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专题能力训练1 集合与常用逻辑用语一、能力突破训练1.若命题p:∀x∈R,cos x≤1,则p为()A.∃x0∈R,cos x0>1B.∀x∈R,cos x>1C.∃x0∈R,cos x0≥1D.∀x∈R,cos x≥12.(2018全国Ⅲ,理1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}3.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数4.已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},那么P∪Q=()A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)5.设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}6.(2018天津,理4)设x∈R,则“”是“x3<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知集合A={x||x-2|>1},B={x|y=},则()A.A∩B=⌀B.A⊆BC.B⊆AD.A=B8.设m∈R,命题“若m>0,则关于x的方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是()A.若关于x的方程x2+x-m=0有实根,则m>0B.若关于x的方程x2+x-m=0有实根,则m≤0C.若关于x的方程x2+x-m=0没有实根,则m>0D.若关于x的方程x2+x-m=0没有实根,则m≤09.已知命题p:“∃x0∈R,+2ax0+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(2,3)D.(2,4)10.已知条件p:|x+1|>2,条件q:x>a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是()A.a≥1B.a≤1C.a≥-1D.a≤-311.下列命题正确的是()A.∃x0∈R,+2x0+3=0B.∀x∈N,x3>x2C.x>1是x2>1的充分不必要条件D.若a>b,则a2>b212.已知命题p:∃x0∈R,x0-2>lg x0,命题q:∀x∈R,e x>1,则()A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∧(q)是真命题D.命题p∨(q)是假命题13.命题“若x>0,则x2>0”的否命题是()A.若x>0,则x2≤0B.若x2>0,则x>0C.若x≤0,则x2≤0D.若x2≤0,则x≤014.已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.15.设p:<0,q:0<x<m,若p是q成立的充分不必要条件,则m的取值范围是.16.已知集合A={y|y=log2x,x>1},B=,则A∩B= .17.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则b-a= .18.已知集合A={(x,y)|y=},B={(x,y)|y=x+m},且A∩B≠⌀,则实数m的取值范围是.二、思维提升训练19.设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=()A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)20.已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)=()A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)21.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是()A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x222.已知p:函数f(x)=|x+a|在区间(-∞,-1)内是单调函数,q:函数g(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1)在区间(-1,+∞)内是增函数,则p成立是q成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件23.设全集U=R,集合M={x|y=},N={y|y=3-2x},则图中阴影部分表示的集合是()A.B.C.D.24.(2018浙江,6)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件25.“对任意x∈,k sin x cos x<x”是“k<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件26.下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件C.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题D.命题“∃x0∈R,使得+x0+1<0”的否定是“∀x∈R,均有x2+x+1<0”27.下列命题中的真命题是()A.∃x0∈R,使得≤0B.sin2x+≥3(x≠kπ,k∈Z)C.函数f(x)=2x-x2有两个零点D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分不必要条件28.设A,B是非空集合,定义A B={x|x∈A∪B,且x∉A∩B},已知M={y|y=-x2+2x,0<x<2},N={y|y=2x-1,x>0},则M N=.29.下列命题正确的是.(填序号)①若f(3x)=4x log23+2,则f(2)+f(4)+…+f(28)=180;②函数f(x)=tan 2x图象的对称中心是(k∈Z);③“∀x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R,+1>0”;④设常数a使方程sin x+cos x=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3=.30.设p:关于x的不等式a x>1的解集为{x|x<0},q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则a的取值范围是.专题能力训练1集合与常用逻辑用语一、能力突破训练1.A解析由全称命题的否定得,p:∃x0∈R,cos x0>1,故选A.2.C解析由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.3.B4.A解析取P,Q的所有元素,得P∪Q={x|-1<x<2},故选A.5.B解析∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6}.∵C={x∈R|-1≤x≤5},∴(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.6.A解析由,可得0<x<1.由x3<1,可得x<1.所以是“x3<1”的充分而不必要条件.故选A.7.A解析由|x-2|>1,得x-2<-1或x-2>1,即x<1或x>3;由得1≤x≤3,因此A={x|x<1或x>3},B={x|1≤x≤3},A∩B=⌀,故选A.8.D解析原命题的逆否命题是将条件和结论分别否定,作为新命题的结论和条件,所以其逆否命题为“若关于x的方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.9.A解析由p为假命题知,∀x∈R,x2+2ax+a>0恒成立,∴Δ=4a2-4a<0,∴0<a<1,故选A.10.A解析因为条件p:x>1或x<-3,所以p:-3≤x≤1;因为条件q:x>a,所以q:x≤a.因为p是q的充分不必要条件,所以a≥1,故选A.11.C解析+2x0+3=(x0+1)2+2>0,选项A错;x3-x2=x2(x-1)不一定大于0,选项B错;若x>1,则x2>1成立,反之不成立,选项C正确;取a=1,b=-2,满足a>b,但a2>b2不成立,选项D错.故选C.12.C解析因为命题p:∃x0∈R,x0-2>lg x0是真命题,而命题q:∀x∈R,e x>1是假命题,所以由命题的真值表可知命题p∧(q)是真命题,故选C.13.C解析命题的条件的否定为x≤0,结论的否定为x2≤0,则该命题的否命题是“若x≤0,则x2≤0”,故选C.14.1解析由已知得1∈B,2∉B,显然a2+3≥3,所以a=1,此时a2+3=4,满足题意,故答案为1.15.(2,+∞)解析由<0,得0<x<2.∵p是q成立的充分不必要条件,∴(0,2)⫋(0,m),∴m>2.16解析由已知,得A={y|y>0},B=,则A∩B=17.2解析∵1≠0,∴a+b和a中必有一个为0,当a=0时,无意义,故a+b=0,∴两个集合分别为{1,0,a},{0,-1,b}.∴a=-1,b=1,b-a=2.18.[-7,7]解析集合A表示以原点为圆心,7为半径的圆在x轴及其上方的部分,A∩B≠⌀,表示直线y=x+m与圆有交点,作出示意图(图略)可得实数m的取值范围是[-7,7].二、思维提升训练19.D解析由4-x2≥0,得A=[-2,2],由1-x>0,得B=(-∞,1),故A∩B=[-2,1).故选D.20.B解析∵Q={x∈R|x2≥4}={x∈R|x≤-2或x≥2},∴∁R Q={x∈R|-2<x<2}.∴P∪(∁R Q)={x∈R|-2<x≤3}=(-2,3].故选B.21.D解析由含量词命题的否定格式,可知首先改写量词,而n≥x2的否定为n<x2.故选D.22.C解析由p成立,得a≤1,由q成立,得a>1,所以p成立时a>1,p成立是q成立的充要条件.故选C.23.B解析M=,N={y|y<3},故阴影部分N∩(∁U M)={x|x<3}24.A解析当m⊄α,n⊂α时,由线面平行的判定定理可知,m∥n⇒m∥α;但反过来不成立,即m∥α不一定有m∥n,m与n还可能异面.故选A.25.B解析当x时,sin x<x,且0<cos x<1,∴sin x cos x<x.∴k<1时有k sin x cos x<x.反之不成立.如当k=1时,对任意的x,sin x<x,0<cos x<1,∴k sin x cos x=sin x cos x<x成立,这时不满足k<1,故应为必要不充分条件.26.C解析否命题应同时否定条件与结论,选项A错;若x=-1,则x2-5x-6=0成立,反之不成立,选项B错;因为原命题为真命题,所以其逆否命题为真命题,选项C正确;特称命题的否定为全称命题,同时否定结论,选项D错,故选C.27.D解析对任意的x∈R,e x>0恒成立,A错误;当sin x=-1时,sin2x+=-1,B错误;f(x)=2x-x2有三个零点(x=2,4,还有一个小于0),C错误;当a>1,b>1时,一定有ab>1,但当a=-2,b=-3时,ab=6>1也成立,故D正确.28(1,+∞)解析M={y|y=-x2+2x,0<x<2}=(0,1],N={y|y=2x-1,x>0}=,M∪N=(0,+∞),M∩N=,所以M N=(1,+∞).29.③④解析因为f(3x)=4x log23+2,令3x=t⇒x=log3t,则f(t)=4log3t·log23+2=4log2t+2,所以f(2)+f(4)+…+f(28)=4(log22+log222+…+log228)+16=4×(1+2+…+8)+16=4×36+16=160,故①错;函数f(x)=tan 2x图象的对称中心是(k∈Z),故②错;由全称命题的否定是特称命题知③正确;f(x)=sin x+cos x=2sin,要使sin x+cos x=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解,则a=,x1=0,x2=,x3=2π,故④正确.30[1,+∞)解析当p真时,0<a<1;当q真时,ax2-x+a>0对x∈R恒成立,则即a>若p∨q为真,p∧q为假,则p,q应一真一假.①当p真q假时,0<a;②当p 假q真时,a≥1.综上,a[1,+∞).。
专题02 集合与常用逻辑用语（同步练习）一、集合例1-1．由实数x 、x -、||x 、2x 、33x -所组成的集合中，最多含有元素的个数为( )。
A 、5B 、3C 、2D 、1 【答案】C【解析】当0≠x 时，x 、x -、||x 、2x 、33x -表示x 与x -两个元素，当0=x 时，它们都等于0，故只能表示1个元素，所以它们最多表示两个元素，故选C 。
例1-2．已知}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，则实数a 构成的集合B 的元素个数是( )。
A 、0B 、1C 、2D 、3 【答案】B【解析】①12=+a ⇒1-=a ，∴0)1(2=+a ，1332=++a a ，则}1,0,1{=A ，不可以，②1)1(2=+a ⇒0=a ，∴22=+a ，3332=++a a ，则}3,1,2{=A ，可以，或2-=a ，∴02=+a ，1332=++a a ，则}1,1,0{=A ，不可以，③1332=++a a ⇒1-=a ，12=+a ，0)1(2=+a ，则}1,0,1{=A ，不可以，或2-=a ，∴02=+a ，1)1(2=+a ，则}1,1,0{=A ，不可以，∴}0{=B ，故选B 。
例1-3．已知集合}1|),{(22=+=y x y x A ，}|),{(x y y x B ==，则B A 中元素的个数为( )。
A 、0B 、1C 、2D 、3 【答案】C【解析】集合A 表示以)0,0(为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线x y =上所有的点组成的集合，圆122=+y x 与直线x y =相交于两点)1,1(，)1,1(--，则B A 中有两个元素，故选C 。
例1-4．已知全集+=N U ，集合}5222|{≤≤=x x A ，}5ln ln |{<=x x B ，则满足条件B C A ⊆⊆的集合C 的个数为( )。
