分式方程(2)

求原计划每天能加工多少个零件？ 解：设原计划每天能加工x个零件， 可得： 解得：x=6，
360 360 10 ， x 1.2 x
经检验x=6是原方程的解， 所以原计划每天能加工6个零件． 【思路点拨】关键描述语为：“提前10天完成任务”；等量关系 为：原计划天数=实际生产天数+10．
知识回顾
探究三：列分式方程解决简单的实际问题
活动2 例1 某学校为绿化环境，计划种植600棵树，实际劳动中每小
时植树的数量比原计划多20%，结果提前2小时完成任务，求
原计划每小时种植多少棵树？ 解：设原计划每小时种植x棵树， 依题意得：
解得 x=50．
600 600 = 2， x 120% x
经检验 x=50 是所列方程的根，并符合题意． 所以原计划每小时种植50棵树．
4500 ，再根据等量关系：第二批进的件数=第一 x 10 2500 ， x
售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，可列不等式求解．
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究三：列分式方程解决简单的实际问题
练习：东营市某学校 2015年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购 买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种 足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一 个甲种足球多花20元． (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； (2)2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次 购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调 整，甲种足球售价比第一次购买时提高了 10%，乙种足球售价比第 一次购买时降低了 10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不 超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？

2
3
m
思考：（1）分式方程在什么情况下无解？
（2）分式方程的增根来自于哪个方程？
（3）将你的想法在小组内交流。
（4）解出本题
考考你
x3 m 有增根，求m 若关于x的方程 的值. x2 x2
你做对了吗？
自我挑战
问题2：若关于x的方程 x 有解，求k的取值范围。 1 x 1
x
k
16.3分式方程（2）
分式方程的解法
复习：解分式方程的步骤是？
解分式方程的一般步骤如下：
分式方程
目标
去分母
整式方程
解整式方程
x=a
检验
a是分式 方程的解
最简公分 母不为0
最简公 a不是分式 分母为0 方程的解
解下列分式方程
（1）
（2）
1 x5 4x 1 x4
x x 1
1
3 ( x 1)( x 2 )
2
思考：（1）分式方程在什么情况下有解？ （2）将你的想法在小组内交流。 （3）解出本题
检测反馈
1.关于x的分式方程 a=
a x a x 1 2
的根是-1，则
2.若关于的方程 x 3 m 有解，则m的取值范 围是 x 2 2 x
3.解方程：
7
2
x x

6 x 1
2

1 xx
小组交流：（1）由上面两个方程化得的整 式方程的解是否都是原分式方程的解？ （2）解分式方程时一定要做什么？怎么做？
练一练
1.
x x2 6 x2 1
2.
5x 4 x2

4 x 10 3x程 无解， x 1 x 1 x 1 求m的值。

10.5分式方程（2）（教案）主备人：殷雯 审核人：王太广【教学目标】1、会解可化为一元一次方程的较为复杂的分式方程；2、经历解分式方程的过程，探究分式方程产生增根的原因，感受验根的必要性。

3、归纳分式方程的一般解法和步骤．【教学重难点】探究分式方程产生增根的原因．【教学过程】一、 复习回顾：1、 什么是分式方程？2、 解分式方程的一般步骤？练习：解下列分式方程：（1）542332x x x +=-- （2）544101236x x x x -+=---问：分式方程544101236x x x x -+=---与方程3(54)410(36)x x x -=+--的解相同吗？二、探索活动：讨论：为什么（2）中求得的根x =2不适合原分式方程？分式方程的增根：如果变形后的方程求得的根不适合原方程，那么这种根叫做原方程的增根．问：（1）你认为在解分式方程的过程中，哪一步变形可能引起增根？（2）你认为在解分式方程的过程中，增根产生的原因是什么？（3）你能用较便捷的方法检验解分式方程产生的增根吗？三、例题讲解：例1、解下列分式方程：（1） (2)归纳小结：解分式方程的一般步骤1x 20x 30+=22216224x x x x x -+-=+--练习：解下列分式方程： ①752x x =- ②11322x x x -=--- ③2212933x x x x -=-+-例2、若方程x mx x --=-525有增根，那么增根是什么？此时m 为何值？例3、当m 为何值时，解方程225111mx x x +=+--会产生增根？拓展提升1、当m 为何值时，分式方程 无解？22024mxx x +=--。

