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一次函数第1课时 一次函数的图象和性质1．下列函数关系式：①y＝－x ；②y＝2x －1；③y ＝x 2；④y＝1x.其中一次函数的个数是( C ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．(2016·湘西)一次函数y ＝－2x ＋3的图象不经过的象限是( C )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(2015·西安)设正比例函数y ＝mx 的图象经过点A(m ，4)，且y 的值随x 值的增大而减小，则m 的值为( B )A ．2B ．－2C ．4D ．－44．(2016·玉林)关于直线l ：y ＝kx ＋k (k≠0)，下列说法不正确的是( D )A ．点(0，k)在l 上B ．l 经过定点(－1，0)C ．当k ＞0时，y 随x 的增大而增大D ．l 经过第一、二、三象限5．(2016·无锡)一次函数y ＝43x －b 与y ＝43x －1的图象之间的距离等于3，则b 的值为( D ) A ．－2或4 B ．2或－4 C ．4或－6 D ．－4或66．(2016·益阳)将正比例函数y ＝2x 的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第四象限．7．(2015·无锡)一次函数y ＝2x －6的图象与x 轴的交点坐标为(3，0)．8．已知点M(x 1，y 1)和点N(x 2，y 2)是一次函数y ＝－2x ＋1图象上的两点，若x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小关系是y 1＞y 2．9．(2016·荆州)若点M(k －1，k ＋1)关于y 轴的对称点在第四象限内，则一次函数y ＝(k －1)x ＋k 的图象不经过第一象限．10．(2016·枣庄)如图，点A 的坐标为(－4，0)，直线y ＝3x ＋n 与坐标轴交于点B ，C ，连接AC ，若∠ACD＝90°，则n 的值为－311．(2016·厦门)已知一次函数y ＝kx ＋2，当x ＝－1时，y ＝1，求此函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出此函数图象．解：将x ＝－1，y ＝1代入一次函数解析式y ＝kx ＋2，可得1＝－k ＋2.解得k ＝1.∴一次函数的解析式为y ＝x ＋2.当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝－2.∴函数图象经过(0，2)，(－2，0)．此函数图象如图所示．12．(2015·蒙城期末)已知正比例函数y ＝k 1x 的图象与一次函数y ＝k 2x －9的图象交于点P(3，－6)，求两函数的表达式及一次函数y ＝k 2x －9与x 轴的交点坐标．解：∵点P(3，－6)在y ＝k 1x 和y ＝k 2x －9上，∴－6＝3k 1, －6＝3k 2－9.解得k 1＝－2，k 2＝1.∴两函数的表达式分别为y ＝－2x ，y ＝x －9.∵一次函数y ＝x －9与x 轴相交，当y ＝0时，x ＝9，∴一次函数y ＝x －9与x 轴交点为(9，0)．13．如图，一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点(1，2)，点(－1，6)，且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A.(1)求出这个一次函数的解析式；(2)求出一次函数图象与两坐标轴围成的图形的面积．解：(1)∵一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点(1，2)，点(－1，6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，－a ＋b ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4. ∴这个一次函数的解析式为y ＝－2x ＋4.(2)∵当x ＝0时，y ＝4，∴一次函数与y 轴交于点A(0，4)．∵当y ＝0时，x ＝2，∴一次函数与x 轴交于点B(2，0)．∴一次函数图象与两坐标轴围成的图形的面积为12×2×4＝4.14．点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是一次函数y ＝kx ＋2(k ＜0)图象上不同的两点，若t ＝(x 2－x 1)(y 2－y 1)，则( A )A ．t ＜0B ．t ＝0C ．t ＞0D ．t ≤015．(2016·合肥蜀山区一模)如图，一次函数y ＝－12x ＋3的图象上有两点A ，B ，A 点的横坐标为3，B 点的横坐标为a(0＜a ＜6且a≠3)，过点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足为点C ，D ，△AOC ，△BOD 的面积分别为S 1，S 2，则S 1，S 2的大小关系是( A )A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．无法确定提示：易知A(3，32)，则S 1＝12×32×3＝94，S 2＝12a×(－12a ＋3)＝－14(a －3)2＋94.