高考专题训练一集合与常用逻辑用语班级________ 姓名________ 时间：45分钟分值：75分总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(2011·福建)i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则( )A．i∈S B．i2∈SC．i3∈S D.2i∈S解析：i2＝－1∈S，故选B.答案：B2．(2011·辽宁)已知M，N为集合I的非空真子集，且M、N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N＝( )A．M B．NC．I D．∅解析：用韦恩图可知N M，∴M∪N＝M.答案：A3．(2011·广东)设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是( )A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的解析：取T＝{x|x＝2n－1，n∈Z}，V＝{x|x＝2n，n∈Z}则此时T，V对乘法均封闭且满足条件取T ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z 且n ≠0，n ≠1}，V ＝{x |x ＝－1或x ＝1或x ＝2n ，n ∈Z}则此时T ，V 均满足条件，但T 对乘法封闭，V 对乘法不封闭． 由此可知，V 、T 中至少有一个关于乘法封闭． 答案：A4．(2011·陕西)设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( ) A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b | B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b | C ．若|a |≠|b |，则a ≠－b D ．若|a |＝|b |，则a ＝－b 解析：由互逆命题的关系知，选D. 答案：D5．(2011·湖北)若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补，记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ＝0 即a 2＋b 2＝a ＋b ，则a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab ， ∴ab ＝0，∴a ≥0，b ≥0，且a 与b 互补． 答案：C6．已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是( ) A ．p ：m ≤－2或m ≥6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点 B ．p ：f －x f x ＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数C ．p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan βD ．p ：A ∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ，∁U B ⊆∁U A解析：对于A ，由y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m 2－4(m ＋3)>0，从而可得m <－2或m >6.所以p 是q 的必要不充分条件；对于B ，由f －x f x ＝1⇒f (－x )＝f (x )⇒y ＝f (x )是偶函数，但由y ＝f (x )是偶函数不能推出f －x f x 1，例如函数f (x )＝0，所以p 是q 的充分不必要条件；对于C ，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p 是q的既不充分也不必要条件；对于D ，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，所以∁U B ⊆∁U A ；反之，由∁U B ⊆∁U A ，知A ⊆B ，即A ∩B ＝A .所以p ⇔q .综上所述，p 是q 的充分必要条件的是D ，故选D. 答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 7．(2011·上海)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则∁U A ＝________. 解析：∵U ＝R ，A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}＝{x |x ≤0或x ≥1}∴∁U A ＝{x |0<x <1}． 答案：{x |0<x <1}8．设集合M ＝{(x ，y )|x ＝(y ＋3)·|y －1|＋(y ＋3)，－52≤y ≤3}，若(a ，b )∈M 且对M 中的其他元素(c ，d )，总有c ≥a ，则a ＝________.解析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M 中的其他元素(c ，d )，总有c ≥a ”？M 中的元素又有什么特点？依题可知，本题等价于求函数x ＝f (y )＝(y ＋3)·|y －1|＋(x ＋3)在－52≤y ≤3时的最小值．(1)当－52≤y ≤1时，x ＝(y ＋3)·|y －1|＋(y ＋3)＝－y 2－y ＋6＝－⎝⎛⎫y ＋122＋254，y ＝－52时，x min ＝94. (2)当1≤y ≤3时，x ＝(y ＋3)(y －1)＋(y ＋3)＝y 2＋3y ＝⎝⎛⎭⎫y ＋322－94，当y ＝1时，x min＝4.而4>94，因此当y ＝－52时，x 有最小值94，即a ＝94.答案：949．已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∂x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析：由已知可得f min (x 1)≥g min (x 2)，即0≥14－m ，∴m ≥14.答案：m ≥1410．(2011·安徽“江南十校联考”)给出下列命题：①y ＝1是幂函数；②函数f (x )＝2x－x 2的零点有2个；③⎝⎛⎭⎫x ＋1x＋25展开式的项数是6项； ④函数y ＝sin x (x ∈[－π，π])的图象与x 轴围成的图形的面积是S ＝⎠⎛－ππsin x d x ；⑤若ξ～N(1，σ2)，且P(0≤ξ≤1)＝0.3，则P(ξ≥2)＝0.2. 其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的编号)．解析：y ＝1不是幂函数，①是假命题；作出函数y ＝2x 、y ＝x 2的图象，知函数f(x)＝2x －x 2有3个零点(1负2正，2正分别是2、4)，②错误；⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋25的展开式含有x 5、x 4、 (x)－5共11项，③错误；⎠⎛－ππsin x d x ＝－cos x|π－π＝0，④显然错误，函数y ＝sin x(x∈[－π，π])的图象与x 轴围成的图形的面积应为⎠⎛－ππ|sin x |d x ；如图，P (0≤ξ≤1)表示x ＝0、x ＝1与正态密度曲线围成区域的面积，由正态密度曲线的对称性知：x ＝1、x ＝2与正态密度曲线围成区域的面积为0.3，P (ξ≥2)表示x ≥2与正态密度曲线围成区域的面积，P (ξ≥2)＝1－2×0.320.2，⑤正确． 答案：⑤三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(12分)已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解：若方程x2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2，即p ：m >2.若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0，解得1<m <3，即q ：1<m <3.因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一个为真，又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一个为假．因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 真q 假，或p 假q 真．所以⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，解得m ≥3或1<m ≤2.12．(13分)设A ，B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }． (1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集A －B 与B －A 是否一定相等，说明你的理由；(3)已知A ＝{x |x >4}，B ＝{x ||x |<6}，求A －(A －B )和B －(B －A )，由此你可以得到什么结论？(不必证明)．解：(1)如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A －B ＝{1}．(2)不一定相等，由(1)B －A ＝{4}，而A －B ＝{1}，故A －B ≠B －A ；又如，A ＝B ＝{1,2,3}时，A －B ＝∅，B －A ＝∅，此时A －B ＝B －A .故A －B 与B －A 不一定相等．(3)因为A －B ＝{x |x ≥6}，B －A ＝{x |－6<x ≤4}，A －(A －B )＝{x |4<x <6}，B －(B －A )＝{x |4<x <6}，由此猜测一般对于两个集合A 、B ，有A －(A －B )＝B －(B －A )．。
选择题（1）集合与常用逻辑用语高考数学二轮复习巧刷高考题型1.已知集合2|04x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{0,1,2,4,8}B =，则A B ⋂=()A.{1,2,4,8}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{0,1,2,4}2.已知命题:{|1}p x x x ∀∈>，2168x x +>，则命题p 的否定为()A.:{|1}p x x x ⌝∀∈>，2168x x +≤B.:{|1}p x x x ⌝∀∈>，2168x x +<C.:{|1}p x x x ⌝∃∈>，2168x x +≤D.:{|1}p x x x ⌝∃∈>，2168x x +<3.“π2π6x k =+，k ∈Z ”是“1sin 2x =”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.集合{11}A x x =-∣ ，{121}B x a x a =--∣ ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是()A.1aB.1a <C.01aD.01a <<5.设0a >，0b >，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.设集合{}2|430A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B ⋂=()A.3|32x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ B.3|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C.3|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D.3|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭7.若命题“x ∃∈R ，23210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围是()A.(B.(),-∞⋃+∞C.⎡⎣ D.(),-∞⋃+∞8.设集合2{|40}A x x =-≤，{|20}B x x a =+≤，且{|21}A B x x ⋂=-≤≤，则a =()A.-4B.-2C.2D.49.已知集合{07,}A x x x =<<∈N ∣，则6,B y y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N ∣的真子集的个数为()A.4B.8C.15D.1610.已知0a >，设:3p a x a -≤≤；:16q x -<<.若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是()A.2}|1{a a << B.2}|1{a a ≤≤ C.{}1|0a a << D.2|}0{a a <≤11.（多选）下列命题中，是真命题的是()A.空集是任何一个非空集合的真子集B.x ∀∈R ，224213x x x >-+C.{2,1,0,1,2}x ∃∈--，|2|2x -<D.,a b ∀∈R ，方程0ax b +=恰有一解12.（多选）已知全集U =R ，集合|1{3A x x =≤≤或46}x <<，集合{|25}B x x =≤<，下列集合运算正确的是()A.{|2U B x x =<C 或5}x ≥B.(){|12U A B x x ⋂=≤<C 或56}x ≤<C.(){|1U A B x x ⋃=<C 或25x <<或6}x >D.(){|25}U U B x x =≤<C C答案以及解析1.答案：B 解析：由204x x +≤-，得(2)(4)0,40,x x x +-≤⎧⎨-≠⎩解得24x -≤<，所以集合{|24}A x x =-≤<.又{0,1,2,4,8}B =，所以{0,1,2}A B ⋂=.故选B.2.答案：C解析：在p ⌝中，量词“∀”改为“∃”，结论“2168x x +>”改为“2168x x +≤”，故选C.3.答案：A解析：由“π2π6x k =+，k ∈Z ”能推出“1sin 2x =”，是充分条件，由“1sin 2x =”推不出“π2π6x k =+，k ∈Z ”，比如5π6x =，不是必要条件，故“π2π6x k =+，k ∈Z ”是“1sin 2x =”的充分不必要条件，故选A.4.答案：A解析：当B =∅时，由121a a ->-，解得0a <，满足B A ⊆；当B ≠∅时，121,11, 211,a a a a --⎧⎪--⎨⎪-⎩，解得01a.综上，1a.故选A.5.答案：A解析：由0a >，0b >，得4a b ≥+≥，即4ab ≤，充分性成立；当4a =，1b =时，满足4ab ≤，但54a b +=>，不满足4a b +≤，必要性不成立，故“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件，故选A.6.答案：D解析：由题意得集合{|13}A x x =<<，3|2B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭，故选D.7.答案：C解析：若命题“x ∃∈R ，23210x ax ++<”是假命题，则其否定“x ∀∈R ，23210x ax ++≥”为真命题，所以24120a ∆=-≤，解得a ⎡∈⎣，故选C.8.答案：B解析：由已知可得{|22}A x x =-≤≤，|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，又{|21}A B x x ⋂=-≤≤ ，12a∴-=，2a ∴=-.故选B.9.答案：C解析：||07,}{1,2,3,4,5,6}A x x x =<<∈=N ，6,{1,2,3,6}B y y A y ⎧⎫∴=∈∈=⎨⎬⎩⎭N ∣，B ∴的真子集的个数为42115-=.故选C.10.答案：C解析：因为p 是q 的充分不必要条件，所以1,36,0,a a a ->-⎧⎪<⎨⎪>⎩解得01a <<，所以实数a 的取值范围是{|01}a a <<.11.答案：AC解析：对于选项A ，利用空集和真子集的关系可以判断A 正确；对于选项B ，将224213x x x >-+整理，得2221(1)0x x x -+=->，又x ∈R ，所以2(01)x -≥，故选项B 错误；对于选项C ，当1x =时，|2||12|2x -=-<，故选项C 正确；对于选项D ，当0a =，0b =时，方程0ax b +=有无数多解，故选项D 错误.故选AC.12.答案：ABD解析：由{|2U B x x =<C 或5}x ≥知选项A 正确；由(){|13U A B x x ⋂=≤≤C 或46}{|2x x x <<⋂<或5}{|12x x x ≥=≤<或56}x ≤<知选项B 正确；由(){|1U A B x x ⋃=<C 或34x <≤或6}x ≥{|25}{|1x x x x ⋃≤<=<或25x ≤<或6}x ≥知选项C 错误；由(){|25}U U B B x x ==≤<C C 知选项D 正确.。