1 3
,设乙队如果
1 x
单独施工1个月完成总工程的
,那么甲队
1 6 半个月完成总工程的_____,乙队半个月完
1 2x 成总工程的_____,两队半个月完成总工程
1 1 ( ) 6 2x 的_______
.
解: 设乙队如果单独施工1个月完成总工程 的 1 .依题意得
x
1 1 1 1, 3 6 2x
分析：这里的v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速
度为x km/h，先考虑下面的填空：
s h，提速后列车的 x 平均速度为 (x+v) km/h，提速后列车运行 (s+50) km
提速前列车行驶s km所用的时间为
所用时间为 方程:
s+50 x+v
h. 根据行驶时间的等量关系可以列出
s s+50 x = x+v
完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 1.5倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件
新产品？
【解析】设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工
1 200 1 200 =10 ， 1.5x件产品，依题意得 x 1.5x
解得：x=40.
经检验x=40是原方程的解，所以1.5x=60.
答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品.
5.（潼南·中考)某镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合
作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多
用30天完成此项工程. (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)若甲工程队独做a天后,再由甲、乙两工程队合作____ 天(用含a的代数式表示)可完成此项工程;

10.5 分式方程（2）
分式方程 一元一次方程 求出根 看求出的根是否使 最简公分母的值等于0
等于0
是增根，所以原方程无解．
不等于0 是原方程的根．
10.5 分式方程（2）
课堂反馈
解下列方程： 4＋x 2x －5＝ （1 ） x－1 x－1 ； （2 ）
1 1－x ＝ －3 ； x－2 2－x
3 6 ＝ 2 （3 ） x＋1 x －1 ．
10.5 分式方程（2）
学习是件很愉快的事
10.5 分式方程（2）
探究活动 1．你认为在解方程中，哪一步的变形可能
会产生ห้องสมุดไป่ตู้根？
增根产生的原因：在分式方程的两边同乘了值
为0的代数式. 2．你能用较简捷的方法检验求出的根是否
为增根吗？ 方法：把求出的根代入最简公分母，看值是否 等于0．
10.5 分式方程（2）
例题讲解
例
解下列方程：
30 20 ＝ （1 ） ； x x＋1 x－2 x＋2 16 － ＝ 2 （2 ） ． x＋2 x－2 x －4
初中数学 八年级(下册)
10.5
分式方程（2）
作 者：王正东（盐城市射阳县长荡初级中 学）
10.5 分式方程（2）
课前导学
3 1 － ＝0 ； 解方程：（1） x＋1 x－1
5 x－4 4 x＋10 ＝ －1 ． （2 ） x－2 3 x－6
10.5 分式方程（2）
为什么练习（2）中x＝2不是原方程的解？ 1 ．试比较练习（ 1 ）与练习（ 2 ），从解题步骤 上来看，它们有差异吗？ 2 ．那你能说为什么用同样的方法解分式方程， 一个有解一个无解？ 探究分式方程无解的原因：由变形后的方程解出 的根，使分式方程中的分母等于0，从而使分式方程无 意义． 增根概念：如果由变形后的方程求出的根不适合 原方程，那么这个根就叫做原分式方程的增根．

