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高三数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数，解三角形.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}(){}U 0,1,2,3,4,5,1,3,5U A B A B =⋃=⋂=ð，则集合B =（）A.{}1,3,5B.{}0,2,4 C.∅ D.{}0,1,2,3,4,52.225π5πsincos 1212-=（）A.12B.2C.12-D.2-3.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()2f x y f x y f y +--=，则()0f =（）A.0B.1C.2D.1-4.已知0,0x y >>，且121y x+=，则12x y +的最小值为（）A.2B.4C.6D.85.设函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A.12 B.13C.16D.236.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是C θ' ，空气的温度是0C θ，则min t 后该物体的温度C θ 满足()400etθθθθ-'=+-.若0,θθ'不变，在12min,min t t 后该物体的温度分别为12C,C θθ，且12θθ>，则下列结论正确的是（）A.12t t >B.12t t <C.若0θθ'>，则12t t >；若0θθ'<，则12t t <D.若0θθ'>，则12t t <；若0θθ'<，则12t t >7.已知log 1(,0n m m n >>且21,1),e m n m n ≠≠+=，则（）A.e (1)1m n -+<B.e (1)1m n -+>C.e ||1m n -< D.e ||1m n ->8.在ABC 中，4,6,90AB BC ABC ∠=== ，点P 在ABC 内部，且90,2BPC AP ∠== ，记ABP ∠α=，则tan2α=（）A.32B.23C.43D.34二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知命题2:,p x x x x ∃∈->R ；命题πππ:,π,cos sin 244q ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A.p 是真命题B.p ⌝是真命题C.q 是真命题D.q ⌝是真命题10.已知函数()1cos f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 为偶函数B.()f x 的最大值为cos2C.()f x 在()1,2上单调递减D.()f x 在()1,20上有6个零点11.已知函数()3213f x x bx cx =++，下列结论正确的是（）A.若0x x =是()f x 的极小值点，则()f x 在()0,x ∞-上单调递减B.若x b =是()f x 的极大值点，则0b <且0c <C.若3c =，且()f x 的极小值大于0，则b 的取值范围为(2,-D.若3c b =-，且()f x 在[]0,3上的值域为[]0,9，则b 的取值范围为[]3,0-三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()sin (0π)f x x ϕϕ=+< 的图象关于y 轴对称，则ϕ=__________.13.已知函数()2,0,,01x ax x f x xx x ⎧+<⎪=⎨-⎪+⎩的最小值为1-，则a =__________.14.已知函数()()sin 1f x x ϕ=++，若()()121f x f x -=，则12x x -的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.16.（15分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin 1sin 1cos cos A B A B++=.（1）证明：A B =.（2）若D 是BC 的中点，求CAD ∠的最大值.17.（15分）已知函数()e xf x a x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()e 10,0,,x a x f x a x∞->∀∈+>-，求a 的取值范围.18.（17分）已知集合,A B 中的元素均为正整数，且,A B 满足：①对于任意,i j a a A ∈，若i j a a ≠，都有i j a a B ∈；②对于任意,m k b b B ∈，若m k b b <，都有kmb A b ∈.（1）已知集合{}1,2,4A =，求B ；（2）已知集合{}()2,4,8,8A t t =>，求t ；（3）若A 中有4个元素，证明：B 中恰有5个元素.19.（17分）已知函数()()ln f x x x a x =++.（1）若()f x 是增函数，求a 的取值范围.（2）若()f x 有极小值，且极小值为m ，证明：1m .（3）若()0f x ，求a 的取值范围.高三数学试卷参考答案1.B (){}U U,0,2,4A B B B ⋂==痧.2.B 225π5π5πsin cos cos 121262-=-=.3.A令0y =，则()00f =.4.D11112224448x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当且仅当14,121,xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即2,14x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立.5.A()22cos 1xf x x x =++'，则()01f '=，即切线方程为1y x =+.令0x =，则1y =，令0y =，则1x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12.6.D 因为()1400e θθθθ-'=+-，所以004ln t θθθθ-=--'.若0θθ'>，则()04ln f θθθθθ-'=--是减函数，因为12θθ>，所以12t t <；若0θθ'<，则()04lnf θθθθθ-'=--是增函数，因为12θθ>，所以12t t >.7.B 因为log 1(,0n m m n >>且0,0)m n ≠≠，所以1m n >>或01m n <<<.若0m n <<<1，则2m n +<，与2e m n +=矛盾，所以e1,11,(1)1m n m n m n >>-+>-+>.8.C 由题意可得BCP ABP ∠∠α==.在BCP 中，sin 6sin BP BC αα==.在ABP 中，2222cos AP AB BP AB BP α=+-⋅，即2436sin 162α=+-⨯6sin 4cos αα⋅，化简得3cos24sin25αα+=，两边平方得229cos 216sin 2αα+24cos2sin225αα+=，则22229cos 216sin 224cos2sin225cos 2sin 2αααααα++=+，所以22916tan 224tan2251tan 2ααα++=+，解得4tan23α=.9.BC 因为0,0,2,0,x x x x x ⎧-=⎨<⎩ 所以0x x - ，又20x ，所以2,x x x p - 是假命题，p ⌝是真命题.由诱导公式可得πππ,π,cos sin 244ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以q 是真命题，q ⌝是假命题.10.AC 因为()()11cos cos f x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数，A 正确.()f x 的最大值为1,B 错误.令函数()()1,g x x g x x =+在()1,2上单调递增，且当()1,2x ∈时，()g x 的值域为52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为函数cos y x =在52,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在()1,2上单调递减，C 正确.当()1,20x ∈时，()g x 的值域为()2,20.05,6π20.057π<<，函数cos y x =在()2,20.05上有5个零点，所以()f x 在()1,20上有5个零点，D 错误.11.BCD由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，()f x 在()0,x ∞-上不单调，A 错误.()22f x x bx c =++'，若x b =是()f x 的极大值点，则()2220f b b b c =++='，所以()()()2223,233c b f x x bx b x b x b '=-=+-=+-.若()0,b f x =没有极值点.()0f x '=的解为123,x b x b =-=.因为x b =是()f x 的极大值点，所以3b b <-，即20,30,b c b <=-<B 正确.若3c =，则()()32221133,2333f x x bx x x x bx f x x bx ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭'.因为()f x 的极小值大于0，所以()f x 只有一个零点，且()f x 的极大值点与极小值点均大于0，所以方程21303x bx ++=无实数根，且方程()2230f x x bx =++='的2个实数根均大于0，所以2122Δ40,Δ412020,b b b ⎧=-<⎪=->⎨⎪->⎩解得2b -<<，C 正确.若3c b =-，则()()()()32213,23,00,393f x x bx bx f x x bx b f f =+-=+-=='.令()0f x '=，若2Δ4120b b =+ ，即()()30,0,b f x f x '- 单调递增，符合题意.由2Δ4120b b =+>，解得3b <-或0b >，此时()0f x '=的2个解为12x b x b =-=-.当0b >时，120,0x x <>，所以()f x 在()20,x 上单调递减，即当(0x ∈，)2x 时，()0f x <，不符合题意.当3b <-时，103x <<，所以()f x 在[]0,3上的最大值为()1f x ，且()()139f x f >=，不符合题意.综上，若3c b =-，且()f x 在[]0,3上的值域为[]0,9，则b 的取值范围为[]3,0-，D 正确.12.π2因为函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以ππ,2k k ϕ=+∈Z .又0πϕ< ，所以π2ϕ=.13.2当0x 时，11111x y x x =-=->-++.因为()f x 的最小值为1-，所以函数2y x ax =+在(),0∞-上取得最小值1-，则20,21,4a a ⎧-<⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得2a =.14.π3根据三角函数的周期性和对称性，不妨设12ππ0,,,022x x ϕϕ⎡⎤⎡⎤+∈+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.因为()()121f x f x -=，所以()()1212122sin sin 12cossin 22x x x xx x ϕϕϕ++-+-+==⋅，即121211sin2222cos 2x x x x ϕ-=++，所以12π26x x - ，即12π3x x - ，当且仅当12ππ,66x x ϕϕ+=+=-时，等号成立.15.解：（1）由图可得，2πππ2362T =-=，所以2ππT ω==.结合0ω>，解得2ω=，则()()sin 2f x x ϕ=+.由ππsin 2066f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合图象可得π2π,3k k ϕ+=∈Z ，即π2π,3k k ϕ=-+∈Z .因为π2ϕ<，所以π3ϕ=-，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）因为π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,363x ⎡⎤-∈--⎢⎣⎦，所以()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.16.（1）证明：因为sin 1sin 1cos cos A B A B ++=，所以222222sin cos sin cos 2222,cos sin cos sin 2222A A B B A A B B⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--则sincos sin cos 2222cos sincos sin 2222AA B BAA B B++=--.则sincos cos sin 02222A B A B -=，即sin 022A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为(),0,πA B ∈，所以022A B-=，即A B =.（2）解：2222224cos 22AC AC AD AC AD CD CAD AC AD AC AD∠+-+-==⋅⋅223342822ACAD AC AD AC AD AD AC +==+=⋅ ，所以π6CAD ∠，当且仅当2AD AC =时，等号成立.故CAD ∠的最大值为π6.17.解：（1）()e 1xf x a =-'.当0a 时，()()0,f x f x '<是减函数.当0a >时，()y f x ='是增函数.令()0f x '=，解得ln x a =-.当(),ln x a ∞∈--时，()0f x '<；当()()ln ,,0x a f x ∞∈-+>'.所以()f x 在(),ln a ∞--上单调递减，在()ln ,a ∞-+上单调递增.综上，当0a 时，()f x 是减函数；当0a >时，()f x 在(),ln a ∞--上单调递减，在()ln ,a ∞-+上单调递增.（2）()e 1x f x a x ->-，即e 1e x xa x a x-->-.令函数()1g x x x =-，则()e e e x x xg a a a-=-，所以()()e x g a g x >.因为()g x 在()0,∞+上单调递增，所以e x a x >，即e xxa >.令函数()()0e x x h x x =>，则()1exxh x -='.当()0,1x ∈时，()0h x '>；当()()1,,0x h x ∞∈+'<.所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()11()1,()e eh x h a h x ==>=极大值极大值.故a 的取值范围为1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.18.（1）解：由①可得2,4,8都是B 中的元素.下面证明B 中除2,4,8外没有其他元素：假设B 中还有其他元素，分两种情况：第一种情况，B 中最小的元素为1，显然81不是A 中的元素，不符合题意；第二种情况，B 中最小的元素为2，设B 中除2,4,8外的元素为()2k k b b >，因为2kb 是A 中的元素，所以k b 为4或8，而4，8也是B 中的元素，所以B 中除2,4,8外没有其他元素.综上，{}2,4,8B =.（2）解：由①可得，8,16,32,2,4,8t t t 都是B 中的元素.显然84,82,162t t t <<<，由（2）可得，422,,8816t t t 是A 中的元素，即,,248t t t是A 中的元素.因为842t t t t <<<，所以2,4,8842t t t===，解得16t =.（3）证明：设{}12341231,,,,A a a a a a a a a =<<<.由①可得，1224,a a a a 都是B 中的元素.显然1224a a a a <，由②可得，2412a a a a 是A 中的元素，即41a a 是A 中的元素.同理可得，科333412221112,,,,,a a a a a a a a a a a a 是A 中的元素.若11a =，则31344122a a a a a a a a =>，所以3112a aa a 不可能是A 中的元素，不符合题意.若12a ，则32311a a a a a <<，所以321211,a aa a a a ==，即23213121,a a a a a a ===.又因为44443211a a a a a a a <<<<，所以444123321,,a a a a a a a a a ===，即441a a =，所以{}2341111,,,A a a a a =，此时{}3456711111,,,,a a a a a B ⊆.假设B 中还有其他元素，且该元素为k ，若31k a<，由（2）可得71a A k ∈，而7411a a k>，与{}2341111,,,A a a a a =矛盾.若31k a>，因为31k A a ∈，所以131,1,2,3,4i k a i a ==，则31,1,2,3,4i k a i +==，即{}45671111,,,k a a a a ∈，所以B 中除3456711111,,,,a a a a a 外，没有其他元素.所以{}3456711111,,,,B a a a a a =，即B 中恰有5个元素.19.（1）解：()ln 2a f x x x=++'.令函数()ln 2a g x x x =++，则()2x a g x x-='.若0a >，则当()0,x a ∈时，()0g x '<，当(),x a ∞∈+时，()0g x '>，所以()g x 在()0,a 上单调递减，在(),a ∞+上单调递增，()min ()ln 3g x g a a ==+.因为()f x 是增函数，所以min ()0f x ' ，即min ()0g x ，解得31e a .若0a ，则()0g x '>在()0,∞+上恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递增.因为函数ln 2y x =+与函数a y x=-的图象有1个交点，所以存在0x ，使得00ln 20a x x ++=，即当()00,x x ∈时，()0g x <，当()0,x x ∞∈+时，()0g x >，所以()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，与题设不符.综上，a 的取值范围为31,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.（2）证明：由（1）可得当31ea 时，()f x 是增函数，不存在极小值.当310ea <<时，()()min ()0,g x g a g x =<在()0,a 上单调递减，所以()f x 在()0,a 上不存在极小值点.因为()120g a =+>，所以()()11,1,0x a g x ∃∈=，所以()f x 在()1,a x 上单调递减，在()1,x ∞+上单调递增.()()()()1()ln 2350f x f x f a a a a a a a a =<=++<+⨯-=-<极小值.当0a 时，由()1可得()()0000()ln f x f x x x a x ==++极小值.因为000ln 2a x x x =--，所以()()200000000()ln 2ln ln f x x x x x x x x x ⎡=+--=-⎣极小值]0ln 1x +-.令函数()2(ln )ln 1h x x x x ⎡⎤=-+-⎣⎦，则()()ln ln 3h x x x =-+'.当()310,1,e x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，当31,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以()h x 在()310,,1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，在31,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.当310,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2215ln 3,(ln )ln 1ln 024x x x x ⎛⎫<-+-=+-> ⎪⎝⎭，所以()2(ln )ln 10h x x x x ⎡⎤=-+-<⎣⎦.因为()()11h x h ==极大值，所以()1h x ，所以()1f x 极小值 ，当且仅当01,2x a ==-时，等号成立.综上，1m .（3）解：若333311120,330e e e e a f a a ⎛⎫⎛⎫>=-+=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合题意.若0a ，要使得()0f x ，只需要()0f x 极小值 ，即()2000ln ln 10x x x ⎡⎤-+-⎣⎦，所以()200ln ln 10x x +- ，解得01515ln 22x --+ ，即0x .000ln 2a x x x =--，令函数()ln 2u x x x x =--，则()ln 3u x x =--'.当31,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()()0,u x u x '<单调递减.因为31e >，所以()u x 在⎡⎢⎢⎥⎣⎦上单调递减.又33e 22u u ⎛⎫⎛-++==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()u x 在⎡⎢⎢⎥⎣⎦上的值域为3322⎡-+-⎢⎢⎥⎣⎦.故a 的取值范围为353522⎡+-+-⎢⎢⎥⎣⎦.。
2021年高三上学期10月质检数学试卷（理科）含解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＞a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a≤2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤22．是成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f（x）=的零点有（）A．0 B．1 C．2 D．3，则a，b，c的大小关系是（）4．设a=20.1，b=lg，c=log3A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c5．已知命题p：∃x∈R，使sinx﹣cosx=，命题q：集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}有2个子集，下列结论：（1）命题“p∧q”是真命题；（2）命题“p∧（￢q）”是假命题；（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．48．函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．9．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜210．已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A．（21，25）B．（21，24）C．（20，24）D．（20，25）二．填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．）11．2lg+log25•lg2=．12．设函数f（x）=x2ln（﹣x+）+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=．13．函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．14．已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=，f（1）=，则f＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知集合A={x|log2x＜8}，B={x|＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（1）求集合A∩B；（2）若B∪C=B，求实数a的取值范围．17．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．18．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．19．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（2t）＜0．20．已知函数f（x）=ax2﹣2x+1．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）若，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）﹣N（a），求g（a）的表达式．21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．xx学年山东省枣庄市滕州二中高三（上）10月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．设集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＞a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a≤2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，以及A与B的交集不为空集，确定出a的范围即可．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＞a}，且A∩B≠∅，∴a＜2．故选：A．2．是成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分充分性和必要性两方面加以论证：根据不等式的性质，可证明出充分性成立；再通过举出反例说明必要性是不成立的．因此得出正确选项．【解答】解：①充分性，当x1＞3且x2＞3时，根据不等式的性质可得：x1x2＞9且x1+x2＞6∴充分性成立②必要性，当x1x2＞9且x1+x2＞6成立，x1＞3且x2＞3不一定成立‘比如：x1=2，x2=8满足“x1x2＞9且x1+x2＞6”，但“x1＞3且x2＞3”不成立∴必要性不成立所以是成立的充分不必要条件故选A3．函数f（x）=的零点有（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的零点．【分析】先求定义域，然后令y=0，解出x的值，判断即可．【解答】解：函数的定义域是{x|2＜x＜3或x＞3}，令y=0，得x=3．显然无解．故选A．4．设a=20.1，b=lg，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用幂函数，指数函数，以及对数函数的性质判断即可．【解答】解：∵20.1＞20=1=lg10＞lg＞0＞log3，∴a＞b＞c，故选：D．5．