新高考数学（文）二轮专项复习专题01 集合与常用逻辑用语集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关常用逻辑用语的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．§1－1 集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题分析】例1 给出下列六个关系：(1)0∈N*(2)0∉{－1，1} (3)∅∈{0}(4)∅∉{0} (5){0}∈{0，1} (6){0}⊆{0}其中正确的关系是______．【答案】(2)(4)(6)【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a 不是集合A的元素，记作：a∉A．3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A⊆B或B⊇A．如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．A B或B A．4．子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：A⊆A；②空集是任何集合的子集：∅⊆A；提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；如果A B，B C，则A C．例2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件(U A)∩(U B)＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩(U A)＝{4，6，8}．求集合A，B．【答案】A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【解析】根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，图1－1于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．故A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集．记作：A∩B．对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集．记作：A∪B．如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U 中的补集．记作U A．2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．例3 设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a }．若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是______．【答案】(－∞，－1]．【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．例4 设a ，b ∈R ，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则b －a ＝______． 【答案】2【解析】因为},,0{},,1{b a b a b a =+，所以a ＋b ＝0或a ＝0(舍去，否则ab没有意义)， 所以，a ＋b ＝0，ab＝－1，所以－1∈{1，a ＋b ，a }，a ＝－1， 结合a ＋b ＝0，b ＝1，所以b －a ＝2．练习1－1一、选择题1．给出下列关系：①R ∈21；②2∉Q ；③｜－3｜∉N *；④Q ∈-|3|．其中正确命题的个数是( ) (A)1(B)2(C)3(D)42．下列各式中，A 与B 表示同一集合的是( ) (A)A ＝{(1，2)}，B ＝{(2，1)} (B)A ＝{1，2}，B ＝{2，1}(C )A ＝{0}，B ＝∅(D)A ＝{y ｜y ＝x 2＋1}，B ＝{x ｜y ＝x 2＋1}3．已知M ＝{(x ，y )｜x ＞0且y ＞0}，N ＝{(x ，y )｜xy ＞0}，则M ，N 的关系是( ) (A)M N(B)N M(C)M ＝N(D)M ∩N ＝∅4．已知全集U ＝N ，集合A ＝{x ｜x ＝2n ，n ∈N }，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈N }，则下式中正确的关系是( ) (A)U ＝A ∪B (B)U ＝(U A )∪B(C)U ＝A ∪(U B )(D)U ＝(U A )∪(U B )二、填空题5．已知集合A＝{x｜x＜－1或2≤x＜3}，B＝{x｜－2≤x＜4}，则A∪B＝______．6．设M＝{1，2}，N＝{1，2，3}，P＝{c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P中元素的个数为______．7．设全集U＝R，A＝{x｜x≤－3或x≥2}，B＝{x｜－1＜x＜5}，则(U A)∩B＝______. 8．设集合S＝{a0，a1，a2，a3}，在S上定义运算⊕为：a i⊕a j＝a k，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0，1，2，3．则a2⊕a3＝______；满足关系式(x⊕x)⊕a2＝a0的x(x∈S)的个数为______．三、解答题9．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，求(A∩B)∪C．10．设全集U＝{小于10的自然数}，集合A，B满足A∩B＝{2}，(U A)∩B＝{4，6，8}，(A)∩(U B)＝{1，9}，求集合A和B．U11．已知集合A＝{x｜－2≤x≤4}，B＝{x｜x＞a}，①A∩B≠∅，求实数a的取值范围；②A∩B≠A，求实数a的取值范围；③A∩B≠∅，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．§1－2 常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若⌝p，则⌝q．逆否命题：若⌝q，则⌝p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．4．充要条件如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．如果p⇒q且q⇒p，即q⇔p则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【例题分析】例 1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“⌝p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：0∈N，q：1∉N；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分．【解析】(1)p∨q：0∈N，或1∉N；p∧q：0∈N，且1∉N；⌝p：0∉N．因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为假．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或相互平分．p∧q：平行四边形的对角线相等且相互平分．⌝p：存在平行四边形对角线不相等．因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为真．【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；(2)若A∩B＝A，则A B．【解析】(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题．逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题．(2)逆命题：若A B，则A∩B＝A；是真命题．否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题．逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．【评析】原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．例3 指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【解析】由定义知，若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，p与q互为充要条件．于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．例4设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件【答案】B【解析】条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x＜3}．又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}⊆R，所以p是q的必要非充分条件，选B．【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若A⊆B且B A，则p是q 的充分非必要条件；若A B且B⊆A，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．例5命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【答案】C【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选C．【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．练习1－2一、选择题1．下列四个命题中的真命题为( )(A)∃x∈Z，1＜4x＜3(B)∃x∈Z，3x－1＝0(C)∀x∈R，x2－1＝0(D)∀x∈R，x2＋2x＋2＞02．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( )(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A⇒x∈B，则称A⊆B”．那么“A 不是B 的子集”可用数学语言表达为( ) (A)若∀x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (B)若∃x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (C)若∃x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 (D)若∀x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 二、填空题5．“⌝p 是真命题”是“p ∨q 是假命题的”__________________条件． 6．命题“若x ＜－1，则｜x ｜＞1”的逆否命题为_________． 7．已知集合A ，B 是全集U 的子集，则“A ⊆B ”是“U B⊆U A ”的______条件．8．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A B ⇔A ∩B ＝∅③AB ⇔AB④AB ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上) 三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假： (1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除； (3)∃x ∈{x ｜x ∈Z }，log 2x ＞0； (4).041,2≥+-∈∀x x x R10．已知实数a ，b ∈R ．试写出命题：“a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由．习题11．命题“若x 是正数，则x ＝｜x ｜”的否命题是( ) (A)若x 是正数，则x ≠｜x ｜ (B)若x 不是正数，则x ＝｜x ｜ (C)若x 是负数，则x ≠｜x ｜(D)若x 不是正数，则x ≠｜x ｜2．若集合M 、N 、P 是全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )(A)(M ∩N )∪P (B)(M ∩N )∩P (C)(M ∩N )∪(U P )(D)(M ∩N )∩(U P )3．“81=a ”是“对任意的正数12,≥+xa x x ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．