,1)，有h(x)<h(0)=0，不符合题意，舍去； ③当1<a<e 时，令h′(x)=0，得x=ln a ．当x ∈(0，ln a)时，h′(x)<0，即x ∈(0，ln a)时，h(x)<h(0)=0，不符合题意，舍去． 综上，a≤1.又b≥e－1，所以b －a 的最小值为e －2. 7.解：(1)f′(x)=x -a 2x =x ＋a x －ax(x>0)．当x ∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．当x=a 时，f(x)取最小值f(a)=12a 2-a 2ln a.令12a 2-a 2ln a≥0，解得0<a< e. 故a 的取值范围是(0，e]．(2)证明：由(1)知，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， 不失一般性，设0<x 1<a<x 2<2a ，则2a-x 2<a.要证x 1＋x 2>2a ，即x 1>2a-x 2，则只需证f(x 1)<f(2a-x 2)． 因为f(x 1)=f(x 2)，则只需证f(x 2)<f(2a-x 2)． 设g(x)=f(x)-f(2a-x)，a≤x≤2a.则g′(x)=x -a 2x ＋2a-x-a 22a －x =-2a a －x2x 2a －x≤0，所以g(x)在[a,2a)上单调递减，从而g(x)≤g(a)=0. 又a<x 2<2a ，于是g(x 2)=f(x 2)-f(2a-x 2)<0， 即f(x 2)<f(2a-x 2)． 因此x 1＋x 2>2a. 8.解：(1)f′(x)=1x -a x 2=x －ax2(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a>0时，若x>a ，则f′(x)>0，函数f(x)在(a ，＋∞)上单调递增； 若0<x<a ，则f′(x)<0，函数f(x)在(0，a)上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a>0时，f(x)min =f(a)=ln a ＋1.要证f(x)≥2a －1a ，只需证ln a ＋1≥2a －1a ，即证ln a ＋1a-1≥0.令函数g(a)=ln a ＋1a -1，则g′(a)=1a -1a 2=a －1a2(a>0)，当0<a<1时，g′(a)<0，当a>1时，g′(a)>0，所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(a)min =g(1)=0.所以ln a ＋1a-1≥0恒成立，所以f(x)≥2a －1a.9.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)=a x ＋2x-4=2x 2－4x ＋ax.∵x=3是函数f(x)的一个极值点， ∴f′(3)=0，解得a=-6.经检验a=-6时，x=3是函数f(x)的一个极小值点，符合题意，∴a=-6.(2)由f(x 0)≤g(x 0)，得(x 0-ln x 0)a≥x 20-2x 0，记F(x)=x-ln x(x>0)，∴F′(x)=x －1x(x>0)，∴当0<x<1时，F′(x)<0，F(x)单调递减； 当x>1时，F′(x)>0，F(x)单调递增．∴F(x)≥F(1)=1>0，∴a≥x 20－2x 0x 0－ln x 0.记G(x)=x 2－2x x －ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ， ∴G′(x)=2x －2x －ln x －x －2x －1x －ln x 2=x －1x －2ln x ＋2x －ln x2. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，∴2-2ln x=2(1-ln x)≥0， ∴x-2ln x ＋2>0，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1时，G′(x)<0，G(x)单调递减； x ∈(1，e)时，G′(x)>0，G(x)单调递增． ∴G(x)min =G(1)=-1，∴a≥G(x)min =-1. 故实数a 的取值范围为[-1，＋∞)． 10.解：(1)f′(x)=x 2－2x －2aex， 当a≤-12时，x 2-2x-2a≥0，f′(x)≥0，∴函数f(x)在(-∞，＋∞)上单调递增．当a>-12时，令x 2-2x-2a=0，解得x 1=1-2a ＋1，x 2=1＋2a ＋1.∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞，1-2a ＋1)和(1＋2a ＋1，＋∞)， 单调递减区间为(1-2a ＋1，1＋2a ＋1)．(2)f(x)>-1⇔2a －x 2e x >-1⇔2a>x 2-e x，由条件知，2a>x 2-e x对∀x≥1恒成立．令g(x)=x 2-e x ，h(x)=g′(x)=2x -e x ，∴h′(x)=2-e x.当x ∈[1，＋∞)时，h′(x)=2-e x≤2-e<0，∴h(x)=g′(x)=2x -e x在[1，＋∞)上单调递减，∴h(x)=2x-e x≤2-e<0，即g′(x)<0，∴g(x)=x 2-e x在[1，＋∞)上单调递减，∴g(x)=x 2-e x≤g(1)=1-e ，故若f(x)>-1在[1，＋∞)上恒成立， 则需2a>g(x)max =1-e ，∴a>1－e 2，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－e 2，＋∞. 11.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a=-1时，f′(x)=-2x-1＋1x =－2x 2－x ＋1x，令f′(x)=0，得x=12(负值舍去)，当0<x<12时，f′(x)>0；当x>12时，f′(x)<0.∴f(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，单调递减区间为( 12，＋∞ ). (2)令f(x)=-x 2＋ax ＋ln x=0，得a=x-ln x x .令g(x)=x-ln x x ，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，则g′(x)=1-1－ln x x 2=x 2＋ln x －1x2，令g′(x)=0，得x=1， 当13≤x<1时，g′(x)<0；当1<x≤3时，g′(x)>0， ∴g(x)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1，单调递增区间为(1,3]， ∴g(x)min =g(1)=1，∵函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3上有两个零点，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=3ln 3＋13，g(3)=3-ln 33， 3ln 3＋13>3-ln 33，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，3－ln 33. 12.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)=2e 2x－a x(x ＞0)．当a≤0时，f ′(x)＞0，f ′(x)没有零点；当a ＞0时，设u(x)=e 2x，v(x)=－a x，因为u(x)=e 2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)=－a x在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(a)＞0，当b 满足0＜b ＜a 4且b ＜14时，f ′(b)＜0，故当a ＞0时，f ′(x)存在唯一零点．(2)证明：由(1)可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0， 当x∈(0，x 0)时，f ′(x)＜0；当x∈(x 0，＋∞)时，f ′(x)＞0. 故f(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 所以当x=x 0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x 0)．由于2e2x 0－a x 0=0，所以f(x 0)=a 2x 0＋2ax 0＋aln 2a ≥2a ＋aln 2a.故当a ＞0时，f (x)≥2a＋aln 2a.13.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)=ae x－1x.由题设知，f ′(2)=0，所以a=12e2.从而f(x)=12e 2e x －ln x －1，f ′(x)=12e 2e x －1x.当0＜x ＜2时，f ′(x)＜0；当x ＞2时，f ′(x)＞0. 所以f(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．(2)证明：当a≥1e 时，f (x)≥exe －ln x －1.设g(x)=e x e －ln x －1，则g′(x)=e x e －1x.当0＜x ＜1时，g ′(x)＜0；当x ＞1时，g ′(x)＞0.所以x=1是g(x)的最小值点． 故当x ＞0时，g (x)≥g(1)=0.因此，当a≥1e时，f (x)≥0.14.解：(1)证明：∵f′(x)=e x －2x －a ，令g(x)=f′(x)，∴g ′(x)=e x－2. 令g′(x)＜0，解得x ＜ln 2；令g′(x)＞0，解得x ＞ln 2，∴f ′(x)在(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增， ∴f ′(x)min =f′(ln 2)=2－2ln 2－a. 当a ＜2－2ln 2时，f ′(x)min ＞0，∴f ′(x)的图象恒在x 轴上方，∴f ′(x)没有零点．(2)当x ＞0时，f(x)＋x≥0恒成立，即e x －x 2－ax ＋x －1≥0恒成立，∴ax ≤e x －x 2＋x －1，即a≤e x x －x －1x＋1恒成立．令h(x)=e x x －x －1x ＋1(x ＞0)，则h′(x)=（x －1）（e x－x －1）x2. 当x ＞0时，e x－x －1＞0恒成立，令h′(x)＜0，解得0＜x ＜1，令h′(x)＞0，解得x ＞1， ∴h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴h(x)min =h(1)=e －1.∴a 的取值范围是(－∞，e －1]． 15.解：16.解:19.解：(1)a=0时，f(x)=e x－1－x，f′(x)=e x－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加(2)f′(x)=e x－1－2ax.由(1)知e x≥1＋x，当且仅当x=0时等号成立．故f′(x)≥x－2ax=(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤0.5时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)=0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由e x>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)，从而当a>时，f′(x)<e x－1＋2a(e－x－1)=e－x(e x－1)(e x－2a)，故当x∈(0，ln2a)时， f′(x)<0，而f(0)=0，于是当x∈(0，ln2a)时，f(x)<0，综上可得a的取值范围为(－∞，0.5]．20.解：（1）证明：由已知易得，所以令得：显然，时，<0，函数f（x）单调递减；时，>0，函数f（x）单调递增，所以，令，则由得，时，>0，函数t（）单调递增；时，<0，函数t（）单调递减，所以，即结论成立.（2）由题设化简可得，令，所以由=0得①若，即时，在上，有，故函数单调递增所以②若，即时，在上，有，故函数在上单调递减，在上，有.故函数在上单调递增，所以，在上，故欲使，只需即可令, 由得所以，时，，即单调递减又，故。

