江苏泰州中学2016届高三上学期期中调研测试数学试卷 Word版含答案

江苏省泰州中学20xx 届高三期中考试数学参考答案与评分标准1．2± 2．35-3．,sin x R x x ∃∈≥ 4．12()f x x = 5．1±6．1＜a ＜3 7．1(,10)108．充要； 9．114(,)(,0)(,)333-∞--+∞10．2) 11．3个12．6 13．2012201314．()(),11,-∞-+∞15．解：若p 真，则f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，∴0＜2a －6＜1，∴3＜a ＜72，若q 真，令f (x )＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝－3a2－a 2＋－－3a 2>3f ＝9－9a ＋2a 2＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－2a >2a <2或a >52，故a ＞52，又由题意应有p 真q 假或p 假q 真．…………………………6分①若p 真q 假，则⎩⎨⎧3<a <72a ≤52，a 无解．②若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ≤3或a ≥72a >52，∴52＜a ≤3或a ≥72．………………………………………………6分 故a 的取值范围是{a |52＜a ≤3或a ≥72}．…………………14分16．(1)014sin cos ,tan 0,602bc A bc A A A A π⋅=∴=<<∴=………6分(2)原式＝000cos110cos 20(150)cos 20cos 60cos50o-= 0002cos 20(sin 20)1sin 40-==-……………14分17．(1)4分(2)单调增区间有11(,),(,)22-∞-+∞……………6分 (3)(1,0)-……………4分18．解：(1)由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x )； 出厂价为13×(1＋0.7x )；年销售量为5000×(1＋0.4x )， ……2分因此本年度的利润为[13(10.7)10(1)]5000(10.4)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+(30.9)5000(10.4)x x =-⨯⨯+即：21800150015000(01),y x x x =-++<< …………………6分 由2180015001500015000x x -++>， 得506x << ………8分 (2)本年度的利润为)55.48.49.0(3240)352(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f则),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2'--=+-⨯=x x x x x f ……10分 由,395,0)('===x x x f 或解得 当)(,0)()95,0('x f x f x >∈时，是增函数； 当)(,0)()1,95('x f x f x <∈时，是减函数． ∴当95=x 时，20000)95()(=f x f 取极大值万元， ……12分 因为()f x 在(0，1)上只有一个极大值，所以它是最大值， ……14分 所以当95=x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． ……16分 19．(1)当2-=a 时，x x x f ln 2)(2-=，当),1(+∞∈x ，0)1(2)(2>-='xx x f ，故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数．…………………………4分(2))0(2)(2>+='x xax x f ，当],1[e x ∈，]2,2[222e a a a x ++∈+． 若2-≥a ，)(x f '在],1[e 上非负(仅当2-=a ，x ＝1时，0)(='x f )， 故函数)(x f 在],1[e 上是增函数，此时=min )]([x f 1)1(=f ．……… 6分 若222-<<-a e ，当2ax -=时，0)(='x f ； 当21ax -<≤时，0)(<'x f ，此时)(x f 是减函数；当e x a≤<-2时，0)(>'x f ，此时)(x f 是增函数． 故=min )]([x f )2(a f -2)2ln(2a a a --=． 若22e a -≤，)(x f '在],1[e 上非正(仅当2e 2-=a ，x ＝e 时，0)(='x f )， 故函数)(x f 在],1[e 上是减函数，此时==)()]([min e f x f 2e a +．………8分 综上可知，当2-≥a 时，)(x f 的最小值为1，相应的x 值为1； 当222-<<-a e 时，)(x f 的最小值为2)2ln(2aa a --，相应的x 值为2a -； 当22e a -≤时，)(x f 的最小值为2e a +，相应的x 值为e ．……… 10分 (3)不等式x a x f )2()(+≤，可化为x x x x a 2)ln (2-≥-．∵],1[e x ∈， ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x <ln ，即0ln >-x x ，因而xx xx a ln 22--≥(],1[e x ∈)…………12分令x x xx x g ln 2)(2--=(],1[e x ∈)，又2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='，…… 14分 当],1[e x ∈时，1ln ,01≤≥-x x ，0ln 22>-+x x ，从而0)(≥'x g (仅当x ＝1时取等号)，所以)(x g 在],1[e 上为增函数， 故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以a 的取值范围是),1[+∞-．………16分20．(1)12n nn a b a ++=，12n n n n na b b a b +=+两式相乘得11n n n n a b a b ++=，{}n n a b ∴为常数列，114n n a b a b ∴==；(2分)4n nb a ∴=114()22n n n a a a +∴=+>；02n b ∴<<； (若2n a =，则12n a +=，从而可得{}n a 为常数列与14a =矛盾)；………4分(2)32log 2n n n a c a +=-， 211333311222222log log log 2log 21222222n n nn n n n n n n n na a a a a c c a a a a a +++++⎛⎫⎛⎫+++∴===== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭+-又因为11c =，{}n c ∴为等比数列，12n n c -∴=…………………8分(3)由12n n c -=可以知道，1111222231242212313131n n n n n a ----+⎛⎫==+=+ ⎪---⎝⎭， 令12431n n d -=-，数列{}n d 的前n 项和为n D ，很显然只要证明83n D ≤()2n ≥，222314n n -≥∴+≥．因为12431n n d -=-()()()222122224414313131n n n n d ----==≤+--， ∴n d ()()222243131n n --=+-22122111444n n n d d d ---⎛⎫⎛⎫≤≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以n D =123()n d d d d ++++2212111[1]444n d d -⎛⎫⎛⎫≤+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211124218218221134334314n n n ---⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭≤+=+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-所以823n S n <+．……………14分 又4,2n n n a b b =<，故4,2n n P n n =<且T ， 所以888224333n n n S T n n n P +<++=+=+()2n ≥．…………………16分。

泰州市2016届高三第一次模拟考试数学试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合21Ax x ≤，集合2,1,0,1,2B，则A B▲　．2．如图，在复平面内，点A 对应的复数为1z ，若21i z z （i 为虚数单位），则2z ▲　．3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2212xy的实轴长为▲．4．某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么n▲　．5．执行如图所示的伪代码，当输入,a b 的值分别为1,3时，最后输出的a的值为▲　．6．甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为15，甲乙下成和棋的概率为25，则乙不输棋的概率为▲　．7．已知直线(0)y kx k与圆22:(2)1C x y相交于,A B 两点，若255AB，则k▲　．8．若命题“存在20,4R x axx a ≤”为假命题，则实数a 的取值范围是▲　．Read ,1While 21End While Print a b i i aa b ba b ii a（第5题）（第2题）9．如图，长方体1111ABCDA B C D 中，O 为1BD 的中点，三棱锥OABD 的体积为1V ，四棱锥11OADD A 的体积为2V ，则12V V 的值为▲　．10．已知公差为2的等差数列{}n a 及公比为2的等比数列{}n b 满足11220,0a b a b ，则33a b 的取值范围是▲　．11．设()f x 是R 上的奇函数，当0x时，()2ln4xx f x ，记(5)na f n ，则数列{}n a 的前8项和为▲．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 分别为x 轴，y 轴上一点，且2AB ，若点(2,5)P ，则APBPOP 的取值范围是▲　．13．若正实数,x y 满足2(21)(52)(2)xy y y ，则12xy的最大值为▲　．14．已知函数π()sin()cos cos()262x x f x A x （其中A 为常数，(π,0)），若实数123,,x x x 满足：①123x x x ，②31x x 2π，③123()()()f x f x f x ，则的值为▲　．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）在ABC 中，角,A B 的对边分别为,a b ，向量(cos ,sin ),(cos ,sin )A B B A mn ．（1）若cos cos a A b B ，求证：//m n ；（2）若mn ,ab ，求tan2A B的值．（第9题）OCDBC 1AB 1A 1D 1FOCBADE如图，在三棱锥PABC 中，90PAC BAC ，PA PB ，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：直线//DF 平面PAC ；（2）求证：PF AD ．17．（本题满分14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB 米，如图所示．小球从A 点出发以v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设A O E 弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为的函数()T ，并写出定义域；（2）求时间T 最短时cos 的值．18．（本题满分16分）已知数列{},{}n n a b 满足2(2)nnn S a b ，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13的等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n b n ，23a ，求数列{}n a 的通项公式；（3）在（2）的条件下，设n nna cb ，求证：数列{}n c 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．DFCPAB如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆:O 224xy，椭圆:C 2214xy，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D ．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．（1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数，使得PQ BC k k ？若存在，求值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC 必过点Q ．20．（本题满分16分）已知函数4212f x axx ，(0,)x，g x f x f x ．（1）若0a ，求证：（ⅰ）f x 在()f x 的单调减区间上也单调递减；（ⅱ）g x 在(0,)上恰有两个零点；（2）若1a，记g x 的两个零点为12,x x ，求证：1244x x a ．xyDQPCA OBBAE高三数学参考答案一、填空题1．1,0,1；2．2i ；3．22；4．200；5．5；6．45；7．12；8．(2,)；9．12；10．(,2)；11．16；12．[7,11]；13．3212；14．23.二、解答题15.证明：（1）因为cos cos a A b B ，所以sin cos sin cos A A B B ，所以//m n .,,,,,7分（2）因为m n ，所以cos cos sin sin 0A BA B ，即cos()0A B ，因为a b ，所以A B ，又,(0,)A B ，所以(0,)AB，则2AB，，12分所以tantan124A B.,,,,,14分16. 证明（1）∵点D ，F 分别为BC ，AB 的中点，∴//DF AC ，又∵DF 平面PAC ，AC 平面PAC ，∴直线//DF 平面PAC ．,,,,,6分（２）∵90PAC BAC ，∴AC AB ，AC AP ，又∵AB APA ，,AB AP 在平面PAB 内，∴AC 平面PAB ，,,,,,8分∵PF 平面PAB ，∴ACPF ，∵PA PB ，F 为AB 的中点，∴PF AB ，∵AC PF ，PFAB ，ACABA ，,AC AB 在平面ABC 内，∴PF 平面ABC ，,,,,,12分∵AD平面ABC ，∴ADPF ．,,,,,14分17.解：（1）过O 作OGBC 于G ，则1OG，1sinsinOG OF，11sinEF ，AE，DFCPAB所以11()5656sin6AE EF T v vvv v ，[,]44π3π．,,7分（写错定义域扣1分）（2）11()56sin6T vv v，22221cos 6sin 5cos(2cos 3)(3cos 2)()56sin 30sin30sinT v v v v ，,,,,9分记02cos3，[,]44π3π，0(,)4003(,)4()T - 0 +()T 故当2cos3时，时间T 最短．,,,,14分18. 解：（1）因为1211()2()333n nna ，21[(1()]1133[(1()]1231()3nnnS ，,,,,2分所以11()2131222()23n n nnn S b a ．,,,,4分（2）若nb n ，则22n nS na n ，∴112(1)2n nS n a ，两式相减得112(1)2nnna n a na ，即1(1)2n nna n a ，当2n时，1(1)(2)2nn n a n a ，两式相减得11(1)(1)2(1)n n n n a n a n a ，即112nnn a a a ，,,,,8分又由1122S a ，22224S a 得12a ，23a ，所以数列{}n a 是首项为2，公差为321的等差数列，故数列{}n a 的通项公式是1na n ．,,,,10分（3）由（2）得1n n c n，对于给定的*n N ，若存在*,,,k tn k t N ，使得nk t c c c ，只需111n k t n k t ，即1111(1)(1)n k t，即1111nktkt，则(1)n k tkn，,,,,12分取1kn ，则(2)tn n，∴对数列{}n c 中的任意一项1nn c n，都存在121nnc n 和2222212n nnn c n n使得212n nnnc c c ．,,,,16分19．解：（1）设00(,)B x y ，则00(,)C x y ，2214x y 所以220001222111422424x y y y k k x x x x ．