2013届广东高考数学(文)考前冲刺 三角函数

理科数学高考解答题基本题型---三角函数一、考试大纲（1）任意角的概念、弧度制 ① 了解任意角的概念。

② 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。

（2）三角函数① 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

② 能利用单位圆中的三角函数线推导出απαπ±+,2的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图象，了解三角函数的周期性。

③ 理解正弦函数、余弦函数在区间[]π2,0的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等）。

理解正切函数在区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的单调性。

④ 理解同角三角函数的基本关系式：x xxx x tan cos sin ,1cos sin 22==+。

⑤ 了解函数)sin(ϕω+=x A y 的物理意义；能画出)sin(ϕω+=x A y 的图象。

了解参数ϕω，，A 对函数图象变化的影响。

⑥ 了解三角函数是描述周期变化现在的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。

（3）和与差的三角函数公式① 会用向量数量积推导出两角差的余弦公式；② 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；③ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式。

导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

（4）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。

（5）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 （6）应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

二、考情分析1、从近几年的试题情况来看，高考对三角函数的考查都是以基础题（送分题）的形式出现的，都是在第一个解答题的位置，考查的内容集中在“基本概念和基本题型”上，三角函数式的化简与求值是广东高考命题的大方向，近七年中有六年是这类题型，分别是2008年、2009年、2010年、2011年、2012年、2013年，毫无疑问，这类题型（是广东高考的基本题型）务必认真学习，加以掌握，做到100%的得分。

高三一轮复习讲座一 ---- 集合与简易逻辑一、复习要求1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；3、理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；4、理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

二、学习指导1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A⊆B时，称A 是B的子集；当A≠⊂B时，称A是B的真子集。

3、集合运算（1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x ∈A，或x∈B}，C U A=｛x|x∈U，且x∉A｝，集合U表示全集；（2）运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），C U（A∩B）=（C U A）∪（C U B），C U（A∪B）=（C U A）∩（C U B）等。

4、命题：（1）命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；（2）复合命题的形式：p且q，p或q，非p；（3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。

对p或q而言，当p、q 均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。

（3）四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。

2013年全国各省市文科数学—三角函数1、2013大纲文T2.已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则 （A ）1213-（B ）513- （C ）513 （D ）12132、2013大纲文T9.若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）23、2013新课标文T9.函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）4、2013新课标文T10.已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ）（A ）10（B ）9（C ）8（D ）55、2013新课标Ⅱ文T4.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ）（A ）2 （B 1 （C ）2 （D 16、2013新课标Ⅱ文T6.已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ） （A ）16 （B ）13 （C ）12 （D ）237、2013辽宁文T6.在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π8、2013山东文T7.ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、， 若2B A =，1a =，b =，则c =(A)(D)19、2013山东文T9.函数x x x y sin cos +=的图象大致为10、2013北京文T5．在ABC ∆中，3a =，5b =，1sin 3A =，则sin B =（ ） A ．15 B ．59CD ．111、2013四川文T6.函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）（A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π12、2013天津文T6. 函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是(A) 1- (B) (D) 0 13、2013浙江文T6.函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 A 、π，1 B 、π，2 C 、2π，1 D 、2π，2 14、2013福建文T9．将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ，则ϕ的值可以是（ ） A ．35π B ．65π C ．2π D ．6π 15、2013广东文T4．已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25-B ．15-C ．15D ．2516、2013安徽文T9. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =(A)3π (B) 23π (C) 34π (D) 56π 17、2013陕西文T9. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 直角三角形(B) 锐角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定18、2013湖南文T5.在锐角∆ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b. 若2sinB=3b ，则角A 等于A.3π B.4π C.6πD.12π19、2013湖北文T6．将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ．π12 B ．π6C ．π3D ．5π620、2013江西文T3. sincos 2αα==若 （ ） A. 23-B. 13-C. 13D.2321、2013新课标文T16.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.22、2013新课标Ⅱ文T16.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________。

2013年全国各省（市）高考真题数学（文）分类汇编与解析（一）三角函数与数列（黑龙江zhnagyajun131@）2013年6月24日1.（2013年安徽卷16题）（本小题满分12分）设函数()sin sin()3f x x x π=++.（Ⅰ）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合； （Ⅱ）不画图，说明函数()y f x =的图像可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到.【解析】（1）3sin cos 3cos sin sin )(ππx x x x f ++=x x x x x cos 23sin 23cos 23sin 21sin +=++= )6sin(3)6sin()23()23(22ππ+=++=x x当1)6sin(-=+πx 3，此时34,2236x k x =∴+=+ππππ所以，)(x f 的最小值为},234|Z k k x ∈+=ππ. (2)x y sin =倍，得x y sin 3=； 然后x y sin 3=6)6sin(3π+x【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.2. （2013年北京卷18题） (本小题共13分)已知函数2()sin cos f x x x x x =++。

（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值。

（Ⅱ）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围。

3.（2013年福建卷17题）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S ． （1）若131,,a a 成等比数列，求1a ； （2）若519S a a >，求1a 的取值范围．本小题主要考查等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（1）因为数列{}n a 的公差1d =，且131,,a a 成等比数列， 所以2111(2)a a =⨯+，即21120a a --=，解得11a =-或12a =． （2）因为数列{}n a 的公差1d =，且519S a a >，所以21115108a a a +>+； 即2113100a a +-<，解得152a -<<4. （2013年广东卷16题）．（本小题满分12分）已知函数(),f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝．(1) 求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；(2) 若33cos ,,252πθθ⎛=∈⎝【解析】(1)13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，4sin 5θ==-， 1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭．【解析】这个题实在是太简单，两角差的余弦公式不要记错了.5.（ 2013年广西卷17题）．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和6.（全国新课标二卷17题）．（本小题满分12分）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB。

任意角和弧度制及任意角的三角函数、三角函数的诱导公式一、选择题1. （2013·浙江高考理科·Ｔ6）已知R α∈，sin 2cos αα+=则t a n 2α=（ ） A.43 B. 34 C. 34- D. 43- 【解题指南】由已知条件和22sin cos 1αα+=联立方程组可求得sin α与cos α的值，从而求得tan α，再利用倍角公式求tan 2α.【解析】选C.由22sin 2cos sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1tan 3α=-或tan 3α=，当1tan 3α=-时，2222tan 33tan 21tan 4113ααα-===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭当tan 3α=时，222tan 63tan 21tan 134ααα===---，故选C.2. （2013·广东高考文科·Ｔ4）已知51sin()25πα+=，那么cos α=（ ）A ．25- B ．15- C ．15D ．25【解题指南】本题考查三角函数诱导公式，可以直接利用公式计算. 【解析】选C. 51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭.3.（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ2）已知α是第二象限角，5sin ,cos 13αα==则（ ） A.1213- B.513- C.513 D.1213【解题指南】由1cos sin 22=+αα及αsin 求出αcos 的值，并利用a 所在象限判断αcos 的符号.【解析】选 A.因为1cos sin 22=+αα，所以169144sin 1cos 22=-=αα，则1312cos ±=α，又a 是第二象限角，所以1312cos -=α 二、填空题4.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ13）已知1sin ,cot 3是第三象限角，则=-=ααα .【解析】98sin 1cos 22=-=αα，而α为第三象限角，所以0cos <α，解得322cos -=α，又223322sin cos cot =--==ααα. 【答案】22三角函数的图象与性质一、选择题1.（2013·湖北高考文科·Ｔ6）与（2013·湖北高考理科·Ｔ4）相同将函数y=3cosx+sinx （x ∈R ）的图象向左平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A.12π B. 6π C. 3π D 65π【解题指南】先化简，再平移，余弦函数关于y 轴对称。

2013年高考数学（文）解析分类汇编3：三角函数一、选择题1 ．（2013年高考大纲卷（文2））已知a 是第二象限角,5sin ,cos 13a a ==则 （ ）A ．1213-B ．513- C ．513D ．1213【答案】A 【解析】因为135sin =α，α为第二象限角，所以1312cos -=α.故选A.2 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文9））函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为【答案】C ;【解析】函数()(1cos )sin f x x x =-为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B.02x π<<时，()0f x >，排除A.()(1cos )sin 1222f πππ=-=,排除D,选C.3 ．（2013年高考四川卷（文6））函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是（ ）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π【答案】A 【解析】43129312543ππππ==+=T ，所以π=T ，所以πωπ=2，2=ω，)42sin(2)(+=x x f ，所以πϕπk =+-⨯)3(2，所以32ππϕ+=k ，又22πϕπ<<-，所以3πϕ-=，选A.4 ．（2013年高考湖南（文5））在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A .3π B .4π C .6π D .12π【答案】A【解析】本题考查正弦定理的应用。

由正弦定理得得2sin sin A B B =,即sin A =，以为三角形为锐角ABC ∆，所以3A π=,选A.5 ．（2013年高考福建卷（文））将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ,则ϕ的值可以是（ ）A ．35π B ．65π C ．2π D ．6π【答案】B【解析】本题考查的三角函数的图像的平移．把)23,0(P 代入)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=，所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得，πϕk =或6ππϕ-=k ，观察选项，故选B6 ．（2013年高考陕西卷（文9））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】A【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以A A B C C B sin sin cos sin cos sin =+又A C B B C C B sin )sin(cos sin cos sin =+=+。

2013年广东省高考数学文解答题前三题专题训练（1）三角函数近几年广东省高考数学试题中，解答题第1题，即试题的第16题都是三角函数试题，由于试题结构具有相对稳定性，估计2013年广东高考数学解答题第1题还是考查三角函数，，因此，三角函数的知识应该充分训练，力争高考中拿下满分12分。

本节内容目录一、近三年高考试题回顾 二、三角函数及其图象试题 三、三角函数与平面向量试题 四、三角函数与解三角形试题五、三角函数与三角恒等变换试题六、三角函数应用题一、近三年高考试题回顾1、（2012广东数学文）已知函数()cos()()46x f x A x R π=+∈，且()23f π=。

