三角函数专题二

专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二 因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。

学科教师辅导讲义()22sin 1y x y ψ-=+，应用()sin 1x ψ-≤，解得3333y -≤≤，又0x π<<，则303y <≤，故欲求函数的最大值为33。

【解法二】设tan2x t =，则原函数变成223t y t=+，得()22300yt t y y -+=>，利用判别式24120y =-≥V ，即231y ≤，又0y >，解得303y <≤，故y 的最大值为33此时13t y ==，即2tan 3,23x x π== 【点拨】上述所给出的两种解法，均体现了一种转化与化归的数学思想方法，实际上，也给出了对求形如sin cos a x by c x d+=+值域的两种通法，另外，若以后学过《解析几何》之后，利用斜率的概念，还可以给出本题的另外一种数形结合的解题方法。

2、数形结合思想数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察的思想，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，简言之“数形互相取长补短”。

例2、定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =+，当[]3,5x ∈时，()24f x x =--，则（ ） A 、sincos 66f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 、()()sin1cos1f f > C 、22cossin 33f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D 、()()cos2sin 2f f > 【分析】由()()2f x f x =+知()f x 是以2T =为周期的函数，又Q []3,5x ∈时，()24f x x =--，可知，当[]3,4x ∈，()2f x x =-；当(]4,5x ∈时，()6f x x =-+，如第一个图所示，知()f x 在[]1,0-上是增函数，在[]0,1上是减函数，由第二个图可知0cos2sin 2<<【答案】D。

专题2 三角函数压轴小题一、单选题1．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2b aC a-=，则sin sin B A +的取值范围是（ ） A ．332⎫⎪⎪⎝⎭B ．(3⎤⎦C ．32,2⎫⎪⎭D ．832,⎦2．已知正实数C 满足：对于任意θ，均存在,,0255i j i j ∈≤≤≤Z ，使得2cos iC jθ-≤，记C 的最小值为λ，则（ ） A ．1120001000λ<< B ．111000500λ<< C ．11500200λ<< D ．11200100λ<<3．已知△ABC 中，22AB AC ==()min 2AB BC R λλ+=∈，2AM MB =，22sin cos AP AB AC αα=⋅+⋅，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则MP 的最小值为（ ） A 3B ．23C 5D 64．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（ ）A ．33⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2343⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2343⎫⎪⎪⎝⎭D ．2343⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭5．在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，设ABC 的面积为S ，则24Sa bc+的最大值为（ ） A 2B 3C 3D 26．已知函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间[0,]π上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：△()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点； △()f x 的最小正周期可能是2π； △ω的取值范围是131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；△()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△△7．设函数()211f x x =-，()122x fex --=，()31sin 23f x x π=，99i ia =，0i =、1、2、、99.记()()()()()()10219998k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-，1k =、2、3，则（ ）A ．123I I I <<B ．321I I I <<C ．132I I I <<D ．213I I I <<8．设a △R ，函数f (x )()()2222215cos x a x a x a x a x a ππ⎧-⎪=⎨-+++≥⎪⎩＜，若函数f (x )在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（2，94]△（52，114]B ．（74，2]△（52，114]C ．（2，94]△[114，3）D ．（74，2）△[114，3）9．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（ ）A ．4359,1515⎛⎫⎪⎝⎭B ．4315⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)⎡+∞⎣10．直线1y =与函数π()2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像在y 轴右侧交点的横坐标从左到右依次为12n a a a 、、、，下列结论：△π2cos 23f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；△()f x 在π5π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；△12n a a a 、、、为等差数列；△121234πa a a +++=．其中正确的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．011．）已知()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ，给出下述四个结论: △()y f x =是偶函数; △()y f x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数;△()y f x =在(,2)ππ上为增函数; △()y f x =的最大值为22 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△12．已知函数()()()()()222sin 2π2π3,R 216,x a x af x a x a x a x a ⎧-<⎪=∈⎨-++-+≥⎪⎩，若()f x 在区间()0,∞+内恰好有7个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．5817,,3236⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B ．581711,,2363⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦C ．51711,3,263⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦D ．81711,3,363⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦13．已知函数()()()sin cos cos sin f x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 的最大值为2 C ．()(),x f x f x π∀∈-=RD ．[]()0,,0x f x ππ∀∈+>14．已知 11sin 65a =, 11sin 56b =, 15cos 156c =, 则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ． c a b <<15．在ABC 中，角A B C ､､所对的边分别是,120,a b c A D =､､是边BC 上一点，AB AD ⊥且3AD =，则2b c +的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．916．（2022·江苏南通·高三开学考试）已知锐角ABC 满足23AB =60C ∠=°且O 为ABC 的外接圆圆心，若OC OA OB λμ=+，则2λμ-的取值范围为（ ） A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．[2,2)-D ．(2,2)-17．（2023·全国·高三专题练习）已知,x y ∈R ，则表达式22cos cos cos x y xy （ ）A ．既有最大值，也有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值18．（2023·全国·高三专题练习）设数列{}n a 的通项公式为()()()*121cos1N 2nn n a n n π=--⋅+∈，其前n 项和为n S ，则120S =（ ） A ．60- B ．120- C ．180 D ．24019．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，7cos 25A =，ABC 的内切圆的面积为16π，则边BC 长度的最小值为（ ） A ．16B ．24C ．25D ．3620．（2023·全国·高三专题练习）在锐角ABC中，cos cos()sin sinA CA B Ca c+=，且cos2C C+=，则a b+的取值范围是（）A．(4⎤⎦B．(2,C．(]0,4D．(]2,4 21．（2022·山西·忻州一中模拟预测（文））定义：设不等式()0f x>的解集为A，若A中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”．若关于x的不等式sin cos2sin cosx x mx x x+>+-在(0,)π上存在“和谐解集”，则实数m的取值范围为（）A．cos2[,cos1)2B．cos2(,cos1]2C．[]cos2,cos1D．[]cos2,sin222．（2023·全国·高三专题练习）设ω∈R，函数()()22,0,6314,0,22sin x xf xg x xx x xπωωω⎧⎛⎫+≥⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎪++<⎪⎩．若()f x在1,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x与()g x的图象有三个交点，则ω的取值范围是（）A．12,43⎛⎤⎥⎝⎦B．23⎤⎥⎝⎦C．14⎡⎢⎣⎭D．4412,0,33⎡⎫⎡⎤-⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦23．（2022·全国·高三专题练习（文））在三角函数部分，我们研究过二倍角公式2cos22cos1x x=-，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中不正确的有（）A．3cos34cos3cosx x x=-B．存在||1x≤时，使得3|43|1x x->C．给定正整数n，若||1ix≤，(1,2,,)i n=，且31niix==∑，则1||3niinx=≤∑D．设方程38610x x--=的三个实数根为1x，2x，3x，并且123x x x<<，则2232312()xx x x-=-二、多选题24．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）若()sin cosx x x xf x=-，则下列说法正确的是（）A．()f x的最小正周期是2πB．()f x的对称轴方程为212kxππ=-，()k∈ZC．存在实数a，使得对任意的x∈R，都存在125,01,2x xπ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且12x x≠，满足()()()210k f x af x f x -+=⎡⎤⎣⎦，()1,2k =D ．若函数()()2g x f x b =+，250,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（b 是实常数），有奇数个零点()12221,,,,N n n x x x x n +⋅⋅⋅∈，则()1232215023n n x x x x x π++++⋅⋅⋅++=25．（2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）已知在平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，60A ∠=︒，把△ABD 沿BD 折起使得A 点变为'A ，则（ ）A ．7BD =B ．三棱锥'A BCD -3C ．当'A C BD =时，三棱锥'A BCD -10D ．当'A C BD =时，'60A BC ∠=︒26．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 在区间75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有下列结论正确的有( ) A ．203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； C ．关于x 的方程()1f x =在区间[0,2)π上最多有4个不相等的实数解 D ．若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦ 27．（2022·全国·高三专题练习（文））由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n （n *∈N ）次多项式()12012n n n n n P t a t a ta t a --=+++⋅⋅⋅+（012,,,n a a a a ⋅⋅⋅∈R ），使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff )多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（ ）A ．()3343P t t t =-+B ．()424881P t t t =-+C ．51sin18-︒=D ．51cos18+︒=28．（2022·全国·高三专题练习）设正整数k 使得关于x 的方程sin kx x =在区间()33ππ-，内恰有5个实根12345x x x x x <<<<，则（ ） A ．123450x x x x x +++=+B ．5295122x ππ<< C ．55tan x x =D ．2x ，4x ，5x 成等差数列 三、填空题29．（2022·安徽淮南·二模（理））ABC 中，120,BAC AO ∠︒=为BC边上的中线，AO =则2AB AC -的取值范围是________．30．（2023·全国·高三专题练习）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．31．（2022·全国·高三专题练习（文））1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知ABC 中，其中60A ∠=︒，1BC =，P 为费马点，则PB PC PA +-的取值范围是__________.32．（2022·全国·高三专题练习）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，以MN 为边作等边PMN ，使得点A ，P 位于直线MN 的两侧，则PN PB ⋅的最小值为______．33．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习（文））设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11b c >，1112b c a +=，11,2n n n n n a c a a b +++==，12n n n a bc ++=，则nA ∠的最大值是________________.34．（2022·天津西青·高三期末）在等腰直角三角形ABC 中，π2C ∠=，点P 在三角形内，满足2(222)0PA PB PC +++=，则APB ∠=______.35．（2022·全国·高三专题练习（理））函数ππ5sin (1510)55y x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象与函数25(1)22x y x x +=++图象的所有交点的横坐标之和为___________.36．（2022·全国·高三专题练习）△ABC 内接于半径为2的圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于1A ，1B ，1C .则111coscos cos 222sin sin sin A B CAA BB CC A B C++++的值为_____________.37．（2022·福建师大附中高三阶段练习）已知非零实数,x y 满足222x yxy x y y x++=-， 则22x y +的最小值为_____．38．（2022·全国·成都七中高三开学考试（文））ABC 的外心为O ，三个内角A B C ，，所对的边分别为1825a b c AO BC a a c ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，，，，4b =.则ABC 面积的最大值为____________. 39．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）对开区间(),I a b =，定义I b a =-，当实数集合M 为n 段（n 为正整数）互不相交的开区间12n I I I ､､､的并集时，定义1||nk k M I ==∑，若对任意上述形式的()0,2π的子集A ，总存在Z k ∈，使得k A A λ≥，其中|,|tan 214k k A x x A x π⎧⎫⎛⎫=∈+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，则λ的最大值为___________. 40．（2021·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知4Cπ， 2222a b c -=，则A ＝____________.41．（2022·安徽·高三开学考试）有下列命题: △函数tan y x =在定义域内是增函数;△函数1π()cos 234f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为3π;△直线πx =为函数()sin(cos )cos f x x x =+图像的一条对称轴; △函数()|sin |cos f x x x =+的值域为[2]-.其中所有正确命题的序号为_____.42．（2021·江西南昌·高三阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足2224,4c c a b ==+， 则ABC 的面积取得最大值时，cos C =______．43．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin sin cos cos 3sin B C A C A a c =+，且ABC的面积222)ABC S a b c +-△，则c a b+的取值范围是___________.44．（2022·全国·高三专题练习）已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin 22sin αββ+=，则tan β的最大值为________.45．（2022·北京·测试学校四高三）若ABC 三边长为等差数列，则cos cos cos A B C ++的取值范围是___________.46．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，()2ABCcSa b =-，其外接圆半径2R =，且())224sin sin sin A B b B -=-，则sinsin 22A B C-+=___________. 47．（2022·北京·测试学校四高三）已知凸四边形ABCD 满足50,40ABD BDC CAD ACB ∠∠∠∠====，则符合题意且不相似的凸四边形ABCD 的个数为___________.48．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，0πϕ<< ，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________．49．（2022·上海金山·二模）设()sin f x a x =+，若存在125,,,,36n x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()()()121n n f x f x f x f x -+++=成立的最大正整数n 为9，则实数a 的取值范围是__________.50．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A B >，若7sin 2cos sin 25C A B =+，则tan B 的取值范围为_______． 四、双空题51．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222222a b a b c c ab-+-=，若4C π，则A =___________；若ABC 为锐角三角形，则2cos ab B的取值范围是___________.52．（2022·广东佛山·高三期末）菱形ABCD 中，ππ1,,32AB A ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，点E ，F 分别是线段,AD CD 上的动点（包括端点），AE CF =，则()AE CF AC +⋅=___________，ED EB ⋅的最小值为___________.53．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，D 是BC 边上一点，且6B π=，12AD BD =，若D 是BC 的中点，则ACAB=______；若3AC =ADC 的面积的最大值为_________．。