已知命题p：∃x∈R，使sinx﹣cosx=，命题q：集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}有2个子集，下列结论：（1）命题“p∧q”是真命题；（2）命题“p∧（￢q）”是假命题；（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】复合命题的真假．【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．【解答】解：∵sinx﹣cosx=∈∴sinx﹣cosx=∉∴命题p是假命题又∵集合{x|x2﹣2x+1=0，x∈R}={1}，那么{1}的子集有两个：{1}、φ，∴命题q是真命题由复合命题判定真假可知．（1）命题“p∧q”是真命题，错误（2）命题“p∧（￢q）”是假命题，正确（3）命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题，正确故选C6．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可．【解答】解：当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1，则当x=0时，y=1，即y==1，即a﹣1=1，则a=2，则log a+log a=log a（•）=log28=3，故选：C．8．函数f（x）=x a满足f（2）=4，那么函数g（x）=|log a（x+1）|的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用f（3）=9，可得3a=9，解得a=2．于是g（x）=|log2（x+1）|=，分类讨论：当x≥0时，当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调性质，及g（0）=0即可得出．【解答】解：∵f（2）=4，∴2a=4，解得a=2．∴g（x）=|log2（x+1）|=∴当x≥0时，函数g（x）单调递增，且g（0）=0；当﹣1＜x＜0时，函数g（x）单调递减．故选C．9．设函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，若f（1）＜1，，则（）A．且a≠﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜﹣1或a＞0 D．﹣1＜a＜2【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．【分析】根据函数f（x）是定义在R上，周期为3的奇函数，所以有f（2）=f（﹣1）=﹣f （1），再由f（1）＜1，解不等式即可．【解答】解：由题意得f（﹣2）=f（1﹣3）=f（1）＜1，∴﹣f（2）＜1，即．∴，即3a（a+1）＞0．∴a＜﹣1或a＞0．故选C．10．已知f（x）=，若a，b，c，d是互不相同的四个正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（）A．（21，25）B．（21，24）C．（20，24）D．（20，25）【考点】分段函数的应用．【分析】图象法：画出函数y=f（x）的图象，根据图象分析a，b，c，d的关系及取值范围，从而求出abcd的取值范围．【解答】解：先画出f（x）=的图象，如图：∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），3＜c＜4，d＞6．∴﹣log3a=log3b，c+d=10，即ab=1，c+d=10，故abcd=c（10﹣c）=﹣c2+10c，由图象可知：3＜c＜4，由二次函数的知识可知：﹣32+10×3＜﹣c2+10c＜﹣42+10×4，即21＜﹣c2+12c＜24，∴abcd的范围为（21，24）．故选：B．二．填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．）11．2lg+log25•lg2=1．【考点】对数的运算性质．【分析】把第一项的真数化根式为分数指数幂，把第二项利用换底公式进行运算．【解答】解：=．故答案为1．12．设函数f（x）=x2ln（﹣x+）+1，若f（a）=11，则f（﹣a）=﹣9．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】通过观察，可以得到f（a）+f（﹣a）=2，进而即可得出．【解答】解：∵f（a）+f（﹣a）=a2ln（﹣a+）+1+（﹣a）2ln（a+）+1=2，f（a）=11，∴f（﹣a）=2﹣11=﹣9．故答案为：﹣9．13．函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是﹣4＜a ≤4．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】依题意，函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，须考虑两个方面：一是结合二次函数x2﹣ax+3a的单调性可；二是对数的真数要是正数．【解答】解：依题意函数f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，所以应有，解得﹣4＜a≤4，此即为实数a的取值范围．故答案为﹣4＜a≤4，14．已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=，f（1）=，则f=﹣，f（x+8）=f （x），从而可得f=﹣，而f（3）==，从而解得．【解答】解：∵f（x+2）=，∴f（x+4）===﹣，∴f（x+8）=﹣=f（x），∴f（x）是周期为8的函数；而xx=251×8+7，∴f=﹣，∵f（3）==，∴f=．故答案为：．15．下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是②、③．（把所有正确命题序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用命题的否定的形式判断出①错；利用含量词的命题的否定形式判断出②对；利用复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系判断出③对；利用对数函数的单调性判断出④错．【解答】解：对于①，由于否命题是对命题的条件、结论同时否定，①只否定了结论，条件没否定，故①错；对于②，由于含量词的命题有否定公式是：量词交换，结论否定，故②对；对于③，因为”￢p“为真，故p假；因为“p或q”为真，所以p，q有真，所以q一定为真，故③对；对于④，因为0＜a＜1，y=log a x是减函数，∵∴，故④错．故答案为：②③三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知集合A={x|log2x＜8}，B={x|＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（1）求集合A∩B；（2）若B∪C=B，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】（1）求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可；（2）根据B与C的并集为B，得到C为B的子集，确定出a的范围即可．【解答】解：（1）由A中log2x＜8=log223，得到0＜x＜3，即A=（0，3），由B中不等式解得：﹣2＜x＜4，即B=（﹣2，4），则A∩B=（0，3）；（2）由B∪C=B，得到C⊆B，∵B=（﹣2，4），C=（a，a+1），∴，解得：﹣2≤a≤3，则实数a的取值范围为[﹣2，3]．17．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出p，q为真时的k的范围，根据p，q一真一假，得到关于k的不等式组，解出即可．【解答】解：∵y=kx+1在R递增，∴k＞0，由∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，得方程x2+（2k﹣3）x+1=0有根，∴△=（2k﹣3）2﹣4≥0，解得：k≤或k≥，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q假，则，∴＜k＜；②若p假q真，则，∴k≤0；综上k的范围是（﹣∞，0]∪（，）．18．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax．（I）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f′（x）由f′（0）=1﹣a=2，求得a=﹣1．得到f（x）=e x﹣x2+x，再由f （0）=1求得b值；（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．令h（x）=e x﹣2x，利用导数求其最小值得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x﹣x2﹣ax，∴f′（x）=e x﹣2x﹣a，则f′（0）=1﹣a．由题意知1﹣a=2，即a=﹣1．∴f（x）=e x﹣x2+x，则f（0）=1．于是1=2×0+b，b=1．（Ⅱ）由题意f′（x）≥0，即e x﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤e x﹣2x恒成立．设h（x）=e x﹣2x，则h′（x）=e x﹣2．∴当x∈（﹣∞，ln2）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数．∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2．∴a≤2﹣2ln2，即a的最大值为2﹣2ln2．19．已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（2t）＜0．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）根据函数的奇偶性和条件，建立方程即可求函数f（x）的解析式；（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）根据函数的奇偶性将不等式f（t﹣1）+f（2t）＜0进行转化，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】解：（1）∵f（x）是（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，∴b=0．又，∴，∴a=1，∴（2）证明：任设x1、x2∈（﹣1，1），且x1＜x2则，∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴﹣1＜x1x2＜1，∴x1﹣x2＜0，且1﹣x1x2＞0，又，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（t﹣1）＜f（﹣t），∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）∵f（x）是奇函数，∴不等式可化为f（t﹣1）＜﹣f（2t）=f（﹣2t）即f（t﹣1）＜f（﹣2t），又f（x）在（﹣1，1）上是增函数，∴有解之得，∴不等式的解集为．20．已知函数f（x）=ax2﹣2x+1．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）若，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）﹣N（a），求g（a）的表达式．【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）对参数a进行讨论，分一次函数、二次函数，确定函数的单调性；（2）配方，确定函数对称轴与区间的关系，即可得到M（a）的表达式，然后确定N（a）=f（），即可求得g（a）的表达式．【解答】解：（1）当a=0时，函数f（x）=﹣2x+1在（﹣∞，+∞）上为减函数当a＞0时，抛物线f（x）=ax2﹣2x+1开口向上，对称轴为x=∴函数f（x）在（﹣∞，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数当a＜0时，抛物线f（x）=ax2﹣2x+1开口向下，对称轴为x=∴函数f（x）在（﹣∞，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数（2）∵f（x）=a（x﹣）2+1﹣，又≤a≤1，得1≤≤3当1≤＜2，即＜a≤1时，M（a）=f（3）=9a﹣5，当2≤≤3，即≤a≤时，M（a）=f（1）=a﹣1，∴即≤a≤M（a）=∵≤a≤1∴1∴N（a）=f（）=1﹣当1≤＜2，即＜a≤1时，g（a）=M（a）﹣N（a）=9a﹣6+当2≤≤3，即≤a≤时，g（a）=M（a）﹣N（a）=a﹣2+21．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）首先求出F（x）的导函数，然后分类讨论，当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ），又，求出g（x）的导函数，然后设出0＜x1＜x2，即证，再设，即证：，再进一步设出k（t），求出k（t）的导函数，则结论可证．【解答】（Ⅰ）解：在区间（0，+∞）上，．（1）当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；（2）当a＞0时，令f′（x）＞0，即，得．∴f（x）的单调增区间为（0，）；综上所述：当a≤0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）由F（x）=f（x）+ax2+ax=lnx﹣ax+ax2+ax=lnx+ax2得（x＞0），当a≥0时，恒有F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，令F′（x）=0，得，x∈（0，），F′（x）＞0，F′（x）单调递增，x∈（，+∞），F′（x）＜0，F′（x）单调递减．∴．F（x）无极小值．综上所述：a≥0时，F（x）无极值，a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ）证明：，又，∴g′（x0）=，要证k＞g′（x0），即证，不妨设0＜x1＜x2，即证，即证，设，即证：，也就是要证：，其中t∈（1，+∞），事实上：设t∈（1，+∞），则=，∴k（t）在（1，+∞）上单调递增，因此k（t）＞k（1）=0，即结论成立．xx年1月2日Q30808 7858 硘=33487 82CF 苏36081 8CF1 賱u25003 61AB 憫32232 7DE8 編20538 503A 债+ I25896 6528 攨`35719 8B87 讇。
江西省10月份高三联考数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{1,2,3}A =，{},B x y x A y A =+∈∈，则A B = （）A ．{2}B ．{3}C ．{2,3}D ．{1,2,3}2．在复数范围内，方程49x =的解的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知双曲线22:1y C x m-=的离心率大于实轴长，则m 的取值范围是（）A ．(3,)+∞B ．)+∞C ．(0,3)D ．4．若220m n -≠，cos()2m αβ-=，cos()2n αβ+=，则tan tan αβ=（）A ．m n m n-+B ．m n m n+-C ．2m n m n -+D ．2m n m n+-5．函数2()(31)e xf x x =-的最小值为（）A ．433e--B ．133e 2--C ．0D ．24e--6．已知向量,,a b c ，满足1a = ，2b = ，3c = ，π,,3a b a b c 〈〉=〈+〉=，则a b + 在c 方向上的投影向量为（）A ．3cB ．143c C ．6c D ．76c 7．现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为（）A ．420B ．660C ．720D ．12008．已知函数()f x 满足()()()22x yf x y f x f y +=+++，且(1)1f =，则(1000)f =（）A ．99922995+B ．99922996+C ．100022995+D ．100022996+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()sin 2f x x =，2()cos 2g x x =，则（）A ．()f x 与()g x 的值域相同B ．()f x 与()g x 的最小正周期相同C ．曲线()y f x =与()y g x =有相同的对称轴D ．曲线()y f x =与()y g x =有相同的对称中心10．如图，现有一个底面直径为10cm ，高为25cm 的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm ，忽略容器的厚度，则（）A ．此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为35B ．容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为cm2C ．当容器内液体的高度增加5cm 时，需要增加的液体的体积为3185πcm 3D ．当容器内沉入一个棱长为11．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为的直线与E 交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限．若动点P 在E 的准线上，则（）A ．AP BP ⋅的最小值为0B ．当PAB △为等腰三角形时，点PC ．当PAB △的重心在x 轴上时，PAB △的面积为924D ．当PAB △为钝角三角形时，点P 的纵坐标的取值范围为,,84⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =-+，则(2)f -=______．13．已知A ，B ，C ，D 四点都在球O 的球面上，且A ，B ，C 三点所在平面经过球心，AB =π3ACB ∠=，则点D 到平面ABC 的距离的最大值为______，球O 的表面积为______．14．若x ，y ，z 均为正数，且2(2)1x x y z +=，则83x yz 的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数321()43f x x ax x =+-．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程．（2）试问是否存在实数a ，使得()f x 在[]1,a 上单调递增？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．16．（15分）贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量M （单位：克）服从正态分布()2,N μσ，且(96106)0.7P M ≤≤=，(9496)0.1P M ≤≤=．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，这10个贵妃杏的平均质量（单位：克）恰等于μ克．（1）求μ．（2）求(100104)P M <≤．（3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为X ，求X 的分布列与数学期望．17．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,ABCD BC ∥平面,PAD BC AB ⊥．（1）证明：平面PAD ⊥平面PAB ．（2）若AD AB =，PA BC =，且异面直线PD 与BC 所成角的正切值为32，求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值．18．（17分）已知点()11,0F -，2(1,0)F ，动点M 满足12123MF MF F F +=，动点M 的轨迹为记为E ．（1）判断E 与圆22:8O x y +=的位置关系并说明理由．（2）若P 为E 上一点，且点P 到x 轴的距离(0,1)d ∈，求12PF F △内切圆的半径的取值范围．（3）若直线:(1)l y k x =-与E 交于C ，D 两点，1A ，2A 分别为E 的左、右顶点，设直线1AC 的斜率为()110k k ≠，直线2A D 的斜率为()220k k ≠，试问122212k k k k +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．（17分）在n 个数码1，2，…，(,2)n n n ∈≥N 构成的一个排列12n j j j 中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为()12n j j j τ ，例如，(12)0τ=，(4132)4τ=．（1）比较()613245τ与(15432)τ的大小；（2）设数列{}n a 满足()211(22)(15432)2n n n na n a n n τ++-+=+，12a =，求{}n a 的通项公式；（3）设排列122(,5)n j j j n n ∈≥N 满足()211,2,,10,29,28,,2n n n n i j i i =+-=-- ，()11,12,,210n i j i i ==- ，()122n n b j j j τ= ，21020n n b c +=，证明：56n c c c +++≥ 3840(4)[(214)ln 2124]2402nn n --++-．江西省10月份高三联考数学参考答案1．C 依题意可得{2,3,4,5,6}B =，则{2,3}A B = ．2．D由49x =，得()()22330x x+-=，得x =或x =3．A由题意得2m >>，解得3m >．4．A 因为cos()cos cos sin sin 2m αβαβαβ-=+=，cos()cos cos sin sin 2n αβαβαβ+=-=，所以cos cos m n αβ=+，sin sin m n αβ=-，所以sin sin tan tan cos cos m nm nαβαβαβ-==+．5．B2()(61)e x f x x '=+，令()0f x '<，得16x <-，令()0f x '>，得16x >-，所以2()(31)e xf x x =-的最小值为11331131e e 622f --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．6．C 因为1a = ，2b = ，3c = ，π,3a b 〈〉=，所以a b +=== a b + 在c 方向上的投影向量为()||||a b c c c c +⋅⋅=2π||||cos 3||926a b c c c c c +==⨯ ．7．B将6人分成4组，分配方案有两种：1，1，2，2和1，1，1，3．那么至少有2人选择南昌的选法种数为22133364263322C C C C A 110A 660A ⎛⎫+== ⎪⎝⎭．8．D令1y =，得(1)()(1)22()23x x f x f x f f x +=+++=++，则(1)()23xf x f x +-=+，则2999(2)(1)23,(3)(2)23,,(1000)(999)23f f f f f f -=+-=+-=+ ，将以上各式相加得()9992999212(1000)(1)22239993(10001)12f f --=++++⨯=+⨯-- 100022995=+，所以10001000(1000)22995(1)22996f f =++=+．9．ABC()sin 2[0,1]f x x =∈，1cos 4()[0,1]2xg x +=∈，则()f x 与()g x 的值域相同，A 正确．()f x与()g x 的最小正周期均为2ππ42=，B 正确．曲线()y f x =与()y g x =的对称轴方程均为π()4k x k =∈Z ，C 正确．曲线()y f x =没有对称中心，曲线()y g x =有对称中心，D错误．10．BCD 此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为3152725125⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 错误．设容器内液体倒去一半后液体的高度为cm h ，则31152h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得2h =，B 正确．因为15103252⨯=，155104252+⨯=，所以当容器内液体的高度增加5cm 时，需要增加的液体的体积为π53⨯⨯()223185π3344cm 3+⨯+=，C 正的正方体铁块时，设容器内液体的高度为cm H，体积233π31546πcm 3V =⨯⨯+=，则346π45π15H ⎛⎫= ⎪⎝⎭，15H ===，D 正确．11．AC依题意可得(1,0)F ，直线AB的方程为1)y x =-，代入24y x =，消去y 得22520x x -+=，解得12x =，212x =，因为点A在第一象限，所以(2,A，1,2B ⎛ ⎝．E 的准线方程为1x =-，设(1,)P m -，则(3,AP m =--，3,2BP m ⎛=-+ ⎝，所以2294022AP BP m m ⎛⎫⋅=+--=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭ ，A 正确．当PAB △为等腰三角形时，要使得点P 的纵坐标最大，则AB AP =，即1222++=，且m >，解得2m +=，B 错误．PAB △的重心坐标为1212,33m ⎛⎫+- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，即1,23m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，当PAB △的重心在x 轴上时，203m+=，得m PAB =△的面积为111224⎛⎫⨯+⨯=⎪⎝⎭，C 正确．当A ，B ，P三点共线时，m =-由0AP BP ⋅≥ ，得APB ∠为锐角或直角，当ABP ∠为直角或BAP ∠为直角时，0AB BP ⋅= 或0AB AP ⋅= ，得8m =-或4m =，当PAB △为钝角三角形时，点P 的纵坐标的取值范围为(,8⎛⎫-∞--- ⎪ ⎪⎝⎭,4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，D 错误．12．－2因为(2)02022f =+=+=，所以(2)(2)2f f -=-=-．13．4；64π设球O 的半径为R ，由正弦定理得28sin ABR ACB==∠，则4R =，则点D 到平面ABC 的距离的最大值为4，球O 的表面积为24π64πR =．14．127（方法一）由2(2)1x x y z +=，得3221x z x yz +=，不妨令32a x z =，2b x yz =，0a >，0b >，则2834a b x yz =，且1a b +=，所以283(1)4a a x yz -=．令2(1)()(01)4a a f a a -=<<，则(23)()4a a f a -'=，令()0f a '>，得20,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()0f a '<，得2,13a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以max 21()327f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即83x yz 的最大值为127．