（1）求A 的值； （2）设,[0,]2παβ∈，43028(4),(4)31735f f ππαβ+=--=；求cos()αβ+的值 【解析】（1）()2cos2234f A A ππ=⇔=⇔=（2）43015158(4)cos()sin ,cos 3172171717f ππαααα+=-⇔+=-⇔== 2843(4)cos ,sin 3555f πβββ-=⇔== 4831513cos()cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=- 2、（2011广东数学文）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求(0)f 的值； （2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ+的值．解：（1）(0)2sin()16f π=-=-（2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α= 16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴212cos 1sin 13αα=-=，24sin 1cos 5ββ=-= ∴5312463sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯= 3、（2010广东数学文）设函数()3sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以2π为最小正周期．（1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）已知94125f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin α的值． 解：（1）由已知可得：236sin3)0(==πf （2）∵)(x f 的周期为2π，即22πωπ= ∴4=ω 故)64sin(3)(π+=x x f （3）∵]6)124(4sin[3)124(πππ++⨯=+a a f )2sin(3π+=a a cos 3=∴由已知得：59cos 3=a 即53cos =a∴54)53(1cos 1sin 22±=-±=-±=a a 故a sin 的值为54或54-二、三角函数及其图象试题 1、已知,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1tan()3αβ-=-． （1）求sin()αβ-的值； （2）求cos β的值．2．已知函数()())2,0,0(sin πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象的一部分如图所示.(Ⅰ)求函数()x f 的解析式; (Ⅱ)求函数())44cos(2ππ++=x x f y ])32,6[(--∈x 的最大值和最小值.3、已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．4、已知函数. 20,0,),3sin()(πϕϕπ<<>∈+=A R x x A x f ，y=f(x)的部分图像如图所示，点是该图象上的一点，P,Q 分别为该图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，且 =1.(1) 求ϕ和A 的值；(2)若，求的値.5、已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示。

实战化训练---2013年高考题三角函数1、（广东卷理）已知函数()12f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,x ∈R . (Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．2、（广东卷文）已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭． (Ⅰ) 求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；(Ⅱ) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 3、（湖南卷理）已知函数2()sin()cos(),()2sin 632x f x x x g x ππ=-+-=。

（I ）若α是第一象限角，且()f α=()g α的值；（II ）求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合。

4、（湖南卷文）已知()cos cos()3f x x x π=-（I ）求2()3f π的值；（II ）求使 1()4f x <成立的x 的取值集合 5、（北京卷文）已知函数21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）（I ）求f x （）的最小正周期及最大值； （II ）若(,)2παπ∈，且f α=（），求α的值.6、（天津卷理）已知2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期; (Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.7、（山东卷文）设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->，且()y f x = 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π， (Ⅰ)求ω的值 (Ⅱ)求()y f x =在区间3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值 8、（安徽卷理）已知函数()4cos sin (0)4f x x x πωωω⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π。

广东高考热点题型聚焦（一）《三角》广东课标高考三年来风格特点“保持对三角内容的考查重在化归与转化等数学思想方法和函数属性的考查”（文理姐妹题，差别不是很大）从改变风格，体现创新，又顾及考生的适应性考虑 需关注解三角形“形式化”的应用. 参考题目：1．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 所对应的边长,且222.b c a bc +-=（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若222sin sin sin A B C +=，试判断△ABC 的形状并求角B 的大小.解：（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc +-∴=，又∵222.b c a bc +-=1c o s ,2A ∴= ∵0A π<< ∴3A π=…………6分（Ⅱ）∵222sin sin sin A B C +=，由正弦定理得222222444a b c RR R +=…………8分 即: 222a b c += 故△ABC 是以角C 为直角的直角三角形……………10分又,36A B ππ=∴=…………………………………………………………12分 2．已知：△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且cos()cos sin sin()sin(2)22A B B A C πππ-⋅+⋅+=-.(1)求角C 的大小；(2)若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且18CA CB ⋅=，求c 边的长.解：(1) 由cos()cos sin sin()sin(2)22A B B A C πππ-⋅+⋅+=-得sin cos sin cos sin 2A B B A C ⋅+⋅=--------------------------2分∴sin()sin 2A B C +=，--------------------------------------3分 ∵,sin()sin A B C A B C π+=-∴+=∴sin sin 22sin cos C C C C ==，-----------------------------4分 ∵0C π<< ∴sin 0C >∴1cos 2C =∴.3C π= --------------------------------6分 (2)由sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，得2sin sin sin C A B =+， 由正弦定理得.2b a c +=------------------------------------------8分 ∵18CA CB ⋅=，即.36,18cos ==ab C ab ----------------------------------------10分 由余弦弦定理ab b a C ab b a c 3)(cos 22222-+=-+=，36,3634222=⨯-=∴c c c ，.6=∴c ---------------------------12分3．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足sin 2A =，且ABC ∆的面积为2． （Ⅰ）求bc 的值；（Ⅱ）若6=+c b ，求a 的值． 解：（Ⅰ）∵,552sin=A π<<A 0∴cos2A =. ∴4sin 2sin cos 225A A A ==. ∵2sin 21==∆A bc S ABC ， ∴5=bc . --------------------6分（Ⅱ）∵,552sin=A ∴532sin21cos 2=-=A A . ∵5=bc ，6=+c b ，∴A bc c b a cos 2222-+=)cos 1(2)(2A bc c b +-+=20=∴52=a . -----------12分 4. 在△ABC 内，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，,,a b c 成等差数列，且 2a c =. (Ⅰ)求cos A 的值；(Ⅱ)若ABC S ∆=b 的值. 解：（Ⅰ）因为,,a bc 成等差数列，所以b c a 2=+ ， ……………2分 又2a c =，可得c b 23=， ……………4分 所以22222229414cos 32422c c c b c a A bc c +-+-===-⨯ ， ……………6分 （Ⅱ）由（I ）41cos -=A ，),0(π∈A ，所以415sin =A ， ……………8分 因为 4153=∆ABC S ， A bc S ABC sin 21=∆ ，所以2113sin 22244ABC S bc A c ∆==⨯=， ……………11分 得 42=c ，即2=c ，3=b . ……………13分 5．如图，在四边形ABCD 中，3AB =，2AD BC CD ===，60A = . （Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）求BCD ∆的面积.解：（Ⅰ）已知60A = ，由余弦定理得2222cos 7BD AB AD AB AD A =+-⋅=， 解得BD = …………………3分由正弦定理，sin sin AD BDABD A=∠，所以sin sin ADABD A BD∠=. …………………5分 ==. …………………7分 （Ⅱ）在BCD ∆中，2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅， 所以744222cos C =+-⨯⨯，1cos 8C =， …………………9分 A BCD因为(0,)C ∈π，所以sin C =， …………………11分 所以，BCD ∆的面积1sin 24S BC CD C =⋅⋅=. …………………12分 从改变风格，体现创新，强调应用，支持课改考虑需关注《三角》的本源（测量学），也就是解三角形的实际应用，突出体现正弦定理和余弦定理在测量中的作用，同时考查学生对方位角、俯角、仰角等概念的识记和理解. 参考题目：1．如图，某人在塔的正东方向上的C 处在与塔垂直的水平面 内沿南偏西60°的方向前进了40m 以后，在点D 处望见塔的底 端B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB ∠=α,α的最大 值为30°，求塔的高.解：依题意知在△DBC 中30BCD ∠= ,18045135DBC ∠=-=CD=40,则15D ∠=，由正弦定理得sin sin CD BC DBC D =∠∠∴sin 40sin15sin sin135CD D BC DBC ⋅∠⨯==∠＝40=在Rt △ABE 中，tan ABBE α=∵AB 为定长 ∴当BE 的长最小时，α取最大值30°，这时BE CD ⊥当BE CD ⊥时，在Rt △BEC 中sin BEBCD BC ∠=,sin BE BC BCD =⋅∠∴tan30sin tan30AB BE BC BCD =⋅=⋅∠⋅110(3233⋅=（m ）答：所求塔高为m.2．海岛B 上有一座高10米的塔，塔顶的一个观测站A ，上午11时测得一 游船位于岛北偏东15 方向上，且俯角为30的C 处，一分钟后测得该 游船位于岛北偏西75 方向上，且俯角45的D 处（假设游船匀速行驶）. (Ⅰ)求该船行使的速度（单位：米/分钟）；(Ⅱ)又经过一段时间后，油船到达海岛B 的正西方向E 处，问此时 游船距离海岛B 多远.解：(Ⅰ)在Rt ∆ABC 中，=60BAC ∠，AB = 10，则BC =在Rt ∆ABD 中，=45BAD ∠，AB = 10，则BD = 10米 在Rt ∆BCD 中，=75+15=90BDC ∠， 则CD == 20米所以速度v = 1CD= 20 米/分钟（Ⅱ）在Rt BCD ∆中，=30BCD ∠，又因为=15DBE ∠，所以=105CBE ∠，所以=45CEB ∠在BCE ∆中，由正弦定理可知sin 30sin 45EB BC=，所以sin 30sin 45BC EB ==.3．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知50AB m =，120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深200BE m =，于C 处测得水深110CF m =，求∠DEF 的余弦值。

2013届高三冲刺复习 三角函数解答题专项 2013-5-141、设函数()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（x R ∈)的图象过点7,212P π⎛⎫- ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ)已知1021213f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，02πα-<<，求3cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。

2、在ABC ∆中，已知45A =，4cos 5B =. (Ⅰ）求cos C 的值； (Ⅱ)若10,BC D =为AB 的中点，求CD 的长。

3、在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足sin cos c A C =.（1)求角C 的大小；(2）求⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2sin sin 3πB A 的最大值,并求取得最大值时角,A B 的大小。

4、已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，向量 错误!= (cos 错误!,sin 错误!），错误!=(cos 错误!,-sin 错误!）,且错误!与错误!的夹角为错误!。

