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2020年高考虽然延期一个月，但是练习一定要跟上，加油！一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合M={x|—1<x<2}, N={y|y=g x2—1 , x6 M},贝U M AN为A.{a|-1<a<2}B.{a|-1<a<2}C.{a|-1<a<1}D.解析：y=1x2—1, x6 （—1, 2）. 2所以y6 [—1,1）.答案：C2.设x、y6R,那么冈<1且|y|<1是0cxy<1成立的条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要解析：设x= —y=0 ,贝Uxy=0.不能推出0 Vxy <1;设x=2 , y= 1满足0c xyc 1 ,不能推出|x|< 1 且|y|< 1. 3答案：D3.不等式（x+1 ） G >0的解集是A.{x|x>1}B.{x|x>1}C.{x|x>1 或x= —1}D.{x|x>—1 或x=1}解析：.•・4~1m0,「.X AI.又,「x+1=0 ,不等式成立..Q= — 1.选C.答案：C4.已知方程x2+ (m+2) x+m+5=0有两个正实根，则实数m 的取值范围是A.m < — 2B.m w TC.m > — 5D. — 5 < m < —4A 0解析：(m 2)0 —5<m < -4.m 5 0答案：D5.已知函数y=lg (x2—2kx+k)的值域为R,则k的取值范围是A.0<k<1B.0<k<1C.kw0 或kn iD.k=0 或k>1解析：A>0 kni 或k<0.答案：C6.x、y6R, x2+y2=1 ,那么(1 —xy) (1+xy)有A.最小值3和最大值1B.最小值1和最大值14 2C.最小值-无最大值D.最小值-无最大值4 2解析：令x=cos y=sin贝U (1—xy) (1+xy) =1 —x2y2=1 —：sin228*/0<sin22 eW1, .*.-<1-1sin22 e<1. ' 4 4答案：A7.当x6 R+时，下列函数中，最小值为2的是A.y=x2-2x+4B.y=x+ -XD.y=x+ -X解析：y=x2—2x+4= (x- 1) 2+3 A3,y = X+—涌，v=收2 + , 1 —.x ：v'x22•.我2 2AJ万,「.y>2.故选D.答案：D8.已知fvxva, M=log ax2, N=log a (log ax), P= (log ax)2,则A.M >N>PB.P>M>NC.M>P>ND.N>M >P解析：,「/va,「.Ovxvavl.• Jog ax>1 , N=log a (log ax) < o ,2log ax>log a x tog ax,即M >P.. M >P>N.答案：C9.已知f (x) = a x, g (x) = b x,当f (xi) = g (X2)=3 时，xi>X2,则a与b的大小关系不可能成立的是A.b>a>1B.a>1>b>0D.b>1 >a>0C.0<a< b< 1解析：X l=log a3, X2=log b3.当b>1>a>0 时，x i<0, x2>0 与x i>x2 矛盾.选D.答案：D10.已知函数f (x)、g (x) (x6 R),设不等式|f (x) |+|g (x) |<a (a>0)的解集是M,不等式|f (x) +g (x) |<a (a>0)的解集是N,则A.N 委MB.M = NC.M ND.M^N解析：任取x0 6 M ,则|f (x0)+ g (x0)|<|f (x0)|+| g (x0)| < a.• x0 6 N .但任取xi 6 N ,有|f (x i) + g (x i) |<a,得不到|f (x i) |+| g (x i) |<a.故M N.选C.答案：Cii.某工厂第一年年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则A.x=2B.xw22 2c 、a b a bC.x> —D.x>-2-解析：A (i+x) 2= A (i+a) (i+b),・•. (i+x) 2< (i a^ b) 2.•1+x<i+ V，x&T.2 2答案：B12.线段|AB|=4 ,M为AB的中点，动点P满足条件|PA|+| PB|=6 , 当P点在同一平面内运动时，|PM|的最大值M、最小值m分别是A.M=4, m=V3B.M=3, m=75C.M=5 , m= 45D.M=3 , m=J3解析：P点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，M是其中心，由解析几何知识知选B.答案：B二、填空题(每小题4分，共16分)13.若a、b 6 R,且a+b+3= ab,则ab的取值范围是解析：ab< (3)2,「.a+b+3w (圣)2. 2 2. a+ b A6 或a+ b w —2.• .ab >9 或abw i.答案：(一00, 1] U [9, +s)14.若2x+4y = 1 ,贝U x2+y2的最小值为.解析：x2+y2= ( — 2y+ 1) 2+y2=5 y2— 2y + - =5 (y —- ) 2+ 工 A工.y y 4 y 5 20 20答案：-2015.已知偶函数f (x)在[0, +s)上为增函数，那么不等式f(x) >f (2-x)的解集是.解析：:阡(x)为偶函数，则f (|x|) >f (|2 —x|),即冈>|2 —x|,得{x|x>1}.答案：{x|x> 1}16.关于x的方程x2+ (a2— 1) x+ a—2=0的两根满足(x i — 1) (x2—1) <0,则a的取值范围是.解析：(X1—1)(X2—1) <0 一根大于1, 一根小于1.令f (x) =x2+ (a2— 1) x+ a —2 ,贝U f (1) <0.「•-2<a< 1.答案：—2<a<1三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（12分）当|x —2|<a时，不等式|x2—4|<1成立，求正数a 的取值范围.解：由|x —2|<a,得2 —a<x<2+a.由|x2—4|<1 ,得一芯 <x<- g或，3 <x< 底.(2 —a, 2+a) (―痣，—6) U (73,a 0, a 0,.. 2 a 、⑸ 2 a , 3,2 a 、,3 2 a 、5.・•.0<a< <5 - 2.18.（12分）已知a、b、c为不等正数，且abc=1 ,求证：7a + 7b + %;c1+1+1证明：结论J」+m+J c < bc + ac+ab2 - a +2 b +2 c <2bc+2 ac+2 ab.因为a、b、c为不等正数且abc=1 , 所以bc+ac>2 Jabc2=2 <c .ac +ab>2d a, ab +bc>2V b .所以 2 <a +2 而 +2 cc <2 bc +2 ac +2 ab .20. (12分)学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格买大 米，每次购进大米需支付运输劳务费 100元，已知食堂每天需用大 米1 t ,贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大 米的当天购买.(1)该食堂每隔多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的 费用最少？(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于 20 t 时，大米 价格可享受九五折优惠(即是原价的 95%),问食堂可否接受此优惠所以原不等式成立.19. （12分）解不等式组解：原不等式组可化为yy 得-1<y<2.「.y =0 或 1.,2 1时，|x 2x|V |x 11 2.0, x 2, 0; y 0.,23时，|x 2x|*解 |x 1 |1.x 0, x 2, x 1, y 0; y 0; y 1.21ny |x | 2 Q 其中x 、y 都是整数.y | x 11 2.1 2-|x 2x| 0, 2当y =0解得y 当y =1综上,x 1, y 1.条件？请说明理由.解：设该食堂每隔x 天购买一次大米，则每次购买x t,设每吨每天 所支付的费用为y 元，则(1) y = - [1500 x +100+2 (1+2+ Tx)] x =x + 100+ 1501 >1521 , x当且仅当x 二竺°,即x =10时取等号. x故该食堂每隔10天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用 最少.=x + 100 + 1426 , x函数y 在[20 , +oo)上为增函数,而1451 <1521 ,故食堂可接受粮店的优惠条件21. (12 分)设二次函数 f (x) =ax 2+bx +c(a 、b 、c6R 且 a^0),若函数y =f (x)的图象与直线y =x 和y = — x 均无公共点.(1)求证：4ac-b 2>1 ；(2)求证：对一切实数x,恒有l ax^bx +c l 〉]1^.证明：(1)方程ax 2+bx +c =x 和 ax 2+bx + c = 一x 均无实根， 即(b 1)24ac 0,① (b 1)24ac 0.②① + ②得 4ac — b 2> 1.2(2)由4ac —b 2>1,知a (x+卫)2与空一同号.2a4a(2) y=-x[1500x 0.95+100+2(1+2+ ・+x)] (x>20)- y>20+ 120+1426=1451.所以 |ax 2+ bx + c |=| a (x + 2a )22=|a (x+A 2|+|问若2|>上2a4a4a 4| a |如果|x i |<2, |x 2 —xi |=2 ,求b 的取值范围.(x) — x = ax 2+ (b —i)x +i.即 x i x 2< 2 (x i + x 2)— 4.>0, - -xi> x 2 同号.若 0<x i<2,则 x 2 —xi =2 ,.•.x 2=x i +2 >2.g ⑵ =4a +2 b-i<0.22. (14 分)已知二次函数 f (x) =ax 2+bx +c (a 、b 、 a>0),设方程f (x) =*的两个实数根为x i 、x 2.如果xi<2<x2<4,设f (x)的对称轴是X =X 0, c6 R,求证:x i x 2 x i x 2b i ai0. ax i <2< x 2<4. .二(x i — 2) (x2 —2) <0, 22+ 4ac b ।4a ।(2) 证明：设g (x) =f于是x 0= 一)=2 (x i + x 2)一i 、i—xi x 2 > 一—(x i + x 2)+2= — i (x i + x 2)+2>—i (2+4) +2= — i,-i.(2)解：由方程g (x)=ax 2+ (b-i)x +i=0 ,可知(x i + x 2)即x 0>ix i x 2=一 a又 |x2—x i|2= (x i + x2), 、22 / b i 22—4x i x2=——a--=2.a--2a+1 = v'fb―ip—i,代入①式得2 v(b 1)2 1 <3-2b.②解②得b<-. 4若一2<xi<0,则X2=—2+xi< — 2.--g ( - 2) =4 a -2b+3 < 0.将2a+1=Je 1代入③式得2 V(b D2 1 <2b — 1.④解④得b>Z. 4综上，可知b< 1或b>〈.。
高考基本不等式选填难题专练1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222ba ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab常见应用：利用不等式求函数最值、值域方法一、凑项1：已知2>x ，求函数4242−+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242−+=x x y 的最大值；方法二、凑系数1、当时，求(82)y x x =−的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y −=的最大值。
2、若02<<x ，求y x x =−()63的最大值；3、求函数)2521(2512<<−+−=x x x y 的最大值；变式：求函数)41143(41134<<−+−=x x x y 的最大值；方法三、巧用“1”的代换求最值问题1：已知22,0,=+>b a b a ，求t a b=+11的最小值；变式2：已知28,0,1x y x y>+=，求xy 的最小值变式3：已知0,>y x ，且119x y+=，求x y +的最小值方法四、分离换元法求最值1、求函数)1(11072−≠+++=x x x x y 的值域；变式：求函数)1(182>−+=x x x y 的值域；方法五、不等式转换1、已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
练习题1.若函数f (x )=12(m −2)x 2+(n −8)x +1(m ≥0,n ≥0)在区间[12,2]上单调递减，那么mn 的最大值为（ ）A.16B.18C.25D.8122.若直线x a+yb=1(a >0,b >0)过点（1,1），则a +b 的最小值为（ ）A.2B.3C.4D.53.设实数x,y 满足{2x +y ≤10x +2y ≤14x +y ≥6 ,则xy 的最大值为（ ）A.12B.14C.252D. 4924.已知a >0,b >0,ab =8,则当a 的值为______，log 2a .log 22b取得最大值5.设a,b >0,a +b =5,则√a +1+√b +3的最大值为______6.设,x y 为实数，若2241x y +=，则x y +的最大值是 ．7.已知,a b 是正实数，若22a b +≥，则（ ）A ．12ab ≥B ．22142b a +≥C ．1122a b+≥ D ．221a b +≥8.若x ，y 是实数，e 是自然对数的底数，()23ln 213x y e y x x ++−≤−++则2x y += ．9.已知,a b R ∈，222a b ab +−=，则a b +的最大值为 ，ab 的取值范围是 ．10.已知实数,x y 满足：2241x xy y ++=，则2x y +的最大值是 ．11.已知正数,x y 满足1x y +=，则11112x y+++的最小值是（ ）A ．3328B ．76C D ．6512.若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则21x y+的最小值是 ，22x yx y −+的最大值为 ．13.若不等式()222x y cx y x −≤−对满足0x y >>的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为 ．14.已知()()22log 2log 11a b −+−≥，则2a b +取到最小值时ab =（ ）A ．3B ．4C ．6D ．915.设实数a ，b 满足4a b +=，则ab 的最大值为 ，()()2211a b ++的最小值为 ．16.若关于x 的不等式1127xx λ⎛⎫ ⎪≤⎝⎭有正整数解，则实数λ的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．617.已知不等式223230bt at b +−−≤对于t ⎡∈⎣恒成立，则a b +的最小值是 ．18.已知x R ∈，y R +∈，则()22ln x e y x y +−+⎡⎤⎣⎦的最小值是 ．19.若正数,,a b c 满足2221a b c ab bc ++−−=，则c 的最大值是 ．20.已知0x >，0y >，23x y +=，则23x y xy+的最小值为（ ）A．3−B．1 C1 D121.已知0x >，0y >，()4xy x y +=，则xy 的最大值为 ，2x y +的最小值为 ．22.已知,a b R +∈且23a b +=，则12ab+的最小值是 ；2212a b +的最小值是 ．23.已知实数[],1,1x y ∈−，{},,max ,,.a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩ 则{}22max 1,2x y x y −+−的最小值为 ．24.若正实数,,a b c 满足2,2ab a b abc a b c =+=++，则c 的最大值为 ．25.设,x y 为正实数，若2241x y xy ++=，则224220115x yx xy y +++的取值范围是 ．26.已知正实数a ，b ，c ，d 满足1a b +=，1c d +=，则11abc d+的最小值是（ ）A ．10B ．9C ．D ．27.已知实数,,x y z 满足222215xy z x y z +=⎧⎨++=⎩，则xyz 的最小值为 ；此时z = ．28.若正实数a ，b ，c 满足()a a b c bc ++=，则ab c+的最大值为 ．29.已知,0x y >，且2811x y+=，则x y +的最小值为 ．30.已知正实数，b 满足：1a b +=，则222+a ba b a b++的最大值是（ ）A ．2B ．1+C ．1D ．1+31.若x,y ∈R +,且1x+2y =3,则yx的最大值为———— 32.设x,y >0,x +2y =4,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为————33.设常数a >0,若9x +a 2x≥a +1,对一切正实数x 成立，则a 的取值范围是。