（方法二）由2(2)1x x y z +=，得3321x z x z x yz ++=．由,,0)3a b c a b c ++≥>，得1≥则83127x yz ≤，当且仅当32x z x yz =，即x y =时，等号成立，故83x yz 的最大值为127．15．解：（1）当1a =-时，321()43f x x x x =--，则2()24f x x x '=--，所以(3)1f '=-，因为(3)12f =-，所以曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程为12(3)y x +=--，即9y x =--（或90x y ++=）．（2）假设存在实数a ，使得()f x 在[]1,a 上单调递增，则2()240f x x ax '=+-≥对[1,]x a ∈恒成立，即22xa x ≥-对[1,]x a ∈恒成立．当[1,]x a ∈时，22x y x =-为增函数，则max 22132122x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以32a ≥，又1a >，所以a 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．16．解：（1）1011021001039998100999710110010μ+++++++++==．（2）因为100μ=，所以(104106)(9496)0.1P M P M ≤≤=≤≤=，所以0.70.1(100104)0.32P M -<≤==．（3）设1人获赠贵妃杏的个数为Y ，则(0)0.5P Y ==，(1)0.3P Y ==，(2)0.2P Y ==．依题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，4，(0)0.50.50.25P X ==⨯=，(1)0.50.320.3P X ==⨯⨯=2(2)0.30.50.220.29P X ==+⨯⨯=，(3)0.30.220.12,(4)0.20.20.04P X P X ==⨯⨯===⨯=则X 的分布列为X 01234P0.250.30.290.120.04所以()10.320.2930.1240.04 1.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．17．（1）证明：PA ⊥ 底面ABCD ，PA BC ∴⊥．BC AB ⊥ ，PA AB A = ，BC ∴⊥平面PAB .BC ∥ 平面PAD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BC AD ∴∥，AD ∴⊥平面PAB ．又AD ⊂平面,PAD ∴平面PAD ⊥平面PAB .（2）解：BC AD ∥ ，∴直线PD 与直线BC 所成的角为PDA ∠．PA ⊥ 底面ABCD ，3,tan 2PA PA AD PDA AD ∴⊥∴∠==，即PA =32AD ．设AD 为2个单位长度，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2,0)A D ，(2,3,0)C ，(0,0,3)P ，(2,1,0)CD ∴=-- ，(0,2,3)DP =-设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z = ，则20,230,n CD x y n DP y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取3x =-，则6,4y z ==，得(3,6,4)n =-．易知平面PAB 的一个法向量为(0,2,0)AD =，则cos ,AD 〈 66161||||261AD n n AD n ⋅〉===⨯．故平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值为56161．18．解：（1）因为12121236MF MF F F F F +==>，所以E 是以1F ，2F 为焦点，且长轴长为6的椭圆．设E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则26a =，可得3a =，又1c =，所以2228b a c =-=，联立22198x y +=与228x y +=，得0x =，2y =±，所以E 与圆22:8O x y +=相切．（2）12PF F △的周长1212628l PF PF F F =++=+=，12PF F △的面积121(0,1)2S F F d d =⋅=∈，所以12PF F △内切圆的半径2110,44S r d l ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，故12PF F △内切圆的半径的取值范围为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）联立221, 98(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()()22228918980k x k x k +-+-=，易知0∆>，且21221889k x x k +=+，()21229889k x x k -=+．设()()1122,,C x y D x y ，则121212,33y yk k x x ==+-，所以()()()()()()1212112122212112123133331333y x k x x k x x x x k y x k x x x x x x -----+===+-+-+-．（方法一）由21221889k x x k +=+，()21229889k x x k-=+，得()121259x x x x =+-，所以()()1212112212121259332461593348122x x x x k x x k x x x x x x +---++-===+--+-+-．（方法二）因为()()12122121212232343x x x x x k k x x x x x -+++=-++-，所以()()()()()()22222222221222222222229898543895423289898998981838918434898989k k k k k x x k k k k k k k k k k x xk kk ---++-++++++==----+-+-++++2222221848218936962489k x k k x k--++==--++．所以1222121221125k k k k k k k k ==++，故122212k k k k +为定值，且定值为25．19．（1）解：在排列613245中，与6构成逆序的有5个，与3构成逆序的有1个，与1，2，4，5构成逆序的均有0个，所以(613245)516τ=+=；在排列15432中，与5构成逆序的有3个，与4构成逆序的有2个，与3构成逆序的有1个，与1，2构成逆序的均有0个，所以(15432)3216τ=++=．故(613245)(15432)ττ=．（2）解：由（1）知()211(22)62n n n na n a n n ++-+=+，所以()()12121(22)622n nn n na n a nn nn ++++-=++，即116(1)22n n n n a a n n ++-=+⋅．因为12a =，所以数列2n n a n ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭是首项为1，公差为6的等差数列，所以16(1)652n n a n n n =+-=-⋅，则()2652n n a n n =-⋅．（3）证明：因为()211,2,,10,29,28,,2n n n n i j i i =+-=-- ，所以在排列122n j j j 中，排在前面的10个数依次为2n ，21n -，22n -，…，29n -，排在后面的10个数依次为10，9，8，…，1，所以()()1222122210(9810)n n n nj j j τ=-+-++-++++++ (220)10101010n -+++ 个所以()()2122210(9810)10220202210n n n n n n b =-+-++-++++++-=⨯- ，则210220n n n b c +==．设函数3840()4ln (32)f x x x x x =+-≥，则22223840443840(60)(64)()1x x x x f x x x x x --+-'=--==，当3264x ≤<时，()0f x '<，当64x >时，()0f x '>，所以min 3840()(64)644ln 6412424ln 264f x f ==+-=-，所以38404ln 12424ln 2x x x +-≥-，当且仅当64x =时，等号成立．取2(5)n x n =≥，则384024ln 212424ln 22n n n +-≥-，即384024ln 212424ln 2(5)2m n n n ≥-+-≥所以56561114ln 2(56)3840(12424ln 2)(4)222n n c c c n n ⎛⎫+++≥⨯+++-++++--⎪⎝⎭，即515611222(5)(4)ln 23840(12424ln 2)(4)112n n c c c n n n +-+++≥+--⨯+--- 3840(4)[(214)ln 2124]2402n n n =--++-．。
2021届江西省南昌县莲塘第一中学高三（上）10月质量检测物理试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 汽车甲沿着平直的公路以速度v0做匀速直线运动，当它路过某处的同时，该处有一辆汽车乙开始做初速度为零的匀加速运动去追赶甲车．则根据上述的已知条件（）A．可求出乙车追上甲车时乙车的速度B．可求出乙车追上甲车时乙车所走的路程C．可求出乙车从开始起动到追上甲车时所用的时间D．不能求出上述三者中任何一个2. 关于力和运动的关系，下列说法中不正确的是（）A．做曲线运动的物体的所受合力一定是变化的B．两个互成角度的匀变速直线运动的合运动可能是直线运动C．物体做曲线运动，其速度大小不一定改变D．抛体运动的物体在相等的时间内速度变化一定相同3. 小船在静水中的速度为5m/s，它在一条流速为4m/s、河宽为120m的河流中渡河，则（）A．小船保持船头与河岸垂直方向行驶，只需24s就可以到达对岸B．小船若在24s的时间内渡河，则一定是到达正对岸C．小船若以最短距离渡河，所用的时间为30sD．若小船保持船头与河岸垂直方向行驶，渡河中若水流突然增大，则小船到达河岸时间变长4. 如图所示，倾角为的斜面上，一质量为4m的物块经跨过定滑轮的细绳与一质量为m的小球相连，现将小球从水平位置由静止释放，小球由水平位置运动到最低点的过程中，物块和斜面始终静止，小球和物块始终在同一竖直平面内，则此过程中（）A．细绳的拉力先减小后增大B．物块所受摩擦力逐渐增大C．地面对斜面的支持力逐渐减小D．地面对斜面的摩擦力先增大后减小5. 有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（）A．如图a，汽车通过拱桥的最高点处于超重状态B．如图b所示是一圆锥摆，增大θ，若保持圆锥的高不变，则圆锥摆的角速度不变C．如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A、B两位置小球的角速度及所受筒壁的支持力大小相等D．火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对火车轮缘会有挤压作用6. 已知某半径为的质量分布均匀的天体，测得它的一个卫星的圆轨道的半径为r，卫星运行的周期为T。
江西省多校2024-2025学年高三上学期10月联考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．在复数范围内，方程的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若，，，则（ ）A．B ．C ．D ．5．函数的最小值为（ ）A ．B ．C ．0D ．6．已知向量，满足，，，，则在方向上的投影向量为（ ）AB ．CD ．7．现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为（ ）A ．420B ．660C ．720D ．1200{1,2,3}A ={},B x y x A y A =+∈∈A B = {2}{3}{2,3}{1,2,3}49x =22:1y C x m-=m (3,)+∞)+∞(0,3)220m n -≠cos()2m αβ-=cos()2n αβ+=tan tan αβ=m n m n-+m n m n+-2m n m n-+2m n m n+-2()(31)e xf x x =-433e--133e 2--24e --,,a b c1a = 2b = 3c = π,,3a b a b c 〈〉=〈+〉= a b + c143c 76c8．已知函数满足，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，，则（ ）A ．与的值域相同B ．与的最小正周期相同C ．曲线与有相同的对称轴D ．曲线与有相同的对称中心10．如图，现有一个底面直径为10cm ，高为25cm 的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm ，忽略容器的厚度，则（ ）A ．此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为BC ．当容器内液体的高度增加5cm 时，需要增加的液体的体积为D11．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于A ，B 两点，其中点在第一象限．若动点在的准线上，则（ ）A ．的最小值为0B ．当为等腰三角形时，点C ．当的重心在轴上时，()f x ()()()22x yf x y f x f y +=+++(1)1f =(1000)f =99922995+99922996+100022995+100022996+()sin 2f x x =2()cos 2g x x =()f x ()g x ()f x ()g x ()y f x =()y g x =()y f x =()y g x =353185πcm 32:4E y x =F F E A P E AP BP ⋅PAB △P PAB △x PAB △D ．当为钝角三角形时，点的纵坐标的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若是定义在上的奇函数，当时，，则______．13．已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，则点到平面ABC 的距离的最大值为______，球O 的表面积为______．14．若，，均为正数，且，则的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程．（2）试问是否存在实数，使得在上单调递增？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．16．（15分）贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且，．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，这10个贵妃杏的平均质量（单位：克）恰等于克．（1）求．（2）求．（3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望．17．（15分）如图，在四棱锥中，底面平面．（1）证明：平面平面PAB ．（2）若，，且异面直线PD 与BC 所成角的正切值为，求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值．PAB △P ,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()f x R 0x >()2f x x x =-+(2)f -=A B C D O A B C AB =π3ACB ∠=D x y z 2(2)1x x y z +=83x yz 321()43f x x ax x =+-1a =-()y f x =(3,(3))f a ()f x []1,a a M ()2,N μσ(96106)0.7P M ≤≤=(9496)0.1P M ≤≤=μμ(100104)P M <≤X X P ABCD -PA ⊥,ABCD BC ∥,PAD BC AB ⊥PAD ⊥AD AB =PA BC =3218．（17分）已知点，，动点满足，动点的轨迹为记为．（1）判断与圆的位置关系并说明理由．（2）若为上一点，且点到轴的距离，求内切圆的半径的取值范围．（3）若直线与交于C ，D 两点，，分别为的左、右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．（17分）在个数码1，2，…，构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，，．（1）比较与的大小；（2）设数列满足，，求的通项公式；（3）设排列满足，，，，证明：．江西省10月份高三联考数学参考答案1．C 依题意可得，则．()11,0F -2(1,0)F M 12123MF MF F F +=M E E 22:8O x y +=P E P x (0,1)d ∈12PF F △:(1)l y k x =-E 1A 2A E 1AC ()110k k ≠2A D ()220k k ≠122212k k k k +n (,2)n n n ∈≥N 12n j j j ()12n j j j τ (12)0τ=(4132)4τ=()613245τ(15432)τ{}n a ()211(22)(15432)2n n n na n a n n τ++-+=+12a ={}n a 122(,5)n j j j n n ∈≥N ()211,2,,10,29,28,,2n n n n i j i i =+-=-- ()11,12,,210n i j i i ==- ()122n n b j j j τ= 21020n n b c +=56n c c c +++≥ 3840(4)[(214)ln 2124]2402nn n --++-{2,3,4,5,6}B ={2,3}A B =2．D 由，得，得或3．A 由题意得，解得．4．A 因为，，所以，，所以．5．B ，令，得，令，得，所以的最小值为．6．C 因为，，，，所以在方向上的投影向量为．7．B 将6人分成4组，分配方案有两种：1，1，2，2和1，1，1，3．那么至少有2人选择南昌的选法种数为．8．D 令，得，则，则，将以上各式相加得，所以．9．ABC ，，则与的值域相同，A 正确．与的最小正周期均为，B 正确．曲线与的对称轴方程均为，C 正确．曲线没有对称中心，曲线有对称中心，D 错误．49x =()()22330x x+-=x =x =2m >>3m >cos()cos cos sin sin 2m αβαβαβ-=+=cos()cos cos sin sin 2n αβαβαβ+=-=cos cos m n αβ=+sin sin m n αβ=-sin sin tan tan cos cos m nm nαβαβαβ-==+2()(61)e xf x x '=+()0f x '<16x <-()0f x '>16x >-2()(31)e x f x x =-11331131e e 622f --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1a = 2b = 3c = π,3a b 〈〉=a b +=== a b + c ()||||a b c c c c +⋅⋅= 2π||||cos 3||a b c c c +== 22133364263322C C C C A 110A 660A ⎛⎫+== ⎪⎝⎭1y =(1)()(1)22()23x x f x f x f f x +=+++=++(1)()23xf x f x +-=+2999(2)(1)23,(3)(2)23,,(1000)(999)23f f f f f f -=+-=+-=+ ()9992999212(1000)(1)22239993(10001)12f f --=++++⨯=+⨯-- 100022995=+10001000(1000)22995(1)22996f f =++=+()sin 2[0,1]f x x =∈1cos 4()[0,1]2xg x +=∈()f x ()g x ()f x ()g x 2ππ42=()y f x =()y g x =π()4k x k =∈Z ()y f x =()y g x =10．BCD 此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为，A 错误．设容器内液体倒去一半后液体的高度为，则，解得，B正确．因为，，所以当容器内液体的高度增加5cm 时，需要增加的液体的体积为，C 正的正方体铁块时，设容器内液体的高度为，体积，则，，D 正确．11．AC 依题意可得，直线AB 的方程为，代入，消去得，解得，，因为点在第一象限，所以，．的准线方程为，设，则，，所以，A 正确．当为等腰三角形时，要使得点的纵坐标最大，则，即，且，解得，B 错误．的重心坐标为，即，当的重心在轴上时，，得的面积为C 正确．当，，三点共线时，，得为锐角或直角，当为直角或为直角时，或，得或，当为钝角三角形时，3152725125⎛⎫= ⎪⎝⎭cm h 31152h ⎛⎫= ⎪⎝⎭h =15103252⨯=155104252+⨯=π53⨯⨯()223185π3344cm 3+⨯+=cm H 233π31546πcm 3V =⨯⨯+=346π45π15H ⎛⎫= ⎪⎝⎭15H ===(1,0)F 1)y x =-24y x =y 22520x x -+=12x =212x =A (2,A 1,2B ⎛ ⎝E 1x =-(1,)P m -(3,AP m =-- 3,2BP m ⎛=- ⎝ 229402AP BP m m ⎛⋅=+--=≥ ⎝ PAB △P AB AP =1222++=m >m =PAB △12123⎛+- ⎝⎭12⎛ ⎝PAB △x 0=m PAB =△11122⎛⎫⨯+⨯=⎪⎝⎭A B P m =-0AP BP ⋅≥APB ∠ABP ∠BAP ∠0AB BP ⋅= 0AB AP ⋅= m =m =PAB △点的纵坐标的取值范围为，D 错误．12．－2 因为，所以．13．4； 设球的半径为，由正弦定理得，则，则点到平面ABC 的距离的最大值为4，球的表面积为．14．（方法一）由，得，不妨令，，，，则，且，所以．令，则，令，得，令，得，所以，即的最大值为．（方法二）由，得．由，得则，当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为．15．解：（1）当时，，则，所以，因为，所以曲线在点处的切线方程为，即（或）．（2）假设存在实数，使得在上单调递增，则对恒成立，即对恒成立．P (,⎛-∞-- ⎝ ⎫+∞⎪⎪⎭(2)02022f =+=+=(2)(2)2f f -=-=-64πO R 28sin ABR ACB==∠4R =D O 24π64πR =1272(2)1x x y z +=3221x z x yz +=32a x z =2b x yz =0a >0b >2834a b x yz =1a b +=283(1)4a a x yz -=2(1)()(01)4a a f a a -=<<(23)()4a a f a -'=()0f a '>20,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f a '<2,13a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭max 21()327f a f ⎛⎫==⎪⎝⎭83x yz 1272(2)1x x y z +=3321x z x z x yz ++=,,0)3a b c a b c ++≥>1≥83127x yz ≤32x z x yz =x y =83x yz 1271a =-321()43f x x x x =--2()24f x x x '=--(3)1f '=-(3)12f =-()y f x =(3,(3))f 12(3)y x +=--9y x =--90x y ++=a ()f x []1,a 2()240f x x ax '=+-≥[1,]x a ∈22xa x ≥-[1,]x a ∈当时，为增函数，则，所以，又，所以的取值范围为．16．解：（1）．（2）因为，所以，所以．（3）设1人获赠贵妃杏的个数为，则，，．依题意可得的可能取值为0，1，2，3，4，，，则的分布列为012340.250.30.290.120.04所以．17．（1）证明：底面，．，，平面PAB .平面PAD ，平面平面，，平面PAB ．又平面平面平面PAB .（2）解：，直线PD 与直线BC 所成的角为．底面ABCD ，，即．设AD 为2个单位长度，以为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，[1,]x a ∈22x y x =-max 22132122x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭32a ≥1a >a 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1011021001039998100999710110010μ+++++++++==100μ=(104106)(9496)0.1P M P M ≤≤=≤≤=0.70.1(100104)0.32P M -<≤==Y (0)0.5P Y ==(1)0.3P Y ==(2)0.2P Y ==X (0)0.50.50.25P X ==⨯=(1)0.50.320.3P X ==⨯⨯=2(2)0.30.50.220.29P X ==+⨯⨯=(3)0.30.220.12,(4)0.20.20.04P X P X ==⨯⨯===⨯=X X P()10.320.2930.1240.04 1.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=PA ⊥ ABCD PA BC ∴⊥BC AB ⊥ PA AB A = BC ∴⊥BC ∥ PAD ABCD AD =BC AD ∴∥AD ∴⊥AD ⊂,PAD ∴PAD ⊥BC AD ∥ ∴PDA ∠PA ⊥ 3,tan 2PA PA AD PDA AD ∴⊥∴∠==PA =32AD A x y z (0,0,0),(0,2,0)A D (2,3,0)C (0,0,3)P (2,1,0)CD ∴=-- (0,2,3)DP =-设平面PCD 的法向量为，则取，则，得．易知平面PAB 的一个法向量为，则．故平面PAB 与平面PCD．18．解：（1）因为，所以是以，为焦点，且长轴长为6的椭圆．设的方程为，则，可得，又，所以，联立与，得，，所以与圆相切．（2）的周长，的面积，所以内切圆的半径，故内切圆的半径的取值范围为．（3）联立得，(,,)n x y z = 20,230,n CD x y n DP y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩3x =-6,4y z ==(3,6,4)n =-(0,2,0)AD =cos ,AD 〈 ||||AD n n AD n ⋅〉===12121236MF MF F F F F +==>E 1F 2F E 22221(0)x y a b a b +=>>26a =3a =1c =2228b a c =-=22198x y +=228x y +=0x =y =±E 22:8O x y +=12PF F △1212628l PF PF F F =++=+=12PF F △121(0,1)2S F F d d =⋅=∈12PF F △2110,44S r d l ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭12PF F △10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭221, 98(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()()22228918980k x k x k +-+-=易知，且，．