ch9 压杆稳定
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压杆稳定小结
压杆稳定小结1、 压杆稳定的概念稳定平衡是指干扰撤去后可恢复的原有平衡；反之则为不稳定平衡。
压杆稳定性是指压杆保持或恢复原有平衡状态的能力。
压杆的临界压力是指压杆由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受轴向压力的界限值，用cr F 来表示。
2、 细长中心受压直杆的临界力在线弹性和小变形条件下，根据压杆的挠曲线近似微分方程，结合压杆的边界条件，可推导得到使压杆处于微弯状态平衡的最小压力值，即压杆的临界压力欧拉公式可写成统一的形式：22)(l EIF crμπ=式中μ为长度因数。
几种常见细长压杆的临界力可见，杆端约束越强，杆的长度因数越小。
l μ为相当长度，可理解为压杆的挠曲线两个拐点之间的直线距离。
(d)(d)(d)3、 压杆的临界应力总图(1) 压杆的临界应力压杆在临界力作用下，其横截面上的平均应力称为压杆的临界应力， crcr F Aσ=(2) 欧拉公式的适用范围线弹性范围，()22cr cr p 22F EI E A l A ππσσλμ===≤ 即p λλ≥= 时，欧拉公式才能适用。
通常称p λλ≥的压杆为大柔度压杆或细长压杆。
(3) 压杆的柔度（或长细比）i l μλ=是一无量纲的量。
一般情况下，由于杆端约束(μ)或惯性半径(i )的不同，压杆在不同的纵向平面内具有不同的柔度值，压杆失稳首先发生在柔度最大的纵向平面内。
(4) 临界应力总图压杆的临界应力随柔度λ变化的λσ-cr 图称为临界应力总图。
大柔度杆p λλ≥，临界应力低于比例极限，可按欧拉公式计算，22λπσEcr= ；中柔度杆p s λλλ≤≤，临界应力超过比例极限，可按经验公式计算，如直线公式： λσb a cr -=，其中a 、b 为与材料有关的常数。
或钢结构设计中采用的抛物线公式，以及折减弹性模量理论进行计算；图13-12小柔度杆s λλ≤(或b λ)，临界应力达极限应力：塑性材料s cr σσ=，脆性材料cr b σσ=，属于强度问题。
材料力学之压杆稳定
材料力学之压杆稳定引言材料力学是研究物体内部受力和变形的学科，压杆稳定是其中的一个重要内容。
压杆稳定是指在受到压力作用时，压杆能够保持稳定，不发生失稳或破坏的现象。
本文将介绍压杆稳定的基本原理、稳定条件以及一些常见的失稳形式。
压杆的受力分析在进行压杆稳定分析前，我们首先需要对压杆受力进行分析。
压杆通常是一根长条形材料，两端固定或铰接。
在受到外部压力作用时，压杆会受到内部的压力，这些压力会导致杆件产生变形和应力。
在分析压杆稳定性时，我们主要关注压杆的弯曲和侧向稳定性。
压杆的基本原理压杆的稳定性是由杆件的弯曲和侧向刚度共同决定的。
当压杆弯曲和侧向刚度足够大时，压杆能够保持稳定。
所以，为了提高压杆的稳定性，我们可以采取以下几种措施：1.增加杆件的截面面积，增加抗弯能力；2.增加杆件的高度或长度，增加抗弯刚度；3.增加杆件的横向剛性，增加抗侧向位移能力；4.添加支撑或加固结构，增加整体稳定性。
压杆的稳定条件压杆稳定的基本条件是在承受外部压力时，内部应力不超过材料的极限强度。
当内部应力超过材料的极限强度时，压杆将会发生失稳或破坏。
在实际工程中，我们一般采用压杆的临界压力比来判断压杆的稳定性。
临界压力比是指杆件在失稳前的临界弯曲载荷与临界弯曲载荷之比。
当临界压力比大于1时，压杆是稳定的；当临界压力比小于1时，压杆是不稳定的。
临界压力比的计算可以采用欧拉公式或者Vlasov公式等方法。
这些方法能够给出压杆在不同边界条件下的临界压力比。
在工程实践中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来计算临界压力比。
压杆的失稳形式压杆失稳通常有两种形式：弯曲失稳和侧向失稳。
弯曲失稳压杆的弯曲失稳是指杆件在受到外部压力作用时，发生弯曲变形并导致失稳。
在弯曲失稳中，压杆的弯曲形态可以分为四种：1.局部弯曲失稳：杆件出现弯曲局部失稳，形成凸起或凹陷；2.局部弯扭失稳：杆件出现弯曲和扭曲共同失稳；3.全截面失稳：整个杆件截面均发生失稳；4.全体失稳：整个杆件完全失稳并失去稳定性。
第九章压杆稳定
iz
Iz 0.0087m A
1
y yl iy 172 z zl 115 iz
因为 y > z ，所以压杆在竖直面内绕y轴先失稳。
材料力学
2. 计算压杆在竖直面内的临界压力
yl E 172 1 π 99 y iy σp
z
y
细长杆用欧拉公式计算：
满足条件（1）的杆称为
细长杆或大柔度杆
材料力学
压杆稳定/欧拉公式的适用范围 经验公式
二.经验公式
1.适用范围
2 1的中长杆
其中：
1
2E p
a s 2 b
常用材料的a和b可查课本301页表9.2。
材料力学
压杆稳定/欧拉公式的适用范围 经验公式
2.经验公式的表达式 直线公式：
材料力学
压杆稳定/压杆的稳定校核
思路：1.根据柔度判断杆的类型
2E 1 p
a s 2 b
i I A
l i
材料力学
压杆稳定/压杆的稳定校核
2.选择临界压力的计算公式
由于
2 1
所以此杆为中长杆
因此选择经验公式计算临界应力
cr a b
材料力学
材料力学
压杆稳定/提高压杆稳定性的措施
3.合理选择材料 细长杆： 根据欧拉公式
EI Fcr 2 (L)
2
稳定性与材料的E有关，而各种 钢材的E大致相等，故更换优质钢材 对细长杆稳定性的影响不大。
材料力学
压杆稳定/提高压杆稳定性的措施
中长杆：
根据经验公式
cr a b
式中a、b是与材料的强度有关 的参数，强度越大，求得的临界应 力值越大，因此，优质钢材的中长 杆稳定性较高。