,,,,4分（2）联立122(2)4y k x xy得2222111(1)44(1)0k xk x k ，解得211122112(1)4,(2)11PPPkk x y k x kk，联立122(2)14yk xxy得2222111(14)164(41)0k xk x k，解得211122112(41)4,(2)1414BB Bk k x y k x kk，,,,,8分所以121241B BCB y k k x k，121122112141562(1)641515P PQP k y k k k kkx k，所以52PQ BC k k ，故存在常数52，使得52PQBC k k ．,,,,10分（3）当直线PQ 与x 轴垂直时，68(,)55Q ，则28156225AQk k ，所以直线AC 必过点Q ．当直线PQ 与x 轴不垂直时，直线PQ 方程为：12156()415k yxk，联立1212256()4154k y xk xy，解得21122112(161)16,161161QQk k x y kk，所以1212211211616112(161)42161AQk k k k k k k，故直线AC 必过点Q ．,,,,16 分（不考虑直线PQ 与x 轴垂直情形扣1分）20. 证：（1）因为42102f xaxxx ，所以3()4f x axx ，由32(4)1210axx ax 得()f x 的递减区间为1(0,)23a，,,,,2 分当1(0,)23x a时，32()4(41)0f x axx x ax，所以f x 在()f x 的递减区间上也递减．,,,, 4 分（2）解1：42343211(4)422g x f x f x ax xax x axax xx ，因为0x ，由4321402g x axaxxx 得3214102axax x ，令321()412x axaxx ，则21()382x axax，因为0a ，且1(0)02，所以()x 必有两个异号的零点，记正零点为0x ，则0(0,)xx 时，()0x ，()x 单调递减；0(,)x x 时，()0x ，()x 单调递增，若()x 在(0,)上恰有两个零点，则0()0x ，,,,,7 分由20001()3802x ax ax 得2001382ax ax ，所以003217()939x ax x ，又因为对称轴为4,3x所以81()(0)032，所以08733x ，所以003217()()0933x ax x ，又3222111()41(8)(1)1222x axaxx ax x x ax，设1,8a中的较大数为M ，则()0M ，故0ag x 在(0,)上恰有两个零点．,,,,10 分解2：42343211(4)422g x f xfx ax x ax x axaxxx ，因为0x ，由4321402g x axaxxx得3214102ax axx ，令321()412x axaxx ，若g x 在(0,)上恰有两个零点，则()x 在(0,)上恰有两个零点，当2x 时，由()0x 得0a，此时1()12x x 在(0,)上只有一个零点，不合题意；当2x时，由321()4102x axaxx 得321422xxax ，,,,,7 分令322148()2422x x x xx xx ，则22122572[()]2(58)24()0(2)(2)x xx xxx x x ，当(0,2)x 时，()x 单调递增，且由2824,2y x xyx值域知()x 值域为(0,)；当(2,)x时，1()x 单调递增，且1(4)0，由2824,2yxx yx 值域知()x 值域为(,)；因为0a ，所以102a，而12ya与1()x 有两个交点，所以1()x 在(0,)上恰有两个零点．,,,,10 分（3）解1：由（2）知，对于321()412x ax ax x 在(0,)上恰有两个零点12,x x ，不妨设12x x ，又因为(0)10，11()(67)028a ，所以1102x ，,,12 分又因为(4)10，91()(65710)028a ，所以2942x ，所以121945422x x a ．,,,,16 分解2：由（2）知321422xx ax，因为[0,2)x 时，1()x 单调递增，17()212，111111(0)0()()22x a，所以1102x ，,,,,12 分当(2,)x 时，1()x 单调递增，1981()220，112119(4)0()()22x a，所以2942x ，所以121945422x x a ．,,,,16 分。

一．填空题,本大题共14个小题，每小题5分,共70分.1．已知集合{}3|<=x x A ,{}4,3,2,1=B ,则()=B A C R．【答案】{}4,3 【解析】试题分析：由题意，得{}3|≥=x x A C R，(){}4,3=B A C R ；故填{}4,3．考点:集合的运算． 2．命题“02016,10200>-+->∃x x x ”的否定是 ．【答案】02016,12≤-+->∀x xx【解析】试题分析:命题“02016,10200>-+->∃x x x”的否定是“02016,12≤-+->∀x x x "．考点:特称命题的否定．3．已知向量(3,1)a =,(1,3)b =，(),7c k =，若()//a c b -，则=k ． 【答案】5考点:1.平面向量的的坐标运算；2.平面向量共线的判定． 4．函数x x x f 22sin cos )(-=的最小正周期为 ．【答案】π 【解析】试题分析：因为x x x x f 2cos sin cos)(22=-=，所以该函数的最小正周期为ππ==22T ;故填π．考点:1。

二倍角公式；3.三角函数的周期．5．函数121582---+-=x x x y 的定义域为．【答案】(]5,3考点：函数的定义域．【方法点睛】本题主要考查函数定义域的求法，属于基础题．求函数的定义域主要涉及:①分式中的分母不为0；②偶次方根的被开方数非负；③0x 中的底数0≠x ；④对数式中，底数为大于0，且不为1 的实数,真数为大于0的实数；⑤正切函数x y tan =中Z k k x ∈+≠,2ππ；⑥若函数中含有多个式子，可列出不等式组进行求解。

6．设函数)()(2R a e axx f x ∈+=有且仅有两个极值点)(,2121x x x x <，则实数a 的求值范围是 ．【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-2,e【解析】试题分析：由题意,得02)('=+=x e ax x f有两个不等实根)(,2121x x x x <，显然，0=x 不是方程02)('=+=xe ax xf 的根，则x e a x 2-=,即图象a y =与xe x h x2)(-=有两个不同交点，因为2'2)1()(xx e x h x --=，所以当1<x 时，0)('>x h ，)(x h 为增函数,当1>x 时，0)('<x h ，)(x h 为减函数，即2)1()(e h x h -=≤，所以2e a -<；故填⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-2,e ． 考点：1.函数的极值与导数;2.函数的零点．【思路点睛】本题主要考查函数的极值与导数的关系，属于中档题。

高二数学试卷一、填空题（每题5分，共70分）1.命题“,cos 1x R x ∃∈≥-”的否定是___________．2.双曲线22186x y -=的渐近线方程为___________．3.若()1cos f x x =-，则()f α'等于____________．4.函数3223125y x x x =--+在[]0,3上的最大值是____________．5.抛物线24x y =的焦点坐标为__________． 6. P 在曲线323y x x =++上移动，在点P 处的切线的斜率为k ，则k 的取值范围是__________．7.“3m =”是“椭圆2214x y m +=的焦距为2”的______________．（填“充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件”）8.函数()()323321f x x ax a x =++++有极大值又有极小值，则a 的取值范围是___________．9.若抛物线2:4C y x =上一点A 到抛物线焦点的距离为4，则点A 到坐标原点O 的距离为_________．10.设直线x t =与函数()()2,ln f x x g x x ==，的图像分别交与点,M N ，则MN 当达到最小时t 的值为___________．11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相交，则双曲线C 离心率的取值范围是______________．12.若函数()2xf x x e ax =--在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是___________．13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e A B =、，分别是椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上的一点，直线PA PB 、的倾斜角分别为αβ、满足tan tan 1αβ+=，则直线PA 的斜率为___________．14．设函数32,ln ,x x x ey a x x e⎧-+<=⎨≥⎩的图像上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是____________．二、解答题（共90分）15.（本题满分14分）根据下列条件，分别写出椭圆的标准方程：（1）与椭圆22194x y +=有公共焦点，且过()3,2M -；（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点)2A -和()B -．16.（本题满分14分） 已知命题:p 函数()219ln 2f x x x =-在区间(),m 1m +上单调递减，命题:q 实数m 满足方程22115x y m m+=--表示的焦点在y 轴上的椭圆． （1）当p 为真命题时，求m 的取值范围；（2）若命题“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围． 17.（本题满分14分）设函数()365,f x x x x R =-+∈．（1）求()f x 的单调区间和极值； （2）求曲线()f x 过点()1,0的切线方程． 18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，动点M 为右准线上一点（异于右准线与x 轴的交点），设线段FM 交椭圆C 于点P ，已知椭圆C 的离心率为23，点M 的横坐标为92. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若FPA ∠为直角，求P 点坐标；（3）设直线PA 的斜率为1k ，直线MA 的斜率为2k ，求12k k 的取值范围.19.（本题满分16分）已知左焦点为()1,0F -的椭圆过点E ⎛ ⎝，过点()1,1P 分别做斜率为12,k k 的椭圆的动弦,AB CD ，设,M N 分别为线段,AB CD 的中点. （1）求椭圆的标准方程：（2）若P 为线段AB 的中点，求1k ；（3）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标. 20.（本题满分16分） 已知函数()ln f x x =.（1）求函数()()1g x f x x =+-的最大值：（2）若0x ∀>，不等式()21f x ax x ≤≤+恒成立，求实数a 的取值范围：（3）若120x x >>，求证：()()1222212122f x f x xx x x x ->-+.参考答案一、填空题1. ,cos 1x R x ∀∈<-2. y x =3. sin α4. 55. ()0,16. 1k ≥7.充分不必要条件8. 21a a ><-或 11. ⎛ ⎝ 12. (),2ln 22-∞- 13.14. 10,1e ⎛⎤⎥+⎝⎦二、解答题15.（1）2211510x y += （2）221155x y +=16.（1）02m ≤≤．．．．．．．．．．．．．． 6分（2）q 为真命题13m <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分则命题“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题时，01m ≤≤或23m <<．．．．．．．．．．14分17.解：（1）()()232f x x '=-，令()0f x '=，得12x x ==，∴当x <或x >()0f x '>；当x <<时，()0f x '<，∴()f x 的单调递增区间是(,-∞和)+∞，单调递减区间是(．．．．．．．4分∴求椭圆C 的标准方程为22195x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 （2）3,4⎛-⎝．．．．．．．．8分（3）设点()()111,23P x y x -<<，点29,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭，∵点,,F P M 共线，12x ≠-， ∴1211322y y x =+，即()1211322y y x =+，∴()11139,222y M x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．． 10分 ∵()11121113,332y y k k x x ==-+，∴()()()21111211111313332323y y y k k x x x x ==-++-，．．．．．12分又∵点P 在椭圆C 上，∴()2211599y x =--， ∴()()()211121111513936565191323272272x x k k x x x x --⎛⎫+==-=-+ ⎪+-++⎝⎭，．．．．．．．．．．14分 ∵123x -<<，∴12269k k <-， 故12kk 的取值范围为26,9⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．． 16分 19.解：依题设1c =，且右焦点()1,0F '，所以22222a EF EF b a c '=+===-=，故所求的椭圆的标准方程为22132x y +=．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 （2）设()()1122,,,A x y B x y ，则2211132x y +=①，2222132x y +=②，②-①，得()()()()21232121032x x x x y y y y -+-++=，所以()()212112121422363p p x x x y y k x x y y y +-==-=-=--+．．．．．．．．．．．． 8分 （3）依题设，12k k ≠，设(),M M M x y ，直线AB 的方程为()211y k x -=-，即()111y k x k =+-，亦即12y k x k =+，代入椭圆方程并化简得()2221122236360k x k k x k +++-=，于是，122221132,2323M M k k k x y k k -==++，同理，121222232,2323N N k k k x y k k -==++．．．．．．．．．． 10分当120k k ≠时，直线MN 的斜率()()222211212121214610699M N M N k k k k y y k k k x x k k k k k k +++--===--+-．．．．． 12分 直线MN 的方程为221122212112106323923k k k k k y x k k k ⎛⎫---=- ⎪+-+⎝⎭， 即2121106293k k y x k k -==--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 此时直线过定点20,3⎛⎫-⎪⎝⎭，当120k k =时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上，直线MN 恒过定点，且坐标为20,3⎛⎫-⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．16分 20.解：（1）()()()ln 11g x x x x =+->-，则()1111xg x x x -'=-=++，．．．．．．．．．．．． 2分当()1,0x ∈-时，()0g x '>，则()g x 在()1,0-上单调递增； 当()0,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在()0,+∞上单调递减，所以，()g x 在0x =处取得最大值，且最大值为0．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）由条件得ln 1x a xa x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩在0x >上恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分设()ln x h x x =，则()21ln x h x x-'=， 当()1,x e ∈时，()0h x '>；当(),x e ∈+∞时，()0h x '<，所以，()1h x e≤， 要使()f x ax ≤恒成立，必须1a e≥．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 另一方面，当0x >时，12x x+≥，要使21ax x ≤+恒成立，必须2a ≤， 所以，满足条件的a 的取值范围是1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．．．．．．．．．．．．．10分（3）当120x x >>时，不等式()()1222212122f x f x xx x x x ->-+等价于112221222ln1x x x x x x ->⎛⎫- ⎪⎝⎭．．．．．．．12分 令12x t x =，设()()222ln 11t t t t t μ-=->+，则()()()()2221101t t t t t μ-+'=>+，．．．．．．．．．．14分∴()t μ在()1,+∞上单调递增，∴()()10t μμ>=， 所以，原不等式成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分。

