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初三数学几何竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，若a=6，c=10，则b的长度为多少？A. 8B. 9C. 10D. 112. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，那么直线与圆的位置关系是？A. 相切B. 相交C. 相离D. 内切3. 一个正六边形的边长为a，其外接圆半径为多少？A. aB. √3aC. 2aD. a√34. 已知点P在圆O的内部，PA和PB是点P到圆O的两条切线，PA=PB，圆的半径为r，那么PA的长度为？A. rB. 2rC. √2rD. √3r5. 在三角形ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，AB=1，求BC的长度。
A. √2B. √3C. 2D. 3√2二、填空题（每题2分，共10分）6. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是_________三角形。
7. 一个圆的直径为10cm，那么它的面积是_________平方厘米。
8. 一个正方体的体积为27立方厘米，它的边长是_________厘米。
9. 如果一个多边形的内角和为900°，那么这个多边形的边数是_________。
10. 在一个直角三角形中，如果一个锐角的度数是另一个锐角的两倍，那么较小的锐角的度数是_________。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 在三角形ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，AB=2，求AC的长度。
12. 已知圆O的半径为r，点P在圆O上，PA是点P到圆心O的半径，求点P到圆O的切线长度。
13. 一个正五边形的外接圆半径为R，求正五边形的边长。
14. 已知点M在圆O的直径AB上，且OM=1/3AB，求点M到圆O的切线长度。
四、综合题（每题10分，共20分）15. 已知正方形ABCD的边长为1，E是CD边上的一点，F是BC边上的一点，且CE=CF=1/3。
九年数学竞赛试题一、选择题(每小题7分，共42分)1.在直角坐标系中，若一点的纵、横坐标都是整数，则称该点为整点.设k 为整数，当直线y=x-2与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取( )(A)4个(B)5个(C)6个(D)7个2.如图，AB是⊙O的直径，C为AB上的一个动点(C点不与A、B重合)，CD⊥AB，AD、CD分别交⊙O于E、F，则与AB·AC相等的一定是( )(A)AE·AD(B)AE·ED(C)CF·CD(D)CF·FD3.在△ABC与△A′B′C′中，已知AB＜A′B′，BC＜B′C′，CA＜C′A′.下列结论：(1)△ABC的边AB上的高小于△A′B′C′的边A′B′上的高；(2)△ABC的面积小于△A′B′C′的面积；(3)△ABC的外接圆半径小于△A′B′C′的外接圆半径；(4)△ABC的内切圆半径小于△A′B′C′的内切圆半径.其中，正确结论的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D) 44.设，那么S与2的大小关系是( )(A)S=2 (B)S＜2(C)S＞2 (D)S与2之间的大小与x的取值有关5.折叠圆心为O、半径为10cm的圆纸片，使圆周上的某一点A与圆心O重合.对圆周上的每一点，都这样折叠纸片，从而都有一条折痕.那么，所有折痕所在直线上点的全体为( )(A)以O为圆心、半径为10cm的圆周(B)以O为圆心、半径为5cm的圆周(C)以O为圆心、半径为5cm的圆内部分 (D)以O为圆心，半径为5cm的圆周及圆外部分6.已知x，y，z都是实数，且x2+y2+z2=1，则m=xy+yz+zx( )(A)只有最大值 (B)只有最小值(C)既有最大值又有最小值 (D)既无最大值又无最小值二、填空题(每小题7分，共56分)7.如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第15行的实心圆点的个数等于______.8.如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N，则AN:AB的值为______.9.如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=5cm，然后以虚线CE(E点在AD上)为折痕，使D点落在AB边上.则AE=_____cm，∠DCE=______°.10.如图4，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD:DB=2:3，AC=10，sinB的值为_____11.直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=5cm，AC=4cm，则∠A的平分线AD的长为______cm.12.如图，⊙C通过原点，并与坐标轴分别交于A，D两点.已知∠OBA=30°，点D的坐标为(0,2)，则点A，C的坐标分别为A( , )；C( , ).13.若关于x的方程rx2-(2r+7)x+(r+7)=0的根是正整数，则整数r的值可以是______.14.将2,3,4,5,…,n(n为大于4的整数)分成两组，使得每组中任意两数之和都不是完全平方数.那么，整数n可以取得的最大值是______.三、解答题(每题13分，共52分)15.九年(1)班尚剩班费m(m为小于400的整数)元，拟为每位同学买1本相册.