第9章 压杆稳定 课件
第9 章 压杆稳定
物体平衡的稳定性
随遇平衡 不稳定平衡
稳定平衡
第9 章 压杆稳定
压杆稳定性的几个概念
? 稳定失效：指构件在某种外力 （例如轴向压力）作用下，其 平衡形式发生突然转变。
? 稳定平衡状态 ：当承受的载荷 小于 某一确定值 Fcr 时，压杆保持直线 平衡状态。此时给杆加一 横向干扰 力，杆便发生微小弯曲，干扰力去 掉后，杆件将在平衡位置附近摆动， 最终恢复到原来的直线平衡位置。 这说明压杆原来的平衡状态是稳定 的。
对于细长杆件 ，受压 开始时轴线为直线，接着 被压弯，发生大的弯曲变 形，最后折断。
例：如图所示发动机 配气机构中的 挺杆，在推 动摇臂打开气阀时，受到 压力作用。
摇臂
气阀
挺杆
第9 章 压杆稳定
内燃机的 连杆
撑杆跳运动员用的 杆
第9 章 压杆稳定
勃兰登堡门 （BRANDENBURGER TOR ）： 它建于 1788年~1791年，一直是德国统一的象征。
第9 章 压杆稳定
失稳曲线
w ? A sin n? x
l
n=1
n=2
n=3
l
第9 章 压杆稳定
附：求二阶常系数齐次微分方程 y ??? p y ?? 的q 通? 解0
特征方程为 r 2 ? pr ? q ? 0 ① 两个不相等的实 根r1，r2 通解
y ? C1e r1x ? C2e r2x ② 两个相等的实根 r1＝r2 通解
EI
d2y dx2
?
k
2y
?
0
第9 章 压杆稳定
x
Pcr
通解为：
d2y dx2
?
k
2y
材料力学上册第九章压杆稳定
一、工程实例
压力机的压杆
Mechanics of Materials
网架结构中的杆
桥墩
Mechanics of Materials
铁塔中的杆
Mechanics of Materials
Mechanics of Materials
航 天 飞 机 发 射 架 中 的 杆 件
Mechanics of Materials
第九章 压杆稳定
§9-1 压杆稳定性的概念 §9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 §9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉
公式·压杆的长度因数 §9-4 欧拉公式的应用范围·临界应力总图 §9-5(9-6)压杆的稳定计算·压杆的合理截面
§9-1 压杆稳定的概念
Mechanics of Materials
压杆可能在低应力情况下发生弯曲 —失稳破坏
Mechanics of Materials
鱼洞长江大桥边 跨现浇支架失稳
Mechanics of Materials
稳定计算的重要性
Mechanics of Materials
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![9压杆稳定[1]解析](https://uimg.taocdn.com/924c300ded630b1c59eeb5c2.webp)
9压杆稳定[1]解析
一、两端铰支压杆的临界力:
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态， 如图从挠曲线入手，求临界力。
P x M
P ①弯矩： M ( x, y)Py
②挠曲线近似微分方程：
P
P
x y
M P y y EI EI P y y y k 2 y0 EI P 2 其中 :k EI
③微分方程的解：
④确定积分常数：
y Asin xBcosx y(0) y( L)0
A0B0 即 : AsinkLBcoskL0
sinkL 0
0
1
sinkL coskL
0
n P k L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且杆将绕
惯性矩最小的轴弯曲。
P cr
2 EImin
L2
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
Pcr
2 EI min
L2
二、此公式的应用条件： 1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
注意：压杆的横截面惯性矩应取最小值即Imin。 因为压杆 失稳时总是在抗弯能力最小的纵向平面内发生弯曲的。
=2
2l
例2
求下列细长压杆的临界力。
P
1 0
解：
50103 I min 1012 4.17109 m 4 12
30
2 I min E Pcr ( l ) 2
L
24.17200
(0.70.5)
2
67.14kN
§9–3 欧拉公式的应用范围 中、小柔度杆的临界应力
L
i
——杆的柔度（或长细比）
4.大柔度杆的分界：
压杆的稳定ppt
定义
01
边界条件是指压杆在支撑条件下的限制条件，如固定、自由、
简支等。
描述
02
不同的边界条件对压杆的稳定性产生不同的影响。例如，固定
边界条件下的压杆比自由边界条件下的压杆更稳定。
影响因素
03
边界条件对压杆稳定性的影响主要表现在支撑反力的分布和大
小上，从而影响压杆的临界载荷和屈曲载荷。
03
压杆稳定性问题的解决策略
合理选择材料和截面形状
选择高强度材料
如合金钢、不锈钢等，能够提高压杆的屈服强度和抗拉强度 ，增加压杆的稳定性。
选择合适的截面形状
如圆形、方形、工字形等，能够改变压杆的截面面积和惯性 矩，进而改变压杆的稳定性。
对压杆进行合理支撑和固定
增加支撑点
通过在压杆的适当位置增加支撑点，能够提高压杆的稳定性，防止其发生屈 曲变形。
船舶设计
在船舶设计中，压杆被用于船体结构的支撑和固定。特 别是在海洋环境中，压杆的稳定性对于抵御海浪冲击和 保证船舶的安全至关重要。