微专题2 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题重点，其中关键是运用倍角公式、两角和与差公式进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心； 2.正、余弦定理及应用是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题，常与三角恒等变换交汇融合，注重基础知识、基本能力的考查.1.(2021·全国乙卷)cos 2π12－cos 25π12＝( ) A.12B.33C.22D.32答案 D解析 因为cos 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－5π12＝sin π12，所以cos 2π12－cos 25π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.故选D.2.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin β，则( ) A.tan(α－β)＝1 B.tan(α＋β)＝1 C.tan(α－β)＝－1 D.tan(α＋β)＝－1 答案 C解析 由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β ＝22×22(cos α－sin α)sin β，整理，得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0， 所以tan(α－β)＝－1，故选C.3.(2021·全国甲卷)在△ABC 中，已知B ＝120°，AC ＝19，AB ＝2，则BC ＝( ) A.1 B. 2 C. 5 D.3答案 D解析 法一 由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC 2＋2BC －15＝0，解得BC ＝3或BC ＝－5(舍去). 故选D.法二 由正弦定理AC sin B ＝AB sin C ，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝5719，从而cos C ＝41919(C 是锐角)，所以sin A ＝sin [π－(B ＋C )]＝sin (B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×41919－12×5719＝35738. 又AC sin B ＝BC sin A ，所以BC ＝AC ·sin Asin B ＝3.故选D.4.(2021·浙江卷)在△ABC 中，B ＝60°，AB ＝2，M 是BC 的中点，AM ＝23， 则AC ＝________；cos ∠MAC ＝________. 答案 21323913解析 由B ＝60°，AB ＝2，AM ＝23，及余弦定理可得BM ＝4， 因为M 为BC 的中点，所以BC ＝8. 在△ABC 中，由余弦定理可得AC 2＝AB 2＋BC 2－2BC ·AB ·cos B ＝4＋64－2×8×2×12＝52， 所以AC ＝213，所以在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝AC2＋AM2－MC22AC·AM＝52＋12－162×213×23＝23913.5.(2022·全国乙卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin(A －B)＝sin B sin(C－A).(1)若A＝2B，求C；(2)证明：2a2＝b2＋c2.(1)解由A＝2B，A＋B＋C＝π，可得A＝2π－2C3.将A＝2B代入sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，可得sin C sin B＝sin B sin(C－A).因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以sin C＝sin(C－A).又A，C∈(0，π)，所以C＋C－A＝π，即A＝2C－π，与A＝2π－2C3联立，解得C＝5π8.(2)证明法一由sin C sin(A－B) ＝sin B sin(C－A)，可得sin C sin A cos B－sin C cos A sin B ＝sin B sin C cos A－sin B cos C sin A，结合正弦定理可得，ac cos B－bc cos A＝bc cos A－ab cos C，即ac cos B＋ab cos C＝2bc cos A(*).由余弦定理得，ac cos B＝a2＋c2－b22，ab cos C＝a2＋b2－c22，2bc cos A＝b2＋c2－a2，将上述三式代入(*)式并整理，得2a2＝b2＋c2.法二因为A＋B＋C＝π，所以sin C sin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2A cos2B－cos2A sin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sin B sin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.热点一三角恒等变换1.三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”.2.三角恒等变换“四大策略”(1)数值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等.(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等.(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化，实现角和函数名的统一.例1 (1)(2022·长沙长郡中学调研)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且12cos 2α＋7sin 2α－4＝0，若tan(α＋β)＝3，则tan β＝( ) A.－113或－7 B.－711或1 C.1D.－113(2)(2022·深圳质检)已知α，β∈(0，π)且tan α＝12，cos β＝－1010，则α＋β＝( ) A.π4 B.3π4 C.5π6 D.5π4 答案 (1)D (2)B解析 (1)由12cos 2α＋7sin 2α－4＝0，得4cos 2α＋7sin αcos α－2sin 2α＝0， ∴2tan 2α－7tan α－4＝0， 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得tan α＝4. 又∵tan(α＋β)＝3， ∴tan β＝tan(α＋β－α)＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝3－41＋3×4＝－113，故选D.(2)因为α，β∈(0，π)且tan α＝12， cos β＝－1010，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，23π，sin β＝1－cos 2β＝31010，tan β＝sin βcos β＝－3，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，56π，因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋（－3）1－12×（－3）＝－1，所以α＋β＝3π4.故选B.易错提醒 (1)求三角函数值时，要注意根据角的范围判断三角函数值的符号来确定其值.(2)对于给值求角问题，要根据已知角求这个角的某个三角函数值，然后结合角的范围求出角的大小，求解时，要尽量缩小角的取值范围，避免产生增解. 训练1 (1)(2022·重庆诊断)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝( )A.4－3310 B.33－410C.43－310D.4＋3310(2)(2022·盐城二模)计算2cos 10°－sin 20°cos 20°所得的结果为( ) A.1 B. 2 C. 3D.2 答案 (1)D (2)C解析 (1)由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且sin α＝45， 得cos α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝4＋3310.故选D.(2)原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.热点二 正弦定理和余弦定理1.正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径).变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等.2.余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .例2 (1)(2022·邢台联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋b )·(sin A －sin B )＝c sin C ＋b (1＋cos A )·sin C ，则cos A ＝( ) A.－13 B.－23 C.13D.23(2)(2022·烟台模拟)在△ABC 中，已知C ＝120°，sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为23，则AB 的长为________. 答案 (1)A (2)27解析 (1)由题意及正弦定理可得(a ＋b )(a －b )＝c 2＋bc (1＋cos A )， 整理得a 2＝b 2＋c 2＋bc (1＋cos A )， 因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以－2cos A ＝1＋cos A ， 解得cos A ＝－13.(2)设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 由sin B ＝2sin A 及正弦定理可得b ＝2a ， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12a ×2a ×32＝23，∴a ＝2，b ＝4，由余弦定理可得c 2＝4＋16－2×2×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝28，∴c ＝27.规律方法 (1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理.(2)涉及边a ，b ，c 的齐次等式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形.训练2 (1)(2022·泰安三模)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，cos C ＝34，则tan A ＝( ) A.56B.76C.53D.73(2)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B 等于( ) A.19 B.13 C.12 D.23 答案 (1)D (2)A 解析 (1)由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2BC ·AC cos C ＝32＋22－2×3×2×34＝4， 所以AB ＝2，所以AB ＝BC ， 所以A ＝C ，所以cos A ＝cos C ＝34， 则sin A ＝74，故tan A ＝73.故选D.(2)由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9， 所以AB ＝3，所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.热点三 正弦定理、余弦定理的综合应用1.利用正、余弦定理解决实际问题的一般流程：分析→列关系式→求解→检验2.涉及正、余弦定理与三角形面积的综合问题求三角形面积时常用S＝12ab sin C形式的面积公式.3.在△ABC中，有a＝b cos C＋c cos B，b＝a cos C＋c cos A，c＝a cos B＋b cos A，称为射影定理，在小题中使用可快速化简，大题解答时需有简单证明过程.Ｋ例3 (2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(3≈1.732)()A.346B.373C.446D.473答案 B解析如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝100tan 15°.在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝180°－∠A′C′B′－∠A′B′C′＝75°，则BD＝A′B′＝C′B′·sin 45°sin 75°，又在B 点处测得A 点的仰角为45°， 所以AD ＝BD ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，所以高度差AA ′－CC ′＝AD ＋BE ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°＋100＝100tan 15°·sin 45°sin 75°＋100 ＝100sin 45°sin 15°＋100＝100×2222×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋100＝100(3＋1)＋100≈373.例4 (2022·北京海淀区模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＝3b cos A . (1)求A ；(2)从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使△ABC 存在且唯一确定，并求△ABC 的面积.第①组条件：a ＝19，c ＝5. 第②组条件：cos C ＝13，c ＝4 2. 第③组条件：AB 边上的高h ＝3，a ＝3.注：如果选择多种情形分别解答，按第一个解答计分.解 (1)因为a sin B ＝3b cos A ，由正弦定理可得sin A sin B ＝3sin B cos A ， 又B ∈(0，π)，所以sin B ≠0， 则sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)若选择第①组条件，由余弦定理可得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即19＝b 2＋25－5b ，解得b ＝2或3，不符合题意， 故不能选第①组条件.若选择第②组条件，因为C ∈(0，π)， cos C ＝13，所以sin C ＝223，由正弦定理a sin A ＝c sin C 可得a ＝c sin Asin C ＝42×32223＝33，则sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝32×13＋12×223＝22＋36，此时△ABC 的面积S ＝12ac sin B＝12×33×42×22＋36＝43＋3 2.若选择第③组条件，因为AB 边上的高h ＝3， 所以b sin π3＝3， 则b ＝332＝2， 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得9＝4＋c 2－2c ，解得c ＝1＋6(舍负)，此时△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322.规律方法 (1)对于解三角形的开放性问题，要根据自己的实际情况，选择自己最熟悉，易转化的条件用以求解.(2)与面积有关的问题，一般要根据已知角来选择三个面积公式(S ＝12ab sin C bc sin A ＝12ac sin B )中的一个，同时再用正、余弦定理进行边角转化.训练3 (1)(2022·湖南三湘名校联考)如图是2021年9月17日13时34分神舟十二号返回舱(图中C )接近地面的场景.伞面是表面积为1 200 m 2的半球面(不含底面圆)，伞顶B 与返回舱底端C 的距离为半球半径的5倍，直线BC 与水平地面垂直于D ，D 和观测点A 在同一水平线上，在A 测得点B 的仰角∠DAB ＝30°，且sin ∠BAC ＝732247，则此时返回舱底端离地面的距离CD ＝______(π＝3.14，sin ∠ACB ＝93247，计算过程中，球半径四舍五入保留整数).答案 20 m解析 设半球的半径为r m ， 则2πr 2＝1 200，∴r ≈14， ∴BC ＝5r ＝70 m.在△ABC 中，由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC，则AB ＝BC sin ∠ACB sin ∠BAC ＝70×93247×224773＝180(m)，∴BD ＝90 m ，则CD ＝BD －BC ＝20(m).(2)(2022·青岛调研)从①2b sin A ＝a tan B ，②a 2－b 2＝ac －c 2，③3sin B ＝cos B ＋1这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且________. (ⅰ)求B 的大小；(ⅱ)若b ＝2，S △ABC ＝32，求△ABC 的周长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解 (ⅰ)若选①：因为2b sin A ＝a tan B ＝a sin B cos B ，所以2ab ＝abcos B ， 所以cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.若选②：因为a 2－b 2＝ac －c 2， 所以a 2＋c 2－b 2＝ac ， 所以2ac cos B ＝ac ， 所以cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. 若选③：因为3sin B ＝cos B ＋1， 所以3sin B －cos B ＝1， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝12，因为B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，所以B －π6＝π6，所以B ＝π3.(ⅱ)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以a 2＋c 2－ac ＝4，又S △ABC ＝12ac sin B ＝32，所以ac ＝2， 所以(a ＋c )2－3ac ＝4，所以(a ＋c )2＝10， 所以a ＋c ＝10，所以△ABC 的周长为2＋10.一、基本技能练1.(2022·河北省级联测)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝135°，b ＝15，c ＝3，则a ＝( ) A.2 B. 6 C.3 D.2 6答案 B解析 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2＋2ac ，即15＝a 2＋6a ＋3，解得a ＝6(舍负).故选B.2.(2022·山东新高考联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π12＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝( )A.－29B.29C.－79D.79 答案 D解析 设α＝θ－π12，则θ＝α＋π12，sin α＝13，从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos 2α＝1－2sin 2α＝79. 故选D.3.(2022·贵阳质检)在△ABC 中，若3a sin B ＝c －b cos A ，则B ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 答案 B解析 由3a sin B ＝c －b cos A 及正弦定理， 得3sin A sin B ＝sin C －sin B cos A ，又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 则3sin A sin B ＝sin A cos B ， ∵sin A ≠0，∴sin B cos B ＝tan B ＝33，又B ∈(0，π)，则B ＝π6.4.(2022·深圳六校联考)已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，则根据条件解三角形时有两解的一组条件是( ) A.a ＝1，b ＝2，A ＝π4 B.a ＝2，b ＝1，A ＝π4 C.a ＝2，b ＝3，A ＝π6 D.a ＝4，b ＝3，A ＝2π3答案 C解析 对于A ，由a sin A ＝b sin B 且a ＝1，b ＝2，A ＝π4， 得1sin π4＝2sin B ，sin B ＝2>1， 所以△ABC 无解.对于B ，由a sin A ＝b sin B 且a ＝2，b ＝1，A ＝π4，得2sin π4＝1sin B ，sin B ＝24<1，又b <a ，所以B 唯一确定，△ABC 有一解.对于C ，由a sin A ＝b sin B 且a ＝2，b ＝3，A ＝π6，得2sin π6＝3sin B ，sin B ＝34，又b >a ，B ∈(0，π)， 所以B 的值有2个，△ABC 有两解.对于D ，由a sin A ＝b sin B 且a ＝4，b ＝3，A ＝23π，得4sin 23π＝3sin B ，sin B ＝338<1，又b <a ，所以B 唯一确定，△ABC 有一解. 5.(2022·辽宁百校联盟质检)如图，无人机在离地面高300 m 的M 处，观测到山顶A 处的俯角为15°，山脚C 处的俯角为60°，已知AB ＝BC ，则山的高度AB 为( )A.150 2 mB.200 mC.200 2 mD.300 m答案 B解析 在Rt △MNC 中，∠MCN ＝60°， MN ＝300 m ， 所以MC ＝MNsin 60°＝200 3 m. 在△ACM 中，由已知得∠MAC ＝15°＋45°＝60°，∠AMC ＝60°－15°＝45°， 由正弦定理得MC sin 60°＝AC sin 45°， 故AC ＝2003×2232＝200 2 m.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝AC sin 45° ＝2002×22＝200 m ， 所以山的高度AB ＝200 m.故选B.6.(2022·郑州二模)已知函数f (x )＝sin(πx ＋φ)在某个周期内的图象如图所示，A ，B 分别是f (x )图象的最高点与最低点，C 是f (x )的图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝( )A.12B.47C.255D.76565答案 B解析 过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，设AB 与x 轴交于E ，由题意可得函数的周期为2，设C (a ，0)，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12，－1，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32，1，所以CD ＝32，AD ＝1，DE ＝12，tan ∠CAD ＝CD AD ＝32，tan ∠EAD ＝ED AD ＝12，所以tan ∠BAC ＝tan(∠CAD －∠EAD )＝tan ∠CAD －tan ∠EAD 1＋tan ∠CAD ·tan ∠EAD ＝32－121＋32×12＝47.故选B.7.(2022·皖南八校联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝________. 答案 －725解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12－π2＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12－1 ＝－725.8.(2022·山东省实验中学二诊)已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝13，则cos(α－β)＝________. 答案 5972 解析由⎩⎪⎨⎪⎧cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝13得⎩⎪⎨⎪⎧cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝14， ①sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β＝19， ②①＋②得2－2cos(α－β)＝1336， 则cos(α－β)＝5972.9.(2022·济宁二模)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝12，则cos 2α＝________.答案 45解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝12，∴tan α＝13，因此cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－191＋19＝45. 10.(2022·长沙长郡中学质检)《易经》中记载着一种几何图形——八卦图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积，如图，现测得正八边形的边长为8 m ，代表阴阳太极图的圆的半径为2 m ，则每块八卦田的面积为________ m 2.答案 162＋16－π2解析 由题图可知，正八边形被分割成8个全等的等腰三角形，顶角为360°8＝45°， 设等腰三角形的腰长为a m ， 由正弦定理可得a sin 135°2＝8sin 45°，解得a ＝82sin 135°2，所以等腰三角形的面积S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫82sin 135°22sin 45°＝322·1－cos 135°2＝16(2＋1)(m 2)，则每块八卦田的面积为16(2＋1)－18×π×22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫162＋16－π2(m 2).11.在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (1，2). (1)求cos 2α＋sin 2α；(2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求角β的值.解 (1)∵锐角α的终边上有一点P (1，2)， ∴sin α＝25＝255，cos α＝15＝55， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×255×55＝45， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35，∴cos 2α＋sin 2α＝－35＋45＝15.(2)由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2得α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∵sin(α－β)＝1010， ∴cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1－⎝⎛⎭⎪⎫10102＝31010， 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22，因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.12.(2022·北京卷)在△ABC 中，sin 2C ＝3sin C . (1)求C ；(2)若b ＝6，且△ABC 的面积为63，求△ABC 的周长. 解 (1)因为sin 2C ＝3sin C ， 所以2sin C cos C ＝3sin C . 因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0， 所以cos C ＝32， 又C ∈(0，π)，故C ＝π6.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×a ×6×12＝63，所以a ＝4 3. 由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝48＋36－72＝12，所以c ＝23， 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝43＋6＋23＝6(3＋1). 二、创新拓展练13.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos 2α＝25sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，则tan α＝________. 答案 34解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＋cos α＞0. 因为cos 2α＝25sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，所以(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝15(sin α＋cos α)，所以cos α－sin α＝15>0，可得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4. 所以sin αcos α＝1225，所以sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝1225， 整理得tan α＝34或tan α＝43，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以tan α＝34. 14.(2022·浙江卷)若3sin α－sin β＝10，α＋β＝π2，则sin α＝________，cos 2β＝________.答案 31010 45解析 因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α，所以3sin α－sin β＝3sin α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝3sin α－cos α＝10sin(α－φ)＝10，其中sin φ＝1010，cos φ＝31010.所以α－φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 所以α＝π2＋φ＋2k π，k ∈Z ，所以sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋2k π＝cos φ＝31010，k ∈Z . 因为sin β＝3sin α－10＝－1010，所以cos 2β＝1－2sin 2β＝1－15＝45.15.(2022·沈阳市郊联体一模)滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古.如图，在滕王阁旁水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且AB ＝BC ＝75米，则滕王阁的高度OP ＝________米.答案 1515解析 设OP ＝3h ，由题意知∠P AO ＝30°，∠PBO ＝60°，∠PCO ＝45°，所以OA ＝PO tan 30°＝3h 33＝3h ，OB ＝PO tan 60°＝3h 3＝h ，OC ＝PO tan 45°＝3h . 在△OBC 中，由余弦定理OC 2＝OB 2＋BC 2－2OB ·BC ·cos ∠OBC ，得3h 2＝h 2＋752－2×75h cos ∠OBC ，①在△OAB 中，由余弦定理OA 2＝OB 2＋AB 2－2OB ·AB ·cos ∠OBA ，得9h 2＝h 2＋752－2×75h cos ∠OBA ，②因为cos ∠OBC ＋cos ∠OBA ＝0，所以①＋②，得12h 2＝2h 2＋2×752，解得h ＝155，所以OP ＝3h ＝1515(米).16.(2022·北京昌平区调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝3c ，a ＝6.(1)若A ＝π6，求c 的值；(2)在下面三个条件中选择一个作为已知，求△ABC 的面积.①3cos B ＝cos C ，②cos B ＝sin C ，③B ＝2C .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解(1)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，因为b＝3c，a＝6，A＝π6，所以36＝3c2＋c2－23c2·32，解得c2＝36，所以c＝6.(2)若选条件①：3cos B＝cos C.b＝3c，由正弦定理可得sin B＝3sin C，又3cos B＝cos C，所以sin B cos B＝sin C cos C，所以sin 2B＝sin 2C，因为0<B＋C<π，0<2B＋2C<2π，所以2B＝2C或2B＋2C＝π，因为b＝3c，所以B>C，所以2B＝2C不成立，所以2B＋2C＝π，所以B＋C＝π2，所以A＝π2.则在Rt△ABC中，36＝3c2＋c2，解得c＝3，所以b＝33，所以S△ABC＝12bc＝93 2.若选条件②：cos B＝sin C.在△ABC中，因为b＝3c，由正弦定理可得sin B＝3sin C，又cos B ＝sin C ，所以sin B cos B ＝3sin C sin C ＝3， 所以tan B ＝3，因为0<B <π，所以B ＝π3，所以sin C ＝cos B ＝12，因为0<C <π，且b ＝3c ， 所以C ＝π6，所以A ＝π2.后同选择条件①.若选条件③：B ＝2C .在△ABC 中，因为b ＝3c ，由正弦定理得sin B ＝3sin C ， 因为B ＝2C ，所以sin B ＝2sin C cos C ，所以2sin C cos C ＝3sin C ，又sin C ≠0，所以cos C ＝32，因为0<C <π，所以C ＝π6，所以B ＝2C ＝π3， 所以A ＝π2. 后同选择条件①.。