某批发兼零售文具店规定：购相册50本起可按批发价出售，少于50本则按零售价出售，批发价比零售价每本便宜2元，班长若为每位同学买1本，刚好用完m元；但若多买12本给任课教师，可按批发价结算，也恰好只要m元.问该班有多少名同学？每本相册的零售价是多少元？16.已知关于x的方程x2+4x+3k-1=0的两个实根的平方和不小于这两个根的积；反比例函数的图像的两个分支在各自的象限内，点的纵坐标y随点的横坐标x的增大而减小.求满足上述条件的k的整数值.17.某中学预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额多用29元.又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元.(1)求x、y的关系式；(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x，y的值.18.如图，在△ABC中，BC=6，AC=4，∠C=45°，P为BC上的动点，过P作PD∥AB交AC于点D，连结AP，△ABP、△APD、△CDP的面积分别记为S1，S2，S3，设BP=x.(1)试用x的代数式分别表示S1，S2，S3；(2)当P点位于BC上某处使得△APD的面积最大时，你能得出S1、S2、S3之间或S1、S2、S3两两之间的哪些数量关系(要求写出不少于3条)？九年数学竞赛试题答案一、选择题1.A2.A3.A4.D5.D6.C二、填空题7.377 8.1:39.，30 10.11.12.(,0)，(,1) 13.0，1或7 14.2815.设该班共有x名同学，相册零售价每本y元.由题设，得xy=(x+12)(y-2)，①且整数x满足38＜x＜50.②由①得12y-2x-24=0，y=+2，xy=+2x.③由③及xy=m为整数，知整数x必为6的倍数，再由②，x只可能为42或48.此时相应的y为9或10.但m＜400，∴x=42，y=9.答：(略).16.由题意，方程x2+4x+3k-1=0①有实数根，故△=42-4(3k-1)≥0，解之，得k≤.②设x1，x2为①的根，由根与系数关系知x1+x2=-4，x1·x2=3k-1，因≥x1x2，故(x1+x2)2-3x1x2≥0，即(-4)2-3(3k-1)≥0，∴k≤.③又由当x＞0或x＜0时，分别随x值增大而减小，知1+5k＞0，即k＞-.④综合②③④，得-＜k≤.∴满足题中条件的k可取整数值为0, 1.17.(1)设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是：ax+by=1500，①由甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个情形，得：(a+1.5)(x-10)+(b+1)y=1529.②再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形得：(a+1)(x-5)+(b+1)y=1563.5.③由①，②，③得：④-⑤×2并化简，得x+2y=186.(2)依题意有：205＜2x+y＜210及x+2y=186.得54＜y＜.由于y是整数，得y=55，从而得x=76.答：略.18.(1)由题意知：BP=x，0＜x＜6，且有，故AD=·BP=x=x.过P作PM⊥AC交AC于M点，过A作AN⊥BC交BC于N点，则PM=PC·sinC=(BC-PB)sin45°=(6-x)，S2=S△APD=AD·PM=·x·(6-x)=2x-x2；又AN=AC·sinC=4·sin45°=4，故S1=S△ABP=BP·AN=2x；S3=S△CDP=CD·PM=(AC-AD)·PM=(4-x)·(6-x)=(6-x)2.(2)因为S2=2x-x2=3-(x-3)2，所以当x=3时，S2取最大值S2=3，此时S1=6，S3=3，因此，S1，S2，S3之间的数量关系有S1=S2+S3，S2=S3，S1=2S2，S1=2S3.(以上4个关系只要写出3个即可)。
全国初三初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.如图，已知在Rt△ABC中，AB=35，一个边长为12的正方形CDEF内接于△ABC.则△ABC的周长为( ).(A)35 (B)40 (C)81 (D)842.设n=9+99+…+99…9(99个9).则n的十进制表示中，数码1有( )个.A．50B．90C．99D．1003.已知f(x)=x2+6ax-a，y=f(x)的图像与x轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)，且=8a-3.则a的值是( ).A．1B．2C．0或D．4.若不等式ax2+7x-1>2x+5对-1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是( ).A．2≤x≤3B．2<x<3C．-1≤x≤1D．-1<x<15.在Rt△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，AB=1，分别以AB、BC、CA为边长向△ABC外作等边△ABR、等边△BCP、等边△CAQ，联结QR交AB于点T.则△PRT的面积等于( ).(A) (B) (C) (D)6.在3×5的棋盘上，一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动.从某些待定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不必回到原来出发的小方格上.在这15个小方格中，有( )个可以是这枚棋子出发的小方格.A．6B．8C．9D．10二、填空题1.正方形ABCD的边长为5，E为边BC上一点，使得BE=3，P是对角线BD上的一点，使得PE+PC的值最小.则PB= .2.