三角函数整理专题

专题复习—— 三角函数（一）知识梳理1、 角度制与弧度制的互化10.01745180180157.30rad rad rad ππ⎧=≈⎪⎪⎨⎛⎫⎪=≈ ⎪⎪⎝⎭⎩2、 扇形公式22(11=22180(=360l R R lR n R l n n R αααππ⎧=⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩①弧长弧度制为弧度)②扇形面积S ①弧长角度制为角度)②扇形面积S3、 同角三角函数恒等式22sin sin cos 1cos (sin tan cos cos sin ααααααααααα⎧⎧=⎪⎪⎪⎪+=⇒=⎨⎪⎪⎪±⎪⎩⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎧=⎪⎪⎪⎪±⎨⎪⎪⎪=⎪⎪⎩⎩①其中“”由所在象限确定）②③推论其中“”由所在象限确定）4、 诱导公式sin(2)sin sin()sin cos(2)cos cos()cos tan(2)tan tan()tan sin()sin sin()sin cos()cos cos()cos tan()tan tan()tan s k k k απαπαααπαπαααπαπααααπααααπααααπαα+=+=-⎧⎧⎪⎪+=+=-⎨⎨⎪⎪+=+=⎩⎩-=--=⎧⎧⎪⎪-=-=-⎨⎨⎪⎪-=-=-⎩⎩公式一公式二公式三公式四公式五in()cos sin()cos 22cos()sin cos()sin 2233sin()cos sin()cos 2233cos()sin cos()sin 22ππααααππααααππααααππαααα⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎨-=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪-=+=-⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎧⎪-=-+=-⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪-=-+=⎪⎪⎩⎩⎩公式六推论1推论25、差（和）角公式cos()cos cos sin sincos()cos cos sin sinsin()sin cos cos sinsin()sin cos cos sintan tantan()1tan tantan tantan()1tan tanαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧-=+⎪+=-⎪⎪-=-⎪⎪+=+⎨-⎪-=⎪+⎪+⎪+=⎪-⎩余余正正号相反正余余正号相同6、二倍角公式（倍角公式）22222221sin22sin cos sin cos sin22cos2cos sin1cos2cos212sin sin21cos2 cos22cos1cos22tantan21tanαααααααααααααααααααα⎧⎪=⇒=⎪⎪=-⎪⎪-⎪=-⇒=⎨⎪+⎪=-⇒=⎪⎪⎪=⎪-⎩7、正弦定理及推论2(sin sin sin2sin,2sin,2sinsin,sin,sin222::sin:sin:sinsin sin sin,,sin sin sina b cR R ABCA B Ca R Ab R Bc R Ca b cA B CR R Ra b c A B Ca A a Ab Bb Bc C c C⎧===∆⎪⎪===⎪⎪⎪===⎨⎪⎪=⎪⎪===⎪⎩①为外接圆的半径）②③④⑤8、余弦定理及推论222 222222 222222 2222cos cos22cos cos22cos cos2b c a a b c bc A Abca c bb ac ac B Baca b c c a b ab C Cab⎧+-=+-⇒=⎪⎪+-⎪=+-⇒=⎨⎪⎪+-=+-⇒=⎪⎩9、三角形面积公式1(21()(2111=sin sin sin222S ah aS r a b c r ABCS ab C ac B bc A⎧=⎪⎪⎪=++∆⎨⎪⎪==⎪⎩为底，h为高）为内切圆的半径）10、求最小正周期的公式sin()2= cos()tan()= y A x kTy A x ky A x k Tωϕπωϕωπωϕω⎧=++⎪=++⎪⎨⎪=++⎪⎩最小正周期为的最小正周期为11、正弦函数y=sinx[]maxmin111+2,2,22(2)3+2,2,.222()1;2(3)2() 1.2(4)((5)y sinRk k k Zk k k Zx k k Z yx k k Z yk k Z kxππππππππππππππ-⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩⎧+∈=⎪⎪⎨⎪+∈=-⎪⎩∈≠=（）定义域：，值域：，在单调递增；单调性在单调递减当且仅当=时，最值当且仅当=-时，周期性：周期为2且0),最小正周期为2.奇偶性：,;(6)2.Rx k k Zk k Zπππ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧+∈⎪⎪⎨⎪⎪∈⎪⎩⎩为上的奇函数.①为轴对称图形，对称轴为=对称性②为中心对称图形，对称中心为（,0),12、余弦函数y=cosx[][][]maxmin111+2,2,(2)2,2,.2()1;(3)2() 1.(4)((5)y cos,(6)Rk k k Zk k k Zx k k Z yx k k Z yk k Z kx Rx k kππππππππππππ-⎧-∈⎪⎨+∈⎪⎩∈=⎧⎨+∈=-⎩∈≠=（）定义域：，值域：，在单调递增；单调性在单调递减当且仅当=时，最值当且仅当=时，周期性：周期为2且0),最小正周期为2.奇偶性：为上的偶函数.①为轴对称图形，对称轴为=对称性;+.2Zk k Zππ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪∈⎧⎪⎪⎪⎨∈⎪⎪⎩⎩②为中心对称图形，对称中心为（,0),13、正切函数y=tanx1|,,22-+,),.22(3)(0.(4)y tan(5),0),.2x x k k Z Rk k k Zk k Z kxkk Zπππππππππ⎧⎧⎫≠+∈⎪⎨⎬⎩⎭⎪⎪+∈⎪⎪⎪∈≠⎨⎪=⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪∈⎪⎪⎩⎩（）定义域：值域：（）单调性：在开区间（单调递增周期性：周期为且），最小正周期为奇偶性：为奇函数.①不是轴对称图形；对称性②是中心对称图形，对称中心为(14、简谐运动sin()y A xωϕ=+[)2=1(0,0,0,)2xA xTπωωωπωϕϕ⎧⎪⎪⎪⎪⎪=>>∈+∞⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩①振幅：A②周期：T③频率：f=其中④相位：x+⑤初相：=0时的相位2222sin cos)(tan)0)sin cos)(tan)ba xb x a b xaa aa xb x a b xbωωωϕϕωωωϕϕ⎧+=++=⎪⎪⎨>⎪+=+-=⎪⎩①其中15、三角恒等变换之辅助角公式（其中②其中辅助角公式的证明如下：证明：asin xω+bcos xω22a b+22a b+sin xω22a b+cos xω),①22a b+=cosϕ22a b+=sinϕ,则asin xω+bcos xω22a b+xωcosϕ+cos xωsinϕ)22a b+xω+ϕ) (其中tanϕ=ba)② 22a a b+=sin ϕ22b a b+ϕ,则asin x ω+bcos x ω22a b +x ωsin ϕ+cos x ωcos ϕ) 22a b +x ω-ϕ),(其中tan ϕ=a b) 注：其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出；或由tan ϕ=ba和(a,b)所在的象限来确定. 例：化简32cos 2y x x =+.法一：逆用差（和）角公式3132cos 22(2cos 2)2(sin 2cos cos 2sin )2sin(2)2666y x x x x x x x πππ=+=+=+=+法二：应用辅助角公式32cos 22sin(2)6y x x x π=+=+ (其中3tan 363πϕϕ==⇒=)（二）考点剖析考点一：正、余弦定理，三角形面积公式的应用 例1: 在△ABC 中，C ＝2B ，AB AC ＝43. (1)求cos B ；(2)若BC ＝3，求S △ABC . 解：(1)由C ＝2B 和正弦定理得sin C ＝2sin B cos B ＝2·AC AB sin C ·cos B ∴cos B ＝AB 2AC ＝23 (2)设AC ＝3x ，则AB ＝4x . 由余弦定理得(3x )2＝(4x )2＋32－2×4x ×3cos B ，即9x 2＝`16x 2＋9－16x ∴7x 2－16x ＋9＝0 解得x ＝1或x ＝97当x ＝1时，AC ＝3，AB ＝4 ∴S △ABC ＝12BA ×BC ×sin B ＝12×4×3×53＝2 5.当x ＝97时，AC ＝277，AB ＝367 ∴S △ABC ＝12BA ×BC ×sin B ＝12×367×3×53＝1875.考点二：利用正、余弦定理判断三角形的形状例2:在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1) 2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C由正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ① 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A12cos cos 2bc A bc A ∴-=⇒=- 又0A π<< 23A π∴=. (2)由①得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C 又sin B ＋sin C ＝1 ∴sin B ＝sin C ＝12又0,022B C ππ<<<<∴B ＝C ∴△ABC 是等腰三角形．