芯衣州星海市涌泉学校赣榆县智贤中学高三数学总复习专题二第1讲三角函数〔1〕教学案教学内容：三角函数的图象与性质〔1〕教学目的：1三角函数的图象与解析式2.利用三角函数的图象与解析式教学重点：1.求三角函数的解析式；教学难点：三角函数的图象与解析式教学过程：一、知识点复习：1．必记的概念与定理(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.(2)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限〞．(3)三角函数的图象及常用性质函数y＝sinx y＝cosx y＝tanx图象单调性在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(，0)(k∈Z)2.记住几个常用的公式与结论对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)要记住下面几个常用结论：(1)定义域：R.(2)值域：[－A，A]．当x＝(k∈Z)时，y取最大值A；当x＝(k∈Z)时，y取最小值－A.(3)周期性：周期函数，周期为.(4)单调性：单调递增区间是(k∈Z)；单调递减区间是(k∈Z).(5)对称性：函数图象与x轴的交点是对称中心，即对称中心是(，0)，对称轴与函数图象的交点纵坐标是函数的最值，即对称轴是直线x＝，其中k∈Z.(6)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A影响函数图象的最高点和最低点，即函数的最值；ω影响函数图象每隔多少重复出现，即函数的周期；φ影响函数的初相．(7)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两个对称中心或者者两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一．复备栏3．需要关注的易错易混点三角函数图象平移问题(1)看平移要求：拿到这类问题，首先要看题目要求由哪个函数平移到哪个函数，这是判断挪动方向的关键点．(2)看挪动方向：在学习中，挪动的方向一般我们会记为“正向左，负向右〞，其实，这样不理解的记忆是很危险的．上述规那么不是简单地看y＝Asin(ωx＋φ)中φ的正负，而是和它的平移要求有关．正确地理解应该是：平移变换中，将x变换为x＋φ，这时才是“正向左，负向右〞．(3)看挪动单位：在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相位，再经过ω的压缩，最后挪动的单位是||.二、根底训练：1．函数y＝tan的定义域是________．解析：∵x－≠kπ＋，∴x≠kπ＋，k∈Z.答案：2．(2021·模拟)函数f(x)＝sinxcosx的最小正周期是________．解析：由题知f(x)＝sin2x，所以T＝＝π.答案：π3．将函数y＝2sinx的图象上每一点向右平移1个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍(纵坐标保持不变)，得函数y＝f(x)的图象，那么f(x)的解析式为________．解析：函数y＝2sinx向右平移1个单位得y＝2sin(x－1)＝2sin，将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍(纵坐标保持不变)，那么y＝2sin，即y＝2sin.答案：y＝2sin4．(2021·模拟)函数f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的单调增区间为________．解析：当x－∈，k∈Z时，f(x)单调递增，又因为x∈[－π，0],故取k＝0得x∈.答案：1三、例题教学：例1、(2021·模拟)假设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象如下列图，这个函数的解析式为________．[解析]由题意知：周期T＝2(－)＝π，ω＝＝2，设f(x)＝Asin(2x＋φ)，点(，0)为五点作图中的第三点，所以2×＋φ＝π，即φ＝.设f(x)＝Asin(2x＋)，因为点(0，)在原函数的图象上，故Asin＝，所以A＝，综上知：f(x)＝sin(2x＋)．[答案]f(x)＝sin(2x＋)变式训练：1．(2021·高考卷)函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，那么φ的值是________．解析：由题意，得sin＝cos，因为0≤φ<π，所以φ＝.答案：例2、2021·模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的图象如下列图，直线x＝，x ＝是其两条对称轴．(1)求函数f(x)的解析式并写出函数的单调增区间；(2)假设f(α)＝，且<α<，求f(＋α)的值．[解](1)由题意，＝－＝，∴T＝π，又ω>0，故ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，由f()＝2sin(＋φ)＝2，解得φ＝2kπ－(k∈Z)，又－<φ<，∴φ＝－，∴f(x)＝2sin(2x－)，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)知，kπ－≤x≤kπ＋，(k∈Z)，∴函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)依题意得：2sin(2α－)＝，即sin(2α－)＝，∵<α<，∴0<2α－<，∴cos(2α－)＝＝＝，f(＋α)＝2sin[(2α－)＋]，∵sin[(2α－)＋]＝sin(2α－)cos＋cos(2α－)sin＝(＋)＝，∴f(＋α)＝.稳固练习：完成专题强化训练。