江苏省泰州中学2016届高三第一次月度质量检测数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1、设全集U R =，集合{}2x x A =≥，{}1,0,1,2,3B =-，则()U A B =ð ．2、已知幂函数的图象经过点2,2⎛ ⎝⎭，则()4f = ．3、已知log 2log 32a a +=，则实数a = ．4、函数()()2ln 23f x x =-的单调减区间为 ．5、若函数()221x x af x -=+是奇函数，那么实数a = ．6、若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为 ．7、将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移38π个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍，所得函数的解析式为 ． 8、已知α，β为三角形的内角，则“αβ>”是“sin sin αβ>”的 条件（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）． 9、已知函数()223f x x x =-+，[]0,x a ∈（0a >）上的最大值是3，最小值是2，则实数a 的取值范围是 ．10、关于x 的一元二次方程()2232140x m x m ++++=有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m 的取值范围是 ．11、对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[],ka kb （0k >），则称()y f x =为k 倍值函数．若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 ．12、设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的1x ，2D x ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =的对称中心．研究函数()sin 3f x x x π=+-的某个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可求得1234028402920152015201520152015f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 ．13、已知实数a 、b 、c 满足222a b c +=，0c ≠，则2ba c-的取值范围为 ． 14、设函数()()lg 1f x x =+，实数a ，b （a b <）满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，()106214lg2f a b ++=，则a b +的值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15、（本小题满分14分）已知02παβπ<<<<，且()5sin 13αβ+=，1tan 22α=．()1求cos α的值；()2求sin β的值．16、（本小题满分14分）已知函数()212cos 2f x x x =--，R x ∈． ()1求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；()2设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =()C 0f =，若sin 2sin B =A ，求a ，b 的值．17、（本小题满分14分）某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x 个月的利润函数()()()1,1201,216010x x f x x x x **⎧≤≤∈N ⎪=⎨≤≤∈N ⎪⎩（单位：万元）．为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中．记第x 个月的利润率为()x g x x =第个月的利润第个月的资金总和，例如()()()()338112f g f f =++．()1求()10g ；()2求第x 个月的当月利润率；()3求该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．18、（本小题满分16分）已知函数()21f x x =-，()1g x a x =-．()1若R x ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； ()2求函数()()()h x f x g x =+在区间[]2,2-上的最大值．19、（本小题满分16分）已知函数()ln f x x =．()1求函数()()1g x f x x =+-的最大值；()2若0x ∀>，不等式()21f x ax x ≤≤+恒成立，求实数a 的取值范围；()3若120x x >>，求证：()()1222212122f x f x xx x x x ->-+．20、（本小题满分16分）已知函数()12416mx f x x =+，()212x mf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中R m ∈．()1若02m <≤，试判断函数()()()12f x f x f x =+（[)2,x ∈+∞）的单调性，并证明你的结论；()2设函数()()()12,2,2f x xg x f x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，若对任意大于等于2的实数1x ，总存在唯一的小于2的实数2x ，使得()()12g x g x =成立，试确定实数m 的取值范围．江苏省泰州中学2016届高三第一次月度质量检测数学试题参考答案一、填空题1、{}1,0,1-2、12 3 4、,⎛-∞ ⎝⎭5、16、e -7、2cos 4y x =-8、充要9、[]1,2 10、21,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭11、11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 12、8058- 13、33⎡-⎢⎣⎦14、1115-二、解答题18、解：。

姜堰区2015-2016学年度第一学期期中调研测试高三年级数学试题（理） 2015．11命题人：史记祥（省姜堰二中） 审核人：王如进 孟太数学Ⅰ（本卷考试时间：120分钟 总分160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．若复数(32)z i i =-（i 是虚数单位），则z 的实部为 ▲ ．2．已知[1,4],(,]A B a ==-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 ▲ ．3．若样本数据1210,,...,x x x 的平均数为8，则数据121021,21,...,21x x x ---的平均数为 ▲ ．4．若,x y 满足010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ▲ ．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．6．设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的 ▲ 条件（从“充分不必要”、“必 要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）．7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为 ▲ ． 8．将函数()cos f x x =图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到（第5题图）的图像向右平移3π个单位长度得到函数()g x ，则()g x = ▲ ．9．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若6a B C π===，则b = ▲ ．10．在ABC ∆中，点,M N 满足2,AM MC BN NC ==，若MN xAB y AC =+，则x y += ▲ ．11．若函数6,2()(0,1)3log ,2a x x f x a a x x -+≤⎧=>≠⎨+>⎩的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是▲ ．12．过点(1,0)P -作曲线:xC y e =的切线，切点为1T ，设1T 在x 轴上的投影是点1H ，过点1H 再作曲线C 的切线，切点为2T ，设2T 在x 轴上的投影是点2H ，依次下去，得到第1n +()n N ∈个切点1n T +，则点2015T 的坐标为 ▲ ．13．如果函数21()(2)(8)1(0,0)2f x m x n x m n =-+-+≥≥在区间1[,2]2单调递减，则mn 的最大值为 ▲ ．14．设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的有 ▲（写出所有正确条件的编号）①0,2a b ==；②3,2a b ==；③3,3a b =-=-；④3,2a b =-=；⑤3,2a b =-> 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数2()sin cos sin 222x x xf x =-．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[,0]π-上的最小值．16．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量22(,),(sin ,cos ),(0,)2m n x x x π=-=∈． （1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值．17．（本小题满分14分）已知关于x 的方程()230x m x m +-+=．（1）若方程的一根在区间(2,0)-内，另一根在区间(0,4)内，求实数m 的取值范围； （2）若方程的两根都在区间(0,2)，求实数m 的取值范围． 18．（本小题满分16分）强度分别为,a b 的两个光源,A B 间的距离为d ．已知照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，比例系数为(0,)k k k >为常数．线段AB 上有一点P ，设AP x =，P 点处总照度为y ．试就8,1,3a b d ===时回答下列问题．（注：P 点处的总照度为P 受,A B 光源的照度之和）（1）试将y 表示成关于x 的函数，并写出其定义域； （2）问：x 为何值时，P 点处的总照度最小？19．（本小题满分16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列， {}n b 是等差数列，且111,a b ==2332,b b a +=5237a b -=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设*,n n n c a b n N =?，其前n 项和为n T ．①求n T ；②若(3)n n T λ≤-对任意n N +∈恒成立，求λ的最大值．20．（本小题满分16分）已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-．（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）证明：当1x >时，()1f x x <-；（3）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()(1)f x k x >-．数学Ⅱ（本卷考试时间：30分钟 总分40分）21A ．（本小题满分10分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，已知2sin 2sin sin B A C =，90B =，且a = 求ABC ∆的面积．21B ．（本小题满分10分）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式．22．（本小题满分10分）投资生产A 产品时，每生产100t 需要资金200万元，需场地2002m ，可获得利润300万元；投资生产B 产品时，每生产100m 需要资金300万元，需场地1002m ，可获得利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地9002m ，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？23．（本小题满分10分）已知函数4()4,f x x x x R =-?． （1）求()f x 的单调性；（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =，求证：对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £．姜堰区2015-2016学年度第一学期期中调研测试高三年级数学试题（理）参考答案数学Ⅰ1.22.4a ≥3.154.25.76.充分不必要7.568.1cos()26x π- 9.32或3 10.1311.12a <≤ 12.2014(2014,)e 13.18 14. ①②③⑤ 15. 解：（1）sin 1cos 11()(sin cos )2222x x f x x x -=-=+-1)42x π=+- -----------4分所以()f x 的最小正周期221T ππ== -----------7分（2）因为[,0]x π∈-，所以3[,]444x πππ+∈------------9分所以当42x ππ+=-，即34x π=-时 -----------11分()f x 取最小值为12------------14分16．解：（1）因为m n ⊥，所以2(,(sin ,cos )m n xx ⋅=⋅ 0x x =-= -----------4分所以sin cos x x = 因为(0,)2x π∈，所以tan 1x =-----------7分（2）由cos 3||||m n m n π⋅== sin()4x π=------------10分因为(0,)2x π∈，所以(,)444x πππ-∈------------12分所以46x ππ-=，即512x π=-----------14分17．解：（1）令2()(3)f x x m x m =+-+，由题意可知(2)0(0)0(4)0f f f ->⎧⎪<⎨⎪>⎩，即42(3)00164(3)0m m m m m --+>⎧⎪<⎨⎪+-+>⎩-----------4分 解得405m -<< -----------7分 （2）由题意可知23032(3)40042(3)0m m m m m m -⎧<-<⎪⎪⎪--≥⎨⎪>⎪+-+>⎪⎩ -----------10分解得213m <≤ -----------14分 18．解：（1）由题意可知：P 点处受A 光源的照度为1228ka ky x x== -----------2分P 点处受B 光源的照度为122(3)(3)kb ky x x ==-- -----------4分 从而，P 点的总照度为228(3)k ky x x =+-， -----------6分其定义域为{|03}x x << -----------7分（2）对函数求导，可得'33162(3)k ky x x =-+-， -----------9分令'0y =，得33331622160,(3)(3)k k k kx x x x -+==--， 因为0k >，所以3318(3)x x=-，所以338(3)x x =-，解得2x = -----------11分当''02,0;23,0x y x y <<<<<> -----------13分因此，2x =时，y 取得极小值，且是最小值 -----------15分答：2x =时，P 点处的总照度最小 -----------16分19．