已知集合P ＝{1，4，9，16，25，…}，若定义运算“&”满足：“若a ∈P ，b ∈P ，则a &b ∈P ”，则运算“&”可以是( ) (A)加法(B)减法(C)乘法(D)除法5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定．．．成立的是( ) (A)ab ＞ac (B)c (b －a )＜0 (C)cb 2＜ab 2 (D)ac (a －c )＜0二、填空题6．若全集U ＝{0，1，2，3}且U A ＝{2}，则集合A ＝______．7．命题“∃x ∈A ，但x ∉A ∪B ”的否定是____________．8．已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{y ｜y ＝｜x ｜，x ∈A }，则B ＝____________． 9．已知集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x ｜x ＜a }，若A B ，则实数a 的取值范围是____________．10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2； ④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1，其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(写出所有正确条件的序号)11．解不等式.21<x12．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1．(1)求b 的取值范围；(2)试判断b 与a 2＋b 2的大小．13．设a ≠b ，解关于x 的不等式：a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．14．设数集A 满足条件：①A ⊆R ；②0∉A 且1∉A ；③若a ∈A ，则.11A a∈- (1)若2∈A ，则A 中至少有多少个元素； (2)证明：A 中不可能只有一个元素．专题01 集合与常用逻辑用语参考答案练习1－1一、选择题1．B 2．B 3．A 4．C提示：4．集合A表示非负偶数集，集合B表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(U B)，从而U＝A∪(U B)．二、填空题5．{x｜x＜4} 6．4个7．{x｜－1＜x＜2} 8．a1；2个(x为a1或a3)．三、解答题9．(A∩B)∪C＝{1，2，3，4}10．分析：画如图所示的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．11．答：①a＜4；②a≥－2；③－2≤a＜4提示：画数轴分析，注意a可否取到“临界值”．练习1－2一、选择题1．D 2．A 3．B 4．B二、填空题5．必要不充分条件6．若｜x｜≤1，则x≥－1 7．充要条件8．④提示：8．因为A B，即对任意x∈A，有x∈B．根据逻辑知识知，A B，即为④．另外，也可以通过文氏图来判断．三、解答题9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．10．略解：答：逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a＝0，b＝1否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题；例如a＝0，b＝1逆否命题：若ab ≠0，则a 2＋b 2≠0；是真命题；因为若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，所以ab ＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．习题1一、选择题1．D 2．D 3．A 4．C 5．C提示：5．A 正确．B 不正确．D ．正确．当b ≠0时，C 正确；当b ＝0时，C 不正确，∴C 不一定成立．二、填空题6．{0，1，3} 7．∀x ∈A ，x ∈A ∪B 8．{0，1，2} 9．{a ｜a ≥2} 10．③． 提示：10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．对于③：若a 、b 均小于等于1．即，a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，所以③正确．三、解答题11．解：不等式21<x 即,021,021<-<-x x x 所以012>-xx ，此不等式等价于x (2x －1)＞0，解得x ＜0或21>x ， 所以，原不等式的解集为{x ｜x ＜0或21>x }． 12．解：(1)由a ＋b ＝1得a ＝1－b ，因为0＜a ＜b ，所以1－b ＞0且1－b ＜b ，所以.121<<b (2)a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝2b 2－3b ＋1＝⋅--81)43(22b 因为121<<b ，所以,081)43(22<--b 即a 2＋b 2＜b ．13．解：原不等式化为(a 2－b 2)x ＋b 2≥(a －b )2x 2＋2b (a －b )x ＋b 2，移项整理，得(a －b )2(x 2－x )≤0．因为a ≠b ，故(a －b )2＞0，所以x 2－x ≤0．故不等式的解集为{x ｜0≤x ≤1}．14．解：(1)若2∈A ，则.22111,21)1(11,1211A A A ∈=-∴∈=--∴∈-=- ∴A 中至少有－1，21，2三个元素． (2)假设A 中只有一个元素，设这个元素为a ，由已知A a∈-11，则a a -=11．即a 2－a ＋1＝0，此方程无解，这与A 中有一个元素a 矛盾，所以A 中不可能只有一个元素．。
2020年高考数学二轮复习专题01：集合与常用逻辑用语一、单选题（共14题；共28分）1. ( 2分) 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. ( 2分) 已知集合A= ,B= ,则=（）A. B. C. D.3. ( 2分) 设全集为R，函数的定义域为M，则为（）A. (－∞，1)B. (1，＋∞)C. (－∞，1]D. [1，＋∞)4. ( 2分) 已知集合，，则（）A. B. C. D.5. ( 2分) 若集合，，则（）A. B. C. D.6. ( 2分) 如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.7. ( 2分) 若非空集合，，满足，且不是的子集，则“ ”是“ ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. ( 2分) 命题：“ ，使”，这个命题的否定是A. ，使B. ，使C.，使D. ，使9. ( 2分) 已知命题p：命题“ ”的否定是“ ”；命题q：在△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“ ”是“a>b”的充要条件，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.10. ( 2分) 已知.若“ ”是真命题，则实数a的取值范围是（）A. (1，+∞) B. (－∞，3) C. (1，3) D.11. ( 2分) 已知，，，，则是（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12. ( 2分) 已知命题：，，则命题的否定为（）A. ，B. ，C. ，D. ，13. ( 2分) 下列说法正确的是（）A. 命题“ ”的否定是：“ ”B. “ ”是“ ”的必要不充分条件C.命题“若，则”的否命题是：若，则D.命题“若，则”的逆否命题为真命题.14. ( 2分) 有下列四个命题：⑴“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A. （1）（2）B. （2）（3）C. （4）D. （1）（2）（3）二、填空题（共3题；共5分）15. ( 2分 ) 已知，，，则________，________．16. ( 1分 ) 条件 ，条件，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是________．17. ( 2分 ) 已知命题p ：对任意的，不等式恒成立，则为________；若为假命题，则m 的取值范围是________．三、解答题（共4题；共40分）18. ( 10分 ) 设全集 .（1）当 时，求；（2）若，求实数 的取值范围.19. ( 10分 ) 设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则 ∈A(a≠1)．求证：（1）若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； （2）集合A 不可能是单元素集．20. ( 10分 ) 设 ，命题“方程有实数根”， 命题 “对任意实数 ，恒成立”.（1）若 为真命题，求 的最大值；（2）若为真命题，且为假命题，求 的取值范围.21. ( 10分 ) 设命题，命题 ：关于 不等式的解集为.（1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；（2）若命题 或 是真命题， 且 是假命题，求实数 的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】解：由题得，∴.故答案为：A.【分析】通过解不等式求出集合B，结合交集的运算，求出.2.【答案】C【考点】交集及其运算，一元二次不等式的解法【解析】【解答】先解不等式得0<x<4,集合B= .由题意知集合A表示奇数集,所以A∩B= ,故答案为：C.【分析】通过解一元二次不等式求出集合B，结合集合A的含义及交集的运算，即可求出.3.【答案】A【考点】补集及其运算【解析】【解答】全集为R，函数的定义域为M＝{x| 0}＝{x|x 1}，则∁R M＝{x|x<1}＝(－∞，1)．故答案为：A．【分析】通过求函数的定义域求出M，即可得到相应的补集.4.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】因为，由得，其与不等式为同解不等式，所以；则故答案为：A.【分析】通过解不等式求出集合A和集合B，结合补集和交集运算，即可求出.5.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用，集合的相等，交集及其运算【解析】【解答】集合，集合，，则,故答案为：【分析】利用绝对值不等式求解方法求出集合M的元素x的取值范围和利用一元二次不等式求出集合N 的元素y的取值范围，再来判断集合M和N的关系及二者的集合交集运算的结果，从而选出答案。
专题能力训练1 集合与常用逻辑用语能力突破训练A.所有奇函数的图象都不关于原点对称B.所有非奇函数的图象都关于原点对称C.存在一个奇函数的图象不关于原点对称D.存在一个奇函数的图象关于原点对称2.设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足∁U M={1,3},则( )A.2∈MB.3∈MC.4∉MD.5∉MA.若-2<x<2,则x2<4B.若x2≥4,则x≥2或x≤-2C.若-2<x<2,则x2≥4D.若x≥2或x≤-2,则x2≥4A.p∧qB.p∨(¬q)C.¬(p∨q)D.(¬p)∧q>0成立的充分不必要条件是( )5.不等式1-1xA.x>1B.x>-1C.x<-1或0<x<1D.-1<x<0或x>0A.∃x0∈R,x02+2x0+3=0B.∀x∈N,x3>x2C.“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件D.若a>b,则a2>b27.(浙江,4)设x∈R,则“sin x=1”是“cos x=0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(广西柳州模拟)设集合U={x|0<={x|x2-5= .<0,q:0<的取值范围是.9.设p:xx-210.已知集合M={2,log3a},N={a,b}.若M∩N={1},则M∪N= .11.若“(x-a)2<1”的一个充分不必要条件是“1<x<2”,则实数a的取值范围是.思维提升训练12.已知p:函数f(x)=|x+a|在区间(-∞,-1)内是单调函数,q:函数g(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1)在区间(-1,+∞)内是增函数,则¬p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.设A,B是非空集合,定义A B={x|x∈A,且x∉B},若A={x|x2-2x-3≤0},B={y|y=3x},则A B=( )A.(0,3]B.[-1,0)C.[-1,0]D.⌀14.设计如下图的四个电路图,则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是( )15.(四川泸州模拟)下列说法正确的是( )A.∃x∈R,x2+x+1≤0B.“a>1”是“a>2”的充分不必要条件p:“∃x0∈(-∞,0],ln x0-x0≥0”的否定为“∀x∈(0,+∞),ln x-x<0”; q:在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,则“a>b”是“cos A<cos B”的充要条件.A.pB.p∧qC.p∨(¬q)D.(¬p)∧q17.设A={(x,y)|y=kx},B={(x,y)|y=√2x-1},则“-1≤k≤1”是“A∩B≠⌀”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A.(-1,0)B.(-1,1)C.(0,1)D.(0,2)答案：能力突破训练2.A 解析:∵U={1,2,3,4,5},∁U M={1,3},∴M={2,4,5},∴2∈M,3∉M,4∈M,5∈M.故选A.>0,解得x>1或x<0,对照各选项知A满足要求.5.A 解析:由1-1x6.C 解析:x02+2x0+3=(x0+1)2+2>0,选项A错误;x3-x2=x2(x-1)不一定大于0,选项B错误;若x>1,则x2>1成立,反之不成立,选项C正确;取a=1,b=-2,满足a>b,但a2>b2不成立,选项D错误,故选C.,k∈Z,此时cosx=0;7.A 解析:由sinx=1,得x=2kπ+π2由cosx=0,得x=kπ+π,k∈Z,此时sin={2,3},U={1,2,3,4},所以∁2U M={1,4}.9.(2,+∞) 解析:由xx -2<0,得0<),∴m>2.10.{1,2,3} 解析:∵M∩N={1},∴1∈N,且1∈M,∴log 3a=1,即a=3.又1∈N,∴b=1.∴M={1,2},N={1,3},∴M ∪N={1,2,3}.11.[1,2] 解析:由(x-a)2<1,得a-1<x<a+1.由题意,可知{a -1≤1,a +1≥2,且等号不能同时取到,解得1≤a≤2. 思维提升训练12.C 解析:由p 成立,得a≤1,由q 成立,得a>1,所以¬p 成立时a>1,¬p 是q 的充要条件.故选C.13.C 解析:由题意可知A B=A∩(∁R B).又A={x|x 2-2x-3≤0}=[-1,3],B={y|y=3x }=(0,+∞),则∁R B=(-∞,0],故A B=[-1,0].14.C 解析:对于A,“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分不必要条件. 对于B,“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充要条件.对于C,“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件.对于D,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.15.C 解析:对于A,因为x2+x+1=(x+12)2+34>0,所以A错误;对于B,因为{a|a>1}⫌{a|a>2},所以“a>1”是“a>2”的必要不充分条件,故B错误;17.B 解析:因为A∩B≠⌀,所以直线y=kx与曲线y=√2x-1有交点,即关于x的方程kx=√2x-1在区间[12,+∞)上有解,所以k=√2x-1x=√2x-1x2=√-(1x -1)2+1,所以0≤k≤1.故“-1≤k≤1”是“0≤k≤1”的必要不充分条件,即“-1≤k≤1”是“A∩B≠⌀”的必要不充分条件.。