高三理科数学二轮复习最值专题（2）三角函数篇类型一：形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)。

例1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C ．0 D.22解析：因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，1≥sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－22，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22，故选B. 例2．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.类型二：形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)。

例3、求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． [思路点拨] 利用换元法求解，令t ＝sin x ．转化为二次函数最值问题．[解]：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 类型三：形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可设t ＝sin x ±cos x ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．例4、求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．[解] 令t ＝sin x ＋cos x ，∴t ∈[－2， 2 ]．又(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1，∴sin x cos x ＝t 2－12， ∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵t 对＝－13∈[－2，2]，∴y 小＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53，y 大＝f (2)＝32＋ 2. 类型四：“逆向题”，即已知函数的最值去求某参数的值。

专题3-2、三角函数小题（二）一、单选题1．（2024·江苏南通·统考模拟预测）在ABC 中，“ABC 是钝角三角形”是“tan tan 1A B <”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【详解】若ABC 是钝角三角形，为钝角时，tan C =−0,tan 0,B >1时，当tan 为钝角，ABC 为钝角三角形0=时，tan 为钝角，ABC 为钝角三角形，所以是必2．（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）已知sin 21cos θθ=+，则tan θ=（ ）A ．43B ．23−C ．43−D ．233．（2024·广东梅州·统考一模）已知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫−=⎪⎝⎭（ ） A ．79− B ．79 C．D4．（2024·湖北·荆州中学校联考二模）已知0w >，函数()π3sin 24f x wx ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则w 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]0,2C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．（2024·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）将函数()2sin 21f x x =−图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，并沿x 轴向左平移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数()g x 的图象．若对于任意的1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在2π,04x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则ϕ的值可能是（ ）A ．π6B ．5π24C ．π4D ．2π36．（2024·湖南常德·统考一模）将函数()2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图像向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图像，若函数(y g x =）的一个极值点是π6，且在ππ,36⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的值为（ ） A ．23B ．43C ．83D ．1637．（2024·湖南岳阳·统考二模）已知函数()()2sin 2N ,2f x x +⎛⎫=+∈< ⎪⎝⎭ωϕωϕ的最小正周期3π3π,42T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图像向右平移π6个单位长度，所得图像关于原点对称，则下列关于函数()f x 的说法错误的是（ ）A ．函数()f x 的图像关于直线5π12x =−对称 B ．函数()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在13π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上有两个极值点D ．方程()1f x =在[]0,π上有3个解8．（2024·江苏南通·二模）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧．若在B ，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC = 100 m ，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10° ≈ 0.985）A ．49.25 mB ．50.76 mC ．56.74 mD ．58.60 m设球的半径为,3,tan10RR AB R AC ==︒3100tan10RBC R =−=︒， 100100sin101tan10R ︒∴==9．（2024·广东·校联考模拟预测）若函数()2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减函数，则ω的取值范围是（ ）A ．5,3⎛⎤−∞− ⎥⎝⎦B ．5,03⎡⎫−⎪⎢⎣⎭C ．7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．70,3⎛⎤⎥⎝⎦【详解】函数10．（2024·江苏常州·校考一模）意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，其中第12章提出兔子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，….记该数列为{}n F ，则121F F ==，21n n n F F F ++=+，*n ∈N .如图，由三个图（1）中底角为60°等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形（图（2））的图形，根据改图所揭示的几何性质，计算22202520212022202320232024F F F F F F −=+（）A ．1B ．3C ．5D ．7由此可推断出20212022,F F所以()2202320241sin 602F F +整理可得(2202520223F F =⨯+所以2220252021F F F F F F −+=3A B C ．D ．12．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知函数()sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且()2f f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω=（ ）A ．53B ．43C ．23D ．1313．（2024·江苏南通·二模）记函数()()sin 04f x x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭>的最小正周期为T ．若ππ2T <<，且π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ω= （ ）A ．34B ．94C ．154D ．274二、多选题14．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的有（ ）A ．()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．若()()1212f x f x ==，则21π,Z 3k x x k −=∈C ．函数()f x 的图象可以由cos2y x =向右平移π3个单位得到D ．若函数(0)2x y f ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个极大值点，则(]7,13ω∈15．（2024·江苏·统考一模）已知函数()()ππsin sin cos 066f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=++−+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的有（ ）A ．将函数2sin y x ω=的图象向左平移π6个单位长度，总能得到()y f x =的图象B ．若3ω=，则当2π0,9x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为[]1,2C ．若()f x 在区间()0,2π上恰有3个极大值点，则131966ω<≤D ．若()f x 在区间π5π,312⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则1615ω≤≤16．（2024·山东枣庄·统考二模）已知函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象过点0,2A M ⎛⎫⎪⎝⎭和()π,0N ，()f x 的最小正周期为T ，则（ ）A ．T 可能取12π7B ．()f x 在()0,4π上至少有3个零点C ．直线8π11x =可能是曲线()y f x =的一个对称轴 D ．若函数()f x 的图象在[]0,2π上的最高点和最低点共有4个，则116ω=17．（2024·湖北·统考模拟预测）已知函数()()2sin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，()()1232f x f x ==−，则（ ）A ．函数()y f x =在[]2,4上单调递减B ．函数()y f x =在[]3,6上的值域为[]1,1−C ．()21π3cos 64x x ⎡⎤−=⎢⎥⎣⎦D ．曲线()y f x =在=1x −18．（2024·湖南株洲·统考一模）关于函数()()cos sin 0f x x a x a =+≠有以下四个选项，正确的是（ ）A ．对任意的a ，()f x 都不是偶函数B ．存在a ，使()f x 是奇函数C ．存在a ，使()()πf x f x +=D ．若()f x 的图像关于π4x =对称，则1a =19．（2024·湖南郴州·统考三模）设函数()sin (0)g x x ωω=>向左平移π5ω个单位长度得到函数()f x ，已知()f x 在[]0,2π上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 在()0,2π上有且只有5个极值点C ．()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭20．（2024·广东广州·统考一模）已知函数()sin(2)22f x x ϕϕ⎛⎫=+−<< ⎪⎝⎭的图像关于直线π8x =对称，则（ ）A ．函数()y f x =的图像关于点π,08⎛⎫− ⎪⎝⎭对称B ．函数()y f x =在[0,]π有且仅有2个极值点C ．若()()122f x f x −=，则12x x −的最小值为π4D ．若ππ1882f f αβ⎛⎫⎛⎫−−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()()cos21cos2αβαβ−=++21．（2024·广东湛江·统考一模）已知0ω>，函数()cos 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列选项正确的有（ ）A ．若()f x 的最小正周期2T =，则πω=B ．当2ω=时，函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得到()cos 2g x x =的图象C ．若()f x 在区间2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．若()f x 在区间()0,π上只有一个零点，则ω的取值范围是17,66⎛⎤⎥⎝⎦22．（2024·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知函数()2cos 233ππf x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（ ） A ．()f x 的周期为π B ．()f x 为奇函数C ．()g x 的图象关于点17π,024⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()g x 的取值范围为⎡−⎢⎣⎦23．（2024·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数()()()sin 0,0,ππf x A x A ωϕωϕ=+>>−<<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．π3ϕ=−B ．()π12f x f ⎛⎫≤− ⎪⎝⎭C ．()f x 在4ππ,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 在[]0,2π上有且仅有四个零点三、填空题24．（2024·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在ABC 中，设,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边，S 表示ABC 的面积，其公式为S =若sin sin a B C =，b =2S =，则c =______. 【详解】在ABC 中，由正弦定理得，故3sin sin B =2sin ,C a ∴32S =可得25．（2024·浙江·模拟预测）已知函数()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()4π03f x f x ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，()f x 在ππ,366⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则正整数ω的最大值为____________．【详解】()f x ≤4π()3f x f x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭122ππ436k T +∴=−2π2π,21T k k ω∴==+2k ω∴=+26．（2024·江苏南通·校联考模拟预测）已知函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪上单调递增，则ω的取值范围是_________．所以欲使得()f x 是增函数，则必须对于ππ42t <≤ ，即ππ44x ω<+ππ⎛27．（2024·山东济南·一模）已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围为__________． ()f x 在即ω的取值范围为故答案为：28．（2024·湖南·校联考模拟预测）已知ππ,sin 2cos 2sin cos 122βαβααβ−<−<+=−=，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪___________.29．（2024·湖南张家界·统考二模）已知α为锐角，11sin α，则α=__________．30．（2024·广东佛山·统考一模）已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0ω>，π2ϕ<）.T 为()f x的最小正周期，且满足1132f T f T⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若函数()f x在区间()0,π上恰有2个极值点，则ω的取值范围是______.。

专题二、特殊角的三角函数值例1（2012，湖北孝感）计算：cos245°+tan30°·sin60°=________． 例2（2012陕西）计算：．例3(2012广安)计算：cos45o+ ；例4 计算|－3|＋2cos 45°－1)0． 例5 计算－＋(－1)2007－cos 60°．例6计算||＋(cos 60°－tan 30°)0 例7 计算－(π－3.14)0－|1－tan 60°|.例8（2012呼和浩特）计算：例9（2011天水）计算：sin230°+tan44°tan46°+sin260°= ．例10（2011•莱芜）若a=3﹣tan60°，则=。

同步练习：1、（2011浙江）计算：|－1|5－π）0+4cos45°.2、（2011浙江衢州）（1）计算：|﹣2|﹣（3﹣π）0+2cos45°；3、计算：20110＋－2sin45°；4、观察下列各式：①sin 59°＞sin 28°；②0＜cos α＜1(α是锐角)； ③tan 30°＋tan 60°＝tan 90°；④tan 44°＜1．其中成立的有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5、计算2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝ ．6、如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB ＝，BC AB 的长为 ．（第6题）（第10题）(02cos 45=︒---)32(21813-12⎛⎫- ⎪⎝⎭312-⎛⎫⎪⎝⎭11|12sin 45--+︒196)121(2-+-÷--a a a a 8137、当x ＝sin 60°时，代数式·＋的值是 ．8、已知cos 59°24′≈0.509，则sin 30°36′≈ ．9、若∠A ，∠B 互余，且tan A －tan B ＝2，则tan2A ＋tan2B ＝ ．10、如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，EC ＝1，cosB ＝，则这个菱形的面积是 .11．已知正方形ABCD 的边长为1，若将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在DC 延长线上的点D ′处，则∠BAD ′的正弦值为 .12．如图28－148所示，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角等于 ．（第12题）13．在△ABC 中，∠B ＝30°，tan C ＝2，AB ＝2，则BC ＝ ． 14．设θ为锐角，且x2＋3x ＋2sin θ＝0．则θ＝ ．15．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 边上，BD ＝4，AD ＝BC ， cos ∠ADC ＝．(1)求DC 的长；(2)求sinB 的值．（第15题）2242x x x -+22244x x x x +-+42xx -51335参考答案： 例1.【答案】1例2. 【解析】原式【答案】例3. 解析： =例4.解：原式＝3＋2×－1＋2．例5.解：原式＝＋3＋(－1)－＝3－1＝2．例6.＋1十＋＝＋1．例7. 解：原式＝8－1＋12＝10. 例8. 【解析】三角函数、绝对值、乘方【答案】例9.根据特殊角的三角函数值计算．tanA•tan （90°﹣A ）=1．解：原式=+1+=2．例10.。

