四川省新津中学2020-2021学年高三上学期开学考试数学(理)试题

2021年高三上学期入学考试数学试题 含答案一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．设集合，则( )A ．B ．C ．D ．2．复数在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D．第四象限3．命题“，”的否定是 ( )A ．，使得B ．，使得≤0C ．，都有≤0D ．，都有4．函数的图象是 ( )5．已知，则 （ ）A ．B ．C ．D ．6．设变量满足约束条件则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．7． 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若等差数列的公差，且成等比数列，则（ ）A ．B ．C ．D ．9．函数的图像为，如下结论中错误的是（ ）A ．图像关于直线对称B ．图像关于点对称C ．函数在区间内是增函数D ．由得图像向右平移个单位长度可以得到图像10．设函数，则其零点所在的区间为（ ）A ．B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）第Ⅱ卷（非选择题，共60分）二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11.阅读右侧程序框图，则输出的数据为_____.12．已知，函数的最小值13．的值为14．等比数列中，，，则的前项和为15.已知向量，，，则16．已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.三．解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数在上的值域.18. （本小题满分12分）在中，角A、B，C所对的边分别为，且（1）求的值；（2）若的值.19.（本小题满分12分）已知（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在处有极值，求的单调递增区间；密 封 线 内 请 不 要 答 题 （Ⅲ）是否存在实数，使在区间的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.北信附中xx ～xx 学年第一学期入学考试试卷 高 三 数 学 答 题 卡xx.9 第Ⅱ卷（非选择题，共60分） 二．填空题（本题满分24分） (11) (12) (13) (14) (15) (16) 三．解答题(本大题满分36分) 17. （本小题满分12分） （1）（2）18.（本小题满分12分）（1）（2）19.（本小题满分12分）（1）（2）(3)北信附中xx ～xx 学年第一学期入学考试试卷高 三 数 学 答 案 xx.9一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 12. 4 13. 14. 15. 16.三、解答题：本大题共4小题，共36分17. （本小题满分12分）解：已知函数（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数在上的值域.解：（Ⅰ）2()1sin 22cos )4f x x x x π=+-=-， …………………………………3分 最小正周期T=, …………………………………………………………………………4分单调增区间， ……………………………………………………7分（Ⅱ），， …………………………10分在上的值域是. ……………………………………………12分18 （本小题满分12分）解：（1）因为所以………………………3分由已知得所以A A A B sin 4cos cos 4sin )4sin(sin πππ-=-= ………………………6分（2）由（1）知，根据正弦定理得又因为 ………………………12分19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得的定义域为，因为，所以当时，，所以，因为，所以 ……………………2分所以曲线在点处的切线方程为，即. …………………………3分（Ⅱ）因为在处有极值，所以，由（Ⅰ）知，所以经检验，时在处有极值． …………………………4分 所以，令解得；因为的定义域为，所以的解集为，即的单调递增区间为. …………………………………………6分（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，① 当时，因为，所以 ，所以在上单调递减，，解得，舍去. ……………………8分②当时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，满足条件. …………………10分③ 当时，因为，所以，所以在上单调递减，，解得，舍去.综上，存在实数，使得当时有最小值3. ……………12分 34584 8718 蜘24677 6065 恥 32798 801E 耞23953 5D91 嶑39049 9889 颉J31012 7924 礤28780 706C 灬7V29226 722A 爪。

2021年高三上学期开学初检测数学（理）试卷含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）.1．设全集，，，则（）A． B．C．D．2．若复数（是虚数单位），则A．B．C．D．3. 设是数列的前项和，若，则A．5 B．7 C．9 D．11 4．设f（x）＝，则f（f（－2））＝A．－1 B．C．D．5．的展开式中的有理项且系数为正数的项有( )A．1项 B．2项C．3项 D．4项6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．3πB．4πC．2π＋4 D．3π＋47．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的（）A．B．C．D．8．设，则是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9.函数的图像与函数的图像（）A 有相同的对称轴但无相同的对称中心B 有相同的对称中心但无相同的对称轴C 既有相同的对称轴但也有相同的对称中心D 既无相同的对称中心也无相同的对称轴10．不等式组表示的点集为M，不等式组表示的点集记为N，在M中任取一点P，则的概率为( )A． B． C． D．11、已知双曲线与抛物线有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若，则点F到双曲线的渐近线的距离为( )A． B． C． D．12．对一定义域为D的函数和常数，若对任意正实数，使得恒成立，则称函数为“敛函数”，现给出如下函数：①②③④其中为“敛1函数”的有( )A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13.过函数f（x）＝－＋2x＋5图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是________________.14、已知函数的图象关于直线对称，则的值为 .15.已知函数，若方程有且仅有两个不等的实根，则实数的取值范围是 . 16．已知抛物线上一点，若以为圆心，为半径作圆与抛物线的准线交于不同的两点，设准线与x轴的交点为A，则的取值范围是 .三、解答题：(本大题共6小题，共70分).参加人数AC E17．在中，角对应的边分别是,已知23cos cos 23sin sinC 2cos B C B A +=+.(I)求角的大小；(II)若,,求△ABC 的面积.（12分）18．如图所示的多面体中，⊥平面，⊥平面ABC ，，且，是的中点． （Ⅰ）求证：⊥；（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. （12分）19．学校高一年段在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动，要求每位同学至少参加一次活动.高一（1）班50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示.（1）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数不相等的概率.（2）从该班中任意选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望.（3）从该班中任意选两名学生，用表示 这两人参加活动次数之和，记“函数在区间（3，5）上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率. （12分）20.椭圆的上顶点为 是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由.（12分）21.已知函数.(1)若的切线方程;(2) 若函数在上是增函数,求实数m 的取值范围;(3) 设点满足,判断是否存在点P (m,0),使得以AB 为直径的圆恰好过P 点，说明理由. （12分） 请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22．选修4-1：几何证明选讲如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为．（I）证明：；（II）若，，求的直径．（10分）A23. 选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线C：（t为参数）， C：（为参数）。