第 1 讲会合与常用逻辑用语考情解读 1.会合是高考必考知识点，常常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考察集合的运算，近几年有时也会出现一些会合的新定义问题.2.高考取考察命题的真假判断或命题的否认，考察充要条件的判断．1．会合的观点、关系(1)会合中元素的特征：确立性、互异性、无序性，求解含参数的会合问题时要依据互异性进行查验．(2) 会合与会合之间的关系： A? B，B? C? A? C，空集是任何会合的子集，含有 n 个元素的会合的子集数为 2n，真子集数为 2n－ 1，非空真子集数为 2n－ 2.2．会合的基本运算(1)交集： A∩B＝ { x|x∈ A，且 x∈ B} ．(2)并集： A∪B＝ { x|x∈ A，或 x∈ B} ．(3)补集： ?U A＝ { x|x∈ U ，且 x? A} ．重要结论： A∩B＝A? A? B；A∪ B＝ A? B? A.3．四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，抗命题与否命题同真同假，碰到复杂问题正面解决困难的，采纳转变为反面状况办理．4．充足条件与必需条件若 p? q，则p 是 q 的充足条件，q 是 p 的必需条件；若p? q，则p， q 互为充要条件．5．简单的逻辑联络词(1) 命题p∨ q，只需p， q 有一真，即为真；命题p∧ q，只有p， q 均为真，才为真；綈p 和p真假立的命．(2)命 p∨ q 的否认是 (綈 p)∧ (綈 q)；命 p∧ q 的否认是 (綈 p)∨ (綈 q)．6．全称量与存在量“? x∈ M， p(x) ”的否认“? x0∈ M，綈 p(x0) ”；“? x0∈ M， p(x0) ”的否认“? x∈ M，綈 p(x) ”.点一会合的关系及运算例 1 (1)(2014 四·川 )已知会合A ． { － 1,0,1,2}C． {0,1}A＝ { x|x2－ x－ 2≤0}，会合B ． { － 2，－ 1,0,1}D．{ －1,0}B 整数集，A∩B 等于 ()(2)(2013 广· )整数 n≥4，会合 X＝{1,2,3 ，⋯， n} ，令会合 S＝ {( x， y， z)|x， y， z∈ X，且三条件x<y<z， y<z<x， z<x<y 恰有一个建立 } ．若 (x， y， z)和 (z， w， x)都在 S 中，以下正确的是()A． (y，z，w)∈ S，( x，y， w)? SB． (y， z，w)∈ S， (x， y，w)∈ SC． (y， z，w)? S， (x， y， w)∈SD ． (y，z，w)? S， (x， y，w)? S思启示明确会合的意，理解会合中元素的性特点．答案(1)A(2)B分析(1) 因A＝ { x|x2－ x－ 2≤0} ＝ { x|－ 1≤x≤2} ，又因会合 B 整数集，所以会合A∩B＝ { －1,0,1,2} ，故 A.(2) 因 (x，y，z)和 (z，w，x)都在 S 中，不如令 x＝2，y＝ 3，z＝ 4，w＝ 1，( y，z，w)＝ (3,4,1) ∈ S，(x，y，w)＝ (2,3,1) ∈S，故 (y，z，w)? S，(x， y，w)? S 的法均，能够清除 A 、C、D，故 B.思升(1)于会合，抓住元素的特点是求解的关，要注意会合中元素的三个特点的用，要注意果．(2)会合的新定，要扣新定会合的性研究会合中元素的特点，将化熟习的知行求解，也可利用特别法行．(1)已知会合M＝ {1,2,3}， N＝ { x∈Z |1<x<4} ， ()A．M? N B．N＝MC． M∩N＝{2,3} D ． M∪N＝ (1,4)(2)(2013 山· )已知会合 A＝ {0,1,2} ，会合 B＝ { x－ y|x∈ A， y∈ A} 中元素的个数是 ( ) A ．1 B．3 C．5 D．9答案(1)C(2)C分析(1) 会合 N 是要求在 (1,4)范围内取整数，所以N＝{ x∈Z |1<x<4} ＝ {2,3} ，所以M∩N＝{2,3} ．(2) x－y∈{－ 2，－ 1， 0， 1， 2} .热门二四种命题与充要条件例 2(1)(2014 ·津天 )设 a， b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b| ”的 ()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足又不用要条件(2)(2014 江·西 )以下表达中正确的选项是()A．若 a， b， c∈R，则“ax2＋ bx＋ c≥0”的充足条件是“b2－4ac≤0”B．若 a， b， c∈R，则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c”C．命题“对随意 x∈R，有 x2≥ 0的”否认是“存在 x∈R，有 x2≥ 0”D ． l 是一条直线，α，β是两个不一样的平面，若l ⊥ α， l⊥ β，则α∥ β思想启示要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要正确理解充足条件、必需条件的含义．答案(1)C(2)D分析(1) 当 b<0 时，明显有a>b? a|a|>b|b|；当 b＝ 0 时，明显有 a>b? a|a|>b|b|；当 b>0 时， a>b 有|a|>|b|，所以 a>b? a|a|>b|b|.综上可知a>b? a|a|>b|b|，应选 C.(2)因为“若 b2－ 4ac≤0，则 ax2＋ bx＋ c≥0”是假命题，所以“ax2＋ bx＋ c≥0”的充足条件不是“b2－4ac≤0”， A 错；因为 ab2>cb2，且 b2>0，所以a>c.而 a>c 时，若b2＝0，则 ab2>cb2不建立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充足不用要条件， B 错；“对随意 x∈R，有 x2≥ ”的否认是“存在∈，有2”，C0x R x <0错；由 l ⊥ α， l⊥ β，可得α∥ β，原因：垂直于同一条直线的两个平面平行， D 正确．思想升华(1) 四种命题中，原命题与逆否命题等价，抗命题与否命题等价；(2)充要条件的判断常用“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，判断一个命题为假能够借助反例．(1)命题“若 a， b 都是偶数，则 a＋b 是偶数”的逆否命题是 ________．(2)“ log3M>log 3N”是“M>N 建立”的 ________条件． ( 从“充要”、“充足不用要”、“必需不充足”中选择一个正确的填写 )答案(1)若 a＋ b 不是偶数，则 a， b 不都是偶数(2) 充足不用要分析(1)判断词“都是”的否认是“不都是”．(2)由 log3M>log 3N，又因为对数函数 y＝log 3x 在定义域 (0，＋∞)单一递加，所以 M >N；当 M>N 时，因为不知道 M、N 能否为正数，所以 log 3M 、log3N 不必定存心义．故不可以推出 log3M >log 3N，所以“log3M>log 3N”是“M>N 建立”的充足不用要条件．热门三逻辑联络词、量词例 3(1)已知命题 p：? x∈R， x－ 2>lg x，命题 q： ? x∈R，sin x<x，则 ()A ．命题 p∨q 是假命题B ．命题 p∧ q 是真命题C．命题 p∧ (綈 q) 是真命题 D ．命题 p∨ (綈 q)是假命题(2)(2013 四·川 )设 x∈Z，会合A 是奇数集，会合 B 是偶数集．若命题 p：? x∈ A,2x∈ B，则 ()A ．綈 p： ? x∈ A,2x∈B B ．綈 p： ? x? A,2x? BC．綈 p： ? x? A,2x∈ B D ．綈 p： ? x∈A,2x? B思想启示(1) 先判断命题 p、q 的真假，再利用真值表判断含逻辑联络词命题的真假；(2)含量词的命题的否认既要否认量词，还要否认判断词．答案(1)C(2)D分析(1) 对于命题 p，取 x＝ 10，则有 10－ 2>lg 10 ，即 8>1，故命题 p 为真命题；对于命题q，ππp∨ q 是真命取 x＝－，则 sin x＝ sin(－)＝－ 1，此时 sin x>x，故命题 q 为假命题，所以命题22题，命题 p∧ q 是假命题，命题 p∧( 綈 q)是真命题，命题p∨(綈 q)是真命题，应选 C.(2) 命题 p： ? x∈ A,2x∈B 是一个全称命题，其命题的否认綈 p 应为 ? x∈ A,2x? B，选 D.思想升华(1)命题的否认和否命题是两个不一样的观点：命题的否认只否认命题的结论，真假与原命题相对峙；(2) 判断命题的真假要先明确命题的组成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还能够考虑从会合的角度来思虑，将问题转变为会合间的运算．(1) 已知命题p：在△ ABC中，“C>B”是“sinC>sin B”的充足不用要条件；命题q：“a>b”是“ac2 >bc2”的充足不用要条件，则以下选项中正确的选()项是A ．p真q 假B ． p 假 q 真C．“p∧ q”为假 D ．“p∧q”为真(2)已知命题 p：“? x∈ [1,2] ，x2－ a≥0，”命题 q：“? x0∈R，x02＋ 2ax0＋ 2－a＝ 0”．若命题“(綈p)∧ q”是真命题，则实数 a 的取值范围是()A ．a≤－ 2 或a＝ 1B ． a≤21≤a≤2或C． a>1 D ．－ 2≤a≤1答案(1)C(2)C分析 (1) △ ABC 中， C>B? c>b? 2Rsin C>2Rsin B(R 为△ ABC 外接圆半径 )，所以 C>B? sin C>sin B.故“C>B”是“sin C>sin B”的充要条件，命题p 是假命题．222222222?22”ac >bc ，若 ac >bc ，则必有 c≠0，则 c >0，则有 a>b，所以 ac >bc a>b，故“a>b”是“ac>bc 的必需不充足条件，故命题q 也是假命题，应选 C.(2) 命题 p 为真时 a≤1；“?x0∈R，x02＋ 2ax0＋ 2－a＝ 0”为真，即方程x2＋ 2ax＋ 2－ a＝ 0有实根，故＝ 4a2－4(2－ a)≥0，解得 a≥1 或 a≤－2.( 綈 p)∧ q 为真命题，即綈 p 真且 q 真，即 a>1. 1．解答相关会合问题，第一正确理解会合的意义，正确地化简会合是重点；其次关注元素的互异性，空集是任何会合的子集等问题，对于不等式的解集、抽象会合问题，要借助数轴和Venn 图加以解决．2．判断充要条件的方法，一是联合充要条件的定义；二是依据充要条件与会合之间的对应关系，把命题对应的元素用会合表示出来，依据会合之间的包括关系进行判断，在以否认形式给出的充要条件判断中能够使用命题的等价转变方法．3．含有逻辑联络词的命题的真假是由此中的基本命题决定的，这种试题第一把此中的基本命题的真假判断正确，再依据逻辑联络词的含义进行判断．4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必定的联系，但一个命题与这个命题的否认是互相对峙的、一真一假的.真题感悟1． (2014 ·浙江 )设全集 U＝ { x∈N |x≥ 2}，会合 A＝ { x∈N|x2≥ 5}，则 ?U A 等于 ()A ．? C． {5}B．{2}D ． {2,5}答案B分析因为 A＝ { x∈N|x≤－5或 x≥ 5} ，所以 ?U A＝ { x∈N|2≤x<5} ，故 ?U A＝ {2} ．2． (2014 ·重庆 )已知命题p：对随意x∈R，总有 2x>0 ；q：“x>1”是“x>2”的充足不用要条件．则以下命题为真命题的是()A ．p∧ qB ．綈p∧綈qC．綈p∧ q D ． p∧綈q答案D分析因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对随意x∈R， y＝ 2x>0 恒建立，故p 为真命题；因为当 x>1 时， x>2 不必定建立，反之当 x>2 时，必定有 x>1 建立，故 “x>1”是“x>2”的必需不充足条件，故 q 为假命题，则 p ∧ q 、綈 p 为假命题， 綈 q 为真命题， 綈 p ∧綈 q 、綈 p ∧ q 为假命题， p ∧綈 q 为真命题，应选 D. 押题精练1．已知会合 A ＝ { x|y ＝ lg(x － x 2 )} ，B ＝ { x|x 2－cx<0，c>0} ，若 A? B ，则实数 c 的取值范围是 () A ． (0,1] B ．[1，＋ ∞) C ． (0,1) D ． (1，＋ ∞)答案 B分析A ＝ { x|y ＝ lg( x － x 2)} ＝{ x|x － x 2>0} ＝ (0,1)，B ＝{ x|x 2－ cx<0， c>0} ＝(0， c)，因为 A? B ，画出数轴，如下图，得c ≥1.应选 B.2．若命题 p ：函数 y ＝ x 2－ 2x 的单一递加区间是 [1，＋ ∞)，命题 q ：函数 y ＝ x －1的单一递加x区间是 [1，＋ ∞)，则 ()A ．p ∧ q 是真命题B ． p ∨q 是假命题C ．綈 p 是真命题D ．綈 q 是真命题答案D分析因为函数 y ＝ x 2－ 2x 的单一递加区间是 [1，＋ ∞)，所以 p 是真命题； 因为函数 y ＝ x －1的x单一递加区间是 (－ ∞，0)和 (0，＋ ∞)，所以 q 是假命题．所以 p ∧ q 为假命题， p ∨ q 为真命题，綈 p 为假命题， 綈 q 为真命题，应选D.log 2x ， x>0 ，()3．