0507分式方程的应用（2）微设计教学目标:1.学会解等量关系较难寻找的分式方程；2.会解既有分式方程又有其他方程的综合性问题.重点：学会分析等量关系列分式方程.难点：例2的解法.教学过程：一、探索发现问题：某工地调来72人挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力才使挖掘出来的土能及时运走，且不窝工，解决此问题，若设派X 人挖土，其它人运土，可列方程为________________.探究：1.这个问题中给出了哪些信息？等量关系是什么？2.由题意，你将列出怎样的方程？分析：根据题意，问题中的等量关系为：“安排挖土的人数：运土的人数=3:1”，可以列出方程：372=-xx . 列分式方程解应用题时，有时需要挖掘题中所隐含的等量关系才能正确地列出方程.下面，我们一起研究等量关系较难寻找的分式方程应用题，以及与其他方程相关的综合性问题.二、例题解析例1．宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A 、B 两种花木共6600棵，若A 花木数量是B 花木数量的2倍少600棵.（1）A 、B 两种花木的数量分别是多少棵？（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A 花木60棵或B 花木40棵，应分别安排多少人种植A 花木和B 花木，才能确保同时完成各自的任务？分析:第（1）题中设B 种花木的数量是x 棵，则A 种花木的数量是，等量关系为“种植A 种花木+B 两种花木=6600棵”，容易列出方程；第（2）题中设安排y 人种植A 种花木，则安排)26(y -人种植B 种花木，题中隐含了等量关系“种植A 花木所用时间=种植B 花木所用时间”，根据等量关系可以列出方程求解.解答：（1）设B 种花木的数量是x 棵，则A 种花木的数量是)6002(-x 棵.由题意，得6600)602(=-+x x ，解得2400=x ，6002-x =4200.答：A 种花木的数量是4200棵，B 种花木的数量是2400棵.（2）设安排y 人种植A 种花木，则安排)26(y -人种植B 种花木.由题意，得)26(402400604200y y -=，解得14=y . 经检验，14=y 是原方程的根，且符合题意. 1226=-y .答：安排14人种植A 种花木，安排12人种植B 种花木，才能确保同时完成各自的任务.小结：列分式方程解应用题最关键的是：仔细审题，寻找题中隐含的等量关系列方程求解. 例2.某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件.(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数.(2)为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数.分析：(1)设原计划每天生产零件x 个，根据等量关系:“原计划生产24000个零件所用时间=实际生产（24000+300）个零件所用的时间”，可列方程:303002400024000++=x x . (2)设原计划安排的工人人数为y 人，根据等量关系：“（5组机器人生产流水线每天生产的零件个数+原计划每天生产的零件个数）×（规定天数-2）=零件总数24000个”，可列方程： . 解答：(1)设原计划每天生产零件x 个，由题意，得303002400024000++=x x .解得x=2400. 经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意.∴规定的天数为24000÷2400=10（天）.答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天.(2)设原计划安排的工人人数为y 人，由题意，得. 解得y=480.经检验，y=480是原方程的根，且符合题意.答：原计划安排的工人人数为480人.小结：列分式方程解应用题，最为关键的是寻找题中的等量关系，当数量关系错综复杂时，应逐步挖掘题中隐含的等量关系.练习.某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T 恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．24000)210(24002400%)201(205=-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⨯⨯y 24000)210(24002400%)201(205=-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+⨯⨯y（1）甲、乙两种款型的T 恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T 恤衫商店共获利多少元？分析：(1)若设乙种款型的T 恤衫购进x 件，等量关系为“甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元”，由此可列出方程：.6400305.17800xx =+ (2)可以先求出甲款型的利润，乙款型前面销售一半的利润，后面销售一半的亏损，再相加即可求解．解答：(1)设乙种款型的T 恤衫购进x 件，由题意，得.6400305.17800x x =+解得x=40.经检验，x=40是原方程的根，且符合题意.1.5x=60.答：甲种款型的T 恤衫购进60件，乙种款型的T 恤衫购进40件.(2),1606400=x160﹣30=130（元），130×60%×60+160×60%×（40÷2） -160×[1-（1+60%）×0.5] ×（40÷2）=4680+1920-640=5960（元）答：售完这批T 恤衫商店共获利5960元.三、感悟提升本节课我们重点研究了研究等量关系较难寻找的分式方程，以及与其他方程相关的综合性问题.列分式方程解应用题时，首先需要仔细审题，再设好未知数，列出方程，接着求出方程，最后检验作答.对于等量关系错综复杂的应用题，可以先划出反映等量关系的语句，再逐步挖掘题中隐含的等量关系，这是列出方程的关键步骤.。

间内,有下列三种方案:
方案一:请甲队单独施工完成此工程;
方案二:请乙队单独施工完成此工程;
方案三:甲、乙两队合作完成此工程.以上三种方案哪一种 Nhomakorabea用最少?
解:(2)方案一,费用为2 000×20=40 000(元);
方案二,费用为1 400×30=42 000(元);
方案三,费用为(2 000+1 400)×12=40 800(元).
A.
C.

+

=4
B.
=4
D.
+

-

+


-
+
=200

-
-

=200
3.A,B 两地相距 180 km,新修的跨海大桥开通后,在 A,B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了 50%,
而从 A 地到 B 地的时间缩短了 1 h,若设原来的平均车速为 x km/h,则根据题意可列方程为


根据题意,得 + = .解这个方程,得 x=30.