E DC BA新津中学2015届高三入学考试数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1.实部为-2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（ ） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限2.若集合{}(){}2,,lg 1x M y y x R S x y x ==∈==-,则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D.3.已知命题000:,2lg ,p x R x x ∃∈->命题则（ ） A. B. C. ()p q ⌝∨命题是假命题 D. ()p q ⌝∧命题是真命题4.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为（ ） A. B. C. D.5.程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 （ ） A ． B ． C ． D ． 26．在复平面内，复数和表示的点关于虚轴对称，则复数（ ） A. B. C. D. 7.已知直线和平面,则能推出的是（ ）A. ,//,//b a b α存在一条直线且bB. ,,b a b b α⊥⊥存在一条直线且C.,,//a ββαβ⊂存在一个平面且D.,//,//a ββαβ存在一个平面且8.（理科）的展开式中的常数项为（ ）A 、170B 、180C 、190D 、200 （文科）下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ） （A ） （B ） （C ）1/2 （D ）9. （理科）已知有一个公园的形状如图所示,现有3种不同的植物药种在此公园的这五个区域内,要求有公共边的两块相邻区域不同的植物,则不同的种法共有（ ） A. B. C. D.（文科）函数的图象大致为 （ ）10.已知函数()()2ln 1f x a x x =+-,在区间内任取两个实数,且,若不等式()()111f p f q p q+-+>-恒成立,则实数的取值范围为 A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．（文科）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为12.设变量满足约束条件140340x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，则目标函数的最大值为13.（理科）若(1－2x )2011＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2010x 2010＋a 2011x 2011(x ∈R )，则(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2010)＋(a 0＋a 2011)＝________.(用数字作答) （文科）函数的定义域为________.14．（理科）设随机变量的分布列()(1,2,3,4,5)P X k mk k ===,则实数 （文科）设是定义在上的周期为的函数，当时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则____________。

2021届四川省新津中学高三上学期开学考试数学（理）试题一、单选题 1．已知复数2i1iz =+(i 为虚数单位)，则z = ( )A ．3B ．2C D【答案】D 【解析】化简复2i11iz i ==++，利用复数模的公式求解即可. 【详解】 ∵2i1i z ==+()()()21221112i i i i i i -+==++-∴z = 故选D. 【点睛】本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数．2．五名学生和五名老师站成一排照相，五名老师不能相邻的排法有（ ） A ．55552A A B ．5565A AC ．55562A AD ．5555A A【答案】B【解析】5名学生先排好队，然后5名教师插入6个空档即可得． 【详解】由题意五名老师不能相邻用插空法，排法数为5565A A ． 故选：B ． 【点睛】本题考查排列的应用，考查相邻与不相邻问题的排列方法：相邻元素用捆绑法，不相邻元素用插空法．3．运行下列程序，若输入的,p q 的值分别为65,36，则输出的p q -的值为A ．47B ．57C ．61D ．67【答案】B【解析】分析：按照程序框图的流程逐一写出即可 详解：第一步：p 65,36101q S ==⇒= 第二步：p 67,3198q S ==⇒= 第三步：p 69,2695q S ==⇒= 第四步：p 71,2192q S ==⇒=最后：输出p 73,16q ==．57p q -=，故选B ．点睛：程序框图的题学生只需按照程序框图的意思列举前面有限步出来，观察规律，得出所求量与步数之间的关系式．4．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536 B ．0.1808 C ．0.5632 D ．0.9728【答案】D【解析】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D5．正方体1111D ABC A B C D - 中，,E F 分别为1,AB B C 的中点，则EF 与平面ABCD 所成角的正切值为（ ） A ．2B 2C ．12D ．22【答案】D 【解析】【详解】取BC 的中点O ，连接OE ，因为F 是1B C 的中点， 所以1//OF B B ，所以FO ⊥平面ABCD ， 所以EFO ∠是EF 与平面ABCD 所成的角， 设正方体的棱长为2，则1,2FO EO ==，所以EF 与平面ABCD 所成的角的正切值为22. 故选：D.【考点】直线与平面所成的角.6．已知函数()2f x x ln x =-，则函数()y f x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果． 【详解】由题意()()2ln f x x x f x -=--=，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除D ； 又()211ln110f =-=>，所以排除B,C ．故选A ． 【点睛】已知函数的解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常用的方法之一．7．“m ≥是“函数221y x mx =-+在(),-∞+∞内存在零点”的 A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分而不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：利用判别式不小于零可得221y x mx =-+在(),-∞+∞内存在零点等价于m ≥或m <-. 详解：221y x mx =-+在(),-∞+∞内存在零点，等价于2210x mx -+=有实根，即280m ∆=-≥，m ≥m <-m ∴≥“函数221y x mx =-+在(),-∞+∞内存在零点”，的充分而不必要条件，故选C.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8．若曲线2y ax =与曲线ln y x =在它们的公共点处具有公共切线，则实数a 的值为（ ）A ．12eB ．12CD ．1e【答案】A【解析】分析：设公共点(),P s t ，求导数，利用曲线2y ax =与曲线ln y x =在它们的公共点处具有公共切线，建立方程组，即可求出a 的值.详解：设公共点(),P s t ，2,2y ax y ax =∴='，1ln ,y x y x'=∴=， 曲线2y ax =与曲线ln y x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，∴212ln as st as t s===，解得12a e=. 故选：A.点睛：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，正确求导是关键.9．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，设事件A 为下雨，事件B 为刮风，那么()|P A B =（ ） A ．12B ．34C ．25D ．38【答案】B【解析】确定421(),(),()151510P A P B P AB ===，再利用条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，可知421(),(),()151510P A P B P AB ===， 利用条件概率的计算公式，可得1()310(|)2()415P AB P A B P B ===，故选B. 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 【答案】C【解析】【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 123a --=，x 223a-+=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴12，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 34-＜．