2019-2020学年海南省海口市琼山区海南中学高二上学期期末数学试题一、单选题 1．11ii+=- A ．-1 B ．i -C ．1D ．i【答案】D【解析】根据复数的除法运算，可直接得出结果. 【详解】21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+. 故选D本题主要考查复数的除法运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型. 2．已知函数()xf x e =，则()f x '=（ ）A ．1xB ．x eC ．ln xD ．1x xe -【答案】B【解析】根据基本初等函数的导数公式可得出结果. 【详解】()x f x e =Q ，()x f x e '∴=.故选：B.本题考查导数的计算，熟悉基本初等函数的导数公式是计算的关键，考查计算能力，属于基础题.3．简单随机抽样、分层抽样的共同点是（ ） A ．都是从总体中逐个抽取B ．都包含抽签法和随机数表法C ．抽样过程中每个个体被抽取的机会相同D ．都是将总体分成几层，分层进行抽取 【答案】C【解析】分析出简单随机抽样和分层抽样的特点，从而可得出这两种抽样方法的共同点. 【详解】简单随机抽样是从总体中逐个抽取，包含抽签法和随机数表法，而且抽样过程中每个个体被抽取的机会相同；分层抽样是将总体分成几层，再抽取，抽样过程中每个个体被抽取的机会相同. 因此，简单随机抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相同. 故选：C.本题主要考查了简单随机抽样、分层抽样的共同点，弄清这两种抽样方法各自的特点是解题的关键，属于容易题． 4．设函数()2f x x ax =+，且()()11lim1x f x f x∆→+∆-=∆，则a =（ ）A ．23- B ．32- C ．1D ．1-【答案】D【解析】根据()01(1)lim 1x f x f x∆→+∆-=∆得出关于a 的等式，即可解出实数a 的值.【详解】()2f x x ax =+Q ，则()()()()()()()22111112f x f x a x a x a x ⎡⎤+∆-=+∆++∆-+=∆++∆⎣⎦，所以，()()0011(1)lim li 22m x x f a x f xx a ∆→∆→∆∆++=+=⎡⎤⎣⎦+-=∆，解得1a =-. 故选：D.本题考查导数的计算，考查计算能力，属于基础题.5．两个学校1W 、2W 开展节能活动，活动开始后两学校的用电量()1W t 、()2W t 与时间t （天）的关系如图所示，则一定有（ ）A ．1W 比2W 节能效果好B ．1W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率比2W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率大C ．两学校节能效果一样好D ．1W 与2W 自节能以来用电量总是一样大 【答案】A【解析】根据两函数切线斜率的变化以及切线斜率的几何意义、平均变化率的定义对各选项的正误进行判断，可得出正确选项. 【详解】由图象可知，对任意的()100,t t ∈，曲线()1W t W =在1t t =处的切线比曲线()2W t W =在1t t =处的切线要“陡”，所以，1W 比2W 节能效果好，A 正确，C 错误； 由图象可知，()()()()1012020000W t W W t W t t --<，则1W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率比2W 的用电量在[]00,t 上的平均变化率要小，B 选项错误； 由于曲线()1W t W =和曲线()2W t W =不重合，D 选项错误. 故选：A.本题考查切线斜率的实际应用，要理解瞬时变化率与切线斜率之间的关系，同时也要理解平均变化率的定义，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.6．在直角坐标系中，设O 为原点，M 为任意一点.定义：质点M 的位置向量OM u u u u r关于时间的函数叫做质点M 的运动方程.已知质点M 的运动方程()()2,5r t t t =-u u u u r，则质点M 在1t =时刻的瞬时速度为（ ） A ．()1,10- BC ．10D ．5【答案】A【解析】设()25f t t =-，利用导数的定义计算出()()11limt f t f t∆→+∆-∆，即可得出答案. 【详解】设()25f t t =-，()()()()2211515510f t f t t t +∆-=-+∆+=-∆-∆，所以，()()()0011limlim 51010t t f t f t t∆→∆→+∆-=-∆-=-∆， 因此，质点M 在1t =时刻的瞬时速度为()1,10-. 故选：A.本题考查瞬时速度的计算，考查导数定义的应用，考查计算能力，属于基础题. 7．已知()322648f x x ax bx a =+++的一个极值点为2-，且()20f -=，则a 、b 的值分别为（ ）A ．1a =、3b =B ．3a =、15b =C ．1a =-、9b =-D ．2a =、9b =【答案】D【解析】根据题意得出()()2020f f ⎧-=⎪⎨-='⎪⎩，可得出关于实数a 、b 的方程组，解出这两个量的值，然后再对函数()y f x =在2x =-处是否取到极值进行检验，可得出结果. 【详解】()322648f x x ax bx a =+++Q ，()23124f x x ax b '∴=++，由题意得()()221224402824880f a b f a a b ⎧-=-+=⎪⎨-=+--='⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩. 