用遗传算法解多货郎担_2_货郎担_问题

TSP问题求解（一）实验目的熟悉和掌握遗传算法的原理，流程和编码策略，并利用遗传求解函数优化问题，理解求解TSP问题的流程并测试主要参数对结果的影响。

（二）实验原理巡回旅行商问题给定一组n个城市和俩俩之间的直达距离，寻找一条闭合的旅程，使得每个城市刚好经过一次且总的旅行距离最短。

TSP问题也称为货郎担问题，是一个古老的问题。

最早可以追溯到1759年Euler提出的骑士旅行的问题。

1948年，由美国兰德公司推动，TSP成为近代组合优化领域的典型难题。

TSP是一个具有广泛的应用背景和重要理论价值的组合优化问题。

近年来，有很多解决该问题的较为有效的算法不断被推出，例如Hopfield神经网络方法，模拟退火方法以及遗传算法方法等。

TSP搜索空间随着城市数n的增加而增大,所有的旅程路线组合数为(n-1)!/2。

在如此庞大的搜索空间中寻求最优解，对于常规方法和现有的计算工具而言，存在着诸多计算困难。

借助遗传算法的搜索能力解决TSP问题，是很自然的想法。

基本遗传算法可定义为一个8元组：（SGA）=（C，E，P0，M，Φ，Г，Ψ，Τ）C ——个体的编码方法，SGA使用固定长度二进制符号串编码方法；E ——个体的适应度评价函数；P0——初始群体；M ——群体大小，一般取20—100；Ф——选择算子，SGA使用比例算子；Г——交叉算子，SGA使用单点交叉算子；Ψ——变异算子，SGA使用基本位变异算子；Т——算法终止条件，一般终止进化代数为100—500；问题的表示对于一个实际的待优化问题，首先需要将其表示为适合于遗传算法操作的形式。

