沪教版数学初一上册30.十字相乘法及分组分解法(提高)知识讲解(1)

十字相乘法及分组分解法（基础）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】【十字相乘法及分组分解法 知识要点】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x b x c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点四：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法1、将下列各式分解因式：（1）； （2）21016x x -+； （3）2310x x -- 【答案与解析】 解：（1）因为78x x x -=-所以：原式＝()()78x x +-（2）因为2810x x x --=-所以：原式＝()()28x x --（3）()()()2210331052x x x x x x --=-+-=-+- 【总结升华】常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号. 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.举一反三：【 十字相乘法及分组分解法 例1】【变式1】分解因式：（1）1072++x x ； （2）822--x x ； （3）2718x x --+【答案】解：（1）()()271025x x x x ++=++ （2） ()()22842x x x x --=-+ （3） ()()22718(718)29x x x x x x --+=-+-=--+ 【变式2】（优质试题春•苏州期末）因式分解：m 2n ﹣5mn+6n.【答案】解：m 2n ﹣5mn+6n=n （m 2﹣5m+6）=n （m ﹣2）（m ﹣3）.【十字相乘法及分组分解法 例1】2、将下列各式分解因式：（1）22355x x +-； （2）25166x x ++ （3）22616x xy y --； （4）. 【思路点拨】（3）题216y -可看成常数项，21682,826y y y y y y -=-⨯-+=-.（4）题可将()2x +看成一个整体来分解因式.【答案与解析】解：（1）22355x x +-=()315x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭； （2）251116623x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （3）()()2261682x xy y x y x y --=-+；（4）因为()()()25242292x x x -+-+=-+所以：原式()()225522x x =+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2158x x =-+【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.注意观察式子结构，能够看作整体的看作整体.举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）21136x x -+； （2）251124a a --； （3）10722+-xy y x ； （4）()()342++-+b a b a .【答案】解： （1）22111121366332x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）2513112443a a a a ⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （3）()()2271025x y xy xy xy -+=--； （4）()()()()24313a b a b a b a b +-++=+-+-.3、将下列各式分解因式：（1）；（2）【答案与解析】解：（1）因为 91019y y y +=所以：原式＝()()2335y y ++（2）因为21183x x x -=所以：原式＝()()2379x x +-【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.举一反三：【变式】分解因式：（1）2314x x +-；（2）2344x x --+；（3）2631105x x +-；【答案】解：（1）()()22314341311x x x x x x +-=-+=--；（2）()()223444432123x x x x x x --+=--=+-；（3）()()263110521537x x x x +-=+-.类型二、分组分解法4、（优质试题春•重庆校级期中）先阅读下列材料，然后回答后面问题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ）=a （x+y ）+b （x+y ）=（x+y ）（a+b ）如“3+1”分法：2xy+y 2﹣1+x 2=x 2+2xy+y 2﹣1=（x+y ）2﹣1=（x+y+1）（x+y ﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：45am 2﹣20ax 2+20axy ﹣5ay 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b ﹣b ﹣4ab+1．【思路点拨】（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可；（2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可；（3）重新分组利用完全平方公式分解因式得出即可．【答案与解析】解：（1）x 2﹣y 2﹣x ﹣y=（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；（2）45am 2﹣20ax 2+20axy ﹣5ay 2=45am 2﹣5a （4x 2﹣4xy+y 2）=5a[9m 2﹣（2x ﹣y ）2]=5a （3m ﹣2x+y ）（3m+2x ﹣y ）；（3）4a 2+4a ﹣4a 2b ﹣b ﹣4ab+1=（4a 2+4a+1）﹣b （4a 2+4a+1）。

沪教版七年级数学上册的知识点总结第九章整式第一节整式的概念9.1 字母表示数字母可以表示任意的数或符合某种条件的某个数，还可以表示具有某种规律的数，甚至可以表示特定意义的公式。

在省略乘号时，要把数字写在字母前面，×用•来代替。

例如，2×a 写成2a，除法运算要用分数线来表示。

例如，C÷2r要写成C/2r。

9.2 代数式代数式是由运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子。

单独的一个数或者一个字母也是代数式。

例如，a。

等号和不等号都不属于运算符号，所以它们都不是代数式。

9.3 代数式的值代数式的值是用数值代替代数式里的字母，按代数式中的运算关系计算得出的结果。

如果代数式中省略乘号，代入后要添上“×”。

如果字母的取值是分数，做乘方运算时要加上括号。

例如，(C/2r)²。

如果字母的取值是负数，代入后也要加上括号。

如果代数式表示的是一个具体的实际问题，那么不能使代数式失去实际意义。

例如，某班有a人，则a必须是正整数。

求代数式的值的步骤：(1) 代入数值；(2) 计算出结果。

9.4 整式一、单项式单项式是由数与字母的积或者字母与字母的积所组成的代数式。

例如，a。

单项式的系数是单项式中的数字因数。

例如，5m。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

例如，x²y³。

注意：单项式中不能含有加减运算。

如果分母中含有字母，也算单项式。

二、多项式多项式是由单项式相加或相减而成的代数式。

例如，3x²+2y-5.多项式中次数最高的单项式的次数叫做多项式的次数。

例如，2x³+5x²y-3xy²+4y³的次数是3.多项式是由几个单项式相加而成的代数式。

其中，每个单项式称为多项式的项，不含字母的项称为常数项。

多项式的次数是指最高次项的次数，而一个多项式中的最高次项可能不止一个。

每个项都要带上前面的符号和系数。

知识点五用十字相乘法进行因式分解1.二次三项式多项式ax2+bx+c，称为关于x的二次三项式，其中ax2为二次项，bx为一次项，c为常数项.例如，x2−2x−3和x2+5x+6都是关于x的二次三项式.十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法.[提醒](1)在多项式x2−6xy+8y2中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式，如果把x看做常数，就是关于y的二次三项式；(2)在多项式2a2b2−7ab+3中，把ab看作一个整体，即2(ab)2−7(ab)+3，就是关于ab的二次三项式.同样，多项式(x+y)2−7(x+y)+12，把x+y看作一个整体，就是关于x+y的二次三项式.2.十字相乘法借助十字线分解二次三项式ax2+bx+c的系数和常数项，十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘后相加等于一次项系数，再写成两个二项式积的形式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法.利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax+b)(cx+d)竖式乘法法则.它的一般规律是：(1)对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q，如果能把常数项q分解成两个因数a、b 的积，并且a+b为一次项系数p，那么它就可以运用公式x2+(a+b)2+ab=(x+a)(x+b)分解因式.这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”.公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式.当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.(2)对于二次项系数不为1的二次三项式ax2+bx+c，如果存在4个整数a1，a2，c1，c2，使a1a2=a，c1c2=c，且a1c2+a2c1=b，那么ax2+bx+c=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2).它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定4个常数，分析和尝试都比二次项系数1的情况复杂.因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定.学习时要注意符号的规律.当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同.[提醒](1)用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母，如5 x2+6xy−8y2=(x+2)(5x−4)；(2)十字相乘法实质是二项式乘法的逆过程，注意各项系数的符号.知识点六用分组分解法进行因式分解通过对多项式进行适当的分组，使其符合提公因式法或公式法的结构形式后进行分解，这种分解因式的方法叫做分组分解法，如ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y).[提醒](1)分组分解法主要应用于四项及以上的多项式的因式分解；(2)四项式一般分为“2+2”式或“3+1”式，后者通常得到(a±b)2−c2或c2−(a±b)2的形式，再用平方差公式分解；五项式一般采用“3+2”式；六项式一般采用“3+3”式或“3+2+1”式或“2+2+2”式；(3)如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，统筹思考，通过适当练习，总结规律，掌握分组的技巧.。