函数 f(x)＝ 有且只有一个零点的充足不用要条件是－ 2x＋a ， x ≤01A ．a<0B ． 0<a<21C.2<a<1 D ． a ≤0或 a>1答案 A分析因为函数 f(x)过点 (1,0)，所以函数 f(x)有且只有一个零点 ?函数 y ＝－ 2x ＋ a(x ≤0)没有零点 ? 函数 y ＝ 2x(x ≤0)与直线 y ＝a 无公共点．由数形联合，可得a ≤0 或 a>1.所以函数 f(x)有且只有一个零点的充足必需条件是a ≤0 或 a>1，应清除 D ；当 0<a<1时，函数2y ＝－ 2x＋ a(x ≤0)有一个零点，即函数 f(x)有两个零点，此时0<a<1是函数 f(x)有且只有一个零2点的既不充足也不用要条件，应清除 B ；同理，可清除 C ，应选 A.(介绍时间： 40 分钟 )一、选择题1． (2014 ·陕西 )设会合 M＝ { x|x≥0， x∈R } ，N＝{ x|x2<1 ， x∈R} ，则 M∩N 等于 ()A ． [0,1]B ． [0,1)C． (0,1] D ． (0,1)答案 B分析N＝ { x|－ 1<x<1} ， M∩N＝ [0,1) ．应选 B.2．已知会合A＝ {1,2,3,4,5} ， B＝ {5,6,7} ， C＝ {( x，y)|x∈A， y∈ A， x＋ y∈B} ，则 C 中所含元素的个数为 ()A ．5B ． 6C． 12D．13答案D分析若 x＝ 5∈ A，y＝ 1∈ A，则 x＋ y＝ 5＋ 1＝ 6∈B，即点 (5,1) ∈ C；同理， (5,2)∈ C，(4,1)∈ C，(4,2)∈ C，(4,3)∈ C， (3,2)∈ C，(3,3) ∈C，(3,4)∈ C， (2,3)∈ C，(2,4)∈ C，(2,5)∈ C， (1,4)∈ C，(1,5)∈ C.所以 C 中所含元素的个数为13，应选 D.3．设全集 U 为整数集，会合A＝ { x∈N|y＝ 7x－ x2－6} ，B＝ { x∈Z|－ 1<x≤3}，则图中暗影部分表示的会合的真子集的个数为()A ．3B ． 4C． 7 D ． 8答案C分析因为 A＝ { x∈N |y＝7x－ x2－ 6} ＝ { x∈N|7x－ x2－ 6≥0} ＝ { x∈N|1≤x≤6} ，由题意，知题图中暗影部分表示的会合为A∩B＝ {1,2,3}，所以其真子集有： ?，{1} ，{2} ，{3}，{1,2} ，{1,3} ，{2,3} ，共 7 个．4．“(m－ 1)( a－ 1)>0 ”是“ log a m>0”的 ()A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件答案Bm>1，m<1，m>1，0<m<1，分析(m－ 1)(a－ 1)>0 等价于或log a m>0 等价于或所以a>1a<1.a>10<a<1 ，前者是后者的必需不充足条件，应选 B.π5．已知命题p：? x∈ (0，2)，使得 cos x≤x，则该命题的否认是()πA ．? x∈ (0，2)，使得 cos x>xπB ．? x∈ (0，2)，使得 cos x≥xπC．? x∈ (0，2)，使得 cos x>xπD ．? x∈ (0，2)，使得 cos x≤x答案C分析原命题是一个特称命题，其否认是一个全称命题．而“cos x≤x”的否认是“cos x>x”，应选 C.16．在△ABC 中，“A＝ 60°”是“ cosA＝2”的 ()A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件D．既不充足也不用要条件答案 C分析在 A＝ 60°时，有 cos A＝1，因为角 A 是△ ABC 的内角，所以，当cos A＝1时，也只有22A＝ 60°，所以，是充足必需条件．7．(2013 湖·北 )已知全集为R，会合 A＝ x 1 x≤1x|x2－ 6x＋ 8≤0，则 A∩?2，B＝{}R B等于()A ． { x|x≤ 0}B ． { x|2 ≤x≤ 4}C． { x|0 ≤x<2 或 x>4}D ． { x|0<x≤2或 x≥ 4}答案C分析∵ A＝ { x|x≥0} ， B＝{ x|2≤x≤4} ，∴A∩?R B＝ { x|x≥ 0} ∩{x|x>4 或 x<2}＝{ x|0≤x<2 或 x>4} ．8．已知会合A＝ {( x，y)|x＋ y－ 1＝ 0，x，y∈R} ，B＝ {( x，y)|y＝x2＋1，x，y∈R } ，则会合 A∩B 的元素个数是 ()A ．0B ． 1C． 2 D ． 3答案C分析会合 A 表示直线 l：x＋ y－ 1＝ 0 上的点的会合，会合 B 表示抛物线 C：y＝ x2＋ 1 上的点的会合．x＋ y－1＝ 0，由消去 y 得 x2＋ x＝ 0，y＝ x2＋ 1因为>0，所以直线 l 与抛物线 C 有两个交点．即 A∩B 有两个元素．应选 C.ππ9．设命题 p：函数 y＝ sin 2x 的最小正周期为2；命题 q：函数 y＝ cos x 的图象对于直线 x＝2对称．则以下判断正确的选项是 ()A ．p 为真B ．綈 q 为假C． p∧ q 为假 D ． p∨ q 为真答案C分析p 是假命题， q 是假命题，所以只有 C 正确．10．已知 p：?x∈R， mx2＋ 2≤0，q： ? x∈R， x2－ 2mx＋ 1>0，若 p∨ q 为假命题，则实数 m 的取值范围是 ()A ． [1，＋∞ )B ． (－∞，－ 1]C． (－∞，－ 2] D ． [－ 1,1]答案A分析∵ p∨ q 为假命题，∴ p 和 q 都是假命题．由 p： ? x∈R， mx2＋ 2≤0 为假命题，得綈 p：? x∈R， mx2＋ 2>0 为真命题，∴m≥0.①由 q： ? x∈R， x2－ 2mx＋ 1>0 为假命题，得綈 q：? x∈R， x2－ 2mx＋ 1≤0 为真命题，∴＝ (－ 2m)2－ 4≥0? m2≥1? m≤－1 或 m≥1.②由①和② 得 m≥1.应选 A.二、填空题11．已知会合P＝ { x|x(x－ 1) ≥ 0}， Q＝ { x|y＝ ln( x－ 1)} ，则 P∩Q＝ __________.答案(1，＋∞)分析由 x( x－ 1)≥0可得 x≤0 或 x≥1，则 P＝ (－∞， 0]∪ [1，＋∞)；又由 x－1>0 可得 x>1，则 Q＝ (1，＋∞)，所以 P∩Q＝ (1，＋∞)．12．已知会合A＝ { x|x>2或x<－ 1} ，B＝ { x|a≤x≤b} ，若b A∪ B＝R， A∩B＝ { x|2<x≤ 4}，则 a＝________.答案分析－ 4由 A＝ { x|x>2 或x<－ 1} ， A∪ B＝R，A∩B＝ { x|2<x≤4} ，可得 B＝ { x|－ 1≤x≤4} ，则 a＝－ 1， b＝ 4，故ba＝－ 4.2＋2x＋ m≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是 (a，＋∞)，则实数 a13．由命题“? x∈R， x的值是 ________．答案1分析依据题意可得： ? x∈R，x2＋ 2x＋ m>0 是真命题，则<0 ，即 22－4m<0，m>1，故 a＝1.14．给出以下四个命题：①命题“若α＝β，则 cos α＝ cos β”的逆否命题；② “? x0∈R，使得x02－ x0>0”的否认是：“? x∈R，均有 x2－ x<0”；③命题“x2＝ 4”是“x＝－ 2”的充足不用要条件；④p： a∈ { a， b， c} ， q： { a} ? { a， b， c} ， p 且 q 为真命题．此中真命题的序号是 ________． (填写全部真命题的序号 )答案①④分析对①，因命题“若α＝β，则 cos α＝ cos β”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，① 正确；对②，命题“? x0∈R，使得x02－ x0>0”的否认应是：“? x∈R，均有 x2－x≤0”，故②错；对③，来由“x2＝ 4”得 x＝±2，所以“x2＝ 4”是“x＝－ 2”的必需不充足条件，故③ 错；对④，p， q 均为真命题，由真值表判断p 且 q 为真命题，故④ 正确．15．已知会合 M 为点集，记性质 P 为“对?(x， y)∈ M， k∈ (0,1) ，均有 (kx， ky)∈ M”．给出下列会合：① {( x， y)|x2≥y} ，② {( x， y)|2x2＋ y2<1} ，③ {( x，y)|x2＋ y2＋ x＋ 2y＝ 0} ，④ {( x， y)|x3＋y3－ x2y＝ 0} ，此中拥有性质P 的点集序号是 ________．答案②④分析对于①：取 k＝1，点 (1,1)∈ {( x， y)|x21，122≥y} ，但 (22)? {( x， y)|x ≥y} ，故①是不拥有性质高考数学(理)二轮专题练习【专题1】(1)会合与常用逻辑用语(含答案) 11 / 11P 的点集．2 2 2 2内部，所以对 0<k<1，点 对于 ②： ? ( x ，y)∈ {( x ，y)|2x ＋ y <1} ，则点 (x ，y)在椭圆 2x ＋y ＝1 (kx ，ky)也在椭圆 2x 2＋ y 2＝ 1 的内部，即 (kx ，ky)∈ {( x ，y)|2x 2 ＋ y 2<1} ，故 ②是拥有性质 P 的点 集．1 2 2 5 1 1 )在此圆上，但点 1 1 对于 ③： (x ＋ )＋ (y ＋ 1) ＝ ，点( ，－ 2 ( ，－ )不在此圆上，故 ③是不拥有 2 4 2 4 4性质 P 的点集．对于 ④：? (x ，y)∈ {( x ，y)|x 3 ＋y 3 －x 2y ＝ 0} ，对于 k ∈ (0,1)，因为 ( kx)3＋ (ky)3－ (kx) 2·(ky)＝ 0? x 3＋ y 3－ x 2y ＝ 0，所以 (kx ， ky)∈ {( x ， y)|x 3＋ y 3－ x 2y ＝ 0} ，故 ④ 是拥有性质 P 的点集．综上，具 有性质 P 的点集是 ②④ .。
专题01 集合与常用逻辑用语一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知集合{0,2}=A ，{21012}=--，，，，B ，则A B =I A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{21012}--，，，， A 【解析】由题意{0,2}A B =I ，故选A ．2．(2018浙江)已知全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，则=U A ð A ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}C 【解析】因为{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，所以=U A ð{2，4，5}．故选C ． 3．(2018全国卷Ⅱ)已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I A ．{3}B ．{5}C ．{3,5}D ．{}1,2,3,4,5,7C 【解析】因为{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，所以{3,5}A B =I ，故选C ． 4．(2018北京)已知集合{|||2}A x x =<，{2,0,1,2}B =-，则A B =IA ．{0，1}B ．{–1，0，1}C ．{–2，0，1，2}D ．{–1，0，1，2}A 【解析】{|||2}(2,2)A x x =<=-，{2,0,1,2}B =-，∴{0,1}A B =I ，故选A ． 5．(2018全国卷Ⅲ)已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则A B =I A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}C 【解析】由题意知，{|10}A x x =-≥，则{1,2}A B =I ．故选C6．(2018天津)设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-<R ≤，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}C 【解析】由题意{1,0,1,2,3,4}A B =-U ，∴(){1,0,1}A B C =-U I ，故选C ． 7．已知集合{|2}A x x =<，{320}B x =->，则A ．3{|}2A B x x =<I B ．A B =∅IC ．3{|}2A B x x =<U D ．A B =R UA 【解析】∵3{|}2B x x =<，∴3{|}2A B x x =<I ， 选A ．8．设集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =则A B U =A ．{1,2,3,4}B ．{1,2,3}C ．{2,3,4}D ．{1,3,4} A 【解析】由并集的概念可知，{1,2,3,4}A B =U ，选A ．9．已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6,8}B =，则A B I 中元素的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 B 【解析】由集合交集的定义{2,4}A B =I ，选B ．10．设集合{1,2,6}A =，{2,4}B =，{1,2,3,4}C =，则()A B C =U IA ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6} B 【解析】∵{1,2,4,6}A B =U ，(){1,2,4}A B C =U I ，选B ． 11．设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则M N =I A ．()1,1- B ．()1,2-C ．()0,2D ．()1,2C 【解析】{|02}M x x =<<，所以{|02}M N x x =<<I ，选C ． 12．已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则U A ð=A ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞UC ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞U C 【解析】{|22}U A x x =-≤≤ð，选C ．13．已知集合{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，那么P Q U =A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2) A 【解析】由题意可知{|12}P Q x x =-<<U ，选A ． 14．