地下工程
在隧道、地铁等地下工程中，压杆被用于支撑和固定土 石方及结构物。其稳定性对于保障地下工程的稳定性和 安全性至关重要。
06
总结与展望
总结
压杆稳定的定义
压杆稳定的重要性
05
压杆稳定性问Leabharlann 的工程应用建筑结构中的压杆稳定性问题
建筑物的支撑结构
在建筑设计中，压杆常被用于支撑和固定建筑结构，如桥梁、高层建筑等。其稳定性直接 影响到建筑物的安全性和使用寿命。
抗风和抗震设计
在地震或强风天气中，建筑物的压杆稳定性显得尤为重要。压杆能够提供必要的支撑力， 帮助建筑物抵御自然灾害。
定义
材料力学课件 压杆稳定
§9.1 压杆稳定的概念
一、工程中的压杆 二、压杆的失效形式 三、压杆失稳的实例 四、压杆稳定的概念
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 钢结构桥梁中的杆
一、工程中的压杆： 铁塔中的杆
一、工程中的压杆： 小亭的立柱
第一节 压杆稳定的概念
四、压杆稳定的概念 1.稳定的分类
无穷多个 平衡点— 随遇平衡
一个平衡 点—稳定
平衡
没有平衡 点—不稳 定平衡
2.失稳的定义
压杆从直轴线状态下的稳定平衡转化为微曲状态 下的不稳定平衡成为失稳。
临界压力--使压杆失稳的压力称为临界压力。
F
F（较小） F（较小） F（特殊值） F（特殊值）
23Ed4
Pmax 64a2
[例]图示结构，①、②两杆截面和材料相同，为 细长压杆（设0<θ <π /2） 。
求载荷P为最大值时的θ 角。
解：由静力平衡条件可
解得两杆的压力分别为 ：
① 90 ②
FN1 P cos， FN 2 Psin
两杆的临界压力分别为
2EI
Pcr1 l12
2EI
2a 2
2EI
2a2
故 杆 系 所 能 承 受 的 最 大 载 荷
FN,BD P maxFcr
Pmax
3Ed4
128a2
2EI
2a 2
（b）BD杆受拉其余杆受压
四个杆的临界压力
Fcr
2EI
a2
故 杆 系 所 能 承 受 的 最 大 载 荷 ：
一、工程中的压杆 二、压杆的失效形式 三、压杆失稳的实例 四、压杆稳定的概念
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 钢结构桥梁中的杆
一、工程中的压杆： 铁塔中的杆
一、工程中的压杆： 小亭的立柱
第一节 压杆稳定的概念
四、压杆稳定的概念 1.稳定的分类
无穷多个 平衡点— 随遇平衡
一个平衡 点—稳定
平衡
没有平衡 点—不稳 定平衡
2.失稳的定义
压杆从直轴线状态下的稳定平衡转化为微曲状态 下的不稳定平衡成为失稳。
临界压力--使压杆失稳的压力称为临界压力。
F
F（较小） F（较小） F（特殊值） F（特殊值）
23Ed4
Pmax 64a2
[例]图示结构，①、②两杆截面和材料相同，为 细长压杆（设0<θ <π /2） 。
求载荷P为最大值时的θ 角。
解：由静力平衡条件可
解得两杆的压力分别为 ：
① 90 ②
FN1 P cos， FN 2 Psin
两杆的临界压力分别为
2EI
Pcr1 l12
2EI
2a 2
2EI
2a2
故 杆 系 所 能 承 受 的 最 大 载 荷
FN,BD P maxFcr
Pmax
3Ed4
128a2
2EI
2a 2
（b）BD杆受拉其余杆受压
四个杆的临界压力
Fcr
2EI
a2
故 杆 系 所 能 承 受 的 最 大 载 荷 ：
北大材料力学-第九章压杆稳定
有限元法
利用计算机仿真技术，建立压杆的有限元模型，通 过模拟压杆在不同受力状态下的响应，确定临界载 荷和失稳形式。
不同材料和截面形状的压杆稳定性
材料性质
不同材料的弹性模量、泊松比等 参数对压杆的稳定性有显著影响 。
截面形状
不同截面形状的压杆在相同外力 作用下的稳定性不同，例如圆形 截面、方形截面和工字形截面等 。
根据压杆的长度、截面尺寸和 材料属性等因素，通过欧拉公 式计算临界载荷，判断压杆是 否稳定。
经验公式
根据工程实践经验，总结出一 些经验公式，用于估算临界载 荷和稳定性。
试验法
通过试验测试压杆的临界载荷 和失稳形式，直接判断其稳定 性。
有限元分析
利用有限元分析软件模拟压杆 的受力状态和变形过程，评估 其稳定性。
02
压杆的临界载荷
欧拉公式
欧拉公式是计算等直压杆临界载荷的首要公式，它 表示压杆临界载荷与柔度之间的关系。
公式表达为：Fcr = π²EI/（μ²L₀），其中Fcr为临界载 荷，E为弹性模量，I为横截面惯性矩，μ为长度系数， L₀为压杆长度。
欧拉公式适用于细长等直压杆，当压杆长度与直径 之比大于或等于40时，才可视为细长杆。
当压杆受到周期性外力作用时， 会发生弯曲振动。
弯曲振动会导致压杆的应力波动， 从而影响其稳定性。
弯曲振动频率和振幅对压杆的稳 定性有重要影响，频率越高、振
幅越大，压杆越容易失稳。
弯曲振动对压杆稳定性的影响
弯曲振动会改变压杆 内部的应力分布，从 而影响其稳定性。
通过控制弯曲振动频 率和振幅，可以有效 提高压杆的稳定性。
优化结构设计
通过对压杆结构的合理设计， 如改变截面形状、增加支撑等 方式，提高压杆的稳定性。
利用计算机仿真技术，建立压杆的有限元模型，通 过模拟压杆在不同受力状态下的响应，确定临界载 荷和失稳形式。
不同材料和截面形状的压杆稳定性
材料性质
不同材料的弹性模量、泊松比等 参数对压杆的稳定性有显著影响 。
截面形状
不同截面形状的压杆在相同外力 作用下的稳定性不同，例如圆形 截面、方形截面和工字形截面等 。
根据压杆的长度、截面尺寸和 材料属性等因素，通过欧拉公 式计算临界载荷，判断压杆是 否稳定。
经验公式