第17讲分组分解法因式分解（五大题型）学习目标1、会用分组分解法进行因式分解；2、尝试不同的分组方式进行因式分解3、掌握分组分解法的应用一、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式二、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【即学即练1】因式分解：27321x y xy x -+-．【答案】(7)(3)x y x +-【分析】先将多项式进行分组，然后分别进行因式分解即可．【解析】解：27321x y xy x-+-2(7)(321)x xy y x =++-(7)3(7)x x y x y =+-+(7)(3)x y x =+-．【点睛】本题考查了分组分解法因式分解．正确将多项式进行分组是解题的关键．【即学即练2】分解因式：221x ax x ax a +++--．【答案】2(1)(1)a x x ++-【分析】先将原式进行分组，再提公因式分解因式即可.【解析】221x ax x ax a+++--22()()(1)x ax x ax a =+++-+2(1)(1)(1)x a x a a =+++-+2(1)(1)a x x =++-．【点睛】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．熟练掌握分解因式的方法是解题的关键.【即学即练3】分解因式：2222ac bd ad bc +--．【答案】()()()c d c d a b -+-【分析】进行分组，对各组进行提取公因式，再用公式法进行分解，最后检查分解是否彻底，即可求解．【解析】解：原式()()2222ac ad bd bc =-+-，2222()()a c d b d c =-+-，22()()c d a b =--，()()()c d c d a b =-+-．【点睛】本题考查了分组分解方法，以及平方差公式的运用，掌握方法是解题的关键．【即学即练4】分解因式：()()2221ab x x a b +++．【答案】()()ax b bx a ++【分析】先利用整式乘法法则展开计算，重新分组可得()()222abx a x ab b x +++，然后利用提公因式法可得()()ax bx a b a bx +++，再利用提公因式法可得()()ax b bx a =++．【解析】原式222abx ab a x b x=+++()()222abx a x ab b x =+++()()ax bx a b a bx =+++()()ax b bx a =++．【点睛】本题考查提公因式法及分组法因式分解，正确找出公因式是解题关键．【即学即练5】已知3a b -=，4b c -=-，则代数式()2a acb ac ---的值是．【答案】-3【分析】先根据3a b -=，4b c -=-，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可.【解析】∵3a b -=，4b c -=-，∴a-c=-1，∴()2a acb ac ---=()()a a c b a c ---=()()a c a b --=13-⨯=-3，故答案为：-3.【点睛】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键.题型1：因式分解—分组分解法【典例1】．因式分解：221x x --=.【答案】()()121x x -+【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用分组法进行因式分解成为解题的关键.将221x x --分成()()221x x x -+-，然后各组分别因式分解，最后提取公因式即可.【解析】解：221x x --()()221x x x =-+-()()()111x x x x =-++-()()11x x x =-++()()121x x =-+故答案为：()()121x x -+【典例2】．分解因式：2221x x y -+-=．【答案】()()11x y x y -+--【分析】本题考查分组分解法分解因式．熟练掌握掌握分组分解法分解因式是解题的关键．先前三项分一组，用完全正确平方公式分解，再用平方差公式分解即可．【解析】解：原式()2221x x y=-+-()221x y =--()()11x y x y =-+--．故答案为：()()11x y x y -+--．【典例3】．因式分解：()2224x xy y ---=【答案】(2)(2)x y x y -+--【分析】本题主要考查运用分组分解法和公式法分解因式，原式先去括号，再运用公式法进行因式分解即可【解析】解：()2224x xy y---222+4x xy y =--()24x y =--(2)(2)x y x y =-+--故答案为：(2)(2)x y x y -+--【典例4】．因式分解：293m n n m -+-=．【答案】()()313mn n m +--【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【解析】解：293m n n m-+-()()293n m m =---()()()333n m m m =+---()()313n m m =+--⎡⎤⎣⎦()()313mn n m =+--，故答案为：()()313mn n m +--．【典例5】．因式分解：am an bm bn +--=．【答案】()()m n a b +-【分析】本题考查了因式分解，先运用分解分组法，得()()am an bm bn +-+，再进行提公因式，得()()a m n b m n +-+，即可作答．【解析】解：am an bm bn+--()()am an bm bn =+-+()()a m n b m n =+-+()()m n a b =+-故答案为：()()m n a b +-．【典例6】．因式分解：2222a b a b ---=【答案】()()2a b a b +--【分析】前两项利用平方差公式分解，将后两项组合，即可求解．【解析】解：()()()()()222222a b a b a b a b a b a b a b ---=+--+=+--故答案为：()()2a b a b +--【点睛】本题考查因式分解．掌握平方差公式，正确的分组分解是解题关键．【典例7】．分解因式：5322x x x +--．【答案】()()4321332x x x x x -++++【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用分组法成为解题的关键．先将5322x x x +--分组成()()5322x x x -+-，然后再运用提取公因式、公式法求解即可．【解析】解：5322x x x +--()()5322x x x =-+-()()342x x x =-1+-1()()()()()22111211x x x x x x x =-+++-++()()43221222x x x x x x x =-++++++()()4321332x x x x x =-++++．【典例8】．分解因式：22243x x y y ----．【答案】()()13x y x y ++--【分析】本题主要考查了分解因式，熟知乘法公式是解题的关键．将原式变形为222114434x x y y -+-----+，再利用完全平方公式和平方差公式即可求解．【解析】解：22243x x y y ----222114434x x y y =-+-----+()()2212x y =--+()()13x y x y =++--．【典例9】．分解因式：(1)322344a b a b ab -+(2)x xy y --+22444【答案】(1)()22ab a b -(2)()()2222x y x y -+--【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握乘法公式是解题的关键．（1）先提公因式，然后再运用完全平方公式继续分解；（2）采用分组分解法分解即可．【解析】（1）解：322344a b a b ab -+()2244ab a ab b =-+()22ab a b =-；（2）x xy y --+2244422444x xy y =-+-()224x y =--()()x y x y =-+--2222；【典例10】．把多项式422434x x y y ++分解因式．【答案】()()222222x y xy x y xy +++-【分析】本题考查了分组分解法分解因式．把原式中的第二项的系数3变为41-，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写成平方形式，然后再利用平方差公式即可分解因式．【解析】解：422434x x y y ++42242244x x y y x y =++-()()22222x y xy =+-()()222222x y xy x y xy =+++-．【典例11】．因式分解：222332x xy y x y +-+++=．【答案】()()132x y x y -+++【分析】本题主要查了多项式的因式分解．先分组，再利用十字相乘法进行因式分解，即可求解．【解析】解：222332x xy y x y +-+++()()()223132x y x y y =++--+()()132x y x y =-+++故答案为：()()132x y x y -+++【典例12】．因式分解：322383649a ab ab b-+-【答案】()22443239a ba ab b --+【分析】分组后利用立方差公式分解，再提取公因式即可.【解析】322383649a a b ab b -+-()()3312782329a b ab a b =---()()()221329642329a b aab b ab a b=-++--()222432239a b a ab b ab =-++-()22443239a ba ab b =--+【点睛】本题考查是因式分解，掌握立方差公式及会分组是关键.【典例13】．分解因式：(1)22()()()x x y y y x --+-．(2)()222422m aa b ab +---．(3)22414xy x y +--．【答案】(1)()2()x y x y -+(2)()()()222m b m b m a b +-++(3)()()1212x y x y +--+【分析】本题考查提公因式法及公式法因式分解；（1）提公因式后利用平方差公式因式分解即可；（2）配方后利用平方差公式因式分解即可；（3）配方后利用平方差公式因式分解即可．【解析】（1）原式()()22x x y y x y -=--()()22x y x y =--()2()x y x y =-+．（2）原式()()222422m a a b ab =+-++()()2222m a a b =+-+()()2222m a a b m a a b =++++--()()22222m a b m b =++-()()()222m b m b m a b =+-++．（3）原式()22144x xy y=--+21(2)x y =--()()1212x y x y =+--+．【典例14】．分解因式：(1)234--x x (2)2268mx mxy my -+(3)2244x y x --+(4)222444x xy y x y -+-++．【答案】(1)()()41x x -+(2)()()24m x y x y --(3)()()22x y x y -+--(4)()22x y --【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）先提取公因式m ，再利用十字相乘法分解因式即可；（3）先分组()2244x x y -+-，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（4）先分组()()222444x xy y x y -+--+，进而得到()()244x y x y ---+，再利用完全平方公式分解因式即可．【解析】（1）解：234--x x ()()41x x =-+；（2）解：2268mx mxy my -+()()24m x y x y =--；（3）解：2244x y x --+()2244x x y =+--()222x y =--()()22x y x y =-+--；（4）解：222444x xy y x y -+-++()()222444x xy y x y -+--+=()()244x y x y =---+()22x y =--【典例15】．因式分解(1)3223363x y x y xy -+-；(2)22(2)4a b a --；(3)222(2)11(2)24x x x x +-++；(4)22442a ab b ac bc ++--．【答案】(1)23()xy x y --(2)(32)(2)a b a b --+(3)(1)(3)(2)(4)x x x x -+-+(4)(2)(2)a b a b c ++-【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解；（2）根据平方差公式计算即可求解；（3）根据十字相乘法分解因式即可求解；（4）分组法和提取公因式法分解因式即可求解．【解析】（1）3223363x y x y xy -+-223(2)xy x xy y =--+23()xy x y =--；（2）22(2)4a b a --(22)(22)a b a a b a =-+--(32)(2)a b a b =---(32)(2)a b a b =--+；（3）222(2)11(2)24x x x x +-++22(23)(28)x x x x =+-+-(1)(3)(2)(4)x x x x =-+-+；（4）22442a ab b ac bc++--2(2)(2)a b c a b =+-+(2)(2)a b a b c =++-．【典例16】．因式分解(1)()()525m m m -+-(2)42281x x y -(3)2242x x y y ---(4)2212x y xy+--(5)222655m mn n m n -++-+【答案】(1)()()52m m ---(2)()()299xx y x y +-(3)()()221x y x y +--(4)()()11x y x y -+--(5)()()23m n m n ----【分析】（1）提取公因式法因式分解．（2）先提取公因式，再用平方差公式因式分解．（3）先用平方差公式再提取公因式因式分解．（4）先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解．（5）先用完全平方公式，再用十字相乘因式分解．【解析】（1）()()525m m m -+-()()525m m m =--+-()()52m m =---（2）42281x x y -()22281x x y =-()()299x x y x y =+-（3）2242x x y y---2242x y x y=---()()()222x y x y x y =+--+()()221x y x y =+--（4）2212x y xy+--2221x y xy =+--()21x y =--()()11x y x y =-+--（5）222655m mn n m n-++-+()()256m n m n =---+()()23m n m n =----【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是熟悉提取公因式法、公式法分解因式．题型3：利用分组分解法求值【典例17】．已知a+b ＝3，ab ＝-1，则3a+ab+3b ＝，a 2+b 2=【答案】811【分析】直接利用分组分解法将原式变形，再结合完全平方公式将原式变形，进而将已知代入求出答案．【解析】解：∵a+b=3，ab=-1，∴3a+ab+3b=3（a+b ）+ab =3×3-1=8；a 2+b 2=（a+b ）2-2ab=9+2=11．故答案为：8；11．【点睛】此题主要考查了完全平方公式以及分组分解法分解因式，正确将原式变形是解题关键．【典例18】．若x 2+4x +8y +y 2+20＝0，则x ﹣y ＝．【答案】2．【分析】把原式配方，然后，根据完全平方公式和非负数的性质，解答出即可．【解析】由x 2+4x+8y+y 2+20＝0得（x+2）2+（y+4）2＝0，∴x+2＝0，y+4＝0，解得x ＝﹣2，y ＝﹣4，∴x ﹣y ＝2.故答案为：2．