实战演练·高三数学附加分20套江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 、CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若PC ＝98，OP ＝12，求PD 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知曲线C ：xy ＝1，若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222对应的变换将曲线C 变为曲线C′，求曲线C′的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C 的方程为 ρ＝2acos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 1、x 2、x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知点A(1，2)在抛物线Γ：y 2＝2px 上．(1) 若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB 、BC 、CA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3，求1k 1－1k 2＋1k 3的值； (2) 若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB 、BC 、CD 、DA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值．23. 设m 是给定的正整数，有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )中a i ＝2或－2(1≤i ≤2m)．(1) 求满足“对任意的k(k ∈N *，1≤k ≤m)，都有a 2k －1a 2k＝－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ；(2) 若对任意的k 、l(k 、l ∈N *，1≤k ≤l ≤m)，都有| i ＝2k －12la i |≤4成立，求满足“存在k(k ∈N *，1≤k ≤m)，使得a 2k －1a 2k≠－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数B.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN ＝2AM.求证：AB ＝2AC.B. (选修4-2：矩阵与变换)设二阶矩阵A 、B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，求B －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z均为正数，求证：xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.(1) 求S＝32的概率；(2) 求S的分布列及数学期望E(S)．23.记1，2，…，n满足下列性质T的排列a1，a2，…，a n的个数为f(n)(n≥2，n∈N*)．性质T：排列a1，a2，…，a n中有且只有一个a i>a i＋1(i∈{1，2，…，n－1})．(1) 求f(3)；(2) 求f(n)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A 、B 、C 、D 、E ，求证：AB·CD ＝BC·DE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知a 、b ∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3所对应的变换T M 把直线2x －y ＝3变换成自身，试求实数a 、b.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求点M ⎝⎛⎭⎫2，π6关于直线θ＝π4的对称点N 的极坐标，并求MN 的长．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 、y 、z 均为正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正四棱锥PABCD 的侧棱长与底边长都为32，点M 、N 分别在PA 、BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝13. (1) 求证：MN ⊥AD ；(2) 求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．23.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ＝0，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积．(1) 求概率P(ξ＝0)；(2) 求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A、B、C、D四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角三角形ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，若△ABC面积S＝34AD·AE，求∠BAC的大小．B. (选修4-2：矩阵与变换)求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002M⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1成立的矩阵M.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O、B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM＝PB，当P变化时，求动点M轨迹的长度．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a、b、c均为正数，且a＋2b＋4c＝3.求1a＋1＋1b＋1＋1c＋1的最小值，并指出取得最小值时a、b、c的值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线．(1) 分别求出凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数；(2) 猜想凸n边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明．23.从集合M＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取三个元素构成子集{a，b，c}．(1) 求a、b、c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；(2) 记a、b、c三个数中相邻自然数的组数为ξ(如集合{3，4，5}中3和4相邻，4和5相邻，ξ＝2)，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，等腰梯形ABCD 内接于圆O ，AB ∥CD.过点A 作圆O 的切线交CD 的延长线于点E.求证：∠DAE ＝∠BAC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 112对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点(1，1)，求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎫23，π6，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，求点P 到直线l 的距离．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x≥1，y≥1，求证：x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在三棱锥PABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2a，点O、D分别是AB、PB的中点，PO⊥AB，连结CD.(1) 若PA＝2a，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；(2) 若二面角APBC的余弦值的大小为55，求PA.23. 设集合A、B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．(1) 若M＝{a1，a2，a3，a4}，直接写出所有不同的有序集合对(A，B)的个数；(2) 若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，求所有不同的有序集合对(A，B)的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，已知AB 是圆O 的直径，圆O 交BC 于点D ，过点D 作圆O 的切线DE 交AC 于点E ，且DE ⊥AC.求证：AC ＝2OD.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 32 1的一个特征值为4，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)求经过极坐标为O(0，0)、A ⎝⎛⎭⎫6，π2、B ⎝⎛⎭⎫62，π4三点的圆的直角坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知正数a 、b 、c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知曲线C ：y 2＝2x －4.(1) 求曲线C 在点A(3，2)处的切线方程； (2) 过原点O 作直线l 与曲线C 交于A 、B 两不同点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．23已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1·(1＋a n )＝1.(1) 试计算a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2) 猜想|a n ＋1－a n |与115⎝⎛⎭⎫25n －1(其中n ∈N *)的大小关系，并证明你的猜想．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的一条直径，C 、D 是圆O 上不同于A 、B 的两点，过B 作圆O 的切线与AD 的延长线相交于点M ，AD 与BC 相交于N 点，BN ＝BM.