设a、b、c为整数，且对一切实数x，(x-a)(x-8)+1="(x-b)(x-c)" 恒成立.则a+b+c的值为 .3.如图，在以O为圆心的两个同心圆图2中，MN为大圆的直径，交小圆于点P、Q，大圆的弦MC交小圆于点A、B.若OM=2，OP= 1，MA=AB=BC，则△MBQ的面积为 .4.从1， 2，…， 2 006中，至少要取出个奇数，才能保证其中必定存在两个数，它们的和为2 008.三、解答题1.(20分)实数x、y、z、w满足x≥y≥z≥w≥0，且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值.2.(25分)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F，联结AD与内切圆相交于另一点P，联结PC、PE、PF.已知PC⊥PF.求证:(1)EP/DE=PD/DC;(2)△EPD是等腰三角形.3.(25分)在中，有多少个不同的整数(其中，[x]表示不大于x的最大整数)?全国初三初中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.如图，已知在Rt△ABC中，AB=35，一个边长为12的正方形CDEF内接于△ABC.则△ABC的周长为( ).(A)35 (B)40 (C)81 (D)84【答案】D【解析】分析：首先设BC=a，AC=b，由勾股定理与正方形的性质，可得：a2+b2=352，Rt△AFE∽Rt△ACB，再由相似三角形的对应边成比例，可得12（a+b）=ab，解方程组即可求得．解答：解：如图，设BC=a，AC=b，则a2+b2=352=1225．①又Rt△AFE∽Rt△ACB，所以=，即=，故12（a+b）=ab．②由①②得（a+b）2=a2+b2+2ab=1225+24（a+b），解得a+b=49（另一个解-25舍去），所以a+b+c=49+35=84．故答案为D．2.设n=9+99+…+99…9(99个9).则n的十进制表示中，数码1有( )个.A．50B．90C．99D．100【答案】C【解析】由于9=10-1，99=100-1，…，所以n="9+99+999+…+" =10+102+103+…1099-99×1．然后据此等式求出n的值后，即能得出n的十进制表示中，数码1有多少个．解：n=9+99+999+…+=10+102+103+…1099-99×1，=1111111…10（99个1）-99，=11111…1011（99个1）．所以在十进制表示中，数码1有99个．故答案为：99．根据式中数据的特点将式中的数据变为10的n次方相加的形式是完成本题的关键．3.已知f(x)=x2+6ax-a，y=f(x)的图像与x轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)，且=8a-3.则a的值是( ).A．1B．2C．0或D．【答案】D【解析】本题考查二次函数与一元二次方程关系的综合应用问题。
数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。
解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。
根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。
由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。
代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。
解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。
已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。
代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。
初三数学竟赛试题及答案初三数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √42. 一个数的立方等于它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -13. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长x满足的条件是：A. 1 < x < 7B. 0 < x < 7C. 1 < x < 5D. 0 < x < 54. 一个圆的直径是10cm，那么它的半径是：A. 5cmB. 10cmC. 20cmD. 15cm5. 一个数的相反数是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 任意数6. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 0B. 正数C. 负数D. 0或正数7. 一个数的倒数是它本身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 1或-18. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -19. 一个数的立方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -110. 一个数的平方是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果一个数的平方是25，那么这个数是______。
12. 一个数的绝对值是5，那么这个数是______。
13. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是______。
