江苏省泰州中学2020届高三上学期开学考试数学(理)试题

江苏省泰州市2020年数学高三上学期理数期中考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2018高一上·阜城月考) 已知集合 ,集合 ,则 =（）A .B .C .D .2. （1分） (2019高三上·洛阳期中) 已知函数的定义域为，对任意实数恒成立，若真，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .3. （1分） (2018高一下·北京期中) 已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（）A . 1B .C .D . 24. （1分）函数的定义域是（）A . (1，2)B . [1，4]C . [1，2)D . (1，2]5. （1分） (2017高三上·西安开学考) 已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一个对称中心是（）A . （﹣，1）B . （﹣，1）C . （，1）D . （，0）6. （1分） (2018高二上·阳高期末) “ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （1分）(2020·河南模拟) 已知两条直线和平面，若，则是的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件8. （1分） (2016高二上·乾安期中) 若0＜a＜b，且a+b=1，则在下列四个选项中，较大的是（）A .B . a2+b2C . 2abD . b9. （1分） (2017高二上·中山月考) 定义为个正数，，，的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（）A .B .C .D .10. （1分） (2017高二下·定州开学考) 下列所给4个图像中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1.）小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2.）小明骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3.）小明出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A . （4）（1）（2）B . （4）（2）（3）C . （4）（1）（3）D . （1）（2）（4）11. （1分）函数的图像因酷似汉字的“囧”字，而被称为“囧函数”。

江苏省泰州市高三上学期开学数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知U为全集，集合P Q，则下列各式中不成立的是（）A . P∩Q=PB . P∪Q=QC . P∩(CUQ) =D . Q∩(CUP)=2. （2分） (2017高三上·济宁期末) 下列说法正确的是（）A . 命题p：“ ”，则¬p是真命题B . 命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”C . “x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D . “a＞1”是“f（x）=logax（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件3. （2分） (2016高二下·东莞期末) 抛物线y=3﹣x2与直线y=2x与所围成图形（图中的阴影部分）的面积为（）A . 10B .C . 11D .4. （2分） (2016高一上·兴国期中) 已知函数f（x）的定义域为[﹣2，1]，函数g（x）= ，则g （x）的定义域为（）A . （﹣，2]B . （﹣1，+∞）C . （﹣，0）∪（0，2）D . （﹣，2）5. （2分） (2017高二下·衡水期末) 已知，p：sinx＜x，q：sinx＜x2 ，则p是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2019高一上·兴义期中) 已知，，，则（）A .B .C .D .7. （2分）(2012·辽宁理) 设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3 ．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）在上的零点个数为（）A . 5B . 6C . 7D . 88. （2分）设F为双曲线的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、N，则的值为（）A .B .C .D .9. （2分）(2018·重庆模拟) 某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图是全等的正三角形，其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，若半圆的直径为2，则该几何体的体积等于（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高三上·浙江期末) 如图，在三棱柱中，点在平面内运动，使得二面角的平面角与二面角的平面角互余，则点的轨迹是（）A . 一段圆弧B . 椭圆的一部分C . 抛物线D . 双曲线的一支11. （2分） (2016高三上·平湖期中) 在等差数列{an}中，an＞0，且a1+a2+…+a10=30，则a5+a6的值（）A . 3B . 6C . 9D . 1212. （2分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β其中正确的命题是（）A . ①②B . ②③C . ①④D . ②④二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2017高二下·延安期中) 如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣3是函数y=f（x）的极值点；②﹣1是函数y=f（x）的最小值点；③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．则正确命题的序号是________．14. （2分） (2016高二下·宁海期中) 如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n）；①f（3）=________；②f（n）=________．15. （1分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，a=3，c=4，则sinA=________．16. （1分） (2015高三上·盘山期末) 设{an}是首项为a1 ，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1 ， S2 ， S4成等比数列，则a1的值为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）解答题。

江苏省泰州市高三上学期开学数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共13题；共15分)1. （2分） (2016高二下·宁海期中) 已知集合A={|m|，0}，B={﹣2，0，2}，C={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，若A⊆B，则m=________；若集合P满足B⊆P⊆C，则集合P的个数为________个．2. （1分） (2017高二下·如皋期末) 函数的定义域为________．3. （1分） (2016高一上·万全期中) 已知y=loga（2﹣ax）在区间（0，1）上是x的减函数，则a的取值范围为________．4. （1分） (2017高一上·建平期中) 设α：x＞m，β：1≤x＜3，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是________．5. （1分） (2019高三上·天津月考) 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是________．6. （1分） (2015高二下·射阳期中) 曲线y=ex在点A（0，1）处的切线斜率为________．7. （1分）设函数，若用[m]表示不超过实数m的最大整数，则函数y=的值域为________8. （1分） (2017高二下·岳阳期中) 已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f （x）+f（3）成立，当x1 ，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有．给出下列命题：①f（3）=0；②直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；④函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为________（把所有正确命题的序号都填上）9. （1分） (2017高一上·和平期中) 若关于x的方程x2+2ax﹣9=0的两个实数根分别为x1 ， x2 ，且满足x1＜2＜x2 ，则实数a的取值范围是________．10. （1分） (2018高一上·哈尔滨月考) 函数，则________11. （2分） (2020高三上·浙江月考) 化简：（1） ________；（2）若，， ________.12. （1分） (2015高三上·保定期末) 已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．则m的取值范围是________ ．13. （1分）(2017·甘肃模拟) 已知函数f（x）= 若方程f（x）﹣a=0有唯一解，则实数a 的取值范围是________．二、解答题： (共6题；共55分)14. （5分） (2015高二上·安徽期末) 设命题p：函数的值域为R；命题q：3x﹣9x ＜a对一切实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．15. （10分） (2019高二下·濉溪月考) 已知函数，且 .（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）讨论的单调性.16. （15分） (2016高一上·昆明期中) 已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；（3）若f（k•3x）+f（3x﹣9x+2）＞0对任意x≥1恒成立，求k的取值范围．17. （10分） (2016高一上·如东期中) 某城市出租车收费标准如下：①起步价3km（含3km）为10元；②超过3km以外的路程按2元/km收费；③不足1km按1km计费．（1）试写出收费y元与x（km）（0＜x≤5）之间的函数关系式；（2）若某人乘出租车花了24元钱，求此人乘车里程xkm的取值范围．18. （5分） (2017高三下·武威开学考) 已知函数g（x）= +lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx﹣﹣lnx（m∈R）．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）设h（x）= ，若在[1，e]上至少存在一个x0 ，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围．19. （10分） (2018高一上·广元月考)（1）求函数的定义域.（2）若函数的定义域是，求函数的定义域.参考答案一、填空题： (共13题；共15分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、答案：11-2、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：二、解答题： (共6题；共55分)答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、答案：15-2、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、答案：16-3、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：。

2020届江苏省泰州市泰州中学高三上学期开学考试数学（理）试题一、填空题1．已知集合{}1,0,2,3U =-，{}0,3A =，则U C A =______. 【答案】{}1,2-【解析】根据补集定义直接求解可得结果. 【详解】由补集定义可知：{}1,2U C A =- 本题正确结果：{}1,2- 【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题. 2．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos (22sin x tt y t=+⎧⎨=-+⎩为参数），则圆C的普通方程为_____.【答案】()()22324x y -++=【解析】利用22cos sin 1t t +=消去参数即可得到结果. 【详解】由22cos sin 1t t +=可得：()()22324x y -++= 即圆C 的普通方程为：()()22324x y -++= 【点睛】本题考查参数方程化普通方程，属于基础题.3．设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的______________条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）． 【答案】充分不必要【解析】由21x -<，得1＜x ＜3；由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由|x ﹣2|＜1得﹣1＜x ﹣2＜1，得1＜x ＜3，由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键，属于基础题. 4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为_______.【答案】8【解析】按照程序框图运行程序，直到4i ³时输出结果即可. 【详解】按照程序框图运行程序，输入1i =，0S =1i =不是偶数，则011S =+=，1124i =+=<，循环2i =是偶数，则1j =，11225S =+⨯=，2134i =+=<，循环 3i =不是偶数，则538S =+=，3144i =+=≥，输出结果：8S =本题正确结果：8 【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果，属于基础题.5．