求证：(1) ∠NBD ＝∠DBM ；(2) AM 是∠BAC 的角平分线．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1的一个特征根为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值；(2) 求A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝532＋2cos θ，y ＝72＋2sin θ(θ为参数)，以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点⎝⎛⎭⎫3，π3为圆心，且过点⎝⎛⎭⎫2，π2的圆．(1) 求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； (2) 求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ＋b ＋c ＝1，a 、b 、c>0.求证： (1) abc ≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知直线l ：y ＝2x －4与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，T(t ，0)(t>0且t ≠2)为x 轴上任意一点，连结AT 、BT 并延长与抛物线C 分别相交于A 1、B 1.(1) 设A 1B 1斜率为k ，求证：k·t 为定值；(2) 设直线AB 、A 1B 1与x 轴分别交于M 、N ，令S △ATM ＝S 1，S △BTM ＝S 2，S △B 1TN ＝S 3，S △A 1TN ＝S 4，若S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列，求t 的值．23如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝π2，顶点C 1在底面△ABC 内的射影是点B ，且AC ＝BC ＝BC 1＝3，点T 是平面ABC 1内一点．(1) 若T 是△ABC 1的重心，求直线A 1T 与平面ABC 1所成的角；(2) 是否存在点T ，使TB 1＝TC 且平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1？若存在，求出线段TC 的长度；若不存在，说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝5，属于特征值λ＝5的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换为(－2，4)，求矩阵M .22. (本小题满分10分)已知直线l 的极坐标方程是ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝42，圆M 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ是参数)．(1) 将直线的极坐标方程化为普通方程； (2) 求圆上的点到直线l 上点距离的最小值．23. (本小题满分10分)如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP ＝m.(1) 若m ＝1，求异面直线AP 与BD 1所成角的余弦；(2) 是否存在实数m ，使直线AP 与平面AB 1D 1所成角的正弦值是13若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．24. (本小题满分10分)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次．在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次．某同学在A 处的命中率为p ，在B 处的命中率为q.该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用X 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为X 0 2 3 4 5 Pp 1p 2p 3p 4p 5(1) 若p ＝0.25，p 1＝0.03，求该同学用上述方式投篮得分是5分的概率；(2) 若该同学在B 处连续投篮3次，投中一次得2分，用Y 表示该同学投篮结束后所得的总分．若p<23q ，试比较E(X)与E(Y)的大小．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角△ABC 的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．若∠C ＝50°，求∠DEF 的度数．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b (其中a ＞0，b ＞0)，若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a ＋b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c 均为正数，求证：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥6 3.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某品牌汽车4S 店经销A 、B 、C 三种排量的汽车，其中A 、B 、C 三种排量的汽车依次有5、4、3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．(1) 求该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率；(2) 记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望．23. 已知点A(－1，0)，F(1，0)，动点P 满足AP →·AF →＝2|FP →|.(1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M 、N ，问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，求矩阵M 的特征值，并任选择一个特征值，求其对应的特征向量．22.(本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π3，半径R ＝2，试判断圆C 是否通过极点，并求圆C 的极坐标方程．23. (本小题满分10分)如图，已知四棱锥SABCD的底面是边长为4的正方形，顶点S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别是2、1.又P是SC的中点，E是BC上一点，CE＝1，SO＝3，过O在底面内分别作AB、BC垂线Ox、Oy，分别以Ox、Oy、OS为x、y、z轴建立空间直角坐标系．(1) 求平面PDE的一个法向量；(2) 问在棱SA上是否存在一点Q，使直线BQ∥平面PDE？若存在，请给出点Q在棱SA上的位置；若不存在，请说明理由．24.(本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝4y，在直线y＝－1上任取一点M，过M作抛物线C的两条切线MA、MB.(1) 求证：直线AB过一个定点，并求出这个定点；(2) 当弦AB中点的纵坐标为2时，求△ABM的外接圆的方程．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.(1) 求证：四边形ACBE 为平行四边形； (2) 若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1) 求矩阵A ；(2) 若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求x 、y 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某中学有4位学生申请A、B、C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．(1) 求恰有2人申请A大学的概率；(2) 求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．23.设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n∈N*，有f(n)∈Z；②任意m、n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．(1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2) 求f(n)的表达式．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB ＝AD ，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CD AB ＝ABBE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：(1) 圆的普通方程； (2) 圆的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．(1) 求甲同学至少有4次投中的概率；(2) 求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望．23.设S n ＝C 0n －C 1n －1＋C 2n －2－…＋(－1)m C m n －m ，m 、n ∈N *且m ＜n ，其中当n 为偶数时，m ＝n2；当n 为奇数时，m ＝n －12. (1) 证明：当n ∈N *，n ≥2时，S n ＋1＝S n －S n －1；(2) 记S ＝12 014C 02 014－12 013C 12 013＋12 012C 22 012－12 011C 32 011＋…－11 007C 1 0071 007，求S 的值．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上的一点，过D 作直线DP ∥CA ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P.