（Ⅰ)求角C 的值; （Ⅱ)已知c =3，△ABC 的面积S = 错误!,求a + b 的值。

（1)求()f x的最小正周期及解析式；(2)设()()cos2,=-求函数()g x f x xg x在区间(0,)2π上的值域。

(3）若函数)(x f的图象向左平移ϕ（0>ϕ）个单位长度,得到的曲线关于y轴对称，求ϕ的最小值6、已知向量(3sin22,cos),(1,2cos),m x x n x=+=设函数.f⋅=x(n)m(II)在△ABC中，c b a,,分别是角A、B、C的对边,若,1A=bf△ABC(=,4)的面积为3，求a的值22013届高三冲刺复习三角函数解答题专项2013—5-141、解(Ⅰ）∵的图象过点7π⎛⎫,∴773sin 2sin 2121232f A A ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2A =故()f x 的解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（Ⅱ） ∵102sin 22sin 2cos 2122123213f απαπππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即5cos 13α=， ks5u∵02πα-<<,∴12sin 13α===-∴333cos cos cos sin sin 444πππααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭5121313⎛=⨯-= ⎝⎭2、解：（Ⅰ）4cos ,5B =且(0,180)B ∈,∴3sin 5B ==．—----————-——--2分cos cos(180)cos(135)C A B B =--=-—----- 3分243cos135cossin135sin 2525B B =+=-+10=-． ——————-——————6分（Ⅱ）由(Ⅰ）可得sin C === ——-—————8分由正弦定理得sin sin BC AB A C =,72AB=，解得14AB =． ----————---10分在BCD ∆中，7BD =， 22247102710375CD =+-⨯⨯⨯=， 所以CD =—--—--—-—--—12分3、解:（1)由sin 3cos c A a C =结合正弦定理得，sin sin 3cos a c cA CC ==从而sin 3cos C C =，tan 3C =,∵0C π<<,∴3C π=;(2）由(1）知23B A π=-———--——-—-———--————-——∴3sin sin()3sin cos 2A B A B π-+=-23sin cos()3A A π=--223sin cos cos sin sin 33A A A ππ=--31sin cos 22A A =+sin()6A π=+∵203A π<<,∴5666A πππ<+< 当62A ππ+=时,3sin sin()2A B π-+取得最大值，此时,33A B ππ== 4、【答案】解:(Ⅰ)∵错误!·错误! =｜错误!||错误!｜·cos 错误!， ｜错误!｜=| 错误!|=1.∴cos 错误!cos 错误!+sin 错误!(—sin 错误!）=cos 错误! 即cosC = cos 错误!， 又∵C （0，） ∴ C =3.（Ⅱ）由c 2=a 2+b 2-2abcosC 得a 2+b 2-ab =9①ks5u 由S △=错误!absinC 得ab =错误!②由①②得(a +b ）2=a 2+b 2+2ab =9+3ab =25 a 、+∈R b∴ a +b =5。

2007-2013年广东省高考真题《三角函数与解三角形》理科2007年理科第9题．已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点（0，1），则该简谐运动的最小正周期T和初相ϕ分别为（ ）A ．6,6T πϕ==B ．6,3T πϕ==C ．6,6T ππϕ==D ．6,3T ππϕ==第16题．（本小题满分14分）已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A （3，4）、B （0，0）、C （c ，0）． （1）若0=⋅，求c 的值； （2）若5c =，求sin ∠A 的值．2008年理科第5题．已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数第16题．（本小题满分13分）已知函数()sin()(0,0),f x A x a x R ϕϕπ=+><<∈的最大值是1，其图像经过点1(,)32M π．（1）求()f x 的解析式； （2）已知,(0,)2παβ∈，且312(),(),513f f αβ==求()f αβ-的值． ． 2009年理科第7题．已知ABC ∆中，A B C ∠∠∠，，的对边分别为c b a ,,．若26+==c a ，且75=∠A ，则=b （ ）A ．2B ．4＋C ．4－D 第9题．函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 第16题．（本小题满分12分）已知向量)2,(sin -=θ与)cos ,1(θ=互相垂直，其中02πθ⎛⎫⎪⎝⎭＝，．（1）求sin θ和cos θ的值；（2）若20,cos 53)cos(5πϕϕϕθ<<=-，求cos ϕ的值．2010年理科第13题．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a =1，b A +C =2B ，则sin A = ．第16题．（本小题满分14分）设函数()3sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以2π为最小正周期．（1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式； （3）已知94125f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin α的值． 2011年理科第16题．（本小题满分12分）已知函数()12sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈．（1）求()0f 的值； （2）设10,0,,3,2213f ππαβα⎡⎤⎛⎫∈+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭63,25f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求()sin αβ+的值． ．2012年理科第6题．在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==，则AC =（ ）()A ()B ()C ()D 第16题．（本小题满分12分）已知函数()cos()()46x f x A x R π=+∈，且()3f π= （1）求A 的值； （2）设,[0,]2παβ∈，43028(4),(4)31735f f ππαβ+=--=，求cos()αβ+的值． ．2013年理科 第4题．已知51sin()25πα+=，那么cos α=（ ） A ．25- B ．15- C ．15 D ．25第16题．（本小题满分12分）已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．（1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．。