14. 一个数的平方根是3，那么这个数是______。
15. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 计算：(3+2√2)(3-2√2)。
17. 证明：对于任意实数a和b，(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
18. 已知一个等腰三角形的两边长分别为5和8，求第三边的长度。
19. 一个圆的面积是π，求这个圆的半径。
20. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
九年级数学一、选择题（每小题5分，共30分）1．已知21+=m ，21-=n ，则代数式mn n m 322-+的值为（ ）A .9B .±3C .3D . 52．某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（ ）A ．13B ．19C ．12D ．23 3．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）(a ＞2)，半径为2，函数y=x 的图象被⊙P 的弦AB的长为a 的值是（ ） A．B．2+C．D．24．已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）个 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）56．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是（ ）． （A ）（2010，2） （B ）（2010，2-） （C ）（2012，2-） （D ）（0，2）二、填空题（每小题5分，共30分） 7．当x 分别等于20051，20041，20031，20021，20011，20001，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式221x x +的值，将所得的结果相加，其和等于 ．8．已知a ＝5－1，则2a 3＋7a 2－2a －12 的值等于 ．9．△ABC 的三边长a 、b 、c 满足8=+c b ，52122+-=a a bc ，则△ABC 的周长等于 ．10．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .11．如图，直径AB 为6阴影部分的面积是 ．12．如图，一次函数的图象过点P （2，3），交x 轴的正半轴与A ，交y 轴的正半轴与B ，则△AOB 面积的最小值是 ． 三、解答题（每小题15分，共60分）13、在实数范围内，只存在一个正数是关于x 的方程k x x kx x +=-++3132的解，求实数k 的取值范围．（第10题）（第11题）DB14．阅读下面的情境对话，然后解答问题（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在Rt ∆ABC 中， ∠ACB ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，且b ＞a ，若Rt ∆AB C 是奇异三角形，求a ：b ：c ；（3）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是上一点（不与点A 、B 重合），D 是半圆 ⌒ABD 的中点，CD 在直径AB 的两侧，若在⊙O 内存在点E 使得AE ＝AD ，CB ＝CE ．○1求证：∆ACE 是奇异三角形； ○2当∆ACE 是直角三角形时，求∠AOC 的度数．15.如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．16.设k 为正整数，证明：（1）、如果k 是两个连续正整数的乘积，那么256k +也是两个连续正整数的乘积； （2）、如果256k +是两个连续正整数的乘积，那么k 也是两个连续正整数的乘积．参考答案一、选择题1.C 2．A 3．B 4．D 5. C 6. B6.解：由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）． 记222 )P a b （，，其中222,2a b ==-． 根据对称关系，依次可以求得：322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，． 令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10P （2242,a b ⨯+）， 由于2010=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为（2010，2-）． 二、填空题7．6 8.0 9．12 10．6. 11．6π 12．1212．解：设一次函数解析式为y kx b =+，则32k b =+，得32b k =-，令0y =得bx k=-，则OA ＝b k-． 令0x =得y b =，则OA ＝b ．2221()21(32)2141292124]212.AOB b S b kk kk k k∆=⨯-⨯-=⨯--+=⨯-=⨯+≥ 所以，三角形AOB 面积的最小值为12．三、解答题13、原方程可化为0)3(322=+--k x x ，①（1）当△＝0时，833-=k ，4321==x x 满足条件； （2）若1=x 是方程①的根，得0)3(13122=+-⨯-⨯k ，4-=k ．此时方程①的另一个根为21，故原方程也只有一根21=x ；（3）当方程①有异号实根时，02321<+-=k x x ，得3->k ，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，3-=k ，另一个根为23=x ，此时原方程也只有一个正实根。