用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是_____人. 【答案】900【解析】计算可得样本中高二年级人数，从而可计算得到抽样比，从而可求得学生总数. 【详解】由题意可知，高二年级抽取：45201015--=人 ∴抽样比为：151453= ∴该校学生总数为：13009003÷=人 本题正确结果：900 【点睛】本题考查分层抽样的应用，关键是能够明确每层在样本中占比与该层在总体中的占比相同.6．两位男同学和两位女学生随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是______. 【答案】12【解析】利用捆绑法可求得两位女同学相邻的排法数；通过全排列求得四位同学排成一列的排法总数，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】两位女同学相邻的排法共有：23232612A A =⨯=种排法 四位同学排成一列共有：4443224A =⨯⨯=种排法∴两位女同学不相邻的概率：121242p == 本题正确结果：12【点睛】本题考查古典概型求解概率问题，关键是能够利用排列的知识求解出符合题意的排法数和总体的排法数，涉及到利用捆绑法解决排列中的相邻问题. 7．已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=_______.【解析】根据二倍角公式可将已知等式化简为24sin cos 2cos ααα=，根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得1tan 2α=；根据同角三角函数关系，结合0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得结果.【详解】由二倍角公式可知：sin 22sin cos ααα=，2cos 22cos 1αα=-24sin cos 2cos ααα∴=又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭c o s0α∴≠ 2s i n c o s αα∴=，即1tan 2α=sin 5α∴=【点睛】本题考查利用二倍角公式、同角三角函数关系求解三角函数值的问题，关键是能够利用公式，结合角的范围来对已知等式进行化简.8．设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为______.【答案】3π 【解析】根据图象首先求得()f x 最小正周期2T ππω==，从而解得2ω=；代入712f A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得到23k πϕπ=+，结合0ϕπ<<即可求得结果. 【详解】由图象可得()f x 最小正周期：473126T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即2ππω= 2ω∴= 又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 73262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈ 23k πϕπ∴=+，k Z ∈又0ϕπ<< 3πϕ∴=本题正确结果：3π 【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式的问题，关键是能够通过整体对应的方式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.9．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】当0x >时0x ->，()()axf x f x e -=--=代入条件即可得解.【详解】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()axf x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e -=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．10．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为___. 【答案】1 【解析】【详解】令1x =，得423014(2a a a a a =++++；令1x =-，得142340(2a a a a a =+---+； 两式相加得22024130241302413()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++⋅++--444(2(2(1)1=+⋅-=-=．点睛： “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x =即可；对形如()(,)nax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.11．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，已知3A π=，a =A 的平分线交边BC 于点D ，其中AD =ABC S ∆=______.【答案】【解析】根据余弦定理可得()23112b c bc +-=；利用ABC ACD ABD S S S ∆∆∆=+和1sin 2ABC S bc A ∆=可构造方程求得13b c bc +=，代入余弦定理的式子可求出48bc =，代入三角形面积公式求得结果. 【详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：()2223112b c bc b c bc +-=+-=)11sin sin 2222ABC ACD ABD A A S S S b AD c AD b c ∆∆∆=+=⋅+⋅=+又1sin 2ABC S bc A ∆== )b c =+ 13b c b c ∴+= ()2131129bc bc ∴-=，解得：48bc =48ABC S ∆∴==本题正确结果：【点睛】本题考查解三角形中三角形面积的求解问题，涉及到余弦定理和三角形面积公式的应用；本题的解题关键是能够通过面积桥的方式构造方程求得b c +和bc 之间的关系，进而结合余弦定理求得所需的值.12．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分,负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打ξ局， 则ξ的期望值()E ξ=______.【答案】26681【解析】首先确定ξ所有可能的取值；根据每个取值所对应的情况计算出其所对应的概率，从而根据数学期望计算公式求得结果. 【详解】由题意可知ξ所有可能的取值为：2,4,6则()222152339P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3311221212204333381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ()520166198181P ξ==--=()520162662469818181E ξ∴=⨯+⨯+⨯=本题正确结果：26681【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求解，关键是能够准确求解出随机变量每个取值所对应的概率，从而结合公式直接求得结果，属于常考题型. 13．已知2tan tan()43παα-=，则cos(2)4πα-的值是______.【解析】根据两角和差正切公式可构造方程求得1tan 3α=-或tan 2α=；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭化为)22cos sin 2sin cos 2αααα-+，根据正余弦齐次式的求解方法可化简为221tan 2tan 21tan ααα-++，代入tan α即可求得结果. 【详解】tan tantan 124tan tan tan tan 41tan 31tan tan 4παπαααααπαα--⎛⎫-=⋅=⋅= ⎪+⎝⎭+ 解得：1tan 3α=-或tan 2α=()cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2sin 24442πππααααα⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭)222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos 22cos sin αααααααααα-+=-+=+221tan 2tan 21tan ααα-+=⨯+ 当1tan 3α=-时，12193cos 21419πα--⎛⎫-== ⎪⎝⎭+当tan 2α=时，144cos 2421410πα-+⎛⎫-== ⎪+⎝⎭综上所述，cos 2410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭本题正确结果：10【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式. 14．设直线12,l l 分别是函数ln ,01()ln ,1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩图象上点12,P P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l 与2l 分别与y 轴相交于点,A B ，则PAB ∆的面积的取值范围是_______. 【答案】()0,1【解析】首先可确定12,P P 分别在分段函数的两段上，设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<，通过导数可求得切线斜率；根据12,l l 相互垂直可得到121=x x ；通过12,l l 的方程可求得,A B 两点坐标，从而得到2AB =；联立12,l l 求得P 点横坐标，从而将PAB ∆面积表示为1121PAB S x x ∆=+，根据()10,1x ∈可求得PAB ∆面积的取值范围.【详解】由题意可知，12,P P 分别在分段函数的两段上设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<()1,011,1x xf x x x ⎧-<<⎪⎪∴⎨>'=⎪⎪⎩ 111l k x ∴=-，221l k x = 1212111l l k k x x ∴⋅=-⋅=-，即：121=x x 1l ∴方程为：()1111ln y x x x x =---；2l 方程为：()2221ln y x x x x =-+ ()10,1ln A x ∴-，()20,ln 1B x - ()12121l n l n 12l n 2A B x x xx ∴=---=-= 联立12,l l 可得P 点横坐标为：12121222x x x x x x =++121211122212PAB S AB x x x x x x ∆∴=⋅==+++()10,1x ∈且1y x x =+在()0,1上单调递减 111112x x ∴+>+= 01PAB S ∆∴<<，即PAB ∆的面积的取值范围为：()0,1本题正确结果：()0,1 【点睛】本题考查三角形面积取值范围的求解问题，求解取值范围的常用方法是能够将所求三角形面积表示为某一变量的函数，从而利用变量的范围求得面积的取值范围；本题的解题关键是能够熟练应用导数求解切线斜率，通过垂直关系得到斜率间的关系，进而能够进行化简消元.二、解答题15．已知矩阵0A a ⎡=⎢⎣10⎤⎥⎦，矩阵0B b ⎡=⎢⎣20⎤⎥⎦，直线1:40l x y -+=经矩阵A 所对应的变换得到直线2l ，直线2l 又经矩阵B 所对应的变换得到直线3:40l x y ++=. （1）求,a b 的值； （2）求直线2l 的方程. 【答案】（1）12a =，1b =-；（2）240x y --=【解析】（1）根据矩阵的乘法运算可建立关于,a b 的方程组，解方程组求得结果；（2）根据（1）可得矩阵A ，得到变换公式，从而可得所求方程. 【详解】（1）020120000a BA b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1l ∴变换到3l 的变换公式为：2x axy by ''=⎧⎨=⎩可得到直线240ax by ++=即直线1:40l x y -+=211a b =⎧∴⎨=-⎩，解得：12a =，1b =-（2）由（1）知：01102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦1l ∴变换到2l 的变换公式为：12x yy x =⎧''⎪⎨=⎪⎩ ∴直线2l 的方程为：240y x -+=，即240x y --=【点睛】本题考查矩阵的乘法运算和直线在矩阵下的线性变换，关键是能够通过矩阵运算得到线性变换的公式，属于常考题型.16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，，．（1）求角的值； （2）若，求△ABC 的面积．【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，由正弦定理化简已知等式可求，结合范围0＜B ＜π，可求B 的值．（2）由（1）及正弦定理可求b 的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin C 的值，根据三角形面积公式即可计算得解． 【详解】（1）在△ABC 中，因为，，所以．因为， 由正弦定理，得．所以．若，则，与矛盾，故．于是． 又因为， 所以．（2）因为，， 由（1）及正弦定理，得，所以．又=．所以△的面积为.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 17．如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==.（1）直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （2）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长. 【答案】（1）49；（2）87. 【解析】以A 为原点建立空间直角坐标系；（1）表示出,,,C E B D 的坐标，首先求解出平面BDE 的法向量()12,2,1n =，根据直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值等于11CE n CE n ⋅⋅可求得结果；（2）设()0CF t t =>得到()2,1,F t ，可求解出平面BDF 的法向量()2,,2n t t =-，从而得到12cos ,n n <>=；根据二面角余弦值与法向量213-=，解方程求得结果. 