经检验,x=30 是所列方程的根. x= ×30=20.
∴甲队单独完成此工程所需时间为 20 天,乙队单独完成此工程所需的时间为 30 天.
(2)若请甲队施工,公司每日需付费用2 000元;若请乙队施工,公司每日需付费用1 400元.在规定时
他步行到学校少用20 min,且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍,李老师到家开门、取手机、启
动电瓶车等共用4 min.
(1)求李老师步行的平均速度;
解:(1)设李老师步行的平均速度为 x m/min,则他骑电瓶车的平均速度为 5x m/min.

x
小时
4x
2小时
小时
乙 骑自行车用多 少时间？ 请同学们按 格式完成本 题（2分钟）
步行7千米用 了多少时间
总共用了多 少时间？
通过分析，我们列方程的等量关系是什么呢？
步行的时间＋骑自行车时间＝2小时
2.甲、乙两地相距160千米，一辆长途汽 车从甲地开出3小时后，一辆小轿车也从 甲地开出，结果小轿车比长途汽车晚20 分钟到达乙地，又已知小轿车的速度是 长途汽车的3倍，求两车的速度？
解：设长途汽车的速度为x千米/时， 小轿车的速度为3x千米/时，由题意得：
160 160 1 3 x 3 x 3
解得：x=40
经检验，x=40是原方程的根。
所以 3x=120
答：长途汽车的速度为40千米/时，小 轿车的速度为120千米/时。
三.小结：
列分式方程解应用题的方法与步骤为：
1 审 ——审清题意
分析：若设船静水中的速度为X千米/时，则顺流的速度为（X＋2）千 审题分析 米/时，逆流的速度为（X－2）千米/时 题意 返回逆流
甲 顺流 10千米处

乙
70千米
10千 米
在这个过程中顺流航行了多少千米？逆流航行了多少千米？ 请找出等量关系 70 10 60 等量关系：整个过程所用的时间＝从乙到甲所用的时间 列方程！！
2 设 ——直接设未知数， 或间接设未知数
3 列 ——根据等量关系列出分式方程 4 解 ——解这个分式方程 5 验 ——既要验是否为所列分式方程的根， 又要验是否符合实际情况 6 答 ——完整地写出答案，注意单位
行程问题基本关系：S=vt 例1：某农机厂到距工厂15千米的某地检修农机，乙部分人骑自 行车先走过了40分钟，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达， 已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。 分析：设自行车的速度是X千米/时，汽车的速度是 3X千米/时 请审题分析题 请找出可 意 请根据题意填写速度、时间、路程之间的关系表 列方程的 等量关系 速度（千米/时） 路程（千米） 时间（时）

本节课是本单元中，对知识的理解和贯彻最重要的一堂课。

在高效课堂模式中，一堂课的紧凑性和教师活动的多少，决定着课堂容量的高低。

但在实际教学中，教师应尽可能少地利用讲授法进行教学，多与学生进行交流，增加学生的实际操练和练习时间，对于一堂课来讲，是至关重要的。

对于课堂环节的布置，应该力求简练，语言应用尽量通俗易懂。

对于一名教师而言，教学质量的高低，与备课的充足与否有很大关系。

而教案作为这一行为的载体，巨大作用是不言而喻的。

本节课的准备环节，就充分地说明了这个道理。

15.3 分式方程教学目标1．会分析题意找出等量关系.2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.重点难点1．重点：利用分式方程组解决实际问题.2．难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.3．认知难点与突破方法设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，正确地理解问题情境，分析其中的等量关系是设未知数、列方程的基础. 可以多角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系，解分式方程应用题必须双检验：（1）检验方程的解是否是原方程的解；（2）检验方程的解是否符合题意.教学过程一、例、习题的意图分析本节的例3不同于旧教材的应用题有两点：（1）是一道工程问题应用题，它的问题是甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快？这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同，需要学生根据题意，寻找未知数，然后根据题意找出问题中的等量关系列方程.求得方程的解除了要检验外，还要比较甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快，才能完成解题的全过程；（2）教材的分析是填空的形式，为学生分析题意、设未知数搭好了平台，有助于学生找出题目中等量关系，列出方程.教科书例4是一道行程问题的应用题也与旧教材的这类题有所不同.（1）本题中涉及到的用字母表示已知数（量）在过去的例题里并不多见，题目的难度也增加了；（2）例题中的分析用填空的形式提示，学生用已知量v、s和未知数x，表示提速前列车行驶s千米所用的时间，提速后列车的平均速度为（x+v）千米/时，以及提速后列车行驶（x+50）千米所用的时间.这两道例题都设置了带有探究性的分析，应注意鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，让学生经过自己的努力，在克服困难后体会如何探究，教师不要替代他们思考，不要过早给出答案.教材中为学生自己动手、动脑解题搭建了一些提示的平台，给了设未知数、解题思路和解题格式，但教学目标要求学生还是要独立地分析、解决实际问题，所以教师还要给学生一些问题，让学生发挥他们的才能，找到解题的思路，能够独立地完成任务.特别是题目中的数量关系清晰，教师就放手让学生做，以提高学生分析问解决问题的能力.二、例题讲解（教科书）例3分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1.（教科书）例4 分析：是一道行程问题的应用题, 基本关系是：速度=时间路程.这题用字母表示已知数（量）.等量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间.三、随堂练习1. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.2. 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?3. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.四、课后练习1．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快51，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度． 2．甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的32，求甲、乙两队单独完成各需多少天？3．甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器个加入等量水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？五、答案三、1. 15个，20个 2. 12天 3. 5千米/时，20千米/时 四、1. 10千米/时 2. 4天，6天 3. 20升[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