求证：△PAE ∽△BDE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝1及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1且M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，求矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，设动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A(1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ≥2，x ∈R .求证：|x －1＋a|＋|x －a|≥3.【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝12AB ，点E 是棱AB 上一点且AEEB ＝λ.(1) 证明：D 1E ⊥A 1D ；(2) 若二面角D 1ECD 的大小为π4，求λ的值．23. 设数列{a n }共有n(n ≥3，n ∈N )项，且a 1＝a n ＝1，对每个i(1≤i ≤n －1，i ∈N )，均有a i ＋1a i ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2. (1) 当n ＝3时，写出满足条件的所有数列{a n }(不必写出过程)；(2) 当n ＝8时，求满足条件的数列{a n }的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD ·EC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1(k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a 、k 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 212＝1上在第一象限的点，A(2，0)、B(0，23)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 面积的最大值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在正四棱锥PABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M 、N 分别在线段PA 和BD 上，BN ＝13BD.(1) 若PM ＝13PA ，求证：MN ⊥AD ；(2) 若二面角MBDA 的大小为π4，求线段MN 的长度．23. 已知非空有限实数集S 的所有非空子集依次记为S 1，S 2，S 3，…，集合S k 中所有元素的平均值记为b k .将所有b k 组成数组T ：b 1，b 2，b 3，…，数组T 中所有数的平均值记为m(T)．(1) 若S ＝{1，2}，求m(T)；(2) 若S ＝{a 1，a 2，…，a n }(n ∈N *，n ≥2)，求m(T)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，以边AC 上的点O 为圆心，OA 为半径作圆，与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，EC 与圆O 交于点D ，连结AD 并延长交BC 于P ，已知AE ＝EB ＝4，AD ＝5，求AP 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知点M(3，－1)绕原点逆时针旋转90°后，且在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02b 对应的变换作用下，得到点N(3，5)，求a 、b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)如图，在极坐标系中，设极径为ρ(ρ＞0)，极角为θ(0≤θ＜2π)．圆A 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点C 在极轴的上方，∠AOC ＝π6.△OPQ 是以OQ 为斜边的等腰直角三角形，若C为OP 的中点，求点Q 的极坐标．D. (选修4-5：不等式选讲)已知不等式|a－2|≤x2＋2y2＋3z2对满足x＋y＋z＝1的一切实数x、y、z都成立，求实数a的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Axyz中，已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，点B、D、B1分别在x、y、z轴上，B1A＝3，P是侧棱B1B上的一点，BP＝2PB1.(1) 写出点C1、P、D1的坐标；(2) 设直线C1E⊥平面D1PC，E在平面ABCD内，求点E的坐标．23.如图，圆周上有n个固定点，分别为A1，A2，…，A n(n∈N*，n≥2)，在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n.(1) 写出a2，a3，a4的值；(2) 写出a n的表达式，并用数学归纳法证明．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F.求证：△DEF ∽△EAF.B. (选修4-2：矩阵与变换)若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a 0－1 2把直线l ：x ＋y －2＝0变换为另一条直线l′：x ＋y －4＝0，试求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P(0，1)，曲线C 的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求PA·PB 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x ＞0，y ＞0，a ∈R ，b ∈R .求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋by x ＋y 2≤a 2x ＋b 2y x ＋y .【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F(1，0)，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N 为平面内的动点，且满足PM →·PF →＝0，PM →＋PN →＝0.(1) 求动点N 的轨迹C 的方程；(2) 设点Q 是直线l ：x ＝－1上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS 、QT ，切点分别为S 、T ，设切线QS 、QT 的斜率分别为k 1、k 2，直线QF 的斜率为k 0，求证：k 1＋k 2＝2k 0.23.各项均为正数的数列{x n }对一切n ∈N *均满足x n ＋1x n ＋1＜2.证明：(1) x n ＜x n ＋1；(2) 1－1n ＜x n ＜1.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝10，ED ＝3，求BC 的长．B. (选修42：矩阵与变换)已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 1对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1) 求实数a 、b 的值；(2) 若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cost ，y ＝2sint (t 为参数)，曲线C 在点(1，3)处的切线为l.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)设x 、y 、z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求证：x ＋y ＋z ＝3147.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一批产品需要进行质量检验，质检部门规定的检验方案是：先从这批产品中任取3件作检验，若3件产品都是合格品，则通过检验；若有2件产品是合格品，则再从这批产品中任取1件作检验，这1件产品是合格品才能通过检验，否则不能通过检验，也不再抽检；若少于2件是合格品，则不能通过检验，也不再抽检．假设这批产品的合格率为80%，且各件产品是否为合格品相互独立．(1) 求这批产品通过检验的概率；(2) 已知每件产品检验费为125元，并且所抽取的产品都要检验，记这批产品的检验费为ξ元，求ξ的概率分布及数学期望．23.已知数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n ＝3n －19，b n ＝2n .将{a n }与{b n }中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{c n }．(1) 试写出c 1，c 2，c 3，c 4的值，并由此归纳数列{c n }的通项公式；(2) 证明你在(1)所猜想的结论．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为圆O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F.求证：△PDF ∽△POC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2c d (c 、d 为实数)．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4，0)，半径为4，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°.(1) 求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；(2) 求二面角BAB1C平面角的余弦值．23.在数列{a n}中，已知a1＝20，a2＝30，a n＋1＝3a n－a n－1(n∈N*，n≥2)．(1) 当n＝2，3时，分别求a2n－a n－1a n＋1的值，并判断a2n－a n－1a n＋1(n≥2)是否为定值，然后给出证明；(2) 求出所有的正整数n，使得5a n＋1a n＋1为完全平方数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲) 如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD 的垂直平分线．已知AB ＝6，CD ＝25，求线段AC 的长度．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求ad －bc 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A 、B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求线段AB 的最小值．。