2020届高考数学选择题填空题专项练习（文理通用）15比较大小第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·福建高三（理））设12a e-=，24b e -=，12c e -=，323d e -=，则a b c d ,,,的大小关系为（ ） A ．c b d a >>>B ．c d a b >>> C ．c b a d >>>D ．c d b a >>>.【答案】B 【解析】【分析】利用指数幂的运算性质化成同分母，再求出分子的近似值即可判断大小．【详解】3241e a e e ==，2416b e =，222444e c e e==，249e d e =，由于 2.7e ≈，27.39e ≈，320.09e ≈，所以c d a b >>>，故选：B ．【点睛】本题主要考查比较幂的大小，属于基础题．2．（2020·湖南高三学业考试）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（ ）.A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B 【解析】【分析】根据所给数据，分别求出平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，然后进行比较可得选项. 【详解】1(15171410151717161412)14.710a =+++++++++=，中位数为1(1515)152b =+=，众数为=17c .故选：B.【点睛】本题主要考查统计量的求解，明确平均数、中位数、众数的求解方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.（2020·四川省泸县第二中学高三月考（文））已知3log 6p =，5log 10q =，7log 14r =，则p ，q ，r 的大小关系为（ ）A ．q p r >>B ．p r q >>C ．p q r >>D ．r q p >>【答案】C 【解析】【分析】利用对数运算的公式化简,,p q r 为形式相同的表达式，由此判断出,,p q r 的大小关系.【详解】依题意得31+log 2p =，51log 2q =+，71log 2r =+，而357log 2log 2log 2>>，所以p q r >>.【点睛】本小题主要考查对数的运算公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.4. （2020·四川省泸县第四中学高三月考（理））设｛a n ｝是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件、C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】1212311101a a a a a a q a q q >⎧<<⇒<<⇒⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，所以数列｛a n ｝是递增数列,若数列{a n }是递增数列，则“a 1＜a 2＜a 3”，因此“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的充分必要条件，选C5．（2020·四川棠湖中学高三月考（文））设log a =log b =，120192018c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C 【解析】【分析】根据所给的对数式和指数式的特征可以采用中间值比较法，进行比较大小.【详解】因为20182018201811log 2018log log ,2a =>=>=201920191log log ,2b ==102019201820181c =>=，故本题选C.【点睛】本题考查了利用对数函数、指数函数的单调性比较指数式、对数式大小的问题.6．（2020·北京八十中高三开学考试）设0.10.134,log 0.1,0.5a b c ===，则 （ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>【答案】C 【解析】0.10.1341,log 0.10,00.51a b c =>=<<=<，a c b ∴>>，故选C 。
2020届高考数学选择题填空题专项练习（文理通用）14概率第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·全国高三专题练习（文））某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为15元，被随机分配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元，其4份，甲、乙、丙、丁4人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B 【解析】【分析】计算出基本事件总数及满足条件的基本事件数，代入古典概型概率计算公式，可得答案． 【详解】由题意可得，甲、乙二人抢到的金额的基本事件总数为{}3.50,4.75，{}3.50,5.37，{}3.50,1.38，{}4.75,5.37，{}4.75,1.38，{}5.37,1.38共6种，“甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元”包含{}3.50,4.75，{}3.50,5.37，{}4.75,5.37共3种，∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率3162P ==，故选：B ． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．2．（2020·河北工业大学附属红桥中学高三月考理、文）某人通过普通话二级测试的概率是14，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有1次通过的概率是A ．164B ．116C ．2764D ．34【答案】C 【解析】【分析】利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生一次的概率计算公式求解． 【详解】∵某人通过普通话二级测试的概率是14，他连线测试3次，∴其中恰有1次通过的概率是p 1231127(1)4464C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．故选：C ． 【点睛】本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意n 次独立重复试验中事件A 恰好发生一次的概率计算公式的合理运用．3．（2020·江西高三（文、理））已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989.据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.25B．0.2C．0.35D．0.4【答案】A【解析】【分析】当三次投篮恰有两次命中时，就是三个数字xyz中有两个数字在集合{}1,2,3,4，再逐个考察个数据，最后利用古典概型的概率公式计算可得．【详解】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393.共5组随机数，∴所求概率为510.25 204==.【点睛】本题主要考查了随机事件概率的含义及其运算，以及用数值表示随机事件的意义，属于基础题．4．（2020·湖南长沙一中高三月考（理））某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A．13B．14C．15D．12【答案】A【解析】【分析】根据条件概率的公式与排列组合的方法求解即可.【详解】由题意得学生甲和乙都不是第一个出场,甲不是最后一个出场的概率113333155C C A9A20P==,其中学生丙第一个出场的概率1333255C A3A20P==,所以所求概率为2113PPP==.故选：A【点睛】本题主要考查了根据排列组合的方法求解条件概率的问题,属于中等题型.5．（2020·湖南高三学业考试）在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为( )A ．35B ．65C ．125D ．185【答案】C 【解析】【分析】设阴影部分的面积约为S ，由几何概型可得1204200S =，解之可得． 【详解】由题意可得正方形的面积为2×2=4，设阴影部分的面积约为S ，则由几何概型可得1204200S =，解得S 125=故选C ． 【点睛】本题考查几何概型，考查模拟方法估计概率，属基础题．6．（2020·湖北黄冈中学高三（理））如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．1πB ．12πC ．1142π-D ．112π- 【答案】D 【解析】【分析】先设出圆O 的半径，然后算出阴影部分的面积，再计算出圆O 的面积，最后利用几何概型公式求出概率.【详解】设圆O 的半径为2，阴影部分为8个全等的弓形组成，设每个小弓形的面积为S ,则2112111424S ππ-=⋅-⨯⨯=，圆O 的面积为224ππ⋅=，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是P ，则82411442S P ππππ-===-,故本题选D. 【点睛】本题考查了几何概型，正确计算出阴影部分的面积是解题的关键，考查了数学运算能力. 7．（2020·新兴县第一中学高三期末（理））现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( )A ．710B ．35C ．12D ．25【答案】B 【解析】【分析】先由题意写出成等比数列的10个数，然后找出小于8的项的个数，代入古典概率的计算公式即可求解【详解】由题意()13n n a -=-成等比数列的10个数为：1，3-，2(3)-，39(3)(3)-⋯-其中小于8的项有：1，3-，3(3)-，5(3)-，7(3)-，9(3)-共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是63105P ==．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题8．（2020·湖南长郡中学高三月考（文、理））如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是（ ）A ．π14- B ．π12C ．π4D ．π112-【答案】A【解析】由题意,正方形的面积为22=4.圆锥的底面面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1-π4.故选A . 9．（2020·山西高三月考（理、理））圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线叫做“等宽曲线”．事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯（Reuleaux ）命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线.它的画法（如图1）：画一个等边三角形,,,ABC A B C 分别以为圆心，边长为半径，作圆弧»»»,,BCCA AB ,这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形.它的宽度等于原来等边三角形的边长.等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）.在图2中的正方形内随机取一点，则这点落在鲁列斯曲边三角形内的概率是A ．2π- B ．24π- C ．2π- D ．8π【答案】A【解析】设正方形的边长为1，则正方形的面积为1，鲁列斯曲边三角形的面积为122π-=， 10．（2020·湖南高三期末（理））世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在2019年第13届世界女排俱乐部锦标赛（俗称世俱杯）中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国女排的比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为23，该国女排获胜的概率为13，现中国女排在先胜一局的情况下获胜的概率为（ ）A ．89B ．5781C ．2481D ．19【答案】A 【解析】【分析】根据比赛情况,按照比赛总场次分类讨论.当总共比赛三场, 中国女排在先胜一局的情况下,则随后两场中国队都获胜;当总共比赛四场,则第二场或第三场中国队获胜,第四场获胜;当总共比赛五场时,则第二场、第三场、第四场中国队获胜一场,第五场中国队获胜即可.根据概率计算,将三种情况下的概率求和即可得解.【详解】每场比赛中国女排获胜的概率为23,该国女排获胜的概率为13,现中国女排在先胜一局的情况下获胜,有以下三种情况:总共比赛三场,则第二场和第三场中国队获胜,所以此种情况下中国队获胜概率为224339⨯=总共比赛四场,则第二场或第三场中国队获胜,该国胜一场.且第四场中国队获胜,则此种情况下中国队获胜的概率为12212833327C ⎛⎫⎛⎫⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，总共比赛五场,则第五场中国队获胜,第二场、第三场、第四场中国队获胜一场,此种情况下的概率为2132********C ⎛⎫⎛⎫⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以中国队获胜的概率为4848927279++=，选:A 【点睛】本题考查了分类讨论求符合要求条件的概率,注意分类讨论要全面,属于中档题.11．（2020·广西柳州高级中学高三开学考试（文、理））不透明的箱子中有形状、大小都相同的5个球，其中2个白球，3个黄球．现从该箱子中随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为（ ）A ．310B ．25C ．35D ．710【答案】C 【解析】【分析】先求出基本事件总数2510n C ==,这2个球颜色不同包含的基本事件个数11236M C C ==，由此能求出这2个球颜色不同的概率．【详解】设2只白球分别为1A 2A ，3只红球分别为1B ，2B ，3B ，从5只球中随机摸两只球， 其可能结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 共10个．两只球颜色不同包含的基本事件有{}{}{}{}{}{}111213212223,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B 共6个，所以所求概率为：60.610P ==，故选C ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 12．（2020·广西柳州高级中学高三开学考试（文、理））关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对()x y ，，再统计其中x ，y 能与1构成钝角三角形三边的数对()x y ，的个数m ，最后根据统计个数m 估计π的值．如果统计结果是34m =，那么可以估计π的值为（ ）A ．237B ．4715C ．1715D ．5317【答案】B 【解析】【分析】由试验结果知120对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足0101x y ≤<⎧⎨≤<⎩，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足221x y +<且0101x y ≤<⎧⎨≤<⎩， 1x y +>，面积为142π-，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值． 【详解】由题意，120名同学随机写下的实数对()x y ，落在由0101x y <<⎧⎨<<⎩的正方形内，其面积为1．两个数能与1构成钝角三角形应满足2211x y x y +>⎧⎨+<⎩且0101x y <<⎧⎨<<⎩，此为一弓形区域，其面积为142π-．由题意134421120π-=，解得4715π=，故选B ． 【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题．第II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考数学选择、填空题专项训练(共40套)三基小题训练一一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数y =2x +1的图象是 （ ）2.△ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为 （ ）A.6556B.－6556C.－6516D. 65163.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.多于34.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ）A.f (x ·y )=f (x )·f (y )B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y )D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（ ） A.2B.22C.4D.810.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）A.P 点B.Q 点C.R 点D.S 点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲成绩（秒） 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙成绩（秒）1212.412.81312.212.812.312.5根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________. 答案：一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B二、13.（21，1） 14.6 15. 21三基小题训练二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不 同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA 共线的向量共有（ ）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( )A ． 21B ． 1C ． 2D ． 43．若(3a 2 －312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ． 6D ． 84． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ． 203B ． 103C ． 201D ． 1015．抛物线y 2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（ ） A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（ ） A.（a ，－b ） B.（－a ，b ） C.（b ，－a ） D.（－b ，－a ）7. 如果S =｛x ｜x =2n +1,n ∈Z ｝,T =｛x ｜x =4n ±1,n ∈Z ｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S ≠T8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ; (2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.2EF DOC BA10．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.(－∞，4)B.(－4，4]C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)11．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（ ）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定12．若α是锐角，sin(α－6π)=31,则cos α的值等于 A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．在等差数列｛a n ｝中，a 1=251,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________.14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB 1与CA 1所成的角为 。