分式(二)（人教版）试卷简介:分式方程一、单选题(共15道，每道6分)1.计算结果等于()A.2B.4C. D.答案：C解题思路：（1）考点：负指数幂的运算；（2）解答过程：，故选C试题难度：三颗星知识点：负指数幂2.若的值为,则的值为()A. B.C. D.答案：D解题思路：（1）考点：条件求值；（2）解答过程：由题意得：，解得；所以，将其代入原式=，故选D试题难度：三颗星知识点：条件求值3.若,则的值是()A. B.C. D.答案：B解题思路：（1）考点：条件求值；（2）解答过程：方法一：由可得：m-n=-3mn，∴原式=，故选B；方法二：将分子分母同时除以mn可得，将代入可得原式=，故选B方法三：特殊值法：令m=1，由可得，将m，n分别代入原式=，故选B试题难度：三颗星知识点：条件求值4.化简:()A.1B.C. D.答案：A解题思路：（1）考点：分式的乘除运算；（2）解答过程：，故选B；（3）易错点：没有按照运算顺序进行计算，先计算，然后再与1相乘错选A.试题难度：三颗星知识点：分式的乘除5.化简,其结果是()A.-2B.2C. D.答案：A解题思路：（1）考点：分式的乘除运算；（2）解答过程：故选A；（3）易错点：最高次项的系数为负数时，首先将负号提出来再分解因式，避免因符号问题出错。

试题难度：三颗星知识点：分式的乘除6.若,,则的值为( )A. B.C. D.3答案：A解题思路：（1）考点：条件求值（2）解答过程：∵∴∵，∴，∴原式=，故选A（3）易错点：对完全平方公式、知二求二不熟练，缺乏整体代入思想．试题难度：三颗星知识点：条件求值7.下列方程不是分式方程的是()A. B.C. D.答案：B解题思路：（1）考点：基本概念；（2）解答过程：分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，故选B；（3）易错点：π当作数字来看待，故选项B是整式方程，不是分式方程.试题难度：三颗星知识点：分式方程的定义8.分式方程的解是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：（1）考点：分式方程的解法；（2）解答过程：解：分式两边同乘以可得：将代入，成立∴是原方程的解.故选B（3）易错点：解分式方程，一化二解三检验试题难度：三颗星知识点：分式方程的解法9.分式方程的解是( )A. B.C. D.无解答案：D解题思路：（1）考点：分式方程的解法；（2）解答过程：解：分式两边同乘以可得：将代入，不成立∴是原方程的增根，∴原分式方程无解，故选D；（3）易错点：解分式方程，一化二解三检验试题难度：三颗星知识点：分式方程的解法10.已知关于x的分式方程的解是非正数,则的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：（1）考点：分式方程的解；（2）解答过程：∵关于x的分式方程的解是非正数∴x≦0，即∴∵x+1≠0∴x≠-1，即∴综上可得：故选D（3）易错点：忽略了分式方程要满足分母不为0试题难度：三颗星知识点：分式方程的解11.已知关于x的分式方程的解是非负数,则m的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：（1）考点：分式方程的解；（2）解答过程：∵关于x的分式方程的解是非负数∴x≧0，即-m-1≧0∴m≦-1∵x+1≠0∴x≠-1，即-m-1≠-1∴m≠0画数轴确定范围可得：故选C（3）易错点：确定范围时要画数轴试题难度：三颗星知识点：分式方程的解12.若方程有增根,则m的值为( )A.0和3B.1C.1和-2D.3答案：D解题思路：（1）考点：分式方程增根；（2）解答过程：∵方程有增根∴（x-1）（x+2）=0解得：x=1或x=-2∴m-2=1或m-2=-2∴m=3或0将m=3代入原方程得∴m=3满足题意将m=0代入原方程得∴m=0不成立综上可得：m=3故选D（3）易错点：分式方程的增根要满足两个条件：①使得分式方程的最简公分母为0；②是分式方程化成的整式方程的解.试题难度：三颗星知识点：分式方程增根问题13.若方程有增根,则它的增根是( )A.x=3B.x=1C.x=-1D.x=1和x=-1答案：B解题思路：（1）考点：分式方程增根；（2）解答过程：∵方程有增根∴（x+1）（x-1）=0解得：x=-1或x=1将x=-1代入x2+mx=7-m中可得：1=7，不成立∴此时m不存在，即x=-1不是原方程的增根将x=1代入x2+mx=7-m中可得：2m=6m=3∴x=1是原方程的增根故选B（3）易错点：答非所问，题目要求解的是增根，求的是m的值错选A 试题难度：三颗星知识点：分式方程增根问题14.若分式方程无解,则m的取值是( )A.-1和B.C.-1D.和0答案：A解题思路：（1）考点：分式方程无解（2）解答过程：方程两边同时乘以（x-1）得：当即时，不成立∴原方程无解．当即时，∵∴解得：综上可得：故选A．（3）易错点：分式方程无解包括两种情况：①分式方程有增根的无解；②分式方程化成的整式方程无解.试题难度：三颗星知识点：分式方程无解问题15.若关于x的分式方程无解,则m的值是( )A.2B.4C.2或0D.-2或0答案：D解题思路：（1）考点：分式方程无解（2）解答过程：方程两边同时乘以（x-4）得：，当时，0=2不成立∴原方程无解．当时，∴解得：综上可得：故选D．（3）易错点：分式方程无解包括两种情况：①分式方程有增根的无解；②分式方程化成的整式方程无解.试题难度：三颗星知识点：分式方程无解问题。