三角函数复习专题（一）一、 核心知识点归纳： 1．弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则弧长公式l ＝ ，扇形的面积公式S ＝ ＝ . 2.（1）三角函数定义（角α终边上任一点(),Px y ）：其中r =sin α= ;cos α= ; tan α= （2）符号规律：sin α cos α tan α（3）同角三角函数的基本关系：①倒数关系： ②商数关系： ，③平方关系：注意三兄弟（三剑客）的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． （4）特殊角的三角函数值表：（5）诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）k ·π/2+a 所谓奇偶指的是整数k 的奇偶性：①sin(2)cos(2)tan(2)k k k παπαπα±=⎧⎪±=⎨⎪±=⎩ ；②sin()cos()tan()παπαπα+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ ；③sin()cos()tan()ααα-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩④sin()cos()tan()παπαπα-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ ； ⑤sin(2)cos(2)tan(2)παπαπα-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ ；⑥sin()2cos()2παπα⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ⑦sin()2cos()2παπα⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ；⑧3sin()23cos()2παπα⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ：⑨3sin()23cos()2παπα⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩5.两角和与差的三角函数： （1）和（差）角公式：①sin()αβ+= ；sin()αβ-= ②cos()αβ+= ；cos()αβ-= ③tan()αβ+= ；tan()αβ-= 注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．．（2）二倍角公式：=a 2sin =a 2cos=a 2tan从二倍角的余弦公式里面可得出降幂公式：=a 2cos ， =a 2sin6．辅助角公式：sin cos a b αα+=三、基础练习 1、（1）弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________ (2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？2、（1）求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.点评：利用诱导公式化简求值时的原则—3、已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4 (其中a ，b ，α，β为非零实数)， f (2 011)＝5，则f (2 012)＝ ( )A ．3B ．5C ．1D ．不能确定四、典型例题考点一：三角函数的概念例1若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝____.练习1.(2012·潍坊质检)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于 ( )A ．－114 B.114C ．－4D ．4练习2. 若角α的终边经过点P (1,-2),则tan 2α的值为 .变：若角α的终边与单位圆交于点255,55p ⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭，则sin 2a 的值为 . 考点二、同角三角函数的关系（注意22sin cos 1αα+=，这是一个隐含条件）例2、(2011·全国卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.变式：若例题中条件变为“若sin θ＝－45，tan θ>0”，则cos θ＝________.练：若cos 2sin 5,αα+=-则tan α=( )（A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2- 例3、已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是 ( )A.25 B ．－25C ．－2D ．2练习1．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为 ( )A ．0 B.34 C ．1 D.54练习2．(2011·杭州师大附中月考)如果f (tan x )＝sin 2x －5sin x cos x ，那么f (5)＝________. 巩固练习：1、已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1C ．4D ．82、已知1＋tan π＋α1＋tan 2π－α＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)的值．3、已知函数2()322sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,3)P -在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域.三角函数复习专题（二）sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 值域最值周期性 奇偶性单调性对称性函 数 性 质题型一：三角函数的定义域、值域例1．(2012·珠海模拟)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为_ 练习1.函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域是 ( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π4，x ∈RB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－π4，x ∈R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π＋π4，k ∈Z ，x ∈R D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R 例2 (2010·江西高考)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－54，－1] C ．[－54，1] D ．[－1，54]变式：若例2中函数变为“y ＝2cos 2x ＋5sin x －4”试求值域． 练习2． y ＝2－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________．此时x ＝________.练习3．(2012·湛江)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<x <π6的值域为____ ____．题型二：三角函数的单调性:注意区分下列两种形式的单调增区间不同(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4； (2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x .例3 (2011·全国卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则 ( )A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称练习4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π 练习5．(2012·华南师大附中模拟)已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求：(1)函数的周期； (2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．题型三：三角函数的周期性和奇偶性例4.(2010湖北高考)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为 ( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π练习6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是 ( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2练习7. (2011·北京高考)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．题型四：利用图像解题例5.（1）设2sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c << （2）．函数y =－x ·cos x 的部分图象是（ ）练习8.在（0，2π）内，使sin x ＞c os x 成立的x 取值范围为（ ）A ．（4π，2π）∪（π，45π） B ．（4π，π） C ．（4π，45π） D ．（4π，π）∪（45π，23π） 练习9.函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）yx π2- π2Oyx π2-π2Oyx π2-π2Oyxπ2-π2OA ．B ．C ．D ．三角函数复习专题（三）1、函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA（1）.最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，频率是 ，相位是 ，初相是 ； y ＝A sin(ωx ＋φ)+B 的图象有无穷多条对称轴，可由方程 (k ∈Z)解出x 的值就是对称轴；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由 (k ∈Z)，解得x ＝k π－φω(k ∈Z)的值作为对称中心横坐标，即其对称中心为(k π－φω，0)(k ∈Z)． （2）．相邻两对称轴间的距离为T2，相邻两对称中心间的距离也为T2.（3）．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

第2讲 三角函数的图象与性质【要点提炼】考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系1．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .2．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．【热点突破】【典例】1 (1)已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.11π6 C.5π3 D.2π3(2)(2020·山东师范大学附中模拟)若sin θ＝5cos(2π－θ)，则tan 2θ等于( )A ．－53 B.53 C ．－52 D.52【拓展训练】1 (1)(2020·全国Ⅲ)已知2tan θ－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝7，则tan θ等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)已知α∈(0，π)，且cos α＝－1517，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan(π＋α)等于( )A ．－1517 B.1517 C ．－817 D.817【要点提炼】考点二 三角函数的图象与【解析】式 三角函数图象的变换【热点突破】【典例】2 (1)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y ＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8等于( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2(2)设函数g(x)＝sin ωx(ω>0)向左平移π5ω个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是________． ①f(x)在(0,2π)上有且只有3个极大值点，2个极小值点；②f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10上单调递增； ③ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910. 【拓展训练】2 (1)(2020·全国Ⅰ)设函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为( ) A.10π9 B.7π6 C.4π3 D.3π2(2)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，ω>0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为( )A ．1 B.12 C.22 D.32【要点提炼】考点三 三角函数的性质函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝Asin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝Asin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)三角函数的周期性：f(x)＝Asin(ωx ＋φ)和f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的最小正周期为2πω；y ＝Atan(ωx ＋φ)的最小正周期为πω.(3)根据y ＝sin t 的性质研究y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的性质：由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )可得增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得减区间；由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴．【热点突破】【典例】3 (1)已知函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ，把y ＝f(x)的图象向左平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( ) A ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32B ．g(x)的图象关于直线x ＝π2对称 C ．g(x)的一个零点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0 D ．g(x)的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12(2)设函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx(ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[1,2) 【拓展训练】3 (1)(多选)(2020·武汉模拟)已知函数f(x)＝|cos x|－|sin|x||，下列说法正确的是( ) A ．f(x)是偶函数B ．f(x)是周期为π的函数C ．f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上单调递减D ．f(x)的最大值为 2(2)(2020·北京海淀区模拟)已知函数f(x)＝2sin ωx ，g(x)＝2cos ωx ，其中ω>0，A ，B ，C 是这两个函数图象的交点，且不共线． ①当ω＝1时，△ABC 的面积的最小值为________；②若存在△ABC 是等腰直角三角形，则ω的最小值为________．专题训练一、单项选择题1．已知角α的终边过点P(－3,8m)，且sin α＝－45，则m 的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.322．已知直线3x －y －1＝0的倾斜角为α，则cos α－2sin αsin α＋cos α的值为( )A ．－1110B ．－12C ．－114D ．－543．若f(x)＝sin x ＋3cos x 在[－m ，m](m>0)上是增函数，则m 的最大值为( ) A.5π6 B.2π3 C.π6 D.π34．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 25．已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f ()x 1＝1，f ()x 2＝0，若||x 1－x 2min ＝12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f(x)的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16＋2k ，56＋2k ，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k π，16＋2k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＋2k ，76＋2k ，k ∈Z 6．已知函数f(x)＝asin x －bcos x(a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R )的图象关于x ＝π4对称，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x 是( )A ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称C ．奇函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称D ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称7．已知函数f(x)＝12cos ωx －32sin ωx ()ω>0在[0，π]内的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则ω的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 D.(]0，18．已知函数f(x)＝tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的相邻两个对称中心的距离为32，且f(1)＝－3，则函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝1x －2(－5<x<9且x ≠2)的图象所有交点的横坐标之和为( )A ．16B ．4C ．8D ．12 二、多项选择题9．(2020·新高考全国Ⅰ)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)等于( )A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2xC ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x10．(2020·河北衡水中学考试)已知向量a ＝(2sin x ，－1)，b ＝(sin x ＋3cos x,1)，且函数f(x)＝a ·b ，则下列说法正确的是( )A ．若x 1，x 2是方程f(x)＝1的两根，则x 1－x 2是π的整数倍B ．当x ＝π6时，f(x)取得最大值C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3是函数f(x)的一个单调递增区间 D ．将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到一个偶函数的图象11．(2020·佛山模拟)已知函数f(x)＝sin x ＋sin πx ，下列结论正确的是( )A ．f(x)是奇函数B ．f(x)是周期函数C ．f(x)在区间(0，π)上有三个零点D ．f(x)的最大值为212．设函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]上有且仅有3个极小值点，则( )A ．f(x)在(0,2π)上有且仅有5个零点B ．f(x)在(0,2π)上有且仅有2个极大值点C ．f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减D ．ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤73，103三、填空题13．(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．14．已知函数f(x)＝3sin xcos x ＋12cos 2x ，若将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得的图象关于原点对称，则φ的最小值为________．15. (2020·北京市八一中学调研)已知函数f(x)＝1sin ωx ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.16．(2020·济南模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω>0，|φ|<π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f(x)≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8恒成立，且f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π24上单调，则下列说法正确的是________．(填序号)①存在φ，使得f(x)是偶函数；②f(0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4；③ω是奇数；④ω的最大值为3.。

专题二 三角函数与解三角形第1讲 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2022·日照模拟)已知角θ的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫12，－32，则角θ可以为( ) A.5π6 B.2π3 C.11π6 D.5π32．(2022·惠州模拟)已知tan α＝2，π<α<3π2，则cos α－sin α等于( ) A.55 B ．－55 C.355 D ．－3553.(2022·济宁模拟)如图，某时钟显示的时刻为9：45，此时时针与分针的夹角为θ，则(sin θ＋cos θ)(sin θ－cos θ)等于( )A.22 B ．－22 C.32 D ．－324．(2022·开封模拟)已知点⎝⎛⎭⎫π6，0是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3图象的一个对称中心，其中ω∈(0,6)，将函数f (x )的图象向右平移5π24个单位长度得到函数g (x )的图象，则g (x )等于( ) A ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8 B ．－2sin 4x C ．－2cos 2x D ．－2cos 4x5．(2022·邯郸模拟)已知tan α＝－3，则sin 3α－sin αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π2等于( ) A ．－34 B.34 C.310 D ．－3106.(2022·福州质检)已知函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤k π－16，k π＋56，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π－16，2k π＋56，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k －16，k ＋56，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤2k －16，2k ＋56，k ∈Z 7.(2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB上，CD ⊥AB .“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：s ＝AB ＋CD 2OA.当OA ＝2，∠AOB ＝60°时，s 等于( )A.11－332B.11－432C.9－332D.9－4328．(2022·云南师大附中模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x (a >0)的最大值为2，若方程f (x )＝b在区间⎝⎛⎭⎫0，13π6内有三个实数根x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则x 1＋2x 2＋x 3等于( ) A.8π3 B.10π3 C ．4π D.25π69．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，则ω的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D.5210．(2022·山东联考)已知曲线C 1：y ＝cos 2x ，C 2：y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，则下面结论不正确的是( )A ．把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移5π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把曲线C 1向左平移7π12个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C 2D ．把曲线C 1向左平移π12个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后把得到的曲线向右平移π个单位长度，得到曲线C 211．已知函数f (x )＝|sin x |＋cos x ，下列结论正确的是( )A ．f (x )为偶函数B ．f (x )为非奇非偶函数C ．f (x )在[0，π]上单调递减D ．f (x )的图象关于直线x ＝π4对称 12．(2022·潍坊模拟)设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在区间⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4上的最大值为g 1(t )，最小值为g 2(t )，则g 1(t )－g 2(t )的最小值为( )A ．1 B.22 C.2－12 D.2－22二、填空题13．(2022·黄山模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝1cos x ，则sin x ＝________.14．(2022·石家庄模拟)已知角α的终边经过点P (8,3cos α)．则sin α＝________.15．(2022·全国乙卷)记函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T .若f (T )＝32，x ＝π9为f (x )的零点，则ω的最小值为________． 16．(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件 ⎣⎡⎦⎤f (x )－ f ⎝⎛⎭⎫－7π4⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫4π3>0的最小正整数x 为________．。