设，则，所以．（方法一）由，，得，所以．（方法二）因为，所以．所以，故为定值，且定值为．19．（1）解：在排列613245中，与6构成逆序的有5个，与3构成逆序的有1个，与1，2，4，5构成逆序的均有0个，所以；在排列15432中，与5构成逆序的有3个，与4构成逆序的有2个，与3构成逆序的有1个，与1，2构成逆序的均有0个，所以．故．（2）解：由（1）知，所以，即0∆>21221889k x x k +=+()21229889k x x k -=+()()1122,,C x y D x y 121212,33y yk k x x ==+-()()()()()()1212112122212112123133331333y x k x x k x x x x k y x k x x x x x x -----+===+-+-+-21221889k x x k +=+()21229889k x x k-=+()121259x x x x =+-()()1212112212121259332461593348122x x x x k x x k x x x x x x +---++-===+--+-+-()()12122121212232343x x x x x k k x x x x x -+++=-++-()()()()()()22222222221222222222229898543895423289898998981838918434898989k k k k k x x k k k k k k k k k k x xk kk ---++-++++++==----+-+-++++2222221848218936962489k x k k x k--++==--++1222121221125k k k k k k k k ==++122212k k k k +25(613245)516τ=+=(15432)3216τ=++=(613245)(15432)ττ=()211(22)62n n n na n a n n ++-+=+()()12121(22)622n nn n na n a nn nn ++++-=++．因为，所以数列是首项为1，公差为6的等差数列，所以，则．（3）证明：因为，所以在排列中，排在前面的10个数依次为，，，…，，排在后面的10个数依次为10，9，8，…，1，所以所以，则．设函数，则，当时，，当时，，所以，所以，当且仅当时，等号成立．取，则，即所以，即．116(1)22n n n n a a n n ++-=+⋅12a =2n n a n ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭16(1)652n n a n n n =+-=-⋅()2652n n a n n =-⋅()211,2,,10,29,28,,2n n n n i j i i =+-=-- 122n j j j 2n 21n -22n -29n -()()1222122210(9810)n n n n j j j τ=-+-++-++++++ (220)10101010n -+++个()()2122210(9810)10220202210n n n n n n b =-+-++-++++++-=⨯- 210220n n n b c +==3840()4ln (32)f x x x x x =+-≥22223840443840(60)(64)()1x x x x f x x x x x --+-'=--==3264x ≤<()0f x '<64x >()0f x '>min 3840()(64)644ln 6412424ln 264f x f ==+-=-38404ln 12424ln 2x x x+-≥-64x =2(5)n x n =≥384024ln 212424ln 22n n n +-≥-384024ln 212424ln 2(5)2m n n n ≥-+-≥56561114ln 2(56)3840(12424ln 2)(4)222n n c c c n n ⎛⎫+++≥⨯+++-++++-- ⎪⎝⎭515611222(5)(4)ln 23840(12424ln 2)(4)112n n c c c n n n +-+++≥+--⨯+--- 3840(4)[(214)ln 2124]2402n n n =--++-。
2024-2025学年江西省上进联考高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={−4,−3,0,6}，B ={x ∈Z||x|≤3}，则A ∩B 的非空真子集的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 62.已知命题p ：∀x ∈R ，|x +2024|>0，命题q ：∃x <−3，sin (x +3)=0，则( )A. p 和q 都是真命题 B. ￢p 和q 都是真命题C. p 和￢q 都是真命题D. ￢p 和￢q 都是真命题3.将函数f(x)=sin (3x +φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度后得到奇函数g(x)的图象，则φ=( )A. π12B. π4C. 5π12D. π24.已知函数f(x)={e x +3x,x ≤0,x 2+2ax +5a,x >0在R 上单调，则a 的取值范围是( )A. (−∞,15]B. [0,15]C. [15,+∞)D. [0,+∞)5.已知sin 2θ+23sinθcosθ+3cos 2θ=4，则tanθ=( )A. 1B. −22C. 2D.336.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足bc =3a 2，且b +c =72a ，则sinA =( )A.156B.158C. 23D. 387.已知a +1a−1=2+log 326，则a =( )A. log 392B. 32C. log 34D. 28.已知a ，b 为正数，若∀x >−b ，有函数f(x)=(x +b )x−a ≥1，则1a +8b 的最小值为( )A. 9+22B. 9+42C. 9D. 63二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a >b >c ，则( )A. a−c 2>b−c 2B. a|c−2|>b|c−2|C. cos (a +2c)>cos (b +2c)D. a 3>b 310.已知函数f(x)=ae x +bx +c 的两个零点分别为−1，1，且f(0)<0，则( )A. c=−e+e−12⋅a B. a>0 C. 2b+ea<0 D. a+b+c<011.若存在实数b使得方程x4+mx3+nx+b=0有四个不等的实根，则mn的值可能为( )A. −2024B. 2025C. 0D. −6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
江西省南昌市莲塘一中2018届高三10月月考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数z 满足()211z i i -=+，则z =（ ）． A ．12B．2C ．1D2．已知命题p ：x R ∀∈，35x x <，命题q ：0x R +∃∈，20012x x ->，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∧3．1012x dx ⎫=⎪⎭⎰（ ） A ．14π+ B ．12π+ C ．124π+D ．14π+4．不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，则不等式220x bx a ++>的解集为（ ） A ．{1x x <-或12x ⎫>⎬⎭B ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．{}21x x -<< D ．{2x x <-或}1x >5．在△ABC 中，2,4a A π==，若此三角形有两解，则b 的范围为（ ）A．2b <<B ．b > 2C ．b<2D．1 2b <<6．已知1sin()63πα+=，则2cos(2)3πα-的值是 A ．59B ．89- C ．13-D ．79-7．已知函数()()sin 2(0)2f x x πϕϕ=+<<的图象的一条对称轴为直线12x π=，则要得到函数()2g x x =的图象，只需把函数()f x 的图象( ) A ．向右平移3π倍B ．向右平移6πC ．向左平移3π倍 D ．向左平移6π倍 8．已知函数()240f x x ax =-+≥对一切(]0,1x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(]0,1B ．()0,5C ．[)1+∞，D ．(],5-∞ 9．设1x >-，则()()521x x y x ++=+的最小值为（ ）A ．4B ．9C ．7D ．1310．定义12nnp p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则122320152016111b b b b b b +++=（ ）A ．20132014 B ．20142015 C ．20152016 D ．1201511．定义在区间（1，+∞）内的函数f （x ）满足下列两个条件：①对任意的x∈（1，+∞），恒有f （2x ）=2f （x ）成立； ②当x∈（1，2]时，f （x ）=2﹣x.已知函数y=f （x ）的图象与直线mx-y-m=0恰有两个交点，则实数m 的取值范围是 A ．[1，2）B ．（1，2]C ．4[23，）D ．42]3（，二、填空题12．经过原点(0,0)作函数32()3f x x x =+图像的切线，则切线方程为__________．13．在数列{}n a 中，已知其前n 项和为23nn S =+，则n a =__________．14．已知三个向量,,a b c 共面，且均为单位向量， 0a b ⋅=，则a b c +-的取值范围为__________.15．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()41g x f x =-的零点个数为__________．三、解答题16．已知集合{}{}|23,|15A x a x a B x x x =≤<+=-或. （1）若1a =-，求()R A B C A B ，⋃⋂； （2）若A B φ⋂=，求实数a 的取值范围.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121,n n a S n N *+=+∈．等 差数列{}n b 中，25b =，且公差2d =． （Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得1122...60n n a b a b a b n ＞++?．若存在，求出n 的最小值；若 不存在，请说明理由．18．已知向量()cos2,m x a =，(),2n a x =，且函数()().5?f x m n a R =-∈ （Ⅰ）当函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3时，求a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的t R ∈，函数()y f x =，,]t t b +在（上的图像与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定b 的值.并求函数()y f x =在(]0,b 上的单调递减区间.19．某科研小组研究发现：一棵水果树的产量w （单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：()()()211022{34251x x x x xω+≤≤=-<≤+．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）2x 百元．已知这种水果的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为()L x （单位：百元）． （1）求()L x 的函数关系式；当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？20．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]3π上单调递增，在区间2[,]33ππ上单调递减．如图，四边形OACB 中，,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 的对边，且满足4cos cos sin sin 3sin cos B CB C A Aω--+=．（1）证明：2b c a +=；（2）若b c =，设AOB θ∠=，(0)θπ<<，22OA OB ==，求四边形OACB 面积的最大值．21．已知函数21()ln 2f x x ax =-，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()(1)1f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值．参考答案1．B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，复数()211z i i -=+，得2211(1)11(1)2222i i i i z i i i i +++⋅====-+---，∴||z ==．故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 2．D 【解析】命题p ：x R ∀∈，35x x <是假命题，命题q ：0x R +∃∈，20012x x ->是真命题，则()p q ⌝∧为真命题，选D. 3．A 【详解】1112001111022444x x dx dx xdx ππ+⎫=+=+=⎪⎭⎰⎰⎰故选A. 4．A 【分析】由题意可知1-、2是关于x 的二次方程220ax bx ++=的两根，利用韦达定理可求得a 、b 的值，进而可求得不等式220x bx a ++>的解集.【详解】由题意可知1-、2是关于x 的二次方程220ax bx ++=的两根，由韦达定理可得21212ab a ⎧-⨯=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，不等式220x bx a ++>即为2210x x +->，解得1x <-或12x >. 因此，不等式220x bx a ++>的解集为{1x x <-或12x ⎫>⎬⎭.故选：A. 5．A 【解析】在△ABC 中，由正弦定理得sin sin a b A B=，所以sinsin 4sin 2b b A B a π==4=，又三角形有两解，所以201b >⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得2<<b A ． 6．D 【解析】1 sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，27cos 2cos 212sin 3669πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,又22cos 2cos 2cos 2cos 23333ππππααπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦79-,故选D. 7．B 【解析】∵函数()()sin 2(0)2f x x πϕϕ=+<<的图象的一条对称轴为直线12x π=，∴2,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，∴,3k k Z πϕπ=+∈，又02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,∴将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后所得图象对应的解析式为 y sin 2sin 263x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所得图象对应的解析式为()g x x =．故选B ． 8．D 【解析】原不等式等价于：244,ax x a x x≤+≤+， 结合恒成立的条件可得：()min 401a x x x ⎛⎫≤+<≤ ⎪⎝⎭由对勾函数的性质可知函数4y x x=+在定义域内单调递减， 则函数的最小值为：4151+=， 据此可得：实数a 的取值范围为(],5-∞. 本题选择D 选项.点睛：对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．9．B 【解析】271041511x x y x x x++==+++++ ,由均值不等式得到415591x x +++≥=+ 等号成立的条件是4111x x x=+⇒=+ 故答案选B ．点睛：这个题目考查的是函数的最值问题，分式型的，可以换元，也可以像答案这样分离常数271041511x x y x x x++==+++++，发现函数前半部分是乘积为定值，且每一项都大于零，故能想到均值定理，注意等号能否成立. 10．C【解析】由已知定义，得到121 (21)n n a a a n =++++， ()12...21n n a a a n n S ∴+++=+=，即22n S n n=+，当1n =时，113a S ==，当2n ≥时，()()()221221141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦，当1n =时也成立，41n a n ∴=-，()111111,411n n n n a b n b b n n n n ++==∴==-++，12233411111111111...1...1223111n n nb b b b b b b b n n n n +∴++++=-+-++-=-=+++，1223342015201611112015 (2016)b b b b b b b b ∴++++=，故选C. 11．C 【解析】直线1y m x =-（）过定点10M （，），画出f x （）在1（，）+∞上的部分图象如图，得22,44A B （，）（，）又423MA MB k k ＝，=．由题意得1f x m x =-（）（）的函数图象是过定点10（，）的直线，如图所示红色的直线与线段AB 相交即可（可以与B 点重合但不能与A 点重合） 分析图象知，当423k ≤＜时有两个不同的交点． 点睛：本题主要考查函数性质,利用数形结合的方法求参数取值.书籍函数有零点(方程有根),求参数取值常用以下方法(1)直接法:直接根据题目所给的条件,找出参数所需要满足的不等式,通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离成参数与未知量的等式,将含未知量的等式转化成函数,利用求函数的值域问题来解决;(3)数形结合法:先对解析变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后结合图像求解. 12．y=0或9x+4y=0 【分析】分原点（0，0）是切点与原点（0，0）不是切点讨论，利用导数得出切线的斜率，写出切线方程即可． 【详解】解：∵f ′（x ）＝3x 2+6x ，①若原点（0，0）是切点，则切线的斜率为f ′（0）＝0，则切线方程为y ＝0；②若原点（0，0）不是切点，设切点为P （x 0，y 0），则切线的斜率为()200036f x x x +'=，因此切线方程为()()()3220000336y x x x x x x -+=+-，因为切线经过原点（0，0），∴()()23200000336x x x x x -+=-+，∵x 0≠0，解得032x =-． ∴切线方程为94y x =-，化为9x +4y ＝0． ∴切线方程为y ＝0或9x +4y ＝0． 故答案为y ＝0或9x +4y ＝0． 【点评】本题考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率.解题时一定注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别．13．15,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩【解析】当2n ≥时，111(23)(23)2n n n n n n a S S ---=-=+-+=；当1n =时，11235a S ==+=，不满足上式。
2021届江西省南昌县莲塘第一中学高三10月质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}(2)0,1,0,1,2A x x x B =+≤=-，则A B =（ ）A ．{}10-，B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．1,0,1,2【答案】A 【解析】先求出集合A ，再求交集.【详解】 由{}[](2)020A x x x =+≤=-，又{}1,0,1,2B =- {}1,0A B ⋂=-故选：A【点睛】本题考查解二次不等式和集合的交集运算，属于基础题.2．除夕夜，万家团圆之时，中国人民解放军陆、海、空三军医疗队驰援武汉.“在疫情面前，我们中国人民解放军誓死不退！不获胜利决不收兵！”这里“获取胜利”是“收兵”的（ ）.A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据题意可直接得到答案.【详解】由题意可得，“获取胜利”是“收兵”的必要条件故选：B【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单. 3．已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若()14f x ≥，则x 的取值范围为（ ）A ．[]2,1-B ．)+∞C ．[])42,12,⎡-+∞⎣D ．[])42,02,⎡-+∞⎣ 【答案】D 【解析】分0x ≤和0x >两类分别解出不等式，取并集可得解集． 【详解】当0x ≤时，21224x-≥=，解得2x ≥-，20x -≤≤∴当0x >时，221log log 4x ≥=x ≥∴x ≥则x 的取值范围为[])42,02,⎡-+∞⎣ 故选：D【点睛】 本题考查分段函数解不等式，考查指对函数的性质，属于中档题．4．已知m ＝log 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则（ ）A ．m ＜n ＜pB ．m ＜p ＜nC ．p ＜n ＜mD ．n ＜p ＜m【答案】B【解析】根据0.40.540.404100.41m log n p ===＜，＞，＜＜比较. 【详解】因为0.40.540.404100.41m log n p ===＜，＞，＜＜， 所以m ＜p ＜n ．故选：B ．【点睛】本题主要考查实数比较大小，注意对数，指数性质的应用，属于基础题.5．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22x x f x -=+，则(1)f -=（ ）A ．52B ．32C ．32-D ．52- 【答案】D【解析】根据函数是奇函数，结合已知函数解析式，即可容易代值求得结果.【详解】因为()f x 是奇函数，故可得()()()1511222f f --=-=-+=-.故选：D【点睛】 本题考查函数奇偶性的应用，属简单题；另，本题也可利用奇偶性求出函数在0x <时的解析式，再代值求解.6．函数31log y x=的大致图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据特值，以及函数单调性即可容易判断.【详解】取3x =，得到1y =，即函数过点()3,1，排除A ；因为3log y x =为单调增函数，故31log y x =在()0,1，()1,+∞单调递减，排除BC. 故选：D【点睛】本题考查函数图象的辨识，涉及对数函数的单调性，属基础题.7．若幂函数()()223265m f x m m x -=-+没有零点，则()f x 的图象关于（ ）对称A ．原点B ．x 轴C ．y 轴D ．没有 【答案】A 【解析】利用幂函数的性质求出1m =，从而求出解析式，进而判断出函数的奇偶性，根据奇偶性的特征即可求解.【详解】∵函数为幂函数，且与x 轴无交点∴22651m m -+=，230m -<，解得1m =或2m =且32m <，∴1m =. ∴()1f x x =是奇函数，∴关于原点对称. 故选：A.【点睛】本题考查了幂函数的性质、函数的奇偶性，属于基础题.8．函数()ln 2f x x x =+-的零点所在的大致区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)eD ．(,4)e 【答案】B【解析】利用导数判断函数()f x 在其定义域(0,)+∞上是增函数，结合函数零点的存在性定理可得函数()f x 零点所在的大致区间．【详解】解：函数()f x 的导函数1()10f x x'=+>， 故()f x 在其定义域(0,)+∞上是增函数，再根据()110f =-<，()2ln20f =>，可得()()120f f ⋅<，故函数()ln 2f x x x =+-零点所在的大致区间为(1,2)，故选：B ．【点睛】本题主要考查用二分法求函数零点的近似值，函数零点的判定定理，属于基础题． 9．用二分法求函数()ln(1)1f x x x =++-在区间[]0,1上的零点,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【解析】由原来区间的长度等于1 ,每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 此操作后,区间长度变为12n ，由10.012n ≤可得结果. 【详解】开区间()0,1的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半，经过n 此操作后,区间长度变为12n， 用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间()0,1上近似解,要求精确度为0.01 ,10.012n∴≤，解得7n ≥，故选C. 【点睛】本题考查用二分法求函数的近似零点的过程，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.10．已知函数()y f x =的图象经过点()1,2P -，则函数()y f x =--的图象必过点（ ）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()1,2--D ．()2,1-【答案】A【解析】由函数的对称性,可得正确答案.【详解】 ()y f x =与()y f x =--函数关于原点对称, ()y f x =的图象经过点()1,2P -，则函数()y f x =--的图象必过点()1,2-,正确答案为A.故选A【点睛】本题考查函数的图像变换,找到两函数的对称关系是关键,属于基础题.11．已知函数()(1)x f x a x e =-的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为210x y --=，则a 的值为A ．12eB ．2eC ．12D ．