榆林八中学生自主学习方案八年级：姓名:
一、探究新知
阅读教材，独立完成下列问题，若有疑问请记录下来，在交流评价时解决。

、填表
1
2、模仿教材P88例1，完成下表
比较上述两个方程解法上的异同。

3、学习例题2并阅读教材P89“议一议”，回答下列问题
① 叫增根，产生增根的原因是：________ ____________________________。

②解分式方程的一般步骤是：原分式方程两边同乘以 ，使原分式方程转化为 ，然后解这个 ，最后 。

交流评价：把你的结果和想法与同学相互交流。

二、巩固新知 （1）x x 213=+ （2）4315
13=-+-x
x x （3）
14143=-+--x x x （4）x
x x -=
---15
112
三、归纳总结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑问?
四、达标检测：
1、解方程： （1）232523=-+-x x x （2）3000
15000
9000+=
x x （3）()1516++=+x x x x （4）x
x x 215
.11122-=
+--
★2、若关于x 的方程31--x x =9
3-x m 有增根，求m 的值。

解：设甲每小时做x个零件则乙每小时做（ x －6）个零件，
90 60 依题意得： x x 6
90 x 6 60x 90x 60x 540
x 18
经检验x=18是原分式方程的根,且符合题意。 由x＝18得x－6=12 答：甲每小时做18个，乙每小时12个.
课堂练习
2.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一 部分同学骑自行车先走，过了20分，其余同学乘 汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度 是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度。
解：设骑车同学的速度是x千米/时。
10 10 1 x 2x 3 x=15 经检验x=15是原方程的解。
答：骑车同学的速度是15千米/时。
课堂小结
1.关于分式方程的增根问题的讨论。
2.列分式方程解应用题。（审、设、列、解、验、 答）
作业设计

1.课本32页3、4、5题 2.练习册相关练习
解：设乙队如果单独施工完成总工程需要x个月. 依题意得 1 1 1
3

6

2x
ห้องสมุดไป่ตู้1
方程两边同乘6x,得 答：由上可知,若乙队单独施工1个月 2x+x+3=6x 可以完成全部任务, 而 甲队1个月完成 1 总工程的 ,可知乙队施工速度快. 解得 x=1 3 经检验：x=1是原方程的解。
课堂练习 1.甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙 多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件 所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
知识回顾
例1.解分式方程
x 3 (1) 2 x 1 2x 2
x x2 8 (2) 2 x2 2 x x 4
注意：增根是分式方程化成的整式方程的根， 是使最简公分母为0的未知数的值