考点三：三角恒等变换之辅助角公式：sin cos )(tan )ba xb x x aωωωϕϕ+=+=其中例3：已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+，x R ∈（1） 求f(x)的最小正周期及最大值； （2） 求函数f(x)的单调递增区间； （3） 若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数f(x)的值域 .解：2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++（1） f(x)的最小正周期为22T ππ==，最大值为max ()1f x =. （2） 由222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得3,88k x k k πππππ-+≤≤+∈∴函数f(x)的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（3）02x π≤≤52444x πππ∴≤+≤sin(2)14x π≤+≤ 0)114x π∴≤++≤即0()1f x ≤≤∴函数f(x)的值域为1⎡⎤⎣⎦即时训练：已知函数22(sin cos )y x x x =++x R ∈（1） 求函数f(x)的最小正周期、最小值及单调递减区间； （2） 当02x π<<时，求函数f(x)的值域.【高考地位】三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一. 掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. 这也是解决三角函数问题的前提和出发点. 在高考中常以选择题、填空题出现，其试题难度考查不大.【方法点评】方法一 切割化弦使用情景：一般三角求值类型解题模板：第一步 利用同角三角函数的基本关系sin tan cos θθθ=，将题设中的切化成弦的形式； 第二步 计算出正弦与余弦之间的关系； 第三步 结合三角恒等变换可得所求结果.例1已知1tan()2πα+=，则sin cos 2sin cos αααα-+=（ ） A ．41 B ．21 C ．41- D ．21- 【答案】C 【解析】试题分析：21tan =α，将原式上下同时除以αcos ，即411tan 21tan cos sin 2cos sin -=+-=+-αααααα，故选C.考点：同角三角函数基本关系学*科网 【变式演练1】已知2)tan(-=-απ，则=+αα2cos 2cos 1（ ）A ．3 B. 52C.25- D.3- 【答案】C 【解析】考点：诱导公式，同角间的三角函数关系，二倍角公式.方法二 统一配凑使用情景：一类特殊三角求值类型解题模板：第一步 观察已知条件中的角和所求的角之间的联系；第二步 利用合理地拆角，结合两角和（或差）的正弦（或余弦）公式将所求的三角函数值转化为已知条件中的三角函数值；第三步 利用三角恒等变换即可得出所求结果.例2已知,31tan ,71tan ==βα则=+)2tan(βα 【答案】1 【解析】 试题分析：212tan 3tan ,tan 231tan 4ββββ===-，()13tan tan 274tan 21131tan tan 2174αβαβαβ++∴+===--⨯考点：两角和的正切公式.方法三 公式活用例3 下列式子结果为3的是（ ） ①tan25tan353tan25tan35︒+︒+︒︒； ②()2sin35cos25cos35cos65︒︒+︒︒； ③1tan151tan15+︒-︒；④2tan61tan6ππ-.A. ①②B. ③C. ①②③D. ②③④ 【答案】C【高考再现】1.（2018年全国卷Ⅲ文）若，则A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 分析：由公式可得.详解：，故答案为B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.2. 【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．4.【2017山东，文4】已知3cos 4x =,则cos2x = A.14- B.14 C.18- D.18【答案】D 【解析】【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．6. 【2015高考福建，文6】若5sin13α=-，且α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．125B．125-C．512D．512-【答案】D【考点定位】同角三角函数基本关系式．【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sinα、cosα、tanα三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角α的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题．6.（2018年全国卷II文）已知，则__________．【答案】.【解析】分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得.详解：，解方程得.学科*网点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.7.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 学#科网【反馈练习】1．【山东省济南市2018届高三第一次模拟考试数学（文）试题】若72sin 410A π⎛⎫+=⎪⎝⎭， ,4A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A 的值为（ ）A ．35 B ． 45 C ． 35或45 D ． 34【答案】B 【解析】5,,,4424A A πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos 04A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，且22cos 1sin 4410A A ππ⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以4sin sin sin cos cos sin 4444445A A A A ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，选B. 点睛：本题主要考查同角三角函数基本关系式、两角差的正弦公式等，属于易错题.解答本题的关键是拆角，将sin A 拆成sin 44A ππ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.2．【山西省2018年高考考前适应性测试文科数学试题】已知tan 3α=，则sin21cos2αα=+（ ）A ． 3-B ． 13-C ． 13D ． 3 【答案】D 【解析】222sin cos 3122sin tan cos cos αααααα===+故选D3.【江西省上饶市2018届高三下学期第二次高考模拟数学（理）试题】000sin65sin35cos30cos35-=（ ） A ． 3-B ． 12-C ． 12D ． 3【答案】C 【解析】由题得()00000000sin 3530sin35cos30cos35sin301sin30cos35cos352+-===，故选C. 4.【河南省濮阳市2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题】设()0,90α∈︒︒，若()3sin 7525α︒+=-，则()()sin 15sin 75αα︒+⋅︒-= ( )A ．110 B ． 2 C ． 110- D ． 2-【答案】B【解析】()()sin 75cos 15αα-=+， 所以原式等于()()()1sin 15cos 15sin 3022ααα++=+ 而()()()()2sin 302sin 75245sin 752cos 7522αααα⎡⎤⎡⎤+=+-=+-+⎣⎦⎣⎦ ， ()75275,255α+∈ ，又因为()sin 7520α+<，所以()752180,255α+∈，可求得()4cos 7525α+=- ， 那么()()()22342sin 302sin 752cos 7525510ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+-+=---= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，那么()12sin 3022α+=，故选B. 5．【安徽省宣城市2018届高三第二次调研测试数学理试题】已知3cos 5α=， 3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．【答案】34310- 【解析】∵3cos 5α=， 3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭∴4sin 5α=- ∴3143343cos cos cos sin sin 333525πππααα-⎛⎫⎛⎫-=+=⨯+-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为343-. 三角函数的图像和性质问题【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。