用遗传算法解决TSP，一个旅程很自然的表示为n个城市的排列，但基于二进制编码的交叉和变异操作不能适用。

路径表示是表示旅程对应的基因编码的最自然，最简单的表示方法。

它在编码，解码，存储过程中相对容易理解和实现。

例如：旅程（5-1-7-8-9-4-6-2-3）可以直接表示为（5 1 7 8 9 4 6 2 3）（三）实验内容N>=8。

数学建模遗传算法例题数学建模中，遗传算法是一种基于进化思想的优化算法，可以应用于复杂的优化问题中。

本文将介绍一些遗传算法的例题，帮助读者更好地理解遗传算法的应用。

例题一：背包问题有一个体积为V的背包和n个物品，第i个物品的体积为vi，价值为wi。

求这个背包最多能装多少价值的物品。

遗传算法的解决步骤：1. 初始化种群：随机生成一定数量的个体作为初始种群。

2. 适应度函数：将每个个体代入适应度函数，计算其适应度值。

3. 选择：根据每个个体的适应度值，选择一定数量的个体进入下一代。

4. 交叉：对被选中的个体进行交叉操作，生成新的个体。

5. 变异：对新的个体进行变异操作，引入新的基因。

6. 重复以上步骤，直到符合终止条件。

在背包问题中，适应度函数可以定义为：背包中物品的总价值。

交叉操作可以选择单点交叉或多点交叉，变异操作可以选择随机变异或非随机变异。

例题二：旅行商问题有n个城市，旅行商需要依次经过这些城市，每个城市之间的距离已知。

求旅行商经过所有城市的最短路径。

遗传算法的解决步骤：1. 初始化种群：随机生成一定数量的个体作为初始种群，每个个体代表一种旅行路线。

2. 适应度函数：将每个个体代入适应度函数，计算其适应度值。

3. 选择：根据每个个体的适应度值，选择一定数量的个体进入下一代。

4. 交叉：对被选中的个体进行交叉操作，生成新的个体。

5. 变异：对新的个体进行变异操作，引入新的基因。

6. 重复以上步骤，直到符合终止条件。

在旅行商问题中，适应度函数可以定义为：旅行商经过所有城市的总距离。

交叉操作可以选择顺序交叉或部分映射交叉，变异操作可以选择交换或反转基因序列。

总结：遗传算法是一种强大的优化算法，可以应用于多种复杂的优化问题中。

在数学建模中，遗传算法的应用也越来越广泛。

本文介绍了背包问题和旅行商问题的遗传算法解决步骤，希望对读者有所帮助。

寻求中国货郎担问题最短回路的多项式时间算法
周培德;周忠平;张欢
【期刊名称】《北京理工大学学报》
【年(卷),期】2000(20)2
【摘要】研究求解中国货郎担问题最短回路的多项式时间算法．首先利用计算几何中凸亮与中轴的结构将点集划分成若干个子点集，然后反复采用求子点集凸壳及划分剩余干点集的方法，求得通过于点集的子路径，最后将各子路径连接成一条回路．中国货郎担问题存在多项式时间算法求得最短回路．所设计的算法的时间复杂性为O（n2lbn），将它用于中国货郎担问题，得到一条长度为15404km的最短回路．与陈沐天等人采用几何分块方法所得的最短回路相一致．
【总页数】4页(P201-204)
【关键词】中国货郎担问题;最短回路;多项式时间算法
【作者】周培德;周忠平;张欢
【作者单位】北京理工大学计算机科学与工程系
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5;O224
【相关文献】
1.卫勤最短回路问题的遗传算法求解 [J], 蒋兴波;许开云;吴耀民
2.无回路网络中最短路问题的高效算法 [J], 冷洪泽;谢政;陈挚;徐桢
3.欧氏空间货郎担问题的一个多项式时间近似方案的改进与实现 [J], 赵卫中;冯好
娣;朱大铭
4.用遗传算法解多货郎担(2-货郎担)问题 [J], 杜均;蔡之华;陈云亮;朱莉
5.货郎担问题的对角线生成和2—最优改进回路解法 [J], King.,J;张小萸
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Microcomputer Applications V ol.27,No.7,2011开发应用微型电脑应用2011年第27卷第7期5文章编号：1007-757X(2011)07-0045-03基于并行遗传算法多旅行商问题的求解吴云，姜麟，刘强摘要：以往求解多旅行商问题的研究仅局限于以各旅行商路程总和最小为优化标准的传统遗传算法，而没有考虑他们的速度和所花时间。

在MPI 并行环境下，用C++语言实现了粗粒度模型的并行遗传算法。

结合并行遗传算法的特点，提出了解决多旅行商问题的策略以及给出相应的算法过程，并进行了有效验证。

通过研究结果表明，与传统遗传算法相比，并行遗传算法提高了运算速度，降低了平均开销时间并且最小总路径值更理想。

关键词：并行遗传算法；多旅行商问题；消息传递中图分类号：CN 31-1634/TP 文献标志码：A0引言旅行商问题(Traveling Salesman Problem,简称TSP)，又称为货郎担问题，这是一个古老而又困难的问题，至今尚未彻底解决。

经过几十年的发展TSP 取得了一些显著成果，除了经典旅行商问题外还引申出它的扩展形式：多旅行商问题(Multiple Traveling Salesman Problem ，简称MTSP)。