【详解】以A 为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：（1）由题意得：()2,1,0C ，()0,0,2E ，()0,1,0B ，()1,0,0D()2,1,2CE ∴=--，()1,1,0BD =-，()0,1,2BE =-设平面BDE 的法向量()1111,,n x y z =111111020BD n x y BE n y z ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩，令11z =，则12y =，12x = ()12,2,1n ∴= 设直线CE 与平面BDE 所成角为θ114224sin 339CE n CE n θ⋅--+∴===⨯⋅ 即直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为：49（2）设()0CF t t =>，则()2,1,F t ()2,0,B F t ∴= 设平面BDF 的法向量()2222,,n x y z =222222020BD n x y BF n x tz ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令22z =-，则2x t =，2y t = ()2,,2n t t ∴=- 由（1）知，平面BDE 的法向量()12,2,1n =1212212cos ,3n n n n n n t ⋅∴<>===⋅又二面角E BD F --的余弦值为1313=，解得：87t = ∴线段CF 的长为：87【点睛】本题考查空间向量法求解直线与平面所成角、利用平面与平面所成角求解其他量的问题；关键是能够熟练掌握直线与平面所成角、平面与平面所成角的向量求法，对于学生的计算能力有一定要求，属于常考题型.18．如图，一楼房高AB为米，某广告公司在楼顶安装一块宽BC 为4米的广告牌，CD 为拉杆，广告牌的倾角为60，安装过程中，米的监理人员EF 站在楼前观察该广传牌的安装效果：为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方：设AE x =米，该监理人员观察广告牌的视角BFC θ∠=.（1）试将tan θ表示为x 的函数； （2）求点E 的位置，使θ取得最大值. 【答案】（1）)tan 2x θ=>；（2）当18AE =米时，θ取得最大值.【解析】（1）作CG AB ⊥，垂足为G ；作FHAB ⊥，垂足为H ，交CG 于M ；作BN CG ⊥，垂足为N ；在Rt CFM ∆和Rt BFH ∆分别用x 表示出tan CFM ∠和tan BFH ∠，根据()tan tan CFM BFH θ=∠-∠，利用两角和差正切公式可求得结果；（2）根据（1）的结论，设18t x =+，可得tan 38t tθ=+-求得t =时，tan θ取最大值，又tan θ在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，可知t =θ最大，从而可得到结果.【详解】（1）作C G A B ⊥，垂足为G ；作F H A B ⊥，垂足为H ，交CG 于M ；作B N C G ⊥，垂足为N ，如下图所示：在Rt CFM ∆中，6019tan 4cos 60CM CN NM CFM MF AEBN ++∠====-- 在Rt BFH ∆中，tan BH AB EF BFH HF AE -∠===()tan tantan tan 1tan tanCFM BFHCFM BFH CFM BFHθ∠-∠∴=∠-∠=+∠∠221080x x-+==-+监理人员必须在G 的右侧 2x ∴> 综上所述：()2tan 221080x x x θ+=>-+ （2）由（1）可得：()2218tan 22108021080x x x x xx θ++==>-+-+令18t x =+，则()20,t ∈+∞()()2tan18218108038tt t t tθ∴==---++-1440tt +≥=（当且仅当1440t t =，即t =时取等号）tan θ∴≤=∴当t =18x =时，tan θ取最大值又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且tan θ在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 tan θ∴最大时，θ最大∴当18AE =-米时，θ取得最大值【点睛】本题考查函数模型的实际应用问题，涉及到两角和差正切公式的应用、利用基本不等式求解函数的最值问题；关键是能够建立起准确的函数模型，在求解最值时，将函数化为符合基本不等式的形式；易错点是忽略了函数模型中定义域的要求. 19．已知函数()()ln 425f x a x a ⎡⎤=-+-⎣⎦，()1ln g x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中a 为常数． ()1当3a =时，设函数()()()2221h x f x f x =--，判断函数()h x 在()0,+∞上是增函数还是减函数，并说明理由；()2设函数()()()F x f x g x =-，若函数()F x 有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(]1,2{3⋃，4}【解析】()1代入a 的值，求出()h x 的解析式，判断函数的单调性即可；()2由题意把函数()F x 有且仅有一个零点转化为()()24a x a 5x 10-+-+=有且只有1个实数根，通过讨论a 的范围，结合二次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可． 【详解】（1）由题意，当a 3=时，()()f x ln x 1=+，则()()222x h x ln x 0x 1=≠+，因为2222x 22x 1x 1=-++，又由22x 1+在()0,∞+递减， 所以222x 1-+在()0,∞+递增， 所以根据复合函数的单调性，可得函数()h x 在()0,∞+单调递增函数；()2由()F x 0=，得()()f x g x =，即()1ln 4a x 2a 5ln a x⎛⎫⎡⎤-+-=- ⎪⎣⎦⎝⎭， 若函数()F x 有且只有1个零点， 则方程()1ln 4a x 2a 5ln a x ⎛⎫⎡⎤-+-=-⎪⎣⎦⎝⎭有且只有1个实数根，化简得()14a x 2a 5a x-+-=-， 即()()24a x a 5x 10-+-+=有且只有1个实数根，a 4=①时，()()24a x a 5x 10-+-+=可化为x 10-+=，即x 1=，此时(4)12530130a a a -⋅+-=>⎧⎨-=>⎩，满足题意，②当a 4≠时，由()()24a x a 5x 10-+-+=得：()()4a x 1x 10⎡⎤---=⎣⎦，解得：14x a=-或x 1=， ()i 当114a=-即3a =时，方程()()24510a x a x -+-+=有且只有1个实数根，此时(4)12520120a a a -⋅+-=>⎧⎨-=>⎩，满足题意，()ii 当114a≠-即3a ≠时， 若1x =是()F x 的零点，则(4)125010a a a -⋅+->⎧⎨->⎩，解得：1a >，若14x a =-是()F x 的零点，则(4)1250114a a a a -⋅+->⎧⎪⎪⎨->⎪⎪-⎩，解得：2a >， 函数()F x 有且只有1个零点，所以12a a >⎧⎨≤⎩或12a a ≤⎧⎨>⎩，1a 2∴<≤，综上，a 的范围是(]1,2{3⋃，4}． 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性，函数的零点，以及二次函数的性质等知识点的综合应用，同时把函数()F x 有且仅有一个零点转化为方程有且只有1个实数根，合理令二次函数的性质，分类讨论是解答的关键，着重考查了转化思想，分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 20．已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828...=为自然对数的底数.【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）0a <≤【解析】(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到a 的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可. 【详解】 (1)当34a =-时，()3ln 4f x x =-()0,∞+，且： ()3433'4x x f x x -+=-==因此函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3. (2)由1(1)2f a ≤，得04a <≤，当04a <≤时，()f x≤2ln 0x-≥，令1t a=，则t ≥， 设()22ln gt t x =，t ≥，则2()2ln g t t x =--， （i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤则()2ln g xg x =…，记1()ln ,7p xx x =≥，则1()p x x '=-==列表讨论：()(1)0,()2()0p x p g t g p x ∴=∴=厖?（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=，令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦， 则()10q x'=>， 故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=>，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()f x ≤，综上所述，所求的a 的取值范围是⎛ ⎝⎦． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。

南通市2020届高三第一次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合，，则▲.【答案】2．已知复数满足，其中是虚数单位，则的模为▲.【答案】3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为，则这5名党员教师学习积分的平均值为▲.【答案】40 a←1 i←14．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为▲．While i≤4【答案】11a←a+i i←i+1 End While5．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，Print a 则的值为▲．（第4题）【答案】16．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为▲.【答案】7．在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为▲.【答案】8．已知函数．若当时，函数取得最大值，则的最小值为▲.【答案】59．已知函数是奇函数．若对于任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是▲．【答案】10．在平面直角坐标系中，已知点A，B分别在双曲线的两条渐近线上，且双曲线经过线段AB的中点．若点的横坐标为2，则点的横坐标为▲．【答案】11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的▲倍．【答案】100012．已知△ABC的面积为3，且．若，则的最小值为▲．【答案】13．在平面直角坐标系中，已知圆与圆相交于A，B两点．若圆上存在点，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数的值组成的集合为▲.【答案】14．已知函数若关于的方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是▲.【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面，，分别为的中点．求证：（1）AB∥平面；（2）平面平面．【证】（1）在中，因为分别为的中点，所以AB∥DE．……3分又因为平面，平面，所以AB∥平面．……6分（2）因为平面，平面，所以．……8分又因为，平面，，所以平面．……11分因为平面，所以平面平面．……14分16．（本小题满分14分）在△ABC中，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．【解】（1）在△ABC中，因为，，由，得．……2分又，，由正弦定理，得，……4分所以．……6分（2）（方法一）由余弦定理，得，……8分即，解得或（舍去）．……11分所以．……14分（方法二）在△ABC中，由条件得，所以，所以．所以．……8分所以．……10分由正弦定理，得，所以．……12分所以．……14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，两条准线间的距离为，分别为椭圆的左、右顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知图中四边形是矩形，且，点分别在边上，与相交于第一象限内的点．①若分别是的中点，证明：点在椭圆上；②若点在椭圆上，证明：为定值，并求出该定值．【解】（1）设椭圆的焦距为，则由题意，得解得所以．所以椭圆的标准方程为．……3分（2）①由已知，得，，，．直线的方程为，直线的方程为．联立解得即．……6分因为，所以点在椭圆上．……8分②（解法一）设，，则，．直线的方程为，令，得．……10分直线的方程为，令，得．……12分所以．……14分（解法二）设直线的方程为，令，得．设直线的方程为，令，得．……10分而．……12分设，，则，所以，所以．……14分18．（本小题满分16分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为的正三角形绕其中心逆时针旋转到三角形，且．顺次连结，得到O 六边形徽标．（1）当时，求六边形徽标的面积；（第18题）（2）求六边形徽标的周长的最大值．【解】连结．在正三角形中，，，，．……2分当正三角形绕中心逆时针旋转到正三角形位置时，有，，，所以≌≌，≌≌，所以，．……4分（1）当时，设六边形徽标的面积为，则……6分．答：当时，六边形徽标的面积为．……9分（2）设六边形徽标的周长为，则……11分，．……13分所以当，即时，取最大值．答：六边形徽标的周长的最大值为．……16分19．（本小题满分16分）已知数列满足：，且当时，．（1）若，证明：数列是等差数列；（2）若．①设，求数列的通项公式；②设，证明：对于任意的，当时，都有．