根据工程实践经验，总结出一 些经验公式，用于估算临界载 荷和稳定性。
试验法
通过试验测试压杆的临界载荷 和失稳形式，直接判断其稳定 性。
有限元分析
利用有限元分析软件模拟压杆 的受力状态和变形过程，评估 其稳定性。
02
压杆的临界载荷
欧拉公式
欧拉公式是计算等直压杆临界载荷的首要公式，它 表示压杆临界载荷与柔度之间的关系。
公式表达为：Fcr = π²EI/（μ²L₀），其中Fcr为临界载 荷，E为弹性模量，I为横截面惯性矩，μ为长度系数， L₀为压杆长度。
欧拉公式适用于细长等直压杆，当压杆长度与直径 之比大于或等于40时，才可视为细长杆。
当压杆受到周期性外力作用时， 会发生弯曲振动。
弯曲振动会导致压杆的应力波动， 从而影响其稳定性。
弯曲振动频率和振幅对压杆的稳 定性有重要影响，频率越高、振
幅越大，压杆越容易失稳。
弯曲振动对压杆稳定性的影响
弯曲振动会改变压杆 内部的应力分布，从 而影响其稳定性。
通过控制弯曲振动频 率和振幅，可以有效 提高压杆的稳定性。
优化结构设计
通过对压杆结构的合理设计， 如改变截面形状、增加支撑等 方式，提高压杆的稳定性。
压杆稳定
材料力学
Fcr n nst FN 2
柔度:
l 2 1 0 .6 80 d2 / 4 i2
0 < p
可用直线公式.
因此
Fcr cr A2 (a b ) A2
6
2 (304 1.12 80) 10 d 2 4
151.47 KN
二、细长压杆的临界力
1、两端铰支的细长压杆的临界力 2、其他杆端约束细长压杆的临界力
材料力学
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
1、两端铰支的细长压杆的临界力 考察微弯状态下局部压杆的平衡
FBx Fp
材料力学
y
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
若 p , 则压杆的弯曲变形为 d2y EI 2 M ( x) Fp y dx Fp y d2y 2 dx EI Fp 2 设k , 则 EI
二、压杆的稳定条件:
P A
材料力学
例
杆的 AB 杆为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa 直径 d = 0.3m，试此杆的容许压力 解：折减系数法
B
①最大柔度
T1 T2
x y面内， =1.0
A
y W
xy
1 6 4 80 i 0.3
L
z y面内， =2.0
l2 y(x)=a sin nx l —欧拉公式
F cr =
材料力学
2EI
l2
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
• 分析
1）、I 如何确定 ？
压杆总是在抗弯能力最小的纵向平面内弯曲
I I min
F h b
y
x
F
z 例如矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲？ （绕哪个轴转动）
Fcr n nst FN 2
柔度:
l 2 1 0 .6 80 d2 / 4 i2
0 < p
可用直线公式.
因此
Fcr cr A2 (a b ) A2
6
2 (304 1.12 80) 10 d 2 4
151.47 KN
二、细长压杆的临界力
1、两端铰支的细长压杆的临界力 2、其他杆端约束细长压杆的临界力
材料力学
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
1、两端铰支的细长压杆的临界力 考察微弯状态下局部压杆的平衡
FBx Fp
材料力学
y
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
若 p , 则压杆的弯曲变形为 d2y EI 2 M ( x) Fp y dx Fp y d2y 2 dx EI Fp 2 设k , 则 EI
二、压杆的稳定条件:
P A
材料力学
例
杆的 AB 杆为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa 直径 d = 0.3m，试此杆的容许压力 解：折减系数法
B
①最大柔度
T1 T2
x y面内， =1.0
A
y W
xy
1 6 4 80 i 0.3
L
z y面内， =2.0
l2 y(x)=a sin nx l —欧拉公式
F cr =
材料力学
2EI
l2
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
• 分析
1）、I 如何确定 ？
压杆总是在抗弯能力最小的纵向平面内弯曲
I I min
F h b
y
x
F
z 例如矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲？ （绕哪个轴转动）
09第九章压杆稳定
M0
C M 0 co ksx D siknx M 0
x
F
F
' C M 0( k sk i) n x D ( k ck o )x s
F
y F M0
CM0 , F
所以其临界压力为：
D0
ck o ls 1 ,sikn l0
2 F cr l EI
Fcr
桁架稳定性（Stability of Trusses ）
第10章 压杆稳定 桁架吊索式公路桥
第10章 压杆稳定 索式公路桥
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
工程实例
• 一、稳定平衡与不稳定平衡：
1、不稳定平衡： 扰动作用除去后不能回复的平衡：
2、稳定平衡： 扰动作用除去后能回复的平衡：
若A = 0 , 则挠曲线：
注意：A = 0 ???