2013年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料（文科）说明： ⒈ 本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共24题．⒉ 本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用，希望在5月31日之前完成． 3．本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充．四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法．因此，希望同学们在5月31日至6月6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍．希望同学们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！1.已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点 π132M ⎛⎫⎪⎝⎭，． （1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．Ks5u2. 设函数x x x f cos sin 2)(-=.（1）若0x 是函数)(x f 的一个零点，求02cos x 的值； （2）若0x 是函数)(x f 的一个极值点，求02sin x 的值.3. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c , 已知4A π=，4cos 5B =. （1）求cos C 的值；（2）若10,BC D =为AB 的中点，求CD 的长.4. 一缉私艇发现在方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）45°方向，距离15 海里的海面上有一走私船正以25 海里/小时的速度沿方位角为105°的方向逃窜．若缉私艇的速度为35 海里/小时，缉私艇沿方位角为45°+α的方向追去，若要在最短时间内追上该走私船．（1）求角α的正弦值；（2）求缉私艇追上走私船所需的时间．5. 某学校餐厅新推出A ，B ，C ，D 四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下.为 了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（1）若同学甲选择的是A 款套餐，求甲的调查问卷被选中 的概率；（2）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率.6.汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对2CO 排放量超过 130g/km 的M1型新车进行惩罚．某检测单位对甲、乙两类M1型品牌车各抽取5辆进行 2CO 排放量检测，记录如下(单位：g/km ).经测算发现，乙品牌车2CO 排放量的平均值为120x =乙g/km ．（1）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合2CO 排放量的概率是多少？（2）若90130x <<，试比较甲、乙两类品牌车2CO 排放量的稳定性．C 1B 1A 1FECA7已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. （1） 求x 的值；（2） 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （3） 已知y ≥245,z ≥245,求初三年级中女生比男生多的概率.8．斜三棱柱ABC C B A -111中，侧面C C AA 11⊥底面ABC ，侧面C C AA 11是菱形，160A AC ∠= ，3=AC ，2==BC AB ，E 、F 分别是11AC ，AB 的中点．（1）求证：EF ∥平面11BB C C ； （2）求证：CE ⊥面ABC ．（3）求四棱锥11B BCC E -的体积．. Ks5u9. 如图，在等腰梯形PDCB 中，P Ｂ∥CD ，PB ＝3，DC ＝1，PD ＝BC ＝2，A 为PB 边 上一点，且PA ＝1，将ΔPAD 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD . （1）求证：平面PAD ⊥平面PCD .（2）在线段PB 上是否存在一点M ，使截面AMC 把几何体分成的两部分的体积之比为V PDCMA :V M －ACB ＝2:1, 若存在，确定点M 的位置；若不存在, 说明理由. （3）在（2）的条件下，判断AM 是否平行于平面PCD .10. 如图所示，圆柱的高为2，底面半径为3, AE 、DF 是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC ，且AD ＝BC （1）求证：平面AEB ∥平面DFC ； （2）求证：BC BE ⊥；（3）求四棱锥ABCD E -体积的最大值.ABCDPD11.已知等比数列{}n a 的公比1q ≠，132a =，且22a 、33a 、44a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .12.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度 x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0 ；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量)()(x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）. (车流量为单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）13．某地区有荒山2200亩，从2002年开始每年年初在荒山上植树造林，第一年植树100亩，以后每年比上一年多植树50亩．（1）若所植树全部成活，则到哪一年可以将荒山全部绿化？（2）若每亩所植树苗木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20％，那么到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量是多少？（精确到１立方米, 81243..≈）14. 已知抛物线21:8C y x =与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>有公共焦点2F ，点A是曲线12,C C 在第一象限的交点，且25AF =． （1）求双曲线2C 的方程；（2）以双曲线2C 的另一焦点1F 为圆心的圆M 与直线y =相切，圆N ：22(2)1x y -+=．过点(1P 作互相垂直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设1l 被圆M 截得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ．s t是否为定值？请说明理由．15. 如图，长为m ＋1（m ＞0）的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点M 是线段AB 上一点，且AM mMB =．（1）求点M 的轨迹Γ的方程，并判断轨迹Γ为何种圆锥曲线；（2）设过点Q (12，0)且斜率不为0的直线交轨迹Γ于C 、D 两点．试问在x 轴上是否存在定点P ，使PQ 平分∠CPD ？若存在，求点P 的坐标； 若不存在，请说明理由．16.已知数列{}n a 的前n 项和的平均数为21n + （1）求{}n a 的通项公式；（2）设21nn a c n =+，试判断并说明1()n n c c n N *+-∈的符号； （3）设函数2()421n a f x x x n =-+-+，是否存在最大的实数λ? 当x λ≤时，对于一切非零自然数n ，都有()0f x ≤17. 数列{}n a 满足113a =，且2n ³时，112n n n a a a --=-， （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证对任意的正整数n 都有 215(1)326n n S -?18. 设∈k R ，函数1(0)()(0)x x f x x e x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，()()F x f x kx =+ ，∈x R ．（1）当1k =时，求函数()F x 的值域； （2）试讨论函数()F x 的单调性．19.已知函数)0()(>++=a c xbax x f 的图像在点))1(,1(f 处的切线方程为1-=x y . （1）用a 表示出c b ,；（2）若x x f ln )(≥在),1[+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）证明：)1()1(2)1ln(131211≥+++>+⋅⋅⋅+++n n n n n .20.如图,已知直线:4l y x =及曲线2:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为1a (104a <<).从曲线C 上的点(1)n Q n ≥作直线平行于x 轴，交直线11n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴，交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）的横坐标构成数列{}n a . (1)试求1n n a a +与的关系;(2)若曲线C 的平行于直线l 的切线的切点恰好介于点12,Q Q 之间 (不与12,Q Q 重合),求3a 的取值范围; (3)若13a =,求数列{}n a 的通项公式.21. 已知函数()()()22ln 0,f x x a x x f x x=++>的导函数是()'f x , 对任意两个不相等 的正数12,x x , 证明: (1)当0a ≤时,()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭;(2)当4a ≤时, ()()''1212f x f x x x ->-.22. 对于函数()f x ，若存在0x ∈R ，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．yxOa1a 2a 3Q 1Q 2Q 3P 2P 3如果函数()f x ＝2x abx c+-有且仅有两个不动点0和2．（1）试求b 、c 满足的关系式；（2）若c ＝2时，各项不为零的数列{a n }满足4S n ·1()nf a ＝1， 求证：111n a n a +⎛⎫- ⎪⎝⎭＜1e ＜11na n a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （3）在(2)的条件下, 设b n ＝－1na ，n T 为数列{b n }的前n 项和， 求证：200920081ln 2009T T -<<．23.已知定义在R 上的单调函数()f x ，存在实数0x ，使得对于任意实数12,x x ，总有0102012()()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立．（1）求0x 的值；（2）若0()1f x =，且对任意正整数n ，有11,()1()2n n n a b f f n ==+， 记1223112231,n n n n n n S a a a a a a T bb b b b b ++=+++=+++ ，比较43n S 与n T 的大小关系，并给出证明．24. 已知函数()(0)1xf x x x=>+，设()f x 在点(,())(n f n n ∈N *）处的切线在y 轴上的截距为n b ，数列{}n a 满足：111,()(2n n a a f a n +==∈N *）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n nn a a b λ2中，仅当5=n 时，n n n a a b λ+2取最小值，求λ的取值范围； （3）令函数2()()(1)g x f x x =+，数列{}n c 满足：112c =，1()(n n c g c n +=∈N *），求证：对于一切2≥n 的正整数，都满足：2111111121<++++++<nc c c ．2013年广州市高考备考冲刺阶段数学学科(文科)训练材料参考答案1.解：（1）依题意有1A =，则()sin()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32πϕ+=， 而0ϕπ<<，536πϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=.（2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2παβ∈，45sin ,sin 513αβ∴===， 3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=. 2. 解：（1）0x 是函数)(x f 的一个零点, ∴ 002sin cos 0x x -=, 从而21tan 0=x . ∴53411411tan 1tan 1sin cos sin cos 2cos 0202020202020=+-=+-=+-=x x x x x x x （2）x x x f sin cos 2)('+=, 0x 是函数)(x f 的一个极值点 ∴002cos sin 0x x +=, 从而01tan 2x =-. ∴0000002220002sin cos 2tan 4sin 22sin cos sin cos 1tan 5x x x x x x x x x ====-++. 3. 解：（1）4cos ,5B = 且(0,)B π∈，∴3sin 5B ==．∴3cos cos()cos()4C A B B ππ=--=-3343coscos sin sin 442525B B ππ=+=-+⨯10=-（2）由（1）可得sin C === 由正弦定理得sin sin BC AB A C =7AB=，解得14AB =．在BCD ∆中，7BD =， 22247102710375CD =+-⨯⨯⨯=，∴CD = Ks5uBx 4. 解：（1）设缉私艇追上走私船所需的时间为t 小时， 则有|BC |＝25t ，|AB |＝35t ， 且∠CAB ＝α，∠ACB ＝120°， 根据正弦定理得：||||sin sin120BC AB α=，即25sin t α= ∴ sinα＝14． （2）在△ABC 中由余弦定理得：|AB |2＝|AC |2＋|BC |2－2|AC ||BC |cos ∠ACB ， 即 （35t ）2＝152＋（25t ）2－2·15·25t ·cos120°，即24t 2―15t ―9＝0， 解之得：t =1或t =－924（舍） 故缉私艇追上走私船需要1个小时的时间．5. 解：（1）由条形图可得，选择A ，B ，C ，D 四款套餐的学生共有200人，其中选A 款套餐的学生为40人， 由分层抽样可得从A 款套餐问卷中抽取了 42004020=⨯份. 设 “甲的调查问卷被选中” 为事件M ，则.10404)(==M P . 答：若甲选择的是A 款套餐，甲被选中调查的概率是0.1. (2) 由图表可知，选A ，B ，C ，D 四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5. 其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 .记对A 款套餐不满意的学生是a ；对B 款套餐不满意的学生是b ；对D 款套餐不满意的学生是c ，d.设“从填写不满意的学生中选出2人，这两人中至少有一人选择的是D 款套餐” 为事件N , 从填写不满意的学生中选出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件， 而事件N 有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件， 则()56P N =. 6. 解：（1）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，共有10种不同的2CO 排放量结果： (110,80)；(120,80)；(140,80)；(150,80)；(120,110)；(140,110)；(150,110)；(140,120)；(150,120)；(150,140). 设“至少有一辆不符合2CO 排放量”为事件A ，则事件A 包含以下7种不同的结果：(140,80)；(150,80)；(140,110)；(150,110)；(140,120)；(150,120)；(150,140). 所以，7.0107)(==A P . 答：至少有一辆不符合2CO 排放量的概率为7.0M C 1B 1A 1FECBA（2）由题可知，120==乙甲x x ，220=+y x .()22580120S =-+甲()+-2120110()+-2120120()+-2120140()30001201502=-25S =乙()+-2120100()+-2120120()+-2120x ()+-2120y ()2120160-+=2000()+-2120x ()2120-y220,x y +=∴ 25S =乙+2000()+-2120x ()2100-x ，令t x =-120，13090<<x ，1030<<-∴t ，25S ∴=乙+2000+2t ()220+t ，2255S S ∴-=乙甲22406002(30)(10)0t t t t +-=+-<120==乙甲x x ，22<S S 乙甲，∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好. 7．解（1）0.192000x= ∴ 380x = （2）初三年级人数为y ＋z ＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：48500122000⨯= 名 （3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y ，z ）； 由（2）知 500y z += ，且 ,y z N ∈,基本事件空间包含的基本事件有：（245，255）、（246，254）、（247，253）、……（255，245）共11个事件A 包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个, ∴ 5()11P A =. 8.（1）证明：取BC 中点M ，连结FM ，1C M ．在△ABC 中， ∵F ，M 分别为BA ，BC 的中点， ∴FM ∥12AC ． ∵E 为11AC 的中点，AC ∥11AC ∴FM ∥1EC ．∴四边形1EFMC 为平行四边形 ∴1EF C M ∥．∵1C M ⊂平面11BB C C ，EF ⊄平面11BB C C ， ∴EF ∥平面11BB C C ．（2）证明： 连接C A 1，∵四边形C C AA 11是菱形，160A AC ∠=∴△C C A 11为等边三角形∵E 是11AC 的中点． ∴CE ⊥11C A Ks5u∵四边形C C AA 11是菱形 , ∴11C A ∥AC . ∴CE ⊥AC . ∵ 侧面11AA C C ⊥底面ABC , 且交线为AC ，⊂CE 面11AA C C ∴ CE ⊥面ABC（3）连接C B 1，∵四边形11B BCC 是平行四边形，所以四棱锥=-11B BCC E V 112B EC C V - 由第(2)小问的证明过程可知 EC ⊥面ABC∵ 斜三棱柱ABC C B A -111中，∴ 面AB C ∥ 面111C B A . ∴ EC ⊥面11C EB ∵在直角△1CEC 中31=CC ，231=EC ， ∴233=EC∴873)23(223212211=-⨯⨯=∆EC B S ∴ 四棱锥=-11B BCC E V 112B EC C V -=⨯2821323387331=⨯⨯ 9．（1）证明：连接A Ｃ， ∵ PA ∥CD ∴ 四边形PACD 为平行四边形∴ PD ＝A Ｃ ∵ PD ＝2 ∴ A Ｃ＝2∵ DC ＝PA ＝1 ∴ 222AC AD CD =+ ∴ CD ⊥AD ，∵ 平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD ∴ DC ⊥平面PAD.∵ DC ⊂平面PCD ，∴ 平面PAD ⊥平面PCD.（2） 在线段PB 上是存在这样的点M ，当M 为PB 中点时，使截面AMC 把几何体分成的两部分V PDCMA :V M －ACB ＝2:1．理由如下: ∵ DC ∥PA ， CD ⊥AD ，∴ PA ⊥AD ， ∵ 平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD ∴ PA ⊥平面ABCD∵ M 为PB 中点 ∴点Ｍ到面ACB 的距离等于21PA 12=.∴ M ACB V -=111326ACB S ∆⨯⋅=. ∵ =-ABCDP V ABCD S PA ∆⨯⨯31＝12, ∴ 13PDCMA P ABCD M ADPV V V --=-=. ∴12=M A B CP DCM A V V ，故M 为PB 中点.（3） AM 与平面PCD 不平行∵AB ∥CD ，AB ⊂/平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴AB ∥平面PCD 若AM ∥平面PCD ，∵AB ∩AM =A ，∴平面ABM ∥平面PCD 这与平面ABM 与平面PCD 有公共点P 矛盾 ∴AM 与平面PCD 不平行10.（1）证明：∵AE 、DF 是圆柱的两条母线∴ AE ∥DF.∵⊄AE 平面DFC ，⊂DF 平面DFC ,∴ AE ∥平面DFC 在圆柱中： 上底面//下底面，且上底面∩截面ABCD ＝AD ，下底面∩截面ABCD ＝BC ∴ BC //AD∵ AD ＝BC ∴四边形ABCD 为平行四边形 ∴ AB ∥CD.∵AB ⊄平面DFC ,CD ⊂平面DFC , ∴ AB ∥平面DFC . ∵ A AE AB = ∴ 平面AEB ∥平面DFC （2）证明：∵AE 、DF 是圆柱的两条母线，∴//AE DF∴ 四边形ADFE 平行四边形， ∴ AD ∥EF 且AD =EF∵ 四边形ABCD 为平行四边形 ∴ AD ∥BC 且AD =BC∴ EF∥BC 且EF =BC在圆柱底面上因为EF ∥BC 且EF =BC ∴ EC 为直径 ∴ B C B E ⊥（3）解法1：作AB EO ⊥ ∵ AE 圆柱的母线 ∴ AE 垂直于底面 ∴ CB AE ⊥∵ BC BE ⊥ E EB AE =∴ ⊥BC 平面ABE ∴OE BC ⊥∵ B BC AB = ∴ ⊥EO 平面ABCD设x BE = 在Rt △BEC 中，32=EC ∴212x BC -=在Rt △ABE 中，2=EA ，∴24x AB +=由（2）的证明过程可知⊥BC 平面ABE ∴AB BC ⊥∵ 四边形ABCD 为平行四边形 ∴四边形ABCD 为矩形∴ 22ABCD 124x x S -⨯+=矩形在Rt △ABE 中，242xx ABBEAE OE +=⨯=∵)32,0(∈x∴13E ABCDV OE S -=⋅⋅矩形ABCD 31222x x -=3)12(222x x -⨯=≤4 当2212x x -=时，即6=x 时，四棱锥ABCD E -的体积最大，最大值为4解法2：22E ABCD E ABC A EBC V V V ---==设x BE =（或设θ=∠BEC ）在Rt △BEC 中，32=EC ∴212x BC -=（θsin 32=BC ，θcos 32=BE ）∵ AE 垂直于底面，设x BE =，)32,0(∈x ∴ 223E ABCD A EBCBCE V V AE S --∆==⨯⋅31222x x -=3)12(222x x -⨯=≤4 当2212x x -=时，即6=x 时，四棱锥ABCD E -的体积最大，最大值为4解法3：22E ABCD E ABC A EBC V V V ---==设θ=∠BEC ，)2,0(πθ∈在Rt △BEC 中，32=EC ∴θsin 32=BC ，θcos 32=BE ∵ AE 垂直于底面， ∴ 223E ABCD A EBC BCE V V AE S --∆==⨯⋅=BC BE ⨯⨯⨯21232=θ2sin 4≤4当12sin =θ，即4πθ=时，四棱锥ABCD E -的体积最大，最大值为4.11.解：（1）因为22a 、33a 、44a 成等差数列，所以243246a a a +=，即3211123a q a q a q +=.因为10a ≠，0q ≠，所以22310q q -+=，即(1)(21)0q q --=.因为1q ≠，所以12q =.所以116113222n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.所以数列{}n a 的通项公式为6*2()n n a n -=∈N . （2）因为62n n a -=，所以62log 26n n b n -==-. 所以6,16,66,7.n n n b n n n -≤≤⎧=-=⎨-≥⎩当16n ≤≤时，1212n n n T b b b b b b =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+2[5(6)]111222n n n n ⨯+-==-+；当7n ≥时，1212678()()n n n T b b b b b b b b b =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+126122()()n b b b b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+22111111215302222n n n n ⎛⎫=⨯--+=-+ ⎪⎝⎭.综上所述，22111,16,2211130,7.22n n n n T n n n ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩12. 解:(1)由题意，当020x ≤≤时，()60;v x =当20200x ≤≤时，设().v x ax b =+由已知得2000,2060a b a b +=⎧⎨+=⎩解得132003a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.60,020()1(200),202003x v x x x ≤<⎧⎪∴=⎨-≤≤⎪⎩. (2)依题意得60,020().(200),202003x x f x xx x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩ 当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故()1200f x <.当20200x ≤≤时，100x =时，()f x 取最大值1000033333≈. 答：车流密度x 为100时，车流量()f x 达到最大值3333.13.解：（1）设植树n 年后可将荒山全部绿化，记第n 年初植树量为n a ，依题意知数列{}n a 是首项1100a =，公差50d =的等差数列， 则()22005021100=⨯-+n n n , 即23880n n +-=(11)(8)0n n ⇒+-=∵n N *∈ ∴8n =∴到2009年初植树后可以将荒山全部绿化．（2）2002年初木材量为12a 3m ，到2009年底木材量增加为812(1.2)a 3m , 2003年初木材量为22a 3m ，到2009年底木材量增加为722(1.2)a 3m ,…… 2009年初木材量为82a 3m ，到2009年底木材量增加为82 1.2a ⨯3m . 则到2009年底木材总量87612382 1.22 1.22 1.22 1.2S a a a a =⨯+⨯+⨯++⨯2678900 1.2800 1.2400 1.2300 1.2200 1.2S =⨯+⨯++⨯+⨯+⨯ ----------① 237891.2900 1.2800 1.2400 1.2300 1.2200 1.2S =⨯+⨯++⨯+⨯+⨯ ---------②②-①得92380.2200 1.2100(1.2 1.2 1.2)900 1.2S =⨯+⨯+++-⨯ 92700 1.2500 1.2900 1.2=⨯-⨯-⨯8840 1.21800=⨯-840 4.318001812≈⨯-=∴9060S =ｍ2答：到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为9060ｍ2 14. 解：（1）∵抛物线21:8C y x =的焦点为2(2,0)F ， ∴双曲线2C 的焦点为1(2,0)F -、2(2,0)F ， 设00(,)A x y 在抛物线21:8C y x =上，且25AF =，由抛物线的定义得，025x +=，∴03x =，∴2083y =⨯，∴0y =±∴1||7AF ==，又∵点A 在双曲线2C 上，由双曲线定义得，2|75|2a =-=，∴1a =， ∴双曲线2C 的方程为：2213y x -=．（2）st为定值．下面给出说明． 设圆M 的方程为：222(2)x y r ++=， ∵圆M与直线y =相切， ∴圆M的半径为r ==，故圆M ：22(2)3x y ++=.显然当直线1l 的斜率不存在时不符合题意，设1l的方程为(1)y k x =-，即0kx y k -=， 设2l的方程为1(1)y x k-=--，即10x ky +-=， ∴点1F 到直线1l的距离为1d =2F 到直线2l的距离为2d =∴直线1l 被圆M截得的弦长s == 直线2l 被圆N截得的弦长t ==∴s t === 故st15. 解：（1）设A 、B 、M 的坐标分别为(x 0，0)、(0，y 0)、(x ，y )，则x 20＋y 20＝(m ＋1)2， ① 由→AM ＝m →MB ，得(x －x 0，y )＝m (－x ，y 0－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－mx ，y ＝m (y 0－y )．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝(m ＋1)x ，y 0＝m ＋1my ． ②将②代入①，得(m ＋1)2x 2＋(m ＋1m )2y 2＝(m ＋1)2，化简即得点M 的轨迹Γ的方程为x 2＋y 2m 2＝1（m ＞0）． 当0＜m ＜1时，轨迹Γ是焦点在x 轴上的椭圆；当m ＝1时，轨迹Γ是以原点为圆心，半径为1的圆； 当m ＞1时，轨迹Γ是焦点在y 轴上的椭圆．（2）依题意，设直线CD 的方程为x ＝ty ＋12，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋12，x 2＋y2m 2＝1．消去x 并化简整理，得(m 2t 2＋1)y 2＋m 2ty －34m 2＝0，△＝m 4t 2＋3m 2(m 2t 2＋1)＞0， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－m 2t m 2t 2＋1，y 1y 2＝－3m 24(m 2t 2＋1)． ③假设在x 轴上存在定点P (a ，0)，使PQ 平分∠CPD ， 则直线PC 、PD 的倾斜角互补，∴k PC ＋k PD ＝0，即y 1x 1－a ＋y 2x 2－a ＝0，∵x 1＝ty 1＋12，x 2＝ty 2＋12，∴y 1ty 1＋12－a ＋y 2ty 2＋12－a＝0， 化简，得4ty 1y 2＋(1－2a )( y 1＋y 2)＝0． ④将③代入④，得－3m 2tm 2t 2＋1－m 2t (1－2a )m 2t 2＋1＝0，即－2m 2t (2－a )＝0，∵m ＞0，∴t (2－a )＝0，∵上式对∀t ∈R 都成立，∴a ＝2． 故在x 轴上存在定点P (2，0)，使PQ 平分∠CPD ．16.解：（1）由题意，1231231...(21),...(1)(21)n n a a a a n n a a a a n n -++++=+++++=--，两式相减得41,(2)n a n n =-≥，而13a =，41,()n a n n N *∴=-∈（2）141332,221212123n n n a n c c n n n n +-===-=-++++， 11330,2123n n n n c c c c n n ++-=->∴>++(3)由（2）知11c =是数列{}n c 的最小项.当x λ≤时，对于一切非零自然数n ，都有()0f x ≤, 即2214,4121nn a x x c x x c n -+≤=∴-+≤=+，即2410x x -+≥，解得2x ≥2x ≤，∴取2λ=17. 解：（1）1112121n n n n a a a a ----==-，则11111(1)2n n a a --=- 则112n n a =+ （2） 由于11111222(12)2n n n n a a -->==++，因此，12121111222n n n n a a a a --->>> 121111111212(1)(1)132233212n n n n a a a --+++?++=?-- 又11122n n na =<+所以从第二项开始放缩： 212211111523223612n n a a a +++<+++<+=-因此 215(1)326n n S -? 18.解:（1）1(0)()(0)⎧+>⎪=⎨⎪+⎩x x x F x x e x x ≤，当0>x 时，1()2=+F x x x≥，即1=x 时，()F x 最小值为2． 当0x ≤时，()=+xF x e x ，在()0,∞-上单调递增，所以()(0)1=F x F ≤． 所以1=k 时，()F x 的值域为(,1][2,]-∞+∞ ．（2）依题意得'21(0)()(0)⎧->⎪=⎨⎪+⎩x k x F x x e k x ≤ ①若0=k ，当0>x 时，'()0<F x ，()F x 递减，当0x ≤时，'()0>F x ，()F x 递增．②若0>k ，当0>x 时，令'()0=F x，解得=x当0<<x 时，'()0<F x ，()F x递减，当>x 时，'()0>F x ，()F x 递增．当0<x 时，'()0>F x ，()F x 递增．③若10-<<k ，当0>x 时，'()0<F x ，()F x 递减．当0<x 时，解'()0=+=xF x e k 得ln()=-x k ，当ln()0-<<k x 时，'()0>F x ，()F x 递增，当ln()<-x k 时，'()0<F x ，()F x 递减．④1-k ≤，对任意0≠x ，'()0<F x ，()F x 在()()+∞∞-,0,0,上递减．综上所述，当0>k 时，()F x 在(,0]-∞或)+∞上单调递增，在上单调递减；当0=k 时，()F x 在(,0]-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减；当10-<<k 时，()F x 在(ln(),0]-k 上单调递增，在(,ln())-∞-k ，(0,)+∞上 单调递减；当1-k ≤时，()F x 在()()+∞∞-,0,0,上单调递减．19. 解：（1）,)(2'x ba x f -=则有⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=++==-=a c a b c b a f b a f 211,0)1(1)1('解得. （2）由（1）得.211)(a xa ax x f -+-+= 令a xa ax x x f x g 211ln )()(-+-+=-=x ln -,).,1[+∞∈x ,0)1(=g .)1)(1(11)(22'x a ax x a x x a a x g ---=---= ① 当210<<a 时，11>-a a .若aa x -<<11，)(,0)('x g x g <是减函数， ∴)(x g 0)1(=<g ，即,ln )(x x f <故x x f ln )(≥在),1[+∞不恒成立.②当21≥a 时，11≤-aa.若1>x ，)(,0)('x g x g >是增函数，∴0)1()(=>g x g ， 即,ln )(x x f >故1≥x 时x x f ln )(≥.综上所述，a 的取值范围是),21[+∞.（3）由（2）知，当21≥a 时，有)1(ln )(≥≥x x x f .令21=a ，则-=x x f (21)( .ln )1x x ≥即当1>x 时，总有.ln )1(21x x x >-令kk x 1+=，则)11(211ln+-+<+k k k k k k ),111(21++=k k ),111(21ln )1ln(++<-+k k k k n k ,,2,1⋅⋅⋅=.将上述n 个不等式累加得,)1(21)13121(21)1ln(+++⋅⋅⋅+++<+n n n 整理得)1(2)1ln(1...31211+++>++++n nn n20.解:(1)因为点n Q 的坐标为2(,)n n a a ,1n Q +的坐标为21(,)n+1n a a +, 所以点1n P +的坐标为1(,4)n+1n a a +,则214,n n a a +=故1n n a a +与的关系为211.4n n a a += (2)设切点为2(,)t t ,则/2y x =得24t =,所以 2.t =解不等式212,2a a <⎧⎨>⎩得12a <<.222432111111()44464a a a a ===.12a <<∴ 31 1.4a <<3a 的取值范围是1(,1).4(3) 由2114n n a a +=得211lg lg()4n n a a +=,即11lg 2lg lg 4n n a a +=+,故111lg lg 2(lg lg )44n n a a ++=+ 1113lg lg lg3lg lg 0444a +=+=≠,所以数列1{lg lg }4n a +是以2为公比,首项为3lg 4的等比数列,112133lg lg2lg lg(),444n n n a --+==即123lg lg(),44n n a -=解得1234()4n n a -=,数列{}n a 的通项公式为1234()4n n a -=.21. 略解：（1）()()()()1222121212111ln ln 222f x f x a x x x x x x +⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭ ()2212121212x x x x a x x +=+++2121212124ln 222x x x x x x f a x x +++⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，而()()2222212121212112242x x x x x x x x +⎛⎫+>++= ⎪⎝⎭, 又()2221212121224x x x x x x x x +=++>,得1212124x x x x x x +>+,122x x +,得12ln 2x x +,由于0a ≤,故12ln 2x x a a +≥. 所以()2212121212x x x x a x x ++++>21212124ln 22x x x x a x x ++⎛⎫++ ⎪+⎝⎭.所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.（2）()'fx =222a x x x -+，故()()''12f x f x -()121222121222x x a x x x x x x +=-+- ()()''1212fx f x x x ->-⇔()12221212221x x ax x x x ++->， 下面证明：()12221212221x x ax x x x ++->成立.法1：()1222121222x x ax x x x ++->33121244422ax x x x +-≥+-.令t =，则()()322440u t t t t =+->， 可知()2381327u t u ⎛⎫≥=> ⎪⎝⎭.即()12221212221x x a x x x x ++->. 法2：()12221212221x x ax x x x ++->即()1212122x x a x x x x +<+ 由于()1212122x x x x x x ++>12x x +.令t =，则()()240u t t t t=+>，可知()4u t u a ≥==>≥.故()1212122x x a x x x x +<+成立.22. 解： (1)设202x a x bx c +=-的不动点为和∴0010421222aa c cbc ca b b c⎧==⎧⎪⎪⎪-=+≠⎨⎨+=+⎪⎪=⎩⎪-⎩即即且 (2)∵c ＝2 ∴b ＝2 ∴()()()2121x f x x x =≠-，由已知可得2S n ＝a n －a n 2……①，且a n ≠ 1．当n ≥ 2时，2 S n -1＝a n －1－21n a -……②，Ks5u ①－②得(a n ＋a n －1)( a n －a n －1＋1)＝0，∴a n ＝－a n －1 或 a n ＝－a n －1 ＝－1， 当n ＝1时，2a 1＝a 1－a 12 ⇒a 1＝－1，若a n ＝－a n －1，则a 2＝1与a n ≠ 1矛盾．∴a n －a n －1＝－1， ∴a n ＝－n ．∴要证不等式，只要证 ()111111n n n e n -+-⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即证 11111n n e n n +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只要证 ()11ln 111ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证 111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．考虑证不等式()ln 11xx x x <+<+(x ＞0) . (**)令g (x )＝x －ln(1＋x )， h (x )＝ln(x ＋1)－1xx + (x ＞0) ． ∴()'g x ＝1x x +， ()'h x ＝()21x x +， ∵x ＞0， ∴()'g x ＞0， ()'h x ＞0，∴g (x )、h (x )在(0, ＋∞)上都是增函数， ∴g (x )＞g (0)＝0， h (x )＞h (0)＝0，∴x ＞0时，()ln 11xx x x <+<+． 令1x n =则(**)式成立，∴111n a n a +⎛⎫- ⎪⎝⎭＜1e ＜11na n a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)由(2)知b n ＝1n ，则T n ＝111123n+++⋅⋅⋅⋅+． 在111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭中，令n ＝1，2，3， ，2008，并将各式相加， 得111232009111ln ln ln 1232009122008232008++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+， 即T 2009－1＜ln2009＜T 2008． 23.解:（1）令120x x ==，得0(0)()2(0)f f x f =+，0()(0)f x f ∴=-……①，令121,0x x ==得00()()(1)(0)f x f x f f =++．(1)(0)f f ∴=-……②由①、②，得()()10f x f =． ()f x 为单调函数，01x ∴=．（2）由（1）得121212()()()(1)()()1f x x f x f x f f x f x +=++=++(1)()(1)1()2f n f n f f n +=++=+ ，(1)1f =，()21()f n n n N *∴=-∈，121n a n ∴=-． 又1111(1)()()()(1)2222f f f f f =+=++ ．111()0,()1122f b f ∴==+=．11111111111()()()()(1)2()1222222n n n n n n f f f f f f +++++=+=++=+111122()2()122n n n n b f f b ++∴=+=+=. 11()2n n b -∴=11111111111(1)(1)1335(21)(21)23352121221n S n n n n n =+++=-+-++-=-⨯⨯-⨯+-++0112132111[1()]1111111112124()()()()()()()()[1()]12222222223414n n n n n n T ---=+++=+++==-- 42121211(1)[1()][()]3321343421nn n n S T n n ∴-=---=-++． 11104(31)3333121n n n n n n n n n n C C C C n n --=+=++++≥+>+4211[()]033421n n n S T n ∴-=-<+. 43n n S T ∴<24.解:（1） ()(0)1xf x x x=>+，则1()1n n n n a a f a a +==+，得1111+=+n n a a ，即1111=-+nn a a ， ∴数列}1{n a 是首项为2、公差为1的等差数列，∴11n n a =+，即11+=n a n .（2）21[()](1)f x x '=+ ，∴函数()f x 在点(,())(n f n n ∈N *）处的切线方程为：21()1(1)n y x n n n -=-++，令0=x ，得222)1()1(1n n n n n n b n +=+-+=． 2222(1)()24n n n b n n n a a λλλλλ∴+=++=++-，仅当5=n 时取得最小值， 只需5.525.4<-<λ，解得911-<<-λ，故λ的取值范围为)9,11(--．（3）2()()(1)(1)g x f x x x x =+=+ ，故)1()(1n n n n c c c g c +==+，0211>=c ，故0>n c ，则n n n n n c c c c c +-=+=+111)1(111，即11111+-=+n n n c c c ． ∴1212231111111111()()()111n n n c c c c c c c c c ++++=-+-++-+++ =21211111<-=-++n n c c c ． Ks5u 又74324311211111111111112121+=+++=+++≥++++++c c c c c n 12126>=，故2111111121<++++++<nc c c ．Ks5u。