又0＜a ＜6且a≠3，∴S 2＜94＝S 1，即S 1＞S 2.16．(2016·宁国一模)如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(2，0)，直线y ＝43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 的最小值为4．17．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称为“理想点”．例如点(－2，－4)，(1，2)，(3，6)，…，都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个．(1)若点M(2，a)是“理想点”，且在正比例函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)图象上，求这个正比例函数的表达式；(2)函数y ＝3mx －1(m 为常数，且m≠0)的图象上存在“理想点”吗？若存在，请用含m 的代数式表示出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵点M(2，a)是“理想点”，∴a ＝4.∵点M(2，4)在正比例函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)图象上，∴4＝2k.解得k ＝2.∴正比例函数的表达式为y ＝2x.(2)设正比例函数y ＝3mx －1(m 为常数，m ≠0)的图象上存在“理想点”(x，2x)，则有3mx －1＝2x ，整理得(3m －2)x ＝1，当3m －2≠0，即m≠23时，解得x ＝13m －2. 当3m －2＝0，即m ＝23时，无解． 综上所述，当m≠23时，函数图象上存在“理想点”，为(13m －2，23m －2)；当m ＝23时，函数图象上不存在“理想点”．18．(2015·淮南期末)一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x≤1时，1≤y ≤9，则k ＋b ＝9或1．提示：分2种情况：①当k ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＝－3k ＋b ，9＝k ＋b. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝7. ∴k＋b ＝9；②当k ＜0时，有⎩⎪⎨⎪⎧9＝－3k ＋b ，1＝k ＋b. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝3.∴k＋b ＝1.综上，k ＋b ＝9或1.。
一次函数的图像与性质【命题趋势】在中考中，主要以选择题、填空题和解答题形式出现，主要考查一次函数的图像与性质，确定一次函数的解析式，一次函数与方程（组）、不等式的关系。
一次函数与二次函数、反比例函数综合也是中考重点之一。
【中考考查重点】一、结合具体情景体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；二、利用待定系数法确定一次函数的表达式；三、根据一次函数画出图像，探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况；四、体会一次函数与二元一次方程的关系考点一：一次函数及其图像性质概念一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，当b=0十，即y=kx，这时称y是x的正比例函数（一次函数的特殊形式）增减性k＞0k＜0从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少图像（草图）b＞0b=0b＜0b＜0b=0 b＜0经过象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四与y轴的交点位置b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上【提分要点】：1.若两直线平行，则；2.若两直线垂直，则1．（2021春•大安市期末）一次函数y＝2x﹣1图象经过象限（）A．一、二、三B．一、二、四C．二、三、四D．一、三、四2．（2021秋•肃州区期末）对于一次函数y＝x+6，下列结论错误的是（）A．函数值随自变量增大而增大B．函数图象与x轴正方向成45°角C．函数图象不经过第四象限D．函数图象与x轴交点坐标是（0，6）3．（2021秋•东港市期中）点A（﹣1，y1）和点B（﹣4，y2）都在直线y＝﹣2x上，则y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．y1≥y2 4．（2021秋•三水区期末）若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（）A．B．C．D．考点二：一次函数解析式的确定方法待定系数法步骤1.设：一般式y=kx+b（k≠0）（题干中未给解析式需设）2.代：找出一次函数图像上的两个点，并且将点坐标代入函数解析式，得到二元一次方程组；3.求：解方程（组）求出k、b的值；4.写：将k、b的值代入，直接写出一次函数解析式5．