A sk i n B x ck o 0 x s
与杆处于微弯失稳状态的假设相矛盾!
故 A≠0 !! sikn l 0
y x
Fk20
F
l
F
EI 其中令 :k2 F
B0
EI
④
确定积分常数：
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆 嫦娥奔月中的压杆
稳定性(Stability )
• 稳定性是指构件保持 其原有平衡状态的能力。
• 承受压力作用的杆 件，当压力超过一定限 度时就会发生弯曲失稳 现象。
• 由于构件失稳后將丧 失继续承受原设计载荷 的能力，其后果往往是 很严重的。因此在设计 受压构件时，必须保证 其有足够的：
cr
Fcr A
2 EI ( l)2
材料力学刘鸿文(第四版)课件ch9
( 2l )
2
l
2l
表14—1 各种支承约束条件下等截面细长压杆 临界力的欧拉公式 支承情况 两端绞支 临界力的欧拉公式 长度系数
2 EI F cr 2 l
2 EI F cr 2 (0.7l )
2 EI F cr 2
(0.5l )
一端固定另绞支端
两端固定
一端固定另端自由
z y
EI F cr 2 ( l )
2
EI F cr 2 ( l )
2
2
若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别
计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对
中性轴的惯性矩。
x
分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界力。
在 xz 平面内失稳（ y 是中性轴 ）
z y
2E Iy ( F cr ) y 2 ( y l )
面上的临界应力
cr
F cr E I 2 A ( l ) A
2
i
I A
称为压杆横截面对中性轴的惯性半径。
cr
F cr E I 2 A ( l ) A
2
i
I A
cr
E I 2E 2 2E F cr 2 2 i 2 A ( l ) A ( l ) l ( ) i
（1）两端绞支
F cr
2 EI
l
2
F cr
（2）一端固定另绞支端 C 为拐点
B
2 EI F cr 2
(0.7l )
l
A
0 .7 l
c
（3）两端固定
F cr
C，D 为拐点
B
D
2 EI F cr 2
2
l
2l
表14—1 各种支承约束条件下等截面细长压杆 临界力的欧拉公式 支承情况 两端绞支 临界力的欧拉公式 长度系数
2 EI F cr 2 l
2 EI F cr 2 (0.7l )
2 EI F cr 2
(0.5l )
一端固定另绞支端
两端固定
一端固定另端自由
z y
EI F cr 2 ( l )
2
EI F cr 2 ( l )
2
2
若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别
计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对
中性轴的惯性矩。
x
分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界力。
在 xz 平面内失稳（ y 是中性轴 ）
z y
2E Iy ( F cr ) y 2 ( y l )
面上的临界应力
cr
F cr E I 2 A ( l ) A
2
i
I A
称为压杆横截面对中性轴的惯性半径。
cr
F cr E I 2 A ( l ) A
2
i
I A
cr
E I 2E 2 2E F cr 2 2 i 2 A ( l ) A ( l ) l ( ) i
（1）两端绞支
F cr
2 EI
l
2
F cr
（2）一端固定另绞支端 C 为拐点
B
2 EI F cr 2
(0.7l )
l
A
0 .7 l
c
（3）两端固定
F cr
C，D 为拐点
B
D
2 EI F cr 2
材料力学9压杆稳定性标准
Institute of Engineering Mechanics
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
2
理想铰支中心压杆 — 例1 Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics
F
杆两端铰支, 由A-36钢管制成(E=200GPa, σp=250MPa), 长7.2m, 求[F]。
Institute of Engineering Mechanics
一些感性认识
临界压力 (critical load) —Fcr
F
F(较小) F(较小)
F(较大)
F(较大)
QQ
Q
轴压 压弯
恢复
直线平衡 曲线平衡 直线平衡
压弯 曲线平衡
失稳 曲线平衡
压杆稳定
压杆失稳
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
其他支座条件
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
细长压杆临界压力的欧拉公式统一形式:
Fcr
=
π 2EI ( μl ) 2
μ —压杆长度系数(与支座形式有关) μl—压杆的相当长度
Institute of Engineering Mechanics
F
kl = F l = nπ EI
l
F = n2π 2 EI l2
(取：n = 1)
Fcr
=
Fmin
=
π 2EI l2
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
2
理想铰支中心压杆 — 例1 Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics
F
杆两端铰支, 由A-36钢管制成(E=200GPa, σp=250MPa), 长7.2m, 求[F]。
Institute of Engineering Mechanics
一些感性认识
临界压力 (critical load) —Fcr
F
F(较小) F(较小)
F(较大)
F(较大)
Q
轴压 压弯
恢复
直线平衡 曲线平衡 直线平衡
压弯 曲线平衡
失稳 曲线平衡
压杆稳定
压杆失稳
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
其他支座条件
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
细长压杆临界压力的欧拉公式统一形式:
Fcr
=
π 2EI ( μl ) 2
μ —压杆长度系数(与支座形式有关) μl—压杆的相当长度
Institute of Engineering Mechanics