【点睛】本题考查了分解因式和非负数的性质，正确分组是解答的关键．【典例19】．已知3a b -=，4b c -=-，则代数式()2a acb ac ---的值是．【答案】-3【分析】先根据3a b -=，4b c -=-，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可.【解析】∵3a b -=，4b c -=-，∴a-c=-1，∴()2a acb ac ---=()()a a c b a c ---=()()a c a b --=13-⨯=-3，故答案为：-3.【点睛】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键.【典例20】．已知3a b +=，1ab =，则多项式22a b ab a b +--的值为（）A ．1-B ．0C ．3D ．6【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先利用分组分解法对多项式进行因式分解，再把已知条件代入计算即可求值，掌握因式分解的应用是解题的关键．【解析】解：22a b ab a b +--()()ab a b a b =+-+，()()1a b ab =+-，()311=⨯-，0=，故选：B ．【典例21】．已知112a m =+，122b m =+，132c m =+，则222222a ab b ac c bc ++-+-的值为．【答案】214m【分析】根据完全平方公式将原式进行因式分解，然后再将112a m =+，122b m =+，132c m =+，代入计算即可.【解析】由题意得：()()()2222222222a ab b ac c bc a b c a b c a b c ++-+-=+-++=+-，∵112a m =+，122b m =+，132c m =+，∴原式()22211111232224a b c m m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：214m .【点睛】本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关方法是解题关键.【典例22】．51x +的分解因式结果中，含有的因式是()A ．21x -B ．1x -C ．1x +D ．4321x x x x ++++【答案】C【分析】本题考查因式分解，利用添项和分组分配法分解因式即可得解，掌握分组分配法是解题的关键．【解析】解：∵5543243211+=+-+++---+x x x x x x x x x x ()43243211=-+-++-+-+x x x x x x x x x 432()(11)=+-+-+x x x x x ，∴51x +的分解因式结果中，含有因式1x +，故选：C ．【典例23】．多项式x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2分解因式后有一个因式是x ﹣2y ，另一个因式是（）A ．x +2y +1B ．x +2y ﹣1C ．x ﹣2y +1D ．x ﹣2y ﹣1【答案】C【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．【解析】解：x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2＝（x 2﹣4xy +4y 2）+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）2+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）（x ﹣2y +1）．故选：C ．【点睛】此题考查多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y ），将其当成整体提出，进而得到答案.【典例24】．三角形三边分别为A 、B 、C ，且2()a bc a b c -=-，则这个三角形(按边分类)一定是三角形．【答案】等腰【分析】根据已知等式变形，因式分解为()()0a b a c -+=，可得0a b -=，即可求解．【解析】解：∵2()a bc a b c -=-，∴2a bc ab ac -=-，即20a bc ab ac --+=，∴()()0a a b c a b -+-=，∴()()0a b a c -+=，∵0a c +>，∴0a b -=，即a b =，∴这个三角形(按边分类)一定是等腰三角形，故答案为：等腰．【点睛】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．题型5：材料题【典例25】．【阅读理解】()()()()()()mx nx my ny mx nx my ny x m n y m n m n x y +++=+++=+++=++()()()()()()mx nx my ny mx my nx ny m x y n x y m n x y +++=+++=+++=++以上分解因式的方法称为分组分解法，分组的方式可以任意两项组合成一组，也可以是其中若干项分成一组．【问题解决】(1)分解因式：2244x y x --+；(2)ABC V 的三边a ，b ，c 满足22220--+=a bc c ab ，判断ABC V 的形状．【答案】(1)()()22x y x y -+--(2)ABC V 是等腰三角形【分析】本题考查因式分解及因式分解的应用，（1）根据上述的分组分解法将原式进行因式分解即可；（2）先将原式进行因式分解，得：()()20a c a c b -++=，根据题意可知20a c b ++≠，0a c -=，即a c =，即可得出结果；解题的关键是掌握因式分解的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解；如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式，如果剩余的是三项，考虑使用完全平方公式，如果剩余的是四项或四项以上，考虑分组；因式分解要彻底，要分解到不能分解为止．【解析】（1）解：2244x y x --+()2244x x y =+--()222x y =--()()22x y x y =-+--；（2）∵22220--+=a bc c ab ，∴()()22220a c ab bc -+-=，∴()()()20+-+-=c a c b a c a ，∴()()20a c a c b -++=，∵a ，b ，c 是ABC V 的三边，∴20a c b ++≠，∴0a c -=，即a c =，∴ABC V 是等腰三角形．【典例26】．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么.例：把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式.解法1：am ＋an ＋bm ＋bn ＝（am ＋an ）＋（bm ＋bn ）＝a （m ＋n ）＋b （m ＋n ）＝（m ＋n ）（a ＋b ）.解法2：am ＋an ＋bm ＋bn ＝（am ＋bm ）＋（an ＋bn ）＝m （a ＋b ）＋n （a ＋b ）＝（a ＋b ）（m ＋n ）.根据你的发现，把下面的多项式分解因式:(1)mx －my ＋nx －ny ；(2)2a ＋4b －3ma －6mb.【答案】（1）（x －y ）（m ＋n ）；（2）（a ＋2b ）（2-3m ）【分析】(1)分组后提取公因式即可得到结果；(2)分组后提取公因式即可得到结果．【解析】解：(1)解法一：原式=m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n)解法二：原式=(mx+nx)-(my+ny)=x(m+n)-y(m+n)=(m+n)(x-y)(2)解法一：原式=2(a+2b)-3m(a+2b)=(a+2b)(2-3m)解法二：原式=(2a-3ma)+(4b-6mb)=a(2-3m)+2b(2-3m)=(2-3m)(a+2b)【点睛】此题考查了因式分解-分组分解法，难点是采用两两分组还是三一分组．【典例27】．先阅读下面的内容，再解决问题：对于形如222x xa a ++这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成()2x a +的形式．但对于二次三项式2223x xa a +-，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x 2＋223xa a -中先加上一项2a ，使它与22x xa +的和成为一个完全平方式，再减去2a ，于是有：2223x xa a +-()222223x xa a a a +-=+-()224x a a =+-()()222x a a =+-()()3x a x a =+-像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：2815a a -+；(2)若22148650a b a b +--+=，并且ABC V 的三边长是a ，b ，c ，且c 为奇数，求ABC V 的周长．【答案】(1)()()35--a a (2)16或18或20【分析】（1）根据题干中提供的方法进行解答即可；（2）根据22148650a b a b +--+=，得出()()22740a b -+-=，求出7a =，4b =，根据三角形三边关系得出311c <<，根据c 为奇数，求出5c =，7，9，然后分别求出结果即可．【解析】（1）解：2815a a -+28161615a a +--+=()241a =--()()4141a a =-+--()()35a a =--；（2）解：∵22148650a b a b +--+=，∴2214498160a a b b ++--+=，∴()()22740a b -+-=，∴70-=a ，40b -=，解得：7a =，4b =，∵a ，b ，c 是ABC V 的三边长，∴311c <<，∵c 为奇数，∴5c =，7，9，当7a =，4b =，5c =时，ABC V 的周长是：74516++=，当7a =，4b =，7c =时，ABC V 的周长是：74718++=，当7a =，4b =，9c =时，ABC V 的周长是：74920++=．∴ABC V 的周长为16或18或20．【点睛】本题主要考查了分解因式的应用，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握配方法分解因式．一、单选题1．因式分解3223a a b ab b +--的值为（）A ．()()2a b b a -+B ．()()2a b a b +-C ．()2ab a b +D ．()2ab a b -【答案】B【分析】利用分组分解法分解因式即可．【解析】解：原式()()3223a ab ab b =+-+()()22a a b b a b =+-+()()22a b a b =-+()()()a b a b a b =-++()()2a b a b =-+；故选B ．【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式．2．用分组分解2222a b c bc --+的因式，分组正确的是（）A ．()()222a b b bc ---B ．()2222a b c ab--+C ．()()2222a b c bc ---D ．()2222a b c bc -+-【答案】D【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．【解析】解：2222a b c bc --+()2222a b c bc =-+-()22a b c =--()()a b c a b c =+--+．故选：D ．【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．3．下列分解因式错误的是（）A ．21555(31)a a a a +=+B ．()2222()()x y x y x y x y --=--=-+-C ．()(1)()k x y x y k x y +++=++D ．2()()a ab ac bc a b a c -+-=-+【答案】B【分析】利用因式分解的方法判断即可．【解析】解：A.()2155531a a a a +=+，正确；B.()2222x y x y --=-+，错误，所以此选项符合题意；C.()()()1k x y x y k x y +++=++，正确；D.()()2()()a bc ab ac a a b c a b a b a c --+=-+-=-+，正确故选B.【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．已知3a b +=，1ab =，则多项式22a b ab a b +--的值为（）A ．1-B ．0C ．3D ．6【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先利用分组分解法对多项式进行因式分解，再把已知条件代入计算即可求值，掌握因式分解的应用是解题的关键．【解析】解：22a b ab a b+--()()ab a b a b =+-+，()()1a b ab =+-，()311=⨯-，0=，故选：B ．5．已知a ，b ，c 是正整数，a ＞b ，且a 2﹣ab ﹣ac +bc ＝11，则a ﹣c 等于（）A ．±1B ．1或11C ．±11D ．±1或±11【答案】B【分析】根据因式分解的分组分解法即可求解．【解析】解：a 2-ab -ac +bc =11，（a 2-ab ）-（ac -bc ）=11，a （a-b ）-c （a-b ）=11，（a-b ）（a-c ）=11，∵a ＞b ，∴a-b ＞0，a ，b ，c 是正整数，∴a-b=1或11，a-c=11或1．故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式．6．已知实数m ，n ，p ，q 满足4m n p q +=+=，4mp nq +=，则()()2222m n pq mn p q +++=（）A ．48B ．36C ．96D ．无法计算【答案】A【分析】先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解．【解析】解：4m n p q +=+= ，()()4416m n p q ∴++=⨯=，()()m n p q mp mq np nq ++=+++ ，16mp mq np nq ∴+++=，4mp nq += ，12mq np ∴+=，()()2222m n pq mn p q ∴+++，2222m pq n pq mnp mnq =+++，mp mq np nq mp np nq mq =⋅+⋅+⋅+⋅，mp mq mp np np nq nq mq =⋅+⋅+⋅+⋅，()()mp mq np nq np mq =+++，()()mp nq np mq =++，412=⨯，48=，故选：A ．【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解．二、填空题7．因式分解：m 2-n 2-2m +1=．【答案】（m -1+n ）（m -1-n ）【分析】先分组，得到m 2-2m +1-n 2，后进行完全平方公式分解与平方差公式分解即可．【解析】原式=m 2-2m +1-n 2=（m -1）2-n 2=（m -1+n ）（m -1-n ）．故答案为（m -1+n ）（m-1-n ）．【点睛】本题考查了分组分解法、完全平方公式、平方差公式，将原式分组得到可以运用公式解决是关键．8．分解因式：2242x y x y -+-=．【答案】()()221x y x y -++【分析】先根据平方差公式，然后再提公因式分解因式即可．【解析】解：2242x y x y-+-()()2242x y x y +--=()()()222x y x y x y =+-+-()()221x y x y =-++．故答案为：()()221x y x y -++．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式，()()22a b a b a b -=+-．9．分解因式：2233x y x y ---＝．【答案】()(3)x y x y +--【分析】按照分组分解法进行分解因式即可．