数学竞赛初中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 计算下列表达式的值：(3x^2 - 2x + 1) + (x^2 + 4x - 3) = ?A. 4x^2 + 2x - 2B. 4x^2 + 2x + 2C. 5x^2 + 2x - 2D. 5x^2 + 2x + 2答案：D3. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少？A. 10π厘米B. 20π厘米C. 25π厘米D. 30π厘米答案：C4. 如果一个数的平方是36，那么这个数是？A. 6B. ±6C. 36D. ±36答案：B5. 以下哪个分数是最简分数？A. 6/8B. 9/12C. 5/10D. 7/14答案：B6. 一个等差数列的第一项是2，公差是3，那么第5项是多少？A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A7. 下列哪个图形的面积是最大的？A. 边长为4的正方形B. 半径为2的圆C. 长为5，宽为3的矩形D. 底为6，高为2的三角形答案：B8. 一个正方体的体积是27立方厘米，那么它的表面积是多少？A. 54平方厘米B. 63平方厘米C. 81平方厘米D. 108平方厘米答案：A9. 一个数的立方根是2，那么这个数是？A. 6B. 8C. 2D. 4答案：D10. 下列哪个方程的解是x=2？A. x^2 - 4x + 4 = 0B. x^2 - 3x + 2 = 0C. x^2 - 5x + 6 = 0D. x^2 - 6x + 9 = 0答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的相反数是-5，那么这个数是________。
答案：512. 一个等腰三角形的底边长是6厘米，两腰长分别是8厘米，那么这个三角形的周长是________厘米。
答案：2213. 如果一个数除以3余1，除以5余2，那么这个数最小是________。
全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填得零分）1、方程组⎩⎨⎧=+=+6||12||y x y x 的解的个数为（ ）A 、1B 、 2C 、3D 、4答案：A解析：若0≥x ，则⎩⎨⎧=+=+6||12y x y x ，于是6||-=-y y ，显然不可能若0 x ，则⎩⎨⎧=+=+-6||12y x y x于是18||=+y y ，解得9=y ，进而求得3-=x 所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=93y x ，只有1个解． 故选（A ）．2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）A 、 14B 、 16C 、18D 、20答案：B解析：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4 所以，共16种． 故选（B ）．3、已知ABC ∆为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过ABC ∆的（ ）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心 答案：B解析： 如图，连接BE∵ABC ∆为锐角三角形 ∴BAC ∠，ABE ∠均为锐角又∵⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦 ∴ABE BAC ∠=∠∴BAC ABE BAC BEC ∠=∠+∠=∠2 若ABC ∆的外心为1O 则BAC C BO ∠=∠21∴⊙O 一定过ABC ∆的外心 故选（B ）． 4、已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则abc ca b bc a 222++的值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 答案：D解析：设0x 是它们的一个公共实数根，则02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx把上面三个式子相加，并整理得()()01020=++++x x c b a因为0432112002+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x所以0=++c b a于是()()33333333222=+-=+-+=++=++abcb a ab abc b a b a abc c b a ab c ca b bc a 故选（D ）．5、方程256323+-=++y y x x x 的整数解（x ，y ）的个数是（ ）A 、0B 、1C 、3D 、无穷多 答案：A解析：原方程可化为()()()()()2113212++-=++++y y y x x x x x因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的。
初三数学竞赛试题（本卷满分：120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题5分、共40分）1、如果多项式200842222++++=b a b a p ，则p 的最小值是（ ）(A) 2005 (B) 2006 (C) 2007 (D) 20082、菱形的两条对角线之和为L,面积为S,则它的边长为( ). (A)2124L S - (B)2124L S + (C)21S L 42- (D)21S L 42+3、方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）（A ）5个 （B ）4个 （C ）3个 （D ）2个 4、已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于O ，△AOD 的面积为4， △BOC 的面积为9，则梯形ABCD 的面积为（ ）（A ）21 （B ）22 （C ）25 （D ）26 5、方程|xy |+|x+y|=1的整数解的组数为（ ）。