当1a =，3b =，则()()2231212320f x x x x '=++=+≥， 此时，函数()y f x =在R 上单调递增，无极值；当2a =，9b =时，()()()232436326f x x x x x '=++=++，若62x -<<-，()0f x '<，若2x >-，则()0f x '>， 此时，函数()y f x =在2x =-处取得极小值，合乎题意. 故选：D.本题考查利用极值点求参数，在求出参数值时，不要忽略了检验导数零点附近导数符号的变化，考查运算求解能力，属于中等题. 8．已知函数()2ln af x x x=-+若存在00x >，使得()00f x ≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≥ B ．a e ≤C ．1a ≤D ．3a ≥【答案】B【解析】由参变量分离法知：存在0x >，使得2ln a x x x ≤-成立，构造函数()2ln g x x x x =-，利用导数求出函数()y g x =的最大值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】 令()2ln 0af x x x=-+≤，得2ln a x x x ≤-， 由题意知，存在0x >，使得2ln a x x x ≤-成立， 构造函数()2ln g x x x x =-，其中0x >.则()max a g x ≤，()()21ln 1ln g x x x '=-+=-Q ，令()0g x '=，得x e =，列表如下：所以，函数()y g x =在x e =处取得极大值，亦即最大值，即()()max g x g e e ==， 因此，a e ≤. 故选：B.本题考查利用导数研究函数不等式能成立问题，在含单参数的函数不等式问题中，可利用参变量分离法进行求解，考查计算能力，属于中等题.二、多选题9．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ） A ．20z ³B ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =【答案】CD【解析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，取z i =，则210z =-<，A 选项错误； 对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题.10．甲、乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图，甲、乙两组数据的平均值分别为x 甲､x 乙，则（ ）A ．每次考试甲的成绩都比乙的成绩高B ．甲的成绩比乙稳定C ．x 甲一定大于x 乙D ．甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差【答案】BC【解析】根据图象可判断A 选项的正误；根据甲、乙两组数据的波动幅度大小可判断B 选项的正误；根据图象判断甲、乙两组数据估计平均数的分布，可判断C 选项的正误；根据图象判断甲、乙两组数据极差的大小关系，可判断出D 选项的正误.由此可得出结论. 【详解】对于A 选项，第二次月考，乙的成绩比甲的成绩要高，A 选项错误；对于B 选项，甲组数据比乙组数据的波动幅度要小，甲的成绩比乙稳定，B 选项正确； 对于C 选项，根据图象可估计出()90,120x ∈甲，()60,90x ∈乙，x 甲一定大于x 乙，C 选项正确；对于D 选项，根据图象可知甲的成绩的极差比乙的成绩的极差小，D 选项错误. 故选：BC.本题考查了折线图的简单应用，考查分析图象的能力，属于基础题.11．将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD【解析】根据函数的单调性与导函数符号之间的关系判断各选项中()y f x =和()y f x '=的图象是否合乎要求，同时也要注意特殊点处的导数值作为切线的斜率，由此可得出结论. 【详解】对于A 选项，由函数()y f x '=的图象可知，()00f '=，但函数()y f x =在0x =处的切线斜率不存在，不合乎题意；对于B 选项，由函数()y f x '=的图象可知，函数()y f x =存在增区间，但B 选项的图中，函数()y f x =为减函数，不合乎题意；对于C 选项，由函数()y f x '=的图象可知，函数()y f x =在R 上为增函数，合乎题意；对于D 选项，由函数()y f x '=的图象可知，函数()y f x =有两个单调区间，但D 选项的图中，函数()y f x =有三个单调区间，不合乎题意. 故选：ABD.本题考查函数与导函数图象之间的关系，在判断时要注意导函数符号与函数单调性之间的联系，考查推理能力，属于中等题. 12．已知函数()xf x e =，()1ln22x g x =+的图象与直线y m =分别交于A 、B 两点，则（ ）A ．AB 的最小值为2ln2+B ．m ∃使得曲线()f x 在A 处的切线平行于曲线()g x 在B 处的切线C ．函数()()f x g x m -+至少存在一个零点D ．m ∃使得曲线()f x 在点A 处的切线也是曲线()g x 的切线 【答案】ABD【解析】求出A 、B 两点的坐标，得出AB 关于m 的函数表达式，利用导数求出AB的最小值，即可判断出A 选项的正误；解方程()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误.进而得出结论. 