故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：1、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；2、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；11．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 此时四面体ABCD 外接球表面积为（ ）A ．6B ．6C ．7πD ．19π【答案】C【解析】分析：三棱锥B ACD -的三条侧棱,BD AD DC DA ⊥⊥，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可.详解：根据题意可知三棱锥B ACD -的三条侧棱,BD AD DC DA ⊥⊥，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面BDC ∆，1,BD CD BC ===120BDC ︒∴∠=，BDC ∴∆的外接圆的半径为112sin120︒⨯=，∴球的半径为r ==外接球的表面积为：274474S r πππ==⋅=. 故选：C.点睛：考查空间想象能力，计算能力.三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提.12．已知函数222()28(1010)x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a = A ．4 B ．3 C ．2 D ．2-【答案】A【解析】分析：通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x ﹣1）2的图象与y=a （210x -+2110x -）的图象只有一个交点求a 的值．分a=0、a ＜0、a ＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论． 详解：因为f （x ）()222281010x x x x a --+=-++=﹣8+2（x ﹣2）2+a （210x -+2110x -）=0， 所以函数f （x ）有唯一零点等价于方程8﹣2（x ﹣2）2= a （210x -+2110x -）有唯一解，等价于函数y=8﹣2（x ﹣2）2的图象与y= a （210x -+2110x -）的图象只有一个交点．当a=0时，f （x ）=228x x -≥﹣8，此时有两个零点，矛盾；当a ＜0时，由于y=8﹣2（x ﹣2）2在（﹣∞，2）上递增、在（2，+∞）上递减， 且a （210x -+2110x -）在（﹣∞，2）上递增、在（2，+∞）上递减， 所以函数y=8﹣2（x ﹣2）2的图象的最高点为A （2，8），y= a （210x -+2110x -）的图象的最高点为B （2，2a ），由于2a ＜0＜8，此时函数y=8﹣2（x ﹣2）2的图象与a （210x -+2110x -）的图象有两个交点，矛盾；当a ＞0时，由于y=8﹣2（x ﹣2）2在（﹣∞，2）上递增、在（2，+∞）上递减， 且y= a （210x -+2110x -）在（﹣∞，2）上递减、在（2，+∞）上递增， 所以函数y=8﹣2（x ﹣2）2的图象的最高点为A （2，8），y= a （210x -+2110x -）的图象的最低点为B （2，2a ），由题可知点A 与点B 重合时满足条件，即2a=8，即a=4，符合条件； 综上所述，a=4， 故选A ．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题13．()()8411x y ++的展开式中22x y 的系数是___________（用数字作答） 【答案】168【解析】根据二项式定理展开式,即可求得22x y 的系数. 【详解】由二项式定理展开式可知,()81x +展开式中2x 的系数为28C ()41y +展开式中2y 的系数为24C所以22x y 的系数是2284874316822C C ⨯⨯=⨯=故答案为: 168 【点睛】本题考查了二项式定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.14．如图，圆形花坛分为4部分，现在这4部分种植花卉，要求每部分种植1种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有5种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有______种（用数字作答）【答案】260【解析】先分1，3相同与1，3不相同两类，每类中按分步计数原理，分2，4相同或不同两类求解，然后再分类计数原理求和. 【详解】根据题意：当1，3相同时，2，4相同或不同两类，有：()5411380⨯⨯⨯+=种， 当1，3不相同时，2，4相同或不同两类，有：()54312180⨯⨯⨯+=种， 所以不同的种植方案共有80180260+=种， 故答案为：260 【点睛】本题主要考查计数原理的应用问题，还考查了分析求解问题的能力，所以中档题. 15．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种． 【答案】930【解析】分析：分三种情况讨论，分别求出甲乙都入选、甲不入选，乙入选、甲乙都不入选,，相应的情况不同的组队形式的种数，然后求和即可得出结论.详解：若甲乙都入选，则从其余6人中选出2人，有2615C =种，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，则有432432214-+=A A A 种，故共有1514210⨯= 种；若甲不入选，乙入选，则从其余6人中选出3人，有3620C =种，女生乙不适合担任四辩手，则有133318C A =种，故共有2018360⨯=种；若甲乙都不入选，则从其余66人中选出4人，有4615C =种，再全排，有4424A =种，故共有1524360⨯=种，综上所述，共有210360360930++=，故答案为930. 点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.16．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>具有相同的焦点1F ，2F ，且在第一象限交于点P ，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，若123F PF π∠=，则2212e e +的最小值为_______.【答案】22+ 【解析】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴为2m ，令P 在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出2222a m c +=，由此能求出2212e e +的最小值． 【详解】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴为2m ， 令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义12||||2PF PF m -=， 由椭圆定义12||||2PF PF a +=， 可得1PF m a =+，2PF a m =-， 又123F PF π∠=，2221212||?4PF PF PF PF c +-=，可得222()()()()4m a a m m a a m c ++--+-=， 得22234a m c +=，即222234a m c c+=， 可得2212134e e +=， 则222212122212113()()4e e e e e e +=++ 2221221231(13)4e e e e =+++1(424+=当且仅当21e =，上式取得等号，可得2212e e +． ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是离心率，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．三、解答题17．已知()()2*01212,6nn n x a a x a x a x n N n +=++++∈，其中012,,,,n a a a a R ∈．（1）当6n =时，求6(12)x +的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项； （2）若n 为偶数，求246n a a a a +++⋯+的值．【答案】（1）二项式系数最大的项是第4项为3160x ，系数最大的项是第5项为4240x ；（2）312n -． 【解析】（1）由二项式系数性质求解，由二项展开式通项公式得各项系数，由第k 项系数不小于前后两项系数可得系数最大的项；（2）先求出0a ，在展开式中令1x =和1x =-后可得奇数项系数和然后可得结论．