多旅行商问题就是有N 个城市，M 个旅行商从同一城市(或不同城市)出发，访问所有城市，使得每个城市有且仅有一个旅行商经过(出发城市除外)，且总旅行路程最短。

近年来MTSP 问题已经吸引了大量的研究者和探索者。

它是一个典型、易描述却难处理的NP 组合优化问题[1]，组合优化是遗传算法最基本的研究应用领域之一。

遗传算法是一种基于自然选择和群体遗传进化机理的随机搜索迭代算法，具有良好的全局寻优能力。

以往求解旅行商问题只考虑总路程和最短，而没有考虑所花时间。

本文结合并行优化方法，以便确定各个旅行商的行走路线使所花时间更小速度更快路径最短。

1多旅行商问题的数学描述多旅行商问题实际上就是寻找加权图中的最短回路问题。

题目：通信网络链路容量和流量优化遗传算法MATLAB源码function [Zp,Xp,Yp,LC1,LC2]=GACFA(M,N,Pm)%--------------------------------------------------------------------------% GACFA.m% Genetic Algorithm for Capacity and Flow Assignment% 链路容量和流量优化分配的遗传算法% GreenSim团队原创作品，转载请注明% 更多原创代码，请访问GreenSim团队主页：/greensim% 算法设计、代写程序，欢迎访问GreenSim——算法仿真团队→/greensim%--------------------------------------------------------------------------% 函数功能% 使用遗传算法求解通信网链路容量和流量联合优化分配问题%--------------------------------------------------------------------------% 参考文献% 叶大振,吴新余.基于遗传算法的计算机通信网优化设计[J].% 南京邮电学院学报.1996,16(2):9-15%--------------------------------------------------------------------------% 输入参数列表% M 遗传进化迭代次数% N 种群规模(取偶数)% Pm 变异概率%--------------------------------------------------------------------------% 输出参数列表% Zp 目标函数最优值% Xp 路由选择决策变量最优值% Yp 线路型号决策变量最优值% LC1 收敛曲线1，各代最优个体适应值的记录% LC2 收敛曲线2，各代群体平均适应值的记录%--------------------------------------------------------------------------%第一步：载入数据和输出变量初始化load DATA_CFA;Xp=zeros(14,1);Yp=zeros(8,3);LC1=zeros(1,M);LC2=LC1;%第二步：随机产生初始种群farm_X=zeros(14,N);farm_Y=zeros(8,3*N);for i=1:Nfor j=1:2:13RAND=rand;if RAND>0.5farm_X(j,i)=1;elsefarm_X(j+1,i)=1;endendendfor i=1:Nfor j=1:8RAND=rand;if RAND<1/3farm_Y(j,3*i-2)=1;elseif RAND>2/3farm_Y(j,3*i)=1;elsefarm_Y(j,3*i-1)=1;endendendcounter=0;%设置迭代计数器while counter<M%停止条件为达到最大迭代次数%第三步：交叉newfarm_X=zeros(14,N);newfarm_Y=zeros(8,3*N);Ser=randperm(N);%对X做交叉for i=1:2:(N-1)A_X=farm_X(:,Ser(i));B_X=farm_X(:,Ser(i+1));cp=2*unidrnd(6);a_X=[A_X(1:cp);B_X((cp+1):end)];b_X=[B_X(1:cp);A_X((cp+1):end)];newfarm_X(:,i)=a_X;newfarm_X(:,i+1)=b_X;end%对Y做交叉for i=1:2:(N-1)A_Y=farm_Y(:,(3*Ser(i)-2):(3*Ser(i)));B_Y=farm_Y(:,(3*Ser(i+1)-2):(3*Ser(i+1))); cp=unidrnd(7);a_Y=[A_Y(1:cp,:);B_Y((cp+1):end,:)];b_Y=[B_Y(1:cp,:);A_Y((cp+1):end,:)];newfarm_Y(:,(3*i-2):(3*i))=a_Y;newfarm_Y(:,(3*i+1):(3*i+3))=b_Y;end%新旧种群合并FARM_X=[farm_X,newfarm_X];FARM_Y=[farm_Y,newfarm_Y];%第四步：选择复制Ser=randperm(2*N);FITNESS=zeros(1,2*N);fitness=zeros(1,N);for i=1:(2*N)X=FARM_X(:,i);Y=FARM_Y(:,(3*i-2):(3*i));FITNESS(i)=COST(X,Y,x1_x14,F_x1_x14,A,Q,C,S,b);endfor i=1:Nf1=FITNESS(Ser(2*i-1));f2=FITNESS(Ser(2*i));if f1<f2farm_X(:,i)=FARM_X(:,Ser(2*i-1));farm_Y(:,(3*i-2):(3*i))=FARM_Y(:,(3*Ser(2*i-1)-2):(3*Ser(2*i-1))); fitness(i)=f1;elsefarm_X(:,i)=FARM_X(:,Ser(2*i));farm_Y(:,(3*i-2):(3*i))=FARM_Y(:,(3*Ser(2*i)-2):(3*Ser(2*i)));fitness(i)=f2;endend%记录最佳个体和收敛曲线minfitness=min(fitness);meanfitness=mean(fitness);LC1(counter+1)=minfitness;LC2(counter+1)=meanfitness;pos=find(fitness==minfitness);Xp=farm_X(:,pos(1));Yp=farm_Y(:,(3*pos(1)-2):(3*pos(1)));Zp=minfitness;%第五步：变异for