F
kl = F l = nπ EI
l
F = n2π 2 EI l2
(取：n = 1)
Fcr
=
Fmin
=
π 2EI l2
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我国钢结构规范中采用如下抛物线经验公式
Q235钢
(s s 235MPa,E 206GPa)
20/66
2l
l
l
l
B
l
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷
实际问题中压杆的约束还可能有其他情况。例如杆端与其他 弹性构件固接的压杆，由于弹性构件也会发生变形，所以压杆的 端部约束就是介于固定端和铰支座之间的弹性支座。此外，压杆 上的载荷也有多种形式。例如压力可能沿轴线分布而不是集中于 两端。上述各种情况，也可用不同的长度因数 来反映，这些长 度因数的值可从相关设计手册或规范中查到。
F
F
一端固定，一端自由， 长为l 的的压杆的挠曲线 和两端铰支，长为2l的压 杆的挠曲线的上半部分相 同。则临界压力:
l
2l
π 2 EI Fcr (2l ) 2
同样用比较变形的办法(与两端铰支细长压杆比较)，可求 出其他约束情况下压杆的临界力Fcr的欧拉公式。
24/66
9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式
标准版
第九章 压杆稳定
1/66
2010年 课件制作：河海大学 楼力律 江苏科技大学 田阿利 内容主编 江苏科技大学 景荣春
第九章 压杆稳定
9.1 压杆稳定的概念
9.2 两端铰支细长压杆的临界载荷 9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷 9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式 9.5 压杆稳定条件与合理设计
压杆失稳与临界压力
Fcr
临界状态 稳 定 过 平 衡 不 稳 度 定 平 压力 衡 临界压力: Fcr
对应的
压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为 丧失稳 定，简称 失稳，也称为屈曲。 当压杆的材料、尺寸和约束情况已经确定时， 临界压力是一个确定的值。因此可以根据杆件的实际 工作压力是否大于临界压力来判断压杆是稳定还是不 稳定。解决压杆稳定的关键问题是确定临界压力。
应当注意，细长压杆临界力的欧拉公式中， 是横截面对某一 形心主惯性轴的惯性矩。
若杆端在各个方向的约束情况都相同(如球形铰等)，则 I 应取 最小的形心主惯性矩。 若杆端在不同方向的约束情况不同(如柱形铰)，则 I 应按计算 的挠曲方向选取横截面对其相应中性轴的惯性矩。
21/66
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷 【例9-2】 推导下端固定，上端自由，并在自由端受轴向压力作用的 等直细长压杆临界力Fcr的欧拉公式。 解 x 由临界力所引起杆的任意横截面x上的弯矩
式中 I 为压杆横截面的最小惯性矩
Fcr
n
l/2
d w
令 M(x)
x
n
x
n
n
Fcr k EI
2
l
微分方程改写为
d2w k 2w 0 dx 2
13/66
w
B
w
B
9.2 两端铰支细长压杆的临界载荷
d2w k 2w 0 微分方程 dx 2
x
二阶常系数线性微分方程的通解
Fcr
w A sin kx B cos kx
25/66
9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式 9.4.1 欧拉公式的适用范围
临界应力
Fcr π 2 EI s cr A ( l ) 2 A
i I/A
I i A
2
由惯性半径公式：
则有
引入
l
i
是一个量纲为1的量，称为柔度或长细比
π2E s cr l ( )2 i
集中反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状等因素 对临界应力scr的影响
4/66
9.1 压杆稳定的概念
取一根长为300 mm的钢板尺，其横截面尺寸为 30 mm×1 mm。 若钢的许用应力为[s ]=196 MPa。 按照强度条件计算钢尺所能承受的轴向压力：
F 201106 m 2 196106 Pa 3.92 kN
实际情况 若将此钢尺竖立在桌上，用手压其上端，则当压力不到40 N 时，钢尺就被明显压弯。 在工程中有些构件虽然具有足够的强度，却不一定能安全 可靠地工作。 稳定性问题
设该杆横截面边长为a,则惯性矩 a a 3 a 4 A2 9002 1012 m 4 I 6.75108 m 4 12 12 12 12 该杆的临界压力
π 2 EI π 2 206109 Pa 6.75108 m 4 95.2 kN Fcr 2 2 2 1.2 m l
这时欧拉公式已不能使用，属于超比例极限的压杆稳定问题。
工程中对这类压杆的计算，一般使用以试验结果为依据的经验公 式。两种常用的经验公式：直线公式和抛物线公式。
1 直线公式
s cr a b
材料
a，b 与材料力学性能有关的常数
a /MPa 304 461 b /MPa 1.12 2.57 Q235钢(ss=235, sb 372) 优质碳钢(ss=306, sb471)
解
* 参考本章关于欧拉公式适用条件的相关内容
16/66
9.3其他支座条件下细长压杆的临界载荷
17/66
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷
不同的杆端约束，压杆受到的约束程度不同，杆的抗弯能力 也就不同，所以临界力的表达式也不同
两端固定的压杆的临界压力为: 一端铰支另一端固定的压杆的临界压力为:
2
sp
π2E
sp
p
π2E
sp
欧拉公式的适用范围
p
通常称满足 p 的压杆为大柔度压杆或细长压杆
27/66
9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式 9.4.1 欧拉公式的适用范围
p的值与材料的性质有关，材料不同， p 的值也就不同。
Q235 E = 206 GPa sp = 200 MPa
d
M ( x) Fcr (d w)
Fcr
挠曲线微分方程 令
Fcr k EI
2
d 2 w Fcr (d w) 2 EI dx
w
dw
挠曲线微分方程改写为 该微分方程的通解
x
l
d2w k 2 w k 2d dx 2
w A sin kx B cos kx d
w
式中积分常数A,B 由边界条件确定
其他材料的参数参见教材178页 表9.2
29/66