【详解】（1）()()2*01212,6nn n x a a x a x a x n N n +=++++∈中6n =时，展开式中有7项，中间一项的二项式系数最大，此项为3336(2)160C x x =， 又166(2)2r r r rr T C x C +==，设第1k +项系数最大，则116611662222k k k k k k k k C C C C ++--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，解得111433k ≤≤，∴4k =，即第5项系数最大，第5项为4446(2)240C x x =； 二项式系数最大的项是第4项为3160x ，系数最大的项是第5项为4240x ；（2）首先01a =，记()()2*012()12,6nn n f x x a a x a x a x n N n =+=++++∈，则012(1)3nn f a a a a ==++++，01231(1)n n f a a a a a a --=-+-+-+，所以024(1)(1)3(1)31222n n n n f f a a a a +-+-+++++===， 所以243131122n n n a a a +-+++=-=． 【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，掌握二项式定理是解题关键．赋值法是求二项展开式中某些项系数和常用方法． 18．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分 . 现从盒内任取3个球（Ⅰ）求取出的3个球中至少有一个红球的概率； （Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列和数学期望. 【答案】(Ⅰ)712；(Ⅱ)5 42；(Ⅲ)答案见解析.【解析】本事主要是考查了概率的性质和分布列的期望值的求解的综合运用． （Ⅰ）可以求其反面，一个红球都没有，求出其概率，然后求取出的3个球中至少有一个红球的概率，从而求解；（Ⅱ）可以记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，求出事件B 和C 的概率，从而求出3个球得分之和恰为1分的概率； （Ⅲ）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，然后再根据期望的公式进行求解； （Ⅰ）………….. 3分（Ⅱ）记 “取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球， 1个黑色球”为事件C ，则 122123243399C C C C 5()()()C C 42P B C P B P C +=+=+=. ………….. 6分 （Ⅲ）ξ可能的取值为0123，，，. ………….. 7分3639C 5(0)C 21P ξ===， 123639C C 45(1)C 84P ξ===，213639C C 3(2)C 14P ξ===， 3339C 1(3)C 84P ξ===. ………….. 11分ξ的分布列为:ξ123P5214584314184ξ的数学期望545310123121841484E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= . …12分 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AB AD =，3BD AD =，且PD ⊥底面ABCD .（1）证明：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）若Q 为PC 的中点，且1AP BQ ⋅=，求二面角Q BD C --的大小.【答案】(1)见解析.(2)4π. 【解析】（1）易证得PD BC ⊥，BC BD ⊥，所以有BC ⊥平面PBD ，从而得证； （2）分别以DA ，DB ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，分别求得平面QBD 的法向量为n ，平面BDC 的一个法向量为m ，由法向量的所成角可得解. 【详解】（1）证明：∵222AD BD AB +=，∴AD BD ⊥， ∴//AD BC ，∴BC BD ⊥.又∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD BC ⊥. ∵PD BD D ⋂=，∴BC ⊥平面PBD . 而BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD . （2）解：由（1）知，BC ⊥平面PBD ，分别以DA ，DB ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，设3BD =，则1AD =，令PD t =， 则()1,0,0A ，()3,0B，()3,0C -，()0,0,P t ，1322t Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴()1,0,AP t =-，13,,222t BQ ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.∴2112t AP BQ +⋅==，∴1t =.故131222DQ ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，131,22BQ ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面QBD 的法向量为(),,n x y z =，则00n DQ n BQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11022211022x y z x y z ⎧-++=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，令1x =，得()1,0,1n =.易知平面BDC 的一个法向量为()0,0,1m =，则1cos ,2m n ==⨯， ∴二面角Q BD C --的大小为4π. 点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.20．已知椭圆C ：()222210xy a b a b+=>>经过点(P ，一个焦点F 的坐标为()2,0.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若12OA OB k k ⋅=-，求OA OB ⋅的取值范围.【答案】（1）22184x y +=；（2）[)2,2-. 【解析】（1）由椭圆经过点P ，一个焦点F 的坐标为(2,0)，列出方程组，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程．（2）由2228y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124280k x kmx m +++-=，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件，能求出OA OB⋅的取值范围．【详解】 （1）2a a ==⇒=22c b =⇒=，∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由2228y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：()222124280k x kmx m +++-=， ()()2222221641228648320k m k m k m ∆=-+-=-+>，即2284m k <+，122412km x x k +=-+，21222812m x x k -=+，()22121212y y k x x mk x x m =+++222222222222848121212k m k k m m k m k k k--=-+=+++， 221221281282OA OBy y m k k k x x m -⋅===--， ∴224168m k -=即2242m k =+，故224284k k k R +<+⇒∈，2221212222881212m m k x x O y O k A y kB --=+=⋅+++22238812m k k --=+ 22242421221k k k -==-++. 故OA OB ⋅的取值范围为[)2,2-. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、向量的数量积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是综合题． 21．已知函数()()()2ln 2ln 1f x x a x x x =+-+.（1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 的图象与x 轴有且仅有一个交点，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，对任意的1x e e ≤≤，均有()()2132f x x x m ⎛⎫≥-+- ⎪⎝⎭成立，求正实数m 的取值范围.【答案】（1）21y x =-+；（2）1a =；（3）03m <≤.【解析】（1）求出导函数，可求出'(1)f ，切线方程为(1)'(1)(1)y f f x -=-，化简后即可；（2）题意说明方程()0f x =只有一解，分离变量后为(2)ln 1x x a x-+=，由导数研究函数(2)ln 1()x x g x x-+=的单调性，得最大值，同时研究()g x 的函数值的变化趋势，可得结论；（3）令()()()2132x f x x x m ϕ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，求出导数'()x ϕ后可得'()0x ϕ=的两解，分类讨论求得()ϕx 在1[,]e e 上的最小值，由这个最小值0≥可求得m 的范围．