i=1:Nif Pm>randGT_X=farm_X(:,i);GT_Y=farm_Y(:,(3*i-2):(3*i));pos1=2*unidrnd(7);if GT_X(pos1)==1GT_X(pos1-1)=1;GT_X(pos1)=0;farm_X(:,i)=GT_X;elseif GT_X(pos1)==0GT_X(pos1-1)=0;GT_X(pos1)=1;farm_X(:,i)=GT_X;elseendpos2=unidrnd(8);GT_Y(pos2,:)=zeros(1,3);GT_Y(pos2,unidrnd(3))=1;endendcounter=counter+1endXp=Xp';Yp=Yp';%plot(LC1)%hold onplot(LC2)遗传算法程序:说明: fga.m 为遗传算法的主程序; 采用二进制Gray编码,采用基于轮盘赌法的非线性排名选择, 均匀交叉,变异操作,而且还引入了倒位操作!function[BestPop,Trace]=fga(FUN,LB,UB,eranum,popsize,pCross,pMutation,pInversion,options)% [BestPop,Trace]=fmaxga(FUN,LB,UB,eranum,popsize,pcross,pmutation)% Finds a maximum of a function of several variables.% fmaxga solves problems of the form:% max F(X) subject to: LB <= X <= UB% BestPop - 最优的群体即为最优的染色体群% Trace - 最佳染色体所对应的目标函数值% FUN - 目标函数% LB - 自变量下限% UB - 自变量上限% eranum - 种群的代数,取100--1000(默认200)% popsize - 每一代种群的规模；此可取50--200(默认100)% pcross - 交叉概率,一般取0.5--0.85之间较好(默认0.8)% pmutation - 初始变异概率,一般取0.05-0.2之间较好(默认0.1)% pInversion - 倒位概率,一般取0.05－0.3之间较好(默认0.2)% options - 1*2矩阵,options(1)=0二进制编码(默认0),option(1)~=0十进制编%码,option(2)设定求解精度(默认1e-4)%% ------------------------------------------------------------------------T1=clock;if nargin<3, error('FMAXGA requires at least three input arguments'); endif nargin==3,eranum=200;popsize=100;pCross=0.8;pMutation=0.1;pInversion=0.15;options=[0 1e-4];endif nargin==4, popsize=100;pCross=0.8;pMutation=0.1;pInversion=0.15;options=[0 1e-4];end if nargin==5, pCross=0.8;pMutation=0.1;pInversion=0.15;options=[0 1e-4];endif nargin==6, pMutation=0.1;pInversion=0.15;options=[0 1e-4];endif nargin==7, pInversion=0.15;options=[0 1e-4];endif find((LB-UB)>0)error('数据输入错误,请重新输入(LB<UB):');ends=sprintf('程序运行需要约%.4f 秒钟时间,请稍等......',(eranum*popsize/1000));disp(s);global m n NewPop children1 children2 VarNumbounds=[LB;UB]';bits=[];VarNum=size(bounds,1);precision=options(2);%由求解精度确定二进制编码长度bits=ceil(log2((bounds(:,2)-bounds(:,1))' ./ precision));%由设定精度划分区间[Pop]=InitPopGray(popsize,bits);%初始化种群[m,n]=size(Pop);NewPop=zeros(m,n);children1=zeros(1,n);children2=zeros(1,n);pm0=pMutation;BestPop=zeros(eranum,n);%分配初始解空间BestPop,TraceTrace=zeros(eranum,length(bits)+1);i=1;while i<=eranumfor j=1:mvalue(j)=feval(FUN(1,:),(b2f(Pop(j,:),bounds,bits)));%计算适应度end[MaxValue,Index]=max(value);BestPop(i,:)=Pop(Index,:);Trace(i,1)=MaxValue;Trace(i,(2:length(bits)+1))=b2f(BestPop(i,:),bounds,bits);[selectpop]=NonlinearRankSelect(FUN,Pop,bounds,bits);%非线性排名选择[CrossOverPop]=CrossOver(selectpop,pCross,round(unidrnd(eranum-i)/eranum));%采用多点交叉和均匀交叉，且逐步增大均匀交叉的概率%round(unidrnd(eranum-i)/eranum)[MutationPop]=Mutation(CrossOverPop,pMutation,VarNum);%变异[InversionPop]=Inversion(MutationPop,pInversion);%倒位Pop=InversionPop;%更新pMutation=pm0+(i^4)*(pCross/3-pm0)/(eranum^4);%随着种群向前进化，逐步增大变异率至1/2交叉率p(i)=pMutation;i=i+1;endt=1:eranum;plot(t,Trace(:,1)');title('函数优化的遗传算法');xlabel('进化世代数(eranum)');ylabel('每一代最优适应度(maxfitness)');[MaxFval,I]=max(Trace(:,1));X=Trace(I,(2:length(bits)+1));hold