绝密★启用前试卷类型：B2013广东省高考压轴卷数学文试题本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高． 样本数据12,,,n x x x 的方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ ,其中,x y 表示样本均值．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合{}1,0,1M =-和{}0,1,2,3N =的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合是 A ．{}0B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,2,3-2. 命题“存在实数x ，使2280x x +-=”的否定是A ．对任意实数x , 都有2280x x +-=B ．不存在实数x ，使2280x x +-≠C ．对任意实数x , 都有2280x x +-≠D ．存在实数x ，使2280x x +-≠3. 若复数1i 12i 2b +=+（i 是虚数单位，b 是实数），则b = A ．2- B ．12- C ．12D ．2图 1MN4. 已知平面向量(1,2)AB = ，(2,)AC y = ，且0AB AC ⋅= ，则23AB AC +=A ．(8,1)B ．(8,7)C ．()8,8-D ．()16,85. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时()f x 的图像如图2所示，则()2f -= A ．3- B ．2- C ．1-D ．26. 已知变量x ，y 满足约束条件20,2,0,x y y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值为 A ．2B ．3C ．4D ．67. 设函数()3xf x e x =-，则A ．3x e=为()f x 的极大值点 B ．3x e=为()f x 的极小值点 C ．ln3x =为()f x 的极大值点D ．ln3x =为()f x 的极小值点8. 已知直线0Ax y C ++=，其中,,4A C 成等比数列，且直线经过抛物线28y x =的焦点，则A C += A ．1-B ．0C ．1D ．49. 如图3所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体体积为 A ．53B ．423C ．73D ．10310. 对于任意两个复数1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），定义运算“⊗”为：12z z ac bd ⊗=+．则下列结论错误的是A ．()()1i i -⊗-=B ．()1i i i ⊗⊗=C ．()122i i ⊗+=D ．()()112i i -⊗+=24 1正视图俯视图侧视图图31 3 2xyO 图2二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11. 函数1()lg(1)1f x x x =+-+的定义域是________． 12. 某公司为了了解员工们的健康状况，随机抽取了部分员工作为样本，测量他们的体重（单位：公斤），体重的分组区间为[50,55），[55,60），[60,65），[65,70），[70,75]，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．根据频率分布直方图，估计该公司员工体重的众数是_________；从这部分员工中随机抽取1位员工，则该员工的体重在[65,75]的概率是_________．13. 已知ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，3b =，2B A =，则A =_________．（二）选做题（14-15小题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系(,)ρθ 02πθ⎛⎫≤<⎪⎝⎭中，曲线sin 1ρθ=与4sin ρθ=的交点的极坐标为________．15. （几何证明选讲选做题）如图5所示，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，C ，且33PC PB ==，过点A 作BC 的垂线，垂足为D ，则AD =_______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. （本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，36a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若110k S =，求k 的值； （3）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求2013T 的值． 17. （本小题满分13分）已知函数()sin 2x f x A ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0,0A ϕπ><<的最大值是1，且()01f =．（1）求函数()f x 的最小正周期；P AB C O D 图5 图4频率组距0.06 0.05 0.04 0.03 0.02体重50 55 60 65 70 75（2）求()f x 的解析式；（3）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为A ，B ，C ，若()()3522513f A f B π=+=-，，求()2f C 的值．18. （本小题满分13分）某校高三年级在5月份进行一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：[)0,400 [)400,480 [)480,550 [)550,750文科考生 67 35196理科考生53x yz已知用分层抽样方法在不低于550分的考生中随机抽取5名考生进行质量分析，其中文科考生抽取了2名．（1）求z 的值；（2）图6是文科不低于550分的6名学生的语文成绩的茎叶图，计算这6名考生的语文成绩的方差；（3）已知该校不低于480分的文科理科考生人数之比为1:2，不低于400分的文科理科考生人数之比为2:5，求x 、y 的值．19. （本小题满分14分）将棱长为a 正方体截去一半（如图7所示）得到如图8所示的几何体，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点． （1）证明：1AF ED ⊥；（2）求三棱锥1E AFD -的体积．20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上，半径为4的圆C 位于y 轴右侧，且与y 轴相切．（1）求圆C 的方程；（2）若椭圆222125x y b+=的离心率为45，且左右焦点为12,F F ．试探究在圆C 上是否存在点P ，使得12PF F ∆为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．21. （本小题满分14分）2 40 5 8 1 13 12 11 图6 A 1 B 1C 1D 1 ABCD 图7 D 1 DCBA 1AE F图8已知函数()323()=+112f x x a x ax x --3+∈R ， （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当3a =时，若函数()f x 在区间[,2]m 上的最大值为28，求m 的取值范围．2013广东省高考压轴卷 数学文试题答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCCABDDAAB答案详细解析：1．阴影部分所示的集合是{}0,1M N = ． 2．存在量词变成任意量词，结论变．3．∵()()()()()()1i 2i 221i 1i 12i 2i 2i 52b b b b +-++-+===++-，∴21522105b b +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得12b =． 4．∵0AB AC ⋅=，∴220y +=，解得1y =-，∴()()()232,46,38,1AB AC +=+-= ．5．()()222f f -=-=-．6．如图，作出可行域，当目标函数直线经过点A 时取得最大值．由2,0,y x y =⎧⎨-=⎩解得()2,2A ，∴max 2226z =⨯+=． 7．由()30xf x e '=-=，得ln3x =，又ln3x <时，()0f x '<，ln3x >时，()0f x '>，∴()f x 在ln3x =时取得极小值．8．∵,,4A C 成等比数列，∴24C A =①，∵直线经过抛物线28y x =的焦点()2,0，∴20A C +=②，由①②联立解得1,2A C ==-或0,0A C ==（舍去），∴1A C +=-．9．该几何体的直观图如图所示，由题意知该几何体可分割为两个等体积的四棱锥和一个直三棱xyOA柱．四棱锥的体积为112112323V =⨯⨯⨯=，直三棱柱的体积为2111212V =⨯⨯⨯=，∴该几何体的体积为12523V V +=．10．()10i i i i ⊗⊗=⊗=．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．11．()1,1-12．62.5，31013．π614．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭15．32说明：第12题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．答案详细解析： 11．∵1010x x +>⎧⎨->⎩，∴11x -<<．∴函数的定义域是()1,1-．12．众数是606562.52+=，∵各分组频率分别为0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，∴该员工的体重在[65,75]的概率是0.20.13110+=．13．由正弦定理sin sin a b A B =，又∵2B A =，∴s i n 2s i n c o s a b A AA=，∴3c o s 22b A a ==，∴π6A =． 14．曲线sin 1ρθ=与4sin ρθ=分别转化为直角方程得1y =，224x y y +=。