2020年高考数学试题分项版——不等式（解析版）一、选择题1．(2020·新高考全国Ⅰ，11)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2答案 ABD解析 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤14.对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故A 正确；对于B,2a －b ＝22a －1＝12×22a ，因为a >0，所以22a >1，即2a －b >12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 214＝－2，故C 错误；对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 得a ＋b ≤2，故D 正确．2．(2020·新高考全国Ⅱ，12)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2 答案 ABD解析 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤14.对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故A 正确；对于B,2a －b ＝22a －1＝12×22a ，因为a >0，所以22a >1，即2a －b >12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 214＝－2，故C 错误；对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 得a ＋b ≤2，故D 正确．3．(2020·浙江，3)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 如图，l 1：x －3y ＋1＝0，l 2：x ＋y －3＝0.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．设初始直线为l ：y ＝－12x ，直线l 通过向上平移经过可行域内的第一个点为l 1与l 2的交点P (2,1)， 因此z 的最小值z min ＝2＋2×1＝4， 所以z ≥4. 二、填空题1．(2020·全国Ⅰ理，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ＋1≥0，则z ＝x ＋7y 的最大值为________． 答案 1解析 画出可行域如图阴影部分所示．由z ＝x ＋7y ，得y ＝－17x ＋17z .平移直线l 0：y ＝－17x ，可知当直线y ＝－17x ＋17z 过点A 时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，即A (1,0)， ∴z max ＝1＋7×0＝1.2．(2020·全国Ⅲ理，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，2x －y ≥0，x ≤1，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案 7解析 作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．z ＝3x ＋2y 可化为y ＝－32x ＋12z ，作直线y ＝－32x ，并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，z 最大，z max ＝7.3．(2020·天津，14)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为________．答案 4解析 因为a >0，b >0，ab ＝1， 所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4， 当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即a ＋b ＝4时，等号成立． 故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. 4．(2020·江苏，12)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． 答案 45解析 方法一 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1， 可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝⎛⎭⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45， 当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号．所以x 2＋y 2的最小值为45.方法二 设x 2＋y 2＝t >0，则x 2＝t －y 2. 因为5x 2y 2＋y 4＝1， 所以5(t －y 2)y 2＋y 4＝1， 所以4y 4－5ty 2＋1＝0. 由Δ＝25t 2－16≥0， 解得t ≥45⎝⎛⎭⎫t ≤－45舍去. 故x 2＋y 2的最小值为45.5．(2020·浙江，9)已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x －a )(x －b )(x －2a －b )≥0，则( )A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0 答案 C解析 由题意，知a ≠0，b ≠0，则方程(x －a )(x －b )(x －2a －b )＝0的根为a ，b,2a ＋b . ①a ，b,2a ＋b 均为不同的根，则不等式可标根为图(1)， 此时应满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0，2a ＋b <0，可得a <0，b <0.②a ，b,2a ＋b 中有两个根为相等的根，则 (ⅰ)a ＝2a ＋b >0，即b ＝－a <0，此时(x －a )2(x ＋a )≥0，如图(2)，符合题意．(ⅱ)a ＝b <0，此时(x －a )2(x －3a )≥0，如图(3)，符合题意．综合①②，可知b <0符合题意．6．(2020·全国Ⅰ文，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ＋1≥0，则z ＝x ＋7y 的最大值为________． 答案 1解析 画出可行域如图阴影部分所示．由z ＝x ＋7y ，得y ＝－17x ＋17z .平移直线l 0：y ＝－17x ，可知当直线y ＝－17x ＋17z 过点A 时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，即A (1,0)， ∴z max ＝1＋7×0＝1.7．(2020·全国Ⅱ文，15)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥－1，x －y ≥－1，2x －y ≤1，则z ＝x ＋2y 的最大值是________．答案 8解析 作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．z ＝x ＋2y 可变形为y ＝－12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝－12x ，并平移，可知当直线过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，2x －y ＝1，得A (2,3)， 所以z max ＝2＋2×3＝8.8．(2020·全国Ⅲ文，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，2x －y ≥0，x ≤1，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案 7解析 作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．z ＝3x ＋2y 可化为y ＝－32x ＋12z ，作直线y ＝－32x ，并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，z 最大，z max ＝7. 三、解答题1．(2020·全国Ⅰ理，23)[选修4—5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|3x ＋1|－2|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式f (x )>f (x ＋1)的解集．解 (1)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≥1，5x －1，－13<x <1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位长度， 可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示，由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.由图象可知当且仅当x <－76时，y ＝f (x )的图象在y ＝f (x ＋1)的图象上方．所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－76. 2．(2020·全国Ⅱ理，23)[选修4—5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4的解集； (2)若f (x )≥4，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2x ，x ≤3，1，3<x ≤4，2x －7，x >4.因此，不等式f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤32或x ≥112. (2)因为f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1| ≥|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2，故当(a －1)2≥4，即|a －1|≥2时，f (x )≥4. 所以当a ≥3或a ≤－1时，f (x )≥4.当－1＜a ＜3时，f (a 2)＝|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2＜4. 所以a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 3．(2020·全国Ⅲ理，23)[选修4—5：不等式选讲] 设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1. (1)证明：ab ＋bc ＋ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)．∵abc ＝1，∴a ，b ，c 均不为0，∴a 2＋b 2＋c 2>0， ∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)<0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a >0，b <0，c <0， ∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝(b ＋c )2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc ≥2bc ＋2bcbc＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号， ∴a ≥34，即max{a ，b ，c }≥34.4．(2020·江苏，21)C ．[选修4－5：不等式选讲] 设x ∈R ，解不等式2|x ＋1|＋|x |<4.解 当x >0时，原不等式可化为2x ＋2＋x <4， 解得0<x <23；当－1≤x ≤0时，原不等式可化为2x ＋2－x <4， 解得－1≤x ≤0；当x <－1时，原不等式可化为－2x －2－x <4， 解得－2<x <－1.综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2<x <23. 5．(2020·全国Ⅰ文，23)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|3x ＋1|－2|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式f (x )>f (x ＋1)的解集．解 (1)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≥1，5x －1，－13<x <1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位长度， 可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示：由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.由图象可知当且仅当x <－76时，y ＝f (x )的图象在y ＝f (x ＋1)的图象上方．所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－76. 6．(2020·全国Ⅱ文，23)[选修4—5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4的解集； (2)若f (x )≥4，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2x ，x ≤3，1，3<x ≤4，2x －7，x >4.因此，不等式f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤32或x ≥112. (2)因为f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1| ≥|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2，故当(a －1)2≥4，即|a －1|≥2时，f (x )≥4. 所以当a ≥3或a ≤－1时，f (x )≥4.当－1＜a ＜3时，f (a 2)＝|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2＜4. 所以a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 7．(2020·全国Ⅲ文，23)[选修4－5：不等式选讲] 设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1. (1)证明：ab ＋bc ＋ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)．∵abc ＝1，∴a ，b ，c 均不为0， ∴a 2＋b 2＋c 2>0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)<0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a >0，b <0，c <0， ∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝(b ＋c )2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc ≥2bc ＋2bcbc＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号， ∴a ≥34，即max{a ，b ，c }≥34.。