三角函数（2）解斜三角形（正余弦定理应用）1.正弦定理：A a sin =B b sin =Ccsin =2R.（关键点“比”,用法：边角转化） 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bccosA ； cos B =cab ac 2222-+；在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来理解”.题型一、判断三角形的形状：1.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是（ ） 答案：CA.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是（ ） A.sin A +cos A =51B.AB ·BC ＞0C.tan A +tan B +tan C ＞0D.b =3，c =33，B =30° 答案：C解析：由sin A +cos A =51 得2sin A cos A =－2524＜0，∴A 为钝角. 由AB ·BC ＞0，得BA ·BC ＜0，∴cos 〈BA ，BC 〉＜0.∴B 为钝角.由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角.由B b sin =C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3π2.3.在△ABC 中，sin A =CB CB cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.解：△ABC 是直角三角形. 题型二、解斜三角形（求角度和长度）4.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______. 解析：由已知得（b +c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a2=bc .∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A =3π. 答案：3π5.在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1 sin A ＞21；sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°答案：B6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =41（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______.解析：由S =41（a 2+b 2－c 2）得21ab sin C =41·2ab cos C .∴tan C =1.∴C =4π. 答案：45° 7.△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B . 证明：用正弦定理，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入a 2=b （b +c ）中，得sin 2A =sin B （sin B +sin C ）⇒sin 2A －sin 2B =sin B sin C ⇒22cos 1A -－22cos 1B- =sin B sin （A +B ）⇒21（cos2B －cos2A ）=sin B sin （A +B ） ⇒sin （A +B ）sin （A －B ）=sin B sin （A +B ）， 因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A +B ）≠0.所以sin （A －B ）=sin B .所以只能有A －B =B ，即A =2B .该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理，由a 2=b （b +c ），得cos A =bc a c b 2222-+=bc c b b c b 222）（）（+-+=b bc 2-，cos2B =2cos 2B －1=2（ac b c a 2222-+）2－1=2222cc b b c c b ）（）（++－1=b b c 2-. 所以cos A =cos2B .因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A =2B .评述：高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.8.△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于（ ）A.231+ B.1+3 C.232+ D.2+3答案：B9.已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51. （1）求证：tan A =2tan B ； （2）设AB =3，求AB 边上的高. （1）证明：∵sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2. ∴tan A =2tan B . （2）解：2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=53. ∴tan （A +B ）=－43， 即BA BA tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tanB 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.得tan B =262+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CDtan =623+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6.10.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cBb sin 的值. 解cBb sin =sin A =23.11.在△ABC 中，若∠C =60°，则ca bc b a +++=_______. 解析：c a bc b a +++=））（（c a c b bc b ac a +++++22 =222c bc ac ab bc ac b a ++++++. （*）∵∠C =60°，∴a 2+b 2－c 2=2ab cos C =ab . ∴a 2+b 2=ab +c 2. 代入（*）式得222cbc ac ab bc ac b a ++++++=1. 答案：1题型三、取值范围题目12.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y =BB Bcos sin 2sin 1++的取值范围.解：∵b2=ac ，∴cos B =ac b c a 2222-+=ac ac c a 222-+=21（c a +a c ）－21≥21. ∴0＜B ≤3π，y =BB B cos sin 2sin 1++=B B B B cos sin cos sin 2++）（=sin B +cos B =2sin （B +4π）.∵4π＜B +4π≤12π7， ∴22＜sin （B +4π）≤1. 故1＜y ≤2.13.已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sin B ，外接圆半径为2. （1）求∠C ； （2）求△ABC 面积的最大值.解：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）·sin B 得22（224R a －224R c ）=（a －b ）Rb2. 又∵R =2，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c2=ab . ∴cos C =ab c b a 2222-+=21.又∵0°＜C＜180°，∴C =60°. （2）S =21ab sin C =21×23ab =23sin A sin B =23sin A sin （120°－A ）=23sin A（sin120°cos A －cos120°sin A ）=3sin A cos A +3sin 2A =23sin2A －23sin2A cos2A +23=3sin （2A －30°）+23. ∴当2A =120°，即A =60°时，S max =233. 14.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.解析：若c 是最大边，则cos C ＞0.∴abc b a 2222-+＞0，∴c ＜5.又c ＞b －a =1， ∴1＜c ＜5.●思悟小结1.在△ABC 中，∵A +B +C =π，∴sin2B A +=cos 2C ，cos 2B A +=sin 2C2.∠A 、∠B 、∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B =60°.3.在非直角三角形中，tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C .。