高三数学数列专项练习题及答案一、选择题1.已知数列{an}的通项公式为an = 3n + 2，则数列的首项是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2.有一个等差数列的第1项是3，公差是4，求该数列的第10项：A. 23B. 27C. 30D. 33答案：C3.已知数列{an}的前n项和Sn = n^2 + 2n，求该数列的通项公式。

A. an = n^2B. an = n^2 + 2n + 1C. an = n^2 + nD. an = n^2 + 2n答案：D4.已知等差数列{an}的前n项和Sn = 2n^2 + 3n，求该数列的第10项。

A. 183B. 193C. 203D. 213答案：C5.已知等差数列{an}的前5项之和为10，其中首项为a1，公差为d，求a5的值。

A. 4B. 5C. 6D. 7答案：D二、填空题1.已知等差数列{an}的前n项和Sn = 2n^2 + 5n，求a1的值。

答案：22.已知数列{an}的通项公式为an = 2^n，其中n为自然数，求该数列的前5项之和。

答案：623.已知等差数列{an}的前n项和Sn = n^2 + 3n，求a1的值。

答案：14.已知等差数列{an}的前n项和Sn = 4n - n^2，求该数列的第7项。

答案：115.已知等差数列{an}的首项为3，公差为-2，求该数列的第8项。

答案：-5三、解答题1.已知数列{an}的通项公式为an = 3n + 2，求该数列的前10项。

解答：将n分别代入1到10，得到该数列的前10项为：5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32。