《三角函数》复习专题一、重要知识点清理1．角的概念：（了解）正角：按 时针方向旋转形成的角叫做正角. 负角：按 时针方向旋转形成的角叫做负角. 零角：射线没有做任何旋转，我们称它形成一个零角. 2．象限角、象限界角（轴线角）把角置于直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与 重合，角的终边（除端点外）的位置在第几象限，就称这个角是第几象限角。

角的终边在坐标轴上的角称为象限界角，它不属于任何象限.α是第二象限角可表示为： . α是第四象限角可表示为： . 3．终边相同的角：与α角终边相同的角的集合可以记做 . 4．弧度制的定义：（略）α= . 弧长公式：l = ； 扇形面积公式：S = = .5．角度与弧度的换算：180o = ； 1o = rad ；1ra d 6.任意角的三角函数的定义：7．三角函数的值在各象限的符号：8．作三角函数线平方关系：；商数关系： ； 公式（一）：sin(2)k πα+= c o s (2)k πα+= t a n (2)k πα+= 公式（二）：sin()πα+= c o s ()πα+= t a n ()πα+= 公式（三）：sin()α-= c o s ()α-= t a n ()α-=公式（四）：sin()πα-= c o s ()πα-= t a n ()πα-= 公式（五）：sin(2)πα-= c o s (2)πα-= t a n (2)πα-= 公式（六）：sin()2πα-= c o s ()2πα-= t a n ()2πα-=公式（七）：sin()2πα+= c o s ()2πα+= t a n ()2πα+= 公式（八）：3sin()2πα-= 3c o s ()2πα-= 3t a n ()2πα-=公式（九）：3sin()2πα+= 3c o s ()2πα+= 3t a n ()2πα+= 九个诱导公式的简记口诀为： （注意公式的逆向变换，符号是关键）求值，化简的步骤为： 12．函数()y f x =为周期函数⇔存在 T ，使 恒成立； 13．函数2cos(2)13y x π=-++，的 定义域为 ；值域为 ；周期为 ；增区间 ；减区间为 ；对称轴方程为 ；对称中心为 ； 14．有关函数sin()y A x b ωϕ=++(0,0,,A b ωϕ>>为常数)的方法要点 ①求其对称轴、中心、最大值和最小值：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的对称中心是其 点；对称轴经过其 点； ②求其单调区间方法：17.正弦、余弦、正切函数的图象和性质18．函数图象变换：①函数y ＝sin(x ±φ)( φ>0)的图象可由函数y＝sin x 的图象向左(或右)平移 个单位而得到，称为 变换．这种变换的实质是：纵坐标，横坐标增加(或减少) 个单位． ②函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象可由函数y ＝sin x 的图象沿x 轴伸长(ω<1)或缩短(ω>1)到原来的ω1倍而得到，称为 变换．这种变化的实质是：纵坐标 ，横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的 倍．③函数y ＝A sin x 的图象可由函数y ＝sin x 的图象沿y 轴伸长(A >1)或缩短(A <1)到原来的A 倍而得到的，称为 变换．这种变换的实质是：横坐标 ，纵坐标伸长(A >1)或缩小(0<A <1)到原来的 倍．19．综合变换：以函数y ＝3sin(2x －3π)，x ∈R 为例．①按φ、ω、A 顺序变换：y ＝sin x →y＝sin(x －3π)→y ＝sin(2x －3π)→y ＝3sin(2x －3π) 图象变换：②按ω、φ、A 顺序变换：y ＝sin x →y ＝sin2x →y ＝sin(2x －3π)→y ＝3sin(2x －3π)图象变换：y ＝sin(x －3π)y ＝sin(2x －3π)y ＝3sin(2x －3π)y ＝sin(2x －3πy ＝3sin(2x －3π)用流程图来表示：。

三角函数专题复习一、任意角和弧度制例1．下列各角中，终边相同的角是 ( )A.23π和240B.5π−和314 C.79π−和299π D.3和3例2．已知扇形圆心角60α=，α所对的弧长6l π=，则该扇形面积与其内切圆面积的比值为__________.练习：1．将1665−化成2(02,Z)k k απαπ+<∈的形式是（ ）A ．584ππ−− B ．384ππ− C ．5104ππ− D ．3104ππ− 2．（多选）如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1,0),60BOA ∠=︒，质点A 以1rad /s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2rad /s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（ ）A ．1s 时，BOA ∠的弧度数为π33+B ．πs 12时，扇形AOB 的弧长为7π12 C ．πs 6时，扇形AOB 的面积为π3 D ．5s 9时，A ，B 在单位圆上第一次相遇3．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是____ _______.4．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若2AB =，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为______.二、三角函数的概念例3. 若θ是第二象限角,则 ( ) A.sin θ2>0 B.cos θ2<0 C.tan θ2>0 D.以上均不对例4．已知111A B C △与222A B C △满足：12sin cos A A =，12sin cos B B =，12sin cos C C =，则（ ）A ．111ABC △是钝角三角形，222A B C △是锐角三角形B ．111A BC △是锐角三角形，222A B C △是钝角三角形C ．两个三角形都是锐角三角形D ．两个三角形都是钝角三角形例5. 已知函数()263x f x a−=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sin cos sin cos θθθθ−=+______. 练习：5．有四个关于三角函数的命题：1:p x ∃∈R ，221sin cos 222x x +=；2:p x ∃、y ∈R ，sin()sin sin x y x y −=−； ()3π:sin cos 2πZ 2p x y x y k k =⇒+=+∈；4π:0,2p x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，1cos tan sin x x x =. 其中真命题的是（ ）A ．1p ，3pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．2p ，4p6．sin1cos 2tan 3⋅⋅的值（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不确定7.已知sin α=,则sin 4α-cos 4α的值为 ( )A.-B. -C.D.8．,,A B C ∠∠∠是三角形的三个内角，下列选项能判断ABC 为等腰三角形的是（ ）A ．()()sin sin ABC A B C +−=−+B ．sincos 22A B C A B C +−−+= C ．sin sin 22A B C A B C +−−+=D A 9.已知关于x 的方程4x 2-2(m+1)x+m=0,的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦、余弦,则实数m 的值为________.10．（1（2α是第三象限角．11．已知sin cos x x t +=，t ⎡∈⎣.(1)当12t =且x 是第四象限角时，求33sin cos x x −的值； (2)若关于x 的方程()sin cos sin cos 1x x a x x −++=有实数根，求a 的取值范围.三、诱导公式例6．若角α的终边经过点()()sin 780,cos 330P ︒−︒，则sin α=（ ） AB ．12 C．2 D ．1例7．已知()()()()9π7πsin cos tan 2π22tan πsin πf αααααα⎛⎫⎛⎫−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=−+． (1)化简()f α；(2)若()π22f f αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()π2f f αα⎛⎫− ⎪⎝⎭的值．练习：12．已知n ∈Z ，化简()πsin π16n n ⎡⎤+−=⎢⎥⎣⎦______________. 13．已知2πtan(π)3α+=−． (1)求πsin(2022π)2sin 2π3cos cos(π)2αααα⎛⎫+−+ ⎪⎝⎭⎛⎫−−− ⎪⎝⎭的值； (2)若为α第四象限角，求sin cos αα+的值．14．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过函数()33x f x a −=−−（0a >且1a ≠）的定点M .(1)求sin 2cos +tan ααα−的值；(2)求()()()()3πsin πcos 2tan 3πcos 2πsin ααααα⎛⎫++− ⎪⎝⎭−+−+−的值.15．已知函数()()()sin πcos πf x x x =+−，且π04x <<. (1)若()14f x =，求πcos cos 2x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值； (2)若函数()g x 满足()()tan g x f x =，求14g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.。