解：（1）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，由题意0q >，由已知,有24232310q d q d ⎧-=⎨-=⎩ -----------1分 解得2,2q d == -----------3分所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N , {}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N ----------5分（2）由（1）有()1212n n c n -=- ，则()0121123252212,n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯()1232123252212,n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯----------7分两式相减得()()2312222122323,n n n n T n n -=++++--⨯=--⨯-所以()2323n n T n =-+ -----------10分（3）令(3)(23)2n n n e n T n n =-=- 由1n n e e +<，得1(23)2(1)(21)2nn n n n n +-<+-，即(23)2(1)(21)n n n n -<+-解得对任意n N +∈成立，即数列{}n e 为单调递增数列， 所以{}n e 的最小项为12e =------------13分因为n e λ≤对任意n N +∈恒成立，所以2λ≤-， 所以λ的最小值为2------------16分20．解：（1）函数的定义域为(0,)+∞ -----------1分对函数求导，得2'11()1x x f x x x x-++=-+= -----------2分由'()0f x >，得2010x x x x >⎧⎪⎨-++>⎪⎩，解得0x <<故()f x的单调递增区间为 -----------4分证明：（2）令()()(1),(1,)F x f x x x =--∈+∞，则有2'1()x F x x-= -----------5分当(1,)x ∈+∞时，'()0F x <，所以()F x 在(1,)+∞上单调递减， -----------7分故当1x >时，()(1)0F x F <=，即1x >时，()1f x x <- -----------9分解：（3）由（2）知，当1k =时，不存在01x >满足题意； -----------10分当1k >时，对于1x >，有()1(1)f x x k x <-<-，则()(1)f x k x <-，从而不存在01x >满足题意； -----------12分当1k <时，令()()(1),(1,)G x f x k x x =--∈+∞则有2'1(1)1()1x k x G x x k x x-+-+=-+-=由'()0G x =得，2(1)10x k x -+-+=．解得120,1x x =<=> -----------14分 所以当2(1,)x x ∈时，'()0G x >，故()G x 在2(1,)x 内单调递增，从而当2(1,)x x ∈时，()(1)0G x G >=，即()(1)f x k x >-综上，k 的取值范围是1k < -----------16分数学Ⅱ21A ．解：由题意及正弦定理可知：22b ac =； -----------3分因为90B =，由勾股定理得222a c b +=； -----------5分又a =，所以解得c a ==； -----------7分所以ABC ∆的面积112S ==． -----------10分21B ．解：由已知12n n S a a =-，有1122(2)n n n n n a S S a a n --=-=-≥，即12(2)n n a a n -=≥. -----------5分 从而21312,4a a a a ==，又因为123,1,a a a +成等差数列，即1322(1)a a a +=+，所以11142(21)a a a +=+，解得12a =； -----------8分 所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故2n n a =. -----------10分22.解：设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，利润为S 百万元，则约束条件为2314290x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ ； -----------3分目标函数为32S x y =+ . -----------5分作出可行域，将目标函数32S x y =+变形为322S y x =-+ 这是斜率为32-，随S 变化的一族直线.2S 是直线在y 轴上的截距，当2S 最大时，S 最大. 由图象可知，使32x y +取得最大值的(,)x y 是两直线2314x y +≤与29x y +≤的交点(3.25,2.5)此时14.75S = -----------9分 答：生产A 产品325吨，生产B 产品250米时，获利最大，且最大利润为1475万元. --10分23.解：（1）由4()4f x x x =-,可得3()44f x x ¢=-, -----------1分当()0f x '> ,即1x < 时,函数()f x 单调递增；当()0f x '< ,即1x > 时,函数()f x 单调递减；所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞. -----------4分（2）设()0,0P x ,则1304x = ,()012,f x '=- -----------5分 曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=-,即()()()00g x f x x x '=-；令()()()F x f x g x =- 即()()()()0F x f x f x x x '=-- -----------6分则()()()0F x f x f x '''=-；由于3()44f x x =-在(),-∞+∞ 单调递减， 所以()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又因为()00F x '=，所以当()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<, -----------8分 所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤=，即对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £. ――----10分。

江苏省泰州中学2015-2016学年度第二学期期初质量检测数学1第Ⅰ卷一、填空题1、复数(1)(i i i +是虚数单位）的虚部是2、从编号为0,1,2,,79 的80件产品中采用系统抽样的方法，抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则唱吧总产品的最小编号为3、若圆锥的底面周长为2π，侧米奈也为2π，则该圆锥的体积为4、右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是5、已知一个三角形的三边长分别是5,5,6，已知蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是6、设函数()3log (1),10tan(),012x x f x x x π⎧+-<≤⎪=⎨<<⎪⎩，则[(1)]3f f -= 7、已知:P 关于x 的不等式220x ax a +-≤有解，:0q a >或1a <-，则P 是q 的 条件（空格处填写“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）8、已知1sin()64x π+=，则25sin()sin ()63x x ππ-+-= 9、已知12,F F 是椭圆22121x y k k +=++的左右焦点，先AB 过1F ，若2ABF ∆的周长为8， 则椭圆的离心率为10、设m R ∈，实数,x y 满足23603260x m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若218x y +≤，则实数m 的取值范围11、在矩形ABCD 中，AB BC ==，P 为矩形内一点，且2AP =，若(,)AP AB AD Rλμλμ=+∈的最大值为12、数列{}n a 中，11,n a S =-为数列{}n a 的前n 项和，且对2n ∀>，都有221n n n n a a S S =--， 则{}n a 的通项公式n a =13、不等式2(1)(43)0x x x +-+>有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出11y x =+和2243y x x =-+的图象然后观察求解，请类比求解一下问题： 设,a b Z ∈，若对任意0x ≤，都有()22(2)0ax x b ++≤，则a b + 14、对与函数()y f x =，若存在定义域D 内某个区间[],a b ，使得()y f x =在[],a b 上的值域也是[],a b ，则函数()y f x =在定义域D 上封闭，如果函数()2(0)1kx f x k x =≠+在R 上封闭，那么实数k 的取值范围是三、解答题：15、（本小题满分10分）已知()322sin()sin(),2f x x x x x R ππ=++-∈ （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且()3f A a ==，求BC 边上的高的最大值。

2015-2016学年江苏省泰州中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B={2，3}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；定义法；集合．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．sin20°cos10°+cos20°sin10°=．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°=，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题．3．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】定义法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，则（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键．4．方程log2（3x+2）=1+log2（x+2）的解为2．【考点】对数的运算性质．【专题】方程思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数运算法则化简求解方程的解即可．【解答】解：方程log2（3x+2）=1+log2（x+2），可得log2（3x+2）=log2（2x+4），可得3x+2=2x+4，解得x=2，经检验可知x=2是方程的解．故答案为：2．【点评】本题考查对数方程的解法，注意方程根的检验．5．已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则a6的值等于32．【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8=a1a4，解得a1，a4．再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8=a1a4，解得a1=1，a4=8．∴q3=8，解得q=2．∴a6=25=32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．曲线y=2x﹣lnx在点（1，2）处的切线方程是x﹣y+1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即可．【解答】解：由函数y=2x﹣lnx知y′=2﹣，把x=1代入y′得到切线的斜率k=2﹣=1则切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0【点评】考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程．7．设函数，则f（f（﹣1））的值是﹣16．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数求解函数值即可．【解答】解：函数，则f（f（﹣1））=f（1+3）=f（4）=﹣24=﹣16．故答案为：﹣16．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．8．设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于6．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，就是2π的整数倍，容易得到结果．【解答】解：∵y=f（x）的图象向右平移个单位长度后所得：y=cosω（x﹣）=cos（ωx﹣）；∵函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，就是2π的整数倍，所以=2kπ所以ω=6k，k∈Z；ω＞0∴ω的最小值等于：6．故答案为：6．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．9．已知sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则cos2α的值为．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由0°＜α＜90°，则﹣45°＜α﹣45°＜45°，求得cos（α﹣45°），再由α=（α﹣45°）+45°，求出余弦，再由二倍角的余弦公式，代入数据，即可得到．【解答】解：由于sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则﹣45°＜α﹣45°＜45°，则有cos（α﹣45°）==，则有cosα=cos（α﹣45°+45°）=cos（α﹣45°）cos45°﹣sin（α﹣45°）sin45°==，则cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=，故答案为：．【点评】本题考查三角函数的求值，考查两角和的余弦公式和二倍角的余弦公式，考查角的变换的方法，考查运算能力，属于中档题．10．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为15．【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理．【专题】综合题；压轴题．【分析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：15【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．11．已知方程x3﹣ax+2=0（a为实数）有且仅有一个实根，则a的取值范围是（﹣∞，3）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】方程x3﹣ax+2=0，即为a=x2+，由f（x）=x2+，可得导数及单调区间，可得极小值，由题意可得a的范围．【解答】解：方程x3﹣ax+2=0，即为a=x2+，由f（x）=x2+，导数f′（x）=2x﹣，可得f（x）在（1，+∞）单调递增，在（0，1）递减，在（﹣∞，0）递减，即有x=1处取得极小值3，有且仅有一个实根，则a＜3．故答案为：（﹣∞，3）．【点评】学会用导数及单调性处理根的存在与个数问题，极值是解决此问题的关键．是中档题．12．已知数列{a n}满足a n+1=qa n+2q﹣2（q为常数），若a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，则a1=﹣2或﹣或79．【考点】数列递推式．【专题】综合题；分类讨论；综合法；等差数列与等比数列．【分析】观察已知式子，移项变形为a n+1+2=q（a n+2），从而得到a n+2与a n+1+2的关系，分a n=﹣2和a n≠﹣2讨论，当a n≠﹣2时构造公比为q的等比数列{a n+2}，进而计算可得结论．【解答】解：∵a n+1=qa n+2q﹣2（q为常数，），∴a n+1+2=q（a n+2），n=1，2，…，下面对a n是否为2进行讨论：①当a n=﹣2时，显然有a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，此时a1=﹣2；②当a n≠﹣2时，{a n+2}为等比数列，又因为a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，所以a3+2，a4+2，a5+2∈{﹣3，0，1，9}，因为a n ≠﹣2，所以a n +2≠0，从而a 3+2=1，a 4+2=﹣3，a 5+2=9，q=﹣3或a 3+2=9，a 4+2=﹣3，a 5+2=1，q=﹣代入a n+1=qa n +2q ﹣2，可得到a 1=﹣，或a 1=79；综上所述，a 1=﹣2或﹣或79，故答案为：﹣2或﹣或79．