相似性原理和量纲分析

4 相似原理与量纲分析

4.0 本章主要内容导读

通过第三章的学习，可以看到用数学分析方法研究动量传输问题具有较大的局限性，许多情况下无

法得到问题的解析解，此时往往通过实验方法或者数值模拟方法进行研究。实验方法通常包括直接实验

法和模型研究法。由于实验研究条件的限制，很多时候并不能采用直接实验法研究原始研究对象(原型)，

此时往往采用模型研究法，建立一个模型来模拟原型。模型实验研究的理论指导基础是相似原理，具体

实践方法则是量纲分析。本章对这两部分内容进行讨论，主要内容如图4-1所示。

图4-1 第四章主要内容导读 4.1 相似原理

4.1.1相似的基本概念

遵循同一物理方程的现象称为同类现象。如果两个同类现象对应物理量成比例(在对应的时空点，各

标量物理量的大小成比例，各向量物理量大小成比例、方向相同)，称这两个现象为相似现象。

对于动量传输问题，模型(model)与原型(prototype)之间必须满足如下相似条件才能成为相似现象(图

4-2)：(1)几何相似。几何相似又称为空间相似，要求模型与原型外形完全一样；对应线段成比例；对应

夹角相等；有粗糙度时粗糙度相似；(2)运动相似。要求模型与原型对应流线几何相似；对应点速度大小

成比例，方向相同；(3)动力相似。又称为受力相似，要求模型与原型的两个对应流场受同种外力作用；

对应点上对应作用力成比例。

上述三类相似中，几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据，动力相似是决定二个流动相似的主导因素，运动相似则

是几何相似和动力相似的表现。相似的流动一定是同时满足几何相似、运动相似和动力相似的流动。

完全的几何相似一般并不容易达到。例如，采用小尺寸模型模拟原型时，除非能够将模型表面加工得比原型光滑得多，否

则无法按照原型的表面粗糙度成比例缩小而加工出模型的表面粗糙度；在研究沉淀物的传输时，不能将河床上的物质按比

例缩小成粉末，因为细微的粉末之间有内聚力，无法模拟砂粒的特性；在研究河流流动时，水平方向的尺寸远大于垂直方

B5 量纲分析与相似原理

实验研究是流体力学研究方法中的重要组成部分。量纲分析和相似原理是关于如何设计和组织实验，如何选择实验参数，如何处理实验数据等问题的指导性理论。

主要内容：物理方程的量纲齐次性， 定理与量纲分析法，流动相似与相似准则，相似准则的确定，常用的相似准则数、相似原理与模型实验。

重点：（1）量纲齐次性原理；

（2） 定理和量纲分析；

（3）常用的相似准则；

（4）相似原理与模型实验。

B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性

1. 物理量的类别和量纲

物理量（单位）的类别称为量纲，用dim表示。基本量的量纲称为基本量纲，在国际单位制中基本量纲（取三个）记为

dim m = M，dim l =L ,dim t=T

任何导出量的量纲均可用基本量纲的幂次表示，称为量纲幂次式。例如

dim V = LT -1 dim g =LT -2

13TL dimQ

3ML dim 22TML dim

11TML dim 12TL dim

2MLT dimF 21TML dim dim dimKp

△ 虽然物理量的类别与单位制无关，但量纲幂次式却只有在确定的单位制中才有意义。

2. 量纲齐次性原理

物理方程中各项的量纲必须齐次，称为物理方程的量纲齐次性。

以单位体积流体元能量守恒形式的伯努利方程为例

（沿流线）常数 212pgzv （B5.1.2）

方程左端各项的量纲分别为

212132TML)LT)(ML()21( dim--v

2123TMLL)LT)(ML()( dim----gz

21TML dimp

可以断定，方程右端常数项的量纲为

dim（常数）= 21TML

△ 量纲齐次性原理表明：在一流动现象中各相关物理量可组成若干个量纲齐次的组合群，它反映了该流动现象中各相关物理量在量纲上的相互制约关系，这是对一流动现象中相关的物理量做量纲分析的物理基础。