【详解】（1）0a =时，()()2ln 2ln 1f x x x x x =⋅-+，()'2ln 2ln 3f x x x x x =+--，()11f =-，()'12f =-，所以切线方程为()()121y x --=--，即21y x =-+. （2）令()()()20ln 2ln 10f x x a x x x =⇒+-+= ()2ln 1x x a x-+⇒=，令()()2ln 1x x g x x-+=()212ln 'x x g x x --⇒=，易知()'g x 在()0,1x ∈上为正，()g x 递增；()'g x 在()1,x ∈+∞上为负，()g x 递减，()()max 11g x g ==，又∵0x +→时，()g x →-∞；x +→+∞时，()g x →-∞，所以结合图象可得1a =.（3）因为1a =，所以()22ln 2ln f x x x x x x x =-+-，令()()()2132x f x x x m ϕ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭()()()'2ln 1x x m x ϕ⇒=+- 1x e e ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，由()'01x x ϕ=⇒=或2(0)mx e m -=>. （i ）当2m ≥时，121mee e--≤=（舍去），所以1x =， 有1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0x ϕ<；()1,x e ∈时，()()()min '01x x ϕϕϕ>⇒=()1302m =--≥恒成立， 得3m ≤，所以23m ≤≤；（ii ）当02m <<时，1211m e e e--=<<，则21,m x e e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0x ϕ>；2,1m x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0x ϕ<，()1,x e ∈时，()'0x ϕ>，所以()1min ,10e ϕϕ⎧⎫⎛⎫≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，则2302213e m m e m ⎧≤+⎪⇒<<-⎨⎪≤⎩，综上所述，03m <≤.点睛：用导数证明不等式恒成立问题，一般要构造函数，由作差或者作商来构造函数是最基本的方法．构造出新函数后，用导数求出新函数的最值，解这个最值对应的不等式可得参数的范围，解题时要注意分类讨论．22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ＝1，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cosθ． （1）求直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M （0，1），直线l 与曲线C 交于不同的两点P ，Q ，求|MP |+|MQ |的值． 【答案】（1）直线l 的直角坐标方程为x +y ＝1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x （2）【解析】（1）cos ,sin x y ρθρθ==代入极坐标方程，即可求解；（2）把直线方程化为具有几何意义的参数方程，代入曲线C 方程，由直线参数的几何意义，即可求解. 【详解】（1）直线l 的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ＝1， 转换为：x +y ＝1，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cosθ， 转换为：y 2＝8x ；（2）考虑直线方程x +y ＝1，则其参数方程为212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），代入曲线方程y 2＝8x ，得到：221(1)810222t t -=⨯⇒-+=，则有：12MP MQ t t +=+= 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的应用，属于基础题.。

2020-2021学年四川省成都市新津中学高三（上）月考数学试卷（理科）（12月份）一、选择题：（每小题只有一个正确选项；每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合，B＝{（x，y）|y＝2x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．02．（5分）若复数z满足（1+i）z＝i（i是虚数单位），则z的虚部为（）A．B．﹣C．i D．﹣3．（5分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确的是（）A．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加B．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多C．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番D．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元．4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80B．﹣40C．40D．805．（5分）在△ABC中，|+|＝|﹣|，AB＝4，AC＝3，则在方向上的投影是（）A．4B．3C．﹣4D．﹣36．（5分）要得到函数y＝cos x的图象，只需将函数y＝的图象上所有点的（）A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度7．（5分）若x＞0，y＞0，则“”的一个充分不必要条件是（）A．x＝y B．x＝2y C．x＝2，且y＝1D．x＝y或y＝1 8．（5分）已知等差数列{a n}的公差为﹣2，前n项和为S n，若a2，a3，a4为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，则S n的最大值为（）A．5B．11C．20D．259．（5分）已知（1+λx）n展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，（1+λx）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，若a1+a2+…a n＝242，则a0﹣a1+a2﹣…（﹣1）n a n的值为（）A．1B．﹣1C．81D．﹣8110．（5分）已知函数f（x）＝x+cos（+x），x∈[，]，则f（x）的极大值点为（）A．B．C．D．11．（5分）波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262﹣190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆＝1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足＝2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝x3+bx2+cx的导函数f'（x）是偶函数，若方程f'（x）﹣lnx ＝0在区间[，e]（其中e为自然对数的底）上有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是（）A．[﹣1﹣，﹣]B．[﹣1﹣，﹣）C．[1﹣e2，﹣）D．[1﹣e2，﹣]二、填空题（每小题5分，共20分；答案写在答题卷相应题号的横线上）13．（5分）已知f（x）＝，则f[f（4）]的值为．14．（5分）已知实数x，y满足，则的最大值为．15．（5分）秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，5，则输出v的值为．16．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，SA，SB，SC两两垂直且SA＝SB＝SC＝2，点M为三棱锥S﹣ABC的外接球上任意一点，则的最大值为．三、解答题（解答应写出过程或演算步骤：17～21每题12分，选做题10分，共70分）17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若△ABC的面积为，b+c＝5，求△ABC的周长．18．（12分）已知在多面体ABCDEF中，平面CDFE⊥平面ABCD，且四边形ECDF为正方形，且DC∥AB，AB＝3DC＝6，AD＝BC＝5，点P，Q分别是BE，AD的中点．（1）求证：PQ∥平面FECD；（2）求平面AEF与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．19．（12分）我国在2018年社保又出新的好消息，之前流动就业人员跨地区就业后，社保转移接续的手续往往比较繁琐，费时费力，成为群众反映突出的一大难点痛点．社保改革后将简化手续，深得流动就业人员的赞誉．