（2021秋•尤溪县期中）已知一次函数y＝x+b过点（﹣1，﹣2），那么这个函数的表达式为（）A．y＝x﹣1B．y＝x+1C．y＝x﹣2D．y＝x+2 6．（2021春•海珠区期末）已知一次函数y＝mx﹣4m，当1≤x≤3时，2≤y≤6，则m 的值为（）A．3B．2C．﹣2D．2或﹣2 7．（2021秋•萧山区月考）已知y与x﹣2成正比例，且当x＝1时，y＝1，则y与x之间的函数关系式为．8．（2021春•古丈县期末）某个一次函数的图象与直线y＝x+6平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数的解析式为（）A．y＝﹣x﹣5B．y＝x+3C．y＝x﹣3D．y＝﹣2x﹣8考点三：一次函数图像的平移平移前平移方式（m＞0）平移后简记y=kx+b 向左平移m个单位长度y=k（x+m）+bx左加右减向右平移m个单位长度y=k（x-m）+b向上平移m个单位长度y=kx+b+m等号右端整体上加下减向下平移m个单位长度y=kx+b-m9．（2021秋•金安区校级期中）将直线y＝2x向右平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得直线的表达式为（）A．y＝2x﹣1B．y＝2x C．y＝2x+4D．y＝2x﹣2 10．（2021春•米易县期末）一次函数y＝2x﹣4的图象由正比例函数y＝2x的图象（）A．向左平移4个单位长度得到B．向右平移4个单位长度得到C．向上平移4个单位长度得到D．向下平移4个单位长度得到11．（2021秋•长丰县月考）已知点A（2，4）沿水平方向向左平移3个单位长度得到点A'，若点A'在直线y＝x+b上，则b的值为（）A．1B．3C．5D．﹣1考点四：一次函数与方程（组）、不等式与一元一次方程的关系方程ax+b=0（a≠0）的解是一次函数y=ax+b(a≠0）的函数值为0时自变量的取值，还是直线y=ax+b(a≠0）与x 轴交点的横坐标与二元一次方程组的关系方程组的解时直线的交点坐标与一元一次不等式的关系1.从“数”来看（1）kx+b＞0的解集是y=kx+b中，y＞0时x的取值范围（2）kx+b＞＜0的解集是y=kx+b中，y＜0时x的取值范围2.从“形”上看（1）kx+b＞0的解集是y=kx+b函数图像位于x上方部分对应的点的横坐标（2）kx+b＜0的解集是y=kx+b函数图像位于x下方部分对应的点的横坐标12．（2021秋•乐平市期中）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b ＝0的解为（）A．x＝0B．x＝3C．x＝﹣2D．x＝﹣3 13．（2021秋•安徽期中）已知一次函数y＝ax﹣1与y＝mx+4的图象交于点A（3，1），则关于x的方程ax﹣1＝mx+4的解是（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝3D．x＝414．（2021春•沧县期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20B．x＝5C．x＝25D．x＝15 15．（2020秋•建湖县期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝2x的图象过点A，则不等式2x＜kx+b≤0的解集为（）A．x≤﹣2B．﹣2≤x＜﹣1C．﹣2＜x≤﹣1D．﹣1＜x≤0 16．（2021秋•兴宁区校级月考）如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣2，0），直线y ＝mx+n交x轴于点B（5，0），这两条直线相交于点C（2，c），则关于x的不等式组的解集为（）A．x＜5B．1＜x＜5C．﹣2＜x＜5D．x＜﹣217．（2020秋•西林县期末）如图所示是函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象，则方程组的解是（）A．B．C．D．1．（2021春•扎兰屯市期末）将直线y＝﹣2x﹣2向右平移1个单位长度，可得直线的表达式为（）A．y＝2x B．y＝﹣2x﹣4C．y＝﹣2x D．y＝﹣2x+4 2．（2021春•玉田县期末）下列有关一次函数y＝﹣6x﹣5的说法中，正确的是（）A．y的值随着x值的增大而增大B．函数图象与y轴的交点坐标为（0，5）C．当x＞0时，y＞﹣5D．函数图象经过第二、三、四象限3．（2021春•红寺堡区期末）点P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y＝﹣4x+3图象上的两个点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＞y2＞0C．y1＜y2D．y1＝y2 4．（2021秋•运城期中）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A（2，﹣1），则这个一次函数的表达式是（）A．y＝﹣2x+3B．y＝x+3C．y＝2x+3D．y＝x+35．（2021秋•南海区期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（2，0）、（0，1），则下列结论正确的是（）A．k＝1B．关于x的方程kx+b＝0的解是x＝2C．b＝2D．关于x的方程kx+b＝0的解是x＝16．