2020年高考数学试题及答案仅供参考一、选择题1.函数f(x)=2sin(ωx φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f(x)的递增区间是()A.[6k-1,6k 2](kZ)B.[6k-4,6k-1](kZ)C.[3k-1,3k 2](kZ)D.[3k-4,3k-1](kZ)答案：B解题思路：|AB|=5，|yA-yB|=4，所以|xA-xB|=3，即=3，所以T==6，ω=.由f(x)=2sin过点(2，-2)，即2sin=-2,0≤φ≤π，解得φ=.函数f(x)=2sin，由2kπ-≤x ≤2kπ，解得6k-4≤x≤6k-1，故函数的单调递增区间为[6k-4,6k-1](kZ).2.已知函数y=Asin(ωx φ) k的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x=是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为()A.y=4sinB.y=2sin 2C.y=2sin 2D.y=2sin 2答案：D解题思路：由题意：解得：又函数y=Asin(ωx φ) k最小正周期为，ω==4， f(x)=2sin(4x φ) 2.又直线x=是f(x)图象的一条对称轴，4×φ=kπ，φ=kπ-，kZ，故可得y=2sin 2符合条件，所以选D.3.当x=时，函数f(x)=Asin(x φ)(A>0)取得最小值，则函数y=f 是()A.奇函数且图象关于点对称B.偶函数且图象关于点(π，0)对称C.奇函数且图象关于直线x=对称D.偶函数且图象关于点对称答案：C解题思路：由已知可得f=Asin φ=-A，φ=-π 2kπ(kZ)，f(x)=Asin，y=f=Asin(-x)=-Asin x，函数是奇函数，关于直线x=对称.4.将函数y=sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是()A. B.C. D.答案：A解题思路：将函数y=sin图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得y=sin，再向右平移个单位，得y=sin=sin 2x，令2x=kπ，kZ可得x=kπ，kZ，即该函数的对称中心为，kZ，故应选A.5.已知函数f(x)=sin(xR，ω>0)的部分图象如图所示，点P是图象的最高点，Q是图象的最低点，且|PQ|=，则f(x)的最小正周期是()A.6πB.4πC.4D.6答案：D解题思路：由于函数f(x)=sin，则点P的纵坐标是1，Q的纵坐标是-1.又由|PQ|==，则xQ-xP=3，故f(x)的最小正周期是6.6.设函数f(x)=sin x cos x，把f(x)的图象按向量a=(m,0)(m>0)平移后的图象恰好为函数y=-f′(x)的图象，则m的最小值为()A. B.C. D.答案：C解题思路：f(x)=sin x cos x=sinx ，y=-f′(x)=-(cos x-sin x)=sin，将f(x)的图象按向量a=(m,0)(m>0)平移后得到y=sin的图象， sin=sin.故m= 2kπ，kN，故m的最小值为.二、填空题7.函数f(x)=Asin(ωx φ) k的图象如图所示，则f(x)的表达式是f(x)=______.答案：sin 1解题思路：据图象可得A k=，-A k=-，解得A=，k=1，又周期T=2=πω=2，即此时f(x)=sin(2x φ) 1，又由f=-，可得φ=，故f(x)=sin 1.三、解答题10.已知a=(2cos x 2sin x,1)，b=(y，cos x)，且a∥b.(1)将y表示成x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期;(2)记f(x)的最大值为M，a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f=M，且a=2，求bc的最大值.解析：(1)由a∥b得，2cos2x 2sin xcos x-y=0，即y=2cos2x 2sin xcos x=cos 2x sin 2x 1=2sin 1，所以f(x)=2sin 1.又T===π，所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)由(1)易得M=3，于是由f=M=3，即2sin 1=3sin=1，因为A为三角形的内角，所以A=.由余弦定理a2=b2 c2-2bccos A得4=b2 c2-bc≥2bc-bc=bc，解得bc≤4，于是当且仅当b=c=2时，bc取得最大值，且最大值为4.11.已知f(x)=sin cos sin 2x，x[0，π].(1)求函数f(x)的最小正周期和单调区间;(2)若ABC中，f=，a=2，b=，求角C.解析：(1)因为f(x)=sin cos sin 2x=sin 2x·cos cos 2x·sin cos 2x·cos sin 2x·sin sin 2x=sin 2x cos 2x cos 2x-sin 2x sin 2x=sin 2x cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.因为x[0，π]，所以2x ，当2x ，即x时，函数f(x)为单调递增函数;当2x ，即x时，函数f(x)为单调递减函数;当2x ，即x时，函数f(x)为单调递增函数.所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)因为在ABC中，f=，所以sin=，所以sin=1，因为0又因为a=2，b=，所以由正弦定理=，得=，所以sin B=，即B=或B=，所以C=或C=.。
专题11 不等式、推理与证明、算法初步、复数1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若z =1+i ，则|z 2–2z |= A ．0 B ．1CD ．2【答案】D【解析】由题意可得：2i (2i)(12i)5ii 12i (12i)(12i)5----===-++-，则()222212z z i i -=-+=-. 故2222z z -=-=. 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题. 2．【2020年高考全国III 卷理数】复数113i-的虚部是 A ．310- B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【解析】因为i i i i 1131313(13)(i 13)1010z +===+--+， 所以复数113i z =-的虚部为310. 故选：D ．【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3．【2020年新高考全国Ⅰ】2i12i-=+ A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i【答案】D【解析】2(2)(12)512(12)(i i i ii i 12)i i 5----===-++- 故选：D【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.4．【2020年高考北京】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅= A ．1i 2+ B ．2i -+C ．12i -D ．2i --【答案】B【解析】由题意得12i z =+，i i 2z ∴=-.故选：B ．【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．【2020年新高考全国Ⅰ】已知a >0，b >0，且a +b =1，则 A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥-D 【答案】ABD【解析】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD.【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.6．【2020年高考浙江】若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．(,4]-∞B ．[4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(,)-∞+∞【答案】B【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：1122y x z =-+， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程：31030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2214z =+⨯= 且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是[)4,+∞. 故选：B【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A ．14 B ．12C ．14D ．12【答案】C【解析】如图，设,CD a PE b ==，则PO ==由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得b a =负值舍去). 故选：C ．【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 8．【2020年高考浙江】设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y ∈S ，若x ≠y ，则xy ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ．下列命题正确的是 A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素 C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素 D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 【答案】A【解析】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项D ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32ST =，包含5个元素，排除选项C ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈， 若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p p p p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i qp i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A ．【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.9．【2020年高考全国II 卷理数】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0-1序列12na a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是A ．11010B ．11011C ．10001D ．11001【答案】C【解析】由i m i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.10．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为 . 【答案】1【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7z x y =+即：1177y x z =-+， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：22010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得点A 的坐标为：1,0A ，据此可知目标函数的最大值为：max 1701z =+⨯=. 故答案为：1．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.11．【2020年高考全国III 卷理数】若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，，则32z x y =+的最大值为__________．【答案】7【解析】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ， 所以max 31227z =⨯+⨯=. 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.12．【2020年高考全国II 卷理数】设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z，12i z z +=+，则12||z z -=__________．【答案】【解析】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++= 2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-====故答案为：方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 由已知1232OZ OZ OP =+===,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解.13．【2020年高考江苏】已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 ▲ ．【答案】3【解析】∵复数()()i 12i z =+- ∴2i i i 2i 23z =-+-=+ ∴复数的实部为3. 故答案为：3.【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．14．【2020年高考江苏】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴42222221144+5555y y x y y y y -+=+=≥=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy+的最小值为45. 故答案为：45. 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；三相等是，最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立).15．【2020年高考江苏】如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.【答案】3-【解析】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-. 故答案为：3-【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.16．【2020年高考天津】i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 【答案】3i 2-【解析】()()()()828151032222i i i ii i i i 5----===-++-. 故答案为：3i 2-.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题. 17．【2020年高考天津】已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4 【解析】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号， 结合1ab =,解得22a b ==+，或22a b =+=. 故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”合理变换是解题的关键，属于基础题.1．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考】设z =，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】1i 21z ===++， ∴在复平面内z对应的点的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，位于第一象限． 故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 2．【辽宁省锦州市黑山县黑山中学2020届高三6月模拟考试数学】复数()311i iz =--(i 是虚数单位)，则z的共轭复数为 A ．2i -+ B ．2i --C ．23i -+D ．2i +【答案】A【解析】∵()()()()32211i 1i 1ii 21i 2i i i iiz =--=---=--+=--， ∴2i z =-+. 故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的四则运算和共轭复数，考查运算求解能力，是基础题.3．【山东省日照五莲县丶潍坊安丘市、潍坊诸城市、临沂兰山区2020届高三6月模拟数学试题】若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数12z z = A ．1- B ．1C ．3455i -+ D ．3455-i 【答案】C【解析】依题意可得22i z =--，所以122i (2i)(2i)34i 2i 555z z ---+===-+--， 故选：C ．