专题2三角函数压轴小题一、单选题 1．（2021·上海市吴淞中学高三期中）如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线12,l l 之间，12l l //，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于点E 、D ，设弧FG 的长为x (0)x π<<，y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】根据给定条件求出函数()y f x =的解析式，再借助函数性质即可判断作答. 【详解】依题意，正ABC 的高为1，则其边长BC =如图，连接OF ，OG ，过O 作ON ⊥l 1于N ，交l 于点M ，过E 作EH ⊥l 1于H ，因OF =1，弧FG 的长为x (0)x π<<，则FOG x ∠=，又12////l l l ，即有1122FON FOG x ∠=∠=，于是得cos cos 2x OM OF FON =⋅∠=，1cos 2x EH MN ON OM ==-=-，2cos )sin 6032EH xEB ==-，因此，2cos )22x xy EB BC CD EB BC =++=+=-=，即()2xf x =，0πx <<，显然()f x 在(0,)π上单调递增，且图象是曲线，排除选项A ，B ，而2312432fππ+⎛⎫==<=⎪⎝⎭⎭，C选项不满足，D选项符合要求，所以函数()y f x=的图像大致是选项D.故选：D【点睛】方法点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．2．（2021·上海市晋元高级中学高三期中）已知(){}|sin,A y y n n Zωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（）A．27πB．25πC．2πD．23π【答案】A【分析】利用赋值法逐项写出一个周期中的元素，再结合三角函数诱导公式判断是否存在ϕ符合题意即可.【详解】解：对A，当2=7πω，27siny nϕπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，函数的周期为22727Tπππω===在一个周期内，对n赋值当0n=时，sinyϕ=；当1n=时，27sinyπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；当2n=时，47sinyπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；当3n=时，67sinyπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；当4n=时，867s n si7i nyϕππϕ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-；当5n=时，10s4n7i n7siyππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪-⎪⎝⎭⎝⎭；当6n=时，12s2n7i n7siyππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪-⎪⎝⎭⎝⎭；令2ϕπ=时，sin sin12πϕ==sin sin cos27722227πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin cos47724247πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin cos 67726267πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以存在ϕ使得1n =时的y 值等于6n =时的y 值，2n =时的y 值等于5n =时的y 值，3n =时的y 值等于4n =时的y 值.但是当n 等于0、1、2、3时，不存在ϕ使得这个y 值中的任何两个相等 所以当2=7πω时，集合A 中至少有四个元素，不符合题意，故A 错误； 对B ，当2=5πω，25sin y n ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数的周期为22525T πππω=== 在一个周期内，对n 赋值当0n =时，sin y ϕ=；当1n =时，25sin y πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 当2n =时，45sin y πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当3n =时，645s n si 5i n y ϕππϕ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-； 当4n =时，825s n si 5i n y ϕππϕ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-； 令2ϕπ=，sin 12π= sin sin cos 25522225πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin sin cos 45524245πππππ-⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当2=5πω时，符合题意，故B 正确； 对C ，当=2πω，2sin y n πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数的周期为2242T πππω=== 在一个周期内，对n 赋值 当0n =时，sin y ϕ=；当1n =时，sin cos 2y πϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；当2n =时，()sin sin y ϕπϕ=+=-； 当3n =时，sin os 3c 2y πϕϕ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭； 令0ϕ=，则sin0sin00=-=，cos01=，cos01-=- 所以当=2πω时，符合题意，故C 正确；对D ，当32=πω，23sin y n ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数的周期为22323T πππω=== 在一个周期内，对n 赋值当0n =时，sin y ϕ=；当1n =时，23sin y πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 当2n =时，43sin y πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 令0ϕ=，sin00=，2sin 3π=4sin 3π= 所以当32=πω时，符合题意，故D 正确. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题一共有三个变量：ω，n ，ϕ.属于多变量题目，对于该题，要先确定一个变量，再对第二个变量赋值，然后再对第三个变量赋值，以此分类讨论即可.3．（2021·广西南宁·高三月考（文））已知函数f (xx +4cos x )+2sin x ，则f (x )的最大值为（ ） A ．B ．172C ．6D ．【答案】B 【分析】先将sin 2x 展开，提公因式并结合拼凑法可得())()21sin 24f x x x =++-，结合22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭放缩，联立辅助角公式化简，即可求解. 【详解】()))sin 24cos 2sin 2sin cos 4cos 2sin f x x x x x x x x ++++()())()sin 22sin 2421sin 24x x x x x =+++-=++-，由sin 20x +>可知，要求()f x最大值，只需10x +>即可，结合基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可得())()222sin 3321sin 242442x f x x x π⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++-≤⋅-=-⎝⎭172≤，当且仅当1sin 2sin 13x x x π+=+⎨⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎩，即62,x k k Z ππ=+∈时等号成立，因此当62,x k k Z ππ=+∈时()f x的最大值为172. 故选：B4．（2021·江苏扬州·高三月考）已知△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若sin sin 2B Cb a B +=，且△ABC 内切圆面积为9π，则△ABC 面积的最小值为（ ）AB ．C ．D ．【答案】D 【分析】根据已知条件及正弦定理可得3A π=，由内切圆的面积可得内切圆半径3r =，最后根据()1sin 22ABCr a b c Sbc A ++==及余弦定理，并结合基本不等式求bc 的范围，进而求△ABC 面积的最小值. 【详解】 由题设，sin sin sin sin 2B C B A B +=，而sin 0B ≠且222B C Aπ+=-， ∴cos sin 2sin cos 222A A A A ==，022A π<<，则1sin 22A =，∴3A π=，由题设△ABC 内切圆半径3r =，又()1sin 22ABCr a b c Sbc A ++==，∴)a b c bc ++=，而222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥，即a ≥∴bc ≥108bc ≥，当且仅当a b c ===.∴1sin 2ABCSbc A =≥ 故选：D5．（2021·四川绵阳·高三月考（理））函数()()3sin x x f ωϕ=+（0>ω，2πϕ<），已知||33f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且对于任意的R x ∈都有066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【答案】D 【分析】结合正弦函数的最值，对称性求ϕ的值，再结合单调性确定ω的最大值. 【详解】∵ ||33f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()3sin x x f ωϕ=+，∴32k ππωϕπ+=+，k Z ∈，又对于任意的R x ∈都有066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ 6m πωϕπ-+=，m Z ∈，∴ 3(2)2k m πϕπ=++，又2πϕ<，∴ 6π=ϕ或6πϕ=-，当6π=ϕ时， 31w k =+，k Z ∈且61w m =-+， 当7w =时，()3sin 76f x x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭+，若52,369x，则4131736618x πππ≤+≤， ∴()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，C 错误， 当6πϕ=-时， 32w k =+，k Z ∈且61w m =--，当11w =时，()3sin 116f x x π⎛⎫ ⎪⎝-⎭=，若52,369x，则49411136618x πππ≤-≤， ∴()f x 在52,369ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，A 错误， 当5w =时，()3sin 56f x x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-，若52,369x，则1917536618x πππ≤-≤， ∴()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，D 正确， 故选：D. 【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质求函数解析式的关键在于转化为正弦函数的问题.6．（2021·河北·邯郸市肥乡区第一中学高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（ ）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．⎣D ．32⎡⎢⎣【答案】A 【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C b c C⎛⎫++= ⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案. 【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π= ∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos B C b c +=由正弦定理化简得∴cos cos c B b C ⋅+⋅==∴sin cos cos sin C B C B +∴sin()sin B C A +==∴b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin )326a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+203A π<<∴5666A πππ<+<∴)6A π<+≤a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法 （1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边： ①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r= ②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7．（2021·四川·绵阳中学实验学校模拟预测）某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰PMN 的顶点P 在半径为20m 的大⊙O 上，点M ，N 在半径为10m 的小⊙O 上，点O ，点P 在弦MN 的同侧.设2(0)2MON παα=<<∠，当PMN 的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时cos α=（ ）A ．12B C D 【答案】C 【分析】用α表示出PMN 的面积为()S α，求导()S α'，令()0S α'=求得极值点，从而求得PMN 面积最大时对应的cos α值. 【详解】如图所示，等腰PMN 中，2(0)2MON παα=<<∠设PMN 的面积为()S α， 则()2OPN OMNS SSα=⨯+1122010sin()1010sin 222παα⎡⎤=⨯⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦200sin 50sin 2,(0)2πααα=+<<求导()200cos 250cos 2200cos 100cos 2S ααααα'=+⨯=+22200cos 100(2cos 1)100(2cos 2cos 1)αααα=+-=+-令()0S α'=，即22cos 2cos 10αα+-=，解得：1cos 2α=-记01cos 2α=-， 00,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当()00,αα∈，()0S α'>，函数单调递增；当 0,2παα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0S α'<，函数单调递减；故当0αα=时，即1cos 2α=-， ()S α取得极大值，即最大值.故选：C8．（2021·北京八中高三月考）已知()()3sin 2f x x ϕ=+（ϕ∈R ）既不是奇函数也不是偶函数，若()y f x m =+的图像关于原点对称，()y f x n =+的图像关于y 轴对称，则m n +的最小值为（ ） A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 【答案】C 【分析】结合五点作图法及函数图象进行计算求解即可. 【详解】可设0ϕ满足00,22ππϕπ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，, 且02t ϕπϕ=+（t Z ∈）,则()()03sin 2f x x ϕ=+,注意到五点作图法的最左边端点为0,02ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭,而22T π=,44T π=,故有0000min ,min ,2222m ϕπϕϕπϕ--⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭,002244n ϕππϕ-=-+=, 当002πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，02m ϕ=，024n πϕ-=，此时4m n π+=；当0,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，02m πϕ-=，024n ϕπ-=，此时002244m n πϕϕππ--+=+=, 故选：C ．9．（2021·吉林·梅河口市第五中学高三月考（理））已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω且，*ω∈N ，0ϕπ<<）的图像上，直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ϕ=（ ） A ．6πB ．4πC ．3π D ．23π【答案】C 【分析】由()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调求出ω的范围，先由函数零点与对称轴之间的关系求出周期，进而求得ω，利用对称轴即可求出ϕ. 【详解】∵()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，3662T πππ∴-=≤，得1226ππω⨯≥，所以06ω<≤ ∵24x π=是函数()()cos f x x ωϕ=+的零点，直线6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，∴6248πππ-=，若84T π=，则2T π=，此时22ππω=，得4ω=，满足条件，若384T π=，则6T π=，此时26ππω=，得12ω=，不满足条件， 综上可知，函数()()cos 4f x x ϕ=+， ∵6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，∴4,6k k Z πϕπ⨯+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈， ∵0ϕπ<<，∴3πϕ=，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数性质的应用，结合的单调区间以及对称轴对称中心之间的关系求出周期和ω是解决本题的关键，属于一般题.10．（2021·浙江·高三专题练习）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小，若15,25,30AB cm AC cm BCM ==∠=︒，则tan θ的最大值是（ ）.（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角）A B C D 【答案】D 【分析】由题可得，20BC =，过P 作PP BC '⊥，交BC 于P '，连接'AP ，则tan PP AP θ'='，设(0)BP x x '=>，分类讨论，若P '在线段BC 上，则20CP x '=-，可求出PP '和'AP ，从而可得出220tan 225x x θ-=+利用函数的单调性，可得出0x =时，取得最大值；若P '在CB 的延长线上，同理求出PP '和'AP ，可得出220tan 225x x θ++，可得当454x =时，函数取得最大值；结合两种情况的结果，即可得出结论． 【详解】 解：15,25AB cm AC cm ==，AB BC ⊥，由勾股定理知，20BC =，过点P 作PP BC '⊥交BC 于P '，连结'AP ，则tan PP AP θ'='， 设(0)BP x x '=>，若P '在线段BC 上，则20CP x '=-，由30BCM ∠=︒，得tan30)PP CP x ''=︒-，在直角ABP '△中，AP '2320tan 225x x θ-∴=+令y ，则函数在[0x ∈，20]单调递减，0x ∴=若P '在CB 的延长线上，tan30)PP CP x ''=︒+，在直角ABP '△中，AP '2320tan 225x x θ+∴=+令22(20)225x y x +=+，则0y '=可得454x =.．11．（2021·全国·高三专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan 2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（ ）． A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【分析】若三角形各边长为a 、b 、c 且内切圆半径为r ， 法一：由内切圆的性质有tan2A a b c =+、tan 2B ba c=+，根据边角关系可得a b =或222+=a b c ，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：由半角正切公式、正弦定理可得A B =或π2A B +=，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状. 【详解】 设()12P a b c =++，△ABC 的内切圆半径为r ，如图所示，法一： ∴tan2A r a p a b c ==-+①；tan 2B r b p b a c==-+②. ①÷②，得：p b a a cp a b c b -+=⋅-+，即()()()()22p b a a c p a b b c -+=-+． 于是()()()()b b c c a b a a c b c a ++-=++-，232232ab b bc a b a ac -+=-+，()()2220a b a b c -+-=，从而得a b =或222+=a b c ，∴A B ∠=∠或90C ∠=︒．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形， （1）当a b =时，内心I 在等腰三角形CAB 的底边上的高CD 上，12ABCS AB CD c =⋅△，从而得2S r a b c ==++． 又()1122p a b c a c -=+-=()22a abc a ca c c ==+++⋅a a c=+， 上式两边同时平方，得：()2222a c a a c a c -=++，化简2220c a -=，即c ．即△ABC 直角三角形， ∴△ABC 为等腰直角三角形．（2）当222+=a b c 时，易得()12r a b c =+-．代入②式，得()()1212a b c b a c a c b +-=++-，此式恒成立， 综上，△ABC 为直角三角形． 法二： 利用sin tan21cos A A A =+，sin tan 21cos B B B =+及正弦定理和题设条件，得sin sin 1cos sin sin A A A B C=++①，sin sin 1cos sin sin B B B A C=++②.∴1cos sin sin A B C +=+③；1cos sin sin B A C +=+④.由③和④得：1cos sin 1cos sin A B B A +-=+-，即sin cos sin cos A A B B +=+，ππsin sin 44A B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为,A B 为三角形内角， ∴ππ44A B +=+或πππ44A B +=--，即A B =或π2A B+=．（1）若A B =，代入③得：1cos sin sin A B C +=+⑤又ππ2C A B A =--=-，将其代入⑤，得：1cos sin sin 2A A A +=+． 变形得()()2sin cos sin cos 0A A A A ---=， 即()()sin cos sin cos 10A A A A ---=⑥，由A B =知A 为锐角，从而知sin cos 10A A --≠． ∴由⑥，得：sin cos 0A A -=，即π4A =，从而π4B =，π2C =．因此，△ABC 为等腰直角三角形． （2）若π2A B +=，即π2C =，此时③④恒成立， 综上，△ABC 为直角三角形． 故选：B12．（2021·河北·石家庄一中高三月考）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．C ．(6D ．)6【答案】C 【分析】根据余弦定理以及正弦定理化简条件得A 、C 关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围． 【详解】∵22a c bc -=，∴所以22cos 2cos sin 2sin cos sin ,b bc A bc b c A c B C A C -=∴-=∴-=sin()2sin cos sin ,sin()sin ,2A C C A C A C C A C C A C +-=∴-=∴-==因此22111111tan 1tan 3sin =3sin 3sin 3sin tan tan tan tan 2tan 2tan 2tan C CA A A A C A C C C C C-+-+-+=-+=+ 113sin 3sin 2sin cos sin A A C C A=+=+设sin A t =，∵ABC 是锐角三角形，∴(0,),(0,),(0,)22222A A A C B A ππππ∈=∈=--∈，∴(,)32A ππ∈∴sin A t =∈，1+3t t 在t ∈上单调递增，∴1113sin +34)tan tan A t C A t -+=∈， 故选：C13．（2021·贵州遵义·高三月考（文））已知函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线()y g x =，若关于x 的方程()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[)0,3C ．[)2,3D ．)1,3【答案】C 【分析】本题首先可根据函数()f x 是偶函数得出33f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过计算得出1a =-，然后通过转化得出()2sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，通过图像变换得出()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最后根据正弦函数对称性得出52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦且232x ππ-≠，通过求出此时()g x 的值域即可得出结果. 【详解】因为函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数，所以33f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22cos 00cos 33a a ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1322a a =--，解得1a =-，()cos 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()1cos 2cos 33323f x x x x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 32sin 62x x πππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，则()22sin 22y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，向左平移12π个单位长度后，得到2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 向上平移1个单位长度，得到()2sin 213y g x x π⎛⎫- ⎝=+⎪⎭=，当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数对称性易知，()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦且232x ππ-≠，此时()[)2,3g x ∈，实数m 的取值范围是[)2,3，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图像变换、正弦函数性质、偶函数的性质的应用以及两角差的正弦公式，能够根据偶函数的性质求出1a =-是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.14．