三角函数考点(kǎo diǎn)1：三角函数(sānjiǎhánshù)的有关概念；考点(kǎo diǎn)2：三角(sānjiǎo)恒等变换；（两角和、差公式(gōngshì)，倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式）考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；（定义域、值域、最值；单调区间、最小正周期、对称轴对称中心）考点4：函数y=Asin(的图象与性质；（定义域、值域、最值；单调区间、最小正周期、对称轴对称中心、图像的变换）一、三角函数求值问题1. 三角函数的有关概念例1.若角的终边经过点，则= ．练习1．已知角的终边上一点的坐标为（），则角 的最小正值为（）A、 B、 C、 D、2、公式法：例2.设，若，则=（）A. B. C. D.练习1．若，则等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．α是第四象限角，，则（ ） A ． B ．C ．D ．3． 的值为 。

4．已知，且，则的值是 ．3．化简求值例3.已知为第二(d ì èr)象限角，且，求的值练习(li ànx í)：1。

已知，则的值为（ ）A ．15-B ．C ．15D ．2.已知. （I ）求的值. （II ）的值. 3．若，则的值为（ ）Ａ． Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．4 化简= ．4、配凑求值 例4．已知，sin()=－sin则os=____ .练习(li ànx í)：1 设α∈()，β∈(0，)，cos(α－4π)=，sin(+β)=，则sin(α+β)=_________2．已知sin α=53，α∈(，π)，tan(π－β)= ，则tan(α－2β)=______3．求的值4.若，则= （ ）A ．B ．C ．D ．方法(f āngf ǎ)技巧：1.三角函数恒等变形(bi àn x íng)的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

三角函数专题复习（一）1. 三角函数（约16课时）（1）任意角、弧度制：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切），能画出的图象，了解三角函数的周期性。

③借助图象理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。

④理解同角三角函数的基本关系式：⑤结合具体实例，了解的实际意义；能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数A，ω，对函数图象变化的影响。

⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

一、要点●疑点●考点1、任意角和弧度制：①、任意角：正角（按逆时针方向旋转形成的角）、负角（按顺时针方向旋转形成的角）、零角（没有作任何旋转的角）；②、象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；【注意】：如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。

③、a：终边相同的角的集合：S={β︱β=α+k·360o，k∈Z}；b：终边在x轴上的角的集合：S={β︱β=k•180o，k∈Z}；c：终边在y轴上的角的集合：S={β︱β=90o+k·180o，k∈Z}；d：终边在坐标轴上的角的集合：S={β︱β=k·90o，k∈Z}；e：终边在直线y=x上的角的集合：S={β︱β=45o+k•180o，k∈Z}④、角度制与弧度制：用度作为单位来度量角的单位制叫着角度制；用实数作为单位来度量角的单位制叫着弧度制；把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫着1弧度的角，用符号rad表示，读着弧度。

如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角αα的正负由角α的终边的旋转方向决定。

角度制与弧度制的转化只要通过【注意】：今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数。

三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函 数 性 质2。

正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。

三角函数的专题复习-最经典最全
1. 三角函数的基本概念
- 正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的定义及其关系- 弧度和角度的转换及其应用
- 三角函数在直角三角形中的应用
2. 三角函数的性质
- 周期性和奇偶性
- 正负变化规律
- 三角函数的大小关系及其应用
3. 三角函数的图像和性质
- 正弦函数的图像和性质
- 余弦函数的图像和性质
- 正切函数的图像和性质
- 三角函数图像的平移、伸缩等变换
4. 三角函数的求值和计算
- 特殊角的三角函数值
- 三角函数的和差化积公式
- 三角函数的倍角和半角公式
- 三角函数的三角恒等式
5. 三角函数的应用
- 三角函数在几何中的应用
- 三角函数在物理中的应用
- 三角函数在工程中的应用
- 三角函数在生活中的应用
6. 典型例题和题解析
- 理解和掌握三角函数的概念和性质
- 运用不同的定理和公式解决相关问题
- 练解题技巧和应用能力
以上是三角函数的专题复习内容，包括基本概念、性质、图像和性质、求值和计算、应用以及典型例题和习题解析。

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1．tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=3．假设,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证．5．求函数)6π2sin(2+=x y 在区间[0，2π ]上的值域． 解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求以下函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )． 解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，令t =cos x ，那么,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，那么]2,2[-∈t 那么，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y 7．假设函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)假设],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)假设]2π,0[∈x ，那么]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2-1． 2tan =θ，求〔1〕θθθθsin cos sin cos -+；〔2〕θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：〔1〕2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=.说明：利用齐次式的结构特点〔如果不具备，通过构造的方法得到〕，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

高中数学三角函数复习专题一、知识点整理 :1、角的看法的推行：正负，范围，象限角，坐标轴上的角；2、角的会集的表示：①终边为一射线的角的会集：x x2k, k Z=|k 360o, k Z②终边为向来线的角的会集：x x k, k Z；③两射线介定的地域上的角的会集：x 2k x2k, k Z④两直线介定的地域上的角的会集：x k x k, k Z；3、任意角的三角函数：（1）弧长公式： l a R R 为圆弧的半径，a为圆心角弧度数， l 为弧长。

（2）扇形的面积公式：S 1lR R 为圆弧的半径， l 为弧长。

2（3）三角函数定义：角中边上任意一点 P 为 ( x, y) ，设 | OP |r 则：sin y, cos x ,tan y r= a 2b2 r r x反过来，角的终边上到原点的距离为r 的点P的坐标可写为：P r cos, r sin 比如：公式 cos()cos cossin sin的证明（4）特别角的三角函数值α032 64322sin α012310-10222cosα13210-101222tan α0313不存不存0 3在在（5）三角函数符号规律：第一象限全正，二正三切四余弦。

（6）三角函数线：（判断正负、比较大小，解方程或不等式等）y T 如图，角的终边与单位圆交于点P，过点 P 作 x 轴的垂线，P 垂足为 M ，则Ao 过点 A(1,0)作 x 轴的切线，交角终边OP 于点 T，则M x。