某市社保局从2018年办理社保的人员中抽取300人，得到其办理手续所需时间（天）与人数的频数分布表：时间[0，2）[2，4）[4，6）[6，8）[8，10）[10，12）人数156090754515（1）若300名办理社保的人员中流动人员210人，非流动人员90人，若办理时间超过4天的人员里非流动人员有60人，请完成办理社保手续所需时间与是否流动人员的列联表，并判断是否有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关．办理社保手续所需时间与是否流动人员列联表流动人员非流动人员总计办理社保手续所需时间不超过4天60办理社保手续所需时间超过4天总计21090300（2）为了改进工作作风，提高效率，从抽取的300人中办理时间为[8，12）流动人员中利用分层抽样，抽取12名流动人员召开座谈会，其中3人要求交书面材料，3人中办理的时间为[10，12）的人数为ξ，求出ξ分布列及期望值．附：P（K2≥K0）0.100.050.0100.005K0 2.706 3.841 6.6357.87920．（12分）已知椭圆的离心率，左顶点到右焦点的距离是2+，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线L与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：O到直线AB的距离为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax2﹣3x（a∈R）．（1）函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣2，求函数f（x）的极值；（2）当a＝1时，对于任意x1，x2∈[1，10]，x2＞x1时，不等式恒成立，求出实数m的取值范围．选考题（共10分，请在22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）22．（10分）已知曲线C1：和C2：（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．（1）求曲线C1的直角坐标方程和C2的方程化为极坐标方程；（2）设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．[选修4—5；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|﹣|x﹣1|．（1）若f（x）≥|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围；（2）若正数x，y满足x2+y2＝M，M为（1）中m可取到的最大值，求证：x+y≥2xy．参考答案一、选择题：（每小题只有一个正确选项；每小题5分，共60分）1．C；2．A；3．D；4．C；5．D；6．C；7．C；8．D；9．B；10．B；11．D；12．B；二、填空题（每小题5分，共20分；答案写在答题卷相应题号的横线上）13．﹣1；14．；15．1055；16．2；。

绝密★启用前 四川省部分学校2021-2022学年高三上学期开学考试数学（理科）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．复数()()3i 14i z =+-，则复数z 的实部与虚部之和是（ ） A ．12-B ．4-C ．10D ．182．在等差数列{}n a 中，2458a a a +==，则10a =（ ） A ．16B ．17C ．18D ．203．已知向量()3,a m =-，()2,3b =，若a b ⊥，则m =（ ） A ．2-B ．2C ．92-D ．924．已知集合{}|215A x x =->，()(){}|10B x x a x a =--+≥，若A B R =，则a 的取值范围是（ ） A ．[)4,+∞B ．[)3,+∞C ．(],4-∞D ．(],3-∞5．如果双曲线22221x y a b -=，我们称该双曲线为黄金分割双曲线，简称为黄金双曲线．现有一黄金双曲线()22210y C b b-=>，则该黄金双曲线C 的虚轴长为（ ） A ．2B ．4 CD．6．在732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，5x 项的系数是（ ）A ．280B ．280-C ．560D ．560-7．六氟化硫，化学式为6SF ，在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为2a ，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是（不计氟原子的大小）（ ）A3B3C．3 D．38．已知函数()(ln 2f x x ax =++，若()27f =，则()2f -=（ ）A ．7-B ．3-C ．3D ．79．旅游是人们为寻求精神上的愉快感受而进行的非定居性旅行和游览过程中所发生的一切关系和现象的总和.随着经济生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2020年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的13.5%B ．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的中年人的人数少于选择自助游的青年人人数的一半C ．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的老年人和中年人的人数之和比选择自助游的青年人多D ．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为8.75%10．已知函数()2cos 13f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0ω>，若函数()f x 的三个相邻的零点分别为1x ，2x ，3x ()123x x x <<，且1223x x x x λ-=-，则λ=（ ）A ．5B ．5或15C ．2D ．2或1211．已知函数()ln f x x x a =-+恰有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,-+∞D ．()1,+∞12．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点全部在球O 的表面上，AB AC =，120BAC ∠=︒，三棱柱111ABC A B C -的侧面积为8+O 表面积的最小值是（ ） A ．4π B ．16πC ．163πD ．323π二、填空题13．已知函数()21,0,sin ,0,x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩则52π3f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22n n S a n N +=-∈，则9S =________．15．小华、小明、小李小章去A ，B ，C 三个工厂参加社会实践，要求每个工厂都有人去，且这四人都在这三个工厂实践，则小华和小李都没去B 工厂的概率是________．16．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线:10l x y --=与抛物线C 交于A ，B 两点（其中点A在x 轴上方），则AF FB=________．三、解答题17．北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩，得到的统计图表如下所示.女志愿者考核成绩频率分布表若参加这次考核的志愿者考核成绩在[]90,100内.则考核等级为优秀. （1）分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；（2）补全下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为考核等级是否是优秀与性别有关.参考公式：()()()()()2²n ad bc K a b a c c db d -=++++，其中n a bcd =+++. 参考数据：18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos 0b c A a C --=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC 的面积为ABC 外接圆面积的最小值．19．如图，在多面体ABCDEF中四边形ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，22DE BF AB ==．（1）证明：平面//ABF 平面CDE ．（2）求平面ABF 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值．20．已知椭圆()2222:10x y C ab a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且122F F =，点M ⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()1,P t 为椭圆C 上一点，过点2F 的直线l 与椭圆C 交于异于点P 的A ，B 两点，若PAB △的面积是7，求直线l 的方程．21．已知函数()2e 2ln 2xf x x x x x =--+-．（1）求函数()f x 图象在1x =处的切线方程． （2）证明：()0f x >．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos ,12sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 50ρθρθ-+=.