【点睛】本题考查了复数的几何意义和复数的乘除法运算，属于基础题.4．【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】在复平面内，若复数342i 2iz =++所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第四象限D ．虚轴【答案】C【解析】因为3422=4i i iz =++-,所以在复平面上，复数z 表示的点是()41-，,在第四象限， 故选C ．【点睛】本题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题.5．【广东省深圳市高级中学2020届高三下学期5月适应性考试数学】设i 为虚数单位，复数2(i 1)8i 1z -+=+的实部为 A ．5 B ．5-C ．3-D ．3【答案】D【解析】()2i 12i -=-，()()()()82i i 182i 610i35i i 1i 1i 12z ----====-++-，实部为3， 故选：D ．【点睛】本题考查复数的概念和复数的运算，属于基础题.6．【河北省衡水中学2020届高三下学期(5月)第三次联合考试数学】已知复数2i (2)z =+，则z 的虚部为A ．3B ．3iC ．4D ．4i【答案】C【解析】2(2i)34i z =+=+，所以z 的虚部为4. 故选：C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题.7．【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】设i 是虚数单位，若复数z 满足()i i 11z -=+，则其共轭复数z = A ．i B ．i -C ．1i -+D ．1i --【答案】A【解析】()()()21i 1i2i i i 1i 1i 21z ++===--+=--，所以i z =， 故选：A ．【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的共轭复数，属于基础题目.8．【河北省衡水中学2020届高三下学期第九次调研数学】已知复数2(1i)i(1i)z +=-，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为iB ．2z =C ．z 的共轭复数1i z =-+D ．2z 为纯虚数【答案】D【解析】()()()222i 1i (1i)12i i 2i 22i====1i i(1i)i+11i 1i 1i 2z -++++==+-++-,z 的虚部为1,z =1i z =-,()22i 12i =z +=.故选:D ．【点睛】本题考查复数的乘除运算,考查复数的概念,难度容易.9．【广西来宾市2019-2020学年高三5月教学质量诊断性联合考试数学】已知复数1023i iz =-+(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数是 A ．33i -- B ．33i +C ．1513i 44-- D ．1513i 44+ 【答案】B 【解析】1010(3i)10(3i)2i 2i 2i 3i 2i 33i 3i (3i)(3i)10z --=-=-=-=--=-++-， 33i z ∴=+.故选：B【点睛】本题考查复数的除法运算，还考查了求共轭复数，属于基础题.10．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学】已知复数z 满足i 4zi=-(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为 A ．4i B ．4C ．1D ．1-【答案】B 【解析】由i 4iz=-，得2i(4i)4i i 14i z =-=-=+． ∴复数z 的虚部是4．故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 11．【2020届四川省成都市石室中学高三下学期5月月考数学】复数23i32iz -=+，则z z ⋅= A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】C【解析】(23i)(32i)13ii (32i)(32i)13z ---===-+-，i z ∴=，∴1z z ⋅=.故选：C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题. 12．【河南省名校联盟2020届高三5月质量检测数学】已知复数z 2ia=+-1(i 为虚数单位，a ∈R )为纯虚数，则实数a = A ．52B ．52-C ．0D ．2【答案】B【解析】∵z ()()()2i 2511i 2i 2i 2i 55a a a a ++=+=+=+--+为纯虚数，∴250505a a +⎧=⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，解得a 52=-. 故选B ．【点睛】本题考查了根据复数的类型求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.13．【广东省深圳外国语学校2020届高三下学期4月综合能力测试数学】已知集合{}2230A x x x =--≥，202x B x x ⎧⎫+=∈≤⎨⎬-⎩⎭Z ，则A B =A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．{}2,1--D ．{}1,2-【答案】C 【解析】{}{22301A x x x x x =--≥=≤-或}3x ≥，{}{}20222,1,0,12x B x Z x Z x x ⎧⎫+=∈≤=∈-≤<=--⎨⎬-⎩⎭，因此，{}2,1A B =--.故选：C ．【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式与分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.14．【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学】若1,01a c b ><<<，则下列不等式不正确的是A ．20192019log log a b >B ．log log c b a a >C ．()()cbc b a c b a ->-D ．()()cba c a a c a ->-【答案】D【解析】因为1,01a c b ><<<，所以0a c ->，考查指数函数(1)xy a a =>，所以()()c b c ba a a c a a c a ⇔<-<-，所以D 不正确.【点睛】本题考查不等式的基本性质及指数函数的单调性，求解时注意利用分析法判断不等式的正确性.15．【辽宁省葫芦岛市2020届高三5月联合考试数学】某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是 A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【解析】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确. 故选C ．【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.16．【2020届河南省商丘周口市部分学校联考高三5月质量检测数学】宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a 为松长、b 为竹长，则矩形框与菱形框处应依次填A ．2a a a =+；a b <B ．2aa a =+；a b < C ．2a a a =+；a b ≥ D ．2aa a =+；a b > 【答案】B【解析】松日自半，则表示松每日增加原来长度的一半，即矩形框应填2aa a =+；何日竹逾松长，则表示竹长超过松长，即松长小于竹长，即菱形框应填ab <. 故选：B【点睛】本小题主要考查补全程序框图，属于基础题.17．【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】圆224610x y x y ++-+=关于直线()800,0ax by a b -+=>>对称，则32a b+的最小值是A ．B ．3C ．154D【答案】B【解析】根据圆的方程可知，圆心坐标为()2,3C -，而直线经过圆心，所以2380a b --+=， 得238a b +=，因为0,0a b >>，所以()3213214312312+388289b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯+≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B ．【点睛】本题考查圆的对称性，基本不等式的应用，关键在于巧妙地运用“1”，构造基本不等式，属于中档题.18．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考(三诊)数学】2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异，去年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵，他们是由军事科学院，国防大学，国防科技大学联合组建，若已知甲，乙，丙三人来自上述三所学校，学位分别有学士、硕士、博士学位，现知道：①甲不是军事科学院的，②来自军事科学院的均不是博士，③乙不是军事科学院的，④乙不是博士学位，⑤来自国防科技大学的是硕士，则甲是来自哪个院校的，学位是什么A．国防大学，博士B．国防科技大学，硕士C．国防大学，学士D．军事科学院，学士【答案】A【解析】由①③可知，丙是军事科学院的.进而由②④可知，乙丙不是博士，故甲是博士.进而由⑤可知甲不是来自国防科技大学，所以甲来自国防大学.所以甲来自国防大学，学位是博士.故选A．【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题.19．【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】运行如图所示的程序算法，则输出的结果为A．2B．12C．13D．132【答案】A【解析】当2a =时， 1k =；当132a =时，3k =； 当132132a ==时，5k =；…；当132a =时，99k =，当2a =时，101k =，跳出循环； 故选:A ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序发现a 值出现的周期性的变化是解题的关键，属于基础题.20．【广西来宾市2019-2020学年高三5月教学质量诊断性联合考试数学】设实数,x y 满足不等式组4,2,4,x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪⎩则11y z x +=+的最小值为 A ．13B ．15C ．13-D ．12-【答案】B【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示， 目标函数11y z x +=+表示平面区域内的点(,)x y 与(1,1)D --连线的斜率， 则11y z x +=+的最小值为()()011415CDk --==--.故选：B 【点睛】本题考查线性规划问题中分式型目标函数求最值问题，属于简单题.21．【河北省衡水中学2020届高三下学期第二次调研数学】执行如图所示的程序框图，输出的结果是A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】1i =，12n =， 第一次循环： 8n =，2i =， 第二次循环：31n =，3i =， 第三次循环：123n =，4i =， 第四次循环：119n =，5i =，第五次循环：475n =，6i =，停止循环， 输出6i =. 故选B ．【点睛】本题考查了循环结构流程图和条件结构流程图，属于基础题.22．【广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研数学】执行如图的程序框图，如果输入的k ＝0.4，则输出的n ＝A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得k ＝0.4，S ＝0，n ＝1， S 11133==⨯， 不满足条件S ＞0.4，执行循环体，n ＝2，S 11113352=+=⨯⨯(1111335-+-)25=， 不满足条件S ＞0.4，执行循环体，n ＝3，S 11111335572=++=⨯⨯⨯(11111133557-+-+-)37=， 此时，满足条件S ＞0.4，退出循环，输出n 的值为3. 故选：C ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.23．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学】下列程序框图的算法思想源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入16a =，10b =，则程序中需要做减法的次数为A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】由16a =，10b =，满足a b ，满足a b >，则16106a =-=；满足a b ，不满足a b >，则1064b =-=； 满足a b ，满足a b >，则642a =-=； 满足a b ，不满足a b >，则422b =-=； 不满足ab ，则输出2a =；则程序中需要做减法的次数为4， 故选：C ．【点睛】本题主要考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．24．【甘肃省西北师大附中2020届高三5月模拟试卷】“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入2020m =，303n =时，则输出的m 是A ．2B ．6C ．101D ．202【答案】C【解析】输入2020m =，303n =，又1r =． ①10r =>，202r =，303m =，202n =； ②2020r =>，3032021101÷=，101r =，202m =，101n ；③1010r =>，0r =，101m =，0n =；④0r =，则0r >否，输出101m =. 故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图和计算程序框图的输出值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 25．【重庆市第一中学2019-2020学年高三下学期期中数学】冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪. 下边程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的i =A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】由题意，第一次循环，12S Z ∉，35116S =⨯+=，011i =+=，1S ≠； 第二次循环，12S Z ∈，11682S =⨯=，112i =+=，1S ≠； 第三次循环，12S Z ∈，1842S =⨯=，213i =+=，1S ≠；第四次循环，12S Z ∈，1422S =⨯=，314i =+=，1S ≠；第五次循环，12S Z ∈，1212S =⨯=，415i =+=，1S =；此时输出5i =. 故选：B【点睛】本题考查循环结构程序框架图的应用，属于基础题.26．【重庆市南开中学2019-2020学年高三下学期线上期中数学】若某程序框图如图所示，则输出的S 的值是A ．31B ．63C ．127D ．255【答案】C【解析】第一次运行，1i =，0S =，8i <成立，则2011S =⨯+=，112i =+=； 第二次运行，2i =，1S =，8i <成立，则2113S =⨯+=，213i =+=； 第三次运行，3i =，3S =，8i <成立，则2317S =⨯+=，314i =+=； 第四次运行，4i =，7=S ，8i <成立，则27115S =⨯+=，415i =+=； 第五次运行，5i =，15S =，8i <成立，则215131S =⨯+=，516i =+=； 第六次运行，6i =，31S =，8i <成立，则231163S =⨯+=，617i =+=； 第七次运行，7i =，63S =，8i <成立，则2631127S =⨯+=，718i =+=； 第八次运行，8i =，127S =，8i <不成立， 所以输出S 的值为127. 故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时，一定要注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时，一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.27．【重庆市南开中学2019-2020学年高三下学期第六次教学质量检测数学】数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的一种拉丁方阵，是一种运用纸、笔进行演算的数学逻辑游戏.如图就是一个迷你数独，玩家需要根据66⨯盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(32⨯)内的数字均含16-，每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现，则图中的a b c d +++=A ．11B ．13C ．15D ．17【答案】D【解析】由题意，如图，从第二列出发，由于每行每列都有1—6，所以第4行第2列为2，第4行第6列为5，所以4610b d +=+=，第2行第3列为6，第5行第3列为4，第5行第5列为6，第3行第5列为4，第3行第1列为5，所以167a c +=+=， 所以a b c d +++=17. 故选：D【点睛】本题考查推理与证明中的合情推理，考查学生分析，观察，判断等能力，是一道容易题.28．【河北省衡水中学2020届高三下学期(5月)第三次联合考试数学】要使得满足约束条件42y xy x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩，的变量,x y 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为 A ．4x y +≤ B ．4x y +C ．6x y +D ．6x y +【答案】C【解析】根据正方形的性质可设新增加的约束条件为x y c +，两组对边的距离相等，故d ===，所以6c =或2c =-(舍去). 如图所示故选:C ．【点睛】本题考查二元不等式组表示的平面区域，两平行线间的距离公式的应用，属于基础题. 29．【2020届华大新高考联盟高三4月教学质量测评数学】执行如图所示的程序框图，设输出数据构成集合A ，从集合A 中任取一个元素m ，则事件“函数()2f x x mx =+在[)0,+∞上是增函数”的概率为A ．14B ．12C ．34D ．35【答案】C【解析】当20x y =-⇒=； 当2111x y =-+=-⇒=-； 当1100x y =-+=⇒=； 当0113x y =+=⇒=； 当1128x y =+=⇒=； 当213x =+=，退出循环. 所以{}0,1,3,8A =-，又函数()2f x x mx =+在[)0,+∞上是增函数，所以002mm -≤⇒≥. 函数()2f x x mx =+在[)0,+∞上是增函数的概率为34. 故选：C ．【点睛】本题主要考查了当型循环结构，以及与集合和古典概型相结合等问题，属于基础题． 30．【江西省景德镇市2019-2020学年高三第三次质检数学】科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是( )(取lg30.4771≈，lg 20.3010≈)A ．16B ．17C ．24D ．25【答案】B【解析】设初始长度为a ，各次构造后的折线长度构成一个数列{}n a ， 由题知143a a =，143n n a a +=，则{}n a 为等比数列，4()3n n a a ∴=⋅，假设构造n 次后，折线的长度大于初始线段的100倍，即4()1003n n a a => ， 43lg100log 100lg 4lg 3n ∴>=-，lg100216lg 4lg 320.30100.4771=≈-⨯-17n ∴≥【点睛】本题考查了图形的归纳推理，等比数列的实际应用，指数不等式的求解，考查了数形结合的思想.其中对图形进行归纳推理，构造等比数列是关键.属于中档题.。