2【答案】A【解析】先对函数求导，根据切线斜率列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为()(1)x f x a x e =-，所以()(1)x x x f x a e x e axe '⎡⎤=-=⎣⎦+， 又函数()(1)x f x a x e =-的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为210x y -+=， 所以1(1)2k f ae '===，解得：12a e=. 故选：A.【点睛】 本题主要考查由曲线在某点的切线方程求参数，属于基础题型.12．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，满足()()()2372,0233,2log x x f x f x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则()()()()1232020(f f f f +++⋯+= )A ．25logB ．25log -C ．2-D ．0【答案】B【解析】通过计算前几项，利用归纳推理，可得3,4,...,2020n =的函数值以3为周期，利用周期计算可得其和.【详解】定义域为R 的奇函数()f x ，可得()()f x f x -=-， 当0x >时，满足()()()23log 72,0233,2x x f x f x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩， 可得32x >时，()()3f x f x =-， 则()21log 5f =-，()()()2211log 5f f f =-=-=，()()300f f ==，()()241log 5f f ==-，()()()()25211log 5f f f f ==-=-=，()()()6300f f f ===，()()()2741log 5f f f ===-，()()()()28211log 5f f f f ==-=-=，()()()()123...2020f f f f ++++()222673log 5log 50log 5=⨯-++-226730log 5log 5=⨯⨯-=-， 故选B.【点睛】本题主要考查归纳推理、函数的奇偶性、周期性的应用，属于难题. 函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.二、填空题13．命题：“0x ∀<，2230x x -+≤”的否定是________.【答案】20000,230x x x ∃<-+>【解析】全称量词：“∀”改为存在量词：“∃”，“≤”改为“>”，即可得解.【详解】命题为全称命题，则命题：“∀x ＜0，x 2﹣2x +3≤0”的否定为：20000,230x x x ∃<-+>，故答案为：20000,230x x x ∃<-+>.【点睛】本题考查了写全称命题的否定，属于基础题.14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时， ()31f x x x =++，则()f x 在R 上的解析式为__________.【答案】331,0()0,01,0x x x f x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪+-<⎩【解析】由于()f x 是定义域在R 上的奇函数，所以由奇函数的性质，可推得()f x 的解析式.【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0f ∴=，0x <，0x ∴->，33()()[()()1]1f x f x x x x x ∴=--=--+-+=+-.故答案为：331,0()0,01,0x x x f x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪+-<⎩. 【点睛】本题考查了函数奇偶性在解题中的应用，属于基础题.15．已知函数()()311f x x =-+．利用课本中推导等差数列的前n 项和的公式的方法，可求得()()()()()54067f f f f f -+-+++++的值为_____． 【答案】13．【解析】由题意可知：可以计算出()(2)f x f x +-的值，最后求出()()()()()54067f f f f f -+-+++++的值. 【详解】设()()()()()54067S f f f f f =-+-+++++,， 所以有()()()()()76045S f f f f f =+++++-+-，因为()(2)2f x f x +-=,因此221313S S =⨯⇒=【点睛】本题考查了数学阅读能力、知识迁移能力，考查了倒序相加法.16．已知函数()y f x =及其导函数()y f x ='的图象如图所示，则曲线()y f x =在点(2,0)P 处的切线方程是【答案】20x y --=【解析】根据图像得到斜率，根据点斜式写出切线方程并化简为一般式.【详解】由图像可知，曲线在P 点的切线的斜率为1，故切线方程为02y x -=-，即20x y --=.【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查图像阅读能力，属于基础题.三、解答题17．（113326031250.02723)27π⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）化简51log 3243log 9log 8ln lg 0.015e +⋅+++ 【答案】(1)227110300; (2) 18 【解析】（1）利用指数幂的运算法则进行化简求值可得答案；（1）利用对数运算的运算法则进行化简求值可得答案.【详解】解：（113326031250.02723)27π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 21113663332275()()23110003⨯⨯⨯=++⨯+ 23335()4271103⨯=++⨯+9510811003=+++ 227110300=， （2）51log 3243log 9log 8ln lg 0.015e +⋅+++5log 323log 33log 22(2)55=⋅++-+⨯533=+⨯18=【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则与对数运算的运算法则，属于基础题型，注意运算准确. 18．已知集合3{}3|A x a x a =-≤≤+，{|0B x x =≤或4}x ≥．（1）当2a =时，求A B ；（2）若0a >，且“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|45}A B x x ⋂=≤≤；（2）01a <<．【解析】（1）由2a =，得到{|15}A x x =≤≤，再利用交集的运算求解.（2）根据{|0B x x =≤或4}x ≥，得到{|04}R B x x =<<，然后根据“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件,由A 是R B 的真子集，且A ≠∅求解.【详解】（1）∵当2a =时，{|15}A x x =≤≤，{|0B x x =≤或4}x ≥，∴{|45}A B x x ⋂=≤≤；（2）∵{|0B x x =≤或4}x ≥，∴{|04}R B x x =<<，因为“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件, 所以A 是R B 的真子集，且A ≠∅，又{|33}(0)A x a x a a =-≤≤+>，∴30,34,a a ->⎧⎨+<⎩， ∴01a <<．【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及逻辑条件的应用，属于基础题. 19．已知函数()()2log a f x ax x =-．（1）若12a =，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在区间[]2,4上是增函数，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）增区间为(),0-∞；减区间为()2,+∞；（2）1a >． 【解析】（1）由12a =得()2121log 2f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，先求出函数定义域，再由复合函数单调性的判定方法，即可得出单调区间；（2）先令()2g x ax x =-，根据函数在给定区间的单调性，分别讨论01a <<，1a >两种情况，即可得出结果. 【详解】 （1）当12a =时，()2121log 2f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2102x x ->，得220x x ->，解得0x <或2x >， 所以函数的定义域为()(),02,-∞+∞，令212t x x =-，则其在(),0-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增； 又12log y t =是减函数； 根据复合函数单调性可得：()f x 函数的增区间为(),0-∞，减区间为()2,+∞． （2）令()2g x ax x =-，则函数()g x 的图象为开口向上，对称轴为12x a=的抛物线， ①当01a <<时，要使函数()f x 在区间[]2,4上是增函数，则()2g x ax x =-在[]2,4上单调递减，且()min 0g x >，即()1421140164ag a ⎧≥⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩，此不等式组无解．②当1a >时，要使函数()f x 在区间[]2,4上是增函数，则()2g x ax x =-在[]2,4上单调递增，且()min 0g x >，即()1222420a g a ⎧≤⎪⎨⎪=->⎩，解得12a >，又1a >， ∴1a >，综上可得1a >．所以实数a 的取值范围为(1,)+∞． 【点睛】本题主要考查判断复合函数的单调性，考查由函数单调性求参数的问题，属于常考题型. 20．设函数()22()x x f x a a R -=⋅-∈（1）若函数y ＝f （x ）的图象关于原点对称，求函数3()()2g x f x =+的零点0x ； （2）若函数()()42xxh x f x -=++在[0,1]x ∈的最大值为－2，求实数a 的值. 【答案】（1）01x =-；（2）3-.【解析】（1）由对称性求得a 值，解方程()0g x =可得；（2）求出()24x xh x a =⋅+，换元2x t =，由二次函数的性质得最大值，从而得a 值．【详解】 解：()f x 的图象关于原点对称，()()0f x f x ∴-+=，22220x x x x a a --∴⋅-+⋅-=，即(1)(22)0x xa -∴-⋅+=，1a（注：若用赋值法求解，没有检验，扣1分） 令3()2202x xg x -=-+=， 则22(2)3(2)20x x⋅+⋅-=，(22)(221)0x x ∴+⋅⋅-=，又20x >，1x ∴=-所以函数()g x 的零点为01x =-.（2）()2242[0,1]x x x xh x a x --=⋅-++∈，，令2[1,2]x t =∈，2()()[1,2]h x H t t at t ==+∈，，对称轴02a t =-， ① 当322a -≤，即3a ≥-时， max ()(2)422H t H a ==+=-，3a ∴=-；② 当322a ->，即3a <-时， max ()(1)12H t H a ==+=-，3a ∴=-（舍）； 综上：实数a 的值为3-. 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数零点的概念，指数函数的最值．含指数函数的问题中换元法是常用方法，即设x t a =，问题可转化为二次函数问题求解． 21．已知函数2()()xf x e x ax a =+-，其中a 是常数.(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）43y ex e =-（Ⅱ）24(,]e a a a ++- 【解析】（Ⅰ）当a ＝1时，f （1）＝e ，f ′（1）＝4e ，由点斜式可求得y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ） 令f ′（x ）＝e x [x 2+（a +2）x ）]＝0，可解得x ＝﹣（a +2）或x ＝0，对﹣（a +2）与0的大小关系分类讨论，可求得关于x 的方程f （x ）＝k 在[0，+∞）上有两个不相等的实数根的k 的取值范围． 【详解】解：(Ⅰ)由2()()x f x e x ax a =+-可得2'()e [(2)]x f x x a x =++.当1a =时,(1)f e =,'(1)4f e =.所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()41y e e x -=-， 即43y ex e =-（Ⅱ） 令2'()((2))0x f x e x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以 方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根. 当(2)0a -+>，即2a <-时，()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表由上表可知函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为24((2))a a f a e++-+=. 因为 函数()f x 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数，且当x a ≥-时，有()f x ()ae a a -≥->-.所以 要使方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是24(,]e a a a ++-. 【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查利用导数研究函数的极值，突出考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查综合分析与综合运算的能力，属于难题． 22．已知函数()ln ,af x x a R x=+∈，且曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线20x y +=．（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间； （3）已知函数3()()g x f x x x=--图象上不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，试比较2121y y x x --与122x x g '+⎛⎫⎪⎝⎭的大小． 【答案】（1）3a =；（2）函数()f x 的单调增区间是(3,)+∞，单调减区间是(0,3)；（3）2112212y y x x g x x '-+⎛⎫> ⎪-⎝⎭【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，21()af x x x'=-，通过()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y +=，求出a ，（2）判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可； （3）求出函数的导数，作差比较2121y y x x --与12()2x x g +'，设4()21h x lnx x =+-+，通过函数的导数，求解函数的最值推出结果即可． 【详解】（1）()f x 的定义域为21(0,),()a f x x x '+∞=-． 曲线()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y +=，(1)12f a '∴=-=-，3a ∴=．（2）3()ln f x x x =+，22133()x f x x x x '-∴=-=． ∴当3x >时，()0,()f x f x '>是增函数；当03x <<时，()0,()f x f x '<是减函数． ∴函数()f x 的单调增区间是(3,)+∞，单调减区间是(0,3)．（3）3()ln f x x x =+，1()ln ,()1g x x x g x x'∴=-=-，1212212x x g x x '+⎛⎫∴=- ⎪+⎝⎭． 又()()22112121212121ln ln ln ln 1x x x x y y x x x x x x x x -----==----，()212112212212112211122ln ln 21ln 2x x y y x x x x x g x x x x x x x x x x x ⎡⎤--+-⎛⎫∴-=-=-⎢⎥ ⎪--+-+⎝⎭⎣⎦'2122222112111121114ln ln 211x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥=-=+-⎢⎥--⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦．设4()ln 21h x x x =+-+，则22214(1)()0(1)(1)x h x x x x x '-=-=≥++， ()h x ∴在(0,)+∞上是增函数．令21x t x =，不妨设120x x <<，211x x ∴>，()(1)0h t h ∴>=， 即22114ln201x x x x +->+．又210x x ->，21122102y y x x g x x '-+⎛⎫∴-> ⎪-⎝⎭，2112212y y x x g x x '-+⎛⎫∴> ⎪-⎝⎭．【点睛】本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．。
2021届江西省南昌县莲塘第一中学高三10月质量检测数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2|230A x x x =+-<，{}|02B x x =<<，则AB =（ ）A ．{}|02x x <<B ．{}1|0x x <<C ．{}|31x x -<<D ．{}|12x x -<<【答案】B【解析】解一元二次不等式化简集合A ，利用交集定义计算即可． 【详解】由题意可得{}|31A x x =-<<，则{}|01A B x x ⋂=<< 故选：B 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．2．已知集合{}2430A x x x =-+>，{}0B x x a =-<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞ B ．[)3,+∞ C ．(),1-∞ D ．(],1-∞【答案】D【解析】先解出集合A ，然后利用B A ⊆求解a 的取值范围. 【详解】集合{}{24303A x x x x x =-+>=或}1x <，{}{}0=|B x x a x x a =-<<，若B A ⊆，则1a ≤. 故选：D. 【点睛】本题考查根据集合的关系求参数的取值范围，较简单.3．若幂函数()y f x =的图像经过点()2,4-，则在定义域内函数()f x （ ） A ．有最小值 B ．有最大值 C ．为增函数 D ．为减函数【答案】A【解析】设幂函数()af x x =，代入点()2,4-，得到a ，从而得到()f x 的解析式，从而得到答案.【详解】幂函数()af x x =，代入点()2,4-，得()42a=-，所以2a =， 所以()2f x x =，所以()f x 有最小值. 故选：A. 【点睛】本题考查求幂函数的解析式，幂函数的性质，属于简单题.4．已知函数()xxf x 33a b R -=-∀∈．，，则“a b >”是“()()f a f b >”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】：先求函数()f x 的一阶导函数，判断函数在()∞∞-+，上单调递增函数，由此判断出命题“a b >”是“()()f a f b >”的分必要条件． 【详解】 ：因为()xxf x 33-=-，所以()()()xxx x f x 3ln33ln313ln33ln30--=-⨯-=+>'，因此函数()xxf x 33-=-为()∞∞-+，上单调递增函数，从而由“a b >”可得“()()f a f b >”，由“()()f a f b >”可得“a b >”，即“a b >”是“()()f a f b >”的充分必要条件，选C ． 【点睛】：本题考查了函数的单调性的应用，利用导数判断函数单调性，转化为命题之间的关系．5．已知函数()2,01,0x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，()()g x f x =--，则函数()g x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先求出()()g x f x =--的解析式，再作出()g x 的图象，即可选出正确答案. 【详解】当0x >时，0x -<，所以()()11g x f x x x=--=-=-， 当0x ≤时，0x -≥，所以22g f x xx x，所以()21,0,0x g x x x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩，所以()g x 的图象为：故选：D 【点睛】本题主要考查了由函数解析式选择函数的图象，通常根据函数的性质来选择，属于基础题.6．已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ． 【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 7．定积分1(2)x x e dx +⎰的值为( )A ．2e +B ．1e +C ．eD ．1e -【答案】C【解析】试题分析：121220100(2)()|()|()|xx x x x x ex dx e x e x e x ==+=+=+-+⎰=(1)1e e +-=.故选C.【考点】1.微积分基本定理；2.定积分的计算.8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log e >1a =，()21ln 20,1log ==∈b e ，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．9．如图是函数()f x 的导函数()y f x '=的图像，则下列说法一定正确的是（ ）A ．3x x =是函数()f x 的极小值点B ．当2x x =或4x x =时，函数()f x 的值为0C ．函数()f x 的图像关于点()0,c 对称D ．函数()f x 在()4,x +∞上是增函数 【答案】D【解析】通过导函数的图象，判断导函数的符号，然后判断函数的单调性以及函数的极值即可得到选项． 【详解】由题意可知4(,)x x ∈-∞，()0f x '， 所以函数()f x 是减函数，3x x =不是函数()f x 的极小值点；当2x x =或4x x =时，函数()f x 的值为0不正确； 当4(x x ∈，)+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 是增函数，故选项C 不正确，D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性以及函数的极值的关系，是基本知识的考查． 10．设函数2()ln(1)f x x m x =++有两个极值点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】由2'22()1x x mf x x ++=+，可知函数有两个极值点，等价于2()22(1)g x x x m x =++>-，在区间(1,)-+∞上有两个零点，则(1)0111022g m g m -=>⎧⎪⎨⎛⎫-=-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，从而可求出m 的取值范围 【详解】()f x 的定义域为222(1,)()1x x m f x x '++-+∞=+，，令其分子为2()22(1)g x x x m x =++>-，在区间(1,)-+∞上有两个零点，故(1)0111022g m g m -=>⎧⎪⎨⎛⎫-=-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：B. 【点睛】此题考查由函数的极值点个数求参数的取值范围，考查转化思想，属于基础题.11．已知函数2()ln 2()()f x x x x x a a =+-∈R ，若存在[1,3]x ∈，使得()()f x xf x '>成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,6- B ．1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D．,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】由()()()2ln 2f x g x x x a x==+-，根据存在[]1,3x ∈，使得()0g x '<成立，转化为min14a x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，令14t x x =+，利用导数求得函数t 的单调性与最小值，即可求解. 【详解】由题意，设函数()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'=，因为()()f x xf x '>，可得得()0g x '<， 又由()()()2ln 2f x g x x x a x==+-，则存在[]1,3x ∈，使得()0g x '<成立， 即()()140g x x a x '=+-<成立，所以14a x x >+成立，所以min14a x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，又令14t x x =+，()()221214x x t x +-'=，所以[]1,3x ∈时，0t '>，函数t 单调递增，当1x =时，t 有最小值54， 所以实数a 的取值范围是5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求解参数问题，以及利用导数与函数的单调性的关系，其中把存在[1,3]x ∈，使得()()f x xf x '>成立，转化为存在[]1,3x ∈，使得()0g x '<成立是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．设21(0)()4cos 1(0)x x f x x x x π⎧+≥=⎨-<⎩，()1()g x kx x R =-∈，若函数()()y f x g x =-在[2,3]x ∈-内有4个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A． B．C．113⎛⎫ ⎪⎝⎭D．113⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由于0x =不是函数的零点，则2,04cos ,0x x k xx x π⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，令2,0()4cos ,0x x h x xx x π⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，将零点个数问题转化为函数()h x 与函数y k =的交点个数问题，结合图象，即可得出实数k 的取值范围. 