（7）同角三角函数关系式：①倒数关系： tana cot a 1sin a ②商数关系： tan acosa③平方关系： sin 2 a cos2 a1（ 8)引诱公试sin cos tan三角函数值等于的同名三角函数值，前方-- sin+ cos- tan加上一个把看作锐角时，原三角函数值的- tan-+ sin- cos符号；即：函数名不变，符号看象限+- sin- cos+ tan2-- sin+ cos- tan2k++ sin+ cos+ tansin con tan2+ cos+ sin+ cot三角函数值等于的异名三角函数值，前方2+ cos- sin- cot加上一个把看作锐角时，原三角函数值的3- cos- sin+ cot2符号 ;3- cos+ sin- cot2即：函数名改变，符号看象限 : sin x cos x cos x比方444cos x sin x444.两角和与差的三角函数：（1）两角和与差公式：cos() cos a cos sin a sin sin( a) sin a coscosa sintan a(atan a tan注：公式的逆用也许变形)1 tan a tan．．．．．．．．．（2）二倍角公式：sin 2a 2sin acosa cos 2a cos2 a sin 2 a12 sin2 a 2 cos2 a 12 tan atan 2a1 tan2 a(3)几个派生公式：①辅助角公式：a sinx bcosx a2b2 sin(x)a22 cos()b x比方： sinα± cosα＝ 2 sin4＝ 2 cos4．sinα±3 cosα＝ 2sin3＝2cos3等．②降次公式： (sin cos) 21sin 2cos21cos2,sin 21cos222③ tan tan tan()(1 tan tan)5、三角函数的图像和性质：（此中 k z ）三角函数y sin x定义域（- ∞， +∞）值域[-1,1]最小正周期T2奇偶性奇[ 2k,2k]22单调性单调递加[ 2k,2k3 ]22单调递减x k对称性2(k ,0)零值点x ky cosx（- ∞， +∞）[-1,1]T 2偶[( 2k 1) ,2k ]单调递加[( 2k , (2k 1) ]单调递减x k(k,0)2x k2y tan xx k2（-∞，+∞）T奇(k,k)22单调递加k(,0)x kx k2x 2 k，最值点y max1ymax 1；无x k2x(2k 1) ，y min1y min1 6、 .函数y Asin( x) 的图像与性质：（本节知识观察一般能化成形如y Asin( x) 图像及性质）（ 1）函数 y Asin( x) 和 y Acos( x2 ) 的周期都是T（ 2）函数y A tan( x) 和 y Acot( x) 的周期都是T（ 3）五点法作y Asin( x) 的简图，设t x，取0、、、3、2来求相应x22的值以及对应的y 值再描点作图。

高考一轮复习专题——三角函数第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数基础梳理1．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零， |α|＝l r，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝yr ，cos α＝x r，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝kπ，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,2ππββ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k ,2πββ. 两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式是( )．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈Z)2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )．A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )．A．－55B.255C．－255D．－125．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________.考向一角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，则( )．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )考向二 三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．【训练2】(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )． A ．－45 B ．－35 C.35 D.45考向三 弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【训练3】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？考向四 三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.【训练4】求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )． 解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.重点突破——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P (不与原点重合)的坐标为(x ，y )，它到原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)，则sin α＝yr、cosα＝x r 、tan α＝yx 分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x ，y 的符号由α终边所在象限确定，r 的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x ，y ，r 的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．【示例】►(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α、tan α的值．【试一试】已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α.第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式基础梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α. 公式五：sin )2(απ-＝cos α，cos )2(απ-＝sin α.公式六：sin )2(απ+＝cos α，cos )2(απ+＝－sin α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有： (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝…. 三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．A ．±12 B.12 C.32 D ．±322．(2012·杭州调研)点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值等于( )．A.43B.34 C ．±43 D ．±344．cos )417(π-－sin )417(π-的值是( )． A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.225．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.考向一 利用诱导公式化简、求值【例1】►已知)tan()2sin()2cos()sin()(απαπαπαπα++--=f ，求【训练1】已知角α终边上一点P (－4,3)，则的值为________．考向二 同角三角函数关系的应用)3(πf )29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+【例2】►(2011·长沙调研)已知tan α＝2. 求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α；(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.【训练2】已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5.则sin 2α－sin αcos α＝________.考向三 三角形中的诱导公式【例3】►在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【训练3】若将例3的已知条件“sin A ＋cos A ＝2”改为“sin(2π－A )＝－2sin(π－B )”其余条件不变，求△ABC 的三个内角．重点突破——忽视题设的隐含条件致误【问题诊断】涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时，应深挖隐含条件，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误.,【防范措施】一要考虑题设中的角的范围；二要考虑题设中的隐含条件 【示例】►若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．【试一试】已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，求tan θ.第3讲 三角函数的图象与性质基础梳理1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质定义域R R {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：错误!无对称轴对称中心：)0,2(πk(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππkk(k∈Z)；单调减区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ232,22kk(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间)2,2(ππππ+-kk(k∈Z)奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝cos )3(π+x ，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数2．函数y ＝tan )4(x -π的定义域为( )．A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,4ππB.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,42ππC.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,4ππD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,42ππ3．(2011·全国新课标)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)（20πϕω＜，＞）的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )． A ．f (x )在)2,0(π单调递减B ．f (x )在)43,4(ππ单调递减C ．f (x )在)2,0(π单调递增D ．f (x )在)43,4(ππ单调递增4．y ＝sin )4(π-x 的图象的一个对称中心是( )．A ．(－π，0) B.)0,43(π-C.)0,23(π D.)0,2(π5．(2011·合肥三模)函数f (x )＝cos )62(π+x 的最小正周期为________．考向一 三角函数的定义域与值域【例1】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x （4π≤x ）的最大值与最小值．【训练1】(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域．(2)已知函数f (x )＝cos )32(π-x ＋2sin )4(π-x ·sin )4(π+x ，求函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ上的最大值与最小值．考向二 三角函数的奇偶性与周期性【例2】►(2011·大同模拟)函数y ＝2cos 2)4(π-x －1是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 【训练2】已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是________．考向三 三角函数的单调性【例3】►已知f (x )＝sin x ＋sin )2(x -π，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．【训练3】函数f (x )＝sin )32(π+-x 的单调减区间为______．考向四 三角函数的对称性【例4】►(1)函数y ＝cos )32(π+x 图象的对称轴方程可能是( )．A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12【训练4】(1)函数y ＝2sin(3x ＋φ)（2πϕ＜）的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.(2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.重点突破——利用三角函数的性质求解参数问题含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析． 一、根据三角函数的单调性求解参数【示例】►(2011·镇江三校模拟)已知函数f (x )＝sin )3(πω+x (ω＞0)的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k (k ∈Z )，单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππk k (k ∈Z )，则ω的值为________．二、根据三角函数的奇偶性求解参数【示例】► (2011·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )． A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3▲根据三角函数的周期性求解参数【示例】► (2011·合肥模拟)若函数y ＝sin ωx ·sin )2(πω+x (ω＞0)的最小正周期为π7，则ω＝________.▲根据三角函数的最值求参数【示例】► (2011·洛阳模拟)若函数f(x)＝a sin x－b cos x在x＝π3处有最小值－2，则常数a、b的值是( )．A．a＝－1，b＝ 3 B．a＝1，b＝－ 3C．a＝3，b＝－1 D．a＝－3，b＝1第4讲正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用基础梳理1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的步骤3．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形． 一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin )42(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)（2πϕ＜）的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )． A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin )3(πω+x ＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．35．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)（02-0＜＜，＞ϕπω）的最小正周期为π，且)4(πf ＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【训练1】已知函数f (x )＝3sin )421(π-x ，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【训练2】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示． (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M )2,32(-π. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,12ππ时，求f (x )的值域．【训练3】(2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π.(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．重点突破——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】(1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角Φ（2222sin ,cos b a b b a a +=+=φφ），将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【示例】►(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin )6(π+x －1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,6ππ上的最大值和最小值．【试一试】是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由．第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin )4(πα±.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝)2(βα+－)2(βα+.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )．A ．2cos 2 π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15° 2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．6 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )．A ．－53 B ．－19 C.19 D.534．(2011·辽宁)设sin )4(θπ+＝13，则sin 2θ＝( )．A ．－79B ．－19 C.19 D.795．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.考向一 三角函数式的化简【例1】►化简)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ.【训练1】化简：ααααα2sin )1cos )(sin 1cos (sin +--+.考向二 三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos )2(βα-＝－19，sin )2(βα-＝23，求cos(α＋β)的值．【训练2】已知α，β∈)2,0(π，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．考向三 三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.【训练3】已知α，β∈)2,2(ππ-，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．考向四 三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f )3(π的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．【训练4】已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,6ππ上的最大值和最小值．重点突破——三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法． 一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】► (2011·江苏)已知tan )4(π+x ＝2，则tan x tan 2x 的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】► (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】► (2011·温州一模)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈)2,0(π.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．第6讲正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：asin A ＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2)a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．余弦定理可以变形为：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin Ab sin A＜a＜ba≥b a＞b a≤b解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )．A．5 2 B．10 2C.1063D．5 62．在△ABC中，若sin Aa＝cos Bb，则B的值为( )．A．30° B．45° C．60° D．90°3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于( )． A．30° B．45° C．60° D．75°4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为( )．A．3 3 B．2 3 C．4 3 D. 35．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．考向一利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.【训练1】(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．【训练2】(2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．【训练3】在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形考向四 正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．【训练4】(2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b，c，且cos B＝45，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．重点突破——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．【试一试】(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a ；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.第7讲正弦定理、余弦定理应用举例基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．双基自测1．(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )．A．50 2 m B．50 3 m C．25 2 m D.2522m2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A．α＞β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A 在点B的( )．A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里5．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC ＝75°，则B，C间的距离是________海里．考向一测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【训练1】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．考向二测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.考向三正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．【训练3】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．重点突破——如何运用解三角形知识解决实际问【问题研究】1.解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模准确地画出图形——求解——检验作答；2.三角形应用题常见的类型：①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.【解决方案】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中.【示例】►(本题满分12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？【试一试】如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cos θ.。