2.已知等差数列{an}的首项是5，公差是3，求该数列的前10项之和。

解答：根据等差数列的图像性质可知，首项和末项之和等于前n项和的两倍。

所以，末项为a10 = 5 + 3 × (10 - 1) = 32。

故前10项之和为(5 + 32) × 10 ÷ 2 = 185。

2020届高三数学精准培优专练二十：概率中的几何概型（附解析）1.长度类几何概型例1：已知函数()22f x x x =--，[]5,5x ∈-，在定义域内任取一点0x ，使()00f x ≤的概率是（ ） A ．110 B ．23 C ．310 D ．452．面积类几何概型 （1）图形类几何概型例2-1：如图所示，在矩形ABCD 中，2AB a =，AD a =，图中阴影部分是以AB 为直径的半圆，现在向矩形ABCD 内随机撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是（ ）A ．1000B ．2000C ．3000D ．4000 （2）线性规划类几何概型例2-2：甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（ ） A ．14 B ．13C ．34D ．716 （3）利用积分求面积例2-3：如图，圆222:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（ ）A ．24π B ．34π C ．22π D ．32π3．体积类几何概型例3：一个多面体的直观图和三视图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，由它飞入几何体F AMCD -内的概率为（ ）A ．34 B ．23 C ．13D ．12 对点增分集训一、单选题1．如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23．则阴影区域的面积约为（ ）A ．23 B ．43 C ．83D ．无法计算 2．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（ ）A ．110 B ．16 C ．15D ．56 3．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（ ）A ．1-B ．34CD ． 144．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件2""3x y +≤的概率，则P =（ ）A ．23 B ．12 C ．49 D ．295．在区间[]02,上随机取一个数，sin 2x π的值介于0到12之间的概率为（ ） A ．13B ．2πC ．12D ．236．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离1PA <的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．π4D ．π 7．如图所示，在椭圆2214x y +=内任取一个点P ，则P 恰好取自椭圆的两个端点连线与椭圆围成阴影部分的概率为（ ）A ．1142-π B ．1144-π C ．18 D ．1188-π8．如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．21-π B ．2π C ．22πD ．221-π9．把不超过实数x 的最大整数记为[]x ，则函数()[]f x x =称作取整函数，又叫高斯函数，在[]14,上任取x ，则[]x =的概率为（ ）A ．14 B ．13C ．12D ．23 10．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对()x y ,，再统计其中能与1构成钝角三角形三边的数对()x y ,的个数m ，最后根据统计个数m 估计π的值．如果统计结果是34m =，那么可以估计π的值为（ ）A ．227 B ．4715C ．5116D ．531711．为了节省材料，某市下水道井盖的形状如图1所示，其外围是由以正三角形的顶点为圆心，正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形，这个曲边三角形称作“菜洛三角形”．现有一颗质量均匀的弹珠落在如图2所示的莱洛三角形内，则弹珠恰好落在三角形ABC 内的概率为（ ）A C D ．1 12．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（ ）A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+二、填空题13．在区间[]02,内任取一个实数a ，则使函数()()21log a f x x -=在()0+∞,上为减函数的概率是___________． 14．记集合(){}2216A x y xy =+≤,，集合()(){}40, B x y x y x y A =+-≤∈,,表示的平面区域分别为1Ω，2Ω．若在区域1Ω内任取一点()P x y ,，则点P 落在区域2Ω中的概率为__________． 15．如图，曲线sin32xy π=+把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是__________．16．父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上6点到7点之间，小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上5点半到6点半之间．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为__________．2020届高三数学精准培优专练二十：概率中的几何概型（解析版）1.长度类几何概型例1：已知函数()22f x x x =--，[]5,5x ∈-，在定义域内任取一点0x ，使()00f x ≤的概率是（ ） A ．110 B ．23 C ．310 D ．45【答案】C【解析】先解出()00f x ≤时0x 的取值范围：22012x x x --≤⇒-≤≤，从而在数轴上[]1,2-区间长度占[]5,5-区间长度的比例即为事件发生的概率，∴310P =，故选C ．2．面积类几何概型 （1）图形类几何概型例2-1：如图所示，在矩形ABCD 中，2AB a =，AD a =，图中阴影部分是以AB 为直径的半圆，现在向矩形ABCD 内随机撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是（ ）A ．1000B ．2000C ．3000D ．4000 【答案】C【解析】在矩形ABCD 中，2AB a =，AD a =，面积为22a ，半圆的面积为212a π，故由几何概型可知，半圆所占比例为4π，随机撒4000粒豆子， 落在阴影部分内的豆子数目大约为3000，故选C ． （2）线性规划类几何概型例2-2：甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（ ）A ．14 B ．13C ．34D ．716 【答案】D【解析】设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ， 则所有基本事件构成的区域满足024024x y ≤≤≤≤⎧⎨⎩，这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A 满足0240246x y x y ⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪-≤⎩，作出对应的平面区域如图所示：这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为()181871242416S P A S Ω⨯==-=⨯阴，故选D ．（3）利用积分求面积例2-3：如图，圆222:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（ ）A ．24π B ．34π C ．22π D ．32π【答案】B【解析】构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为3π，正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M ，根据图形的对称性得：面积为02sin dx 2cos 4S x xππ==-=⎰，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ， 则点A 落在区域M 内的概率34P =π，故选B ． 3．体积类几何概型例3：一个多面体的直观图和三视图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，由它飞入几何体F AMCD -内的概率为（ ）A ．34 B ．23 C ．13D ．12 【答案】D【解析】所求概率为棱锥F AMCD -的体积与棱柱ADF BCE -体积的比值． 由三视图可得AD DF CD a ===，且AD ，DF ，CD 两两垂直， 可得31122ADF BCE ADF V S DC AD DF DC a -=⋅=⋅⋅=， 棱锥体积13F AMCD ADMC V DF S -=⋅，而()21324ADCM S AD AM CD a =⋅+=，∴214F AMCD V a -=．从而12F AMCD ADF BCE V P V --==．故选D ．对点增分集训一、单选题1．如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23．则阴影区域的面积约为（ ）A ．23 B ．43 C ．83D ．无法计算 【答案】C【解析】设阴影区域的面积为s ，243s =，∴83s =．故选C ． 2．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（ ） A ．110 B ．16 C ．15D ．56 【答案】B【解析】由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10分钟， ∴概率101606P ==．故选B ． 3．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（ ）A ．