【详解】令()xf x e m ==，得ln x m =，令()1ln22x g x m =+=，得122m x e -=， 则点()ln ,A m m 、122,m B e m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，如下图所示：由图象可知，122ln m AB e m -=-，其中0m >，令()122ln m h m em -=-，则()1212m h m em-'=-，则函数()y h m '=单调递增，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当102m <<时，()0h m ¢<，当12m >时，()0h m ¢>.所以，函数()122ln m h m em -=-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增， 所以，min 112ln 2ln 222AB h ⎛⎫==-=+⎪⎝⎭，A 选项正确； ()x f x e =Q ，()1ln 22x g x =+，则()x f x e '=，()1g x x '=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()ln f m m '=，曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为1212122m m g e e --⎛⎫'= ⎪⎝⎭，令()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，即1212m m e -=，即1221m me -=， 则12m =满足方程1221m me -=，所以，m ∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数()()()1ln22xx F x f x g x m e m =-+=-+-，可得()1x F x e x'=-， 函数()1xF x e x '=-在()0,∞+上为增函数，由于120F e ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()110F e -'=>，则存在1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10tF t e t '=-=，可得ln t t =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>.()()min 1111ln ln ln 2ln 22222t t t F x F t e m e t m t m t ∴==-+-=-++-=+++-13ln 2ln 2022m m >+-=++>，所以，函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项错误；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ， 则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()ln ln my m ex m -=-，即()1ln y mx m m =+-，同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为11ln 22n y x n =+-， 所以，()111ln ln 22m nn m m ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得()11ln ln 202m m m --++=，令()()11ln ln 22G x x x x =--++，则()111ln ln x G x x x x x-'=--=-， 函数()y G x '=在()0,∞+上为减函数，()110G '=>Q ，()12ln 202G '=-<，则存在()1,2s ∈，使得()1ln 0G s s s'=-=，且1s s e =.当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<.所以，函数()y G x =在()2,+∞上为减函数，()5202G =>Q ，()17820ln 202G =-<， 由零点存在定理知，函数()y G x =在()2,+∞上有零点， 即方程()11ln ln 202m m m --++=有解.所以，m ∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线. 故选：ABD.本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，属于难题.三、填空题13．已知1x 、2x 、…、10x 的平均值为10，方差为2，则121x -、221x -、…、1021x -的平均值为______，方差为______. 【答案】19 8【解析】由已知条件得出10111010i i x ==∑，()1021110210i i x =-=∑，利用平均数和方差公式即可计算出新数据的平均数和方差. 【详解】由已知条件，10111010i i x ==∑，()1021110210ii x =-=∑， 所以，121x -、221x -、…、1021x -的平均值为()1010111121212101191010i i i i x x x ===-=⨯-=⨯-=∑∑，方差为()()()101010222211111121192204108101010i i i i i i S x x x ====--=-=⨯-=⎡⎤⎣⎦∑∑∑. 故答案为：19；8.本题考查平均数和方差的计算，考查平均数和方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.14．设函数()f x 在()0,∞+内可导，其导函数为()f x '，且()ln f x 在x e =处的导数为21e，则()1f '=______. 