【解】（1）时，由，得……2分所以，即（常数），所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．……4分（2）时，，时，．①时，所以．……6分所以．又，所以．……8分又，所以（常数）．所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为．……10分②由①知，，．所以，所以．……12分所以．……14分当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以．所以若，则．……16分20．（本小题满分16分）设函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）已知函数的导函数有三个零点，，．①求的取值范围；②若，是函数的两个零点，证明：．【解】（1）时，，其定义域为，．令，得，所以函数的单调减区间为．……3分（2）①，设，则导函数有三个零点，即函数有三个非零的零点．又，若，则，所以在上是减函数，至多有1个零点，不符合题意，所以．……5分令，．列表如下：极大值极小值所以即解得．……8分又，所以在上有且只有1个非零的零点．因为当时，，，，且，又函数的图象是连续不间断的，所以在和上各有且只有1个非零的零点．所以实数的取值范围是．……10分②（证法一）由，得设，且，所以．又因为，所以．所以或时，；时，．由①知，．因为，所以，，所以，．……14分所以成立．……16分（证法二）依题设知：，由①知，设，由①知，所以，在上单调递减．……12分又由，得：，即，所以，又，故，．于是（Ⅰ），即，又，，所以；……14分（Ⅱ），即，又，，故，又，所以，即．所以，得证．……16分21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知，向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵；（2）若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求点的坐标．【解】（1）因为向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，所以，即，所以解得所以．……5分（2）设，则，所以解得所以点的坐标为．……10分B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为(为参数)．求椭圆C上的点到直线的距离的最大值．【解】（方法一）直线的普通方程为．……2分设，则点到直线的距离．……8分当，即（）时，．……10分（方法二）直线的普通方程为．椭圆C的普通方程为．……4分设与直线平行的直线方程为，由消，得．令，得．……8分所以直线与椭圆相切．当时，点到直线的距离最大，．……10分C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知都是正实数，且．证明：（1）；（2）．【证】（1）因为都是正实数，所以．又因为，所以，即，得证．……4分（2）因为都是正实数，所以，①，②．③……6分由①+②+③，得，所以，又因为，所以，得证．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在直四棱柱中，，，．（1）求二面角的余弦值；（2）若点为棱的中点，点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【解】在直四棱柱中，（第22题）因为平面，，平面，所以，．又，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．由，得，．……2分（1），，设平面的一个法向量，则即不妨取，则，，所以．……4分因为平面，所以平面的一个法向量为．设二面角的平面角的大小为，根据图形可知，．所以二面角的余弦值为．……6分（2）设，则．又为的中点，则，，．设平面的一个法向量，由得取，则，，所以．……8分设直线与平面所成角的大小为，则，所以或（舍去）.所以.……10分23．(本小题满分10分)一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只.现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球.（1）当时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量表示次取球中取到红球的次数，随机变量求的数学期望（用表示）.【解】（1）当时，从装有5只小球的口袋中有放回的取球6次，共有个基本事件.记“恰好取到3次红球”为事件，事件包含基本事件有个.因为上述个基本事件发生的可能性相同，故.答：当时，恰好取到3次红球的概率为.……3分（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为.则...……5分所以.……7分令，，则，.，所以.所以.答：的数学期望为.……10分。

泰州市中学2020届高三上学期期中考数学（理）试卷一、填空题 1．已知集合{}1,2,4,5,6A =，{}2,3,4B =，则A B =I __________.2．命题“1x ∀≥，21x ≥”的否定为__________.3．函数21x y x -=+的定义域为_________．4．在等差数列{}n a 中，若2523a a +=，则数列{}n a 的前6项的和6S =__________. 5．函数()2x f x e x =+ (e 为自然对数的底数）的图像在点（0,1）处的切线方程是____________6．已知x ，y ∈R ，直线(1)10a x y -+-=与直线20x ay ++=垂直，则实数a 的值为_______．7．设实数x ， y 满足{x −y ≥0 ，x +y ≤1 ，x +2y ≥1 ，则3x +2y 的最大值为________ 8．已知正数x 、y 满足22log log 0x y +=，则41x y+的最小值为__________.9．如下图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，3DAB π∠=，点E ，F 在BC ，DC 上，且12BE EC =u u u r u u u r，DF FC =u u u r u u u r ，则AE AF ⋅=u u u r u u u r__________.10．设α，β都是锐角，且5cos 5α=，3sin()5αβ+=，则cos β=__________. 11．已知函数()f x 的定义域为R ， ()'f x 是()f x 的导函数，且()23f =， ()'1f x <，则不等式()1f x x >+的解集为_______．12．在公比不等于1的等比数列{}n a 中，已知3542,a a a =且3453,,22a a a 成等差数列，则数列{}n a 的前10项的和的值为_______________.13．在边长为8正方形ABCD 中，点M 为BC 的中点，N 是AD 上一点，且3DN NA =，若对于常数m ，在正方形ABCD 的边上恰有6个不同的点P ，使得PM PN m ⋅=u u u u r u u u r，则实数m 的取值范围为______.14．已知函数()3cos f x x x =-，若不等式()12f x kx b kx b +≤≤+对一切实数x 恒成立，则21b b -的最小值为__________.二、解答题 15．设p ：实数x 满足22430x ax a -+≤，其中0a >；q ：实数x 满足302x x -<-.（1）若1a =，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos 5A =，1tan()3B A -=． （1）求tan B 的值；（2）若13,c =求ABC ∆的面积．17．某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y （万只）与时间x （年）（其中*x N ∈）的关系为2xy e =．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值21ayMx x =-+（其中a 为常数，且0a>）来进行生态环境分析．（1）当1a =时，求比值M 取最小值时x 的值；（2）经过调查，环保部门发现：当比值M 不超过4e 时不需要进行环境防护．为确保恰好．．3年不需要进行保护，求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底， 2.71828e =L ）18．如图，圆C 与x 轴相切于点T(2，0)，与y 轴的正半轴相交于A ，B 两点（A 在B 的上方），且AB ＝3．（1）求圆C 的方程；（2）直线BT 上是否存在点P 满足PA 2＋PB 2＋PT 2＝12，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如果圆C 上存在E ，F 两点，使得射线AB 平分∠EAF ，求证：直线EF 的斜率为定值．19．已知函数()214ln 22f x x a x x =---，其中a 为正实数. （1）若函数()y f x =在1x =处的切线斜率为2，求a 的值； （2）求函数()y f x =的单调区间；（3）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，求证：()()126ln f x f x a +<-20．设各项均为正数的数列{}n a 满足nnSpn r a =+（p ，r 为常数），其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）若1p =，0r =，求证：{}n a 是等差数列；（2）若13p =，12a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）若202012020a a =，求p r +的值.解析泰州市中学2020届高三上学期期中考数学（理）试卷一、填空题 1．已知集合{}1,2,4,5,6A =，{}2,3,4B =，则A B =I __________.【答案】{}2,4【解析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】Q {}1,2,4,5,6A =，{}2,3,4B =，∴{}2,4A B =I .故答案为：{}2,4.【点睛】本题考查交集的求法，属于基础题. 2．命题“1x ∀≥，21x ≥”的否定为__________. 【答案】1x ∃≥，使得21x <【解析】根据命题的否定直接求解即可. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，所以命题“1x ∀≥，21x ≥”的否定为“1x ∃≥，使得21x <”.故答案为：1x ∃≥，使得21x <.【点睛】本题考查命题的否定，解题时应注意命题的否定与否命题的区别，属于基础题. 3．函数21x y x -=+的定义域为_________．【答案】(1,2]- 【解析】由201xx -≥+解得12x -<≤，即可得函数的定义域. 【详解】 依题意，得：201xx -≥+，等价于：(2)(1)010x x x -+≥⎧⎨+≠⎩，即(2)(1)010x x x -+≤⎧⎨+≠⎩， 得12x -<≤，所以定义域为：(1,2]-故答案为(1,2]-【点睛】本题考查函数的定义域，分式不等式的解法，属于基础题. 4．在等差数列{}n a 中，若2523a a +=，则数列{}n a 的前6项的和6S =__________. 【答案】2【解析】先根据等差数列的性质得出162523a a a a +=+=，再根据等差数列的求和公式进行计算即可. 【详解】根据等差数列的性质可得：162523a a a a +=+=， ∴1666()23223S a a ⋅==⋅=+.故答案为：2. 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和公式，解题时应注意对公式的选择，属于常考题. 5．函数()2x f x e x =+ (e 为自然对数的底数）的图像在点（0,1）处的切线方程是____________【答案】31y x =+【解析】对函数求导得到导数f ′(x )＝e x ＋2，图像在点(0，1)处的切线斜率k ＝e 0＋2＝3，故得到切线方程为31y x =+.【详解】∵函数f (x )＝e x ＋2x ，∴导数f ′(x )＝e x ＋2，∴f (x )的图像在点(0，1)处的切线斜率k ＝e 0＋2＝3，∴图像在点(0，1)处的切线方程为y ＝3x ＋1. 故答案为31y x =+.【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程. 6．已知x ，y ∈R ，直线(1)10a x y -+-=与直线20x ay ++=垂直，则实数a 的值为_______．【答案】12【解析】利用直线与直线垂直的性质直接求解． 【详解】∵x ，y ∈R ，直线（a ﹣1）x+y ﹣1=0与直线x+ay+2=0垂直， ∴（a ﹣1）×1+1×a=0， 解得a=12， ∴实数a 的值为12． 故答案为12． 【点睛】两直线位置关系的判断：1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论： 垂直： 12120A A B B +=；平行：1221A B A B =，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验.7．设实数x ， y 满足{x −y ≥0 ，x +y ≤1 ，x +2y ≥1 ，则3x +2y 的最大值为________ 【答案】3【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A(12,12),B(13,13),C(1,0)，则直线3x +2y =z 过点C 时取最大值3 【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 8．已知正数x 、y 满足22log log 0x y +=，则41x y+的最小值为__________.【答案】4 【解析】由22log log 0x y +=易得1xy =，再根据基本不等式求解即可.【详解】Q 正数x 、y 满足22log log 0x y +=，∴021xy ==，∴41411244x y x y xy+≥⋅==，所以41x y +的最小值为4.故答案为：4. 【点睛】本题考查对数的运算法则，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于常考题.9．如下图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，3DAB π∠=，点E ，F 在BC ，DC 上，且12BE EC =u u u r u u u r，DF FC =u u u r u u u r ，则AE AF ⋅=u u u r u u u r__________.