【详解】很明显0x =不是函数的零点令函数()()0y f x g x=-=，则0x≠则2,04cos,0x xk xx xπ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩令2,0()4cos,0x xh x xx xπ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩则函数()h x的图象与y k=在[2,3]x∈-内有4个交点函数()h x的图象如图所示：由图可得：1122,3k⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数的零点个数求参数的范围，属于中档题.二、填空题13．函数()21ln2f x x x=-的单调递减区间为__________.【答案】()0,1【解析】函数的定义域为()0,∞+，且：()211'xf x xx x-=-=，求解不等式：210x x-<，结合函数的定义域可得：01x <<， 则函数()212f x x lnx =-的单调递减区间为()0,1. 14．曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______． 【答案】16【解析】首先求得两个函数交点的坐标，然后利用定积分求得封闭图形的面积. 【详解】根据2y x y x ⎧=⎨=⎩解得()()0,01,1,.画出图像如下图所示，封闭图像的面积为()120x x dx -⎰2310111|23236x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积，考查运算求解能力，属于基础题.解题过程中首先求得两个函数图像的交点坐标，然后画出图像，判断出所要求面积的区域，然后利用微积分基本定理求得封闭图形的面积. 15．当104x <≤log a x x <，则实数a 的取值范围为________．【答案】1,1 16⎛⎫⎪⎝⎭【解析】要使logax x<在10,4x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时恒成立，等价于函数y x=的图像在logay x=图像的下方，由此能求出a的取值范围.【详解】解：若logax x<在10,4x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上成立，则01a<<，且y x=的图像在log ay x=图像的下方，如图所示，由图像知11log44a<，120114aa<<⎧⎪∴⎨>⎪⎩，解得1116a<<，即实数a的取值范围是1,116⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查函数恒成立问题，解题时要注意等价转化思想的合理运用.16．已知函数()ln1f x ax x=++，若对任意的0x>，()2xf x xe≤恒成立，求实数a 的取值范围______.【答案】)322,⎡++∞⎣【解析】利用分离参数法和构造新函数研究函数()()2ln1xxm x e xx+=->，利用单调性求得零点，设()()ln0s x x x x=+>，再利用函数()s x单调性和零点求得a的取值范围.【详解】因为()ln1f x ax x=++，所以对任意的0x>，()2xf x xe≤恒成立，等价于2ln1xxa ex+≤-在()0,∞+上恒成立.令()()2ln 10xx m x e x x +=->，则只需()min a m x ≤即可，则()2222ln x x e x m x x +'=， 再令()()222ln 0x g x x e x x =+>，则()()22140x g x x x e x'=++>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，因为12ln 2048g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()2120g e =>， 所以()g x 有唯一的零点0x ，且0114x <<， 所以当00x x <<时，()0m x '<，当0x x >时，()0m x '>，所以()m x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，因为022002ln 0x x e x +=，所以()000ln22ln 2ln ln x x x ++=-，即()()()0000ln 22ln ln ln x x x x +=-+-，设()()ln 0s x x x x =+>，则()110s x x'=+>， 所以函数()s x 在()0,∞+上单调递增，因为()()002ln s x s x =-，所以002ln x x =-，即0201x e x =，00ln 2x x =-， 所以()()020000000ln 1ln 112x x x m x m x e x x x x +≥=-=--=，则有2a ≤， 所以实数a 的取值范围为(],2-∞.故答案为：(],2-∞.【点睛】本题考查函数单调性、函数的零点及导数的应用，属于中档题.三、解答题17．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =.（1）求a 的值及()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值． 【答案】（1）2a =，定义域为(1,3)-；（2）2.【解析】（1）由()12f =可解得2a =；令两个对数的真数大于零，解不等式组可得()f x 的定义域；（2）函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，函数(3)(1)y x x =-+在[0,1)上单调递增，在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，根据复合函数单调性的“同增异减”原理，可得()f x 的单调性，从而可求其最大值.【详解】解:（1）(1)log 2log 2log 42a a a f =+==，解得2a =.故22()log (1)log (3)f x x x =++-, 则1030x x +>⎧⎨->⎩,解得13x , 故()f x 的定义域为(1,3)-.（2）函数222()log (1)log (3)log (3)(1)f x x x x x =++-=-+,定义域为(1,3)-，30,(1,3)2⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦， 由函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增,函数(3)(1)y x x =-+在[0,1)上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减, 可得函数()f x 在[0,1)上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2(1)log 42f ==． 【点睛】考查对数函数的运算以及复合函数的定义域、最大值的求法，中档题.18．已知命题:p “函数()222x x f x m -=-在R 上有零点”．命题:q “函数()22f x x mx n =++在[]1,2上单调递增”．（1）若p 为真命题，则实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为真命题，则实数m 的取值范围．【答案】（1）12m ≥；（2）12m ≥. 【解析】试题分析：（1）运用等价转化的方法将问题进行转化与化归；（2）借助题设条件将复合命题分类转化进行求解.试题解析:（1）p 为真命题：因为函数()222xx f x m -=-在R 上有零点， 所以()2220xx f x m -=-=有解， 所以222x x m -=有解， 所以12m ≥ （2）因为函数()22f x x mx n =++在[]1,2上单调递增，所以1m -≤，所以1m ≥-因为p q ∧，所以,p q 均为真， 所以12m ≥ 【考点】命题及复合命题的真假的运用．19．已知函数2()(21)3f x x a x =+--.（1）当2a =，[2,3]x ∈-时，求函数()f x 的值域；（2）若函数()f x 在[1,3]-上的最大值为1，求实数a 的值．【答案】（1）21,154-⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）13a =-或1-. 【解析】（1）代入2a =，求出()f x 此时的解析式和对称轴，根据对称轴的位置我们知道min 3()2f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭、max ()(3)f x f =，进而求得函数()f x 的值域； （2）首先求出函数()f x 的对称轴为212a x -=-，再分类讨论对称轴相对于区间[1,3]-中点的位置；即分类讨论当对称轴2112a --≤和2112a -->时a 的取值. 【详解】解：（1）当2a =时，2()33f x x x =+-，[2,3]x ∈-， 函数图象的对称轴为3[2,3]2x =-∈-，∴min 39921()32424f x f ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，max ()(3)15f x f ==， ∴()f x 的值域为21,154-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）函数图象的对称轴为直线212a x -=-. ①当2112a --≤，即12a ≥-时，max ()(3)63f x f a ==+， ∴631a +=，即13a =-，满足题意； ②当2112a -->，即12a <-时，max ()(1)21f x f a =-=--， ∴211a --=，即1a =-，满足题意． 综上可知，13a =-或1-.【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴、值域、单调性、最值等相关知识，考查运算求解能力，属于基础题型. 20．已知函数()3ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =. （1）求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间.【答案】（1）54a =；（2）单调递减区间是()0,5，单调递增区间是()5,+∞. 【解析】（1）求导，使()12f '=-求解a 的值；（2）将（1）中所求a 的值代入，求解()0f x '>和()0f x '<的区间，从而得出函数()f x 的单调区间.【详解】（1）对()f x 求导得()2114a f x x x=--'， 由()f x 在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =， 知()3124f a '=--=-，解得54a =. （2）由（1）知()()53ln 0442x f x x x x =+-->，则()22454x x f x x'--=，令()0f x '=，解得1x =-或5x =，因为1x =-不在()f x 的定义域()0,∞+内，所以舍去.当()0,5x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()0,5内单调递减；当()5,x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()5,+∞内单调递增.故()f x 的单调递减区间是(0，5)，单调递增区间是()5,+∞.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求解，难度一般.21．设函数2()ln ()2ax f x x x a x a R =-+-∈. （1）若函数f (x )有两个不同的极值点,求实数a 的取值范围;（2）若a =2，k ∈N ，g(x )=2-2x -x 2,且当x >2时不等式k (x -2)+g(x )<f (x )恒成立,试求k 的最大值.【答案】（1）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）4. 【解析】（1）求出函数的导数，得到a ln x x =，令h （x ）ln x x =，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（2）代入a 的值，问题转化为k ln 2x x x x +-＜，令F （x ）ln 2x x x x +=-（x ＞2），求出函数的导数，根据函数的单调性求出k 的最大值即可．【详解】（1）由题意知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，()'ln f x x ax =-，令()'0f x =，∴ln 0x ax -=，ln x a x =. 令()ln x h x x=，则由题意可知：直线x a =与函数()h x 的图像有两个不同的交点.()21ln 'x h x x-=，令()'0h x =则x e =. ()h x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，()()max 1h x h e e==， 又因为()10h =，()h x 在()0,e 上递增，当0x →，()h x →-∞；又当x e >，ln 0x >. ∴ln 0x x>，又()h x 在(),e +∞递减.当x →+∞，()0h x →，结合ln x ，x ，()h x 图像易得.实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）当2a =时，()2ln 2f x x x x x =-+-.()()()2k x g x f x -+<即：()22222ln 2k x x x x x x x -+--<-+-，∵2x >，∴ln 2x x x k x +<-. 令()ln (2)2x x x F x x x +=>-，则()()242ln '2x x F x x --=-. 令()42ln (2)m x x x x =-->.则()2'10m x x=->. ∴()m x 在()2,+∞上单调递增. ()2842ln842ln 440m e =-<-=-=.()31062ln1062ln 660m e =->-=-=. ∴函数()m x 在()8,10上有唯一零点0x ，即：0042ln 0x x --=.∴02x x <<时，()0m x <.即()F'0x <.当0x x <时，()'0F x >，∴()00000min 0041ln 2222x x x x x x F x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===--， ∴02x k <，∵()08,10x ∈，∴()04,52x ∈，∴k 的最大值为4. 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．22．已知函数()1ln 22f x x ax a =-+-，a R ∈. （1）求函数()f x 的极值；（2）当0a <时，试判断()()2g x xf x =+的零点个数.【答案】（1）答案见解析；（2）有两个零点.【解析】（1）求得函数的导数()()12022a ax f x x x x-'=-=>，分0a ≤和0a >两种情况讨论，即可求解；（2）由()2ln 22g x x x ax ax x =-+-+，求得导数()ln 1g x ax x a '=-++-，得到()g x '在()0,∞+上单调递增，得到()g x '在()1,e 上存在唯一的零点0x ，使得()00g x '=，取1a x e =，设()1222a a h a a ae a e=-+-+，利用导数求得函数的单调性，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()1ln 22f x x ax a =-+-，可得()()12022a ax f x x x x -'=-=>， 若0a ≤，则()0f x '>，所以函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+；若0a >，当20x a <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当2a x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 综上，若0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+；无极值，若0a >时，函数()f x 的单调递增区间为20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， ()22ln 2f x f a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭极大＝，无极小值. （2）由函数()()22ln 22g x xf x x x ax ax x =+=-+-+， 则()ln 1,0g x ax x a x '=-++->，设()ln 1,0h x ax x a x =-++->，可得()11ax h x a x x-+'=-+=， 因为0a <，可得()0h x '>，所以()g x '在()0,∞+上单调递增，又由()110g '=-<，()()10g e ae a a e =-+=->，故而()g x '在()1,e 上存在唯一的零点0x ，使得()00g x '=，当00x x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当0x x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，取1a x e =，又0a <，则101x <<，所以()111111212g ln 2222a a a x x x ax a e a ae a x e ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设()1222a a h a a ae a e=-+-+，()0a <，()()1122,220a a a h a ae e a e '=--+<-，()102h '=-，()102a a a a h a e e e ae --''=-+->， 所以()h a '在(),0-∞上单调递增，()()00h a h ''<<，所以()h a 在(),0-∞上单调递减，所以()()00h a h >=，所以()10g x >，即当0a <时，()0ag e >. 当x 趋于+∞时，()g x 趋于+∞，且()22ln220g =-<.所以函数()g x 在()0,∞+上始终有两个零点.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及函数的零点问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
江西省南昌县莲塘一中2021届高三10月质量检测数学（理）试题含答案2020-2021学年度莲塘一中高三上学期10月检测理数第I 卷（选择题)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2|230A x x x =+-<，{}|02B x x =<<，则A B =（ ） A ．{}|02x x << B ．{}1|0x x << C ．{}|31x x -<< D ．{}|12x x -<<2．已知集合{}2430=-+>A x x x ，{}0=-<B x x a ，若⊆B A ,则实数a 的取值范围为A ．()3,+∞B ．[)3,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 3．若幂函数()y f x =的图像经过点(2,4)-，则在定义域内函数()f xA ．有最小值B ．有最大值C ．为增函数D ．为减函数4．已知函数f (x ）＝3x －3x-,∀a ，b ∈R ，则“a ＞b "是“f (a )＞f （b ）”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数f (x )＝错误!，g (x ）＝－f （－x ），则函数g （x ）的图象是（ )6．已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e ）处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ）A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e,b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1,b ＝－17．定积分10(2)x x e dx +⎰的值为（ )A ．2e +B ．1e +C ．eD ．1e -8．已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 12错误!,则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＞a ＞b B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞aD ．a ＞b ＞c9． 如图是函数()f x 的导函数()y f x '=的图像，则下列说法一定正确的是（ ）A ．3x x =是函数()f x 的极小值点B ．当2x x =或4x x =时，函数()f x 的值为0 C ．函数()f x 的图像关于点()0,c 对称D ．函数()f x 在()4,x +∞上是增函数10．设函数2()ln(1)f x x m x =++有两个极值点，则实数m 的取值范围是（ ) A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦11．已知函数()()2ln 2f x x x x x a =+-（a ∈R)．若存在[]1,3x ∈,使得()()f x xf x '>成立,则实数a 的取值范围是( )A ． (),-１６ B ．,2⎛⎫- ⎪⎝⎭１３C ．5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．2,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭２ 12．设，，若函数在内有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A.B.C 。
江西省2021届高三10月阶段性联考数学（理）试卷考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:一轮复习第1~4章占80%,第5~7章占20%.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|log 2x ≤1},B={x|x 2+5x-6≤0},则A ∩B=A .(0,1)B .(0,1]C .[-6,1]D .[-6,2] 2.命题“∀x ∈R,|x|>0”的否定是A .∀x ∈R,|x|≤0B .∀x ∈R,|x|<0C .∃x ∈R,|x|<0D .∃x ∈R,|x|≤03.已知a=log 72,b=log 0.70.3,c=0.70.3,则a ,b ,c 的大小关系为A .a<c<bB .b<c<aC .a<b<cD .c<a<b4.已知平面向量a=(2,m ),b=(1,-√2),且|2a-b|=|2a+b|,则|a+b|=A .1B .2C .3D .45.若动点A ,B 分别在直线l 1:x+y-6=0和l 2:x+y-2=0上,则AB 的中点M 到坐标原点的距离的最小值为A .√2B .2√2C .3√2D .4√26.“关于x 的不等式mx 2-4mx+2m+8>0的解集为R ”是“0≤m<4”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 7.函数f (x )=2x +2-x √2的图象大致为8.若x>0,y>0,且x+4y=7,则1x+1+1y 的最小值为A .2B .98C .94D . 329.已知函数f (x )=sin ωx cos ωx -√3sin 2ωx+√3(ω>0),若将函数f (x )的图象平移后能与函数y=sin 2x 的图象完全重合,则下列说法不正确的是A .函数f (x )的最小正周期为πB .将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度后,得到的函数图象关于y 轴对称 C .当x ∈(-π4,π4)时,函数f (x )的值域为(12,1] D .当函数f (x )取得最值时,x=π12+kπ2(k ∈Z)10.如图,为测量一座古塔的高度,工作人员从与塔底同一水平面的A 点测得塔顶C 的仰角为15°,然后从A 出发朝古塔方向走了30米后到达B 处,并测得此时的仰角为45°,则此古塔的高度为A .15√3米B .(15√3-1)米C .(15√3-3)米D .15(√3-1)米11.在△ABC 中,点P 满足BP⃗⃗⃗⃗⃗ =4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,过点P 的直线与AB ,AC 所在的直线分别交于点M ,N.若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0,μ>0),则λμ的最小值为A .1625 B .1825 C .2516 D .2518 12.设函数f (x )=e x -e -x2+sin x ,不等式f (a-x e x )+f (ln x+x+1)≤0对x>0恒成立,则实数a 的最大值为A .e -1B .1C .e -2D .0第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.若x ,y 满足约束条件{x -y +3≥0,x -2≤0,x +y -1≥0,则z=-2x+y 的最大值为 ▲ .14.若sin(α+π6)=23,则sin(2α-π6)= ▲ .15.若函数f (x )=1x -3x+a ln x 在(0,+∞)上单调递减,则实数a 的取值范围是 ▲ .16.若P 为直线x-y+4=0上一个动点,从点P 引圆C :x 2+y 2-4x=0的两条切线PM ,PN (切点为M ,N ),则|MN|的最小值是 ▲ .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n =S n +12. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设2a n =bnn+1,求数列{b n }的前n 项和T n .18.(12分)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且cos B=2a -b2c. (1)求C ;(2)若√2c+b=2a ,b=4,求△ABC 的面积.19.(12分)已知向量a=(cos x ,cos x+sin x ),b=(√3sin x ,12cos x-12sin x ),且f (x )=a ·b. (1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间; (2)若α为锐角,且f (α)=13,求cos 2α的值.20.(12分)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,满足f (x-2)+f (-x )=0. (1)证明:函数f (x )是周期函数.(2)当x ∈[0,2]时,f (x )=1-x.若g (x )=f (x )-a|x|恰有14个零点,求实数a 的取值范围.21.