22．解分式方程： （1）
（2）
23．超市用 2500 元购进某品牌苹果，以每千克 8 元的单价试销．销售良好，超市又安 排 4500 元补货．补货进价比上次每千克少 0.5 元，数量是上次的 2 倍． （1）求两次进货的单价分别是多少元． （2）当售出大部分后，余下 200 千克按 7.5 折售完，求两次销售苹果的毛利．
28．（1）计算：
12
(
1)0
6
tan
30
1 3
2
（2）解方程： 5x 4 1 4x 10
x2
3x 6
1．A
参考答案
【解析】
【分析】
设文学类图书平均价格为 x 元/本，则科普类图书平均价格为 1.2x 元/本，根据数量=总价÷
单价结合用 12000 元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多 100 本，即
x2 2x
13．某园林公司增加了人数和挖坑机进行园林绿化，现在平均每天比原计划多植树 30
棵，现在植树 600 棵所需的时间与原计划植树 450 棵所需的时间相同，如果设原计划平
均每天植树 x 棵，则根据题意列出的方程是_____． 14．若关于 x 的方程 x 2 m 无解．则 m =________.
2020 初中数学中考一轮复习基础达标训练：分式方程 2（附答案） 1．某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的
价格是文学类图书平均每本书价格的 1.2 倍，已知学校用 12000 元购买文学类图书的本
数比用这些钱购买科普类图书的本数多 100 本，那么学校购买文学类图书平均每本书的
2．A
【解析】
【分析】
分式方程要出现增根就是使得分式方程中的分式的分母为零的值；接下来运用上述的结论即

1、观察、分析、探索换元途径； 、观察、分析、探索换元途径； 2、设辅助未知元； 、设辅助未知元； 3、用辅助未知元把原方程化成 、 只含有辅助未知元的方程； 只含有辅助未知元的方程； 4、解含有辅助未知元的方程， 、解含有辅助未知元的方程， 求出辅助未知元的值； 求出辅助未知元的值； 5、由辅助未知元的的值， 、由辅助未知元的的值， 求出原未知数的值； 求出原未知数的值； 6、验根并作答。 、验根并作答。
练习
x +1 3x +15 1、方程 、 − = 2 ，用换 x +5 x +1 x +1 元法解方程， 元法解方程，可设 y = ，则原 x+ x +5
关于y 方程可化为 关于 的整式方程是
3 y −3= 2y 。 y − = 2 y
2
范例 例4 解方程
12 x −x− 2 −4 = 0 x −x
小结 分式方程的解法 直接去分母法 整体换元法
化 、解、 验
探、设、换、 解、求、验
可化为一元二次 方程的分式方程(2) 方程的分式方程(2)
复习 解方程
9 6 − +1= 0 2 x x
直接去分母法
复习 分式方程的解法 1、去分母，化整式方程 、去分母， 2、解这个整式方程 、 3、验根 、 检验是否为增根 转化思想
导入 观察方程，你还有什么想法？ 观察方程，你还有什么想法？
2
练习 2、分式方程 、
12 x −x− 2 −4 = 0 x − x −3
2
换元后， 换元后，得到的新方程是 。
范例 例5、解方程 、
1 1 3(x + 2 ) +5(x + ) −2 = 0 x换 x 1 元 y = x+ x 2 3y +5y −2 = 0

§3.4 分式方程（二）一、导学目标：（一）教学知识点1.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题.2.用分式方程来解决现实情境中的问题.（二）能力训练要求1.经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力.2.认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型.（三）情感与价值观要求1.经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣.2.培养学生的创新精神，从中获得成功的体验.二、导学重点：1.审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型.2.根据实际意义检验解的合理性.三、导学难点：寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法.四、导学方法：合作 探索五、导学设计：（一）温故：1. 解方程：（1）132x x =- （2）542332x x x +=--（3）x x x x 215.11122-=++- （4） 11112-=-x x2. 若方程323-=--x k x x 会产生增根，试求k 的值（二）链接：（问题可以是：每年各有多少间房屋出租？问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？）1、解决第一个问题：2、解决第二个问题：解：练习：（四）拓展：一、请你填一填（1）满足方程：2211-=-x x 的x 的值是________. （2）若1＜x ＜2,则化简xx x x x x |||1|12|2|+-----=________. （3）当a =________时，方程a x 11-=2的解为1.（4）当m ________时，关于x 的方程323-+=-x m x x 有增根. （5）已知31=b a ,则222232b ab a b ab a +---=_____________. （6）甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，在C 地相遇后，甲又经过t 1时到达B 地，乙又经过t 2时到达A 地，设AC =S 1,BC =S 2,那么21t t =_____________. 二、认真选一选（1）农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走半小时后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x 千米/时，则所列方程为（ ） A.2115315+=x x B.x x 1521315=- C.2115315-=x x D.2115315⨯=x x （2）小明一家四口人打电话预约两个姑姑及其一家人一起到某景点旅游，此景点按这样的规定收费，不超过5个人按每人50元收门票，若超过5个人，超过的每人门票将打六折，结果比单独去每人少花10元门票，那么两个姑姑家一共去了几口人（ ）A.6人B.5人C.4人D.3人（3）一台电子收报机，它的译电效率相当于人工译电效率的75倍，译电3000个字比人工少用2小时28分，这台收报机与人工每分各译电__________字（ ）A.78000，1200B.12000，78000C.97500，13000D.90000，1200活动与探究1、(任选一题)(1)有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？(2)一组学生乘汽车去旅游，预计共需车费120元.后来人数增加了41，车费用仍不变，这样每人可少摊3元，原来这组学生有多少人？2、如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上.小明家到王老师家路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km,由于小明父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？（2003年吉林省中考题）创新训练1、当k 取合值时，分式方程x x x kx x 3)1(16--+=-有解？2、 若方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围.关于这道题，有位同学作出如下解答：解 ：去分母得，2x+a=-x+2.化简，得3x=2-a.故x=32a-.欲使方程的根为正数，必须032〉-a，得a<2.所以，当a<2时，方程122-=-+x ax 的解是正数.上述解法是否有误？若有错误请说明错误的原因，并写出正确解答；。