【答案】1e【解析】设()()ln g x f x =，利用复合函数的求导法则可得()()1ln g x f x x''=，再由()21g e e '=可计算出()1f '的值. 【详解】设()()ln g x f x =，由复合函数的求导法则可得()()1ln g x f x x''=， 由题意可得()()2111g e f e e ''==，解得()11f e'=. 故答案为：1e. 本题考查导数的计算，涉及复合函数的导数，考查计算能力，属于基础题.15．已知棱柱的底面为等边三角形，侧棱与底面垂直，其体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为______.【解析】设正三棱柱的底面边长为x ，求出三棱柱的高，由此可得出其表面积()S f x =的表达式，利用导数求出函数()S f x =的极小值点，即为所求. 【详解】设正三棱柱的底面边长为x2=所以，该正三棱柱的表面积()222342S f x x x x x ==⨯+=+，0x >，())324x V f x x -'==，令()0f x '=，得x =当0x <<时，()0f x '<；当x >()0f x '>.因此，当x =()S f x =取得最小值..本题考查导数的实际应用，解题的关键就是求出函数解析式，考查运算求解能力，属于中等题.16．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，定义：设()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()f x 的拐点.某同学经过探索发现任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122020202120212021g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______；()20201112021i i i g -=⎛⎫'= ⎝-⎪⎭∑______. 【答案】2020 0【解析】利用二阶导数求出三次函数()y g x =的拐点，进而可得出三次函数()y g x =图象的对称中心坐标，由此可计算出122020202120212021g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭以及()20201120211i i i g -=⎛⎫' ⎪⎝-⎭∑的值.【详解】()3211533212g x x x x =-+-Q ，()23g x x x '∴=-+，()21g x x ''=-，令()0g x ''=，得12x =，又112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以，三次函数()y g x =图象的对称中心坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，即()()12g x g x +-=，所以，122020101022020202120212021g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2221212212112021202120212021n n n n n n g g g g ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q 222212122202243320212021202120212021n n n n n ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫=-+--+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因此，()()()202010102211121212111202120220211n n i i n g n n g i g =--=--⎛⎫⎛⎫''-⎡-+-⎢ ⎤⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭⎛⎫'= ⎪⎥⎝⎣⎦∑∑()1010221101011010202210104202242020212021n n =⨯+⨯-⨯-===∑. 故答案为：2020；0.本题考查新定义“拐点”的应用，涉及三次函数的对称中心以及等差数列求和问题，考查计算能力，属于难题.四、解答题17．已知复数()()()21z m m m i m R =-+-∈.（1）若z 为实数，求m 值； （2）若z 为纯虚数，求m 值；（3）若复数z 对应的点在第一象限，求m 的范围. 【答案】（1）1m =；（2）0m =；（3）()1,+∞.【解析】（1）由题意得出复数z 的虚部为零，由此可解出实数m 的值； （2）由题意得出复数z 的实部为零，虚部不为零，由此可解出实数m 的值； （3）由题意得知复数z 的实部与虚部都为正数，可得出关于实数m 的不等式组，解出即可. 【详解】（1）Q 复数()()21z m m m i =-+-为实数，则10m -=，解得1m =；（2）Q 复数()()21z m m m i =-+-为纯虚数，则2010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得0m =；（3）Q 复数z 对应的点在第一象限，则2010m m m ⎧->⎨->⎩，解得1m >.因此，实数m 的取值范围是()1,+∞.本题考查利用复数的类型和几何意义求参数，考查计算能力，属于基础题. 18．已知函数()33f x x x =-.（1）求曲线()f x 在0x =处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间与极值.