【点评】本题考查数列的递推式，对数列递推式能否成功变形是解答本题的关键所在，要分类讨论思想在本体重的应用，否则容易漏解，注意解题方法的积累，属于难题．13．已知平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，点E ，F 分别在线段BC ，DC上运动，设，则的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由题意画出图形，把都用含有的式子表示，展开后化为关于λ的函数，再利用基本不等式求最值． 【解答】解：如图，， ．∵AB=2，AD=1，∠DAB=60°，∴====．当且仅当，即时，上式等号成立．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，体现了数学转化思想方法，是中档题．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af （x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+b=0必有两个根t1、t2，则有两种情况：（1）t1=，且t2∈（1，），（2）t1∈（0，1]，t2∈（1，），符合题意，讨论求解．【解答】解：依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+b=0必有两个根t1、t2，则有两种情况符合题意：（1）t1=，且t2∈（1，），此时﹣a=t1+t2，则a∈（﹣，﹣）；（2）t1∈（0，1]，t2∈（1，），此时同理可得a∈（﹣，﹣1），综上可得a的范围是（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．故答案为：（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．【点评】本题考查了分段函数与复合函数的应用，属于难题．二、解答题：本大题共10小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图已知四边形AOCB中，||=5，=（5，0），点B位于第一象限，若△BOC为正三角形．（1）若cos∠AOB=，求A点坐标；（2）记向量与的夹角为θ，求cos2θ的值．【考点】平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）设∠AOB=α，cosα=，sinα=．可得：x A=，y A=．（2）B，计算.，．可得cosθ=．【解答】解：（1）设∠AOB=α，cosα=，sinα=．x A===．y A==5=．∴A．（2）B，=．=．∴=﹣=．=5，=5．∴cosθ==．∴cos2θ=2cos2θ﹣1=．【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．在等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1与a3﹣1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{bn}满足．求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项公式；（2）化简b n=2n﹣1+（﹣），运用分组求和和裂项相消求和，化简即可得到所求和．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，a2是a1与a3﹣1的等差中项，即有a1+a3﹣1=2a2，即为1+q2﹣1=2q，解得q=2，即有a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）=a n+=2n﹣1+（﹣），2+…+2n﹣1）+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）数列{b=+1﹣=2n﹣．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．17．如图，某市若规划一居民小区ABCD，AD=2千米，AB=1千米，∠A=90°，政府决定从该地块中划出一个直角三角形地块AEF建活动休闲区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为1千米，△AEF的面积为S．（1）①设AE=x，求S关于x的函数关系式；②设∠AEF=θ，求S关于θ的函数关系式；（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）①设AF=y，由勾股定理可得y=（由y＞0可得0＜x＜），即可得到S的解析式；②AF=xtanθ，EF=，由周长为1，解得x，即可得到S的解析式；（2）由①得S=（0＜x＜），设1﹣x=t（＜t＜1），则x=1﹣t，可得S==（3﹣2t﹣）运用基本不等式，可得最大值及x的值．【解答】解：（1）①设AF=y，由勾股定理可得x2+y2=（1﹣x﹣y）2，解得y=（由y＞0可得0＜x＜），可得S=xy=（0＜x＜）；②AF=xtanθ，EF=，由x+xtanθ+=1，可得x=，即有S=xy=（0＜θ＜）；（2）由①得S=（0＜x＜），设1﹣x=t（＜t＜1），则x=1﹣t，S==（3﹣2t﹣）≤（3﹣2）=，当且仅当2t=，即t=，即x=1﹣时，直角三角形地块AEF的面积S最大，且为．【点评】本题考查函数的最值的求法，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，同时考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．18．设函数f（x）=，（a＞0，b∈R）（1）当x≠0时，求证：f（x）=f（）；（2）若函数y=f（x），x∈[，2]的值域为[5，6]，求f（x）；（3）在（2）条件下，讨论函数g（x）=f（2x）﹣k（k∈R）的零点个数．【考点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）把f（x）中的x换上便可求出，整理之后便可得出f（x）=；（2）将f（x）变成，求导数，判断导数符号：x∈[）时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0，从而得出x=1时f（x）取到最小值5，并且f（）=f（2）=6，从而得到，这样即可解出a=2，b=1，从而得出f（x）=；（3）先求出g（x）=2（2x+2﹣x）+1﹣k，根据（2）便可判断g（x）的单调性，从而得出g （x）最小值为5﹣k，这样讨论5﹣k和0的关系即可得出g（x）零点的情况．【解答】解：（1）证明：；∴；（2），；∵，a＞0；∴时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0；∴x=1时f（x）取最小值6，即2a+b=5；∴f（）=6，或f（2）=6；∴；解得a=2，b=1；∴；（3）g（x）=2（2x+2﹣x）+1﹣k；y=2x为增函数；∴由（2）知，2x＜1，即x＜0时，g（x）单调递减，x＞0时，g（x）单调递增；∴x=0时，g（x）取到最小值5﹣k，x趋向正无穷和负无穷时，g（x）都趋向正无穷；∴①5﹣k＜0，即k＞5时，g（x）有两个零点；②5﹣k=0，即k=5时，g（x）有一个零点；③5﹣k＞0，即k＜5时，g（x）没有零点．【点评】考查已知f（x）求f[g（x）]的方法，根据导数符号判断函数的单调性及求函数在闭区间上的最值的方法，复合函数单调性的判断，以及函数零点的概念及零点个数的判断．19．设数列{a n}，{b n}，{c n}满足a1=a，b1=1，c1=3，对于任意n∈N*，有b n+1=，c n+1=．（1）求数列{c n﹣b n}的通项公式；（2）若数列{a n}和{b n+c n}都是常数项，求实数a的值；（3）若数列{a n}是公比为a的等比数列，记数列{b n}和{c n}的前n项和分别为S n和T n，记M n=2S n+1﹣T n，求M n＜对任意n∈N*恒成立的a的取值范围．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据条件建立方程关系即可求出求数列{c n﹣b n}的通项公式；（2）b1+c1=4，数列{a n}和{b n+c n}都是常数项，即有a n=a，b n+c n=4，即可得到a=2；（3）由等比数列的通项可得a n=a n，由M n=2b1+（2b2﹣c1）+（2b3﹣c2）+…+（2b n+1﹣c n）=2+a+a2+…+a n，由题意可得a≠0且a≠1，0＜|a|＜1．运用等比数列的求和公式和不等式恒成立思想，计算即可得到a的范围．【解答】解：（1）由于b n+1=，c n+1=．c n+1﹣b n+1=（b n﹣c n）=﹣（c n﹣b n），即数列{c n﹣b n}是首项为2，公比为﹣的等比数列，所以c n﹣b n=2（﹣）n﹣1；（2）b n+1+c n+1=（b n+c n）+a n，因为b1+c1=4，数列{a n}和{b n+c n}都是常数项，即有a n=a，b n+c n=4，即4=×4+a，解得a=2；（3）数列{a n}是公比为a的等比数列，即有a n=a n，由M n=2S n+1﹣T n=2（b1+b2+…+b n）﹣（c1+c2+…+c n）=2b1+（2b2﹣c1）+（2b3﹣c2）+…+（2b n+1﹣c n）=2+a+a2+…+a n，由题意可得a≠0且a≠1，0＜|a|＜1．由2+＜对任意n∈N*恒成立，即有2+≤，解得﹣1＜a＜0或0＜a≤．故a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，]．【点评】本题主要考查数列的应用，等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式恒成立思想，考查学生的运算能力．20．设f（x）=x2lnx，g（x）=ax3﹣x2．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），求实数a的取值范围；（3）若使方程f（x）﹣g（x）=0在x∈[e，e n]（其中e=2.7…为自然对数的底数）上有解的最小a的值为a n，数列{a n}的前n项和为S n，求证：S n＜3．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；数列的求和．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，求得单调区间和极值，即可得到最小值；（2）由题意可得a＜在（0，+∞）成立，设h（x）=，求出导数，求得单调区间和极值，最大值，即可得到a的范围；（3）方程f（x）﹣g（x）=0，即为a=在x∈[e，e n]上有解，求得h（x）在x∈[e，e n]上的最小值，可得a n=（1+n）e﹣n，由错位相减法求得S n，再由不等式的性质即可得证．【解答】解：（1）f（x）=x2lnx的导数为f′（x）=2xlnx+x=x（1+2lnx），x＞0，当x ＞时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当0＜x ＜时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减．即有x=处取得极小值，也为最小值﹣；（2）存在x ∈（0，+∞），使f （x ）＞g （x ）， 即为a ＜在（0，+∞）成立，设h （x ）=，h ′（x ）==﹣，当x ＞1时，h ′（x ）＜0，h （x ）递减；当0＜x ＜1时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增． 即有x=1处取得极大值，也为最大值1， 则a ＜1，即a 的取值范围是（﹣∞，1）；（3）证明：方程f （x ）﹣g （x ）=0，即为a=在x ∈[e，e n ]上有解，由（2）可得h （x ）=在（e，1）递增，在（1，e n ]递减，由e＜e n ，可得x=e n 处取得最小值，且为（1+n ）e ﹣n ，前n 项和为S n =2e ﹣1+3e ﹣2+4e ﹣3+…+（1+n ）e ﹣n ， eS n =2e 0+3e ﹣1+4e ﹣2+…+（1+n ）e 1﹣n ， 相减可得，（e ﹣1）S n =2+e ﹣1+e ﹣2+e ﹣3+…+e 1﹣n ﹣（1+n ）e ﹣n =1+﹣﹣（1+n ）e ﹣n化简可得S n =﹣e ﹣n （+n+1）＜＜3．故S n ＜3成立．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，考查不等式（或方程）成立的条件，注意运用参数分离和构造函数，考查等比数列的求和公式及数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．21．设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换， （1）求M ﹣1；（2）求直线4x ﹣9y=1在M 2的作用下的新曲线的方程． 【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】对应思想；定义法；矩阵和变换． 【分析】（1）根据矩阵M ，求出它的逆矩阵M ﹣1；（2）根据题意，求出M 2以及对应M 2[]的表达式，写出对应新曲线方程． 【解答】解：（1）∵M=[]， ∴M ﹣1=[]； （2）∵M 2=[]，∴M2[]=[][]=[]=[]；又∵4x﹣9y=1，∴x′﹣y′=1，即所求新曲线的方程为x﹣y=1．【点评】本题考查了矩阵与逆矩阵的应用问题，也考查了矩阵变换的应用问题，是基础题．22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；（1）设M（x，y）是圆C上的动点，求m=3x+4y的取值范围；（2）求圆C的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）将参数方程代入m=3x+4y得到m关于参数φ得三角函数，利用正弦函数的性质得出m的最值；（2）先求出圆C的普通方程，再转化为极坐标方程．【解答】解：（1）m=3（1+cosφ）+4sinφ=3+3cosφ+4sinφ=3+5sin（φ+θ）（sinθ=，cosθ=）．∵﹣1≤sin（φ+θ）≤1，∴﹣2≤m≤8．即m的取值范围是[﹣2，8]．（2）圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0．∴圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程的转化，参数方程的应用，属于基础题．23．班上有四位同学申请A，B，C三所大学的自主招生，若每位同学只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A大学或B大学的概率；（2）求申请C大学的人数X的分布列与数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）记“恰有2人申请A大学或B大学”为事件M，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生中k次的概率计算公式能求出恰有2人申请A大学或B大学的概率．（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）记“恰有2人申请A大学或B大学”为事件M，则P（M）==，∴恰有2人申请A大学或B大学的概率为．（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），P（X=0）==，P （X=1）==，P （X=2）==，P （X=3）==，P （X=4）==，∴X 的分布列为： X 0 1 2 3 4PE （X ）=4×=．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．24．已知数列{a n }满足，记数列{a n }的前n 项和为S n ，c n =S n ﹣2n+2ln （n+1）（1）令，证明：对任意正整数n ，|sin （b n θ）|≤b n |sin θ|（2）证明数列{c n }是递减数列． 【考点】数列的求和．【专题】转化思想；构造法；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由于，，可得b n+1==1+b n ，利用等差数列的通项公式可得b n =n ．对任意正整数n ，要证明|sin （b n θ）|≤b n |sin θ|，只要证明：|sinn θ|≤n|sin θ|，利用数学归纳法证明即可．（2）由（1）可得：，解得a n =2﹣．c n =S n ﹣2n+2ln （n+1），当n ≥2时，可得c n﹣c n ﹣1=2（ln﹣）．（n ≥2）．令1+=x ，．记f （x ）=lnx ﹣（x ﹣1），利用导数研究其单调性即可得出．【解答】证明：（1）∵，，∴b n+1====1+=1+b n ，∴b n+1﹣b n =1，∴数列{b n }是等差数列，首项b 1==1，公差为1．∴b n =1+（n ﹣1）=n ．对任意正整数n ，要证明|sin （b n θ）|≤b n |sin θ|，只要证明：|sinn θ|≤n|sin θ|，（*）． 下面利用数学归纳法证明： ①当n=1时，（*）成立． ②假设n=k 时，（*）成立，即|sink θ|≤k|sin θ|，则当n=k+1时，|sin （k+1）θ|=|sink θcos θ+cosk θsin θ|≤|sink θ||cos θ|+|cosk θ||sin θ|≤|sink θ|+|sin θ|≤（k+1）|sin θ|， 即n=k+1时，（*）成立．由①②可知：对任意正整数n ，|sin （b n θ）|≤b n |sin θ|．（2）由（1）可得：，解得a n =2﹣．c n =S n ﹣2n+2ln （n+1），当n ≥2时，c n ﹣1=S n ﹣1﹣2（n ﹣1）+2lnn ，∴c n ﹣c n ﹣1=a n ﹣2+2ln =﹣+2ln=2（ln﹣）．（n ≥2）．令1+=x ，．记f （x ）=lnx ﹣（x ﹣1），f ′（x ）=﹣1=＜0，∴f （x ）在上单调递减，∴f （x ）＜f （1）=0，∴ln﹣＜0．∴c n ﹣c n ﹣1＜0，即c n ＜c n ﹣1， ∴数列{c n }是递减数列．【点评】本题考查了数列的单调性、利用导数研究函数的单调性、数学归纳法、递推关系的应用、和差公式、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