(12分)已知函数f (x )=x 3+mx 2+(m-1)x+1在x=-1处取得极值. (1)求m 的值;(2)若过(1,t )可作曲线y=f (x )的三条切线,求实数t 的取值范围.22.(12分)已知函数f (x )=a ln x+12x 2+bx. (1)当b=0时,讨论函数f (x )的单调性; (2)若函数f (x )的极大值小于-b ,证明:a+b ≤e 42.数学参考答案(理科)1.B 因为A={x|0<x ≤2},B={x|-6≤x ≤1},所以A ∩B={x|0<x ≤1}=(0,1].2.D 全称命题的否定是特称命题.3.A ∵a=log 72<log 7√7=12,b=log 0.70.3>log 0.70.7=1,0.71<c=0.70.3<0.70=1,∴a<c<b.4.C 因为|2a-b|=|2a+b|,所以a ·b=2-√2m=0,则m=√2.因为a+b=(3,0),所以|a+b|=√32+02=3.5.B 依题意知,M 的集合为与直线l 1和l 2距离都相等的直线,则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M 所在直线的方程为l :x+y+m=0,由√2=√2,得|m+6|=|m+2|,所以m=-4,即l :x+y-4=0.所以M 到原点的距离的最小值为|4|√2=2√2. 6.C 当m=0时,8>0恒成立,符合题意;当m ≠0时,由{m >0,Δ=(-4m)2-4m(2m +8)<0,解得0<m<4.综上可知,“关于x 的不等式mx 2-4mx+2m+8>0的解集为R ”的充要条件为“0≤m<4”. 7.C因为f (x )的定义域为R,且f (-x )=-x x =-x -x=-f (x ),所以f (x )为奇函数,排除选项B,D .因为f (1)=52ln(√2-1)<0,所以排除选项A .8.B 由x+4y=7,可知(x+1)+4y=8,所以1x+1+1y =18(1x+1+1y )[(x+1)+4y ]=18(4y x+1+x+1y +5)≥18(2√4y x+1·x+1y +5)=98,当且仅当{x +4y =7,4y x+1=x+1y,即{x =53,y =43时,等号成立. 9.C 由题意得,f (x )=sin ωx cos ωx -√3sin 2ωx+√32=12sin 2ωx+√3(1-2sin 2ωx)2=12sin 2ωx+√32cos 2ωx=sin(2ωx+π3).因为函数f (x )的图象平移后能与函数y=sin 2x 的图象完全重合,所以ω=1. 因为f (x )=sin(2x+π3),所以函数f (x )的最小正周期T=2π2=π,故A 正确.将f (x )的图象向左平移π12个单位长度,得到曲线y=sin[2(x+π12)+π3]=sin(2x+π2)=cos 2x ,其图象关于y 轴对称,故B 正确.当x ∈(-π4,π4)时,2x+π3∈(-π6,5π6),sin(2x+π3)∈(-12,1],即f (x )的值域为(-12,1],故C 错误.令2x+π3=π2+k π(k ∈Z),解得x=π12+kπ2(k ∈Z),所以当f (x )取得最值时,x=π12+kπ2(k ∈Z),故D 正确. 10.D 设古塔高度为h 米,在△ABC 中,∠ACB=30°,BC=√2h ,AB=30米.由正弦定理得AB sin30°=BCsin15°,所以h=30√2sin 15°.因为sin 15°=sin(45°-30°)=√6-√2,所以h=15(√3-1)米.11.A ∵BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ),即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB⃗⃗⃗⃗⃗ +45AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0,μ>0),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =1μAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =15λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +45μAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∵M ,P ,N 三点共线,∴15λ+45μ=1, ∴1≥2√15λ·45μ,即λμ≥1625, 当且仅当15λ=45μ,即μ=85,λ=25时,等号成立.12.D 因为f (-x )=e -x -e x 2-sin x ,所以-f (x )=f (-x ),所以f (x )为R 上的奇函数.因为f'(x )=e x +e -x 2+cos x ≥12×2√e x ·e -x +cos x=1+cos x ≥0,所以f (x )在R 上单调递增.不等式f (a-x e x )+f (ln x+x+1)≤0可转化为f (ln x+x+1)≤f (x e x -a ),所以ln x+x+1≤x e x -a ,即a ≤x e x -ln x-x-1对x>0恒成立.令g (x )=x e x -ln x-x-1,则g (x )=e ln x e x -ln x-x-1=e ln x+x -(ln x+x )-1,令h (x )=e x -x-1,则h'(x )=e x -1.当x>0时,h'(x )>0,h (x )在(0,+∞)上单调递增;当x<0时,h'(x )<0,h (x )在(-∞,0)上单调递减.所以当x=0时,h (x )min =h (0)=e 0-0-1=0,即h (x )≥0,所以g (x )≥0,且当ln x+x=0时,g (x )取最小值0,故a ≤0,即实数a 的最大值为0.13.4 作出可行域(图略),当直线z=-2x+y 经过点(-1,2)时,z 取得最大值,z max =(-2)×(-1)+2=4.14.-19 ∵sin(α+π6)=23,∴cos(2α+π3)=1-2sin 2(α+π6)=19.∵2α+π3=π2+(2α-π6),∴sin(2α-π6)=sin[(2α+π3)-π2]=-cos(2α+π3)=-19. 15.(-∞,2√3] 因为f (x )在(0,+∞)上单调递减,所以f'(x )=-3-1x 2+a x ≤0在(0,+∞)上恒成立,即a ≤3x+1x在(0,+∞)上恒成立.因为3x+1x≥2√3(当且仅当x=√33时等号成立),所以a ≤2√3.16.4√73如图,由题可知圆C 的圆心为C (2,0),半径r=2. 要使|MN|的长度最小,即要∠MCN 最小,则∠MCP 最小.因为tan ∠MCP=|PM|r =|PM|2, 所以当|PM|最小时,|MN|最小.因为|PM|=√|PC|2-4, 所以当|PC|最小时,|MN|最小. 因为|PC|min =√1+1=3√2,所以cos ∠MCP=3√2=√23,cos ∠MCN=2cos 2∠MCP-1=-59, 则|MN|min =√22+22-2×2×2×(-59)=4√73. 17.解:(1)当n=1时,a 1=S 1+12,解得a 1=1. ............................................................................................................................ 1分 因为S n =2a n -1,①所以当n ≥2时,S n-1=2a n-1-1,②①-②得S n -S n-1=2a n -2a n-1, ................................................................................................................................................ 2分 所以a n =2a n-1. .................................................................................................................................................................. 4分 故数列{a n }是首项为1,公比为2的等比数列,其通项公式为a n =2n-1. .................................................................................. 5分 (2)由题知,b n =(n+1)·2n . ..................................................................................................................................................... 6分 所以T n =2×21+3×22+4×23+…+(n+1)·2n ,③2T n =2×22+3×23+4×24+…+(n+1)·2n+1,④ .......................................................................................................................... 7分 ③-④得-T n =2+(21+22+23+…+2n )-(n+1)·2n+1=2+2×(1-2n )-(n+1)·2n+1=-n ·2n+1, ........................................................................................................................................................................... 9分 所以T n =n ·2n+1. .............................................................................................................................................................. 10分18.解:(1)由余弦定理及cos B=2a -b2c, 得a 2+b 2-c 2=ab................................................................................................................................................................. 2分因为cos C=a 2+b 2-c 22ab =12,且0<C<π, .................................................................................................................................. 3分所以C=π3. ........................................................................................................................................................................ 4分 (2)由正弦定理及√2c+b=2a ,可得√2sin C+sin B=2sin A , ............................................................................................................................................. 5分 即√2sin π3+sin(2π3-A )=2sin A , 可得sin(A-π6)=√22. ............................................................................................................................................................. 6分因为0<A<2π3,则-π6<A-π6<π2, ................................................................................................................................................ 7分 所以A-π6=π4,即A=5π12. ........................................................................................................................................................ 8分 因为C=π3,所以B=π4. ......................................................................................................................................................... 9分 因为b=4,所以c=bsinCsinB=2√6. ......................................................................................................................................... 10分因为sin A=sin(π6+π4)=√6+√24, .......................................................................................................................................... 11分所以△ABC 的面积S=12bc sin A=6+2√3. ......................................................................................................................... 12分 19.解:(1)f (x )=a ·b=√3cos x sin x+12(cos x+sin x )(cos x-sin x )=√3sin 2x+1cos 2x=sin(2x+π). ......................................................................................................................................... 2分令-π2+2k π≤2x+π6≤π2+2k π,k ∈Z, ........................................................................................................................................... 3分 得-π3+k π≤x ≤π6+k π,k ∈Z, ..................................................................................................................................................... 5分 所以函数f (x )的单调递增区间为[-π3+k π,π6+k π](k ∈Z). ......................................................................................................... 6分 (2)因为α为锐角,所以2α+π6∈(π6,7π6). ................................................................................................................................. 8分 又因为0<f (α)=sin(2α+π6)=13<12,所以2α+π6∈(π2,π), ............................................................................................................................................................. 9分所以cos (2α+π6)=-2√23, ................................................................................................................................................... 10分 所以cos 2α=cos[(2α+π6)-π6]=cos(2α+π6)cos π6+sin(2α+π6)sin π6=1-2√66. ................................................................................ 12分 20.(1)证明:因为f (x )是R 上的偶函数,所以f (-x )=f (x ). ........................................................................................................ 1分 因为f (x-2)+f (-x )=0,所以f (-x )=f (x )=-f (x-2),则f (x+2)=-f (x ). ................................................................................................................................................................. 2分 因为f (x+2)=f (x-2),所以f (x )=f (x+4),故函数f (x )是周期函数,且周期为4. .................................................................................................................................. 4分 (2)解:当x ∈[-2,0]时,x+2∈[0,2],则f (x+2)=1-(x+2)=-1-x , 由(1)知f (x )=-f (x+2),所以f (x )=x+1,即当x ∈[-2,0]时,f (x )=x+1. ................................................................................................................................................. 6分 因为函数g (x )的零点个数就是函数f (x )的图象与函数y=a|x|的图象交点的个数, 且函数f (x )与函数y=a|x|均为偶函数, 所以当x>0时,g (x )恰有7个零点,即当x>0时,函数f (x )的图象与函数y=ax 的图象有7个交点. ........................................................................................... 8分 结合图象可知,当a>0时,12a<1<16a ,解得116<a<112; .............................................................................................................................. 10分 当a<0时,14a=-1,解得a=-114. ........................................................................................................................................ 11分 综上可知,实数a 的取值范围是(116,112)∪{-114}. .................................................................................................................. 12分 21.解:(1)因为f'(x )=3x 2+2mx+m-1, ................................................................................................................................... 1分 所以f'(-1)=3-2m+m-1=0,解得m=2. ................................................................................................................................. 3分经检验,符合题意. ............................................................................................................................................................. 4分 (2)由(1)知f (x )=x 3+2x 2+x+1,f'(x )=3x 2+4x+1. 设切点为(x 0,f (x 0)),则切线方程为y-(x 03+2x 02+x 0+1)=(3x 02+4x 0+1)(x-x 0). ....................................................................................................... 6分因为切线过点(1,t ),所以t-(x 03+2x 02+x 0+1)=(3x 02+4x 0+1)(1-x 0),整理得t=-2x 03+x 02+4x 0+2. ............................................................................................................................................... 7分令g (x )=-2x 3+x 2+4x+2,则g'(x )=-6x 2+2x+4=-2(3x+2)(x-1). 当x<-23或x>1时,g'(x )<0;当-23<x<1时,g'(x )>0.所以g (x )的单调递增区间为(-23,1),单调递减区间为(-∞,-23)和(1,+∞),故g (x )极大值=g (1)=5,g (x )极小值=g (-23)=1027. ......................................................................................................................... 10分 因为过(1,t )可作曲线y=f (x )的三条切线,所以直线y=t 与g (x )=-2x 3+x 2+4x+2的图象有三个交点,故g (-23)<t<g (1),即实数t 的取值范围为(1027,5). ................................................................................................................. 12分 22.(1)解:当b=0时,f (x )=a ln x+12x 2(x>0),则f'(x )=a x+x=a+x 2x. 当a ≥0时,f'(x )>0恒成立,故函数f (x )在(0,+∞)上单调递增; ................................................................................................. 2分 当a<0时,令f'(x )>0,得x>√-a .令f'(x )<0,得0<x<√-a ,故函数f (x )在(√-a ,+∞)上单调递增,在(0,√-a )上单调递减. ................................................................................................. 4分(2)证明:f'(x )=a x +x+b=x 2+bx+a x(x>0). 因为f (x )存在极大值,所以关于x 的方程x 2+bx+a=0有两个不等的正根x 1,x 2. 不妨设0<x 1<x 2,则x 1x 2=a.因为0<x 1<x 2,所以a>0,且0<x 1<√a . ................................................................................................................................ 6分 设p (x )=x 2+bx+a ,列表如下:x(0,x 1) x 1(x 1,x 2) x 2(x 2,+∞)p (x ) + 0 - 0 + f'(x ) +0 -0 +f (x )单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f (x )极大值=f (x 1)=a ln x 1+12x 12+bx 1. 因为bx 1=-(x 12+a ),所以f (x )极大值=f (x 1)=a ln x 1-12x 12-a<-b 对0<x 1<√a 恒成立. ................................................................................................ 8分设g (x )=a ln x-12x 2-a+b ,x ∈(0,√a ),则g'(x )=a -x 2x>0,所以g (x )在(0,√a )上单调递增,所以g (x )<g (√a )=a ln √a -3a 2+b ≤0,即b ≤-a ln √a +3a 2.故a+b ≤-a ln √a +5a 2=-a 2ln a+5a 2. ....................................................................................................................................... 10分 设t=a2(t>0),则φ(t )=-t ln(2t )+5t ,φ'(t )=4-ln(2t ).当t ∈(0,e 42)时,φ'(t )>0,φ(t )单调递增;当t ∈(e 42,+∞)时,φ'(t )<0,φ(t )单调递减. 所以φ(t )≤φ(e 42)=e 42,即a+b ≤e 42. ........................................................................................................................................ 12分。