（1）求直线l 与曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()2,1P -，求PA PB +的值. 23．已知函数()2f x x =-. （1）求不等式()21f x x ≥-的解集； （2）若()1f x x a ≤++，求a 的取值范围.参考答案 1．B由复数乘法法则化复数为代数形式，得其实部与虚部后即得和． 解：由题意可得()()23i 14i 312i i 4i 711i z =+-=-+-=-，则复数z 的实部是7，虚部是11-，故复数z 的实部与虚部之和是7114-=-． 故选：B ． 2．C用基本量1,a d 表示题设条件，联立方程组可解得10a =，2d =，1019a a d =+即得解 解：等差数列{}n a 中，设首项为1a ，公差为d ，由2458a a a +==，得()()1113848a d a d a d ⎧+++=⎨+=⎩，解得10a =，2d =， 所以101918a a d =+=. 故选：C. 3．B转化a b ⊥为0a b ⋅=，用向量的坐标表示，即得解 解： ∵a b ⊥，∴630a b m ⋅=-+=，解得2m =. 故选：B. 4．A解不等式得集合,A B ，再由并集的结果确定不等关系，得参数范围． 解：由题意可得{}|3A x x =>，[)(],,1B a a =+∞⋃-∞-． 因为A B R =，所以13a -≥，即4a ≥．故选：A ．5．D由黄金双曲线的离心率求得b ，得虚轴长． 解：由题意可得22222221c a b a a +===⎝⎭，解得22b =，则b =C 的虚轴长为2b = 故选：D ． 6．C写出二项展开式的通项，令x 的指数为5，求出参数的值，代入通项即可得解. 解：732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，通项()()7321417722rr r r r rr T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． 令2145r -=，得4r =，故展开式中5x 项的系数为()44721635560C -=⨯=. 故选：C. 7．B由已知证得OE ⊥平面ABCD ，再根据棱锥的体积公式计算可求得答案. 解：解：如图，连接AC ，BD ，ACBD O =，连接OE ．因为AE CE =，BE DE =，所以OE AC ⊥，OE BD ⊥，所以OE ⊥平面ABCD ．因为2AB BC AE a ===，所以AC =．因为四边形ABCD 是正方形，所以12AO AC ==，则OE ，故该正八面体的体积为()231223a ⨯⨯=．故选：B.8．B由已知代入求得(5n 22l a +=，再代入可求得()2f -的值. 解：解：∵函数()(ln 2f x x ax =++，∴()(2ln 2227f a =++=，∴(5n 22l a +=，∴()(2ln 222ln 22f a a -=--+-=+(ln 222523a ⎡⎤=-++=-+=-⎣⎦， 故选：B. 9．A利用图表可知游客中老年人、中年人、青年人的人数比例以及选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数比例，即可判断. 解：青年人占总游客人数比例为120%35%45%--=，则2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的比例为45%30%13.5%⨯=，故A 正确，选择自助游中年人比例为25%35%8.75%⨯=，8.75%213.5%⨯>，故B 错误， 选择自助游老年人比例为20%20%0.044%⨯==，即选择自助游的老年人和中年人的人数之和比为4%8.75%12.75%13.75%+=<，故C 错误， 2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为4%8.75%13.5%16.25%++=，故D 错误. 故选：A 10．D令()0f x =，可得233x k ππωπ+=±，由于1x ，2x ，3x 为三个相邻的零点，分两种情况讨论，即得解 解：由()0f x =，得2cos 103x πω⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则233x k ππωπ+=±()k ∈Z .当1233x k ππωπ+=-()k ∈Z 时，2233x k ππωπ+=+()k ∈Z ，35233x k ππωπ+=+()k ∈Z ， 则1223x x πω-=，2343x x πω-=，故12λ=；当1233x k ππωπ+=+()k ∈Z 时，25233x k ππωπ+=+()k ∈Z ，37233x k ππωπ+=+()k ∈Z ， 则1243x x πω-=，2323x x πω-=，故2λ=. 综上，12λ=或2λ=. 故选：D 11．D由()0f x =分离参数得ln a x x =-+．引入新函数()ln g x x x =-+，由导数确定()g x 的单调性、极值，得出函数()g x 的变化趋势，从而得出结论， 解：令()ln 0f x x x a =-+=，得ln a x x =-+．设()ln g x x x =-+，则()111x g x x x-'=-+=．由()0g x '>，得1x >；由()0g x '<，得01x <<．所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()()11g x g ≥=，即1a >．故选：D ． 12．B设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB AC a ==，根据题意得出4ah =，设ABC 的外接圆半径为r 、球O 的半径为R ，根据勾股定理得出2R 的表达式，结合基本不等式即可得出结果. 解：设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB AC a ==. 因为120BAC ∠=︒，所以BC =，则该三棱柱的侧面积为(28ah =+4ah =. 设ABC 的外接圆半径为r ，则2sin BCr a BAC==∠.设球O 的半径为R ，则2222222164244h h h R r a h ⎛⎫=+=+=+≥ ⎪⎝⎭（当且仅当h =，故球O 的表面积为2416R ππ≥. 故选：B13．74根据分段函数及诱导公式即得.解：由题意可得52π52ππsin sin 333f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭252π7134f f f ⎛⎛⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：74.14．1022利用1(2)n n n a S S n -=-≥结合11a S =确定数列{}n a 是等比数列，得公比，由等比数列前n 项和公式计算． 解：因为()22n n S a n N +=-∈，所以()11222n n S a n --=-≥，所以()11222n n n n n a S S a a n --=-=-≥，即12n n a a -=．因为11122a S a ==-，所以12a =，则{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故()910921222102212S ⨯-==-=-．故答案为：1022． 15．718求出总的分配方法数，再按B 去1人或2人分类求得小华和小李都没去B 工厂的方法数，然后由概率公式计算． 解：由题意可知总的分配情况有2343C A 6636=⨯=种，其中满足条件的情况有1122223222C C A +C A 14=种，故所求概率1473618P ==． 故答案为：718．16．3+作出抛物线的准线，把,AF BF 转化为点到准线的距离，利用平面几何及三角函数的定义的方法求解． 解：由题意可知直线l 经过焦点F ，设其倾斜角为θ，则cos θ=．如图，直线l '是抛物线C 的准线，作AA l ''⊥，BB l ''⊥，BE AA '⊥，则AA AF '=，A E BB BF ''==，故AE AF BF =-，AB AF BF =+．因为cos cos 2AE BAE ABθ∠===2AF BF AF BF -=+，则AF FB =故答案为：3+17．（1）男志愿者人数为5，女志愿者人数为13；（2）列联表见解析，有.（1）由频率分布表可求得m ，a ，b ，从而得培训考核等级为优秀的女志愿者的人数，由频率分布直方图可得培训考核等级为优秀的男志愿者的人数. （2）补全列联表，计算2K ，与表中数据比较大小可得结论. 解：解：（1）由频率分布直方图可得，培训考核等级为优秀的男志愿者人数为()0.0150.015405+⨯⨯=， 由频率分布表可得，10.050.3250.30.0750.25m =----=，400.2510a =⨯=，400.0753b =⨯=， 培训考核等级为优秀的女志愿者人数为10313+=. （2）22⨯列联表如下：∵2805271335 4.587 3.84118624040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为考核等级是否是优秀与性别有关. 18．（1）π3A =；（2）4π．（1）利用正弦定理和和差角公式求出1cos 2A =，即可求出角A 的大小；（2）由ABC的面积为12bc =．