on; plot(I,MaxFval,'*');text(I+5,MaxFval,['FMAX=' num2str(MaxFval)]);str1=sprintf('进化到 %d 代 ,自变量为 %s 时,得本次求解的最优值 %f\n对应染色体是：%s',I,num2str(X),MaxFval,num2str(BestPop(I,:)));disp(str1);%figure(2);plot(t,p);%绘制变异值增大过程T2=clock;elapsed_time=T2-T1;if elapsed_time(6)<0elapsed_time(6)=elapsed_time(6)+60; elapsed_time(5)=elapsed_time(5)-1;endif elapsed_time(5)<0elapsed_time(5)=elapsed_time(5)+60;elapsed_time(4)=elapsed_time(4)-1;end %像这种程序当然不考虑运行上小时啦str2=sprintf('程序运行耗时 %d 小时 %d 分钟 %.4f 秒',elapsed_time(4),elapsed_time(5),elapsed_time(6));disp(str2);TSP问题遗传算法matlab源程序（注释详细，经反复实验收敛速度快）%TSP问题（又名：旅行商问题，货郎担问题）遗传算法通用matlab程序%D是距离矩阵，n为种群个数,建议取为城市个数的1~2倍，%C为停止代数，遗传到第 C代时程序停止,C的具体取值视问题的规模和耗费的时间而定%m为适应值归一化淘汰加速指数 ,最好取为1,2,3,4 ,不宜太大%alpha为淘汰保护指数,可取为0~1之间任意小数,取1时关闭保护功能,最好取为0.8~1.0%R为最短路径,Rlength为路径长度function [R,Rlength]=geneticTSP(D,n,C,m,alpha)[N,NN]=size(D);farm=zeros(n,N);%用于存储种群for i=1:nfarm(i,=randperm(N);%随机生成初始种群endR=farm(1,;%存储最优种群len=zeros(n,1);%存储路径长度fitness=zeros(n,1);%存储归一化适应值counter=0;while counter<Cfor i=1:nlen(i,1)=myLength(D,farm(i,);%计算路径长度endmaxlen=max(len);minlen=min(len);fitness=fit(len,m,maxlen,minlen);%计算归一化适应值 rr=find(len==minlen);R=farm(rr(1,1),;%更新最短路径FARM=farm;%优胜劣汰，nn记录了复制的个数nn=0;for i=1:nif fitness(i,1)>=alpha*randnn=nn+1;FARM(nn,=farm(i,;endendFARM=FARM(1:nn,;[aa,bb]=size(FARM);%交叉和变异while aa<nif nn<=2nnper=randperm(2);elsennper=randperm(nn);endA=FARM(nnper(1),;B=FARM(nnper(2),;[A,B]=intercross(A,B);FARM=[FARM;A;B];[aa,bb]=size(FARM);endif aa>nFARM=FARM(1:n,;%保持种群规模为nendfarm=FARM;clear FARMcounter=counter+1endRlength=myLength(D,R);function [a,b]=intercross(a,b)L=length(a);if L<=10%确定交叉宽度W=1;elseif ((L/10)-floor(L/10))>=rand&&L>10W=ceil(L/10);elseW=floor(L/10);endp=unidrnd(L-W+1);%随机选择交叉范围，从p到p+Wfor i=1:W%交叉x=find(a==b(1,p+i-1));y=find(b==a(1,p+i-1));[a(1,p+i-1),b(1,p+i-1)]=exchange(a(1,p+i-1),b(1,p+i-1));[a(1,x),b(1,y)]=exchange(a(1,x),b(1,y));endfunction [x,y]=exchange(x,y)temp=x;x=y;y=temp;% 计算路径的子程序function len=myLength(D,p)[N,NN]=size(D);len=D(p(1,N),p(1,1));for i=1N-1)len=len+D(p(1,i),p(1,i+1));end%计算归一化适应值子程序function fitness=fit(len,m,maxlen,minlen)fitness=len;for i=1:length(len)fitness(i,1)=(1-((len(i,1)-minlen)/(maxlen-minlen+0.000001))).^m; end%初始化种群%采用二进制Gray编码,其目的是为了克服二进制编码的Hamming悬崖缺点function [initpop]=InitPopGray(popsize,bits)len=sum(bits);initpop=zeros(popsize,len);%The whole zero encoding individualfor i=2:popsize-1pop=round(rand(1,len));pop=mod(([0 pop]+[pop 0]),2);%i=1时,b(1)=a(1);i>1时,b(i)=mod(a(i-1)+a(i),2)%其中原二进制串:a(1)a(2)...a(n),Gray串:b(1)b(2)...b(n)initpop(i,:)=pop(1:end-1);endinitpop(popsize,:)=ones(1,len);%The whole one encoding individual%解码function [fval] = b2f(bval,bounds,bits)% fval - 表征各变量的十进制数% bval - 表征各变量的二进制编码串% bounds - 各变量的取值范围% bits - 各变量的二进制编码长度scale=(bounds(:,2)-bounds(:,1))'./(2.