【答案】（1）3y x =-；（2）增区间(),1-∞-，()1,+∞，减区间()1,1-，函数()y f x =的极大值为2，极小值为2-.【解析】（1）求出()0f 和()0f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）求出函数()y f x =的极值点，列表分析函数()y f x =的单调性以及导数符号的变化，即可得出函数()y f x =的单调区间和极值. 【详解】（1）()33f x x x =-Q ，()233f x x '∴=-，则()00f =，()03f '=-.因此，曲线()y f x =在0x =处的切线方程为3y x =-； （2）令()2330f x x '=-=，得1x =±，列表如下：x(),1-∞-1-()1,1-1()1,+∞()f x '+-+()f xZ极大值 ]极小值Z所以，函数()y f x =的增区间为(),1-∞-，()1,+∞，减区间()1,1-， 极大值为()12f -=，极小值为()12f =.本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的单调区间和极值，考查计算能力，属于基础题.19．从海中高二年级某次数学周考成绩中抽取一个容量为100的样本，制成频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100.（1）求图中a 的值；（2）求样本中成绩落在区间[)60,70中的学生人数；（3）根据频率分布直方图，估计高二年级此次周考成绩的众数、中位数、平均分、方差.（精确到整数）【答案】（1）0.005a =；（2）40；（3）众数65，中位数72，平均数73，方差96. 【解析】（1）由频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可求出a 的值； （2）用区间[)60,70对应的矩形面积乘以100可得出结果；（3）由最高矩形底边的中点值作为众数，设中位数为m ，利用直线x m =左边矩形面积之和为0.5求出中位数，将每个矩形底边中点值乘以相应的矩形面积，再将所得的积全部相加可得出平均数，利用方差公式可计算出方差. 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1， 所以，()20.020.030.04101a +++⨯=，解得0.005a =；（2）由题意可知，样本中成绩落在区间[)60,70中的学生人数为100100.0440⨯⨯=； （3）由频率分布直方图可知，高二年级此次周考成绩的众数为65，设中位数为m ，前两个矩形的面积之和为()0.0050.04100.45+⨯=，前三个矩形的面积之和为()0.0050.040.03100.75++⨯=，所以，()70,80m ∈， 则()0.45700.030.5m +-⨯=，解得72m ≈， 高二年级此次周考成绩的平均分为550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，方差为()()()()()2222255730.0565730.475730.385730.295730.05-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯96=.本题考查频率分布直方图的应用，考查频率分布直方图矩形面积和、频数的计算以及众数、中位数、平均数、方差的计算，考查计算能力，属于基础题. 20．设函数()321132a f x x x ax m +=-++ （1）已知()f x 在区间()1,3上单调递减，在区间()6,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.（2）若对任意的[]3,6a ∈，不等式()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）[]3,6；（2）11,6⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【解析】（1）求得导数()()()1f x x a x '=--，然后分1a ≤和1a >两种情况讨论，结合题意可得出实数a 的取值范围；（2）由（1）中的结论可知，函数()y f x =在区间[)2,1-上单调递增，在区间(]1,2上单调递减，由题意可得出()()max 11f x f =≤，结合[]3,6a ∈可求得实数m 的取值范围. 【详解】（1）()321132a f x x x ax m +=-++Q ，x ∈R ， ()()()()211f x x a x a x a x '=+=--+-，令()0f x '=，得x a =或1x =.①当1a ≤时，任意的1x >，()0f x '>，此时函数()y f x =在区间()1,+∞上单调递增，不合乎题意； ②当1a >时，列表如下：所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),1-∞和(),a +∞，单调递减区间为()1,a . 由于函数()y f x =在区间()1,3上单调递减，在区间()6,+∞上单调递增，则()()()()1,31,6,,a a ⎧⊆⎪⎨+∞⊆+∞⎪⎩，所以，36a ≤≤.因此，实数a 的取值范围是[]3,6；（2）当[]3,6a ∈时，由（1）可知，函数()y f x =在区间[)2,1-上单调递增，在区间(]1,2上单调递减.∴当[]2,2x ∈-时，()()max 11126a f x f m ==-+≤对任意的[]3,6a ∈恒成立. 762m a ∴≤-，[]3,6a ∈，116m ∴≤-. 因此，实数m 的取值范围是11,6⎛⎤-∞-⎥⎝⎦. 