9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式 9.4.2 经验公式 s cr a b 1 直线公式
对塑性材料，按直线公式算出的应力最高只能等于ss，否则材料 已经屈服，成了强度问题，即要求
s cr a b s s
令
a s s s b
其他构件的稳定失效问题
F
11/66
9.2两端铰支细长压杆的临界载荷
12/66
9.2 两端铰支细长压杆的临界载荷 设细长理想压杆两端为球铰支座，如图所示。
x
Fcr
A
设距原点为 x 的任意截面 n-n 的挠度为w ， 则弯矩
M ( x) Fcr w
挠曲线的近似微分方程
w
Fcr d2 w w 2 dx EI
d d 1 cosk l
kl π 2
由此
cosk l 0
x
l
满足上述条件的最小的根 得到临界力Fcr的欧拉公式
k2
Fcr EI
w
π 2 EI Fcr (2l ) 2
23/66
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷
在已经导出两 端铰支压杆的临界 压力公式之后，可 以用比较简单的方 法，得到其他约束 条件下的临界力。
a s s b
s
s 为使用直线公式的最小柔度
柔度满足s≤ ＜p 的压杆，称为中柔度杆或中长压杆。也就是 说，中长压杆不能用欧拉公式计算临界应力，但可以用直线公式计算。 对于脆性材料只需把以上各式中的ss改为sb， s改为b。
30/66
9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式 9.4.2 经验公式 2 抛物线公式
5/66
9.1 压杆稳定的概念
稳定平衡和不稳定平衡的概念
6/66
9.1 压杆稳定的概念
稳定平衡和不稳定平衡的概念
7/66
9.1 压杆稳定的概念
稳定平衡和不稳定平衡的概念 理想压杆: 材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
F小于某个值
F大于某个值
稳定平衡
不稳定平衡
8/66
9.1 压杆稳定的概念
临界应力公式改写为:
s cr
π2E
2
26/66
9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式 9.4.1 欧拉公式的适用范围
欧拉公式是由弯曲小变形的微分方程导出
d 2 w M ( x) 2 EI dx
材料服从胡克定律又是上述微分方程的基础，即 s cr s p 欧拉公式才正确
则
取
s cr
π2E
π 2 EI Fcr (0.5l ) 2 π 2 EI Fcr (0.7l )2
两端铰支的压杆的临界压力为: 一端固定，一端自由的压杆的临界压力:
π 2 EI Fcr 2 l π 2 EI Fcr (2l ) 2
18/66
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷
综合各种不同的约束条件，统一写成如下形式:
A
式中A，B为积分常数，由边界条件确定
x0 w0
w
B0 A sin kl 0
xl w0
n
l/2
d w
n
x
M(x)
x
n
n
A 不为 0 若A=0，表明杆为直线， 这与压杆处于微弯平衡状态不符。 sin kl 0 所以 要求
Q235钢
(s s 235MPa,E 206GPa)
20/66
2l
l
l
l
B
l
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷
实际问题中压杆的约束还可能有其他情况。例如杆端与其他 弹性构件固接的压杆，由于弹性构件也会发生变形，所以压杆的 端部约束就是介于固定端和铰支座之间的弹性支座。此外，压杆 上的载荷也有多种形式。例如压力可能沿轴线分布而不是集中于 两端。上述各种情况，也可用不同的长度因数 来反映，这些长 度因数的值可从相关设计手册或规范中查到。
F
F
一端固定，一端自由， 长为l 的的压杆的挠曲线 和两端铰支，长为2l的压 杆的挠曲线的上半部分相 同。则临界压力:
l
2l
π 2 EI Fcr (2l ) 2
同样用比较变形的办法(与两端铰支细长压杆比较)，可求 出其他约束情况下压杆的临界力Fcr的欧拉公式。
24/66
9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式
标准版
第九章 压杆稳定
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2010年 课件制作：河海大学 楼力律 江苏科技大学 田阿利 内容主编 江苏科技大学 景荣春
第九章 压杆稳定
9.1 压杆稳定的概念
9.2 两端铰支细长压杆的临界载荷 9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷 9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式 9.5 压杆稳定条件与合理设计
压杆失稳与临界压力
Fcr
临界状态 稳 定 过 平 衡 不 稳 度 定 平 压力 衡 临界压力: Fcr
对应的
压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为 丧失稳 定，简称 失稳，也称为屈曲。 当压杆的材料、尺寸和约束情况已经确定时， 临界压力是一个确定的值。因此可以根据杆件的实际 工作压力是否大于临界压力来判断压杆是稳定还是不 稳定。解决压杆稳定的关键问题是确定临界压力。
应当注意，细长压杆临界力的欧拉公式中， 是横截面对某一 形心主惯性轴的惯性矩。
若杆端在各个方向的约束情况都相同(如球形铰等)，则 I 应取 最小的形心主惯性矩。 若杆端在不同方向的约束情况不同(如柱形铰)，则 I 应按计算 的挠曲方向选取横截面对其相应中性轴的惯性矩。
21/66
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷 【例9-2】 推导下端固定，上端自由，并在自由端受轴向压力作用的 等直细长压杆临界力Fcr的欧拉公式。 解 x 由临界力所引起杆的任意横截面x上的弯矩
式中 I 为压杆横截面的最小惯性矩
Fcr
n
l/2
d w
令 M(x)
x
n
x
n
n
Fcr k EI
2
l
微分方程改写为
d2w k 2w 0 dx 2
13/66
w
B
w
B
9.2 两端铰支细长压杆的临界载荷
d2w k 2w 0 微分方程 dx 2
x
二阶常系数线性微分方程的通解
Fcr
w A sin kx B cos kx
25/66
9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式 9.4.1 欧拉公式的适用范围
临界应力