【解析】解：2233x y x y---22())(33x y x y --+=()()3()x y x y x y =+--+()(3)x y x y =+--．故答案为：()(3)x y x y +--．【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，分组分解法是把各项适当分组，先根据各式的特点进行分组，再使分解因式在各组之间进行．；分组时用到添括号，添括号时要注意各项符号的变化；熟练掌握分解因式的方法是关键．10．分解因式：x 2﹣y 2+ax +ay ＝．【答案】（x +y ）（x ﹣y +a ）【分析】前两项一组，利用平方差公式分解因式，后两项一组，提取公因式a ，然后两组之间再提取公因式（x +y ）整理即可．【解析】解：x 2﹣y 2+ax +ay ，＝（x +y ）（x ﹣y ）+a （x +y ），＝（x +y ）（x ﹣y +a ）．【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法，并根据多项式的特征灵活选用合适的方法是解题的关键．11．分解因式；．x 3﹣3x 2﹣6x +8=．【答案】（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2）【分析】式子中加上2x 减去2x ，利用分组分解法及十字相乘法分解因式．【解析】解：x 3﹣3x 2﹣6x +8=3232268x x x x x -+--+=()()323288x x x x -+--=()()()1281x x x x ----=()()128x x x ---⎡⎤⎣⎦=()()2128x x x ---=（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2），故答案为：（x ﹣4）（x ﹣1）（x +2）．【点睛】此题考查了十字相乘法及分组分解法分解因式，正确添加项及因式分解的方法是解题的关键．12．因式分解：22421x y y ---=．【答案】(21)(21)x y x y ++--【分析】先分组，然后根据公式法因式分解．【解析】22421x y y ---224(21)x y y =-++22(2)(1)x y =-+(21)(21)x y x y =++--．故答案为：(21)(21)x y x y ++--．【点睛】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．13．分解因式：2242x y x y -+-=．【答案】（2x-y ）(2x+y+1)【分析】此题是4项式，没有公因式，所以考虑利用分组分解法，前两项符合平方差公式，所以前两项一组，利用平方差分解因式，然后再利用提公因式法继续分解因式．【解析】2242(2)(2)(2)(2)(21)x y x y x y x y x y x y x y -+-=+-+-=-++故答案为:(2x −y )(2x +y +1).【点睛】考查因式分解-分组分解法，公式法，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键.14．因式分解226136x xy y x y +-++-=【答案】（x+3y-2）（x-2y+3）【分析】先将第三、第五、第六项结合，用十字相乘法对6y 2-13y+6进行分解，把二、四项结合用提公因式法分解，再将x 2+（y+1）x-（3y-2）（2y-3），整体用十字相乘进行分解，得出即可．【解析】解：x 2+xy-6y 2+x+13y-6=x 2+（y+1）x-（6y 2-13y+6）=x 2+（y+1）x-（3y-2）（2y-3）=（x-2y+3）（x+3y-2）．故答案为（x+3y-2）（x-2y+3）．【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，以及提公因式法和十字相乘法，正确分组以及熟练利用十字相乘法分解因式是解题关键．15．若220x x +-=，则3222020x x x +-+=．【答案】2022【分析】根据220x x +-=，得22x x +=，然后局部运用因式分解的方法达到降次的目的，整体代入求解即可．【解析】∵220x x +-=∴22x x +=∴3222020x x x +-+3222020x x x x =++-+()222020x x x x x =++-+222020x x x =+-+22020x x =++22020=+2022=故填“2022”．【点睛】本题主要考查了因式分解，善于运用因式分解的方法达到降次的目的，渗透整体代入的思想是解决本题的关键．16．多项式222a b a -+添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将2a 和2a +分成一组，2b -和此单项式分成一组，那么这个单项式为．【答案】2214a b 【分析】本题考查的是因式分解，掌握分组分解因式的方法是解本题的关键，先分解22a a +得到分组后的公因式是2a +，从而可得答案．【解析】解：∵()222a a a a +=+，∴2b -必须与2214a b 一组，∴2222124a b a a b -++2222124a a ab b =++-()()221244a ab a =++-()()()212224a ab a a =+++-()()21224a a b a ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦()2211242a a ab b ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，故答案为：2214a b 17．甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业.为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的长为（a b +）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的宽应该是米.【答案】a c+【分析】利用4块土地换成一块土地后的面积与原来4块土地的面积相等，而原来的4块土地的总面积2a bc ac ab =+++，则换成一块土地后面积也为(2a bc ac ab +++)平方米，又因为此地的长为（a b +）米，根据矩形面积的公式得到此地的宽为2()()a bc ac ab a b +++÷+，再把整理变形后再进行除法运算即可得到结论．【解析】解：∵原来4块地的总面积2a bc ac ab =+++，∴将这4块地换成一块地后面积为(2a bc ac ab +++)平方米，而此地的长为（a b +）米，∴此地的长2()()a bc ac ab a b =+++÷+2()()a ac bc ab a b =+++÷+[]()()()a a cb ac a b =+++÷+()()()a b a c a b =++÷+a c =+，故答案为：a c +．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算：多项式除以多项式时，可以把被除式分解后再进行除法运算．18．已知：a ＝﹣226x +2017，b ＝﹣226x +2018，c ＝﹣226x +2019，则代数式a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ca 的值是．【答案】3【分析】根据a =-226x +2017，b =-226x +2018，c =-226x +2019，可以求得a -b 、b -c 、a -c 的值，然后将所求式子变形再因式分解即可解答本题．【解析】解：2262017a x =-+ ，2262018b x =-+，2262019c x =-+，1a b ∴-=-，1b c -=-，2a c -=-，222a b c ab bc ca∴++---2221(222222)2a b c ab bc ca =⨯++---2221[()()()]2a b b c a c =⨯-+-+-2221[(1)(1)(2)]2=⨯-+-+-1(114)2=⨯++162=⨯3=故答案为：3．【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，巧妙变形，利用完全平方公式因式分解，求出所求式子的值．三、解答题19．分解因式：(1)22()()()x x y y y x --+-．(2)()222422m a a b ab +---．(3)22414xy x y +--．【答案】(1)()2()x y x y -+(2)()()()222m b m b m a b +-++(3)()()1212x y x y +--+【分析】本题考查提公因式法及公式法因式分解；（1）提公因式后利用平方差公式因式分解即可；（2）配方后利用平方差公式因式分解即可；（3）配方后利用平方差公式因式分解即可．【解析】（1）原式()()22xx y y x y -=--()()22x y x y =--()2()x y x y =-+．（2）原式()()222422m a a b ab =+-++()()2222m a a b =+-+()()2222m a a b m a a b =++++--()()22222m a b m b =++-()()()222m b m b m a b =+-++．（3）原式()22144x xy y =--+21(2)x y =--()()1212x y x y =+--+．20．分解因式：(1)234--x x (2)2268mx mxy my -+(3)2244x y x --+(4)222444x xy y x y -+-++．【答案】(1)()()41x x -+(2)()()24m x y x y --(3)()()22x y x y -+--(4)()22x y --【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）先提取公因式m ，再利用十字相乘法分解因式即可；（3）先分组()2244x x y -+-，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（4）先分组()()222444x xy y x y -+--+，进而得到()()244x y x y ---+，再利用完全平方公式分解因式即可．【解析】（1）解：234--x x ()()41x x =-+；（2）解：2268mx mxy my -+()2268m x xy y =-+（3）解：2244x y x --+()2244x x y =+--()222x y =--()()22x y x y =-+--；（4）解：222444x xy y x y -+-++()()222444x xy y x y -+--+=()()244x y x y =---+()22x y =--21．因式分解：(1)33221a b ab a b -+++；(2)222944a b bc c -+-．【答案】(1)()()2211a ab b ab -+++(2)()()3232a b c a b c +--+【分析】（1）先根据提公因式法以及平方差公式可得()()221ab a b a b a b +-+++，从而得到()()22221a ab ab b a b -++++，再根据十字相乘法进行因式分解，即可求解；（2）先分组，再利用完全平方公式以及平方差公式进行因式分解，即可求解．【解析】（1）解：33221a b ab a b -+++()22221ab a b a b =-+++()()221ab a b a b a b =+-+++()()22221a ab ab b a b =-++++()()2211a ab b ab =-+++（2）解：222944a b bc c -+-()222944a b bc c =--+()()2232a b c =--()()3232a b c a b c =+--+【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．22．因式分解：(1)22916x y -；(2)2224129a b bc c -+-；(3)2215x x --；(4)22465x y x y -+--．【答案】(1)()()3434x y x y +-(2)()()2323a b c a b c +--+(3)()()53x x -+(4)()()51x y x y +--+【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解；（2）先利用完全平方公式将原式变形为()2223a b c --，再利用平方差公式进行因式分解；（3）利用十字相乘法进行因式分解；（4）利用分组分解法将原式变形为()()2223x y --+，再利用平方差公式进行因式分解．【解析】（1）解：22916x y -()()2234x y =-()()3434x y x y =+-；（2）解：2224129a b bc c -+-()2224129a b bc c =--+()2223a b c =--()()2323a b c a b c =+--+；（3）解：2215x x --(5)(3)x x =-+；（4）解：22465x y x y -+--()()224469x x y y =++--+()()2223x y =--+()()51x y x y =+--+．【点睛】本题考查因式分解，掌握分组分解法、十字相乘法、公式法等常用的因式分解方法是解题的关键．23．因式分解(1)3221624x x x-+-(2)222222a b x y ay bx--+-+【答案】(1)()()226x x x ---(2)()()a yb x a y b x -+---+【分析】（1）先提公因式，再利用十字相乘法继续分解即可解答；（2）先根据完全平方公式进行分组，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解析】（1）解：3221624x x x-+-()22812x x x =--+()()226x x x =---（2）解：222222a b x y ay bx--+-+()()222222a ay y b bx x =-+--+()()22a y b x =---()()a yb x a y b x =-+---+【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，因式分解—分组分解法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．24．因式分解：(1)241616a a -+；(2)()()216a x y y x -+-；(3)22962x x y y ---；(4)()()2222223m m m m ----．【答案】(1)()242a -；(2)()()()44x y a a -+-；(3)()()332x y x y +--；(4)()()()212321m m m m +--+．【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先进行公式变形为()()216a x y x y ---，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可；（3）先将原式分组为()()22962x y x y --+再分别利用平方差公式和提公因式法分解，最后提公因式即可；（4）先利用十字相乘法进行分解，再次利用十字相乘法进行分解即可求解．【解析】（1）解：241616a a -+=()2444a a -+()242a =-；（2）解：()()216a x y y x -+-()()216a x y x y =---()()216x y a =--()()()44x y a a =-+-；（3）解：22962x x y y---()()22962x y x y =--+()()()3323x y x y x y =+--+()()332x y x y =+--（4）()()2222223m m m m ----()()222321m m m m =---+()()()212321m m m m =+--+．【点睛】本题考查了将多项式因式分解，因式分解的一般方法是先提公因式，再利用公式法分解，如果此方法无法正常分解，一般可以利用十字相乘法或分组分解法进行因式分解，注意因式分解一定要彻底。