江苏省泰州中学2015-2016学年第一学期期中调研测试高三数学Ⅰ（考试时间120分钟 总分160分）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1. 设全集U R =,若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则A B = ▲ ．2. sin 20cos10cos 20sin10︒︒︒︒+= ▲ ．3. 折x R ∈，则“21x -<”是“220x x +->”的 条件.（填“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 4. 方程22log (32)1log (2)x x +=++的解为 ▲ ．5. 已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则6a 的值等于 ▲ ．6. 曲线2ln y x x =-在点(1,2)处的切线方程是 ▲ ．7. 设函数13,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则((1))f f -的值是 ▲ ．8. 设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 ▲ ．9. 已知sin(45)09010αα︒︒︒-=-<<且，则cos2α的值为 ▲ ． 10. 已知ABC ∆的一个内角为120︒，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为 ▲ ．11. 已知方程320()x ax a -+=为实数有且仅有一个实根，则a 的取值范围是 ▲ ． 12. 已知数列{}n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数），若{}3,45,5,2,1,7a a a ∈---，则1a = ▲ ．13. 已知平行四边形ABCD 中，2,1,60AB AD DAB ︒==∠=，点,E F 分别在线段,BC DC 上运动，设1,9BE BC DF DC λλ==，则AE AF ⋅的最小值是 ▲ ．14. 已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数.当0x ≥时，25(02)16()1()1(2)2x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程[]2()()0,,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）如图已知四边形AOCB 中,||5OA =,(5,0)OC =,点位于第一象限，若△BOC 为正三角形. （1）若3cos ,5AOB ∠=求点A 的坐标； （2）记向量OA 与BC 的夹角为θ，求cos2θ的值.16.（本小题满分14分）在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 与31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足*1(1)()(1)nn n n a b n N n n ++=∈+。

2016-2017学年江苏省泰州中学高三（上）摸底数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置．1．（5分）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B等于．2．（5分）已知复数z满足（1+i）•z＝﹣i，则的模为．3．（5分）已知+＝2，则a＝．4．（5分）如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为．5．（5分）若双曲线x2﹣＝1的焦点到渐进线的距离为2，则实数k的值是．6．（5分）在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是．7．（5分）下面求2+5+8+11+…+2012的值的伪代码中，正整数m的最大值为．8．（5分）向量＝（cos10°，sin10°），＝（cos70°，sin70°），|﹣2|＝．9．（5分）对于函数y＝f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y＝f（x）为k倍值函数．若f（x）＝lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是．10．（5分）函数y＝1﹣（x∈R）的最大值与最小值之和为．11．（5分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）及圆上的点A（0，﹣r），过点A的直线l交圆于另一点B，交x轴于点C，若OC＝BC，则直线l的斜率为．12．（5分）已知|AB|＝3，C是线段AB上异于A，B的一点，△ADC，△BCE均为等边三角形，则△CDE的外接圆的半径的最小值是．13．（5分）已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是．14．（5分）设等比数列{a n}满足公比q∈N*，a n∈N*，且{a n}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a1＝281，则q的所有可能取值的集合为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）已知0＜α＜＜β＜π且sin（α+β）＝，tan＝．（1）求cosα的值；（2）证明：sinβ．16．（15分）如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB＝2AE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．17．（15分）某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．18．（15分）已知椭圆Γ：．（1）椭圆Γ的短轴端点分别为A，B（如图），直线AM，BM分别与椭圆Γ交于E，F两点，其中点M（m，）满足m≠0，且m．①证明直线EF与y轴交点的位置与m无关；②若△BME面积是△AMF面积的5倍，求m的值；（2）若圆φ：x2+y2＝4．l1，l2是过点P（0，﹣1）的两条互相垂直的直线，其中l1交圆φ于T、R两点，l2交椭圆Γ于另一点Q．求△TRQ面积取最大值时直线l1的方程．19．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＝t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n2+S n a n，若数列{b n}为等比数列，求t的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设c n＝4a n+1，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．20．（15分）已知函数f（x）＝（e为自然数的底数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数x使得f（1﹣x）＝f（1+x），若存在求出x，否则说明理由；（3）若存在不等实数x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），证明：f（）＜0．2016-2017学年江苏省泰州中学高三（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置．1．【解答】解：由集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝{x|x＞0}∩{﹣1，0，1，2}＝{1，2}．故答案为：{1，2}．2．【解答】解：由（1+i）•z＝﹣i，得：．所以，所以．故答案为．3．【解答】解：，可化为log a2+log a3＝2，即log a6＝2，所以a2＝6，又a＞0，所以a＝．故答案为：．4．【解答】解：由图示可知，甲的平均成绩为（88+89+90+91+92）＝90，设被污损的数字为x，则乙的平均成绩为90+（﹣7﹣7﹣3+9+x）＞90，即x﹣8＞0，解得x＞8．即x＝9，故所求概率为．故答案为：5．【解答】解：双曲线的渐近线方程为；焦点坐标是．由焦点到渐近线的距离为，不妨．解得k＝8．故答案为8．6．【解答】解：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以OA＝，OB＝1所以旋转体的体积：故答案为：7．【解答】解：由伪代码知，这是当型循环结构的算法，由于累加项的步长为3，循环变量I的终值为2012故2012＜m＜2016由于m是正整数，所以最大值为2015．故答案为：20158．【解答】解：∵向量＝（cos10°，sin10°），＝（cos70°，sin70°），∴＝cos10°cos70°+sin10°sin70°＝cos（70°﹣10°）＝cos60°＝．||＝＝1，同理＝1．∴|﹣2|＝＝＝．故答案为：．9．【解答】解：∵f（x）＝lnx+x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）＝ka，f（b）＝kb，即：lna+a＝ka，lnb+b＝kb，即a，b为方程lnx+x＝kx的两个不同根．∴k＝1+，令1+＝g（x），令g'（x）＝＝0，可得极大值点x＝e，故g （x）的极大值为：g（e）＝1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+时，直线y＝k与曲线y＝g（x）的图象有两个交点，方程k＝1+有两个解．故所求的k的取值范围为（1，1+），故答案为（1，1+）．10．【解答】解：f（x）＝1﹣，x∈R．设g（x）＝﹣，因为g（﹣x）＝﹣＝＝﹣g（x），所以函数g（x）是奇函数．奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数．设g（x）的最大值为M，则g（x）的最小值为﹣M．所以函数f（x）的最大值为1+M，则f（x）的最小值为1﹣M．∴函数f（x）的最大值与最小值之和为2．故答案为211．【解答】解：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx﹣r，联立直线与圆的方程，可得B（，），∵C（，0），OC＝BC，∴（）2＝（﹣）2+[]2，解得k＝±．故答案为：±．12．【解答】解：设AC＝m，CB＝n，则m+n＝3，在△CDE中，由余弦定理知DE2＝CD2+CE2﹣2CD•CE cos∠DCE＝m2+n2﹣mn＝（m+n）2﹣3mn＝9﹣3mn又，当且仅当时，取“＝”，所以，又△CDE的外接圆的半径∴△CDE的外接圆的半径的最小值是故答案为：．13．【解答】解：实数x、y满足的可行域是一个三角形，三角形的三个顶点分别为（1，4），（2，4），与原点连线的斜率分别为4，2，∴a（x2+y2）≥（x+y）2等价于a≥1+∵∈[2，4]∴≤+≤4+＝∴a≥1+＝∴实数a的最小值是故答案为：14．【解答】解：由题意，a n＝281q n﹣1，设该数列中的任意两项为a m，a t，它们的积为a p，则为a m•a t＝a p，即281q m﹣1•281q t﹣1＝281•q p﹣1，（q，m，t，p∈N*），∴q＝，故p﹣m﹣t+1必是81的正约数，即p﹣m﹣t+1的可能取值为1，3，9，27，81，即的可能取值为1，3，9，27，81，所以q的所有可能取值的集合为{281，227，29，23，2}二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】解：（1）将tan＝代入tanα＝得：tanα＝（4分）所以，又α∈（0，），解得cosα＝．（6分）（2）证明：∵0＜α＜＜β＜π，∴＜α+β＜，又sin（α+β）＝，所以cos（α+β）＝﹣，（8分）由（1）可得sinα＝，（10分）所以sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝×﹣（﹣）×＝＞．（14分）16．【解答】证明：（1）正方形ABCD中，AB∥CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE．（6分）（2）因为AE⊥平面CDE，且CD⊂平面CDE，所以AE⊥CD，（8分）又正方形ABCD中，CD⊥AD且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE，（12分）又CD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ADE．（14分）17．【解答】解：（1）由题意得：f（1）＝f（2）＝f（3）＝…═f（9）＝f（10）＝1 g（x）＝＝＝．（2）当1≤x≤20时，f（1）＝f（2）═f（x﹣1）＝f（x）＝1∴g（x）＝＝＝＝．当21≤x≤60时，g（x）＝＝＝＝＝∴当第x个月的当月利润率；（3）当1≤x≤20时，是减函数，此时g（x）的最大值为当21≤x≤60时，当且仅当时，即x＝40时，，又∵，∴当x＝40时，所以，该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为．18．【解答】解：（1）①A（0，1），B（0，﹣1），M（m，），且m≠0，∴直线AM的斜率为，直线BM斜率为，∴直线AM的方程为，直线BM的方程为．由得（m2+1）x2﹣4mx＝0，∴x＝0或x＝．∴E点的坐标为（）．由得（m2+9）x2﹣12mx＝0，解得x＝0或x＝．∴F点的坐标为（）；由已知，m≠0，m2≠3，∴直线EF的斜率＝＝．∴直线EF的方程为，令x＝0，得y＝2，∴EF与y轴交点的位置与m无关．②，，∠AMF＝∠BME，5S△AMF＝S△BME，∴5|MA||MF|＝|MB||ME|，∴，∴，（m≠0），∴整理方程得，即（m2﹣3）（m2﹣1）＝0，又∵，∴m2﹣3≠0，∴m2＝1，∴m＝±1（2）∵直线l1⊥l2，且都过点P（0，﹣1），∴设直线l1：y＝kx﹣1，即kx﹣y﹣1＝0．直线，即x+ky+k＝0，∴圆心（0，0）到直线l1的距离为，∴直线l1被圆x2+y2＝4所截的弦＝；由得，k2x2+4x2+8kx＝0，∴，∴．∴＝．当，即时等号成立，此时直线19．【解答】解：（1）当n＝1时，S1＝t（S1﹣a1+1），得a1＝t．当n≥2时，由S n＝t（S n﹣a n+1），即（1﹣t）S n＝﹣ta n+t，①得，（1﹣t）S n﹣1＝﹣ta n﹣1+t，②①﹣②，得（1﹣t）a n＝﹣ta n+ta n﹣1，即a n＝ta n﹣1，∴，∴{a n}是等比数列，且公比是t，∴．（2）由（1）知，，即，若数列{b n}为等比数列，则有，而，故[t3（2t+1）]2＝（2t2）•t4（2t2+t+1），再将代入b n，得，由，知{b n}为等比数列，∴t＝．（3）由，知，∴，∴，由不等式恒成立，得恒成立，设，由，∴当n≤4时，d n+1＞d n，当n≥5时，d n+1＜d n，而，∴d4＜d5，∴，∴．20．【解答】解：（1）f′（x）＝＝，令f′（x）＞0，解得：x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴函数f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减；（2）①若存在正实数x，使得f（1﹣x）＝f（1+x），即有＝．当x＝1时等式左边等于0，右边大于0，等式不成立；当x≠1时整理得e2x＝，当x＞1时，等式左边大于0，右边小于0，等式不成立，当0＜x＜1时，有e2x＜，故不存在正实数x，使得f（1﹣x）＝f（1+x）；②同理可证不存在负实数x，使得f（1﹣x）＝f（1+x）；③x＝0时，显然满足条件，综上x＝0时，存在实数x使得f（1﹣x）＝f（1+x）；（3）证明：由于存在不等实数x1、x2，使得f（x1）＝f（x2），即为＝，即＝ex1﹣x2，即有x1﹣x2＝lnx1﹣lnx2，即x1﹣lnx1＝x2﹣lnx2，令g（x）＝x﹣lnx，g′（x）＝1﹣，g（x1）＝g（x2），不妨设0＜x1＜1＜x2，则2﹣x1＞1，而g（2﹣x1）﹣g（x2）＝g（2﹣x1）﹣g（x1）＝（2﹣x1）﹣ln（2﹣x1）﹣x1+lnx1＝2﹣2x1﹣ln，令＝t，则t＞1，x1＝，故F（t）＝﹣lnt，故F′（t）＝＜0，故F（t）在（1，+∞）上是减函数，故F（t）＜F（1）＝0，故g（2﹣x1）﹣g（x2）＜0，又∵g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴2﹣x1＜x2，故x1+x2＞2，即＞1，则有f′（）＝＜0，故f′（）＜0。