Fcr π 2 EI s cr A ( l ) 2 A
i I/A
I i A
2
由惯性半径公式：
则有
引入
l
i
是一个量纲为1的量，称为柔度或长细比
π2E s cr l ( )2 i
集中反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状等因素 对临界应力scr的影响
4/66
9.1 压杆稳定的概念
取一根长为300 mm的钢板尺，其横截面尺寸为 30 mm×1 mm。 若钢的许用应力为[s ]=196 MPa。 按照强度条件计算钢尺所能承受的轴向压力：
F 201106 m 2 196106 Pa 3.92 kN
实际情况 若将此钢尺竖立在桌上，用手压其上端，则当压力不到40 N 时，钢尺就被明显压弯。 在工程中有些构件虽然具有足够的强度，却不一定能安全 可靠地工作。 稳定性问题
设该杆横截面边长为a,则惯性矩 a a 3 a 4 A2 9002 1012 m 4 I 6.75108 m 4 12 12 12 12 该杆的临界压力
π 2 EI π 2 206109 Pa 6.75108 m 4 95.2 kN Fcr 2 2 2 1.2 m l
这时欧拉公式已不能使用，属于超比例极限的压杆稳定问题。
工程中对这类压杆的计算，一般使用以试验结果为依据的经验公 式。两种常用的经验公式：直线公式和抛物线公式。
1 直线公式
s cr a b
材料
a，b 与材料力学性能有关的常数
a /MPa 304 461 b /MPa 1.12 2.57 Q235钢(ss=235, sb 372) 优质碳钢(ss=306, sb471)
解
* 参考本章关于欧拉公式适用条件的相关内容
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9.3其他支座条件下细长压杆的临界载荷
17/66
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷
不同的杆端约束，压杆受到的约束程度不同，杆的抗弯能力 也就不同，所以临界力的表达式也不同
两端固定的压杆的临界压力为: 一端铰支另一端固定的压杆的临界压力为:
2
sp
π2E
sp
p
π2E
sp
欧拉公式的适用范围
p
通常称满足 p 的压杆为大柔度压杆或细长压杆
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9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式 9.4.1 欧拉公式的适用范围
p的值与材料的性质有关，材料不同， p 的值也就不同。
Q235 E = 206 GPa sp = 200 MPa
d
M ( x) Fcr (d w)
Fcr
挠曲线微分方程 令
Fcr k EI
2
d 2 w Fcr (d w) 2 EI dx
w
dw
挠曲线微分方程改写为 该微分方程的通解
x
l
d2w k 2 w k 2d dx 2
w A sin kx B cos kx d
w
式中积分常数A,B 由边界条件确定
其他材料的参数参见教材178页 表9.2
29/66
9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式 9.4.2 经验公式 s cr a b 1 直线公式
对塑性材料，按直线公式算出的应力最高只能等于ss，否则材料 已经屈服，成了强度问题，即要求
s cr a b s s
令
a s s s b
其他构件的稳定失效问题
F
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9.2两端铰支细长压杆的临界载荷
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9.2 两端铰支细长压杆的临界载荷 设细长理想压杆两端为球铰支座，如图所示。
x
Fcr
A
设距原点为 x 的任意截面 n-n 的挠度为w ， 则弯矩
M ( x) Fcr w
挠曲线的近似微分方程
w
Fcr d2 w w 2 dx EI
d d 1 cosk l
kl π 2
由此
cosk l 0
x
l
满足上述条件的最小的根 得到临界力Fcr的欧拉公式
k2
Fcr EI
w
π 2 EI Fcr (2l ) 2
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9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷
在已经导出两 端铰支压杆的临界 压力公式之后，可 以用比较简单的方 法，得到其他约束 条件下的临界力。
a s s b
s
s 为使用直线公式的最小柔度
柔度满足s≤ ＜p 的压杆，称为中柔度杆或中长压杆。也就是 说，中长压杆不能用欧拉公式计算临界应力，但可以用直线公式计算。 对于脆性材料只需把以上各式中的ss改为sb， s改为b。
30/66
9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式 9.4.2 经验公式 2 抛物线公式
5/66
9.1 压杆稳定的概念
稳定平衡和不稳定平衡的概念
6/66
9.1 压杆稳定的概念
稳定平衡和不稳定平衡的概念
7/66
9.1 压杆稳定的概念
稳定平衡和不稳定平衡的概念 理想压杆: 材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
F小于某个值
F大于某个值
稳定平衡
不稳定平衡
8/66
9.1 压杆稳定的概念
临界应力公式改写为:
s cr
π2E
2
26/66
9.4 欧拉公式的适用范围与经验公式 9.4.1 欧拉公式的适用范围
欧拉公式是由弯曲小变形的微分方程导出
d 2 w M ( x) 2 EI dx
材料服从胡克定律又是上述微分方程的基础，即 s cr s p 欧拉公式才正确
则
取
s cr
π2E
π 2 EI Fcr (0.5l ) 2 π 2 EI Fcr (0.7l )2
两端铰支的压杆的临界压力为: 一端固定，一端自由的压杆的临界压力:
π 2 EI Fcr 2 l π 2 EI Fcr (2l ) 2
18/66
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界载荷
综合各种不同的约束条件，统一写成如下形式:
A
式中A，B为积分常数，由边界条件确定
x0 w0
w
B0 A sin kl 0
xl w0
n
l/2
d w
n
x
M(x)
x
n
n
A 不为 0 若A=0，表明杆为直线， 这与压杆处于微弯平衡状态不符。 sin kl 0 所以 要求