1-B ．34CD ． 14【答案】A【解析】满足条件的正三角形如图所示：其中正三角形ABC 的面积16S ==三角形满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离都小于2的平面区域如图中阴影部分所示， 则2S =π阴，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离都大于2的概率为：11P ==-．故选A ． 4．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件2""3x y +≤的概率，则P =（ ）A ．23B ．12C ．49D ．29【答案】D【解析】如图所示，01x ≤≤，01y ≤≤表示的平面区域为ABCD ， 平面区域内满足23x y +≤的部分为阴影部分的区域APQ ，其中203P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,，203Q ⎛⎫⎪⎝⎭,， 结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为1222233119p ⨯⨯==⨯，故选D ．5．在区间[]02,上随机取一个数，sin 2x π的值介于0到12之间的概率为（ ） A ．13 B ．2π C ．12 D ．23【答案】A【解析】由10sin 22x π≤≤，得026x ππ≤≤，或562x ππ≤≤π，∴103x ≤≤或523x ≤≤， 记sin 2A x =π的值介于0到12之间，则构成事件A 的区域长度为15202333-+-=；全部结果的区域[]02,长度为2； ∴()21323P A ==，故选A ．6．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离1PA <的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．π4D ．π 【答案】C【解析】满足条件的正方形ABCD ，如图所示：其中满足动点P 到定点A 的距离1PA <的平面区域如图中阴影部分所示， 则正方形的面积1S =正，阴影部分的面积14S =π阴．故动点P 到定点A 的距离1PA <的概率π4S P S ==阴正．故选C ． 7．如图所示，在椭圆2214x y +=内任取一个点P ，则P 恰好取自椭圆的两个端点连线与椭圆围成阴影部分的概率为（ ）A ．1142-π B ．1144-π C ．18 D ．1188-π【答案】A【解析】先求椭圆面积的14，由2214x y +=知y =∴142S ==椭圆，而0表示y =0x =，2x =围成的面积，即圆224x y +=面积的14，∴0=π，∴01422S π==椭圆，∴2S =π椭圆， ∴概率1112242P π-==-ππ，故选A ． 8．如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．21-π B ．2π C ．22πD ．221-π【答案】A【解析】1S =π⨯=π矩形，又()0sin dx cos cos cos02xππ=-=-π-=⎰，∴2S =π-阴影，∴豆子落在图中阴影部分的概率为221π-=-ππ．故选A ． 9．把不超过实数x 的最大整数记为[]x ，则函数()[]f x x =称作取整函数，又叫高斯函数，在[]14,上任取x ，则[]x =的概率为（ ）A ．14 B ．13C ．12D ．23 【答案】D【解析】当[)12x ∈,时，则1⎤=⎦，满足[]x =；当[)2,3x ∈时，[]2x =⎡⎣，则2=，满足[]x =；当[)3,4x ∈时，[]3x =，则2=不满足[]x =；当4x =时，[]4x ==2=，不满足[]x =．综上，满足[]x =的[)1,3x ∈，则[]x =的概率为312413--＝， 故选D ．10．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对()x y ,，再统计其中能与1构成钝角三角形三边的数对()x y ,的个数m ，最后根据统计个数m 估计π的值．如果统计结果是34m =，那么可以估计π的值为（ ）A ．227 B ．4715C ．5116D ．5317【答案】B【解析】 由题意，120对都小于的正实数()x y ,，满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形的三边的数对()x y ,，满足221x y +<且0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为142π-，∵统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对()x y ,的个数为34m =， 则34112042π=-，∴4715π=，故选B ． 11．为了节省材料，某市下水道井盖的形状如图1所示，其外围是由以正三角形的顶点为圆心，正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形，这个曲边三角形称作“菜洛三角形”．现有一颗质量均匀的弹珠落在如图2所示的莱洛三角形内，则弹珠恰好落在三角形ABC 内的概率为（ ）ACD．1 【答案】A【解析】弹珠落在莱洛三角形内的每一个位置是等可能的， 由几何概型的概率计算公式可知所求概率：222212sin 6021113222sin 602sin 602322ABCABCS P S π⨯⨯===⎛⎫⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭ou u u u u u o ou r △△ (ABC S u u u u u u u r△为莱洛三角形的面积），故选A ． 12．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（ ）A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+ 【答案】A【解析】设AC b =，AB c =，BC a =，则有222b c a +=， 从而可以求得ABC △的面积为112S bc =，黑色部分的面积为22222221122224442c b a c b a S bc bc ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=π⋅+π⋅-π⋅-=π+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦22211422c b a bc bc +-=π⋅+=，其余部分的面积为223112242a a S bc bc π⎛⎫=π⋅-=- ⎪⎝⎭，∴有12S S =， 根据面积型几何概型的概率公式，可以得到12p p =，故选A ．二、填空题13．在区间[]02,内任取一个实数a ，则使函数()()21log a f x x -=在()0+∞,上为减函数的概率是___________． 【答案】14【解析】∵函数()()21log a f x x -=在()0+∞,上为减函数， ∴0211a <-<，112a <<，因此所求概率为1112204-=-．14．记集合(){}2216A x y xy =+≤,，集合()(){}40, B x y x y x y A =+-≤∈,,表示的平面区域分别为1Ω，2Ω．若在区域1Ω内任取一点()P x y ,，则点P 落在区域2Ω中的概率为__________． 【答案】324π+π【解析】画出(){}2216A x y xy =+≤,表示的区域1Ω，即图中以原点为圆心，半径为2的圆；集合()(){}40, B x y x y x y A =+-≤∈,,表示的区域2Ω，即图中的阴影部分．由题意可得116S Ω=π，231164412842S Ω=⨯π+⨯⨯=π+，根据几何概型概率公式可得所求概率为21324S P S ΩΩπ+==π． 15．如图，曲线sin32xy π=+把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是__________．【答案】14【解析】由题意可知，阴影部分的面积4410024sin 3dx cos 422x S x x ⎡π⎤π⎛⎫⎛⎫=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥π⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，正方形的面积：24416S =⨯=，由几何概型计算公式可知此点取自黑色部分的概率：1241164S p S ===． 16．父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋，就在父亲节的当天，快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了，马上可以送到小明家，到达时间为晚上6点到7点之间，小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家，到家的时间在晚上5点半到6点半之间．求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率（快递员把鞋子送到小明家的时候，会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中）为__________．【答案】18【解析】设爸爸到家时间为x ，快递员到达时间为y ，以横坐标表示爸爸到家时间，以纵坐标表示快递送达时间，建立平面直角坐标系，爸爸到家之后就能收到鞋子的事件构成区域如下图：根据题意，所有基本事件构成的平面区域为() 5.5 6.567x x y y ⎧⎫≤≤⎧⎪⎪⎨⎨⎬≤≤⎩⎪⎪⎩⎭,，面积1S =，爸爸到家之后就能收到鞋子的事件，构成的平面区域为() 5.5 6.5670x x y y x y ⎧⎫≤≤⎧⎪⎪⎪≤≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎩⎭,，直线0x y -=与直线 6.5x =和6y =交点坐标分别为()66,和()6.56.5,， 2111228S ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭阴影， 由几何概型概率公式可得，爸爸到家之后就能收到鞋子的概率：18S P S ==阴影． 故答案为18．。