【答案】18【解析】由向量的加法可得AE AB BE =+u u u ru u u r u u u r 和AF AD DF =+u u ur u u u r u u u r ，再根据题中条件得出AE AF ⋅u u u r u u u r 的值即可.【详解】由向量的加法可得：AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r 和AF AD DF =+u u u r u u u r u u u r ，Q 4AB =，3AD =，3DAB π∠=，且12BE EC =u u u r u u u r ，DF FC =u u u r u u u r ， ∴4AB =uu u r ，3AD =uuu r ，12DF FC DC ==u u u r u u u r u u u r ，2DF FC ==u u ur u u u r ，13BE BC =u u u r u u u r ，311BE BC ==u u u r u u u r，∴AE AF ⋅=u u u r u u u r （AB BE +u u u r u u u r ）⋅ （AD DF +u u u r u u u r ）AB AD AB DF BE AD BE DF =⋅+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rcos cos33AB AD AB DF BE AD BE DF ππ=⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r114342311222=⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅18=.故答案为：18. 【点睛】本题考查向量的加法，考查向量数量积的定义，考查平面向量在平面几何中的应用，考查计算能力，考查对基础知识的掌握与理解，属于中档题.10．设α，β都是锐角，且5cos 5α=，3sin()5αβ+=，则cos β=__________. 【答案】2525【解析】由α为锐角，根据cos α的值，求出sin α的值，利用sin()αβ+，根据其值范围确定出αβ+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos()αβ+的值，所求式子中的角β变形为()αβα+-，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】Q α为锐角，5cos 5α=，∴2252152sin cos αα=-=>，Q ()3252sin αβ+=<，()sin sin ααβ∴>+又α为锐角，ααβ<+∴2παβπ<+<，∴24()()15cos sin αβαβ+=--+=-， 则[]()cos cos βαβα=+-()()cos cos sin sin αβααβα=+++4532525555525=-⨯+⨯=.故答案为：2525. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，考查了正、余弦函数的性质，考查了两角和差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解题的关键，属于常考题. 11．已知函数()f x 的定义域为R ， ()'f x 是()f x 的导函数，且()23f =， ()'1f x <，则不等式()1f x x >+的解集为_______． 【答案】(),2-∞【解析】令()()()1g x f x x =-+，因为()23f =，且()'1f x <，所以()20g =， ()'0g x <，即()()()1gx f x x =-+在R 上单调递减，且()1f x x >+可化为()()0g x g >，则2x <，即不等式()1f x x >+的解集为(),2-∞.点睛：本题考查利用导数研究不等式的解集.解决本题的关键是合理根据条件（()'1f x <且()23f =）构造函数()()()1g x f x x =-+和()()0g x g >，再利用单调性进行求解.12．在公比不等于1的等比数列{}n a 中，已知3542,a a a =且3453,,22a a a 成等差数列，则数列{}n a 的前10项的和的值为_______________. 【答案】1023128【解析】先根据已知的条件求出等比数列的1,a q 的值，再求数列{}n a 的前10项和的值.【详解】由题得24311132411112132,4,.21a q a q a q a q a q a q a q q ⎧⋅=⎪=+∴==⎨⎪≠⎩所以数列的前10项和为1014[1()]10232112812-=-. 故答案为1023128【点睛】本题主要考查等比数列的通项和等差中项的运用，考查等比数列的前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.13．在边长为8正方形ABCD 中，点M 为BC 的中点，N 是AD 上一点，且3DN NA =，若对于常数m ，在正方形ABCD 的边上恰有6个不同的点P ，使得PM PN m ⋅=u u u u r u u u r，则实数m 的取值范围为______.【答案】(1,8)-【解析】建立平面直角坐标系，按照点P 在线段AB ，AD ，DC ，BC 上进行逐段分析PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围及对应的解，然后取各个范围的交集即可得答案． 【详解】以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则(8,4)M ，(0,2)N ，（1）当点P 在AB 上时，设(,0)P x ，08x ≤≤，∴(,2)PN x =-u u u r ，(8,4)PM x =-u u u u r，∴288PM PN x x ⋅=-+u u u u r u u u r，∵08x ≤≤， ∴88PM PN -≤⋅≤u u u u r u u u r．∴当8m =-时有一解，当88m -<≤时有两解； （2）当点P 在AD 上时，设(0,)P y ，08y <≤，∴(0,2)PNy =-u u u r，(8,4)PM y =-u u u u r，∴268PM PN y y ⋅=-+u u u u r u u u r，∵08y <≤，∴124PM PN -≤⋅≤u u u u r u u u r，∴当1m =-或824m ≤≤时有一解，当18m -<<时有两解； （3）若P 在DC 上，设(,8)P x ，08x <≤，∴(,6)PN x =--u u u r，(8,4)PMx =--u u u u r，∴2824PM PN x x ⋅=-+u u u u r u u u r，∵08x <≤， ∴824PM PN ≤⋅≤u u u u r u u u r．∴当8m =时有一解，当824m <≤时有两解； （4）当点P 在BC 上时，设(8,)P y ，08y <<，∴(8,2)PN y =--u u u r ，(0,4)PM y =-u u u u r，∴268PM PN y y ⋅=-+u u u u r u u u r，∵08y <<，∴124PM PN -≤⋅<u u u u r u u u r，∴当1m =-或824m <<时有一解，当18m -<<时有两解， 综上，在正方形ABCD 的四条边上有且只有6个不同的点P ，使得PM PN m ⋅=u u u u r u u u r成立，那么m 的取值范围是(1,8)-， 故答案为：(1,8)-． 【点睛】解答本题的关键有两个：一是正确理解题意，将问题转化为判断方程根的个数的问题求解；二是利用数形结合的思想进行求解，通过建立坐标系，将问题转化为函数的知识求解，难度较大． 14．已知函数()3cos f x x x =-，若不等式()12f x kx b kx b +≤≤+对一切实数x 恒成立，则21b b -的最小值为__________. 【答案】2【解析】根据23cos x x kx b ≤+-恒成立可知21b ≥，同理得出11b ≤-，故21b b -的最小值为2．【详解】 由2()f x kx b ≤+恒成立，可得23cos x x kx b ≤+-，即2cos 3)(k x x b --≤+恒成立，而1cos 1x -≤-≤，且cos y x =-为周期函数，故30k -=，且21b ≥，同理可得11b ≤-，∴21b b -的最小值为1(1)2--=.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查函数的性质，考查不等式恒成立，考查分析问题和解决问题的能力，考查学生的逻辑推理能力.二、解答题 15．设p ：实数x 满足22430x ax a -+≤，其中0a >；q ：实数x 满足302x x -<-.（1）若1a =，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）13x ≤≤；（2）12a ≤≤.【解析】（1）分别求出p 和q ，然后求出并集即可；（2）p 是q 的必要不充分条件，等价于q p ⇒且p q ⇒/，可得出B A Ü，列出不等式组0233a a <≤⎧⎨≥⎩，求解即可.【详解】 （1）由22430x ax a -+≤，得(3)()0x a x a --≤，又0a>，所以3a x a <<， 当1a =时，13x ≤≤，即p 为真时，实数x 的取值范围是13x ≤≤，q 为真时，302x x -<-等价于(2)(3)0x x --<，得23x <<，即q 为真时，实数x 的取值范围是23x <<，若p q ∨为真，则实数x 的取值范围是13x ≤≤；（2）p 是q 的必要不充分条件，等价于q p ⇒且p q ⇒/，设{|3}A x a x a =≤≤，{|23}B x x =<<，则B A Ü，则0233a a <≤⎧⎨≥⎩，所以实数a 的取值范围是12a ≤≤. 【点睛】本题考查复合命题真假性的应用，考查充分条件和必要条件的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos 5A =，1tan()3B A -=． （1）求tan B 的值；（2）若13,c =求ABC ∆的面积． 【答案】（1）3（2）78【解析】试题分析：（1）由两角和差公式得到()()()tan tan tan tan 1tan tan B A A BB A A B A A-+⎡⎤=-+=⎣⎦--⋅，由三角形中的数值关系得到sin 4tan cos 3A A A ==，进而求得数值；（2）由三角形的三个角的关系得到1310sin 50C =，再由正弦定理得到b=15,故面积公式为78S =.解析：（1）在ABC V 中，由3cos 5A =，得A 为锐角，所以24sin 1cos 5A A =-=， 所以sin 4tan cos 3A A A ==， 所以()()()tan tan tan tan 1tan tan B A A B B A A B A A-+⎡⎤=-+=⎣⎦--⋅.1433314133+==-⨯ （2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，所以31010sin ,cos 1010BB ==， 由()1310sin sin sin cos cos sin 50CA B A B A B =+=+=，由正弦定理sin sin b c B C =,得31013sin 10=15sin 131050c B b C ⨯==，所以ABC V 的面积114sin 151378225Sbc A ==⨯⨯⨯=. 17．某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y （万只）与时间x （年）（其中*x N ∈）的关系为2xy e =．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值21ayMx x =-+（其中a 为常数，且0a>）来进行生态环境分析．（1）当1a =时，求比值M 取最小值时x 的值；（2）经过调查，环保部门发现：当比值M 不超过4e 时不需要进行环境防护．为确保恰好．．3年不需要进行保护，求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底， 2.71828e =L ）【答案】(1)M 在x2=时取最小值(2) 13722e ，⎛⎤⎥⎦⎝【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化研究函数的单调性和最值；（2）利用（1）结论，列出不等式组进行求解.试题解析：（1）当1a =时，22(1)1xeM x x x =>-+，∴()()()22212'1xx x e M xx --=-+列表得：2单调减 极小值 单调增∴M 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增 ∴M 在2x =时取最小值；（2）∵()()()22212'(0)1xa x x e Ma xx --=>-+ 根据（1）知：M 在()1,2上单调减，在()2,+∞上单调增∵确保恰好．．3年不需要进行保护 ∴()()()43444122372413M e e ae M e ae M e ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得：13722e a <≤ 答：实数a 的取值范围为137,22e ⎛⎤⎥⎝⎦． 18．如图，圆C 与x 轴相切于点T(2，0)，与y 轴的正半轴相交于A ，B 两点（A 在B 的上方），且AB ＝3．（1）求圆C 的方程；（2）直线BT 上是否存在点P 满足PA 2＋PB 2＋PT 2＝12，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如果圆C 上存在E ，F 两点，使得射线AB 平分∠EAF ，求证：直线EF 的斜率为定值．【答案】（1）225252)()24x y -+-=（；（2）点P 坐标为1151236（，）或（，）.（3）见解析. 【解析】（1）求出圆C 的半径为52，即得圆C 的方程；（2）先求出直线BT 的方程为x+2y-2=0. 设P(2-2y,y),根据PA 2＋PB 2＋PT 2＝12 求出点P 的坐标；（3）由题得ECB BCF ∠=∠,即EF ⊥BC,再求EF 的斜率. 【详解】 （1）由题得223252+=24（），所以圆C 的半径为52.所以圆C 的方程为225252)()24x y -+-=（. (2)在225252)()24x y -+-=（中，令x=0,则y=1或y=4. 所以A(0,4),B(0,1).所以直线BT 的方程为x+2y-2=0. 设P(2-2y,y),因为PA 2＋PB 2＋PT 2＝12， 所以22222222)(4)22)(1)222)(0)12y y y y y y -+-+-+-+--+-=（（（,由题得21526130yy -+=因为2=26415136767800∆-⋅⋅=-<,所以方程无解. 所以不存在这样的点P.(3)由题得,EAB BAF ECB BCF ∠=∠∴∠=∠,所以512,1,120EF BCEF BC EF k k k -⊥∴⋅=-∴⋅=--， 所以43EFk =-. 所以直线EF 的斜率为定值． 