（A ）8 (B) 6 (C) 4 (D) 2 6、已知一组正数12345,,,,x x x x x 的方差为：222222123451(20)5S x x x x x =++++-，则关于数据123452,2,2,2,2x x x x x + + + + +的说法：①方差为S 2；②平均数为2；③平均数为4；④方差为4S 2。
其中正确的说法是（ ）(A) ①② (B) ①③ (C) ②④ （D ）③④7、一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m ，然后，原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)。
被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为 ( )(A) 7 2° （B ）108°或14 4° （C ）144° （D ） 7 2°或144°8、如图，已知圆心为A 、B 、C 的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切．若⊙A、⊙B、⊙C 的半径分别为a 、b 、c(0<c<a<b)，则a 、b 、c 一定满足的关系式为 ( ) （A ）2b=a+c （B ）=b c a +（C ）b ac 111+= (D)ba c 111+=二、填空题（每小题5分，共30分）9、已知a ﹑b 为正整数,a=b-2005,若关于x 方程x 2-ax+b=0有正整数解,则a 的最小值是________. 10、如图，在△ABC 中，AB=AC, AD ⊥BC, CG ∥AB, BG 分别交AD,AC 于E,F.若b a BE EF =，那么BEGE等于 .A BCG F E D11、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点(-2，0)，(x1，0)，且1＜x1＜2，与y 轴正半轴的交点在(0，2)的下方，下列结论：①a<b<0；②2a+c>0；③4a+c<0；④2a-b+1．其中正确的结论是_____________．(填写序号)12、如图，⊙O 的直径AB 与弦EF 相交于点P ，交角为45°， 若22PF PE +=8，则AB 等于 ．13、某商铺专营A ，B 两种商品，试销一段时间，总结得到经营利润y 与投人资金x(万元)的经验公式分别是yA=x 71，yB=x 73。
初三数学竞赛试题 班级 姓名 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．要使方程组⎩⎨⎧=+=+23223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（ ）（A ）334<<a （B ）34<a （C ）3>a （D ）343<>a a 或 2．一块含有︒30角的直角三角形（如图），它的斜边AB ＝8cm, 里面空 心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm,那么DEF ∆的周长是（ ）(A)5cm (B)6cm (C) cm )(36- (D) cm )(33+3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )(A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1122-+=)x (y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是 ( )(A)2322-+-=)x (y (B) 2322++-=)x (y(C) 2122---=)x (y (D) 2322++-=)x (y5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( )(A)32 (B) 31 (C) 21 (D) 61 6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG 的顶点处，现顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点。
如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B 处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D 。