十字相乘法和分组分解法5种压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 十字相乘法的简单计算】 (1)【考点二 系数不为1的二次三项式的因式分解】 (2)【考点三 分组分解法的简单计算】 (2)【考点四 添项减项在因式分解中的应用】 (3)【考点五 十字相乘法和分组分解法的拓展提高】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一 十字相乘法的简单计算】【例题1】若多项式212x ax −+可分解为()()3x x b −+，则a b +的值为（ ）【答案】C 【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：3123a b b −=−+=−，． 【详解】解：多项式212x ax −+可分解为()()3x x b −+， 3123a b b ∴−=−+=−：，．47b a ∴=−=，．473a b ∴+=−+=．故选：C ．【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键.【变式1】多项式2514x x +−可因式分解成()()x a bx c ++，其中a 、b 、c 均为整数，求2a c +的值为( )A ．12−B ．3C ．3−或12D ．3或12【答案】D【分析】根据题意将多项式因式分解，即可得出,,a b c 的值，进而即可求解．【详解】解：∵()()2514()()27=x x x x x a bx c +−=−+++∴2,,7a b c =−=1=或7,1,2a b c ===−∴221412a c +=−+=或2743a c +=−=，故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．【变式2】已知二次三项式215x kx −−能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k 的取值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【分析】把常数项15−分为两个整数相乘，其和即为k −的值，即可确定出整数k 的个数．【详解】解：根据题意得：()()151151153535−=−⨯=⨯−=−⨯=⨯−，可得14k −=，14−，2，2−，解得：14=−k ，14，2−，2，共4个，故选：D ．【点睛】此题考查了因式分解中的十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．A ．8−B ．6−C ．4−D ．2【答案】A【分析】根据甲分解的结果求出b ，根据乙分解的结果求出a ，然后代入b a −求解即可．【详解】解：∵()()226412x x x x =+−−+， ∴12b =−，又∵()()284432x x x x −+=−−，∴4a =−，∴()1248b a −=−−−=−，故选：A ．【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，理解因式分解的定义是正确解答的前提．【考点二 系数不唯一的二次三项式的因式分解】【例题2】 将2352x x −+在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ）【答案】D【分析】根据十字相乘法分解因式，即可得到答案．【详解】解：2352x x −+∴()()2352132x x x x −+=−−，故选：D ．【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，熟记十字相乘法因式分解是解决问题的关键．A ．12−B ．3−C ．3D ．12【答案】A【分析】首先利用十字相乘法将239514x x +−因式分解，继而求得a ，c 的值，代入a+2c 即可得到结果． 【详解】解：利用十字相乘法，把239514x x +−多项式因式分解，可得，239514(32)(137)x x x x +−=+− ∵多项式239514x x +−可因式分解成（3x+a ）（bx+c ） ∴ 2a =，13b =，7c =−∴222(7)12a c +=+⨯−=−故选：A ．【点睛】本题考查十字相乘法因式分解的知识，利用十字相乘法对2ax bx c ++（a≠0）型的式子因式分解是把二次项系数a 分解成两个因数a1，a2的积a1⋅a2，把常数项c 分解成两个因数c1，c2的积c1⋅c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b ，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)．解答本题的关键是明确题意，会用十字相乘法分解因式．【变式2】多项式22215x xy y −−的一个因式为（ ）A ．25x y −B ．3x y −C ．3x y +D ．5x y − 【答案】B【分析】先利用十字相乘法对原多项式进行因式分解，即可得到多项式的因式，由此进行判断即可．【详解】解：∵()()22215253x xy y x y x y −−=+−，∴多项式22215x xy y −−的一个因式为3x y −，故选B ．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法．【变式3】若多项式251712x x +−可因式分解为()()x a bx c ++，其中a 、b 、c 均为整数，则a c −的值是（ ） A ．1 B ．7 C ．11 D ．1【答案】B【分析】将多项式5x2+17x -12a 、b 、c 的值即可．【详解】解：因为5x2+17x -12=（x+4）（5x -3）=（x+a ）（bx+c ），所以a=4，b=5，c=-3，所以a -c=4-（-3）=7，故选：B ．【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a 、b 、c 的值是得出正确答案的关键．【考点三 分组分解法的简单计算】【例题3】将多项式()211a a −−+因式分解，结果正确的是（ ）A ．1a −B ．()()12a a −−C ．()21a − D ．()()11a a +−【答案】B【分析】先运用完全平方公式展开，然后再合并，最后运用十字相乘法因式分解即可．【详解】解：()211a a −−+=2211a a a −+−+ =232a a −+=()()12a a −−．故选B ．【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式计算、十字相乘法因式分解等知识点，掌握运用十字相乘法进行因式分解是解答本题的关键．【变式1】把多项式22243x y x y −−−−因式分解之后，正确的是（ ）A ．(3)(3)x y x y +−−−B ．(1)(3)x y x y +−−+C ．(3)(1)x y x y +−−+D ．(1)(3)x y x y ++−−【答案】D【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定．【详解】解：22243x y x y −−−−()()222144x x y y =+−+−+()()2212x y =−−+()()1212x y x y =−++−−− (1)(3)x y x y =++−−故选：D ．【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键．【变式2】用分组分解法将222x xy y x −−+分解因式，下列分组不恰当的是（ ）A ．()()222x x y xy −−+B ．()()222x xy y x −−+C ．()()222x y xy x ++−−D ．()()222x x xy y −−−【答案】C【分析】利用分组分解法，结合提公因式法，对选项一一进行分析，即可得出答案．【详解】解：A ．222x xy y x −−+()()222x x y xy =−−+()()22x x y x =−−− ()()2x x y =−−，故选项A 分组正确，不符合题意；B ．222x xy y x −−+()()222x xy y x =−−+ ()()222x xy x y =−−−()()2x x y x y =−−− ()()2x y x =−−，故选项B 分组正确，不符合题意；C ．222x xy y x −−+()()222x y xy x =++−−无法进行分组分解，故选项C 分组错误，符合题意；D ．222x xy y x −−+()()222x x xy y =−−−()()22x x y x =−−− ()()2x x y =−−，故选项D 分组正确，不符合题意．故选：C ． 【点睛】本题考查了分组分解法、提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练掌握相关的分解因式的方法．【变式3】 用分组分解2222a b c bc −−+的因式，分组正确的是（ ） A ．()()222a b b bc −−−B ．()2222a b c ab −−+ C ．()()2222a b c bc −−− D ．()2222a b c bc −+− 【答案】D【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．【详解】解：2222a b c bc −−+()2222a b c bc =−+−()22a b c =−−()()a b c a b c =+−−+． 故选：D ．【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．【考点四 添项减项在因式分解中的应用】【答案】()21(2)x x −+【分析】先把23x 分为22x 与2x ，分组分解，然后提公因式后利用十字相乘法分解．【详解】解：原式32224x x x =++− ()()()2222x x x x =+++−()()222x x x =++−()()()221x x x =++− ()()212x x =−+．故答案为：()21(2)x x −+．【点睛】本题考查了因式分解—十字相乘法等：根据题目特点灵活运用因式分解的方法，解决此题的关键是把23x 分为22x 与2x ，再利用分组分解法分解．【答案】()()222222x x x x +++−【分析】根据添项结合分组分解可进行求解．【详解】解：原式=422444x x x ++−=()22224x x +−=()()222222x x x x +++−；故答案为()()222222x x x x +++−．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．【答案】22(1)x x ++【分析】先分组，然后根据提公因式法因式分解即可求解．【详解】4322321x x x x ++++4323221x x x x x x x x =++++++++2222=(1)(1)(1)x x x x x x x x ++++++++22=(1)(1)x x x x ++++22=(1)x x ++．故答案为：22(1)x x ++．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.【考点五 十字相乘法和分组分解法的拓展提高】【答案】()()22x y x y −+−【详解】解：原式()()22224x xy y x y =−−+−+， ()()22(2)x y x y x y =−+−−， ()()22x y x y =−+−． 故答案为：()()22x y x y −+−．【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．【答案】()()()281026x x x x ++++【分析】先进行分组，再计算多项式乘以多项式，然后再利用十字相乘法可进行求解．【详解】解：()()()()135715x x x x +++++()()()()173515x x x x =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()228781515x x x x =+++++()()2228228120x x x x =++++()()22810812x x x x =++++ ()()()281026x x x x =++++；故答案为()()()281026x x x x ++++． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．【变式2】已知210x x +−=，那么432222023x x x x +−−+的值为【答案】2022【分析】利用因式分解法将原式进行分解，再整体代入即可求解．【详解】∵210x x +−=，∴21x x +=432222023x x x x +−−+43322222023x x x x x x =+++−−+()()()222222023x x x x x x x x =++++−+222023x x =+−+122023=−+2022=故答案为：2022．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．【变式3】分解因式：()()222211224x x x x −−−+． 【答案】()()()()3142x x x x −+−+【分析】先把22x x −看做一个整体对原式利用十字相乘法分解因式得到()()222328x x x x −−−−，据此再利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：()()222211224x x x x −−−+()()222328x x x x ⎡⎤⎡⎤=−−−−⎣⎦⎣⎦()()222328x x x x =−−−−()()()()3142x x x x =−+−+．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知十字相乘法分解因式是解题的关键．【过关检测】一．选择题1.若多项式235x mx +−分解因式为(7)(5)x x −+，则m 的值是（ ）A ．2B ．2−C ．12D ．12−【答案】B【分析】利用十字相乘法很容易确定m 的值． 【详解】解：多项式235x mx +−分解因式为(7)(5)x x −+，即235(7)(5)x mx x x +−=−+，2235235x mx x x ∴+−=−−，系数对应相等，2m ∴=−，故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，解题的关键是掌握十字相乘法．2．多项式26x x +−可因式分解成()()x a x b ++，其中a ，b 均为整数，则()2023a b +的值为（） A ．1− B ．1 C ．2023− D ．2023【答案】B【分析】先分解因式，求出a 、b 的值，再结合有理数的乘方进行计算，即可得到答案．【详解】解：()()2632x x x x +−=+−， 又多项式26x x +−可因式分解成()()x a x b ++，3a ∴=，2b =−或2a =−，3b =，()()2023202320233211a b =−=+∴=，故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解、有理数的乘方，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题关键． 3．因式分解2x ax b ++，甲看错了a 的值，分解的结果是()()62x x +−，乙看错了b 的值，分解的结果为()()84x x −+，那么2x ax b ++分解因式正确的结果为（ ） A ．