完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。

考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。

考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。

此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。

一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。

cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。

3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。

练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。

4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。

练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。

三角函数复习专题一、核心知识点归纳：★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：★★2.正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===R 为ABC ∆外接圆半径2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⇒ sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆===③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩三、例题集锦： 考点一：三角函数的概念1.如图,设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点,Q P 、是 单位圆上的两点,O 是坐标原点,6π=∠AOP ,[)παα,0,∈=∠AOQ ．1若34(,)55Q ,求⎪⎭⎫⎝⎛-6cos πα的值；2设函数()f OP OQ α=⋅,求()αf 的值域． 2．已知函数2()22sin f x x x =-.Ⅰ若点(1,P在角α的终边上,求()f α的值； Ⅱ若[,]63x ππ∈-,求()f x 的值域.考点二：三角函数的图象和性质3.函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．Ⅰ求()f x 的最小正周期及解析式；Ⅱ设()()cos 2g x f x x =-,求函数()g x 在区间[0,]x π∈上的最大值和最小值．考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换4．已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.1若1)(=θf ,求θθcos sin ⋅的值；2求函数)(x f 的单调增区间.3求函数的对称轴方程和对称中心 5.已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-0x ω∈>R ，,相邻两条对称轴之间的距离等于2π．Ⅰ求()4f π的值；Ⅱ当 02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值． 6、已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+ ()x ∈R . Ⅰ求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；Ⅱ若0()23x f =,0ππ(, )44x ∈-,求0cos 2x 的值.7、已知πsin()410A +=,ππ(,)42A ∈． Ⅰ求cos A 的值； Ⅱ求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域．考点六：解三角形8．已知△ABC 中,2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+. Ⅰ求角B 的大小；Ⅱ设向量(cos , cos 2)A A =m ,12(, 1)5=-n ,求当⋅m n 取最 小值时,)4tan(π-A 值.9．已知函数23cos sin sin 3)(2-+=x x x x f ()R x ∈． Ⅰ求)4(πf 的值；Ⅱ若)2,0(π∈x ,求)(x f 的最大值；Ⅲ在ABC ∆中,若B A <,21)()(==B f A f ,求AB BC 的值．10、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 分,且满足2cos cos c b Ba A-=． Ⅰ求角A 的大小；Ⅱ若a =求△ABC 面积的最大值．11、 在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且b 2+c 2-a 2=bc ．9第题图Ⅰ求角A 的大小；Ⅱ设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x xx f +=,当)(B f 取最大值23时,判断△ABC 的形状．12、在ABC ∆中,内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ,已知1tan 2B =,1tan 3C =,且1c =. Ⅰ求tan A ； Ⅱ求ABC ∆的面积.13、在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,且274sin cos222A B C +-=． Ⅰ求角C 的大小； Ⅱ求sin sin A B +的最大值．高三文科---三角函数专题11.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos2θ=A .45- B .35- C .35 D .452.如图,质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为)2,2(0-P ,角速度为1,那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为3.动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间0t =时,点A 的坐标是13(,)22,则当012t ≤≤时,动点A 的纵坐标y 关于t 单位：秒的函数的单调递增区间是A 、[]0,1B 、[]1,7C 、[]7,12D 、[]0,1和[]7,124.函数f (x)Asin(wx ),(A,w,=+φφ）为常数,)0,0>>w A 的部分图象如图所示,则f (0)____的值是5.已知函数f (x)A tan(x )=ω+ϕω＞0,2π＜ϕ,y f (x)=的部分图象如下图,则f24π=__________. 6. 函数f x=sinx －cosx ＋6π的值域为A ． －2 ,2B .33C .－1,1D .－33 8.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+,其中ϕ为实数,若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立,且()()2f f ππ>,则()f x 的单调递增区间是 A ,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C 2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦14.定义在⎪⎭⎫⎝⎛20π,的函数y=6cosx 图像与y=5tanx 图像的交点为P,过点P 作PP 1⊥x轴于点P 1,直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为 .16.如图,四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,各自作出三个函数sin 2y x =, sin()6y x π=+,sin()3y x π=-的图像如下,结果发现其中有一位同学作出的图像有错误,那么有错误．．的图像是 A B C D17.已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是20.设sin 1+=43πθ（）,则sin 2θ=A 79- B 19- C 19 D 7922.已知,2)4tan(=+πx 则x x2tan tan 的值为__________25.若tan θ＋1tan θ=4,则sin 2θ=A ．15B . 14C . 13D . 1226.已知α为第二象限角,33cos sin =+αα,则cos2α=A 555527.若02πα<<,02πβ-<<,1cos ()43πα+=,3cos ()42πβ-=则cos ()2βα+= A33 B 33-53 D 628. 设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为 ． 29.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,1若,cos 2)6sin(A A =+π 求A 的值；2若c b A 3,31cos ==,求C sin 的值.30.如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC=3点D 在BC 边上,∠ADC=45°,则AD 的长度等于___.31.在ABC ∆中,内角A,B,C 所对的边分别是c b a ,,,已知8b=5c,C=2B,则cosC=A257 B 257- C 257± D 2524 34.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且53cos =A ,135cos =B ,3=b 则c =35. 如图,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使1AE =,连接EC 、ED 则sin CED ∠=A 、31010 B 、1010 C 、510 D 、51536. 在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c , 若2222a b c +=,则cos C 的最小值为A .3. 22C . 12D . 12-37.在ABC 中,60,3B AC ==则2AB BC +的最大值为 . 39. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π>43. 已知函数()tan(2),4f x x =+πⅠ求()f x 的定义域与最小正周期；II 设0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πα,若()2cos 2,2f =αα求α的大小45. 设函数22())sin 4f x x x π=++. I 求函数()f x 的最小正周期；II 设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π+=,且当[0,]2x π∈时, 1()()2g x f x =-,求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.47.设426f (x )cos(x )sin x cos x π=ω-ω+ω,其中.0>ω Ⅰ求函数y f (x )= 的值域Ⅱ若y f (x )=在区间322,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,求 ω的最大值.48. 