依这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可能分为两停到的顶点是( )(A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E (D)E,F.7．一元二次方程)a (c bx ax 002≠=++中，若b ,a 都是偶数，C 是奇数，则这个方程( )(A)有整数根 (B)没有整数根 (C)没有有理数根 (D)没有实数根8．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么在由54⨯ 个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是( )(A)16 (B) 32 (C) 48 (D) 64二、填空题：(共有6个小题，每小题5分，满分30分)9．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm,4cm ，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm.10．将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于最中间位置的数(当数据的个数是奇数时)，或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数，现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是11.ABC ∆中，c ,b ,a 分别是C ,B ,A ∠∠∠的对边，已知232310-=+==C ,b ,a ，则C sin c B sin b +的值是等于 。
九年级数学测验二满分：120分 时间：150分钟一、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分） 1.实数x 、y 满足等式2292|3|0x y xyx y xy-++-=，则x y -的取值范围为 。
2.关于x 的方程113267aa x x a +=-++无解，则实数a 的可能取值有 。
3. 已知111Rt A B C ∆的直角边长分别为1a 、1b ，斜边长为1x ，222Rt A B C ∆的直角边长分别为2a 、2b ，斜边长为2x ；请以111Rt A B C ∆与222Rt A B C ∆的直角边长构造出Rt ABC ∆的直角边： ，使得其斜边长为12x x4.在ABC ∆中，P 为其内部一点，请你构造出一对全等三角形，使得以下结论分别成立： 当 时，ABC ∆为以BC 为底边的等腰三角形；当 时，ABC ∆为以AC 为底边的等腰三角形，且P 为它外接圆的圆心； 当 时，ABC ∆为等边三角形。
5.在四边形ABCD 中，P 、Q 、R 、S 分别为AB 、BC 、CD 、DA 四边中点，记四边形ABCD 的对角线长度之和为1l ，四边形PQRS 的对角线长度之和为2l ，令12l k l =，则k 的取值范围为 。
6.已知函数21y ax ax a =++-与直线0x ay a ++=只有一个交点，那么这个交点的坐标为 。
7.给出三个关于x 的方程：22220,20,20ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=， 若220a b ac bc -+-≠，且这三个方程有相同的根，则这个根为 ；若0abc ≠，则前两个方程均有实根的概率为 ；若0ab >，在这三个方程中恰有某个方程存在唯一实根，则它们共有 个不相等的实根。
8. 已知某梯形的边长与对角线可构成三组长度相等的线段，那么最短边 与最长边之比为 。
9.如图，给出反比例函数3k y x=，这里1k >；在x 轴正半轴上依次排列2010个点122010,,,A A A L ，点n A 的坐标为(,0)(1,2,,2010)n x n =L ，1(1,2,,2009)n n x x d n +=+=L ，1(1)x d k =-；过点n A 作x 轴的垂线交反比例函数于点n P ，记12n n n P P P ++∆的面积为(1,2,,2008)n S n =L ，那么122008S S S +++=L 。
二、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分） 10.若22221a ab b ++=，那么a 、b （ ）A.一个为无理数、一个为有理数B.均为分数 C 均为无限不循环小数 D.不是实数11.下列整式中哪个不能在实数范围内因式分解？（ ）A. 32333k k k -+- B. 32331k k k ++- C. 32332k k k +-+ D. 32332k k k -++12.如图，在无限单位正方形网格中，任意找三个正方形顶点构成一个角，以下特殊角中不可能得到的有（ ）个：①22.5︒②30︒③36︒④45︒A.4B.3C.2D.113.将一个多边形中所有的点连结成线段后，边长及对角线长共有n 种取值，那么在这些线段构成的角中，最小的角是（ ）度。
A.180(2)n n -或180(1)1n n -+ B. 90n 或18021n + C. 180n 或36021n + D. 180(1)n n -或180(21)21n n -+ 14.如图，一开口向下的抛物线与x 轴负半轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点Q （0，-3），其顶点为P ，若~PAB BAQ ∆∆，则抛物线的方程为（ ）A. 2143333y x x =--- B. 2123363y x x =--- C. 2323y x x =-- D. 2343y x x =-- 15.如图，在半径为r 的O e 中，有内接矩形ABCD ，AB 中点E 与圆上逆时针排列的三点 F 、G 、H 构成边长为a 的菱形，若2GDH EFG ∠=∠，则DG 的长为（ ） A. 2242r a -2242r a + B.242r ra -242r ra +C.242ra a -242ra a + D. 22a r r -或22a r r+16. 如图，在直角坐标系中，直线340x y a ++=与y 轴、反比例函数ky x=和x 轴 依次交于A 、B 、C 、D 四点，若2BC AB CD =+，且2AC BD ⋅=，则ak=（ ）A. 152B. 32C. 182D. 92-17. 