设集合{}2|30,{|14}A x x xB x x =-<=<<，则A B =I （ ）A ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3)【答案】D 【解析】{}2|30{|03}A x x x x x =-<=<<，AB =I (1,3)故选：D15．设集合{}2|,{|31420}1A x x B x x x =-<<-=--≤，则A B =I （ ）A ．[)21--， B ．(21)--，C ．(16]-，D ．(31)--，【答案】A 【解析】因为{}31, 26|{|}A x xB x x =-<<-=-≤≤，所以 |}1{2A B x x ⋂=-≤<-.故选：A ． 16．设集合{}12A x x =-<≤，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =I （ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}12,3x x x -<≤=或【答案】B 因为{}12A x x =-<≤，{}1,0,1,2,3B =-,所以A B =I {0,1,2}.故选:B17．已知集合{|22}A x x =∈-<<N ，{1,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】A 【解析】{}{|22}0,1A x x =∈-<<=Q N ，因此，{}1A B ⋂=.故选：A.18．已知集合{}{}241,0,1,2,3A x x B =<=-，，则A B =I （ ） A ．{}0,1,2 B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0,1,2--C 【解析】{}{}221,0,1,2,3A x x B =-<<=-，,则A B =I {}1,0,1-.故选:C 19．已知集合{}{}2230,ln()A x x x B x y x =+-≤==-，则A B =I （ ） A ．[3,0]- B ．[3,1]-C ．[3,0)-D ．[1,0)-【答案】C 【解析】由2230x x +-≤有(1)(3)0x x -+≤,即31x -≤≤,又ln()x -中0x ->即0x <. 故A B =I [3,0)-故选：C20.已知集合{}|124xM x =<≤，{}0,1,2N =，则M N =I （ ）A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}1D. ∅【答案】B 【解析】{}{}|124|02xM x x x =<≤=<≤，M N =I {}1,2.故选:B21．(2018浙江)已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n α⊂，则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A 【解析】若m α⊄，n α⊂，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α．若m ∥α，m α⊄，n α⊂，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面，故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．故选A ． 22．(2018北京)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B 【解析】a ，b ，c ，d 是非零实数，若ad bc =，则b da c=，此时a ，b ，c ，d 不一定成等比数列；反之，若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a cb d=，所以ad bc =，所以“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．故选B ．23．(2018天津)设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >” 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A 【解析】由38x >，得2x >，由||2x >，得2x >或2x <-，故“38x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件，故选A ．24．(2018上海)已知a R ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 A 【解析】由1>a 可得11<a 成立；当11<a ，即1110--=<a a a， 解得0<a 或1>a ，推不出1>a 一定成立；所以“1a >”是“11a<”的充分非必要条件．故选A ．25．设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 B 【解析】由20x -≥，得2x ≤，由|1|1x -≤，得02x ≤≤，所以“20x -≥”是“|1|1x -≤”的必要而不充分条件．选B ．26．已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <．下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝⌝∧B 【解析】取0x =，知1p 成立；若22a b <，得||||a b =，q 为假，所以p q ⌝∧为真，选B ． 27．设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A 【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是cos ,0<><m n ．因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=om n ，所以cos ,0<><m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”；而0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ，但不一定推出,m n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数λ，使得λ=m n ”，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件．28．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件C 【解析】∵655465()()S S S S a a d ---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ． 29．已知直线,a b 分别在两个不同的平面α，b 内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A 【解析】根据已知，如果直线,a b 相交，则平面,αβ一定存在公共点，故其一定相交；反之，如果平面,αβ相交，分别位于这两个平面内的直线不一定相交，故为充分不必要条件，选A ． 30．已知函数2()f x x bx =+，则“0b <”是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A 【解析】当0b <时，2min()()24b b f x f =-=-，即2()[,)4b f x ∈-+∞，而222(())()()(())24b b f f x f x bf x f x =+=+-的对称轴也是2b-，又2[,) 24b b-∈-+∞，所以当()2bf x=-时，2min(())4bf f x=-，故(())f f x的最小值与()f x的最小值相等；另一方面，取0b=，2()f x x=与4(())f f x x=有相等的最小值0，故选A．31．已知:293p ln ln ln lna⋅>⋅，:q函数()f x lnx a=-在4(0,]e上有2个零点，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对p，12932232ln ln ln lna ln ln⋅>⋅⇔⨯13ln042ln a a>⋅⇔<<；对q，函数()f x lnx a=-在(40,e⎤⎦上有2个零点，即函数()4y lnx x e=<≤与y a=的图象有两个交点，因为44lne=，画出它们的图象，可知04a<≤，所以,p q q p⇒⇒，即p是q的充分不必要条件．故选：A．32．“x0＞”是“20x x+>”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜1-,或x＞0}，∵A≠⊂B，故“x＞0”是“20x x+>”成立的充分不必要条件．故选：A．二、填空题33．(2018江苏)已知集合{0,1,2,8}A=，{1,1,6,8}B=-，那么A B=I．{1，8}【解析】由集合的交运算可得A B=I{1，8}．34．已知集合{1,2}A=，2{,3B a a=+｝，若{1}A B=I，则实数a的值为____．1【解析】由题意1B∈，显然1a=，此时234a+=，满足题意，故1a=．35．已知集合{}123A =，，,{}245B =，，,则集合A B U 中元素的个数为 ． 5【解析】{1,2,3}{2,4,5}{1,2,3,4,5}A B ==U U ，5个元素36．已知集合U ={}1,2,3,4,A ={}1,3,B ={}1,3,4,则A U (U B ð)= ． {1,2,3}【解析】{2}U B =ð，A U (U B ð)={1,2,3}． 37．(2018北京)能说明“若a b >，则11a b<”为假命题的一组a ，b 的值依次为____． 11-（答案不唯一）【解析】由题意知，当1a =，1b =-时，满足a b >，但是11a b>，故答案可以为11-．（答案不唯一，满足0a >，0b <即可）。
（1）集合与常用逻辑用语QB ()C . 3,4 6、下列命题为真命题的是 （）B •必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件已知全集U123,4,5,6,7,8 集合A 2,3,5,6集合B 1,3,4,6,7则集合A. B AI CB. BUC CC. A u CD. A B C 3、已知集合M 1,2,N2,3,4 若P MN,则P 的子集个数为 () A . 14B.15C . 16D . 32 4、设集合M x log 2 x 1 0 , 集合N x x 2，贝V M N ( ) A . x | 2 x2B .x x2C . x x 2D .x1 x已知集合A=｛第一象限角｝,B=｛锐角｝,C=｛小于 90的角｝,则关系正确的是 2、 ( )2A.2,5 B. 3,6C.2,5,6D.2,3,5,6,R ，集合 A 0,1,2,3,4 ,B2,，则图中阴影部分表示的集1,20,3,4A.命题 1， x 21 ”的逆命题B.命题1，则 x 2 x 2 0 ”的否命题C 命题 若x 20,则x 1 ”的逆否命题D.命题 y ，则x 7、已知a 0且a 1,则a b 1是a 1 b 0的（A .充分而不必要条件 C .充要条件已知全集U5、8、设a n 是公比为q 的等比数列，则q 1 "是“a n 为递增数列"的（）的方程为xa 1 y1 0，若 I 1//I 2，则 a2或a 1 •则下列命题中是真命题的是（ ）A . p qB . pqC .p qD . p q10、已知命题 “存在21x R,2xa 1 x20 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A • 1,3B •3,1C• ,1 D • (, 1)U 3,11、已知集合 A xa 1 x 2a 1 ,B 〉 〈0x 1 ,若 A B,实数a 的取值范围是12、给出以下结论:①命题2右x 3x 24 0，则x 4 ”的逆否命题为 若x 4，则x 3x 4 0 ”;②“ 4 ”是 “ 2 x 3x 4 0 ” 的充分条件； ③命题 若m0, 则方程x 2 x m 0有实根”的逆命题为真命题； ④命题2右2n0，则m0且n 0”的否命题是真命题.则其中错误的是 ___________ .（填序号）13、 已知 P x|x 2 8x 20 0，集合 S x|1 m x 1 m, m 0 •若 x P 是 x S 的 必要条件，则 m 的取值范围是 _________ •2 214、 已知命题p:方程2x ax a 0在 1,1上有解；命题q:只有一个实数 冷满足不等式 x 0 2ax ° 2a 0若命题p 或q”为假命题，则实数a 的取值范围为 _____________________222x 5x 60 15、设命题p ：实数x 满足x-3ax 2a <0，其中a >0 ,命题q ：实数x 满足2x 2x 8（1 ）若a 3且p q 为真，求实数x 的取值范围;（2）若「p 是「q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围A.充分不必要条件 C.充要条件9、已知命题P :对任意x 0 ,总有sin x x ;B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 命题q :直线h 的方程为ax 2y 10，直线l 2答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：•••全集U 1,234,5,6,7,8 ,集合 A 2,3,5,6 ,集合 B 1,3,4,6,7 ,••• e u B 2,5,8 ,则 A euB 2,5。