()()34x x +−B ．()()43x x +−C ．()()62x x +−D ．()()26+−x x 【答案】C【分析】根据甲看错了a 的值可以知道，甲的分解结果中b 的值是正确的，根据乙看错了b 的值可以知道，乙的分解结果中a 的值是正确的，据此即可得到a 、b 的值，进而得到答案．【详解】解：∵甲看错了a 的值，∴()()2262412x ax b x x x x ++=−+=−−，∴12b =−；∵乙看错了b 的值，∴()()2284432x ax b x x x x ++=+−=+−，∴4a =，∴2x ax b ++分解因式正确的结果为：()()241262x x x x +−=+−，故选：C ． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义．4．不论x 为何值，等式()()213x px q x x +−++＝都成立，则代数式3p q −的值为（ ）A ．-9B ．-3C ．3D ．9【答案】D【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出p 与q 的值，即可求出答案．【详解】解：由题意可得()()13x x －＋，=223x x +−， ∴p=2，q=-3，则3p q −=9．故选D ．【点睛】本题考查了因式分解法-十字相乘法，解决本题的关键是熟练的掌握十字相乘法．5．把2212a b ab −−−分解因式，正确的分组为（ ） A ．()2212a b ab −++ B ．()()2212a b ab −−− C ．()()2212ab a b −+−− D ．()2212a b ab −−− 【答案】A【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可．【详解】解：2212a b ab −−−()2212a b ab=−++()21a b =−+()()11a b a b =++−−． 故选：A ．【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组．6．已知a +b ＝3，ab ＝1，则多项式a 2b +ab 2﹣a ﹣b 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．【详解】解：a2b+ab2-a -b=（a2b -a ）+（ab2-b ）=a （ab -1）+b （ab -1）=（ab -1）（a+b ）将a+b=3，ab=1代入，得：原式=0．故选：A ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．二. 填空题【答案】()()36x y x y −−+【分析】利用十字相乘因式分解即可．【详解】解：原式()22318x xy y =−+− ()()36x y x y =−−+．故答案为：()()36x y x y −−+．【点睛】本题考查因式分解，熟练运用十字相乘法是解题的关键．【答案】22(1)(1)(3)(39)x x x x x x −++−++【详解】解：原式()2332827x x =−+， ()()33127x x =−−，()()()()2211339x x x x x x =−++−++．故答案为：()()()()2211339x x x x x x −++−++．【点睛】本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握十字相乘与立方差公式．【答案】()()231a a −+【分析】先提取公因式，再根据十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：2246a a −−()2223a a =−−()()231a a =−+；故答案为：()()231a a −+； 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式：对于形如2x px q ++的二次三项式，若能找到两数a 、b ，使a b q⋅=且a b p +=，那么()()()22x px q x a b x a b x a x b ++=+++⋅=++．【答案】()()241x x −+【分析】原式先提取公因数2，再利用十字相乘法求出解即可．【详解】解：原式()2234x x =−−()()241x x =−+， 故答案为：()()241x x −+． 【点睛】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．【答案】()()352x y x y +−【分析】利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：22675x xy y +−()()352x y x y =+−． 故答案为：()()352x y x y +−【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握十字相乘法分解因式．【答案】1【分析】首先利用十字相乘法将2376x x +−因式分解，即可得到a b c 、、的值，从而得到答案．【详解】解：利用十字相乘法将2376x x +−因式分解，得()()2376323x x x x +−=−+，332a b c ∴===−，，，()321a c ∴+=+−=，故答案为：1．【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a b c 、、的值是得出正确答案的关键．【答案】()()a b a b x +−+【分析】先分组得到()()22a b ax bx −++，再把每组分解，然后提公因式即可． 【详解】原式()()()()()()()22a b ax bx a b a b x a b a b a b x =−++=+−++=+−+ 故答案为()()a b a b x +−+【点睛】本题考查了分组分解法：一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式二是分组后能应用公式．【答案】()()212212m n m n −+−−【分析】将多项式第一、二、四项结合，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：224441m m n −−+()224414m m n =−+−()()22212m n =−−()()212212m n m n =−+−−． 故答案为：()()212212m n m n −+−−．【点睛】本题考查因式分解—分组分解法，难点是采用两两分组还是三一分组．正确分组和公式的灵活运用是解题的关键．【答案】2022【分析】利用因式分解法将原式进行分解，再整体代入即可求解．【详解】∵210x x +−=，∴432222023x x x x+−−+43322222023x x x x x x=+++−−+()()()222222023x x x x x x x x=++++−+222023x x=+−+122023=−+2022=故答案为：2022．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．三、解答题【答案】(1)()4 x−(2)另一个因式为()317x+，k的值为85【分析】（1）设另一个因式为()x n+，由题意得()()()22511x x p x x n x n x n−−=−+=+−−，从而得到n p ⎨=⎩，进行计算即可得到答案；（2）设另一个因式为()3x m +，由题意得：()()()2232533155x x k x x m x m x m +−=−+=+−− ，从而得到1525m m k −=⎧⎨=⎩，进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：设另一个因式为()x n +， 由题意得：()()251x x p x x n −−=−+， 则()()()222511x x p x x n x nx x n x n x n−−=−+=+−−=+−−， 15n n p −=−⎧∴⎨=⎩，解得：44n p =−⎧⎨=−⎩，∴另一个因式为()4x −，故答案为：()4x −；（2）解：设另一个因式为()3x m +， 由题意得：()()23253x x k x x m +−=−+， 则()()()222325331553155x x k x x m mx x m x m x m+−=−+=−−=+−−， 1525m m k −=⎧∴⎨=⎩，解得：1785m k =⎧⎨=⎩，∴另一个因式为()317x +，k 的值为85．【点睛】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，解二元一次方程组，正确设出另一个因式是解题的关键．得到()()2812 62x x x x −+=−−，这就是十字相乘法．利用上述方法解决下列问题：(1)分解因式：2412x x +−；(2)先分解因式，再求值：()()2222223a a a a +−+−，其中2a =． 【答案】(1)()()62x x +− (2)()2(311)()a a a +−+，45【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可；（2）先运用式子相乘法进行因式分解，再代入求解．【详解】（1）解：()()241226x x x x =+−+−； （2）()()2222223a a a a +−+− ()()222321a a a a =+−++ ()()()2131a a a =−++ 当2a =时，原式()()()221232145=−⨯+⨯+=．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．【答案】()()()24311x x x +−+【分析】直接利用十字相乘法和完全平方公式进行因式分解即可得到答案．【详解】解：()()2222442412x x x x +−+−()()22246242x x x x =+−++()()22223221x x x x =+−⨯++ ()()()24311x x x =+−+．【点睛】本题主要考查了利用十字相乘法和完全平方公式分解因式，熟练掌握十字相乘法和完全平方公式是解题的关键．19．把下列各式因式分解：(1)()()22221414x x x x +−++； (2)22616x xy y −−；(3)()()2280x y y x −−−−；(4)22244x xy y z −+−．【答案】(1)4(1)x − (2)(8)(2)−+x y x y(3)(10)(8)x y x y −+−−(4)(2)(2)x y z x y z −−−+【分析】（1）将21x +看出整体，利用完全平方公式分解因式即可，注意分解要彻底；（2）利用十字相乘法分解因式即可；（3）将x y −看成整体，利用十字相乘法分解因式即可；（4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：()()22221414x x x x +−++22(12)x x =+−4(1)x =−；（2）解：22616x xy y −−(8)(2)x y x y =−+；（3）解：()()2280x y y x −−−− ()()2+280x y x y =−−− (10)(8)x y x y =−+−−；（4）解：22244x xy y z −+−22(2)x y z =−−(2)(2)x y z x y z =−−−+．【点睛】本题考查因式分解，解答的关键是利用不同的方法进行因式分解以及整体思想的运用．39．分解因式：2222ac bd ad bc +−−．【答案】()()()c d c d a b −+−【分析】进行分组，对各组进行提取公因式，再用公式法进行分解，最后检查分解是否彻底，即可求解．【详解】解：原式()()2222ac ad bd bc =−+−，2222()()a c d b d c =−+−，22()()c d a b =−−，()()()c d c d a b =−+−．【点睛】本题考查了分组分解方法，以及平方差公式的运用，掌握方法是解题的关键．20．分解因式：222332154810ac cx ax c +−−．【答案】22(23)(165)c x a c −−【分析】先将原式进行分组，再提公因式分解因式即可.【详解】222332154810ac cx ax c +−−2223(3248)(1510)ac ax cx c =−+−222216(23)5(23)a c x c c x =−−−22(23)(165)c x a c =−−．【点睛】本题主要考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．熟练掌握分解因式的方法是解题的关键.21．分解因式：()()2221ab x x a b +++．【答案】()()ax b bx a ++【分析】先利用整式乘法法则展开计算，重新分组可得()()222abx a x ab b x +++，然后利用提公因式法可得()()ax bx a b a bx +++，再利用提公因式法可得()()ax b bx a =++．【详解】原式222abx ab a x b x =+++()()222abx a x ab b x =+++()()ax bx a b a bx =+++()()ax b bx a =++．【点睛】本题考查提公因式法及分组法因式分解，正确找出公因式是解题关键． 22．我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法： 例如：()()()222222225225()555x xy y x xy y x y x y x y −+−=−+−=−−=−−−+． ②拆项法：例如：()()()()()22222321412121213x x x x x x x x x +−=++−=+−=+−++=−+．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①用分组分解法：22961x x y +−+；②用拆项法：268x x −+；(2)已知：a ，b ，c 为ABC 的三条边，22254610340a b c ab b c −−++−=+，求ABC 的周长．【答案】(1)①()()3131x y x y +++−，见解析；②()()24x x −−，见解析 (2)14【分析】（1）①仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式；②仿照例题的方法，根据拆项法分解因式；（2）仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式，根据非负数的性质，求得,,a b c 的值，即可求解．【详解】（1）①()()()222222961961313131x x y x x y x y x y x y +−+=++−=+−=+++−； ②()()()()()2226869131313124x x x x x x x x x −+=−+−=−−=−+−−=−−（2）a ，b ，c 为ABC 的三条边，22254610340a b c ab b c −−++−=+，∴2222446910250a b ab b b c c +−+−++−+=，∴()()()2222350a b b c −++−=−，∴20a b −=，30b −=，50c −=，∴6a =，3b =，5c =，∴ABC 的周长为63514++=．【点睛】本题考查了因式分解以及因式分解的应用，仿照例题的方法因式分解是解题的关键．。