图 2俯视图侧视图正视图2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科A 卷）解析本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 锥体的体积公式：13V Sh =．其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T = A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}- 【品题】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A ，5分到手，妙！ 2．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞ 【品题】：对数真数大于零，分母不等于零，目测C ！ 3．若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【品题】：复数的运算、复数相等，目测4,3x y ==-，模为5，选D. 4．已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【品题】：考查三角函数诱导公式，51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭，选C. 5．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．7 【品题】选C.本题只需细心按程序框图运行一下即可. 6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A ．16 B ．13 C ．23D ．1 【品题】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则11=112=323V ⋅⋅⋅⋅，选B. 图 17．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=【品题】本题考查直线与圆的位置关系，直接由选项判断很快，圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =8．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 【品题】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选B 了. 9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x【品题】基础题，1,2,c a b === D.10．设 a 是已知的平面向量且≠0 a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量 b ，总存在向量 c ，使=+a b c ；②给定向量 b 和 c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量 b 和正数μ，总存在单位向量 c 和实数λ，使λμ=+a b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量 b ， c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【品题】本题是选择题中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则. 利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.【品味选择题】文科选择题答案：ACDCC BABDB.选择题3322再次出现！今年的选择题很基础，希望以后高考年年出基础题！二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= 【品题】这题相当于直接给出答案了1512．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ． 【品题】本题考查切线方程、方程的思想.依题意''1112,210,2x y ax y a a x ==-=-=∴= 13．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则z x y =+的最大值是．【品题】画出可行域如图，最优解为()1,4，故填 5 ； （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．【品题】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程()2211x y -+=，易的则曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数） 15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ． 【品题】本题对数值要敏感，由AB =3BC =，可知60BAC ∠=从而302AE CAD =∠= ，2DE ==. 【品味填空题】选做题还是难了点，比理科还难些.图 3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】(1)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，4sin 5θ=-，1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭．【品题】这个题实在是太简单，两角差的余弦公式不要记错了.17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率． 【解析】（1）苹果的重量在[)95,90的频率为20=0.450； （2）重量在[)85,80的有54=15+15⋅个； （3）设这4个苹果中[)85,80分段的为1，[)100,95分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：图 4（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[)85,80和[)100,95中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31(A)62P ==. 【品题】这个基础题，我只强调：注意格式！18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中BC =． (1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ； (3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F V -【解析】（1）在等边三角形ABC 中，AD AE =AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立，//DE BC ∴ ,DE ⊄ 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥①，12BFCF ==. 在三棱锥A BCF -中，2BC =，222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥ 平面；（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面.111111132323323324F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭【品题】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列． (1)证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< ． 【解析】（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，20n a a >∴=（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=-- ()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦ 【品题】本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知n S 求n a ，{}n a 是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成1n =，2n ≥来做后，不会求1a ，没有证明1a 也满足通项公式.20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．【解析】（1）依题意2d ==，解得1c =（负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =；（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理， 20202y x x y -=. ② 综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y x xy -=002，即00220x x y y --=； （3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+， 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=，2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为92【品题】2013广州模直接命中了这一题，广一模20题解法2正是本科第（2）问的解法，并且广一模大题结构和高考完全一致. 紫霞仙子：我的意中人是个盖世英雄，有一天他会踩着七色云彩来娶我，我只猜中了前头，可是我却猜不中这结局……形容这次高考，妙极！21．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈． (1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ． 【解析】：()'2321fx x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280fx x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时，()'2321fx x kx =-+，其开口向上，对称轴3kx =，且过()01，（i）当(241240k k k ∆=-=≤，即0k ≤<时，()'0f x ≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == , 当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（ii）当(241240k k k ∆=-=>，即k <()'23210f x x kx =-+=解得：12x x ==,注意到210k x x <<<,(注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断) ()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-，而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=--> 所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==【品题】：看着容易，做着难！常规解法完成后，发现不用分类讨论，奇思妙解也出现了：结合图像感知x k = 时最小，x k =-时最大，只需证()()()f k f x f k ≤≤-即可，避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值，需要因式分解比较深的功力，这也正符合了2012年高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.。