【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 19．已知函数()214ln 22f x x a x x =---，其中a 为正实数. （1）若函数()y f x =在1x =处的切线斜率为2，求a 的值； （2）求函数()y f x =的单调区间；（3）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，求证：()()126ln f x f x a +<-【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析 【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得()12f '=，解得a 的值；（2）先求导数，再根据导函数是否变号分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间（3）先根据韦达定理得12124,x x x x a +==，再化简()()12f x f x +，进而化简所证不等式为ln ln 20a a a a --+>，最后利用导函数求函数()ln ln 2g x x x x x =--+单调性，进而确定最小值，证得结论 试题解析：(1)因为()214ln 22f x x a x x =---，所以()4af x x x=--'，则()132f a ='-=,所以a 的值为1．(2)()244a x x af x x x x-+=--=-'，函数()y f x =的定义域为()0,+∞，1o 若1640a -≤,即4a ≥,则()0f x '≤,此时()f x 的单调减区间为()0,+∞;2o 若1640a ->,即04a <<,则()0f x '=的两根为24a ±-,此时()f x 的单调减区间为()0,24a--,()24,a +-+∞,单调减区间为()24,24a a--+-．(3)由(2)知，当04a <<时，函数()y f x =有两个极值点12,x x ,且12124,x x x x a +==．因为()()2212111222114ln 24ln 222f x f x x a x x x a x x +=---+--- ()()()2212121214ln 42x x a x x x x =+--+-()2116ln 4244ln 2a a a a a a =----=+-要证()()126ln f x f x a +<-,只需证ln ln 20a a a a --+>．构造函数()ln ln 2g x x x x x =--+，则()111ln 1ln g x x x xx+-='=--，()g x '在()0,4上单调递增,又()()1110,2ln202g g ='-'=-,且()g x '在定义域上不间断,由零点存在定理，可知()0g x '=在()1,2上唯一实根0x , 且001ln x x =．则()gx 在()00,x 上递减, ()0,4x 上递增,所以()g x 的最小值为()0g x ．因为()00000000011ln ln 2123g x x x x x x x x x ⎛⎫=--+=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭, 当()01,2x ∈时, 00152,2x x⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则()00g x >,所以()()00g x g x ≥>恒成立． 所以ln ln 20a a a a --+>,所以()()126ln f x f x a +<-，得证．20．设各项均为正数的数列{}n a 满足nnS pn r a =+（p ，r 为常数），其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. （1）若1p =，0r =，求证：{}n a 是等差数列；（2）若13p =，12a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）若202012020a a =，求p r +的值.【答案】（1）证明见解析；（2）2na n n =+；（3）1.【解析】（1）利用递推关系即可得出； （2）利用递推关系和累乘法即可得出； （3）利用递推关系，对p 进行分类讨论即可得出.【详解】 （1）由1p =，0r =，得n n S na =， 所以11(1)(2)n n S n a n --=-≥，两式相减，得10(2)n n a a n --=≥，所以{}n a 是等差数列；（2）令1n =，得1p r +=，所以23r =， 则1233nn S n a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1111(2)33n n S n a n --⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，两式相减，得11(2)1n n a n n a n -+=≥-，所以3241231n n a a a a a a a a -⋅⋅=L 34511231n n +⋅⋅-L ， 化简得1(1)(2)12n a n n n a +=≥⋅， 所以2(2)n a n n n =+≥，又12a =适合2(2)n a n n n =+≥，所以2na n n =+；（3）由（2）知1r p =-，所以1()n n S pn p a =+-，得11(12)n n S pn p a --=+-(2)n ≥，两式相减，得1(1)(12)n n p n a pn p a --=+-(2)n ≥，易知0p ≠，所以112(1)n n a a pn p p n -=+--(2)n ≥，①当12p =时，得1(2)1n n a a n n n -=≥-，所以201520141201520141a a a ===L ，满足202012020a a =；②当12p >时，由1(1)(12)n n p n a pn p a --=+-(2)n ≥，又0n a >， 所以1(1)n n p n a pna --<(2)n ≥，即1(2)1n n a an n n -<≥-，所以2020120201a a<，不满足202012020a a =；③当2p 1<且0p ≠时，类似可以证明202012020a a =也不成立；综上所述，12p =，12r =，所以1p r +=.【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的证明，考查累乘法求数列通项公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.。

高三数学11月考.1数学Ⅰ试题一、填空题（每小题5分，计70分）1．已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则AB =．2.设幂函数αkx x f =)(的图像经过点），（24，则=+αk ．3.已知复数2i 12++=i z （i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为. 4. 若双曲线1422=+-my m x 的虚轴长为2，则实数m 的值为________． 5. 已知,x y R ∈,则“1a =”是直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行的条件（从“充分不必要"、“必要不充分”、“充分必耍”、“既不充分也不必要“中选择恰当的一个填空）.6. 已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则25+++x y x 的取值范围是__________．7..若5cos 26sin 0,,42ππαααπ⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α= ． 8.设函数()2x xf x e e x -=--，则不等式0)3()12(2≤++x f x f 的解集为.9.已知直线l 与曲线()sin f x x =切于点(,sin )(0)2A πααα<<,且直线l 与函数()y f x =的图象交于点(,sin )B ββ.若αβπ-=，则tan α的值为. 10.如图，在圆O ：224x y +=上取一点(1)A ，E F ，为y 轴上的两点，且AE AF =，延长AE ，AF 分别与圆交于点M N ，，则直线MN 的斜率为．11.若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点B A ,，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为.（第10题）12.在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝2，DC →＝13AB →，AC 与BD 相交于点O ，E 是BD 的中点，AO →·AE →＝8，则AC →·BD →＝________．13.若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.14.给出函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，这里R x m b ∈,,，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，且函数⎩⎨⎧>≤=t x x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为________________．二、解答题（共6道题，计90分） 15、（本小题满分14分）如图，已知A 、B 、C 、D 四点共面，且CD =1，BC =2，AB =4，︒=∠120ABC ，772cos =∠BDC . （1）求DBC ∠sin ;（2）求AD.16.（本小题满分14分）已知圆)40(04222222≤<=-+-++a a a ay ax y x 的圆心为C ，直线m x y l +=:.（1）若4=m ，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；（2）若直线l 是圆心下方的切线，当a 在(]0,4的变化时，求m 的取值范围．17. （本小题满分14分）江苏省第十九届运动会在扬州举行，为此，扬州某礼品公司推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构(该图为轴对称图形)，其中ABC ∆的支撑杆CD AB ,由长为3的材料弯折而成，AB 边的长为t 2，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,1t (BC AC ,另外用彩色线连结，此处不计)；支撑杆曲线AOB拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中，其表达式为x y cos 1-=)，此时记结构的最低点O 到点C 的距离为)(1t h ；曲线2C 是一段抛物线，其焦点到准线的距离为98，此时记结构的最低点O 到点C 的距离为)(2t h ．（1）求函数)(1t h ，)(2t h 的表达式；（2）要使得点O 到点C 的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？18. （本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN，求椭圆方程．19. (本小题满分16分）若函数)(x f y =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使1)()(21=x f x f 成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数x x g sin )(=是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数12)(-=x x f 在定义域[m, n](m>0)上为“依赖函数”，求mn 的取值范围：（3）己知函数)34()()(2≥-=a a x x h 在定义域]4,34[上为“依赖函数”，若存在实数]4,34[∈x ，使得对任意的R t ∈,不等式4)()(2+-+-≥x t s t x h 都成立，求实数s 的最大值.20．（本小题满分16分）已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ．（1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上 的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．数学Ⅱ(附加题)1、已知二阶矩阵A 有特征值4=-λ，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵A 对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵A ．2、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin )ρθθ=设点P 是曲线22:19y C x +=上的动点，求P 到直线l 距离的最大值.3、现有一款智能学习APP ，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．4、数列满足且.（1）用数学归纳法证明：；（2）已知不等式对成立，证明：（其中无理数）.高三数学月考.1 试题Ⅰ一、填空题（每小题5分，计70分） 1.{1,1}- 2.233.i -1 4.3=m 5.充分必耍6.[2，3]7.1-8.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21-1-，9.2π10.解析：.由题意，取(0,2)M,3kAM=,因为AE AF=，所以3kAN=-，过原点所以1)N-，所以kMN=11.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3333-，12. －323解析：由DC→＝13AB→得DC∥AB，且DC＝2，则△AOB∽△COD，所以AO→＝34AC→＝34⎝⎛⎭⎪⎫AD→＋13AB→＝34AD→＋14AB→.因为E是BD的中点，所以AE→＝12AD→＋12AB→，所以AO→·AE→＝⎝⎛⎭⎪⎫34AD→＋14AB→·⎝⎛⎭⎪⎫12AD→＋12AB→＝38|AD→|2＋18 |AB→|2＋12AD→·AB→＝32＋92＋12AD→·AB→＝8，所以AD→·AB→＝4，所以AC→·BD→＝⎝⎛⎭⎪⎫AD→＋13AB→·(AD→－AB→)＝|AD→|2－13|AB→|2－23AD→·AB→＝4－13×36－23×4＝－323.13.解析：()()2222211122x ty t yx yx y xy y++-+++=≥++()01t<<12=，即15t=时()2212x yx y+++5=14.