1 水力学教学辅导

第10章 相似原理和量纲分析

【教学基本要求】

1、了解相似现象和流动相似的特征。

2、了解水力学模型设计的相似原理和重力相似准则、阻力相似准则，能进行模型比尺和对应物理量的计算。

3、了解量纲和谐原理的基本概念。

【内容提要和学习指导】

实际工程中的水流现象非常复杂，仅靠理论分析对工程中的水力学问题进行求解存在许多困难，模型试验和量纲分析就是解决复杂水力学问题的有效途径。因此要求我们对模型试验和量纲分析的原理和方法有初步的了解。通过本章学习，会根据不同的水流模型试验，依据重力相似准则和阻力相似准则进行相似比尺设计和原型与模型对应的物理量的计算。

这一章要求重点掌握重力相似准则、阻力相似准则以及模型比尺和对应物理量的计算。掌握正确组合无量纲量的组合方法。

10.1 相似现象和流动相似的特征

相似是人们常遇到的概念，最常见的是指图形的相似，即两个几何图形的对应边成比例，对应的角都相等。

流动相似是图形相似的推广。流动相似具有三个特征，或者说要满足三个条件，即：几何相似，运动相似，动力相似。其中几何相似是前提，动力相似是保证，才能实现运动相似这个目的。运动相似和动力相似是表示原型和模型两个流动对应的点速度、压强和所受的作用力都分别满足确定的比例关系。

10.2相似理论和牛顿相似准则

相似原理是进行水力学模型试验的基础，它是指实现流动相似所必需遵循的基本关系和准则。

在满足几何相似的前提下，动力相似是实现流动相似的必要条件，即要求模型和原型中作用在液体上的各种力都成比例。用数学式可以表达为：

（Ne）P=（Ne）M （10—1）

式中牛顿数 表示某种力与惯性力的比值，F可以是任何种类的力，下标P和M分别表示是原型和模型的物理量。这就是实现流动动力相似的牛顿相似准则。 22NeLF 2 10.3重力相似准则和粘滞力相似准则

第十二章 量纲分析与相似原理

实际工程中的水流现象非常复杂，仅靠理论分析对工程中的水力学问题进行求解存在许多困难，模型试验和量纲分析就是解决复杂水力学问题的有效途径。因此要求我们对模型试验和量纲分析的原理和方法有初步的了解。

量纲分析与相似原理是指导分析问题和模型试验的重要方法，通过量纲分析和相似原理可以合理地、正确地组织试验，简化试验以及整理试验成果。对于复杂的流动问题，借助量纲分析可以寻求物理量之间的联系，建立关系式的结构，量纲分析是分析流动问题的有力工具和方法。相似原理则是模型试验的理论依据，也是分析水力学问题的有效方法之一。

要求掌握正确组合无量纲量的方法，掌握根据不同的水流进行模型试验，依据重力相似准则和阻力相似准则进行相似比尺的换算与模型设计。

第一节 量纲分析

一、量纲和单位

量纲：表征物理量按其性质不同而划分的类别，即量纲表示的是物理量的种类。量纲也称因次（Demension）。

单位：度量各种物理量数值大小的标准。即单位是度量某一物理量的基值，预先人为选定的。

同一类别的物理量量纲相同，但可以用不同的单位去描述。具体的“数值”和“单位”就准确地表示出了该物理量的大小。从原则上讲，一个物理量可以有任意种单位，仅仅是为了交换概念和信息上的方便，才人为地规定了有限的几个具有普遍性的通用单位，如规定时间为秒，1秒取一个平均太阳日的864001。由此可见，物理量是客观存在的，单位是人为制定用来度量物理量的。量纲与单位的关系便是内容与形式的关系。

二、 基本量纲与诱导量纲

量纲可分为基本量纲和诱导量纲。

基本量纲是指具有独立性的量纲。该量纲不能由其它量纲推导出来，即不依赖于其它量纲。如长度[L]、质量[M]、时间[T]或长度[L]、力[F]、时间[T]就是相互独立的量纲，它们之间不能互相推导，它们就可以作为基本量纲。基本量纲并没有从理论上规定只能取三个，但一般来说，通过引入一个额外的物理系数，就可以增加一个互相独立的基本量纲。