8．[1 ，＋∞）
解析： 要使 f ( x) 的值域为
R，必有
a＝ 0，于是
g(
x)
＝
x
2
＋
1
，值域为
[1
，
＋∞ ) ． 9.(1,2)
解析： 函数 f ( x) ＝ ln x＋ 2x 在区间 (0 ，＋∞ ) 上是增函数，
x2＋ 2<3x，
由 f ( x2＋ 2) ＜ f (3 x) ，得 x2＋ 2>0，
专题升级训练 4 函数图象与性质
( 时间： 60 分钟 满分： 100 分 )
一、选择题 ( 本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分 )
1
1．若 f ( x) ＝
，则 f ( x) 的定义域为 ( ) ．
log 1 (2x 1)
2
1
A.
－ ，0 2
1
B.
－ ，0 2
1
C.
－ ，＋∞ 2
D． (0 ，＋∞）
y＋x( 0≤ x≤1， | y| ≤１) ， ∴z＝ max{y－ x， y＋ x} ＝
y－x( －1≤ x<0， | y| ≤１).
∴z 的取值范围为 [ －1,2] ． 6．A 解析： ∵ y＝ f ( x) －g( x) ＝ x2－ 3x＋ 4－ 2x－ m＝ x2－ 5x＋ 4－ m在[0,3] 上有两个不同
当 2＜ a＜ 4 时， f ( x) 的最大值为 4 ；
当 a≥４时， f ( x) 的最大值为 2a－ 4.
(2) ∵函数 f ( x) 在 [0,1] 上是增函数，
∴f ′（x) ＝aln 2 ·２x－ln 4 ·４x＝2xln 2(
∴a－2·２x≥0，即 a≥2·２x 恒成立，