函数2()6cos 33(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.Ⅰ求ω的值及函数()f x 的值域； Ⅱ若083()f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值. 52. 已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c --= 1求A ； 2若2a =,ABC ∆的面积为3；求,b c .53.在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．已知cos A ＝23,sin B ＝5C ．Ⅰ求tan C 的值； Ⅱ若a 2求∆ABC 的面积．54.在△ABC中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知,sin()sin()444A b C cB a πππ=+-+= 1求证： 2B C π-=2若2a =,求△ABC 的面积.56.已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ,(cos sin ,23cos )x x x ωωω=--b ,设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1(,1)2ω∈.Ⅰ求函数()f x 的最小正周期；Ⅱ若()y f x =的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围. 57.在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC =． 1求证：tan 3tan B A =； 2若5cos 5C =，求A 的值．58. 已知△ABC 得三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为_____.59.已知ABC ∆ 的一个内角为120o ,并且三边长构成公差为4的等差数列,则ABC ∆的面积为_______60.已知等比数列{a n }的公比q=3,前3项和313.3S = I 求数列{a n }的通项公式；II 若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ϕϕπ=+><<<在6x π=处取得最大值,且最大值为a 3,求函数fx 的解析式.63.函数22xy sin x =-的图象大致是 64.函数fx=sin x ωϕ+的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示,其中,P 为图像与y 轴的交点,A,C 为图像与x 轴的两个交点,B 为图像的最低点.1若6πϕ=,点P 的坐标为0,332,则ω= ； 2求∆ABC 面积65设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.I 求BII 若1sin sin 4A C =,求C .66在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且222a b c =++.Ⅰ求A ;Ⅱ设a =S 为△ABC 的面积,求3cos cos S B C +的最大值,并指出此时B 的值.67在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3cos()cos sin()sin()5A B B A B A c ---+=-.Ⅰ求sin A 的值;Ⅱ若a =5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影68已知函数()sin cos f x x a x =+的一个零点是3π4. Ⅰ求实数a 的值;Ⅱ设22()[()]2sin g x f x x =-,求()g x 的单调递增区间.69在△ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=.Ⅰ求证：,,a b c 成等比数列； Ⅱ若1,2a c ==,求△ABC 的面积S .三角函数1、在ABC ∆中,已知内角3A π=,边BC =设内角B x =,面积为y .1求函数()y f x =的解析式和定义域； 2求y 的最大值.2、已知a ＝coos α,sin α,b ＝coos β,sin β,其中0＜α＜β＜π． 1求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；2若k a ＋b 与a －k b 的长度相等,求β－α的值k 为非零的常数．3、已知3sin22B A ++cos 22BA -=2, cocacobs ≠0,求tanAtanB 的值; 5、已知ABC ∆中,1||=AC ,0120=∠ABC ,θ=∠BAC ,记→→•=BC AB f )(θ, 1求)(θf 关于θ的表达式； 2求)(θf 的值域；6、已知向量],2[),2cos ),122(cos(),2cos ),122(sin(ππππ∈-+=+=x x x b x x a ,函数b a x f ⋅=)(.I 若53cos -=x ,求函数)(x f 的值；II 将函数)(x f 的图象按向量c ＝)0)(,(π<<m n m 平移,使得平移后的图象关于原点对称,求向量c .9、在ABC ∆中,已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ;I 求锐角B 的大小；II 如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值; 10、已知向量()()3cos2,1,1,sin2,,m a x n b a x a b R ==-∈,集合{}2cos ,22M x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦,若函数()f x m n x M =∈在时,取得最大值3,最小值为－1,求实数,a b 的值16、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且.cos cos 3cos B c B a C b -= I 求cos B 的值；II 若2=⋅BC BA ,且22=b ,求c a 和b 的值.21、已知向量m =()B B cos 1,sin -, 向量n = 2,0,且m 与n 所成角为错误!,其中A 、B 、C 是ABC ∆的内角;ＡＢＣ1201求角B 的大小;2求 C A sin sin +的取值范围;26、在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,C ＝2A,43cos =A , 1求B C cos ,cos 的值；2若227=⋅BC BA ,求边AC 的长; 30、已知ABC △的面积为3,且满足60≤⋅≤AC AB ,设AB 和AC 的夹角为θ． I 求θ的取值范围；II 求函数)4(sin 2)(2πθθ+=f －θ2cos 3的最大值与最小值．33、已知△ABC 的面积为３,且06,AB AC AB AC θ→→→→≤•≤设和的夹角为; 1求θ的取值范围；2求函数22()(sin cos )f θθθθ=+-的最大值和最小值; 36、已知A B 、是△ABC 的两个内角,向量2cos, sin 22A B A Ba +-=（）,若6||2a =. Ⅰ试问B A tan tan ⋅是否为定值若为定值,请求出；否则请说明理由； Ⅱ求C tan 的最大值,并判断此时三角形的形状. 38、在△ABC 中,已知35=BC ,外接圆半径为5. Ⅰ求∠A 的大小； Ⅱ若ABC AC AB ∆=⋅，求211的周长. 40、如图A 、B 是单位圆O 上的点,C 是圆与x 轴正半轴的交点,A 点的坐标为)54,53(,三角形AOB 为正三角形． Ⅰ求COA ∠sin ；Ⅱ求2||BC 的值．45、已知函数fx=4sin 24π42x ππ≤≤1求)(x f 的最大值及最小值；2若不等式|fx －m|<2恒成立, 求实数m 的取值范围49、已知函数fx ＝·,其中＝sin ωx ＋cos ωx,错误!cos ωx,＝cos ωx －sin ωx,2sin ωx ω＞0,若fx 相邻的对称轴之间的距离不小于错误!. 1求ω的取值范围；2在△ABC 中,a,b,c 分别为A,B,C 的对边,a ＝错误!,b+c ＝3,当ω最大时,fA ＝1,求△ABC 的面积.56、已知角C B A ,,为ABC ∆的三个内角,其对边分别为c b a ,,,若)2sin ,2cos (A A -=m ,)2sin ,2(cos A A =n ,32=a ,且21=⋅n m ．1若ABC ∆的面积3=S ,求c b +的值． 2求c b +的取值范围．59、在锐角△ABC 中,已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且tanA －tanB＝1＋tanA ·tanB ．1若a 2－ab ＝c 2－b 2,求A 、B 、C 的大小；2已知向量m ＝sinA,cosA,n ＝cosB,sinB,求｜3m －2n ｜的取值范围．62、已知函数0)6(,cos sin cos 2)(2=+=πf x x a x x f1求函数)(x f 的最小正周期及单调增区间；2若函数)(x f 的图象按向量)1,6(-=πm 平移后得到函数)(x g 的图象,求)(x g 的解析式.64、设向量)2,(),,0(),0,1(),sin ,cos 1(),sin ,cos 1(ππβπαββαα∈∈=-=+=c b a ,2sin,3,,2121βαπθθθθ-=-求且的夹角为与的夹角为与c b c a 的值;68已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角,向量65(,cos )22A B A B +-=a ,且3|| 5.5=a 1求tan tan A B 的值；2求C 的最大值,并判断此时ABC ∆的形状.74、在△ABC 中,,0),1,(),cos ,sin 3(),2cos ,(cos πλ≤≤--x C x x B x x A 若△ABC 的重心在y 轴负半轴上,求实数λ的取值范围．76、在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅ Ⅰ判断△ABC 的形状； Ⅱ若k c 求,2=的值.77、在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且cos cos B C ba c=-+2. I 求角B 的大小；II 若b a c =+=134，,求△ABC 的面积.78、已知ABC ∆中,a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 的对边,关于x 的不等式2cos 4sin 60x C x C ++<的解集是空集． 1求角C 的最大值；2若72c =,ABC ∆的面积S =求当角C 取最大值时a b +的值． 84、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,且tan 21tan A c Bb+=． Ⅰ求角A ； Ⅱ若m (0,1)=-,n ()2cos ,2cos 2C B =,试求|m +n |的最小值． 90、已知锐角△ABC 三个内角为A 、B 、C,向量22sin ,cos sin pA A A 与向量sin cos ,1sin qA A A 是共线向量.Ⅰ求角A. Ⅱ求函数232sin cos 2C By B 的最大值.96、已知]),0[,0)(cos()(πωωπ∈Φ>Φ+=x x f 是R 上的奇函数,其图像关于直线43=x 对称,且在区间]41,41[-上是单调函数,求ω和Φ的值; 98、已知向量(1tan ,1),(1sin 2cos 2,3)x x x =-=++-b a ,记().f x =⋅b a1求fx 的值域及最小正周期；2若224f f ααπ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求角.α。