如图，在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，作内切圆O e ，记其半径为r ；在O e 周围再作三个 圆，使得它们既与O e 相切，又与Rt ABC ∆相切，记它们的半径分别为1r 、2r 、3r ， 则123r r r ++与r 的大小关系为（ ）A. 123r r r r ++>B. 123r r r r ++=C. 123r r r r ++<D.无法确定，与Rt ABC ∆的锐角有关 18.如图所示环形跑道，大圆半径为55米，小圆半径为50米，A 、B 、C 、D 为大圆圆周上的四 等分点，小圆上的点'A 、'C 在直线AC 上，'B 、'D 在直线BD 上；甲、乙两人从A 点开始顺时针慢跑，甲一直在大圆上运动，其速度为每秒2.5米；乙作每秒4米的匀速运动，只是先沿着直线段'AA 抵达小圆，跑完四分之一个圆周后沿直线段'B B 回到大圆上；图中 箭头即规定了乙穿梭于大圆和小圆之间时的方向，同时要求他不能连续两次通过某一直线段 进入小圆或回到大圆，即乙从B 点跑至D 点并进入小圆后不能再一次在'B 点回到大圆，而必须经过直线段'C C ；此外，乙除了在经过这些直线段时作向南或向东的运动，其他时候都是作顺时针运动。
请问：当甲第一次出现在乙之前（即甲在乙前方5米以内）时，乙已通过'B 点（ ）次 A.2 B.3 C.4 D.5 三、解答题（共七大题，满分66分）19.小明在做数学作业时遇到了困惑，请你帮忙解答： （1）（4分）整数m 使得关于x 、y 的二元一次方程组273103540x y m x y m +=-⎧⎨+=-⎩的解32x y >⎧⎨>⎩，试求m ；小明先是这么解的：由273103540x y m x y m +=-⎧⎨+=-⎩解得3023102x m y m =->⎧⎨=->⎩，于是1213.5m <<，得到13m =； 后来小明发现了一种更简便的方法，因为他认为带参数解方程显得过于繁琐：由32x y >⎧⎨>⎩得知273102372203540335219x y m x y m +=->⨯+⨯=⎧⎨+=->⨯+⨯=⎩，于是1021m <<，解到这儿时他才发现不对劲，因为两个结果差异太大，可他看了半天也检查不出错误，你能找出来告诉他吗？（2）（4分）他在另外一次数学作业中又遇到了不等式问题，已算到这一步： 负数x 、y(>x)满足不等式222041200x xy y -+>，他很快对左边的整式作了因式分解：(45)(54)0x y x y -->，于是得到54x y >； 不过小明是个爱动脑筋的孩子，他又记起了以前学过的换元法：令xt y=，则原不等式可化为：222041200x x y y -+>，即2204120(45)(54)0t t t t -+=-->，得54t >， 但这样得出的结果与前面矛盾，因为y 为负数，因此将y 乘到不等式右边时，54x y <； 他大惑不解，不过他实在不知自己哪儿出错了，你能找出来告诉他吗？20.观察以下方法并答题：对于正整数n ，求123n ++++L 。
由22222(11)12111=+=+⨯⨯+， 22223(21)22211=+=+⨯⨯+， 22224(31)32311=+=+⨯⨯+， ……222(1)211n n n +=+⨯⨯+，将以上n 个等式加起来，得：222222222234(1)(123)2(123)1n n n n +++++=+++++⨯+++++⨯L L L ， 21(1)123[(1)1]22n n n n n +∴++++=+--=L 。
（1）（4分）对于正整数n ，请运用以上方法求2222(1)(2)(3)4n n n n +++++++L ； （2）（3分）对于正整数n ，利用（1）的结果求2222135(21)n ++++-L 。
21.如图，O e 为等腰三角形ABC 的外接圆，AC AB =，在劣弧»AC 上找一点 D 使得DA DC =，在劣弧»AD 上找一点E 使得EA ED =，若EA BA ⊥， （1）（3分）试判断四边形ABCD 的形状； （2）（5分）利用图中边角关系，求sin54︒。
22.某地摊出售A 、B 、C 三种货物，顾客甲买了A 货物1件、B 货物2件和C 货物3件，一共花去26元，顾客乙买了A 货物2件、B 货物3件和C 货物4件，一共花去38元； （1）（2分）求出A 、B 、C 三种货物的单价之和； （2）（3分）若顾客丙买了A 货物3件、B 货物2件和C 货物1件，那么他花了多少钱？ （3）（4分）若顾客丁打算用32元购买这三种货物，那么他怎么选购才使得钱恰好够用？23.如图，在边长为a 的菱形ABCD 中，M 为BC 边上一点（不与顶点重合），将ABM ∆沿 AM 折叠，点B 刚好落在CD 边的N 点处； （1）（2分）试求BAD ∠的范围； （2）（5分）若点N 恰好为CD 中点，试求折痕AM 的长；（3）（5分）求证：221AM DNBM CM-=。
24.在关于x 的一元二次方程2()2()0a b c x b c a x c a b +--+-++-=中，a 、b 、c 为ABC ∆的三边长； （1）（3分）若该方程有唯一实根，则A ∠必定为锐角，且当60A ︒∠=时，ABC ∆为等边三角形；（2）（4分）若该方程有唯一实根，且2C B ∠=∠，试证明：22222(221)(231)b c a b c -≤≤-；（3）（5分）若该方程有两个整数根，ABC ∆三边也为整数，且a b >，试求出ABC ∆的最小面积。
25.给定抛物线2()y ax bx a b =+-+与反比例函数()b a b y ax+=，已知它们的图像有不少于两个的交点；（1）（4分）当抛物线与反比例函数只有两个交点时，请画出它们的函数图像，要求在抛物线上标明对称轴以及与x 轴的交点坐标；（2）（3分）当抛物线与反比例函数有三个交点P 、Q 、R （P Q R x x x <<）时，请求出PQR ∆的面积（用a 、b 表示）；（3）（5分）当线段PR 与抛物线的对称轴交于x 轴上，且QP RP ⊥时，请写出抛物线与反比例函数的方程。