【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕1、全集U R =，集合{}0x x A =≤，{}1x x B =>-，那么集合A B =I 〔 〕A 、{}10x x -<≤B 、{}10x x -≤≤C 、{}10x x x ≤->或D 、{}10x x x ≤-≥或2、设()102,0x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，那么()2f f -=⎡⎤⎣⎦〔 〕A 、1-B 、14 C 、12D 、323、以下命题中，真命题是〔 〕 A 、0R x ∃∈，00x e ≤ B 、R x ∀∈，22x x > C 、0a b +=的充要条件是1a b=- D 、1a >，1b >是1ab >的充分条件4、设()sin f x x x =-，那么()f x 〔 〕A 、既是奇函数又是减函数B 、既是奇函数又是增函数C 、是有零点的减函数D 、是没有零点的奇函数5、()f x 是R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，()()lg 3f x x x =--，那么()1f =〔 〕A 、0B 、lg 3C 、lg 3-D 、lg 4-6、函数()321f x x ax x =-+--在R 上是单调函数，那么实数a 的取值范围是〔 〕A 、(),33,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣UB 、3,3⎡⎤-⎣⎦C 、()(),33,-∞-+∞UD 、()3,3- 7、假设()2x x e e f x --=，()2x x e e g x -+=，那么()2f x 等于〔 〕 A 、()2f x B 、()()2f x g x +⎡⎤⎣⎦ C 、()2g x D 、()()2f x g x ⋅8、函数()2log 2x f x =的图象大致是〔 〕A 、B 、C 、D 、9、函数()22ln f x x x bx a =+-+〔0b >，R a ∈〕在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是〔 〕A 、22B 、2C 、3D 、110、定义在R 上的函数()f x 满足：()()()111f x f x f x -=+=-成立，且()f x 在[]1,0-上单调递增，设()3a f =，b f =，()2c f =，那么a 、b 、c 的大小关系是〔 〕A 、a b c >>B 、a c b >>C 、c b a >>D 、b c a >>11、定义在R 上的函数()f x 满足()()6f x f x +=，当[)3,1x ∈--时，()()22f x x =-+，当[)1,3x ∈-时，()f x x =，那么()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+=〔 〕A 、336B 、355C 、1676D 、201512、函数()2,0ln ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩〔R k ∈〕，假设函数()y f x k =+有三个零点，那么实数k 的取值范围是〔 〕A 、2k ≤B 、2k ≤-C 、21k -≤≤-D 、10k -<<【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．〕13、151lg 2lg 222-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ ． 14、假设命题〝R x ∃∈，使得22390x ax -+<成立〞为假命题，那么实数a 的取值范围是 ．15、假设函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩〔0a >且1a ≠〕的值域是[)4,+∞，那么实数a 的取值范围是 ．16、函数()()221sin 1x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，那么m M += ．参考答案【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，总分值20分．〕13、1- 14、⎡-⎣ 15、(]1,2 16、2。
C、31 ［-］选择题〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分.在每题 给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的J1、 集合M = {*<4} , N = {A -|A -<1},那么M N=（〕A 、< x < 1}B 、{x|x<-2}C 、{x|x<l}D 、{x|x < 2}2、 设7是虚数单位，假设复数z 满足z （l + z ） = l-z ,那么复数Z 的模忖=（〕A 、-1B 、1C % V2D 、23、 在 AABC 中，ZA = 45 , ZC = 105 , BC = V2 ,那么边长 AC 为（ 〕A 、V3-1B 、1C 、2D 、V3+14、椭圆C 的中心在原点,焦点在询上,离心率等瑞,且它的-个顶点恰好是抛物线x 2=8V3y 的焦点，那么椭圆C 的标准方程为〔D 、6、将函数/（x ） = sin （2x + 0）〔岡＜兰〕的图象向左平移兰个单位后的图2 6形关于原点对称，那么函数/（对在］o,彳上的最小值为〔〕A 、逅B 、丄C 、-丄 2 2 2〕 5、以下程序框图中，输出的A 的值是1 1 B、 292 2 —116 12A 、28面区域D 有公共点，那么k 的取值范围是〔〕1 —00, -------3A, [-3,3] B 、 1—,+oo3C 、（-co,-3][3,+oojD、_1 19、某几何体的三视图如下图，图中的四边形都是 边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，那么该几 何体的体积是〔〕A 空 、3C 、8--6X 10、 p 16 B ' TD 、8--3(i-V^)4的展开式中x 的系数是〔A 、1C 、3D 、122 211 % 如图，F ］、F,是双曲线二•—需=1〔a>0 , b>0〕 a_b~的左、右焦点，过耳的直线/与双曲线的左右两支分别 交于点A 、B •假设AABF 2为等边三角形，那么双曲线 的离心率为〔〕A 、4x+ y <18、不等式组.x-v>-l 所表示的平面区域为D ，假设直线 y = kx-3 与平y>02man正祝RBD 、Vs12、函数f(x) = h X + U~l，那么方程f(x) = ax恰有两个不同的实根时，In x, x > 1实数d的取值范围是〔〕[=1填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分J13、a G(0,7T), COS6Z =—, 那么sin (” - a) = __________ .14、在AABC 中，ZB = 90 , AB = BC = 1 ,点M 满足BM = 2AM ,那么CM CA = ________ .15、如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点，那么该点落在阴影部分中的概率为____________ .16、直三棱柱ABC-ARG中，ZBAC = 90，侧面Bee"的面积为2 ,那么直三棱柱ABC-ARG外接球表面积的最小值参考答案[-1选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的J题号123456789101112答案A B B D C D A C A C B B【二】填空题〔本大共4小题，每题5分，总分值20分J13、f14、3。
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。
高考数学解不等式基本训练题及参考答案一、选择题(1)不等式6x 2+5x <4的解集为（ ） A (-∞,-34)∪(21,+∞) B (- 34,21) C (- 21,43) D (-∞,-21)∪(34,+∞) (2)a >0,b >0,不等式a >x1>-b 的解集为（ ） A -b 1 <x <0或0<x <a 1 B - a 1<x <b1 C x <-b 1或x >a 1 D - a 1<x <0或0<x <b 1 (3)不等式11+x (x -1)(x -2)2(x -3)<0的解集是（ ） A (-1,1)∪(2,3) B (-∞,-1)∪(1,3)C (-∞,-1)∪(2,3)D R(4)若a >0,且不等式ax 2+bx +c <0无解,则左边的二次三项式的判别式（）A Δ<0B Δ=0C Δ≤0D Δ>0(5)A={x |x 2+(p +2)x +1=0,x ∈R },且R *∩A=∅,则有（ ）A p >-2B p ≥0C -4<p <0D p >-4(6)θ在第二象限,cos θ=524+-m m ,sin θ=53-+m m ,则m 满足（ ） A m <-5或m >3 B 3<m <9 C m =0或m =8 D m =8(7)已知不等式l o g a (x 2-x -2)>l o g a (-x 2+2x +3)在x =49时成立,则不等式的解集为 A {x |1<x <2} B {x |2<x <25} C {x |1<x <25} D {x |2<x <5} (8)设0<b <21,下列不等式恒成立的是（ ） A b 3>b 21B l o g b (1-b )>1 C cos(1+b )>cos(1-b ) D (1-b )n <b n ,n ∈N (9)若不等式x 2-l o g a x <0在(0,21)内恒成立,则a 满足（ ） A 16≤a <1 B 16<a <1 C 0<a ≤161 D 0<a <161 (10)不等式112+<-x x 的解集是（ ）A ［0,1］B ［0,+∞］C (1,+∞)D -1,1］ (11)不等式112)21(--<x x 的解集是（ ） A B (1,2) C (2,+∞) D (1,+∞) (12)不等式(x -1)2+x ≥0的解集是（ ） A {x |x >1} B {x |x ≥1或x =-2} C {x |x ≥1} D {x |x ≥-2且x ≠1}(13)函数f (x )=822--x x 的定义域为A ,函数g(x )=a x --11的定义域为B ,则使A ∩B=∅,实数a 的取值范围是（ ） A {a |-1<a <3} B {a |-2<a <4}C {a -2≤a ≤4}D {a |-1≤a ≤3}(14)关于x 的不等式22x a -<2x +a (a >0)的解集为（ ） A (0,a ) B (0,a ］ C ∞)∪(-∞,-54 a ) D ∅ 二．填空题(15)不等式1≤|x -2|≤7的解集是(16)不等式x1>a 的解集是 (17)不等式lg|x -4|<-1的解集是(18)不等式xb c -<a (a >0,b >0,c >0)的解集是 (19)若不等式43)1(22+++--x x a ax x <0的解为-1<x <5,则a = (20)不等式1lg -x <3-lg x 的解集是(21)函数f (x )=l o g 2(x 2-4),g(x )=2k x 2-(k <-1),则f (x )g(x )的定义域为 三、解答题（22）解下列不等式(1)(x +4)(x +5)2>(3x -2)(x +5)2；(2)1)3()4)(1(2+---x x x x ≤0；(3)45820422+-+-x x x x ≥3（23）设不等式(2x -1)>m (x 2-1)对满足|m |≤2的一切实数m 的值都成立,求x 的取值范围解不等式练习题参考答案：1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．D 7．B8．C 9．A 10．A 11．D 12．B 13．D 14．B15．［-5,1］∪［3,9］16．a =0时x >0;a >0时,0<x <a 1;a <0时,x <a 1或x >0 17．{x |4<x <1041或1039<x <4} 18．{x |x <b 或x >b -ac } 19．4 20．10≤x <100 21．［2k -2)∪(2,+∞) 22．解:(1)当x ≠-5时,(x +5)2>0,两边同除以(x +5)2得x +4>3x -2, 即x <3且x ≠-5；∴x ∈(-∞,-5)∪(-5,3)(2)当x ≠4时,原不等式⇔(x -1)(x -3)(x +1)≤0(x ≠-1) ⇔1≤x ≤3或x <-1,当x =4时,显然左边=0,不等式成立故原不等式的解集为{x |1≤x ≤3或x <-1或x =4}(3)原不等式可化为451820422+-+-x x x x -3≥00456522≥+-+-⇔x x x x 0)4)(1()3)(2(≥----⇔x x x x ∴x ∈(-∞,1)∪［2,3］∪(4,+∞) 23．解:①若x 2-1=0,即x =±1,且2x -1>0,即x >21时,此时x =1,原不等式对|m |≤2恒成立;②若x 2-1>0,要使1122--x x >m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x >2,即 ⎩⎨⎧->->-22120122x x x 得1<x 23 ③若x 2-1<0时,要使1122--x x <m ,对|m |≤2恒成立,只要1122--x x <-2,即 ⎩⎨⎧+->-<-22120122x x x 得271+-<x <1 综合①②③得,所求x 的范围为271+-<x 23。