1、任意角的三角函数：设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x +(1)正弦：sin α=r y； 余弦：cos α=rx； 正切：tan α=xy(2)各象限的符号：正弦函数 余弦函数 正切函数2、同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。

（2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2ππα）3、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．4、正弦函数、余弦函数、正切函数的图像ry)(x,αP（1）三角函数的单调区间：①的递增区间是，递减区间是； ②的递增区间是，递减区间是，③的递增区间是，（2）三角函数的图象都具有对称性：①正弦和余弦曲线都是轴对称图形；②正弦函数x y sin =是一个奇函数，x ysin =，R x ∈的对称轴方程是2ππ+=k x ，Z k ∈，对称中心为（πk ，0），Z k ∈。

③余弦x y cos =，R x ∈的对称轴方程是πk x =，Z k ∈，对称中心为（2ππ+k ，0），Z k ∈。

5、两角和与差的三角函数公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ ； βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ； βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-6、二倍角与半角公式：αααcos sin 22sin =；2cos 12sinαα-±= ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；2cos 12cos αα+±= ααα2tan 1tan 22tan -=；sin 1cos tan 21cos sin ααααα-===+7、万能公式：2tan12tan 2sin 2ααα+=；2tan12tan 1cos 22ααα+-=；2tan 12tan2tan 2ααα-=8、三角函数的积化和差：x ysin =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈x y cos =[]πππk k 22，-)(Z k ∈[]πππ+k k 22，)(Z k ∈x y tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k∈1.设函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32， (1)求函数f (x )的最小正周期T ，并求出函数f (x )的单调递增区间； (2)求在[0,3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和.2.已知:函数()()x x x f cos sin log 21-=，(1)求它的定义域和值域； (2)判断它的奇偶性(3)求它的单调区间；（4）判断它的周期性,若是周期函数,求它的最小正周期.3. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间[0,]2π上是单调函数，求ωϕ和的值．4.已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域。

技术资料.专业整理三角函数复习专题一、选择题：1.已知函数)0,)(4sin()(>∈+=ωπωR x x x f 的最小正周期为π，为了得到函数x x g ωcos )(=的图象，只要将()y f x =的图象 （ ）A. 向左平移8π个单位长度 B. 向右平移8π个单位长度 C. 向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度2.将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为 （ ） A 、5sin(2)()12y x x R π=+∈ B 、5sin()()212x y x R π=+∈ C 、sin()()212x y x R π=-∈ D 、5sin()()224x y x R π=+∈3.已知ααcos 21sin +=，且)2,0(πα∈，则)4sin(2cos παα-的值为 （ ）A ．214 B ．214- C ． 414 D ．414- 4.将函数)32sin(π-=x y 的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象对应的函数解析式为( )(A)y=cosx (B)y=sin4x (c)y=sin(x-6π) (D)y=sinx 5.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度得到函数()y g x =的图象，则()y g x =的解析式是A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin 2y x =C ．2sin(4)6y x π=- D ．2sin 4y x =6.为了得到函数1sin 222y x x =的图像，可以将函数sin 2y x =的图像（ ）A ．向左平移6π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位 C ．向右平移6π个长度单位D ．向左平移3π个长度单位二、解答题： 1.函数()f x=4x ⋅cos 4x 2cos 4x +．（Ⅰ）若()1f x =，求2cos()3x π-的值； （Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足1cos 2a C cb +=，求()f B 的取值范围．技术资料.专业整理2．已知函数2()22sin f x x x =-. （1）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域.（2）求()f x 的单调区间。

专题18三角函数（知识梳理）一、知识点(一)角的概念的推广1、角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

其中顶点，始边，终边称为角的三要素。

角可以是任意大小的。

(1)角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。

①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。

(2)在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。

②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角。

(3)终边相同的角的集合：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为},360|{Z n n S ∈⋅+α=ββ= 。

集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0=k 时，对应元素为α。

2、弧度制和弧度制与角度制的换算(1)角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制。

(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。

任一已知角α的弧度数的绝对值rl=α||，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。

(3)角度制与弧度制的互化：π=2360，π=180；815730.571801'≈≈π= rad ；rad 01745.01801≈π= 。

3、特殊角的三角函数值30 45 60 90 120 135 150 18006π4π3π2π32π43π65ππsin 021222312322210cos 1232221021-22-23-1-tan3313⨯3-1-33-0210 225 240 270 300 315 330 36067π45π34π23π35π47π611ππ24、平面直角坐标系中特殊线表示的角的集合：其中：Z n ∈，Z k ∈；x 轴正半轴 360⋅n πk 2第一象限角平分线36045⋅+n π+πk 24x 轴负半轴360180⋅+n π+πk 2第二象限角平分线 360135⋅+n π+πk 243x 轴 180⋅n πk 第三象限角平分线360225⋅+n π+πk 245y 轴正半轴36090⋅+n π+πk 22第四象限角平分线 360315⋅+n π+πk 247y 轴负半轴 360270⋅+n π+πk 223第一、三象限角平分线18045⋅+n π+πk 4y 轴18090⋅+n π+πk 2第二、四象限角平分线 180135⋅+n π+πk 43坐标轴90⋅n 2πk 象限角平分线9045⋅+n 24π+πk 5、弧长及扇形面积公式：弧长公式：r l ⋅α=||扇形弧长，扇形面积公式：lr r S 21||212=⋅α=扇形，α是圆心角且为弧度制，r 是扇形半径。