本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了利用导数研究不等式恒成立问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 21．已知()()4431sin cos 30443x x f x x xf '=-++. （1）求()0f '； （2）设()21sin 22xg x x =+，求证：()g x 在(),0-∞内有且只有一个零点；（3）求证：当0x >时，()1f x >-.【答案】（1）()00f '=；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）利用平方差公式和二倍角余弦公式可得出()()31cos 3023x f x x xf '=-++，求导，将0x =代入导函数的解析式，可得出关于()0f '的方程，即可解出()0f '的值；（2）利用导数分析函数()y g x =在区间(),0-∞上的单调性，结合零点存在定理可证明出结论成立；（3）分析出函数()y f x =在区间()0,∞+上为增函数，由()()0f x f >可证明出不等式成立. 【详解】 （1）()()()22223311sin cos sin cos 3030cos4444332x x x x x f x x xf x xf ⎛⎫⎛⎫''=-+++=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ，()()2130sin 22xf x x f ''∴=++，()()030f f ''∴=，解得()00f '=；（2）()21sin 22x g x x =+Q ，x ∈R ，()1cos 242x g x x '∴=+，x ∈R ，()12sin 082xg x ''=->，x ∈R ，∴函数()y g x '=在R 上单调递增.()1004g '=>Q ，()111cos 2042g ⎛⎫'-=--< ⎪⎝⎭，所以，()01,0x ∃∈-使得()00g x '=，列表如下：()()000g x g <=Q ，()1111sin 022g -=->，()101,x x ∴∃∈-使()10g x =，当()0,0x x ∈时，函数()y g x =单调递增，此时，()()00g x g <=.因此，函数()y g x =在(),0-∞内有且只有一个零点；（3）由于函数()y g x '=在R 上单调递增，则当0x >时，()()1004g x g ''>=>， 所以，函数()()21sin 22xf x xg x '=+=在()0,∞+单调递增. ()()()00f x g x g '∴=>=，∴函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，当0x >时，()()01f x f >=-.本题考查导数值的计算，同时也考查了利用导数研究函数的零点问题以及证明不等式，解题时要结合导数分析函数的单调性，在求解零点问题时，可以结合零点存在定理来分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 22．设函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-，其中a 为实数. （1）当12a ≤-时，求()f x 在区间[]0,1上的最小值； （2）求证：12020220212020e ⎛⎫> ⎪⎝⎭.【答案】（1）0；（2）证明见解析.【解析】（1）利用导数分析函数()y f x =在区间[]0,1上的单调性，由此可求出函数()y f x =区间[]0,1上的最小值；（2）取12a =-，由（1）可知()0f x ≥对任意的[]0,1x ∈恒成立，由10f n ⎛⎫> ⎪⎝⎭得出1211n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭，再令2020n =即可得出所证不等式成立.【详解】（1）函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-Q ，()()1ln 111axf x a x x -'∴=-++-+， 则()()()()()221121111a x ax a ax a f x x x x -+--++''=-+=-+++， 当12a ≤-时，210a a+-≤，又[]0,1x ∈Q ，()0f x ''∴≥， 那么函数()y f x '=在[]0,1上单调递增，()()min 00f x f ''∴==，即()0f x '≥， 所以函数()y f x =在[]0,1上单调递增，()()min 00f x f ∴==, 故得当12a ≤-时，函数()y f x =在区间[]0,1上的最小值为0；（2）根据（1）可知：当12a =-时，()0f x ≥对任意的[]0,1x ∈恒成立， 此时()()11ln 12f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，取[]10,1x n=∈， 则对任意正整数n 都有11111ln 102f n n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即11ln 112n n ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得1211n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭恒成立，令2020n =得12020220212020e ⎛⎫> ⎪⎝⎭.本题考查利用导数求函数在区间上的最值，同时也考查了利用导数证明函数不等式，解题时要充分利用导数来研究函数的单调性，并注意每一问的结论对后一问的提示，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.。