2016-2017学年江苏省泰州中学高三（上）第二次月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知R为实数集，集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x（4-x）＜0}，则A∩（∁R B）= ______ ．【答案】{1，2，3，4}【解析】解：集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x（4-x）＜0}={x|x（x-4）＞0}={x|x＜0或x＞4}，∴∁R B={x|0≤x≤4}∴A∩（∁R B）={1，2，3，4}．故答案为：{1，2，3，4}．化简集合B，根据补集与交集的定义写出A∩（∁R B）即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.“x＞1”是“＜”的一个______ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”选择一个填写）【答案】充分不必要【解析】解：由“＜”，解得：x＞-1，故x＞1是x＞-1的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．解根据对数函数的不等式，求出x的范围，结合集合的包含关系判断即可．本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．3.等差数列{a n}的前n项和S n，若a1=2，S3=12，则a6= ______ ．【答案】12【解析】解：∵S3=12，∴S3=3a1+d=3a1+3d=12．解得d=2，则a6=a1+5d=2+2×5=12，故答案为：12根据等差数列的通项公式以及前n项和公式进行求解即可．本题主要考查等差数列的通项公式的求解和应用，根据条件求出公差是解决本题的关键．4.设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3=0垂直，则a= ______ ．【答案】-2【解析】解：函数的导数f′（x）=，则曲线y=在点（3，2）处的切线斜率k=f′（3）==，∵直线ax+y+3=0的斜截式方程为y=-ax-3，斜率为-a，∴若切线与直线ax+y+3=0垂直，则-a×，则a=-2，故答案为：-2求函数的导数，得到切线斜率，根据直线垂直关系即可得到解得结论．本题主要考查直线垂直的关系的应用以及利用导数求切线斜率，利用导数的几何意义是解决本题的关键．5.设实数x､y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为______ ．【答案】26【解析】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，6）．此时z的最大值为z=2×4+3×6=26，故答案为：26作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6.已知奇函数f（x）的图象关于直线x=-2对称，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则f（-9）= ______ ．【答案】-2【解析】解；∵图象关于直线x=-2对称∴f（-4-x）=f（x）∵f（x）是奇函数∴f（-x）=-f（x）∴f（-4-x）=-f（-x），即-f（-4+x）=f（x），故f（x-8）=f[（x-4）-4]=-f（x-4）=f（x），进而f（x+8）=f（x）∴f（x）是以8为周期的周期函数．f（-9）=-f（1）=-2故答案为：-2先由图象关于直线x=-2对称得f（-4-x）=f（x），再与奇函数条件结合起来，有f（x+8）=f（x），得f（x）是以8为周期的周期函数，从而f（-9）=-f（1），从而求出所求．本题主要考查函数的奇偶性和对称性以及性质间的结合与转化，如本题周期性就是由奇偶性和对称性结合转化而来的，属于基础题．7.直线y=kx+3与圆（x-2）2+（y-3）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是______ ．【答案】[-，]【解析】解：由圆的方程得：圆心（2，3），半径r=2，∵圆心到直线y=kx+3的距离d=，|MN|≥2，∴2=2≥2，变形得：4-≥3，即4k2+4-4k2≥3k2+3，解得：-≤k≤，则k的取值范围是[-，]．故答案为：[-，]由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理表示出弦长|MN|，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．8.已知3sinα+4cosα=5，则tanα= ______ ．【答案】【解析】解：∵3sinα+4cosα=5，∴5sin（α+β）=5（tanβ=）∴sin（α+β）=1∴α=2kπ+-β，∴tanα=tan（2kπ+-β）==．故答案为：．由3sinα+4cosα=5，可得5sin（α+β）=5（tanβ=），进而可得tanα=tan（2kπ+-β）=．本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查学生的计算能力，比较基础．9.设平面向量，，，，，，（其中x＞0，y＞0）若，则的最小值为______ ．【答案】【解析】解：∵，，，，，，∴，，，，由，得（x-2）（y-2）-9=0，即xy-2（x+y）-5=0．又x＞0，y＞0，∴2（x+y）+5=xy，解得x+y≤-2（舍），或x+y≥10．==故答案为：．由已知求出，的坐标，结合数量积为0可得xy-2（x+y）-5=0，再由基本不等式转化为关于（x+y）的不等式，求出x+y的最小值，即可求得的最小值．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直的坐标运算，体现了数学转化思想方法，是中档题．10.已知函数（其中ω∈（0，1）），若f（x）的图象经过点，，则f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间为______ ．【答案】，【解析】解：函数=2sin（2ωx-），∵f（x）的图象经过点，，∴2sin（ω-）=0，∴ω-=kπ，k∈Z，解得ω=3k，∵ω∈（0，1），∴ω=，∴f（x）=2sin（x-），∴f（x）的增区间为：-+2kπ，k∈z，整理，得-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，∴f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间为，．故答案为：，．推导出f（x）=2sin（x-），从而求出f（x）的增区间为[-+2kπ，+2kπ]，k∈Z，由此能示出f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．本题考查三角函数的增区间的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数图象及性质的合理运用．11.已知△ABC中，BC=2，G为△ABC的重心，且满足AG⊥BG，则△ABC的面积的最大值为______ ．【答案】【解析】解：设AB中点为O，连接AO，可得重心G在CO上且=，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立如图所示直角坐标系，设AB=2r（r＞0），则A（-r，0），B（r，0），设C（x，y），可得G（，）∵AG⊥BG，∴点G在以AB为直径的圆上运动（A、B两点除外）由此可得（）2+（）2=r2，整理得x2+y2=9r2，因此，点C在以原点为圆心，半径为3r的圆上运动（x轴上两点除外），可得，当x=0时，y取得最大值3r，∴此时，tan=，AC=BC=2，∵r2+（3r）2=2，解得：r=，∴此时，S△ABC==．故答案为：．以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系，设AB=r，点C的坐标为（x，y），可得G（，）．根据AG⊥BG建立x、y的关系式，化简整理得x2+y2=9r2，得到点C在以原点为圆心，半径为3r的圆上运动（x轴上两点除外）．可得当C点在y轴时y的值达到最大值，此时三角形面积最大，由此结合三角形面积公式即可得解．本题给出三角形的重心G对A、B的张角为直角，求三角形面积的最大值，着重考查了三角形重心的性质、圆的标准方程和三角恒等变换等知识，属于中档题．12.已知x，y，z均为非负数且x+y+z=2，则x3+y2+z的最小值为______ ．【答案】【解析】解：∵x＞，y＞，z＞0，且x+y+z=2，∴Z=2-x-y，即x+y≤2．那么：令函数h=x3+y2+z=x3+y2+2-x-y．令f（x）=x3-x，则f′（x）=x2-1，当x在（0，1）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上是单调递减；当x在（1，2）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，2）上是单调递增；∴f（x）min=f（1）同理：令g（y）=y2-y则g′（y）=2y-1，当y在（0，）时，g′（y）＜0，∴g（y）在（0，）上是单调递减；当y在（1，2）时，g′（y）＞0，∴g（y）在（，2）上是单调递增；∴g（y）min=g（）故当x=1，y=时，函数h取得最小值，即h==，故答案为：．利用导函数研究单调性，求其最小值即可．本题考查了利用导函数研究单调性，求其最小值．属于中档题．13.已知函数f（x）=x•e x-1，g（x）=lnx+kx，且f（x）≥g（x）对任意的x∈（0，+∞）恒成立，则实数k的最大值为______ ．【答案】1【解析】解：∵f（x）=x•e x-1，g（x）=lnx+kx，且f（x）≥g（x），∴x•e x-1≥lnx+kx，k≤e x，h（x）=e x，k≤h（x）小即可．h′（x）=，h′（1）＞0，h（x）在（1，+∞）单调递增，令h′（x）=0，x=x0，x02e+lnx0=0，则h（x）在（0，x0）单调递减，（x0，+∞）单调递增．h（x）小=e，h（）=-ln16＜0，h（）=ln＞0∴＜＜，h（）=+2ln2-2=1.035，h（）=e（ln+1）=1.1681＜h（x0）＜2，k≤1故答案为：1运用够造函数的方法求解k≤e x，h（x）=e x，k≤h（x）小即可．运用求解导数得出h（x）在（0，x0）单调递减，（x0，+∞）单调递增．估算出＜＜，1＜h（x0）＜2，得出k≤1．本题综合考察了导数的运用，难度较大，需要有很强的估算能力，观察能力，敢于往下钻研的能力．14.设集合S={0，1，2，3，…，n}，则集合S中任意两个元素的差的绝对值的和为______ ．【答案】n3+n2+n．【解析】解：设集合中第k个元素，则其值为k-1．|（k-1）-k|+|（k-1）-（k+1）|+…+|（k-1）-n|=1+2+…+（n+1-k）=T n=n2•n+n•n+n-（1+2+…+n）n-（1+2+…+n）+（12+22+…+n2）=．故答案是：n3+n2+n．设集合S中第k个元素，则其值为k-1．然后根据数列求和进行解答．本题考查了等差数列，数列求和，难度较大．二、解答题(本大题共6小题，共90.0分)15.已知命题p：函数f（x）=x3+ax2+x在R上是增函数；命题q：若函数g（x）=e x-x+a 在区间[0，+∞）没有零点．（1）如果命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）如果命题p为真命题，∵函数f（x）=x3+ax2+x在R上是增函数，∴f′（x）=3x2+2ax+1≥0对x∈（-∞，+∞）恒成立…（3分）∴，…（6分）（2）g′（x）=e x-1≥0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，∴g（x）在区间[0，+∞）递增命题q为真命题g（0）=a+1＞0a＞-1…（9分）由命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题知p，q一真一假，若p真q假，则，…（11分）若p假q真，则＜或＞＞，∞…（13分）综上所述，，，∞…（14分）【解析】（1）如果命题p为真命题，则f′（x）=3x2+2ax+1≥0对x∈（-∞，+∞）恒成立，进而得到实数a的取值范围；（2）如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则p，q一真一假，进而得到实数a的取值范围．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了导数法研究函数的单调性，复合命题，函数的零点，难度中档．16.设向量，，，，，．（其中x∈[0，π]）（1）若，求实数x的值；（2）若，求函数的值．【答案】解：（1）∵，∴，又，，，∴．（2）∵，∴，∴．又x∈[0，π]且＞，，∴即．【解析】（1）利用，列出方程即可求实数x的值；（2）由已知条件和辅助角公式得到．然后由同角三角函数关系来求的值．本题考查向量的共线与数量积的运算，三角函数的恒等变换应用，基本知识的考查．17.无锡市政府决定规划地铁三号线：该线起於惠山区惠山城铁站，止於无锡新区硕放空港产业园内的无锡机场站，全长28公里，目前惠山城铁站和无锡机场站两个站点已经建好，余下的工程是在已经建好的站点之间铺设轨道和等距离修建停靠站．经有关部门预算，修建一个停靠站的费用为6400万元，铺设距离为x公里的相邻两个停靠站之间的轨道费用为400x3+20x万元．设余下工程的总费用为f（x）万元．（停靠站位于轨道两侧，不影响轨道总长度）（1）试将f（x）表示成x的函数；（2）需要建多少个停靠站才能使工程费用最小，并求最小值．【答案】解：（1）设需要修建k个停靠站，则k个停靠站将28公里的轨道分成相等的k+1段∴…（3分）∴化简得…（7分）（2）（万元）…（11分）当且仅当即x=2，取“=”…（13分）答：需要建13个停靠站才能使工程费用最小，最小值费用为128028万元…（14分）【解析】（1）先设需要修建k个停靠站，列出余下工程的总费用的函数表达式，再结合自变量x的实际意义：x表示相邻两停靠站之间的距离，确定出函数的定义域即可．（2）依据（1）中得出的函数表达式，结合基本不等式即可求得函数y的最大值，最后回到原实际问题进行解答即可．本题考查解函数在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．18.已知平面直角坐标系xoy内两个定点A（1，0）、B（4，0），满足PB=2PA的点P（x，y）形成的曲线记为Γ．（1）求曲线Γ的方程；（2）过点B的直线l与曲线Γ相交于C、D两点，当△COD的面积最大时，求直线l 的方程（O为坐标原点）；（3）设曲线Γ分别交x、y轴的正半轴于M、N两点，点Q是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点，连结QN交x轴于点E、连结QM交y轴于F．求证四边形MNEF的面积为定值．【答案】解：（1）由题设知，两边化简得x2+y2=4∴点P的轨迹Γ的方程为x2+y2=4…（3分）（2）由题意知的斜率一定存在，设l：y=k（x-4）即kx-y-4k=0，∵原点到直线l的距离，…（5分）∴，…（7分）当且仅当d2=2时，取得“=”d2=2＜r2=4∴当d2=2时，此时，．∴直线l的方程为．…（9分）（3）设…（11分）设Q（x0，y0），E（e，0），F（0，f）（其中＜，＜，）则：，令x=0得∴…（12分）：，令y=0得∴…（13分）∴=（定值）…（16分）【解析】（1）由两个定点A（1，0）、B（4，0），满足PB=2PA的点P（x，y），得到关系式化简即可得出曲线Γ的方程；（2）表示出面积，利用基本不等式得出结论；（3）设，即可证明结论．本题考查轨迹方程，考查面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．19.若函数f（x）在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）当定义域为[-1，1]，试判断f（x）=x4+x3+x2+x-1是否为“局部奇函数”；（2）若g（x）=4x-m•2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的范围；（3）已知a＞1，对于任意的，，函数h（x）=ln（x+1+a）+x2+x-b都是定义域为[-1，1]上的“局部奇函数”，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）因为f（x）=x4+x3+x2+x-1，所以f（-x）=x4-x3+x2-x-1，由f（-x）=-f（x）得x4+x2-1=0，令x2=t∈[0，1]，而t2+t-1=0存在一根，，即存在x∈[-1，1]，使得f（-x）=-f（x），所以f（x）为“局部奇函数”．（2）由题意知，g（-x）=-g（x）在R上有解，即4-x-2m•2-x+m2-3=-4x+2m•2x-m2+3在R上有解，所以4x+4-x-2m（2x+2-x）+2（m2-3）=0在R上有解，令2x+2-x=u∈[2，+∞），所以u2-2mu+2m2-8=0在u∈[2，+∞）上有解，令F（u）=u2-2mu+2m2-8，①当F（2）≤0时，即2m2-4m-4≤0，解得，此时F（u）在[2，+∞）上必有零点，所以；②当F（2）＞0时，F（u）在[2，+∞）上有零点必须满足＞对称轴＞＞＞综上：．