高考数学二轮复习 专题1 第1讲 集合与常用逻辑用语素能训练（文、理）一、选择题1．已知集合A ＝{x ||x －2|>1}，B ＝{x |y ＝x －1＋3－x }，那么有( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ⊆B C ．B ⊆A D ．A ＝B[答案] A[解析] 由|x －2|>1得x －2<－1，或x －2>1，即x <1，或x >3；由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥03－x ≥0得1≤x ≤3，因此A ＝{x |x <1，或x >3}，B ＝{x |1≤x ≤3}，所以A ∩B ＝∅，故选A.2．(2014·浙江文，2)设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A. 3．(2014·银川市一中二模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x －1x<0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合{x |x ≤0}等于( )A ．A ∩B B ．A ∪BC ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B ) [答案] D[解析] A ＝{x |0<x <1}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∪B ＝{x |x >0}，∴∁U (A ∪B )＝{x |x ≤0}，∴选D.4．(2013·天津理，4)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( ) A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③[答案] C[解析] 统计知识与直线和圆的位置关系的判断． 对于①，设球半径为R ，则V ＝43πR 3，r ＝12R ，∴V 1＝43π×(12R )3＝πR 36＝18V ，故①正确；对于②，两组数据的平均数相等，标准差一般不相等；对于③，圆心(0,0)，半径为22，圆心(0,0)到直线的距离d ＝22，故直线和圆相切，故①、③正确．5．(文)(2014·天津文，3)已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x>1，则¬p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x≤1 D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x≤1 [答案] B[解析] 由命题的否定只否定命题的结论及全称命题的否定为特称(存在性)命题，“>”的否定为“<”知选B.(理)已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1≤1”；命题q ：在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充分条件，则下列命题是真命题的是( )A ．p 且qB ．p 或¬qC ．¬p 且¬qD ．p 或q[答案] D[解析] p 为假命题，q 为真命题，∴p 且q 为假命题，p 或¬q 为假命题，¬p 且¬q 为假命题，p 或q 为真命题．6．(文)若集合A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )<0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 当a ＝1时，B ＝{x |－2<x <1}，∴A ∩B ＝∅，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分条件；当A ∩B ＝∅时，得a ≤2，则“a ＝1”不是“A ∩B ＝∅”的必要条件，故“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件．(理)(2013·沈阳模拟)已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x >a ，且¬p 是¬q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A．a≥1B．a≤1C．a≥－1 D．a≤－3[答案] A[解析] 条件p：x>1或x<－3，所以¬p：－3≤x≤1；条件q：x>a，所以¬q：x≤a，由于¬p是¬q的充分不必要条件，所以a≥1，故选A.7．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，定义集合A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则集合A×B中属于集合{(x，y)|log x y∈N}的元素个数是( )A．3 B．4C．8 D．9[答案] B[解析] 用列举法求解．由给出的定义得A×B＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log22＝1，log24＝2，log28＝3，log44＝1，因此，一共有4个元素，故选B.8．(文)(2014·湖南理，5)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(¬q)；④(¬p)∨q中，真命题是( )A．①③B．①④C．②③D．②④[答案] C[解析] 当x>y时，两边乘以－1可得－x<－y，所以命题p为真命题，当x＝1，y＝－2时，因为x2<y2，所以命题q为假命题，所以②③为真命题，故选C.(理)(2014·重庆理，6)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．¬p∧¬qC．¬p∧q D．p∧¬q[答案] D[解析] 命题p是真命题，命题q是假命题，所以选项D正确．判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．9．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数[分析] 根据四种命题的关系判定．[答案] B[解析] “若p则q”的否命题为“若¬p则¬q”，故选B.10．(2014·陕西理，8)原命题为“若z1、z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假[答案] B[解析] 若z1＝a＋b i，则z2＝a－b i.∴|z1|＝|z2|，故原命题正确、逆否命题正确．其逆命题为：若|z1|＝|z2|，则z1、z2互为共轭复数，若z1＝a＋b i，z2＝－a＋b i，则|z1|＝|z2|，而z1、z2不为共轭复数．∴逆命题为假，否命题也为假．二、填空题11．设p：xx－2<0，q：0<x<m，若p是q成立的充分不必要条件，则m的取值范围是________．[答案] (2，＋∞)[解析] 由xx－2<0得0<x<2，∵p是q成立的充分不必要条件，∴(0,2)(0，m)，∴m>2.12．设集合A＝{5，log2(a＋3)}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.[答案] {1,2,5}[解析] ∵A∩B＝{2}，∴2∈A，∴log2(a＋3)＝2，∴a＝1，∴b＝2，∴A∪B＝{1,2,5}.一、选择题13．(2014·哈三中一模)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，P＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，则集合P的元素个数为( )A．3 B．4C．5 D．6[答案] C[解析] 由题意知P＝{1,2,4,3,6}，∴选C.14．(文)已知集合A＝{(x，y)|y＝2x，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝2x，x∈R}，则A∩B的元素数目为( )A ．0B ．1C ．2D ．无穷多[答案] C[解析] 函数y ＝2x与y ＝2x 的图象的交点有2个，故选C.(理)设全集U ＝R ，集合M ＝{x |y ＝3－2x }，N ＝{y |y ＝3－2x}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |32<x ≤3}B ．{x |32<x <3}C ．{x |32≤x <2}D ．{x |32<x <2}[答案] B[解析] M ＝{x |x ≤32}，N ＝{x |x <3}，∴阴影部分N ∩(∁U M )＝{x |x <3}∩{x |x >32}＝{x |32<x <3}．15．(2013·重庆理，2)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0 B ．不存在x ∈R ，使得x 2<0 C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 [答案] D[解析] 根据全称命题的否定是特称命题，应选D.16．(文)(2013·西城区模拟)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，则“c <0”是“∃x 0∈R ，使f (x 0)<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] c <0时，f (0)＝c <0；当⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0c >0，即b 2>4c >0时，存在x 0∈R ，使f (x 0)<0，例如取b ＝3，c ＝1，此时，f (x )＝x 2＋3x ＋1＝(x ＋32)2－54，其最小值－54<0.故选A.(理)(2014·新课标Ⅰ理，9)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3[答案] C[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －2y ≤4表示的平面区域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A (2，－1)，∵目标函数u ＝x ＋2y 的斜率k ＝－12，∴当直线x ＋2y ＝u 过A 时，u 取最小值0. 故选项p 1，p 2正确，所以选C.17．(2014·辽宁理，5)设a 、b 、c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．p ∨(¬q )[答案] A[解析] 取a ＝c ＝(1,0)，b ＝(0,1)知，a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ≠0，∴命题p 为假命题；∵a ∥b ，b ∥c ，∴∃λ，μ∈R ，使a ＝λb ，b ＝μc ， ∴a ＝λμc ，∴a ∥c ，∴命题q 是真命题． ∴p ∨q 为真命题．18．已知命题p ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(2,3)D ．(2,4)[答案] A[解析] 由p 为假命题知，∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0恒成立，∴Δ＝4a 2－4a <0，∴0<a <1，故选A.19．设x 、y ∈R ，则“|x |≤4且|y |≤3”是“x 216＋y 29≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] “|x |≤4且|y |≤3”表示的平面区域M 为矩形区域，“x 216＋y 29≤1”表示的平面区域N 为椭圆x 216＋y 29＝1及其内部，显然N M ，故选B.20．(文)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x2－y ，若关于x 的不等式(x －a )⊗(x ＋1－a )>0的解集是集合{x |－2≤x ≤2}的子集，则实数a 的取值范围是( )A ．－2≤a ≤2B ．－1≤a ≤1C ．－2≤a ≤1D ．1≤a ≤2[答案] C[解析] 因为(x －a )⊗(x ＋1－a )>0，所以x －a1＋a －x>0，即a <x <a ＋1，则a ≥－2且a ＋1≤2，即－2≤a ≤1.(理)(2014·中原名校联考)下列命题正确的个数是( )①“在三角形ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ”的逆命题是真命题；②命题p ：x ≠2或y ≠3，命题q ：x ＋y ≠5则p 是q 的必要不充分条件；③“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”；④若随机变量x ～B (n ，p )，则DX ＝np .⑤回归分析中，回归方程可以是非线性方程．A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 为△ABC 外接圆半径)．∴①为真命题；∵x ＝2且y ＝3时，x ＋y ＝5成立，x ＋y ＝5时，x ＝2且y ＝3不成立，∴“x ＋y ＝5”是“x ＝2且y ＝3”的必要不充分条件，从而“x ≠2或y ≠3”是“x ＋y ≠5”的必要不充分条件，∴②为真命题；∵全称命题的否定是特称命题， ∴③为假命题；由二项分布的方差知④为假命题． ⑤显然为真命题，故选C. 二、填空题21．设p ：关于x 的不等式a x>1的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则a 的取值范围是________．[答案] (0，12]∪[1，＋∞)[解析] p 真时，0<a <1；q 真时，ax 2－x ＋a >0对x ∈R 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，即a >12.若p ∨q 为真，p ∧q 为假，则p 、q 应一真一假：①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12⇒0<a ≤12；②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a >12⇒a ≥1.综上，a ∈(0，12]∪[1，＋∞)．22．给出下列命题：①已知线性回归方程y ^＝3＋2x ，当变量x 增加2个单位，其预报值平均增加4个单位； ②在进制计算中，100(2)＝11(3)；③若ξ～N (3，σ2)，且P (0≤ξ≤3)＝0.4，则P (ξ<6)＝0.1；④“a ＝⎠⎛011－x 2dx”是“函数y ＝cos 2(ax)－sin 2(ax)的最小正周期为4”的充要条件；⑤设函数f(x)＝2014x ＋1＋20132014x＋1＋2014sin x(x∈[－π2，π2])的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝4027，其中正确命题的个数是________个．[答案] 4[解析] ①显然正确；100(2)＝1×22＋0×21＋0×20＝4,11(3)＝1×31＋1×30＝4，∴②正确；∵ξ<N(3，σ2)，∴P(ξ>6)＝12(1－2P(0≤ξ≤3))＝0.1，∴③错误；由数形结合法，依据定积分的几何意义得a ＝⎠⎛011－x 2dx ＝π4，y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ＝cos πx 2，最小正周期T ＝2ππ2＝4，∴④正确．设a ＝2014，则f(x)＝ax ＋1＋a －1a x＋1＋a sin x ＝a ＋a sin x －1a x ＋1，易知f(x)在[－π2，π2]上单调递增，∴M＋N ＝f(π2)＋f(－π2)＝2a －1a π2＋1－1a －π2＋1＝2a －1a π2＋1－a π21＋aπ2＝2a －1＝4027，∴⑤正确．。