利用多出来的一个月，多多练习，提升自己，加油！ 1．已知集合∈+==<-n n x x N x x M ,12|{},04|{2Z ），则集合N M 等于（ ） A ．{－1，1} B ．{－1，0，1} C ．{0，1}D ．{－1，0}2．函数xx y cos sin 4=的最小正周期及最大值分别是（ ）A ．2,2πB ．2,πC ．1,2πD ．1,π3．下列函数中既是奇函数，又在区间),0(+∞上单调递增的是 （ ）A ．x y sin =B ．2x y -=C ．2lg x y =D ．3x y -=4．直线02)1(012=+-+=-+y a x y ax 与平行，则a 等于（ ）A ．23B ．2C ．－1D ．2或－15．已知直线⊥m 平面α，直线⊂n 平面β，则下列命题正确的是（ ） A ．若n m ⊥则,//βα B ．n m //,则若βα⊥C ．βα//,则若n m ⊥D ．αβα//,//则若n 6．设则且,0,0><+a b a （ ） A ．22b ab a <-< B ．22a ab b <-<C ．ab b a -<<22D ．22a b ab <<7．如右图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线 A 1B 与B 1C 所成角的大小为 . 8．已知|a |=2，|b |,2=a 与b 的夹角为45°，则()b a a -= .9．抛物线)2,2(22M px y 过点=，则p= ；点M 到抛物线准线的距离为 . 10．如图所示的流程图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成，箭头将告诉你下一步到哪一个框图.阅读右边的流程图，并回答下面问题：若c b a >>，则输出的数是 ；若,5log ,6.0,5656.0===c b a 则输出的数是 .（用字母a ，b ，c 填空）11．已知向量OB OA OC OB OA +==--=),3,2(),1,3(，则向量OC 的坐标是 ，将向量OC 按逆时针方向旋转90°得到向量OD ，则向量OD 的坐标是 .12．双曲线C ：)0(22>=-m m x y 的离心率为 ，若直线01=--y x 与双曲线C 的交点在以原点为中心、边长为4且各边分别平行于两坐标轴的正方形内，则实数m 的取值范围是 .7 . 8 9 . 10 11、 . 12.高三数学小题专项训练（5）1．A 2．B 3．C 4．D 5．A 6．A 7．60° 8．－29．25;1 10．a a ;11．（－1，2），（－2，－1）12． 30,2<<m1．在下列各点中，不在不等式235x y +<表示的平面区域内的点为（ ）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，2）D．（2，0）2．已知sin()απ-=413，则cos()πα4+的值等于（）A．232B．-232C．13D．-133．若函数y f x x R=∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y f x=()图象上的是（）A．(())a f a，-B．(())--a f a，C．(())---a f a，D．(())a f a，-4．与直线430x y-+=平行的抛物线y x=22的切线方程是（）A．410x y-+=B．410x y--=C．420x y--=D．420x y-+=5．等比数列{a n}中，a3＝4，a5＝16，则a9＝（）A．256 B．－256 C．128 D．－1286．在半径为10cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=83，∠ACB＝60°，则球心O到平面ABC的距离为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm7．f'（x）是f（x）的导函数，f x'()的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．8．图中阴影部分用集合符号表示为_____________。