大学文科数学2极限_习题课

n1 (2)xn n 1 ,
(3) xn
(1)n
1 n
(4)考研题
n 2, 3,
xn 1 2 n 1 2 (n 1)
解
(1) xn
2
1 n2
1
1
n , n2 0, xn 2 n2 2.
n1 (2)xn n 1 , n 2, 3,
1 1
xn
1
n 1
n 1
n
(3) xn
的连续性，理解函数在一点连续的几何意义 以及连续与极限存在的关系.会用连续性求极 限.
知识网络图
如 唯果 一数 的列. {设anli}m收敛f (，x)它的A极, l限im一g定( x是) B,则
定义
定性描(1述) lim[ f ( x) g( x)] A B;
定量描(2述) l定im义[，f 都( x是)变 g量( x)] A B;
求
3x2 5 2
lim
sin .
x 5x 3 x
提示与分析：解决该题要在前两例题
方法掌握的基础上，既要用到第一重
要极限还要用到无穷小量分离法.
解
原式
lim
x
sin 2 x
2
2 x
3x2 5 5x 3
lim
x
sin 2 x
2
6x2 10 5x2 3x
x
x
6 lim
10 x2
6.
x 5 3 5
x0 x
x0 x
sin x
lim
1
x0 x cos x
sin x
1
lim lim 1
x0 x x0 cos x
0.
例2 I lim am x m am1 x m1 a1 x a0 x bn x n bn1 x n1 b1 x b0
分析与提示:该极限值与m, n间的关系有着
sin2 x2
x
lim
x0
1 (cos x+1)
1. 2
x0
m
解 （f x） ln（1 kx）x
在x 0处 f（x）没有意义,
m
而 lim f ( x) lim ln（1 kx）x
x0
x0
1
连续函 数
ln[lim(1 kx) kx ]mk
x0
1
kxt ln[lim(1 t ) t ]mk
lim(1
1
x)x
e
t0
x0
lnemk mk.
lim
x
x
x
1
x
lim
x
x
x
1
x
lim1 x
1 x
x
xt
lim
t
1
1 t t
e.
熟练之后可不引进新的变量记号,
将原式向 lim ( x)
1
1
(x)
(x)
e
的
公式变换即可.
例6 给f（0）补充一个什么数值，可使
m
f（x） ln（1 kx）x 在x 0点连续？
分析与提示：该题是考察对连续函数定义的 理解，用定义2 ,即 lim f ( x) f (0) 求解.
3) lim x
x3 x2 1 (m n)
lim
x
42 1 x
1 x2 1 x2
1 x3 1 x4
.
无穷小量
总之，
I
lim
x
am xm bn xn
am1 xm1 bn1 xn1
a1x a0 b1x b0
am bn
0
m n， m n， m n.
例3
（考研题）
2
x
0.
2
例8 讨论：lim x 是否存在. x0 x
解 lim x lim x 1
x x x0
x0
x
x
lim lim 1,
x x x0
x0
由于函数的左右极限值不相等， 所以 lim x 不存在.
x0 x
练习题
观察下列数列的变化趋势，并写出它们的 极限 ：
1 (1)xn 2 n2
补充定义 f（0） mk，使 f（x）在x 0处连续.
例7 求极限 lim [ π arctan 2x 1]. 2 x
分析与提示：利用连续函数求极限的方
法，即代入法，并用极限的四则运算法则.
解 原式 lim π lim arctan 2x 1
2 x
x
π
arctan lim 2x 1
无穷小（大）量
(3)
lim性的质乘gf (：积(xx无是)) 穷无 小穷BA量 小, 其 与 量.有中界B变量0.
极限
求极限 的方法
四则运算
lim sin x 1
两个重要极限
x0 x
应用等式变形：分母有lim理(化1 ，1 )x ee
无穷小量分离法等 x x
代入法(函数的连续性)
极限应用 连续函数 闭区间连续函数的性质
n
n
n
2ee－11．ee 2. 2）lim 8n1 3n1 n 8n 3n
8 （ 3 3）n
lim
8 8.
n 1 （ 3）n
8
cos x 1
3) lim x0
x2
2sin2 x
(方法一) lim x0
2 x2
2 sin2 lim
x 2
1
lim
sin
x 2
2
x0 4 x 2 2
第二章 微积分的直接基础
习题课
一、目的要求 二、内容结构 三、典型例题 四、练习题
极限
目的要求
☆ 理解数列、函数定义的定性描述，能分析
数列、函数的变化趋势；
☆ 理解无穷小量与无穷大量的概念及它们之
间的互为倒数的关系，了解无穷小量的性质；
☆ 会用两个重要极限解决求极限问题；
☆ 能够判断简单函数（含分段函数）在一点
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
重点与难点
重点：求数列与函数的极限，无穷 大量和无穷小量，连续性概念.
难点：灵活运用各种方法求数列与 函数的极限.
例题
例1 求极限
1) lim x cot x x0
分析与提示：该极限是 0 不定型，先用
三角公式简化再利用重要的极限解题.
解 lim x cot x lim x cos x
x0
x0 sin x
sin x lim 1 x0 x
x lim lim cos x
x0 sin x x0
1.
tan x sin x
2) lim
x0
x
分析与提示：该极限是 0 不定型，先用求 极限四则运算法则，再用0三角公式简化，解
题时要考虑用重要的极限.
解 原式 lim tan x lim sin x
直接的联系，因而要讨论三种情况.
3x2 2
1) lim x
x4
x2
1
(m
n)
lim
3
1 x2
2
1 x4
x
11
1 x2 x4
无穷小量
0 0 0. 1 0 0
4x3 2x2 x
2) lim x
2x3
3x2
1
(m
n)
42 1
lim
x
1 x2
x
11
23 x
x3
2.
无穷小量
4x4 2x2 x
(1)n
1 n
x1
x3
x4 x2
1
1 O 1 1
x
3
42
从o点两侧无限逼近o.
… xn … x3
x2
••••• •••••
O1 1
1
x1 1x
2n 8
4
2
而xn
1 2n
从O点右侧无限逼近O.
(4)考研题 xn 1 2 n 1 2 (n 1)
n(n 1) n(n 1) n ( n 1 n 1)
2
2
2
n 2
2
n
n1 n1 2
2
n 1 1 n 1 1
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
1 2
2
2
1 1 1 1 n 2 .
n
n
课下练习题
1）lim （2 1 1 ）n
n
n2
2）lim
n
8n1 8n
3n1 3n
cos x 1 3) lim
x0 x 2
1）lim （2 1 1 ）n
n
n2
2 lim（1 1 ）n（ 1 1 ）n
2 x0 x 2
1 2
lim x0
sin x
x 2
lim x0
sin x
x 2
1 2
.
2 2
cos x 1
3) lim x0
x2
(方法二)
(cos x 1)(cos x+1)
lim x0
x2(cos x+1)
lim
x0
sin2 x x2 (cos x+1)
lim
x0
x
sin x lim 1 x0 x
例4 求分式函数的极限
1) lim sin x
1 lim ( sin x) 0.
x x
x x
无穷小量与有界变量乘积是无穷小量.
2) lim x4
x
x
4
lim(
x4
1 x
4
x)
x趋于常量
.
x 4时,xx 4是 时,无穷1 小是量无穷大量
x4
例5