板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求因式分解 了解因式分解，熟悉因式分解掌握因式分解的基本方法，并且能熟练运用因式分解解决题目更深层次的掌握因式分解的其他方法基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式 十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式.重、难点知识点睛中考要求第五讲拆、添项法和 十字相乘法板块一、拆项与添项Ⅰ：利用配方思想拆项与添项【例1】 分解因式：43221x x x x ++++【解析】43221x x x x ++++423(21)()x x x x =++++222(1)(1)x x x =+++22(1)(1)x x x =+++ 如果分组分得不恰当，因式分解无法进行下去，那么就应当回到分组前的状况，从零开始，考虑新的分组．【巩固】 已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值．【解析】 ∵2246130a b a b +--+=，∴2244690a a b b -++-+=∴()()22230a b -+-=，∴2030a b -=⎧⎨-=⎩，∴23a b =⎧⎨=⎩，∴5a b +=【巩固】 (第十五届“希望杯”第二试第12题)分解因式：432234232a a b a b ab b ++++=_______.【解析】 4322342222222222232()2()()a a b a b ab b a b ab a b a b a b ab ++++=++++=++【例2】 分解因式：⑴4231x x -+；⑵42231x x -+；⑶4224a a b b ++【解析】 ⑴42422222223121(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x -+=-+-=--=---+⑵42422222222312125(1)(5)(15)(15)x x x x x x x x x x x -+=++-=+-=+++- ⑶42244224222a a b b a a b b a b ++=++-2222()()a b ab =+-2222()()a ab b a ab b =++-+【巩固】 分解因式： 12631x x -+【解析】12631x x -+1266636321(1)(1)x x x x x x x =-+-=-+--【巩固】 分解因式： 841x x ++【解析】848444242121(1)(1)x x x x x x x x x ++=++-=+++- 422422242(12)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x =++-+-=+++-+-【巩固】 分解因式： 4224781x x y y -+重点：理解和掌握因式分解的概念，能说出因式分解的意义，并了解因式分解与整式乘法的区别和联系，了解因式分解的一般步骤，掌握提公因式法（字母的指数是数字）、运用公式法（直接用公式不超过两次）、分组分解法（分组后能直接提公因式或运用公式，无需拆项或添项）这三种分解因式的基本方法，会用这些方法分解不超过四项的多项式．难点：掌握因式分解的其他方法，主要是拆添项法、十字相乘法、换元法等较高层次的方法例题精讲【解析】 42244224222222781188125(95)(95)x x y y x x y y x y x y xy x y xy -+=++-=+-++【例3】 (希望杯试题)已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n =_______. 【解析】 原式422222222010036(10)(6)(610)(610)n n n n n n n n n =++-=+-=-+++.又因为4216100n n -+是质数，且n 是正整数，且26101n n ++≠，故26101n n -+=，3n =.【例4】 分解因式：()()()222241211y x y x y +-++-【解析】 ()()()222241211y x y x y +-++-()()()222242212114y x y x y x y =+--+--()()22211(2)(1)(1)(1)(1)y x y xy x x x xy y x xy y ⎡⎤=+---=+-------⎣⎦【巩固】 分解因式：42222222()()x a b x a b -++-【解析】 42222224222222222()()2()()4x a b x a b x a b x a b b x -++-=--+-- 222222222222()4(2)(2)x b a b x x b a bx x b a bx =+--=+--+-+()()()()x a b x a b x a b x a b =++--+--+【巩固】 分解因式：33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++【解析】 33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++33(1)()[(1)(1)](1)x a xy x y a b y b =+--+-+++322322(1)()(1)()a x x y xy b y x y xy =+-++++-2222(1)()(1)()x a x xy y b x xy y =+-+++-+22()()x xy y ax by x y =-++++【例5】 (杭州学军中学)把444x y +分解因式．【解析】 4422224()(2)x y x y +=+使用平方差公式显然是不行的．44422422422422x y x x y y x y +=+⋅⋅+-⋅⋅2222(2)(2)x y xy =+-2222(22)(22)x xy y x xy y =++-+【巩固】 分解因式：464x +【解析】464x +42222222166416(8)(4)(48)(48)x x x x x x x x x =++-=+-=++-+ 【巩固】 证明：在m n 、都是大于l 的整数时，444m n +是合数．【解析】444m n +422422444m m n n m n =++-2222(2)(2)m n mn =+-2222(22)(22).m n mn m n mn =+++- 由于在m n 、都大于1时，两个因数中较小的那一个2222222()1m n mn m n n n +-=-+≥>即两个因数都是444m n +的真因数，所以444m n +是合数．Ⅱ：拆项与添项【例6】 分解因式：343a a -+ 【解析】 原式32()(33)(1)(1)3(1)(1)(3)a a a a a a a a a a =---=+---=-+-或原式32222()()(33)(1)(1)3(1)(1)(3)a a a a a a a a a a a a a =-+---=-+---=-+-.【巩固】 分解因式：32265x x x +-- 【解析】 解法(一)32322265266(21)6(1)x x x x x x x x x x x +--=++--=++-+(1)(2)(3)x x x =+-+解法(二)拆二次项222242x x x =-解法(三)拆常数项651-=--及2222x x x =+ 解法(四)22223x x x =-及523x x x -=--【巩固】 分解因式：3234x x +- 【解析】 ⑴把4-拆成13--；⑵添四次项4x ，再减去4x ；⑶添一次项4x ，再减去4x⑷拆22234x x x =-；⑸拆三次项33343x x x =-；2(1)(2)x x -+【巩固】 分解因式：267x x +- 【解析】 2267()(77)(7)(1)x x x x x x x +-=-+-=+-【巩固】 分解因式：267x x +- 【解析】 2267()(77)(7)(1)x x x x x x x +-=-+-=+-【巩固】 分解因式：243x x -+ 【解析】 2243()(33)(3)(1)x x x x x x x -+=---=--【巩固】 分解因式：398x x -+ 【解析】 332298199(1)(1)9(1)(1)(8)x x x x x x x x x x x -+=--+=-++--=-+-【巩固】(第十四届“希望杯”第1试第2题)若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于( ) A.0 B.1- C.1 D.3【解析】 43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++4322342233224642x x y x y xy y x y xy xy x y x y =+++++++++42()()()1x y xy x y xy x y =+++++=【巩固】分解因式：323233332a a a b b b ++++++【解析】 前三项比完全立方公式少l ，四、五、六项的和也比立方公式少l ．如果把2拆为两个l ，那么就可以使两组都成为完全立方，皆大欢喜．于是323233332a a a b b b ++++++3232(331)(331)a a a b b b =++-++++33(1)(1)a b =+++22(2)[(1)(1)(1)(1)]a b a a b b =+++-++++22(2)(1)a b a ab b a b =++-++++【巩固】分解因式：51x x ++ 【解析】 法1：此题既无公因式可提，又无法分组分解，更无法使用什么公式，于是我们想到要添项.不妨试试4x ，55444411(1)(1)x x x x x x x x x ++=+++-=++-无法进行下去. 那么试试4x -，554411x x x x x x ++=-+++显然也无法进行下去. 开始尝试3x ，如下：55333343311(1)(1)1(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x ++=-+++=+-+++=+-++，无法分解下去.这样尝试下去，可分解如下：552211x x x x x x ++=-+++222(1)(1)1x x x x x x =-+++++232(1)(1)x x x x =++-+.法2：也可以这样解：5543243211x x x x x x x x x x ++=+++++---32(1)(1)x x x =+++-22(x x + 3221)(1)(1)x x x x x +=-+++.只要我们能够用心地思考，大胆地尝试，我们会发现很多非常巧妙的想法！【巩固】 分解因式：541a a ++ 【解析】 原式5433322321(1)(1)(1)(1)(1)a a a a a a a a a a a a a a =++-+=++--++=-+++【巩固】 分解因式：3333a b c abc ++-.【解析】3333a b c abc ++- 332232233333a b a b ab c a b ab abc =++++--- 33()3()a b c ab a b c =++-++222()(2)3()a b c a b ab c ac bc ab a b c =+++++---++222()()a b c a b c ab bc ca =++++---.也可添加23b c ，23bc 或者23c a ，23ca .板块二、十字相乘法十字相乘法： 一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解【例7】 分解因式： ⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++ 【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +- 【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例8】 分解因式：2376a a -- 【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x -- 【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +- 【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】2273320(94)(35)x x x x --=+-【例9】 分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+- 【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例10】 分解因式：2214425x y xy +- 【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+ 【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y -- 【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例11】 分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+- 【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+ 【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【巩固】 分解因式：633619216x x y y --【解析】 6336333319216(27)(8)x x y y x y x y --=-+2222(2)(3)(24)(39)x y x y x xy y x xy y =+--+++【巩固】 分解因式：2222(4)8(4)15x x x x x x ++++++ 【解析】 22(64)(2)x x x +++【巩固】 分解因式：2222222(61)5(61)(1)2(1)x x x x x x ++++++++ 【解析】 229(1)(41)x x x +++【巩固】 分解因式：222()14()24x x x x +-++【解析】(2)(1)(3)(4)x x x x +--+板块三：双十字相乘双十字相乘法： 对于某些二元二次六项式22ax bxy cy dx ey f +++++，可以看作先将关于x 的二次三项式22()ax by d x cy ey f +++++的“常数项”2cy ey f ++用十字相乘法分解，然后再次运用十字相乘法将关于x 的二次三项式分解。