利用余弦定理和基本不等式求得a ≥ABC 外接圆的半径为r ，由正弦定理求得2r ≥，即可求出ABC 外接圆的面积的最小值解：（1）因为()2cos cos 0b c A a C --=，所以2sin cos sin cos cos sin 0B A C A C A --=，所以()2sin cos sin 0B A A C -+=，即2sin cos sin 0B A B -=．因为0πB <<，所以sin 0B ≠，所以1cos 2A =． 因为0πA <<，所以π3A =．（2）由（1）可知π3A =，则sin A =． 因为ABC的面积为1sin 2bc A ==12bc =． 由余弦定理可得222222cos 12a b c bc A b c bc bc =+==+-≥=，则a ≥设ABC 外接圆的半径为r，则24sin a r A =≥=，即2r ≥， 故ABC 外接圆的面积2π4πS r =≥，当且仅当b c ==即当b c ==ABC 外接圆面积的最小值为4π．19．（1）证明见解析；（2（1）根据线面垂直的性质证得//DE BF ，再由线面平行的判定证得//BF 平面CDE ，//AB 平面CDE ，从而由面面平行的判定得到平面//ABF 平面CDE ；（2）根据二面角的空间向量求解方法可求得答案．解：（1）证明：因为DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，所以//DE BF ．因为DE ⊂平面CDE ，BF ⊄平面CDE ，所以//BF 平面CDE ．因为四边形ABCD 是正方形，所以//AB CD ．因为CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ，所以//AB 平面CDE ．因为AB 平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，且AB BF B =，所以平面//ABF 平面CDE ．（2）解：由题意可知DA ，DC ，DE 两两垂直，则以D 为原点，分别以DA ，DC ，DE 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．设1AB =，则()1,0,0A ，()0,1,0C ，()0,0,2E ，()1,1,1F ，从而()1,1,1EF =-，()1,0,1CF =．设平面CEF 的法向量为(),,m x y z =，则00m CF x z m EF x y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+-=⎩，令1x =，得()1,2,1m =--． 平面ABF 的一个法向量为()1,0,0n =．故1cos ,6n mn m n m ⋅=== 即平面ABF 与平面CEF 20．（1）22143x y +=；（2）10x y ±-=． （1）利用待定系数法求出椭圆C 的标准方程；（2）对直线的斜率进行讨论：①当直线l 的斜率为0直接求出PAB △的面积；②当直线l 的斜率不为0或斜率不存在时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ．用“设而不求法”表示出PAB △的面积，解得m ，即可求出直线l 的方程.解：（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意可得2222222,331,4,c ab a bc =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =．故椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）因为()1,P t 在椭圆C 上，所以21143t +=，解得32t =． ①当直线l 的斜率为0时，24AB a ==，则PAB △的面积为11343222AB t =⨯⨯=．因为PAB △，所以直线l 的斜率为0不符合题意． ②当直线l 的斜率不为0或斜率不存在时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ． 联立221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2234690m y my ++-=． 则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+．故()212212134m AB y m +=-=+． 因为点P 到直线l的距离32m d ==， 所以()22121112234m AB d m +=⨯=+ 因为PAB △= 整理得4231320m m +-=，解得21m =，即1m =±．故直线l 的方程为1x y =±+，即10x y ±-=．21．（1）()2e 3e 1y x =--+；（2）证明见解析．（1）求出导函数()'f x ，计算斜率(1)f '后可得切线方程；（2）设()e 1x g x x =--，用导数证明()0>g x 在0x >时恒成立，即e 1x x >+，从而得ln 1x x >+，然后由不等式的性质可证明题设结论．解：（1）解：因为()2e 2ln 2x f x x x x x =--+-，所以()()21e 21x f x x x x'=+--+， 则()()111e 2212e 3f '=+--+=-．因为()1e 112e 2f =-+-=-，所以所求切线方程为()()()e 22e 31y x --=--，即()2e 3e 1y x =--+．（2）证明：设()e 1x g x x =--，则()e 1x g x '=-．由()0g x '>，得0x >；由()0g x '<，得0x <．所以()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()00g x g ≥=，即e 1x x ≥+，当且仅当0x =时取等号．因为e 1x x ≥+，所以ln e ln 1x x ≥+，所以ln 1x x ≥+，所以22ln 2x x ≥+．当0x >时，2e x x x x >+，所以2e 22ln 2x x x x x x +>+++，则2e 2ln 20x x x x x --+->，即()0f x >．22．（1）250x y -+=，()()22114x y ++-=；（2. （1）消参后，即可得到曲线C 的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得直线l 的普通方程；（2）首先写出直线l 的参数方程的标准方程的形式，代入曲线C 的直角坐标方程，得到t 的二次方程，利用韦达定理表示PA PB +.解：解：（1）因为2cos sin 50ρθρθ-+=，所以250x y -+=，所以直线l 的普通方程为250x y -+=（或25y x =+）.因为曲线C 的参数方程为12cos ,12sin x y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数）， 所以曲线C 的普通方程为()()22114x y ++-=.（2）由题意可知直线l的参数方程为2,1x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.将直线l 的参数方程代入曲线C的方程得2214⎫⎫-+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即230t -=. 设A ，B 的参数分别是1t ，2t，则12t t +=，123t t =-. 故1212PA PB t t t t +=+=-===.23．（1）(],1-∞；（2）[]3,1--.(1)将()21f x x ≥-写成分段不等式组的形式，解不等式组即可；(2)根据题意将原不等式转化为21a +≤，解绝对值不等式即可. 解：解：（1）()21f x x ≥-等价于2,221x x x <⎧⎨-+≥-⎩或2,221,x x x ≥⎧⎨-≥-⎩解得1x ≤. 故不等式()21f x x ≥-的解集为(],1-∞.（2）()1f x x a ≤++，即21x x a -≤++，即21x x a --+≤. 因为22x x a a --+≤+，所以()1f x x a ≤++等价于21a +≤，解得31a -≤≤-.故a 的取值范围为[]3,1--.。

2020-2021学年四川省成都市某校高三（上）开学数学试卷（理
科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合A＝{1, 2, 3}，B＝{3, 4, 5}，则A∩B＝（）
A.{3}
B.{2, 5}
C.{2, 3, 4}
D.{1, 2, 4, 5}
2. 已知复数z满足z(2+3i)＝13，则在复平面内z¯对应的点位于（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3. 在某技能测试中，甲乙两人的成绩（单位：分）记录在如图的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字母a代替．已知甲乙成绩的平均数相等，那么甲乙成绩的中位数分别为（）
A.20 20
B.21 20
C.20 21
D.21 21
4. 已知α∈R，则“tanα＝2”是“sin2α=4
5
”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5. 已知实数x，y满足约束条件{x−2y+3≥0，
2x−y−3≥0，
x+y≥0，
则z=x−y()
A.有最小值0
B.有最大值2
C.有最大值0
D.无最小值
6. 设0<a<1
2
，随机变量X的分布列是：
试卷第1页，总23页。