[－2，0)∪[4，＋∞)二、解答题（共6道题，计90分）15、16. 解析：（1）已知圆的标准方程是（x ＋a ）2＋（y －a ）2＝4a （0＜a ≤4），则圆心C 的坐标是（－a ，a ），半径为. 直线l 的方程化为：x －y ＋4＝0.则圆心C 到直线l |2－a |.设直线l 被圆C 所截得弦长为L ，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是：L ＝＝＝.∵0＜a ≤4，∴当a ＝3时，L 的最大值为（2）因为直线l 与圆C ＝，即|m －2a |＝又点C 在直线l 的上方，∴a ＞－a ＋m ，即2a ＞m .∴2a －m ＝m ＝)21－1.∵0＜a ≤4，∴0.∴m ∈1,8⎡--⎣17. 解析： (1)对于曲线C 1，因为曲线AOB 的表达式为y ＝1－cos x ， 所以点B 的坐标为(t ，1－cos t)， 所以点O 到AB 的距离为1－cos t. 因为DC ＝3－2t ，所以h 1(t)＝(3－2t)＋(1－cos t)＝－2t －cos t ＋4⎝⎛⎭⎪⎫1≤t≤32； 对于曲线C 2，设C 2：x 2＝2py ，由题意得p ＝98，故抛物线的方程为x 2＝94y ，即y ＝49x 2，所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，49t 2， 所以点O 到AB 的距离为49t 2.因为DC ＝3－2t ，所以h 2(t)＝49t 2－2t ＋3⎝⎛⎭⎪⎫1≤t≤32. (2)因为h′1(t)＝－2＋sin t<0，所以h 1(t)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递减， 所以当t ＝1时，h 1(t)取得最大值2－cos 1.因为h 2(t)＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫t －942＋34，1≤t≤32，所以当t ＝1时，h 2(t)取得最大值为139.因为2－cos 1≈1.46＞139，所以选用曲线C 1，且当t ＝1时，点O 到点C 的距离最大，最大值为2－cos 1.18.（1）因为F 是AT 的中点，所以22a a c c-+=，即(2)()0a c a c -+=，又a 、0c >，所以2a c =，所以12c e a ==； （2）①过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，则11NF MFe NN MM ==，又2N F M F =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=，又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =； ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N 都在椭圆上，即有⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(24)4143x y c cx c y c c +=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(2)1434x y c c x c y c c +=-+=，两式相减得220022(2)3444x x c c c --=，解得074x c =，可得0y =，故直线MN的斜率为8744k c c ==-， 直线MN的方程为4)y x c =-60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c=2212015x y+=．解法二：设(,0)F c，则椭圆方程为2222143x yc c+=，由①知M是,N T的中点，故1224x x c-=，直线MN的斜率显然存在，不妨设为k，故其方程为(4)y k x c=-，与椭圆联立，并消去y得：22222(4)143x k x cc c-+=，整理得222222(43)3264120k x ck x k c c+-+-=，（*）设11(,)M x y，22(,)N x y，依题意⎧⎪⎨⎪⎩21222221223243641243ckx xkk c cx xk+=+-=+由⎧⎨⎩212212324324ckx xkx x c+=+-=解得⎧⎨⎩2122221644316443ck cxkck cxk+=+-=+所以222222221641646412434343ck c ck c k c ck k k+--⨯=+++，解之得2536k=，即6k=-．直线MN的方程为4)y x c=-60y+-=原点O到直线TMN的距离为d==，41=，解得c=2212015x y+=．19．解：(1) 对于函数()sing x x=的定义域R内存在16xπ=，则2()2g x=2x无解故()sing x x=不是“依赖函数”；…3分(2) 因为1()2xf x-=在[m，n]递增，故f(m)f(n)=1，即11221,2m n m n--=+=……5分由n>m>0，故20n m m=->>，得0<m<1，从而(2)mn m m =-在()0,1m ∈上单调递增，故()0,1mn ∈，……7分 (3)①若443a ≤<，故()()2f x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值0，此时不存在2x，舍去；9分 ②若4a ≥故()()2f x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413f f ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得1a = (舍)或133a =……11分 从而，存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t∈R，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，……13分得2532926433s x x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭，由4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭， 又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时，max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，……15分 从而，解得，综上，故实数s 的最大值为4112．……16分 20.（1）当3a =时，函数21()2ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，．则2232()3x x f x x x x-+'=+-=， 令()f x '0=得，1x =或2x =．………………………………………………………2分列表：所以函数()f x 的极大值为5(1)2f =-；极小值为(2)2ln 24f =-．………………4分（2）依题意，切线方程为0000()()()(0)y f x x x f x x '=-+>， 从而0000()()()()(0)g x f x x x f x x '=-+>， 记()()()p x f x g x =-，则000()()()()()p x f x f x f x x x '=---在()0+∞，上为单调增函数， 所以0()()()0p x f x f x '''=-≥在()0+∞，上恒成立，即0022()0p x x x x x '=-+-≥在()0+∞，上恒成立．…………………………………8分法一：变形得()002()0x x x x --≥在()0+∞，上恒成立，所以002x x =，又00x >，所以0x =分法二：变形得0022x x x x ++≥在()0+∞，上恒成立，因为2x x+≥x =，所以002x x +，从而(200x ≤，所以0x =分（3）假设存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点111()T x y ，，222()T x y ，， 不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：111()()()y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：222()()()y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以12111222()()()()()().f x f x f x x f x f x x f x ''=⎧⎨''-=-⎩，……………………12分即()()11212221111122222122212122ln 2ln .22x a x a x x x x ax x x a x x ax x x a x x ⎧+-=+-⎪⎪⎨⎪+--+-=+--+-⎪⎩，整理得，122211222112ln 2ln .22x x x x x x =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，………………………………………………14分 消去2x 得，22112122ln022x x x +-=．① 令212x t =，由120x x <<与122x x =，得(01)t ∈，，记1()2ln p t t t t =+-，则222(1)21()10t p t t t t -'=--=-<，所以()p t 为(01)，上的单调减函数，所以()(1)0p t p >=．从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个 不同的切点．……………………………………………………………………………16分附加题1、【解析】设所求二阶矩阵a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A . 因为A 有特征值4λ=-，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，所以4=-Ae e ，且1824⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A ，所以444162824a b c d a b c d -+=⎧⎪-+=-⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得4282a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩.所以4282⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A . 2、【解析】易得直线0l y +-=， 设点(cos ,3sin )P αα， ∴P 到直线l的距离|3sin |22d αα--==≤=当且仅当ππ2π62k α+=-，即22ππ()3k k α=-∈Z 时取“=”， 所以P 到直线l距离的最大值为3、【解析】（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：因为两类学习互不影响，所以概率111111115926223229P =⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以每日学习积分不低于9分的概率为59．（2）由题意可知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3． 由（1）知每个人积分不低于9分的概率为59． 则()3464=0=9729P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ；()2135424080=1=C =99729243P ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ξ； ()22354300100=2=C =99729243P ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξ；()35125=3=9729P ⎛⎫=⎪⎝⎭ξ．所以，随机变量ξ的概率分布列为所以6401237297297297293E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． 所以，随机变量ξ的数学期望为53．4、【解析】 （1）①当时，，不等式成立.②假设当时不等式成立，即，那么.这就是说，当时不等式成立.根据①，②可知：对所有成立.（2）当时，由递推公式及（1）的结论有，两边取对数并利用已知不等式得，故，求和可得.由（1）知，，故有，而均小于，故对任意正整数，有.。

江苏省泰州市姜堰中学2019-2020学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合A={x|（x﹣2）（x+1）≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|（x﹣2）（x+1）≤0，x∈R}={x|﹣1≤x≤2}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，∴A∩B={0，1，2}．故选：D．2. 已知集合，集合，则为（）A.B. C.D.参考答案：C【知识点】集合的运算【试题解析】因为所以故答案为：C3. 等比数列{a n}中，是关于x的方程的两个实根，则（）．A．8 B．－8 C．4 D．8或－8参考答案：B是关于x的方程的两实根，所以，由得，所以，即，所以.故选B4. 已知函数g（x）=2cos2x，若在区间上随机取一个数x，则事件“g（x）≥”发生的概率为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出不等式0≤x≤π，2cos2x≥对应的解集，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵0≤x≤π，2cos2x≥，∴0≤x≤或≤x≤π，则对应的概率P==，故选：C．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出不等式等价条件是解决本题的关键．5. 设，则∩=（）A．B．C．D．参考答案：D略6. 设函数，其中.若且的最小正周期大于，则（A）（B）（C）（D）参考答案：A主要检查所给选项：当x=时，，满足题意；，不符合题意，B错误；，不符合题意，C错误；，满足题意；当x=时，，满足题意；，不符合题意，D错误。