十字相乘法及分组分解法（提高）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】【 十字相乘法及分组分解法 知识要点】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x b x c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法1、分解因式： 22(1)(6136)x a x a a ++--+【答案与解析】解：原式＝()()()212332x a x a a ++--- ()()()()23322332x a x a x a x a =--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-【总结升华】将a 视作常数，就以x 为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：23345xy y x y ++--【答案】解：原式2(34)35(35)(1)y x y x y x y =+-+-=+-+2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将()2a a -看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘.【答案与解析】解： 因为()()()22221214a a a a a a ----=--所以：原式＝[－2][ －12]＝22(2)(12)a a a a ----＝()()()()1234a a a a +-+-【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握. 举一反三：【变式】分解因式：222(3)2(3)8x x x x ----；【答案】解：原式()()223432x x x x =---+()()()()4112x x x x =-+--3、分解下列因式(1)22(1)(2)12x x x x ++++- (2)22(33)(34)8x x x x +-++-【答案与解析】解：（1）令21x x t ++=，则原式222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++- 2(2)(1)(5)x x x x =+-++（2）令23x x m +=，原式2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+-222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++【总结升华】此两道小题结构都非常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中搬家有些类似，要先将一些碎东西找包，会省许多事.类型二、分组分解法4、分解因式：222332x xy y x y -++-+【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学，一看见该式，首先想到的肯定是式子中前三项恰好构成2()x y -，第4、5项→3()x y -.【答案与解析】解：原式2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代，故有时要有一些整体性认识的想法. 举一反三：【高清课堂400150 十字相乘法及分组分解法 例4】【变式1】分解因式：（1）22a b ac bc -++（2）225533a b a b --+（3）23345xy y x y ++--【答案】解：（1）原式()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+；（2）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-； （3）原式233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-.【变式2】（2014春•苏州期末）因式分解：a 2﹣b 2﹣2a+1．【答案】解：a 2﹣b 2﹣2a+1=a 2﹣2a+1﹣b 2=（a ﹣1）2﹣b 2=（a ﹣1+b ）（a ﹣1﹣b ）．类型三、拆项或添项分解因式5、（2015春•吉州区期末）阅读理解：对于二次三项式x 2+2ax+a 2可以直接用公式法分解为（x+a ）2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2，就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上一项a 2，使其成为完全平方式，再减去a 2这项，使整个式子的值不变，于是又：x 2+2ax ﹣8a 2=x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax+a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x+a ）2﹣9a 2=[（x+a）+3a][（x+a）﹣3]=（x+4a）（x﹣2a）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式：x2+2ax﹣3a2分解因式．（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x2﹣4xy+3y2=0化为（x﹣）•（x﹣）=0并直接写出y与x的关系式．（满足xy≠0，且x≠y）（3）先化简﹣﹣，再利用（2）中y与x的关系式求值．【答案与解析】解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣4a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）x2﹣4xy+3y2=x2﹣4xy+4y2﹣y2=（x﹣2y）2﹣y2=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）=（x﹣y）（x﹣3y）；x=y或x=3y；故答案为：y；3y（3）原式===﹣，若x=y，原式=﹣2；若x=3y，原式=﹣23．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法，正确地添（拆）项是解本题的关键．。