（3）由题意知，，，-h（x）=h（-x）在x∈[-1，1]上都有解，即，，ln（-x+1+a）+x2-x-b=-ln（x+1+a）-x2-x+b在x∈[-1，1]上都有解，即，，ln[（a+1）2-x2]+2x2=2b在x∈[-1，1]上都有解，令x2=s∈[0，1]，令φ（s）=ln[（a+1）2-s]+2s，由题意知φ（s）在s∈[0，1]上的值域包含[2，3]，因为′，又因为s∈[0，1]，a∈（1，+∞），所以（a+1）2-s＞3，＜所以＞＞综上：1＜a≤e-1．【解析】（1）若f（x）为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；（2）根据f（x）为定义域R上的“局部奇函数，得到f（-x）=-f（x），恒成立，建立条件关系即可求实数m的取值范围；（3）根据f（x）为定义域[-1，1]上的“局部奇函数，得到f（-x）=-f（x），恒成立，建立条件关系即可求实数a的取值范围；本题主要考查与函数奇偶性有关的新定义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于难题20.已知数列{a n}的前n项积为T n，即T n=a1a2…a n．（1）若数列{a n}为首项为2016，公比为的等比数列，①求T n的表达式；②当n为何值时，T n取得最大值；（2）当n∈N*时，数列{a n}都有a n＞0且成立，求证：{a n}为等比数列．【答案】解：（1）①由题意知，所以．…（3分）②记b n=|a n|，R n=|T n|，即，，，当n≤10，n∈N*时，＞；当n≥11，n∈N*时，＜，又因为n∈N*，R n＞0，所以，当n≤10，n∈N*时，R n+1＞R n；当n≥11，n∈N*时，R n+1＜R n，所以R n的最大值为R11．…（6分）此时＜，而T9＞0，T10＜0，T12＞0，所以（T n）max=max{T9，T12}．而＞，所以，当n=12时，T n取得最大值．…（9分）（2）当n=2时，，所以，即，…（10分）当n≥2时，②①②两式相除得，化简得，③又因为，④③④两式相除得，⑤…（12分）⑤式可化为：，n≥2令，所以c1=1，c n+1•c n=1，所以，，即，n≥2，n∈N*都成立，所以{a n}为等比数列．…（16分）【解析】（1）①由题意知，由此能求出T n的表达式．②记b n=|a n|，R n=|T n|，从而当n≤10，n∈N*时，R n+1＞R n；当n≥11，n∈N*时，R n+1＜R n，所以R n的最大值为R11，进而（T n）max=max{T9，T12}．由此能求出结果．（2）推导出，从而，令，能证明{a n}为等比数列．本题考查数列的前n项和公式的求法，考查数列的前n项取最大值时项数n的求法，考查等比数列的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用．。

2016-2017学年江苏省泰州中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上1．已知A={1，3，4}，B={1，5}，则A∩B={1}．【考点】交集及其运算．【分析】直接根据交集的定义即可求出．【解答】解：A={1，3，4}，B={1，5}，则A∩B={1}，故答案为：{1}}2．在区间[0，2π）内，与角终边相同的角是．【考点】终边相同的角．【分析】由=﹣2π+，直接写出答案．【解答】解：=﹣2π+，∴区间[0，2π）内，与角终边相同的角是，故答案为：3．若幂函数y=f（x）的图象经过点，则f（9）=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设出幂函数f（x）=xα，α为常数，把点（4，）代入，求出待定系数α的值，得到幂函数的解析式，进而可求f（9）的值．【解答】解：∵幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），设幂函数f（x）=xα，α为常数，∴4α=，∴α=﹣，故f（x）=，∴f（9）=，4．已知角α的终边与单位圆交于点，那么tanα=．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．【解答】解：∵角α的终边与单位圆交于点，那么tanα==﹣，故答案为：﹣．5．已知函数f（x）=，则=﹣1．【考点】函数的值．【分析】先求出f（）=3×﹣4=﹣，从而=f（﹣），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）=3×﹣4=﹣，=f（﹣）=﹣1．故答案为：﹣1．6．已知某扇形的半径为10，面积为，那么该扇形的圆心角为．【考点】扇形面积公式．【分析】由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵设扇形的圆心角大小为α（rad），半径为r，则扇形的面积为S=r2α．∴由已知可得：=×102×α，解得：α=．7．函数y=2﹣的图象的对称中心的坐标是（﹣1，2）．【考点】函数的图象．【分析】根据函数图象的平移变换法则，可得函数y=2﹣的图象由函数y=的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，进而得到答案．【解答】解：函数y=2﹣的图象由函数y=的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，由函数y=的图象关于原点对称可得：函数y=2﹣的图象关于（﹣1，2）对称，故答案为：（﹣1，2）8．函数的定义域是（0，1]．【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【分析】令被开方数大于等于0，然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x的范围，写出集合区间形式即为函数的定义域．【解答】解：∴0＜x≤1∴函数的定义域为（0，1]故答案为：（0，1]9．函数f（x）=ln（4+3x﹣x2）的单调递减区间是．【考点】对数函数的单调区间．【分析】设u（x）=4+3x﹣x2则f（x）=lnu（x），因为对数函数的底数e＞1，则对数函数为单调递增函数，要求f（x）函数的减区间只需求二次函数的减区间即可．【解答】解：函数f（x）的定义域是（﹣1，4），令u（x）=﹣x2+3x+4=﹣+的减区间为，∵e＞1，∴函数f（x）的单调减区间为．答案[，4）10．若函数f（x）=1g（x+1）+x﹣3的零点为x0，满足x0∈（k，k+1）且k∈Z，则k=2．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据函数零点的存在条件，即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（﹣1，+∞），且函数单调递增，∵f（2）=lg3﹣1＜0，f（3）=lg4＞0，即函数f（x）在（2，3）内存在唯一的一个零点，∵x0∈（k，k+1）且k为整数，∴k=2，故答案为：211．函数f（x）=满足[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0对定义域中的任意两个不相等的x1，x2都成立，则a的取值范围是．【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得函数f（x）在定义域内单调递减，故有，由此求得a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=满足[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0对定义域中的任意两个不相等的x1，x2都成立，∴函数f（x）在定义域内单调递减，∴，求得0＜a≤，故答案为：．12．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）﹣g（x）=，则f（﹣1），f（0），g（1）之间的大小关系是g（1）＜f（0）＜f（﹣1）．（按从小到大的顺序排列）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性的性质，利用方程组法进行求解即可．【解答】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）﹣g（x）=（）x，∴f（0）=0，∵f（1）﹣g（1）=，①f（﹣1）﹣g（﹣1）=2，②∴﹣f（1）﹣g（1）=2，③解得f（1）=﹣，g（1）=﹣，故f（﹣1）=，∴g（1）＜f（0）＜f（﹣1），故答案为：g（1）＜f（0）＜f（﹣1）．13．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=，若对任意实数t∈，都有f（t+a）﹣f（t﹣2）＞0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】由分离常数法化简解析式，并判断出函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，由偶函数的性质将不等式化为：f（|t+a|）＞f（|t﹣2|），利用单调性得|t+a|＞|t﹣2|，化简后转化为：对任意实数t∈[，2]，都有（2a+4）t+a2﹣4＞0恒成立，根据关于t的一次函数列出a的不等式进行求解．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（t+a）﹣f（t﹣2）＞0得，f（t+a）＞f（t﹣2），又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（|t+a|）＞f（|t﹣2|），则|t+a|＞|t﹣2|，两边平方得，（2a+4）t+a2﹣4＞0，∵对任意实数t∈[，2]，都有f（t+a）﹣f（t﹣2）＞0恒成立，∴对任意实数t∈[，2]，都有（2a+4）t+a2﹣4＞0恒成立，则，化简得，解得，a＞1或a＜﹣2，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．14．已知函数f M（x）的定义域为实数集R，满足f M（x）=（M是R的非空真子集），在R 上有两个非空真子集A，B，且A∩B=ϕ，则F（x）=的值域为．【考点】函数的值域．【分析】对F（x）中的x属于什么集合进行分类讨论，利用题中新定义的函数求出f（x）的函数值，从而得到F（x）的值域即可．【解答】解：当x∈C R（A∪B）时，f A∪B（x）=0，f A（x）=0，f B（x）=0，∴F（x）==；同理得：当x∈B时或x∈A时，F（x）==；故F（x）=的值域为{，}故答案为：{，}．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．计算：（1）；（2）lg8+lg25﹣+．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可，（2）根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：（1）原式=；（2）原式=2lg2+2lg5﹣25+8=2lg10﹣17=﹣15．16．已知全集U=R，集合A=，集合B为函数g（x）=3x+a的值域．（1）若a=2，求A∪B和A∩（C U B）；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】（1）求出集合A、B，从而求出A∪B和A∩（C U B）即可；（2）根据A、B的范围，结合集合的包含关系求出a的范围即可．【解答】解：（1）A==[1，4），a=2时，g（x）=3x+2，g（x）的值域是B=（2，+∞），故A∪B=[1，+∞）；A∩（C U B）=[1，4）∩（﹣∞，2]=[1，2]；（2）A=[1，4），B=（a，+∞），若A∪B=B，则[1，4）⊊（a，+∞），则a＜1．17．已知函数f（x）=．（1）证明：f（x）在x∈（0，+∞）上单调递减；（2）设g（x）=log2f（x），x∈（0，1），求g（x）的值域．【考点】函数的概念及其构成要素；函数的值域．【分析】（1）利用函数的单调性的定义进行证明；（2）求出f（x）的范围，即可求g（x）的值域．【解答】（1）证明：，任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则，∵x∈（0，+∞），∴x1+1＞0，x2+1＞0，又x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在x∈（0，+∞）上的单调递减．（2）解：，因为0＜x＜1，所以1＜x+1＜2，所以，即0＜f（x）＜1，又因为y=log2t单调递增，所以g（x）值域为（﹣∞，0）．18．提高穿山隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米、小时）是车流密度x（单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数．当隧道内的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当30≤x≤210时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤210时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（I）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在60≤x≤600时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（II）由（Ⅰ）可知，分段求最值，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，当0≤x≤30时，v（x）=60；当30≤x≤210时，设v（x）=ax+b，由已知可得，解得．所以函数．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当0≤x≤30时，f（x）=60x为增函数，∴当x=30时，其最大值为1800．…当30≤x≤210时，，当x=105时，其最大值为3675．…综上，当车流密度为105辆/千米时，车流量最大，最大值为3675辆．…19．已知函数f（x）=ax2﹣|x|+3a﹣1，（a为实常数）．（1）当a=0时，求不等式f（2x）+2≥0的解集；（2）当a＜0时，求函数f（x）的最大值；（3）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式．【考点】二次函数的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）当a=0时，f（x）=﹣|x|﹣1，不等式f（2x）+2≥0可化为﹣|2x|﹣1+2≥0，解得答案；（2）当a＜0时，结合二次函数的图象和性质，可得x=0时，f（x）取最大值；（3）若a＞0，分类讨论函数图象的对称轴与区间[1，2]的位置关系，结合二次函数的图象和性质，可得g（a）的表达式．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=﹣|x|﹣1，则不等式f（2x）+2≥0可化为﹣|2x|﹣1+2≥0，即|2x|≤1，解之得：x≤0，则所求不等式的解集为（﹣∞，0]．（2）当a＜0时，，故当x=0时，f（x）max=f（0）=3a﹣1（或由奇偶性直接讨论x≥0时，函数f（x）的单调性，得到最大值），（3）当x∈[1，2]时，，①当时，即时，此时x=1时，f（x）min=f（1）=4a﹣2，②当时，即时，即时，，③当时，即时，此时x=2时，f（x）min=f（2）=7a﹣3，综上所述可得：．20．已知函数g（x）=2ax2﹣4ax+2+2b（a＞0），在区间[2，3]上有最大值8，有最小值2，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；（3）若方程f（|e x﹣1|）+=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）利用已知条件列出方程组即可求出a，b．（2）求出f（x）=的表达式，令2x=t，不等式f（2x）﹣k•2x≥0可化为：，转化求解k的范围即可．（3）令m=|e x﹣1|，则方程有三个不同的实数解⇔关于m的方程有两个不等的根，其中一个根大于或等于1，另一个根大于0且小于1；推出12﹣（2+3k）•1+1＜0，求解即可．【解答】解：（1）函数g（x）=2ax2﹣4ax+2+2b（a＞0），的对称轴为：x=1∉[2，3]，由条件在区间[2，3]上有最大值8，有最小值2，得：，解得a=1，b=0．（2）g（x）=2x2﹣4x+2，∴令2x=t，∵x∈[﹣1，1]，∴不等式f（2x）﹣k•2x≥0可化为：问题等价于在时恒成立，即：在时恒成立，而此时所以k≤0．注：用二次函数（1﹣k）t2﹣2t+1≥0讨论，相应给分．（3）令m=|e x﹣1|，则方程有三个不同的实数解⇔关于m的方程有两个不等的根，其中一个根大于或等于1，另一个根大于0且小于1；可化为：化简得：m2﹣（2+3k）m+1=0，当一根等于1时，k=0不满足题意所以它的两根分别介于（0，1）和（1，+∞），又因为m=0时，1＞0恒成立所以只要12﹣（2+3k）•1+1＜0∴k＞0为所求的范围．2016年12月16日。