江西省南昌市第十中学2021届高三数学下学期第一次月考试题 理说明：本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。
考试用时120分钟，注 意 事 项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。
1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS 号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。
2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。
3．考试结束后，请将答题纸交回。
一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分,在每小题列出的四个选项中只有一项符合题目要求）1.已知集合，，则（ ） A. B.C.D.2.若复数i2ia +-为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值为 ( ) A ． B ．2C.12-D ．123.数据()11,x y ，()22,x y ，…，()1010,x y 满足线性回归方程y bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程y bx a =+”是“1210010x x x x +++=，1210010y y y y +++=”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也必要条件4.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形各边均与圆相切的正6n 边形的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是（ ） A.B.C. D. 5.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D.6.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课则“六艺”课程讲座的不同排课顺序共有（ ） A. 120种 B. 156种 C. 188种 D. 240种7.在等差数列{}n a 中，178-<a a ，前n 项和n S 有最小值，则当0n S <时，n 的最大值为( ) A ．7B ．8C ．13D ．148.已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A. B. C.D.9.在平面内，已知A ，C 是两个定点，B 是动点，若，，则的内角A 的最大值为( ) A. B. C.D.10.双曲线C ：的左焦点和虚轴的一个端点分别为F ，A ，点P 为C 右支上一动点，若周长的最小值为4b ，则C 的离心率为A. B. C.D.11.已知直三棱柱的侧棱长为2，，过AB ，的中点E ，F 作平面与平面垂直，则所得截面周长为( ) A. B.C. D .12.若函数为定义在R 上的偶函数，当时，，则不等式 的解集为( )A. B. C.D.二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分） 13.若，则 .14. 的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中的系数为 ．15. 直线l:x=my +1过抛物线2:2C y px =的焦点F,交抛物线C 于A ､B 两点,若2,AF FB =则直线l 的斜率为_____.16. 已知四棱锥的顶点均在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，，，，二面角大小为，当面积最大时，球O 的表面积为______ ．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必答题（每小题12分）17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足2a =，()cos 2cos a B c b A =-. （1）求角A 的大小； （2）求ABC ∆周长的范围.18.现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边CD 折起形成三棱锥，如图所示，其中，点E ，F ，G 分别是AC ，BC ，AB 的中点． （1）求证：平面CDG ； （2）求二面角的余弦值．19.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式．为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价．现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：对优惠活动好评 对优惠活动不满意合计 对车辆状况好评 100 30 130 对车辆状况不满意40 30 70 合计14060200(1)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系？(2)为回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送面额为0元，1元，2元的三种骑行券．用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券．用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是，，且各次获取骑行券的结果相互独立．若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考：，k20.已知椭圆C ：的离心率为，短轴长为． （1）求C 的方程；（2）设不过点的直线l 与C 相交于A ，B 两点，直线TA ，TB 分别与x 轴交于M ，N 两点，若，证明直线l 的斜率是定值，并求出该定值．21. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，证明：．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修4 – 4:坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线的参数方程为1431x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点P 的直角坐标为,若曲线与相交于A ,B 两点，求的值．23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数 （1）若不等式恒成立，求实数m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若a 、b 、c 为正实数，且三数之和为m 的最大值，求证：南昌十中2020-2021学年下学期第一次月考高三年级理科数学答案一、选择题二、填空题13. 14. -48 15. 16. 28 三、解答题17.（1）由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=. 由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=. 即()sin 2sin cos A B C A +=，因为()sin sin A B C +=. 所以sin 2sin cos C C A =.因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =， 因为0A π<<，所以3A π=.....................................6分（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得224bc b c +=+ 即()234b c bc +=+.因为22b c bc +⎛⎫⎪⎝⎭≤所以()()22344b c b c +++≤， 即4b c +≤（当且仅当2b c ==时等号成立）又∵b c a +>，即24b c <+≤，所以46a b c <++≤，即周长的范围为(]4,6.....................................12分 18.解：证明：根据已知得，又G 为AB 的中点，所以， 因为，G 为AB 的中点，所以， 又，平面CDG ，平面CDG ，所以平面又因为，所以平面.....................6分 （2）因为，，所以平面ABD ， 取BD 中点H ，连接AH ，FH ， 则平面BDC ，又，所以以H 为原点，以HB，HF，HA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以设平面AEF的法向量为，则，令，得设平面AED的法向量为，则令，得所以，所以二面角的余弦值为...................................12分19.解：由列联表的数据，得．在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系．.......4分由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为的所有可能取值分别为0，1，2，3，4．，，，，，的分布列为：X 0 1 2 3 4PX的数学期望为元．...........................12分20.(1)解：由题意，，解得，椭圆C的方程为；.....................4分(2)证明：当直线l的斜率不存在时，设直线l：，设l与椭圆C交于，，直线TA：，直线TB：，可得，，，，即与矛盾，故直线l的斜率存在；设直线l：，代入，整理得．设，， 则，，，，，即，，即．，则，整理得：，或．当时，直线l ：过点，不合题意，故舍去；，即，满足的m 存在．故直线l 的斜率是定值．..............................................12分 21.解：的定义域为，， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，得，单调递增， ，得，单调递减，综上所述，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，在单调递减．...........4分 （2）证明：当时，，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，即， 令，，则，可知在上单调递减，所以， 即当时，，从而， 所以当时，，即， 所以．.............12分22.解：（1）把参数方程141x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）消去参数t10y --=由2C 的极坐标方程为4sin ρθ=-，两边同乘以ρ，得24sin ρρθ=-，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩且222x y ρ=+代入，得曲线2C 的直角坐标方程为2240x y y ++=； ..........5分（2）直线1C的标准参数方程1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，（t 为参数）把直线1C的参数方程1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，（t 为参数）代入曲线2C 的普通方程2240x y y ++=中，整理得230,0t -=>121230t t t t ∴+==-<，利用参数的几何意义知：12121212121111||||t t t t PA PB t t t t t t +-∴+=+====.........10分 23.解：（1）由题可知34,2()8,2334,3x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩当2x ≤-时，()3410f x x =-+≥ 当23x -<<时，()8(5,10)f x x =-∈ 当3x ≥时，()345f x x =-≥ 所以函数()y f x =的值域为[5,)+∞，若不等式()f x m ≥恒成立，则5m ≤ ..........5分 （2）由（1）知5a b c ++= 证明：222222222a b ab b c bca c ac +≥+≥+≥()2222222a b c ab bc ac ++≥++()2222223222a b c a b c ab bc ac ∴++≥+++++即：()22223()25a b c a b c ∴++≥++=222253a b c ∴++≥当且仅当a b c ==时取“=”号 .........10分。
2020-2021学年度莲塘一中高三上学期10月检测理数第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2|230A x x x =+-<，{}|02B x x =<<，则AB =（ ）A ．{}|02x x <<B ．{}1|0x x <<C ．{}|31x x -<<D ．{}|12x x -<<2．已知集合{}2430=-+>A x x x ，{}0=-<B x x a ，若⊆B A ，则实数a 的取值范围为A ．()3,+∞B ．[)3,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞3．若幂函数()y f x =的图像经过点(2,4)-，则在定义域内函数()f xA ．有最小值B ．有最大值C ．为增函数D ．为减函数4．已知函数f (x )＝3x －3x -，∀a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥01x ，x <0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图象是( )6．已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－17．定积分1(2)x x e dx +⎰的值为( )A ．2e +B ．1e +C ．eD ．1e -8．已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞a ＞bB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．a ＞b ＞c9． 如图是函数()f x 的导函数()y f x '=的图像，则下列说法一定正确的是（ ） A ．3x x =是函数()f x 的极小值点B ．当2x x =或4x x =时，函数()f x 的值为0C ．函数()f x 的图像关于点()0,c 对称D ．函数()f x 在()4,x +∞上是增函数10．设函数2()ln(1)f x x m x =++有两个极值点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦11．已知函数()()2ln 2f x x x x x a =+-（a ∈R ）．若存在[]1,3x ∈，使得()()f x xf x '>成立，则实数a 的取值范围是( )A ． (),-１６B ．,2⎛⎫-⎪⎝⎭１３ C ．5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ． 2,2⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭２ 12．设，，若函数在内有4个零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________ 14． 曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______．15． 已知当0<x ≤14时，有x <log a x ，则实数a 的取值范围为________16．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ＋1，若对任意的x ＞0，f (x )≤x e 2x 恒成立，求实数a 的取值范围．三、解答题：共70分。
17题10分,18－22每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f(1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．18．已知命题:p “函数()222xxf x m -=-在R 上有零点”．命题:q “函数()22f x x mx n =++在[]1,2上单调递增”．（1）若p 为真命题，则实数m 的取值范围； （2）若p q ∧为真命题，则实数m 的取值范围．19．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．20．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．21. 设函数f (x )＝x ln x －ax 22＋a －x (a ∈R)．(1)若函数f (x )有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝2，k ∈N ，g (x )＝2－2x －x 2，且当x ＞2时不等式k (x －2)＋g (x )＜f (x )恒成立，试求k 的最大值．22. 已知函数f (x )＝ln x －12ax ＋a －2，a ∈R .(1)求函数f (x )的极值；(2)当a <0时，试判断g (x )＝xf (x )＋2的零点个数．2020-2021学年度莲塘一中高三上学期10月检测理数参考答案一、选择题 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案BDACDDＣＡＤBＣＡ二、填空题１３、 (0,1) １４、16１５、 ⎝⎛⎭⎫116，1 １６、5. 由题中图象可知，函数在原点处没有图象，故函数的定义域为{x |x ≠0}，故排除选项A 、C ；又函数图象与x 轴只有两个交点，f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos 2x 中cos 2x ＝0有无数个根，故排除选项B ，正确选项是D.9. ()f x 的定义域为222(1,)()1x x mf x x '++-+∞=+，，令其分子为2()22(1)g x x x m x =++>-，在区间(1,)-+∞上有两个零点，故(1)0111022g m g m -=>⎧⎪⎨⎛⎫-=-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1１. 【答案】5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】由()()f x xf x '>，得()0f x x '⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，设2()()ln 2()f x g x x x a x==+-，则存在[]1,3x ∈，使得()0g x '<成立， 即1()4()0g x x a x'=+-<成立．所以14a x x >+成立，所以min 12a x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立， 又令14t x x =+，()()22+1214x x t x -'=，所以[]1,3x ∈时，>0t '，t 单调递增，当1x =时，t 有最小值54，所以实数a 的取值范围是5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故答案为5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 12. 【详解】很明显不是函数的零点，令函数，则，则，令，则函数的图象与在内有个交点，函数的图象如下图所示：由图可得：.１６.因为f (x )＝ax ＋ln x ＋1，所以对任意的x ＞0，f (x )≤x e 2x恒成立，等价于a ≤e 2x－ln x ＋1x 在(0，＋∞)上恒成立．令m (x )＝e 2x －ln x ＋1x (x ＞0)，则只需a ≤m (x )min 即可，则m ′(x )＝2x 2e 2x ＋ln xx 2， 再令g (x )＝2x 2e 2x＋ln x (x ＞0)，则g ′(x )＝4(x 2＋x )e 2x＋1x ＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为g ⎝⎛⎭⎫14＝e 8－2ln 2＜0，g (1)＝2e 2＞0， 所以g (x )有唯一的零点x 0，且14＜x 0＜1，所以当0＜x ＜x 0时，m ′(x )＜0，当x ＞x 0时，m ′(x )＞0， 所以m (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，因为2x 2e2x 0＋ln x 0＝0， 所以ln 2＋2ln x 0＋2x 0＝ln(－ln x 0)， 即ln(2x 0)＋2x 0＝ln(－ln x 0)＋(－ln x 0)，设s (x )＝ln x ＋x (x ＞0)，则s ′(x )＝1x ＋1＞0， 所以函数s (x )在(0，＋∞)上单调递增， 因为s (2x 0)＝s (－ln x 0)， 所以2x 0＝－ln x 0，即e2x 0＝1x 0，所以m (x )≥m (x 0)＝e2x 0－ln x 0＋1x 0＝1x 0－ln x 0x 0－1x 0＝2，则有a ≤2， 所以实数a 的取值范围为(－∞，2]．17. 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1，3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.18. 【解析】（1）p 为真命题：因为函数()222x xf x m -=-在R 上有零点，所以()2220x xf x m -=-=有解，所以222xxm -=有解，所以12m ≥……………………………………………………….5分 （2）因为函数()22f x x mx n =++在[]1,2上单调递增，所以1m -≤，所以1m ≥- ………………………………………..9分 因为p q ∧，所以,p q 均为真， 所以12m ≥ …………………………………………………..12分19. 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－214，15.……………….5分(2)∵函数f (x )的对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3， ∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1， ∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意．综上可知，a ＝－13或－1.20. 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ， 由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ， 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32(x >0)，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0， 解得x ＝－1或x ＝5，因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，所以舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内单调递减；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内单调递增．故f (x )的单调递减区间是(0,5)，单调递增区间是(5，＋∞). ………………..12分21. [解题观摩] (1)由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1－ax －1＝ln x －ax ，令f ′(x )＝0，可得a ＝ln xx ，令h (x )＝ln xx (x ＞0)，则由题可知直线y ＝a 与函数h (x )的图象有两个不同的交点，h ′(x )＝1－ln xx 2，令h ′(x )＝0，得x ＝e ，可知h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，h (x )max ＝h (e)＝1e ，当x ―→0时，h (x )―→－∞，当x ―→＋∞时，h (x )―→0，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，1e .……………………………………….5分(2)当a ＝2时，f (x )＝x ln x －x 2＋2－x ，k (x －2)＋g (x )＜f (x )，即k (x －2)＋2－2x －x 2＜x ln x －x 2＋2－x ，整理得k (x －2)＜x ln x ＋x ，因为x ＞2，所以k ＜x ln x ＋xx －2.设F (x )＝x ln x ＋x x －2(x ＞2)，则F ′(x )＝x －4－2ln x(x －2)2.令m (x )＝x －4－2ln x (x ＞2)，则m ′(x )＝1－2x ＞0，所以m (x )在(2，＋∞)上单调递增，m (8)＝4－2ln 8＜4－2ln e 2＝4－4＝0，m (10)＝6－2ln 10＞6－2ln e 3＝6－6＝0，所以函数m (x )在(8,10)上有唯一的零点x 0，即x 0－4－2ln x 0＝0，故当2＜x ＜x 0时，m (x )＜0，即F ′(x )＜0，当x ＞x 0时，F ′(x )＞0，所以F (x )min ＝F (x 0)＝x 0ln x 0＋x 0x 0－2＝x 0⎝⎛⎭⎫1＋x 0－42x 0－2＝x 02，所以k ＜x 02，因为x 0∈(8,10)，所以x 02∈(4,5)，故k 的最大值为4. ………………………………………..12分22. 【解析】 (1)f ′(x )＝1x －a 2＝2－ax2x (x >0)．若a ≤0，则f ′(x )>0，∴函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；若a >0，当0<x <2a 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x >2a 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减， 综上，若a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；无极值若a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2,0，单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+a 2. 22()()ln 2f x f a a a=+-极大＝，无极小值。