（2021·全国·高三专题练习（文））在ABC 中，()sin sin sin A B B C -+=，点D 在边BC 上，且22CD BD ==，设sin sin ABDk BAD∠=∠，则当k 取最大值时，sin ACD ∠=（ ）A ．14BCD【答案】B 【分析】根据()sin sin sin A B B C -+=，利用两角和与差的正弦公式化简得到sin 2cos sin B A B =，进而求得A ，根据点D 在边BC 上，且2CD BD =，得到sin 3sin ABD AD AD k BAD BD BC∠===∠，再由余弦定理结合2133AD AB AC =+两边平方，得到2222242421c b c b bc b c k c b c b bc b c ++++==+-+-，令c t b =，得到()222142421111t t t t k f t t t t t ++++===-++-，用基本不等式法或者导数法求得最大值时a ，b ，c 的关系，再利用正弦定理求解. 【详解】因为()sin sin sin A B B C -+=，所以()()sin sin sin A B B A B -+=+，即sin 2cos sin B A B =， 因为()0,B π∈， 所以sin 0B ≠，1cos 2A =， 因为()0,A π∈， 所以3A π=，因为点D 在边BC 上，且2CD BD =， 所以sin 3sin ABD AD ADk BAD BD BC∠===∠，设,,AB c AC b BC a ===，则13AD ak =，在ABC 中，由余弦定理得222222cos a c b bc A c b bc =+-=+-，()121333AD AB BD AB BA AC AB AC =+=++=+， 所以222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即22221414cos 9999a k c b bc BAC =++∠， 即222242a k c b bc =++，所以222222224242421c bc b bc c b bc b c k c b a c b bc b c++++++===+-+-，令c t b =，得()222142421111t t t t k f t t t t t ++++===-++-，下面采用基本不等式和导数两种方法求解： 方法一：利用基本不等式求解：222211426()4212411311()24t t t t t k t t t t t ++-++===+-++--+，要使k 最大，需2k 最大，当2k 取最大值时，必有102t ->，2216()6244441313()()12424()2t k t t t -=+=+≤+=+-+-+-当且仅当13124()2t t -==-t所以t 2224211t t k t t ++=-+有最大值4+k的最大值为1c b =所以)1b c =，解得a ==，在ABC 中，由正弦定理得sin sin a cA C=，解得sin sin c A C a ==，即sin ACD ∠=下面采用导数的方法求解：求导得()()2226631t t f t tt -++'=-+，令()0f t '=，解得t =，当0t <<()0f t '>，当t >()0f t '<，所以当t =时，()f t 取得最大值，此时c b =，所以)1b c =，解得a ==， 在ABC 中，由正弦定理得sin sin a cA C=，解得sin sin c A C a ==，即sin ACD ∠= 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理得到sin 3sin ABD AD ADk BAD BD BC∠===∠，然后利用余弦定理表示BC ，利用平面向量表示AD 而得解.15．（2021·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知函数()()sin 02f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移3ωπ个单位得到函数()g x 的图象，点A ，B ，C 是()f x 与()g x 图象的连续相邻的三个交点，若ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围是（ ）A ．,⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．,⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】由函数图象的平移可得()πcos 3g x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质、平面几何的知1<，即可得解. 【详解】由条件可得，()πcos 3g x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，作出两个函数图象，如图：A ，B ，C 为连续三交点，(不妨设B 在x 轴下方)，D 为AC 的中点，.由对称性可得ABC 是以B 为顶角的等腰三角形，2π2AC T CD ω===，由πcos cos 3x x ωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理得cos x x ωω=，得cos x ω=，则C B y y =-=2B BD y = 要使ABC 为钝角三角形，只需π4ACB ∠<即可，由tan 1BD ACB DC ∠==<，所以0ω<<.故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于ω的不等式，运算即可.16．（2021·全国·高三专题练习（理））已知2()2sin 1(0)3f x x πωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，给出下列结论：①若f (x 1)=1，f (x 2)=﹣1，且|x 1﹣x 2|min =π，则ω=1；②存在ω∈(0，2)，使得f (x )的图象向左平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若f (x )在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④若f (x )在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤⎥⎝⎦.其中，所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④【答案】D 【分析】对函数()f x 化简可得()sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】∵22()2sin 1cos 2sin 2336f x x x x πππωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为22ππωω=. 对于① ：因为f (x 1)=1，f (x 2)=﹣1，且|x 1﹣x 2|min =π，所以()f x 的最小正周期为T =2π，122ππωω∴=⇒=. 故① 错误； 对于② ：图象变换后所得函数为sin 236y x ωππω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 若其图象关于y 轴对称，则362k ωππππ+=+，k ∈Z ，解得ω=1+3k ，k ∈Z ，当k =0时，1(0,2)ω=∈.故② 正确；对于③ ：设26t x πω=+，当[]0,2x π∈时，2,4666t x πππωωπ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦. ()f x 在[0,2]π上有7个零点，即sin y t =在,466t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上有7个零点.则7486ππωππ≤+<，解得41472424ω≤<. 故③错误； 对于④ ：由222,262k x k k Z ππππωπ-+++∈，得,,36k k xk Z ππππωωωω-++∈， 取k =0，可得36x ππωω-， 若f (x )在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则3664ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得203ω<.故④ 正确. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的恒等变形和正弦函数的单调性、周期性、奇偶性、零点等知识，解答③的关键是先化简函数不等式得()sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设26t x πω=+，当[]0,2x π∈时，2,4666t x πππωωπ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，将问题转化为sin y t =在,466t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上有7个零点.17．（2021·浙江·高三专题练习）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【分析】利用基本不等式或排序不等式得3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<， 由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C. 【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.视频18．（2021·天津市天津中学高三月考）函数()()2sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图，把函数()f x 的图象上所有的点向右平移6π个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，下列结论中： ①3πϕ=；②函数()g x 的最小正周期为π；③函数()g x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；④函数()g x 关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称其中正确结论的个数是（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【分析】对①，先根据图象分析出ω的取值范围，然后根据()0f ϕ的可取值，然后分类讨论ϕ的可取值是否成立，由此确定出,ωϕ的取值；对②，根据图象平移确定出()g x 的解析式，利用最小正周期的计算公式即可判断；对③，先求解出()g x 的单调递增区间，然后根据k 的取值确定出,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是否为单调递增区间；对④，根据3g π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是否为0,即可判断.【详解】解：由图可知： 1112113124T T ππ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，11211129πππω∴<<， 即18241111ω<<， 又()02sin f ϕ==0ϕπ<<，由图可知：23ϕπ=， 又11112sin 21212f ππωϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 112,122k k Z ππωϕπ∴+=+∈， 且113,2122ππωπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 113,3122ππωϕπ⎛⎫⎛⎫∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故1k =， 当23ϕπ=时，1111126πωπ=，解得：2ω=，满足条件， ()22sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， 故()22sin 22sin 2633g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对①，由上述可知①错误； 对②，()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()g x ∴的最小正周期为2=2ππ，故②正确； 对③，令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 令0k =，此时单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，且5,,3121212ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故③正确； 对④，2sin 20333g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,03π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭不是对称中心，故④错误； 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数()()sin g x A x ωϕ=+()0ω>， 若求函数()g x 的单调递增区间，则令ππ2π2π22k x k ωϕ-<+<+，Z k ∈； 若求函数()g x 的单调递减区间，则令π3π2π2π22k x k ωϕ+<+<+，Z k ∈； 若求函数()g x 图象的对称轴，则令ππ2x k ωϕ+=+，Z k ∈； 若求函数()g x 图象的对称中心或零点，则令πx k ωϕ+=，Z k ∈．19．（2021·山西太原·三模（理））在ABC 中，()sin sin sin A B B C -+=，点D 在边BC 上，且2CD BD =，设sin sin ABDk BAD∠=∠，则当k 取最大值时，sin ACD ∠=（ ）A ．14BCD．(36【答案】B 【分析】根据()sin sin sin A B B C -+=，利用两角和与差的正弦公式化简得到sin 2cos sin B A B =，进而求得A ，根据点D 在边BC 上，且2CD BD =，得到sin 3sin ABD AD AD k BAD BD BC∠===∠，再由余弦定理结合2133AD AB AC =+两边平方，得到2222242421c b c b bc b c k c b c b bc b c ++++==+-+-，令c t b =，得到()222142421111t t t t k f t t t t t ++++===-++-，用导数法求得最大值时a ，b ，c 的关系，再利用正弦定理求解. 【详解】因为()sin sin sin A B B C -+=，所以()()sin sin sin A B B A B -+=+，即sin 2cos sin B A B =， 因为()0,B π∈， 所以sin 0B ≠，1cos 2A =， 因为()0,A π∈，所以3A π=，因为点D 在边BC 上，且2CD BD =， 所以sin 3sin ABD AD ADk BAD BD BC∠===∠，设,,AB c AC b BC a ===，则13AD ak =，在ABC 中，由余弦定理得222222cos a c b bc A c b bc =+-=+-，()121333AD AB BD AB BA AC AB AC =+=++=+， 所以222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即22221414cos 9999a k c b bc BAC =++∠， 即222242a k c b bc =++，所以222222224242421c bc b bc c b bc b c k c b a c b bc b c++++++===+-+-， 令c t b =，得()222142421111t t t t k f t t t t t ++++===-++-，则()()2226631t t f t tt -++'=-+，令()0f t '=，解得t当0t <<()0f t '>，当t >()0f t '<，所以当t =时，()f t取得最大值，此时c b =，所以)1b c =，解得a ==， 在ABC 中，由正弦定理得sin sin a c A C =，解得sin sin c A C a ==即sin ACD ∠= 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理得到sin 3sin ABD AD ADk BAD BD BC∠===∠，然后利用余弦定理表示BC ，利用平面向量表示AD 而得解.20．（2021·山西太原·一模（理））已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于3x π=-对称，且06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x 在11,324ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的所有取值的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．1 D ．2【答案】D 【分析】直接利用正弦型函数的性质对称性和单调性的应用求出结果. 【详解】由于函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于3x π=-对称，则：132k ππωϕπ-+=+，()1k ∈Z ①，由于06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2()6k k πωϕπ+=∈Z ②，-②①得：()2122k k ππωπ=--，所以()()211221k k k k ω=---∈Z ， 故ω为奇数，且()f x 在11,324ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以112243T πππω=≥-，解得08ω<≤． 当211,2,3,4k k -=，故ω的取值为：1，3，5，7，当1ω=时，可以求得()sin()6f x x π=-，11,324x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，7[,][,]662422x πππππ-∈⊆-，满足条件； 当3ω=时，因为2πϕ<，所以不满足条件；当5ω=时，()sin(5)6f x x π=+，11,324x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1159355[,][,]662422x πππππ+∈⊆，满足条件；当7ω=时，()sin(7)6f x x π=-，13737[,]6624x πππ-∈，既有增区间，又有减区间， 所以不满足条件；所以满足条件的ω的所有取值的个数是2， 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关正弦型函数的性质，正确解题的关键是要明确正弦型函数的对称性与单调性.21．（2021·江西鹰潭·一模（理））函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为（ ） A ．125 B ．85C ．165D ．185【答案】A 【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到131264T kT ππ+=+或133,1264T kT k ππ+=+∈Z ，由() f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可以得到191312122Tππ-≤，算出ω的大致范围，验证即可. 【详解】 由题意知：131264T kT ππ+=+或133,1264TkT k ππ+=+∈Z ∴51244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭或53244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭ ∴2(14)5k ω=+或2(34),5k k Z ω=+∈∵()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴191312122T ππ-≤ ∴12222ππωω≤⋅⇒≤①当2(14)5k ω=+时，取0k =知25ω=此时2()sin 515f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，27,515210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴25ω=符合 取1k =时，2ω=，此时()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，572,322x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴2ω=符合当1k ≤-时，0ω<，舍去，当2k ≥时，2ω>也舍去②当2(34)5k ω=+时，取0k =知65ω=此时6()sin 55f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，6321,55210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，舍去 当1k ≤-时，0ω<，舍去，当1k 时，2ω>也舍去综上：25ω=或2，212255S =+=.故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.22．（2021·山东·模拟预测）函数()sin 24cos f x x x =-的最大值为（ ）A B ．C D 【答案】A 【分析】根据周期性只需考虑[]0,2x π∈函数最值，结合()()sin 24cos 2cos sin 2f x x x x x =-=-得3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时函数取得最大值，利用导函数分析单调性，结合隐零点求解最值. 【详解】由题()()sin 24cos 2f x x x f x π=-=+，只需考虑[]0,2x π∈函数最值即可，()()sin 24cos 2cos sin 2f x x x x x =-=-，所以当sin 0,cos 0x x <<即3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时函数取得最大值， ()()222cos 24sin 212sin 4sin 4sin 4sin 2f x x x x x x x '=+=-+=-++，考虑函数()()2442,1,0h t t t t =-++∈-，()()10,00h h -<>， 所以必存在唯一零点0t ，()2000210,2t h t t +==， 且()01,t t ∈-()2442h t t t =-++递减，()0,0t t ∈()2442h t t t =-++递增，记00sin t x =，由正弦函数单调性可得：()0,x x π∈函数()f x 递增，03,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭函数()f x 递减，所以函数()()()000max 2cos sin 2f x f x x x ==-2002sin 1sin 2x x +=，解得00sin x x ==所以()()()000max 2cos sin 222f x f x x x ⎛⎫ ==-=⨯=⎪⎪ ⎝⎭⎝ 故选：A 【点睛】此题考查求函数的最值，关键在于准确分析函数的周期性和单调性，结合导函数解决隐零点问题求解最值，属于难题.二、多选题23．（2021·全国·模拟预测）已知函数()44sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=+-⎭+在区间(),88t t t R ππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，令()()()h t M t m t =-，则下列结论中正确的是（ ）A ．2h π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()h tC ．()h t 的最小值为1D ．当()1h t =时，()5Z 6t k k ππ=+∈ 【答案】AB【分析】应用同角平方关系、二倍角余弦公式得()sin(2)6f x x π=-，A 将2t π=代入求区间，根据正弦型函数的性质即可求2h π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 、C 讨论(),88t t t R ππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦与()f x 的递增区间的关系，结合已知区间的长度为4T ，分析不同情况下的()h t 的取值范围，进而确定最大、小值，D 由题设知()1M t =，()0m t =或()0M t =，()1m t =-，结合区间长度即可求t . 【详解】()4422sin cos sin cos cos 266663f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．A ：当2t π=时，由,88x t t ππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，得35,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时7132,61212x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴()7sin 12M t π=，()13sin 12m t π=，于是()()()713sin sin cos sin 12121212124h t M t m t ππππππ⎛⎫=-=-=++ ⎪⎝⎭3π==由()222262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈可得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 当()6883k t t k k Z ππππππ-≤-<+≤+∈，即()52424k t k k Z ππππ-≤≤+∈时，则有()()()88h t M t m t f t f t ππ⎛⎫⎛⎫=-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2sin 28686t t ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦5sin 2sin 2sin 2121212t t t πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos 22123t t ππ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而()3222434k t k k Z πππππ+≤+≤+∈，23t π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，即()h t ⎡∈⎣． 当()8823t t k k Z ππππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+∈，即()3t k k Z ππ=+∈时，()()()5324h t M t m t f k f k ππππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5sin 2sin 21362462k k ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦． ∵函数()f x 的最小正周期T π=，而区间,88t t ππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦的长度为4π，即4T ，。