8.相似原理与量纲分析

Vp
第五章 相似原理和量纲分析
2.运动相似（时间相似）
运动相似是指：模型与原型的流场中所有对应点上 对应时刻的流速方向相同，且对应流速的大小的比 例相等，即它们速度场相似。
原型
模型
第五章 相似原理和量纲分析
速度比例系数： 时间比例系数：
vm kv C vp
tm kt tp
vm t m kv ka v p t p kt
第五章 相似原理和量纲分析 三、其它的相似准则数
①弹性力相似准则
对于可压缩流体的模型试验，由压缩引起的 弹性力场相似。（Ca——柯西数 Ma——马赫数， 惯性力与弹性力的比值）。
②非定常相似准则
对于非定常流动的模型试验，模型与原型的 流动随时间的变化必相似。（Sr—— 斯特劳哈尔 数，当地惯性力与迁移惯性力的比值）。
同时还有,如质量量纲[M]，力的量纲[F]等。 基本量纲-----相互独立，不相互依赖，如[M]， [L]，[T]等。 导出量纲-----由基本量纲导出,如
密度：dim =ML-3 压强：dim p =ML-1T-2 速度：dim v =LT-1 -2 加速度：dim a =LT 2 -1 运动粘度：dim =L T -2 力：dim F =MLT 表面张力：dim =MT-2 体积模量：dim K =ML-1T-2 动力粘度：dim =ML-1T-1 2 -2 -1 比定压热容：dim c L T 2 -2 -1 比定容热容：dim c L T 2 -2 -1 气体常数：dim R = L T
第五章 相似原理和量纲分析
3.应用举例
采用模型中流体与原型中相同，模型中流 速为50m/s，则原型中流速为多少？
查看答案
1）如果模型比例尺为1:20，考虑粘滞力相似，

相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是物理学中常用的分析方法。

这两个方法都可以帮助我们简化和理解复杂的物理问题，并从中得到有用的结论。

相似原理是指在某些情况下，两个或多个物理系统在某些方面具有相似性。

通过找到这些相似性，我们可以将一个物理问题转化为另一个更简单的问题，并从中得到有关原问题的信息。

量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。

在量纲分析中，我们将物理量表示为其单位的乘积，例如长度（L）、质量（M）和时间（T）。

通过对物理方程中各项的量纲进行分析，我们可以得到物理问题的量纲关系。

现在让我们更详细地讨论这两种方法。

首先，我们来看看相似原理。

相似原理的核心思想是，如果两个物理系统具有相似的形状、相似的流动条件和相似的物理特性，那么它们在某些方面具有相似性。

这种相似性可以通过无量纲参数来描述。

无量纲参数是一个相对于单位的比率或比值，因此在不同的物理系统中具有相同的值。

通过选择适当的无量纲参数，我们可以把一个复杂的问题转化为一个简单的问题。

例如，假设我们想研究飞机的气动性能。

我们可以选择无量纲参数如升力系数（Cl）、阻力系数（Cd）和升阻比（Cl/Cd），来描述飞机的飞行特性。

通过比较不同飞机的这些无量纲参数，我们可以得出有关它们性能优劣的结论。

相似原理的应用非常广泛。

它常用于流体力学、热传导和振动等领域的问题研究。

通过利用相似原理，我们可以设计模型实验来研究某一问题，从而避免对真实系统进行复杂和昂贵的实验。

接下来，我们来谈谈量纲分析。

量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。

在物理方程中，各个物理量的量纲必须相等。

这就是说，物理方程中各项的量纲必须保持平衡。

通过量纲分析，我们可以得到物理问题的一些量纲关系。

这些量纲关系可以帮助我们推导出物理方程中的无量纲参数，并进一步简化问题。

例如，假设我们要研究物体自由落体的运动规律。

我们可以通过对物理量的量纲进行分析，得到物体自由落体的无量纲形式。

和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立Vc的公式结构。 和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立V 的公式结构。 [解] 假定 vc = kρ α ⋅ µ β ⋅ d γ 为无量纲常数。 式中k为无量纲常数。 将各物理量的量纲
vc ] = LT −1 , [ ρ ] = ML−3 [
µ ] = ML−1T −1 , [ d ] = L [
（8-5b） 5b）
§8.2 相似准则与量纲分析
若模型与原型系统相似， 若模型与原型系统相似， 几何相似 运动相似 满足相似条件
x p = Cl xm , y p = Cl ym , z p = Cl zm
v px = Cv vmx , v py = Cv vm y , v pz = Cv vm z , t p = Ct tm
∂vpz
∂vpz
∂vpz
（8-5a） 5a）
∂vmz ∂vmz ∂vmz ∂vmz 1 ∂pm µm ∂2vmz ∂2vmz ∂2vmz + vpx + vmy + vmz = −gm − + 2 + 2 + 2 ρm ∂zm ρm ∂x m ∂y m ∂z m ∂tm ∂xm ∂ym ∂zm
动力相似
p p = C p pm , g p = Cg g m ,
其他物理量
ρ p = C ρ ρ m , µ p = Cµ µ m ,
（8-6）
§8.2 相似准则与量纲分析
（8-6）代入（8-5），可得到以模型参数和相似比例尺 代入（ ），可得到以模型参数和相似比例尺 表示的原型流动方程
2 CV ∂vmz CV ∂vmz ∂vmz ∂vmz + vmx + vmy + vmz = Ct ∂tm Cl ∂xm ∂ym ∂zm Cp 1 ∂pm Cv Cµ µm ∂2vmz ∂2vmz ∂2vmz −Cg gm − + 2 2 + 2 + 2 （8-7） CCρ ρm ∂zm C lCρ ρm ∂x m ∂y m ∂z m l

（c） • 一般来说，如果描述某个物理现象的物理量有n个，并且在这n个量中
(在a)光弹性试验含中有， r，个量多半是是无不满量足的纲独要立放的弃，，这就则是独所谓立近似的的纯近似数。 有n－r个。
但在必光须 弹使性例模试4型验－梁中满，3足研初，等究弯多弹曲半理是性论不对满体梁足所内的作的的基应要本放假力弃设，σ,即这与就外是所力谓近F似，的力近似矩。 M和尺寸L，材料常数E，μ
1
b h
,
2
Gh4
T
, 3
l
q
4-5 π定理 由于两现象相似，各对应量互成比例，即
如果梁的尺寸不是几何相似，即梁长与梁截面的相似比例数
例4－3 研究弹性体内的应力σ与外力F，力矩M和尺寸L，材料常数E，μ之间的π项。 时，是严格满足静力相似律。
将式(c)代入到式(a)，得
量第纲三分 定析理 • 的：普系把遍统参定的理单与是值物条π定件理理相。现似，象则的系统各为物相似理。量，通过量纲分析，转化为数目较少的无量纲间的 把表第参达四与 某 章物个相• 理物似现理原关表象现理系达的象和各的量式某物方纲。个理程分量式析即物，π理通1过现，量象π纲2分的…析方，…转程这化式为种数做目较法少就的无是量巴纲间肯的汉关系？式π。定理的基本思想。
G e G2 0 （a）
x
对于模型来说，同样满足方程：
m
Gm
em xm
Gm
2m
m
0
（b）
实物和模型要求相似，对应量一一成比例：
C m
CG
G Gm
Ce
e em
x Cx G xm
C
m
（c）
但
1
E
1
2