^bits-1); %The range of the variablesnumV=size(bounds,1);cs=[0 cumsum(bits)];for i=1:numVa=bval((cs(i)+1):cs(i+1));fval(i)=sum(2.^(size(a,2)-1:-1:0).*a)*scale(i)+bounds(i,1);end%选择操作%采用基于轮盘赌法的非线性排名选择%各个体成员按适应值从大到小分配选择概率：%P(i)=(q/1-(1-q)^n)*(1-q)^i, 其中 P(0)>P(1)>...>P(n), sum(P(i))=1function [selectpop]=NonlinearRankSelect(FUN,pop,bounds,bits)global m nselectpop=zeros(m,n);fit=zeros(m,1);for i=1:mfit(i)=feval(FUN(1,:),(b2f(pop(i,:),bounds,bits)));%以函数值为适应值做排名依据endselectprob=fit/sum(fit);%计算各个体相对适应度(0,1)q=max(selectprob);%选择最优的概率x=zeros(m,2);x(:,1)=[m:-1:1]';[y x(:,2)]=sort(selectprob);r=q/(1-(1-q)^m);%标准分布基值newfit(x(:,2))=r*(1-q).^(x(:,1)-1);%生成选择概率newfit=cumsum(newfit);%计算各选择概率之和rNums=sort(rand(m,1));fitIn=1;newIn=1;while newIn<=mif rNums(newIn)<newfit(fitIn)selectpop(newIn,:)=pop(fitIn,:);newIn=newIn+1;elsefitIn=fitIn+1;endend%交叉操作function [NewPop]=CrossOver(OldPop,pCross,opts)%OldPop为父代种群，pcross为交叉概率global m n NewPopr=rand(1,m);y1=find(r<pCross);y2=find(r>=pCross);len=length(y1);if len>2&mod(len,2)==1%如果用来进行交叉的染色体的条数为奇数，将其调整为偶数y2(length(y2)+1)=y1(len);y1(len)=[];endif length(y1)>=2for i=0:2:length(y1)-2if opts==0[NewPop(y1(i+1),:),NewPop(y1(i+2),:)]=EqualCrossOver(OldPop(y1(i+1),:),OldPop(y1(i+2), :));else[NewPop(y1(i+1),:),NewPop(y1(i+2),:)]=MultiPointCross(OldPop(y1(i+1),:),OldPop(y1(i+2) ,:));endendendNewPop(y2,:)=OldPop(y2,:);%采用均匀交叉function [children1,children2]=EqualCrossOver(parent1,parent2)global n children1 children2hidecode=round(rand(1,n));%随机生成掩码crossposition=find(hidecode==1);holdposition=find(hidecode==0);children1(crossposition)=parent1(crossposition);%掩码为1，父1为子1提供基因children1(holdposition)=parent2(holdposition);%掩码为0，父2为子1提供基因children2(crossposition)=parent2(crossposition);%掩码为1，父2为子2提供基因children2(holdposition)=parent1(holdposition);%掩码为0，父1为子2提供基因%采用多点交叉，交叉点数由变量数决定function [Children1,Children2]=MultiPointCross(Parent1,Parent2)global n Children1 Children2 VarNumChildren1=Parent1;Children2=Parent2;Points=sort(unidrnd(n,1,2*VarNum));for i=1:VarNumChildren1(Points(2*i-1):Points(2*i))=Parent2(Points(2*i-1):Points(2*i));Children2(Points(2*i-1):Points(2*i))=Parent1(Points(2*i-1):Points(2*i));end%变异操作function [NewPop]=Mutation(OldPop,pMutation,VarNum)global m n NewPopr=rand(1,m);position=find(r<=pMutation);len=length(position);if len>=1for i=1:lenk=unidrnd(n,1,VarNum); %设置变异点数，一般设置1点for j=1:length(k)if OldPop(position(i),k(j))==1OldPop(position(i),k(j))=0;elseOldPop(position(i),k(j))=1;endendendendNewPop=OldPop;%倒位操作function [NewPop]=Inversion(OldPop,pInversion)global m n NewPopNewPop=OldPop;r=rand(1,m);PopIn=find(r<=pInversion);len=length(PopIn);if len>=1for i=1:lend=sort(unidrnd(n,1,2));if d(1)~=1&d(2)~=nNewPop(PopIn(i),1:d(1)-1)=OldPop(PopIn(i),1:d(1)-1);NewPop(PopIn(i),d(1):d(2))=OldPop(PopIn(i),d(2):-1:d(1)); NewPop(PopIn(i),d(2)+1:n)=OldPop(PopIn(i),d(2)+1:n);endendend。