正视图侧视图俯视图第6题图2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）逐题详解【详解提供】广东佛山市南海区南海中学 钱耀周参考公式:椎体的体积公式13V Sh =,其中S 表示椎体的底面积,h 表示锥体的高.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,S x x x x =+=∈R ,{}2|20,T x x x x =-=∈R ,则S T = ( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【解析】A ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以{}0S T = ,故选A ． 2．函数()()lg 11x f x x +=-的定义域是( )A . ()1,-+∞B ．[)1,-+∞C ．()()1,11,-+∞D ．[)()1,11,-+∞【解析】C ；依题意1010x x +>⎧⎨-≠⎩,解得1x >-且1x ≠,故选C ．3．若()34i x yi i +=+,,x y ∈R ,则x yi +的模是( )A . 2B ．3C ．4D ．5【解析】D ；依题意34y xi i -+=+,所以4,3x y ==-, 所以43x yi i +=-的模为5,故选D ． 4．已知51sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭,那么cos α= ( ) A . 25- B ．15-C ．15D ．25【解析】C ；由诱导公式可得51sin cos 25παα⎛⎫+==⎪⎝⎭,故选C ．5．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出的s 的值是 ( )A . 1B ．2C ．4D ．7 【解析】C ；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；循环终止,故输出4,选C . 6．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 ( )A .16 B ．13C ．23D ．1 【解析】B ；由三视图可知该三棱锥的底面积为12,高为2,所以1112323V =⨯⨯=,故选B . 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是( )A . 0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=【解析】A ；数形结合!画出直线和圆,不难得到切线方程为y x =-故选A ． 8．设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若//l α,//l β,则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβC ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥ 【解析】B ；ACD 是典型错误命题,选B ．9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为()1,0F ,离心率等于12,在椭圆C 的方程是 ( ) A . 22134x y += B ．2214x += C ．22142x y += D ．22143x y +=【解析】D ；依题意1c =,12e =,所以2a =,从而24a =,2223b a c =-=,故选D ．10．设a 是已知的平面向量且0a ≠ ,关于向量a的分解,有如下四个命题:① 给定向量b ,总存在向量c ,使a b c =+；② 给定向量b 和c,总存在实数λ和μ,使a b c λμ=+ ；③ 给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a b c λμ=+ ；④ 给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c,使a b c λμ=+ . 上述命题中的向量b ,c 和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( )A . 1B ．2C ．3D ．4 【解析】C ；考查平面向量基本定理,成立的有①②③,故选B ．说明:对于④,比如给定a和1λμ==,就不一定存在单位向量b 和单位向量c ,使a b c =+.二、填空题：本题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分 (一)必做题(11～13题)11．设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234a a a a +++=________． 【解析】15；依题意2342,4,8a a a =-==-,所以1234124815a a a a +++=+++=. 12．若曲线2ln y ax x =-在点()1,a 处的切线平行于x 轴,则a =______. 【解析】12；求导得12y ax x '=-,依题意210a -=,所以12a =. 13. 已知变量,x y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩,则z x y =+的最大值是____.【解析】5；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最大值时的点为()1,4A ,且最大值为5.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为_____________. 【解析】1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)；曲线C 的普通方程为222x y x +=,即()2211x y -+=,圆心为()1,0,A EDCB 第15题图半径1r =,所以曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).15. (几何证明选讲选做题)如图,在矩形ABCD 中,AB =3BC =,BE AC ⊥,垂足为E ,则ED =_________.；依题意AC =在Rt ABC ∆中,由射影定理可得,2AB AE AC =⋅,所以AE =也可以由30ABC ∠=︒得到),在ADE ∆中,由余弦定理可得 2222cos30ED AD AEAD AE =+-⋅︒3219234224=+-⨯⨯=,所以2ED =三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】(Ⅰ)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (Ⅱ) 因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, cos sin 66124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭341555⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭.17．（本小题满分13分）从一批苹果中,随机抽取50个,其质量(单位:克)的频数分布表如下:(Ⅰ) 根据频率分布表计算苹果的重量在90,95的频率；(Ⅱ) 用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个,其中重量在[)80,85的有几个?(Ⅲ) 在(Ⅱ)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[)80,85和[)95,100中各有1个的概率. 【解析】(Ⅰ)依题意,苹果的重量在[)90,95的频率为202505=； (Ⅱ) 抽样比为415155=+,所以重量在[)80,85的有1515⨯=个. (Ⅲ) 设抽取的4个苹果中,重量在[)80,85的为a ,重量在[)95,100中的为,,b c d .从中任取2个,包含的基本事件有:{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d ,共6个；满足重量在[)80,85和[)95,100中各有1个的基本事件为{}{}{},,,,,a b a c a d ,共3个.所以所求概率为3162=. 18．（本小题满分13分）F ABC F DEG 图1图2如图1,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图2所示的三棱锥A BCF -,其中BC =.(Ⅰ) 证明://DE 平面BCF ； (Ⅱ) 证明:CF ⊥平面ABF ； (Ⅲ) 当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积V . 【解析】(Ⅰ)方法一:(面面平行)在图1中,因为AD AE =,AB AC =,所以AD AEAB AC=,所以//DE BC ； 由翻折的不变性可知,在图2中,//DG BF ,因为DG ⊄平面BCF ,BF ⊂平面BCF所以//DG 平面BCF ,同理可证//GE 平面BCF ,又DG GE G = ,所以平面//DGE 平面BCF 又DE ⊂平面DGE ,所以//DE 平面BCF .方法二:在图2中,由翻折不变性可知AD AE =,AB AC =,所以AD AEAB AC=,所以//DE BC , 因为DE ⊄平面BCF ,BC ⊂平面BCF ,所以//DE 平面BCF .(Ⅱ) 在图2中,因为12BF CF ==,2BC =,222BF CF BC +=,所以CF BF ⊥ 又CF AF ⊥,BF AF F = ,所以CF ⊥平面ABF .(Ⅲ) 因为//GE CF ,由(Ⅱ)知CF ⊥平面ABF ,所以GE ⊥平面ABF ,所以GE ⊥平面DGF ,依题意可得1123DG GE AD ===,236GF AF AG =-=-=,所以1123636DGF S ∆=⨯⨯=,所以三棱锥F DEG -的体积113363324V =⨯=. 20．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441n n S a n +=--,*n ∈N ,且2a 、5a 、14a 构成等比数列.（Ⅰ）证明:2a （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明:对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< . 【解析】（Ⅰ）在21441n n S a n +=--中令1n =,可得212441S a =--,而20a >,所以2a =（Ⅱ）由21441n n S a n +=--可得()214411n n S a n -=---(2n ≥).两式相减,可得22144n n n a a a +=--,即()2212n n a a +=+,因为0n a >,所以12n n a a +=+,于是数列{}n a 把第1项去掉后,是公差为2的等差数列.由2a 、5a 、14a 成等比数列可得25214a a a =,即()()2222624a a a +=+,解得23a =,由2a 11a =,于是212a a -=,所以数列{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列,所以()12121n a n n =+-=-. （Ⅲ）因为()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, 所以()1223111111111111112335212122212n n a a a a a a n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,=结合0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.21．（本小题满分14分）设函数()32f x x kx x =-+()k ∈R . (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当0k <时,求函数()f x 在[],k k -上的最小值m 和最大值M . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时, ()32f x x x x =-+,()2321f x x x '=-+因为()224310∆=--⨯⨯<,所以()0f x '>在R 上恒成立,所以()f x 在R 上单调递增. 所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞,无递减区间.(Ⅱ) ()2321f x x kx '=-+,判别式()()22243143k k ∆=--⨯⨯=-当0∆≤,即0k <时,()0f x '≥ 在R 上恒成立,所以f 所以()f x 在[],k k -上的最小值()m f k k ==,最大值M = 当0∆>,即k <,令()0f x '=得13k x =2x = 因为()2321f x x kx '=-+的对称轴为2k x =,且恒过()0,1,画出大致图像如图所示,可知120k x x <<<,当x 变化时,()f x ',()f x 的变化如下表:由表可知,()(){}2min ,m f k f x =,()(){}1max ,M f k f x =-.因为()()()()32222222210f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>,所以()m f k k ==. 因为()()()()()()23232111111210f x f k x kx x k k x k x k k ⎡⎤--=-+---=+-++<⎣⎦, 所以()32M f k k k =-=--.综上所述,当0k <时，函数()f x 在[],k k -上的最小值()m f k k ==，最大值()32M f k k k =-=--.。

2013年广东省高考数学考前专题训练三角函数近几年广东省高考数学试题中，解答题第1题，即试题的第16题都是三角函数试题，由于试题结构具有相对稳定性，估计2013年广东高考数学解答题第1题还是考查三角函数，，因此，三角函数的知识应该充分训练，力争高考中拿下满分12分。

本节内容目录一、近三年高考试题回顾 二、三角函数及其图象试题 三、三角函数与平面向量试题 四、三角函数与解三角形试题五、三角函数与三角恒等变换试题六、三角函数应用题一、近三年高考试题回顾1、（2012广东数学文）已知函数()cos()()46x f x A x R π=+∈，且()23f π=。

（1）求A 的值； （2）设,[0,]2παβ∈，43028(4),(4)31735f f ππαβ+=--=；求cos()αβ+的值【解析】（1）()2cos 2234f A A ππ=⇔=⇔=（2）43015158(4)cos()sin ,cos 3172171717f ππαααα+=-⇔+=-⇔==2843(4)c o s ,s i n 3555f πβββ-=⇔==4831513c o s ()c o s c o s s i n s i n 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=- 2、（2011广东数学文）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求(0)f 的值；（2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ+的值．解：（1）(0)2sin()16f π=-=-（2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α= 16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴212cos 1sin 13αα=-=，24sin 1cos 5ββ=-=∴5312463sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=3、（2010广东数学文）设函数()3sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以2π为最小正周期．（1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）已知94125f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin α的值． 解：（1）由已知可得：236sin3)0(==πf（2）∵)(x f 的周期为2π，即22πωπ=∴4=ω 故)64sin(3)(π+=x x f （3）∵]6)124(4sin[3)124(πππ++⨯=+a a f )2sin(3π+=a a cos 3=∴由已知得：59cos 3=a 即53cos =a∴54)53(1cos 1sin 22±=-±=-±=a a 故a sin 的值为54或54-二、三角函数及其图象试题 1、已知,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1tan()3αβ-=-．（1）求sin()αβ-的值； （2）求cos β的值．2．已知函数()())2,0,0(sin πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象的一部分如图所示.(Ⅰ)求函数()x f 的解析式; (Ⅱ)求函数())44cos(2ππ++=x x f y ])32,6[(--∈x 的最大值和最小值.3、已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．4、已知函数.20,0,),3sin()(πϕϕπ<<>∈+=A R x x A x f ，y=f(x)的部分图像如图所示，点是该图象上的一点，P,Q 分别为该图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，且 =1.(1) 求ϕ和A 的值；(2)若，求的値.5、已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示。