尊重主体
教材 第 课 题
面向全体
先学后教
当堂训练
科研兴教
力求高效
年 教学模式 月 日 讨论交 流
10 课（章） 第
5 节（单元） 第 2 课时，总 课时 分式方程（2）
10.5
教 学 目 标 （认知 技能 情感）
1．经历探索分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程； 2．了解分式方程产生增根的原因，会检验根的合理性； 3． 经历“求解——解释解的合理性”的过程，发展分析问题、解决问题的能力， 培养应用意识 分式方程的解法；解分式方程要验根． 分式方程产生增根的原因，会检验根的合理性
合
以 解分式方程必须检验 ． 你能用比较简洁的 ． ．．．．．．．．． 方法检验解分式方程产生的增根吗？ 尝试反馈，领悟新知
作
例
解下列方程：
（1）
30 20 － ＝ ． x＋2 x－2 x2－4 课堂练习 课本 P116 练习．
究
-2-
教 学 环 节 随堂 练习
教学重 难 点 教 具 与课件
10.5 板 书 设 计 教 学 环 节 导 入 解方程： （1）
分式方程（2）
教师施教提要 （按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容） （启发、精讲、活动等）
学生自学共研的内容方法
再次 优化
合 作 探 究
3 1 － ＝0 ； x＋ 1 x－ 1 5 x－4 4 x＋10 ＝ －1． （2） x－2 3 x－6
布置 作业
课堂作业 下节课预习内容
课后作业
教后感
-3-
学生自学共研的内容方法
教师施教提要
再次
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容） （启发、精讲、 活动等） 优化

u
v
fv f
来确定.
学以致用
随堂练习
1
甲、乙两人每小时共能做35个零件。甲、乙两人 同时开始工作，当甲做了90个零件时，乙做了 120个。问甲、乙每小时各做多少个零件？
归纳小结
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.
解 :设这个数为x,则可列方程
3 x 2 2x 3
。
某车间加工1200个零件，本来每天可加工x个，则需
1200 ____x____天可加工完成；如果采用新工艺，工效是
本来的1.5倍，这样每天可以加工_ 1._5_x__个，同样多
1200 的零件只要用 1.5x 天可加工完成；如果比本来快了
10天完成，则可列方程： 1200 1200 10 x 1.5x
化简，得 0.5 x 0.4 2x
解这个方程，得
x 3 0.2（1 元） 14
x 3
14
经检验，
是所列方程的根，且符合题意.
答：每只成本降低了0.21元.
1 1 1 (u v) f uv
例4
照相机成像应用了一个重要原理，即 1 1 1 f uv
(v≠f )，其中f 表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜
购杂志数量比第一次多 20%.当这批杂志售出45时， 出现了滞销，便按定价的 5 折销售完剩余杂志，那 么他第二次销售该杂志是赚还是赔？若赚钱，赚多 少？若赔钱，赔多少？
解析：列分式方程解应用题既要验根，还要检验是否符合 实际意义．
解：设第一次购进杂志 x 本，根据题意 得（1＋12500%）x－10x0＝0.5 解这个方程，得 x＝50. 经检验，x＝50是所列方程的根，所以第二次所购杂志有(1