标题：算法分支限界法在货郎担问题中的应用摘要：分支限界法是一种高效的解决组合优化问题的算法，本文将详细介绍分支限界法在货郎担问题中的应用，包括问题的描述、算法原理、实现步骤以及案例分析等内容。

一、问题描述货郎担问题，又称为旅行商问题（TSP），是一个经典的组合优化问题。

问题的描述为：有n个城市，货郎担需要从一个城市出发，经过所有的城市且只经过一次，最后回到出发的城市，要求找到一条最短的路径。

这是一个NP-hard问题，传统的穷举法在城市数量较大时难以找到最优解。

二、算法原理分支限界法是一种以深度优先搜索为基础的优化算法。

其核心思想是根据当前问题状态的下界（或上界）对搜索空间进行剪枝，从而减少搜索空间，提高搜索效率。

在货郎担问题中，分支限界法通过动态规划的方式记录已经访问过的城市，从而避免重复计算，同时利用启发式信息（如最近邻居、最小生成树等）进行路径选择，不断更新路径的下界，直至找到最优解或者搜索空间被完全剪枝。

三、实现步骤1. 初始化：设置初始的城市路径、已访问城市集合、路径长度、下界等参数。

2. 搜索：利用深度优先搜索，根据当前路径确定下一个访问的城市，并更新路径长度和下界。

3. 剪枝：根据当前路径长度与下界的关系，对搜索空间进行剪枝。

4. 回溯：如果搜索路径无法继续扩展，进行回溯，更新路径状态。

5. 结束条件：当所有城市都被访问过一次后，得到一条完整的路径，更新最优解。

四、案例分析假设有5个城市，它们的坐标为：A(0, 0)、B(1, 2)、C(3, 1)、D(5, 3)、E(4, 0)利用分支限界法求解货郎担问题，我们按照以下步骤进行计算：（1）初始化：选择一个城市作为出发点，并初始化已访问城市集合、路径长度和下界。