基本不等式--历年高考题汇编一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）1.已知过点(1,3)的直线l的倾斜角为135°，设点(x,y)是直线l在第一象限内的部分上的一点，则1x +4y的最小值是()A. 92B. 2 C. 94D. 42.已知正数x，y满足x+4y=2，则x+40y+43xy的最小值为()A. 852B. 24C. 20D. 183.设x>0、y>0、z>0，则三个数1x +4y、1y+4z、1z+4x()A. 都大于4B. 至少有一个大于4C. 至少有一个不小于4D. 至少有一个不大于4二、填空题（本大题共13小题，共65.0分）4.设x，y∈R+且1x +4y=2，则x+y的最小值为______．5.若2a+b=2(a>0,b>0)，则1a +1b的最小值是______．6.函数y=x2+6x2+1的最小值是______．7.已知x>0，y>0，x+2y=1，则2x +1y的最小值为______．8.已知a>3，则4a−3+a−316的最小值为______．9.已知m+n=2，其中mn>0，则1m +1n的最小值为______．10.若正数a，b满足ab−2a−b=0，则ab的最小值为______．11.已知a+b=4，则2a+2b的最小值为______．12.设a+b=2，b>0，则14|a|+2|a|b的最小值为______．13.已知x>0，y>0，x+2y+2xy=3，则x+2y的最小值为______．14.已知x，y∈R+，求z=(x+2y)(2x +4y)的最值．甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：甲：z=(x+2y)(2x+4y)=2+4x y+4y x+8≥18乙：z=(x+2y)(2x +4y)≥2√2xy⋅2√8xy=16①你认为甲、乙两人解法正确的是______．②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确．15.已知a，b∈R，且a−2b+8=0，则2a+14b的最小值为______．16.若a，b均为正实数，则ab+ba2+b2+1的最大值为______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17.已知a，b为正整数，且a+b=1，求证：1a +1b≥4．18.已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ=m⋅2t+21−t(t≥0，并且m>0)．(1)如果m=2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．19.已知函数f(x)=m−|2−x|，且f(x+2)>0的解集为(−1,1)．(1)求m的值；(2)若正实数a、b，满足a+2b=m.求1a +12b的最小值．20.已知函数f(x)=|x−1|−|x+a|(a∈N∗)，f(x)≤2恒成立．(1)求a的值；(2)若正数x，y满足1x +2y=a.证明：1xy+x+12y≥√2答案和解析1.【答案】C【解析】解：过点(1,3)的直线l 的倾斜角为135°，可得直线方程：y −3=−(x −1)，化为：x +y =4． 设点(x,y)是直线l 在第一象限内的部分上的一点，∴x +y =4，且x ，y >0．则1x +4y =14(x +y)(1x +4y )=14(5+y x +4x y )≥14(5+2√y x ⋅4x y )=94，当且仅当y =2x =83时取等号． 故选：C ．过点(1,3)的直线l 的倾斜角为135°，可得直线方程：x +y =4.再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 本题考查了直线方程、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵正数x ，y 满足x +4y =2，12x +2y =1，∴x+40y+43xy=x+40y+2x+8y 3xy =3x+48y 3xy =x+16y xy =1y +16x ， ∴1y +16x =(1y +16x )(12x +2y)=10+x 2y +32y x ≥10+2√x 2y ⋅32y x =10+8=18， 当且仅当x 2y =32y x 时，x =43，y =16 故x+40y+43xy 的最小值为18，故选：D ．由题意可得x+40y+43xy =1y +16x ，再利用乘“1”法，根据基本不等式即可求出本题主要考查了基本不等式的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：假设三个数1x +4y <4且1y +4z <4且1z +4x <4，相加得：1x+4x +1y +4y +1z +4z <12，由基本不等式得： 1x+4x ≥4；1y +4y ≥4；1z +4z ≥4； 相加得：1x +4x +1y +4y +1z +4z ≥12，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数1x +4y 、1y +4z 、1z +4x 至少有一个不小于4．故选：C ．由题意知利用反证法推出矛盾，即可得正确答案．本题考查反证法和基本不等式的应用，属于简单题．4.【答案】92【解析】解：∵x ，y ∈R +且1x +4y =2，∴x +y =12(x +y)(1x +4y) =52+2x y +y 2x ≥52+2√2x y ⋅y 2x =92 当且仅当2x y =y 2x 即x =32且y =3时取等号，∴x +y 的最小值为92故答案为：92由题意可得x +y =12(x +y)(1x +4y )=52+2x y +y 2x ，下面由基本不等式可得． 本题考查基本不等式，变形为基本不等式的情形是解决问题的关键，属基础题．5.【答案】32+√2【解析】解：2a +b =2(a >0,b >0)，则1a +1b =(1a +1b )(a +b 2)=1+12+b 2a +a b ≥32+2√b 2a ⋅a b =32+√2， 当且仅当b 2a =a b 时，即a =2−√2，b =2√2−2时取等号，故1a +1b 的最小值是32+√2，故答案为：32+√2利用乘“1”法，可得1a +1b =(1a +1b )(a +b 2)=1+12+b 2a +a b ，再根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，考查了转化与划归思想，属于基础题 6.【答案】2√6−1【解析】解：y =x 2+6x 2+1=x 2+1+6x 2+1−1≥2√(x 2+1)⋅6x 2+1−1=2√6−1，当且仅当x 2=√6+1时取等号， 故答案为：2√6−1．由y =x 2+6x 2+1=x 2+1+6x 2+1−1，根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．7.【答案】8【解析】解：∵2x +1y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8(当且仅当x=12，y=14时取等)故答案为：8先变形：2x +1y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy，然后根据基本不等式可求得最小值．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．8.【答案】1【解析】解：∵a>3，∴a−3>0，∴4a−3+a−316≥2√4a−3⋅a−316=1，当且仅当4a−3=a−316，即a=11时取等号，故答案为：1根据基本不等式即可求出最小值．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．9.【答案】2【解析】解：∵m+n=2，其中mn>0，则1m +1n=12(m+n)(1m+1n)=12(2+nm+mn)≥12(2+2)=2当且仅当m=n=1时取得最小值2．故答案为：2．由已知可得，1m +1n=12(m+n)(1m+1n)，利用基本不等式即可求解本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题关键是对应用条件的配凑，1的代换是求解条件配凑的关键10.【答案】8【解析】解：∵正数a，b满足ab−2a−b=0，∴ab=2a+b≥2√2ab，∴a2b2≥8ab，∴ab≥8．∴ab的最小值为8．故答案为：8．推导出ab=2a+b≥2√2ab，从而a2b2≥8ab，由此能求出ab的最小值．本题考查两数积的最小值的求法，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】8【解析】解：∵a+b=4，∴2a+2b≥2√2a+b=2√24=8，当且仅当a=b=2时取等号，∴2a+2b的最小值为8．故答案为：8．利用基本不等式直接求解．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．12.【答案】78【解析】解：a+b=2，b>0，则14|a|+2|a|b=a+b8a|+2|a|b=a8|a|+b8|a|+2|a|b≥a8|a|+2√b8|a|⋅2|a|b=a8|a|+1≥−18+1=78．当且仅当b8|a|=2|a|b，a<0且a+b=2即a=−23，b=83时取等号．故答案为：78．由已知可得，14|a|+2|a|b=a+b8a|+2|a|b=a8|a|+b8|a|+2|a|b，利用基本不等式即可求解本题主要考查了基本不等式在求解最值的应用，基本不等式条件的配凑是求解本题的难点．13.【答案】2【解析】解：考察基本不等式：x+2y=3−x⋅(2y)≥3−(x+2y2)2(当且仅当x=2y时取等号)，整理得：(x+2y)2+4(x+2y)−12≥0，即：(x+2y−2)(x+2y+6)≥0，又：x+2y>0，所以：x+2y≥2(当且仅当x=2y时取等号)，则：x+2y的最小值是2．故答案为：2．首先分析题目由已知x >0，y >0，x +2y +2xy =3，求x +2y 的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a +b ≥2√ab 代入已知条件，化简为函数求最值．此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a +b ≥2√ab 在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．14.【答案】甲【解析】解：①甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同；②已知x ，y ∈R +，求z =(a +b)(1a +1b )的最小值．甲：z =(a +b)(1a +1b )=1+b a +a b +1≥4，乙：z =(a +b)(1a +1b )≥2√ab ⋅2√1a ⋅1b=4． 故填甲．乙解法中两次不等式取等条件不同，故乙错误．本题考查了基本不等式及其应用，属中档题． 15.【答案】18【解析】解：∵a −2b +8=0，则2a +14b ≥2√2a ⋅14b =2√2a−2b =2√2−8=18 当且仅当a =−2b 即b =2，a =−4时取等号，故答案为：18．由基本不等式可得，2a +14b ≥2√2a ⋅14b ，结合已知即可求解． 本题主要考查了指数的运算性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．16.【答案】√22【解析】解：∵a 2+12b 2≥2√a 2⋅b 22=√2ab ，当且仅当a =√22b 时取等号， 12b 2+1≥2√12b 2=√2b ，当且当且仅当b =√2时取等号， ∴ab+b a 2+b 2+1=ab+b a 2+b 22+b 22+12≤√2ab+√2b =√2=√22，当且仅当a =1，b =√2时取等号， 故ab+b a 2+b 2+1的最大值为√22， 故答案为：√22由：a2+12b2≥2√a2⋅b22=√2ab，当且仅当a=√22b时取等号，12b2+1≥2√12b2=√2b，当且当且仅当b=√2时取等号，即可求出答案．本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题．17.【答案】证明：∵a，b为正整数，且a+b=1，∴1a+1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba +ab≥2+2√ba⋅ab=4，当且仅当ba =ab即a=b=12时取等号．【解析】由题意可得1a +1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba+ab，由基本不等式可得．本题考查不等式的证明，涉及基本不等式求最值问题，属基础题．18.【答案】解：(1)依题意可得5=2⋅2t+21−t，即2⋅(2t)2−5⋅2t+2=0．亦即(2⋅2t−1)(2t−2)=0，又∵t≥0，得2t=2，∴t=1．故经过1分钟该物体的温度为5摄氏度．(2)问题等价于m⋅2t+21−t≥2(t≥0)恒成立．∵m⋅2t+21−t=m⋅2t+2⋅2−t≥2√2m，①∴只需2√2m≥2，即m≥12．当且仅当12⋅2t=2⋅2−t，即t=1时，①式等号成立，∴m的取值范围是[12,+∞)．【解析】(1)将m=2，θ=5代入θ=m⋅2t+21−t(t≥0)解指数方程即可求出t的值；(2)问题等价于m⋅2t+21−t≥2(t≥0)恒成立，求出m⋅2t+21−t的最小值，只需最小值恒大于等于2建立关系，解之即可求出m的范围．本题主要考查了不等式的实际应用，以及恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵f(x+2)=m−|x|∴由f(x+2)>0得|x|<m．由|x|<m有解，得m>0，且其解集为(−m,m)又不等式f(x+2)>0解集为(−1,1)，故m=1；(2)由(1)知a+2b=1，又a，b是正实数，由基本不等式得1a +12b=(1a+12b)(a+2b)=1+1+2ba+a2b≥4当且仅当a=12,b=14时取等号，故1a +12b的最小值为4．【解析】(1)由f(x+2)>0得|x|<m.由|x|<m有解，得m>0，且其解集为(−m,m)，根据解集为(−1,1)可得m；(2)由(1)知a+2b=1，则1a +12b=(1a+12b)(a+2b)然后利用基本不等式求解即可．本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式，属基础题．20.【答案】解：(1)由f(x)=|x−1|−|x+a|≤|x−1−x−a|=|a+1|，又f(x)≤2恒成立，∴|a+1|≤2，∴−3≤a≤1，∵a∈N∗，∴a=1；(2)由(1)知1x +2y=1，∴2x+y=xy，∴1xy +x+12y=1xy+12xy≥2√1xy⋅12xy=√2．【解析】(1)由f(x)=|x−1|−|x+a|≤|x−1−x−a|=|a+1|，结合已知可求a，(2)由(1)知1x +2y=1，从而有2x+y=xy，然后利用基本不等式可证．本题主要看考查了绝对值不等式的性质及基本不等式的应用，属于基础试题。
【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕1、集合{}21x x A =-<<，{}220x x x B =-≤，那么A B =I 〔 〕A 、{}01x x <<B 、{}01x x ≤<C 、{}11x x -<≤D 、{}21x x -<≤2、复数212i i +=-〔 〕 A 、()22i + B 、1i + C 、iD 、i -3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，那么a 的值为〔 〕A 、14B 、112-C 、14或112-D 、14-或1124、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，假设59S S =，那么当n S 最大时，n =〔 〕A 、6B 、7C 、10D 、95、执行如下图的程序框图，要使输出的S 值小于1，那么输入的t 值不能是下面的〔 〕A 、2012B 、2013C 、2014D 、20156、以下命题中正确命题的个数是〔 〕①对于命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，那么:p ⌝R x ∀∈，均有210x x +-> ②p 是q 的必要不充分条件，那么p ⌝是q ⌝的充分不必要条件 ③命题〝假设x y =，那么sin sin x y =〞的逆否命题为真命题 ④〝1m =-〞是〝直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直〞的充要条件A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，假设粗线画出的是某几何体的三视图，那么此几何体的体积为〔 〕A 、6B 、8C 、10D 、128、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，假设F 3d B ≥，那么双曲线离心率的取值范围是〔 〕A 、(1,2⎤⎦ B 、)2,⎡+∞⎣ C 、(]1,3 D 、)3,⎡+∞⎣9、不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x -+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，那么P ∈B 的概率为〔 〕A 、932B 、732C 、916D 、71610、设二项式12n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭〔n *∈N 〕展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，那么1212n n a a a b b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+〔 〕A 、123n -+B 、()1221n -+C 、12n +D 、111、数列{}n a 满足3215334n a n n m =-++，假设数列的最小项为1，那么m 的值为〔 〕A 、14B 、13C 、14- D 、13- 12、函数())()()0ln 10x f x x x ≥=⎪--<⎩，假设函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，那么k 的取值范围为〔 〕A 、()0,1B 、10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C 、1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、()1,+∞【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．〕13、向量a r ，b r 满足1a =r，b =r ()()2a b a b +⊥-r r r r ，那么向量a r 与b r 的夹角为 ．14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =o ，C C A =B =，14AA =，那么这个球的表面积为 ． 15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案〔用数字作答〕．16、函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+〔0ϕπ<<〕的图象关于直线1x =对称，那么sin 2ϕ= ．参考答案【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，总分值20分．〕13、90o 14、64π 15、84 16、45-。