2019-2020南通、泰州高三第一次调研试卷数学理科一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1.已知集合{1,0,2}A =-，{1,1,2}B =-，则A B =I _____. 答案：{1,2}-2.已知复数z 满足(1)2i z i +=，其中i 是虚数单位，则z 的模为_______. 答案：23.某校高三数学组有5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为______. 答案：404.根据如图所示的伪代码，输出的a 的值为______. 答案：115.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a d的值为____. 答案：16.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为___. 答案：387.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则三棱锥111A BB C -的体积为____. 答案：238.已知函数()sin()3f x x πω=-(0)ω>，若当6x π=时，函数()f x 取得最大值，则ω的最小值为_____. 答案：59.已知函数2()(2)(8)f x m x m x =-+-()m R ∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(+1)()f x f a<恒成立，则实数a的取值范围是____.答案：1a<10.在平面直角坐标系xOy中,已知点,A B分别在双曲线22:1C x y-=的两条渐近线上,且双曲线C经过线段AB的中点，若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为_____.答案：1211.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如.地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg 4.8 1.5E M=+.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震,它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的____倍.答案：100012.已知ABC∆的面积为3，且AB AC=，若2CD DA=u u u r u u u r，则BD的最小值为_____.13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆221:8C x y+=与圆222:20C x y x y a+++-=相交于,A B两点，若圆1C上存在点P，使得ABP∆为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为____.14.已知函数||1|1|,0(),01x xf x xxx--≥⎧⎪=⎨<⎪-⎩，若关于x的方程22()2()10f x af x a++-=有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_____.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC-中，PA⊥平面ABC，PC AB⊥，,D E分别为,BC AC的中点. 求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面PAB⊥平面PAC.16.（本小题满分14分）在ABC∆中，已知4AC=，3BC=，1 cos4B=-.（1）求sin A的值.（2）求BA BC ⋅u u u r u u u r的值.17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>的焦距为4，两条准线间的距离为8，A ,B 分别为椭圆E 的左、右顶点。

江苏省泰州市第二中学2020届高三上学期第一次限时作业数学（理）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合{}m P ,1-=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=431x x Q ，若∅≠Q P ，则整数=m ▲ ． 2．已知α为第三象限的角，且4sin(),tan 25则παα+=-= ▲ ．3. 若函数()f x =是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝ ▲ .5.若存在实数x ∈[1，2]满足2x 2﹣ax+2＞0，则实数a 的取值范围是 ▲ ．6.设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是 ▲ ． 7.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝ ▲ ．8.设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋a e x 是偶函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为 ▲ ．9.已知x R ∈，()f x 为sin x 与cos x 中的较小者，设()m f x n ≤≤，则m n -= ▲ . 10．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝ ▲ . 11．经过函数1y x=上一点M 引切线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，O 为坐标原点,记OAB ∆的面积为S ,则S = ▲ ．12．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的图象如右图所示，若2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω= ▲ ．13.若关于x 的方程4x e x kx -=有四个实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．14.已知函数ax x x x f +-=ln )(在(0,e)上是增函数，函数)(x g =|a e x-|+22a 在[0,ln3]上的最大值M 与最小值m 的差为52，则a= ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15（本题满分14分）已知函数f(x)=2x+k ·2-x,k ∈R.（1）若函数f(x)为奇函数，求实数k 的值；（2）若对任意的x ∈[)0,+∞都有f(x)>2-x成立，求实数k 的取值范围.16. （本小题满分14分）已知πsin()410A +=，ππ(,)42A ∈． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域．17．(本小题满分14分)北京市某旅游景点预计2017年1月份起前x 个月的旅游人数的和p(x) (单位：万人)与x 的关系近似满足1()(1)(392),(,12)2p x x x x x N x *=+∙-∈≤已知第x 月的人均消费额q(x)(单位：元)与x 的近似关系是 q(x)=352,(,16)16,(,712)x x N x x N x x**⎧-∈≤≤⎪⎨∈≤≤⎪⎩ (1)写出2017年第x 月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x 的函数关系式； (2)试问2017年哪个月的旅游消费总额最大，最大旅游消费额为多少万元？18．(本小题满分16分)已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈(π3，π2)．(1) 求sin 2α的值； (2) 求tan α－1tan α的值．19. （本题满分16分）已知函数2()(21)ln f x x a x a x =-++(1)当a=1时，求函数f(x)的单调增区间；(2)求函数f(x)区间[]e ,1上的最小值；(3)设()(1)g x a x =-，若存在01,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得00()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.20．（本题满分16分） 已知函数2()ln f x a x x =-。

2020年江苏省泰州市大冯初级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等差数列前9项的和为27，，则（A）100 （B）99 （C）98 （D）97参考答案：C2. 己知命题p：为（）(A) ≤2016 (B) ≤2016(C) ≤2016 (D) ≤2016参考答案：A试题分析：特称命题的否定为全称命题,所以.故A正确.考点：特称命题的否定.3. 设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点。

若，则的方程为（）（A）或（B）或（C）或（D）或参考答案：C抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则因为|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2因为|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=，当x1=3时，，所以此时，若，则,此时,此时直线方程为。

若，则,此时,此时直线方程为。

所以的方程是或，选C.4. 函数在区间上至少取得个最大值，则正整数的最小值是（）(A)（B） (C) (D)参考答案：5. 已知直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率是（）A． B． C． D．参考答案：D结合双曲线的方程可得双曲线的渐近线为：，则双曲线的一条渐近线为：，据此有：.本题选择D选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．6. 若两个正实数满足，并且恒成立，则实数的取值范围是A. B.C. D.D，当且仅当，即时等号成立. 由恒成立，则，，解得，故选D.7. 若函数y1=sin2x1﹣（x1∈[0，π]），函数y2=x2+3，则（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为（）A．πB．C．D．参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】根据平移切线法，求出和直线y=x+3平行的切线方程或切点，利用点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：设z=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，则z的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方，求函数y=sin2x﹣（x∈[0，π]）的导数，f′（x）=2cos2x，直线y=x+3的斜率k=1，由f′（x）=2cos2x=1，即cos2x=，即2x=，解得x=，此时y=six2x﹣=﹣=0，即函数在（，0）处的切线和直线y=x+3平行，则最短距离d=，∴（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值d2=（）2=，故选：B 8. 已知点、、、,则向量在方向上的投影为（）A． B． C、 D．参考答案：A9. 已知M是△ABC内的一点，且，，若，和△MAB的面积分别，则的最小值是( )A 9B 18C 16D 20参考答案：B略10. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像( )A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设实数x，y满足，则的最小值为.412. 已知函数，则关于的方程实根个数不可能为（）A．2个 B．3个 C.4个 D．5个参考答案：D试题分析:画出函数的图象如图,结合图象可以看出:方程的根不可能有个.故应选D.考点：分段函数的图象和性质函数的零点及数形结合的思想等知识和方法的综合运用.【易错点晴】数形结合的数学思想是高中数学中常用的数学思想之一,本题以分段函数满足的方程为背景,考查是借助基本初等函数的图象和所学知识去分析问题和解决问题的能力.求解时要充分借助题设条件,合理运用数形结合思想化归转化的数学思想,先将画出函数的图象画出如图,运用数形结合的思想,分析确定函数的图象与的交点的个数,使得问题巧妙获解.13. 若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．参考答案：2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过点A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是．参考答案：4/3略15. 已知函数f（x）的对应关系如表所示，数列{a n}满足a1=3，a n+1=f（a n），则a2016= ．1【考点】数列与函数的综合．【分析】由题意可知，a 1=3，分别求得a 2，a 3，a 4，求得a n =，即可a 2016．【解答】解：a n+1=f （a n ），a 1=3． ∴a 2=f （a 1）=f （3）=1， a 3=f （a 2）=f （1）=3， a 4=f （a 3）=f （3）=1， …∴a n =，∴a 2016=1． 故答案为：1．【点评】本题考查列表表示函数对应关系的方法，考查数列通项公式，考查计算能力，属于基础题． 16. 向量满足，向量满足，则||的最小值为 ．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；转化思想；向量法；数形结合法；数系的扩充和复数．【分析】由已知求出两向量的夹角，进一步设出=（2，0），=（1，），=（x ，y ），结合，可得（x ，y ）表示以（）为圆心，以1为半径的圆及圆内部．画出图形，数形结合得答案．【解答】解：设，则cosθ=，∴θ=60°，∴由题意可设=（2，0），=（1，），=（x ，y ），则： =（2﹣x ，﹣y ），=（1﹣x ，﹣y ）． ∴=≤0．即．∴（x ，y ）表示以（）为圆心，以1为半径的圆及圆内部．||=表示点（x ，y ）到原点的距离，如图所示：连接圆心和原点O ，与圆的交点到原点的距离最小． ∴||的最小值为﹣1． 故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用向量坐标解决向量问题的方法，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．17. 某四面体的三视图如上图所示，该四面体四个面的面积中最大的是参考答案： 10由三视图还原几何体如下图，8,6,，10显然面积的最大值为10．该四面体四个面的面积中最大的是PAC，面积为10。