（2）搜索：根据当前路径选择下一个访问的城市，并更新路径长度和下界。

（3）剪枝：根据当前路径长度与下界的关系，进行搜索空间的剪枝。

（4）回溯：如果搜索路径无法继续扩展，进行回溯，更新路径状态。

如何使用遗传算法解决实际问题遗传算法是一种模拟自然选择和遗传机制的优化算法，它通过模拟生物进化过程中的遗传、交叉和变异等操作，来搜索最优解。

在实际问题中，遗传算法被广泛应用于解决各种复杂的优化问题。

本文将介绍如何使用遗传算法解决实际问题，并探讨其优点和局限性。

首先，遗传算法的基本原理是模拟自然界的进化过程。

它通过对候选解进行编码，构建一个初始种群，并通过遗传操作（交叉、变异）生成新的种群，然后根据适应度函数评估每个个体的适应度，再根据适应度选择优秀的个体进行下一代的繁殖。

这个过程不断迭代，直到找到满足要求的解。

在实际问题中，遗传算法可以应用于多个领域。

例如，在工程设计中，我们可以利用遗传算法来寻找最优的设计参数，以达到最佳性能。

在物流规划中，遗传算法可以用于优化路径和运输成本，提高物流效率。

在机器学习中，遗传算法可以应用于优化神经网络的权重和结构，提高模型的性能。

遗传算法的优点之一是它能够在大规模问题中找到较好的解。

由于遗传算法的并行性和随机性，它可以在搜索空间中同时探索多个解，并通过自然选择和遗传操作不断优化解。

这使得遗传算法在处理复杂问题时具有较强的鲁棒性和全局搜索能力。

另一个优点是遗传算法的灵活性。

通过合理设计编码和适应度函数，我们可以根据问题的特点和需求来调整算法的参数和操作。

例如，在优化问题中，可以选择不同的交叉和变异策略，以及适应度函数的定义，来适应不同的目标和约束条件。

然而，遗传算法也存在一些局限性。

首先，遗传算法是一种启发式算法，它依赖于问题的特征和编码方式来搜索解空间。

如果问题的特征不符合遗传算法的假设，或者编码方式选择不当，可能会导致算法陷入局部最优解，而无法找到全局最优解。

其次，遗传算法的计算复杂度较高。

由于遗传算法需要对大量的个体进行遗传操作和适应度评估，因此在处理大规模问题时，算法的运行时间会较长。

此外，由于遗传算法是一种随机搜索算法，其收敛性和稳定性也受到随机性的影响。

遗传算法求解多目标优化问题随着科技的发展和社会的进步，人们对各种问题的优化需求越来越高。

在现实生活中，我们常常面临多个目标之间的冲突，需要找到一种解决方案，能够在多个目标之间取得平衡。

在这种情况下，多目标优化问题应运而生。

多目标优化问题（Multi-Objective Optimization Problem，简称MOP）是指在具有多个冲突目标的复杂系统中寻找最优解的问题。

解决MOP问题的方法有很多种，其中一种被广泛应用的方法就是遗传算法。

遗传算法是一个基于自然进化过程的优化算法，通过模拟自然进化的过程来搜索最优解。

它将问题的解表示为一个个体（也称为染色体），通过交叉和变异等遗传操作产生下一代的个体，不断迭代，最终找到较好的解。

在使用遗传算法求解多目标优化问题时，需要采取一些特定的策略和算子来克服多目标之间的冲突。

下面我将介绍一些常见的策略和算子。

第一，适应度函数的设计。

在单目标优化问题中，适应度函数往往只有一个目标。

而在多目标优化问题中，适应度函数需要同时考虑多个目标的性能。

常用的适应度函数设计方法有线性加权和Chebyshev方法。

线性加权方法将各个目标按一定权重加权求和，而Chebyshev方法则选取各个目标值中最大的值作为适应度值。

第二，选择操作的策略。

在遗传算法中，选择操作是保留适应度较高的个体，淘汰适应度较低的个体。

针对多目标优化问题，常用的选择操作策略有非支配排序和拥挤度算子。

非支配排序方法将个体划分为不同的层级，每一层级的个体相对于其他层级的个体来说都是非支配的。

拥挤度算子则是通过计算个体在解空间中的密度来保留具有多样性的解。

第三，交叉和变异操作的设计。

在多目标优化问题中，交叉和变异操作需要保证生成的新个体能够在多个目标之间取得平衡。

常用的交叉操作有模拟二进制交叉（SBX）和离散型交叉。

SBX方法通过对父代染色体的值进行交叉，产生子代染色体的值。

离散型交叉则从父代染色体中随机选择一个目标值来构建子代染色体。