2020高考数学选填题专项测试01（基本不等式）（文理通用）第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2020·河北高三期末（文））已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的（ ）A ．最大值为4-B ．最小值为4C ．最小值为4-D ．最大值为4或4-【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式可用1a 表示出d .由数列单调递增可得10a <.用1a 表示出3a ,结合基本不等式即可求得最值.【详解】因为122a a =-，由等差数列通项公式,设公差为d ,可得()112a a d +=-，变形可得112d a a =--因为数列{}n a 为递增数列,所以1120d a a =-->，即10a <，而由等差数列通项公式可知312a a d =+ ()11111242a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由10a ->,140a >-结合基本不等式可得 ()()311114424a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-≥-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a =-时取得等号，所以3a 的最小值为4。
【点睛】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用,基本不等式在求最值中的用法,属于中档题.2．（2020·山西高三期末（理））若方程ln x m =有两个不等的实根1x 和2x ，则2212x x +的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．)2,+∞C ．()2,+∞D ．()0,1【答案】C 【解析】【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围.【详解】因为ln x m =两个不等的实根是1x 和2x ，不妨令()()120,1,1,x x ∈∈+∞，12,Inx m Inx m =-= 故可得()120In x x =，解得211x x =，则2212x x +=221122111122x x x x +>⋅=，故选：C. 【点睛】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题.3．（2020·海南高三月考）已知,a b ∈R ，且240a b +-=，则24a b +的最小值为（ ）A ．4B ．42C ．8D ．2【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式即可求得结果.【详解】由240a b +-=得：24a b +=，2224242222222228a b a b a b a b +∴+=+≥⋅===（当且仅当222a b =，即2a b =时取等号）故答案为：8【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，属于基础题. 4．（2020·内蒙古高三期末）2291sin cos αα+的最小值为（ ） A ．2 B ．16C ．8D ．12【答案】B 【解析】【分析】利用22sin cos 1αα+=将2291sin cos αα+变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值. 【详解】∵22sin cos 1αα+=，∴()2222229191sin cos sin cos sin cos αααααα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222sin 9cos 1010616cos sin αααα=+++=…，当且仅当23sin 4α=，21cos 4α=时“=”成立，故2291sin cos αα+的最小值为16.【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题.5．（2020·广东中山纪念中学高三月考（文、理））已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ）A ．20B ．24C ．28D ．32【答案】A 【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出.详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4∴+=+++-x y x y 116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++ 22226(2)46(224202222y x y x x y x y ++++=++-≥+⋅-=++++ 当且仅当10x y ==时取等号. x y ∴+的最小值为20.故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.6．（2020·海南中学高三月考）当(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．(2,)-+∞B ．(22,)+∞C ．(0,)+∞D ．(2,)-+∞【答案】D 【解析】【分析】将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可. 【详解】当(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，等价于2m x x ⎛⎫>-+⎪⎝⎭在(1,2)x ∈时恒成立 即等价于2max m x x ⎡⎤⎛⎫>-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；而因为(1,2)x ∈，故22222x x x x ⎛⎫-+≤-⋅=- ⎪⎝⎭,当且仅当2x x =时取得最大值.故：22m >-【点睛】本题考查二次函数在区间上的恒成立问题，分离参数，转化为最值问题，是一般思路；本题中还涉及利用均值不等式求最值.属综合题.7.（2020·天水市第一中学高三月考（文））已知0,0a b >>，若不等式313na b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ）A ．9B ．12C ．16D ．20【答案】C 【解析】【分析】可左右同乘3a b +，再结合基本不等式求解即可 【详解】Q 0,0a b >>，()313133n a b n a b a b a b ⎛⎫+≥⇔++≥ ⎪+⎝⎭，()31333339110216b a b a a b a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故16n ≤。
2020届高考数学选择题填空题专项练习（文理通用）11基本不等式第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2020·河北高三期末（文））已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的（ ）A ．最大值为4-B ．最小值为4C ．最小值为4-D ．最大值为4或4-【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式可用1a 表示出d .由数列单调递增可得10a <.用1a 表示出3a ,结合基本不等式即可求得最值.【详解】因为122a a =-，由等差数列通项公式,设公差为d ,可得()112a a d +=-，变形可得112d a a =--因为数列{}n a 为递增数列,所以1120d a a =-->，即10a <，而由等差数列通项公式可知312a a d =+ ()11111242a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由10a ->,140a >-结合基本不等式可得 ()31144a a a ⎛⎫=-+-≥= ⎪⎝⎭，当且仅当12a =-时取得等号，所以3a 的最小值为4。
【点睛】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用,基本不等式在求最值中的用法,属于中档题.2．（2020·山西高三期末（理））若方程ln x m =有两个不等的实根1x 和2x ，则2212x x +的取值范围是（ ）A ．()1,+∞ B ．)+∞C ．()2,+∞D ．()0,1【答案】C 【解析】【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围.【详解】因为ln x m =两个不等的实根是1x 和2x ，不妨令()()120,1,1,x x ∈∈+∞，12,Inx m Inx m =-=故可得()120In x x =，解得211x x =，则2212x x +=212112x x +>=，故选：C. 【点睛】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题.3．（2020·海南高三月考）已知,a b ∈R ，且240a b +-=，则24a b +的最小值为（ ）A ．4 B．C ．8D ．2【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式即可求得结果.【详解】由240a b +-=得：24a b +=，224228a b a b ∴+=+≥===（当且仅当222a b =，即2a b =时取等号）故答案为：8【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，属于基础题. 4．（2020·内蒙古高三期末）2291sin cos αα+的最小值为（ ）A ．2B ．16C ．8D ．12【答案】B 【解析】【分析】利用22sin cos 1αα+=将2291sin cos αα+变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值. 【详解】∵22sin cos 1αα+=，∴()2222229191sin cos sin cos sin cos αααααα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222sin 9cos 1010616cos sin αααα=+++=…，当且仅当23sin 4α=，21cos 4α=时“=”成立，故2291sin cos αα+的最小值为16.【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题.5．（2020·广东中山纪念中学高三月考（文、理））已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ）A ．20B ．24C ．28D ．32【答案】A【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出. 详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4∴+=+++-x y x y 116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号. x y ∴+的最小值为20.故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.6．（2020·海南中学高三月考）当(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．(2,)-+∞B ．)+∞C ．(0,)+∞D ．()-+∞【答案】D 【解析】【分析】将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可. 【详解】当(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，等价于2m x x ⎛⎫>-+⎪⎝⎭在(1,2)x ∈时恒成立即等价于2max m x x ⎡⎤⎛⎫>-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；而因为(1,2)x ∈，故2x x ⎛⎫-+≤-=- ⎪⎝⎭,当且仅当2x x =时取得最大值.故：m >-【点睛】本题考查二次函数在区间上的恒成立问题，分离参数，转化为最值问题，是一般思路；本题中还涉及利用均值不等式求最值.属综合题.7.（2020·天水市第一中学高三月考（文））已知0,0a b >>，若不等式313na b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ）A ．9B ．12C ．16D ．20【答案】C 【解析】【分析】可左右同乘3a b +，再结合基本不等式求解即可【详解】Q 0,0a b >>，()313133n a b n a b a b a b ⎛⎫+≥⇔++≥ ⎪+⎝⎭，()31333911016b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故16n ≤。
【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题8．（2020·四川石室中学高三月考（文、理））设0x >，0y >，且1142x y+=，422log log z x y =+，则z 的最小值是（ ）A ．4-B ．3-C ．2log 6-D ．232log 8【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式可求出xy 的最小值，利用换底公式以及对数的运算律可得出z 的最小值.【详解】0x Q >，0y >，且1142x y +=，1142x y ∴=+≥=2≤， 18xy ∴≥，当且仅当2x y =时取等号.42222212log log log log log log 38z x y x y xy =+=+=≥=-，则z的最小值是3-.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了换底公式以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.9．（2020·广东高三月考（文））如图，三棱锥P ABC -的四个顶点恰是长、宽、高分别是m ，2，n 的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（ ）A ．2563πB C ．323πD ．36π【答案】C 【解析】【分析】根据三棱锥的体积关系可得6mn =,根据三棱锥与长方体共外接球,长方体的对角线就是外接球的直径可得2R =,根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值.【详解】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为n ,所以112232n m ⋅⋅⋅⋅=,所以6mn =,又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线,设外接球的半径为R ,所以2R ,所以24R ≥==,当且仅当m n ==时,等号成立,，所以2R ≥,所以该三棱锥外接球体积为343R π3432233ππ≥⨯=.故选:C 【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式,球的体积公式,长方体的对角线长定理,基本不等式,属于中档题. 10. （2020·江苏南京师大附中高三月考）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边另别是,,a b c ，已知2222sin sin sin 3sin A B A B C ++=，则sin C 的最大值为（ ）A ．6B ．3C ．6D ．6【答案】A 【解析】【分析】由已知可得22223a b c ++=，结合余弦定理，求出cos C 用,a b 表示，用基本不等式求出cos C 的最小值，即可求解.【详解】2222sin sin sin 3sin A B A B C ++=,由正弦定理得22223a b c ++=，由余弦定理得2223336cos c a b ab C =+-，226cos 2ab C a b =+，26cos a b C C b a =+≥当且仅当a =时，等号成立，sin C ∴=所以sin C 的最大值为6. 【点睛】本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解三角形，应用基本不等式求最值，属于中档题.11.（2020·天水市第一中学高三月考（理、文））实数,x y 满足条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩.当目标函数(),0z ax by a b =+>在该约束条件下取到最小值4时，12a b+的最小值为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．2【答案】D 【解析】【分析】先将目标函数化为a zy x b b=-+，由题中约束条件作出可行域，结合图像，由题意得到24a b +=，再由1211214(2)2244⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b ，结合基本不等式，即可求出结果. 【详解】由z ax by =+得a z y x b b =-+，因为,0a b >，所以直线的斜率为0ab-<， 作出不等式10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩对应的平面区域如下：由图像可得：当直线a z y x b b =-+经过点A 时，直线a zy x b b=-+在y 轴截距最小，此时z 最小。
由10230x y x y --=⎧⎨--=⎩解得21x y =⎧⎨=⎩，即(2,1)A ，此时目标函数(),0z ax by a b =+>的最小值为4，即24a b +=，所以(12112141(2)2242444⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b . 当且仅当4b aa b =，即12a b =⎧⎨=⎩时，等号成立.故选：D【点睛】本题主要考查简单线性规划与基本不等式的综合，熟记基本不等式，会求解简单的线性规划问题即可，属于常考题型.12.（2020·内蒙古高三期末（文、理））已知01x <<，01y <<，则）A B ．C D ．【答案】B 【解析】2+≥x y ，再利用不等式的基本性质，两边分别相加求解。