（2021秋•滕州市期中）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，2），B（1，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（）A．x＝0B．x＝2C．x＝1D．x＝3 7．（2021秋•龙凤区期末）一次函数y＝mx﹣n（m，n为常数）的图象如图所示，则不等式mx﹣n≥0的解集是（）A．x≥2B．x≤2C．x≥3D．x≤3 8．（2020秋•开化县期末）如图，直线y＝2x+n与y＝mx+3m（m≠0）的交点的横坐标为﹣1，则关于x的不等式2x+n＜mx+3m＜0的整数解为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣3.59．（2021春•单县期末）已知方程组的解为，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．（2021春•武陵区期末）对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a ≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max（2x﹣1，﹣x+2}，则该函数的最小值是（）A．2B．1C．0D．﹣1 11．（2020秋•成安县期末）如图，若直线y＝kx+b与x轴交于点A（﹣4，0），与y 轴正半轴交于B，且△OAB的面积为4，则该直线的解析式为（）A．B．y＝2x+2C．y＝4x+4D．12．（2021春•饶平县校级期末）已知2y﹣3与3x+1成正比例，则y与x的函数解析式可能是（）A．y＝3x+1B．C．D．y＝3x+2 13．（2021秋•榆林期末）已知直线l1交x轴于点（﹣3，0），交y轴于点（0，6），直线l2与直线l1关于x轴对称，将直线l1向下平移8个单位得到直线l3，则直线l2与直线l3的交点坐标为（）A．（﹣1，﹣4）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，﹣1）1．（2021•长沙）下列函数图象中，表示直线y＝2x+1的是（）A．B．C．D．2．（2021•嘉峪关）将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（）A．y＝5x﹣2B．y＝5x+2C．y＝5（x+2）D．y＝5（x﹣2）3．（2021•陕西）在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，平移后的直线经过点（﹣1，m），则m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5 4．（2021•抚顺）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（）A．x＝B．x＝1C．x＝2D．x＝4 5．（2020•牡丹江）两个一次函数y＝ax+b和y＝bx+a，它们在同一个直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．6．（2021•乐山）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的解析式为（）A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝2x 7．（2021•娄底）如图，直线y＝x+b和y＝kx+4与x轴分别相交于点A（﹣4，0），点B（2，0），则解集为（）A．﹣4＜x＜2B．x＜﹣4C．x＞2D．x＜﹣4或x＞2 8．（2019•苏州）若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（）A．x＜0B．x＞0C．x＜1D．x＞19．（2021•德阳）关于x，y的方程组的解为，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（）A．k＞1B．k＞﹣1C．k＜1D．k＜﹣1 10．（2021•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（）A．y＝﹣x+4B．y＝﹣x+4C．y＝﹣x+4D．y＝4 11．（2019•江西）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，1），连接AB，以AB为边向上作等边三角形ABC．（1）求点C的坐标；（2）求线段BC所在直线的解析式．1．（2021•庐阳区校级一模）一次函数y＝﹣2x﹣3的图象和性质．叙述正确的是（）A．y随x的增大而增大B．与y轴交于点（0，﹣2）C．函数图象不经过第一象限D．与x轴交于点（﹣3，0）2．（2021•陕西模拟）平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+m沿x轴向右平移4个单位后恰好经过（1，2），则m＝（）A．﹣1B．2C．﹣4D．﹣3 3．（2021•商河县校级模拟）若一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，则一次函数y＝﹣bx+k的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（2021•萧山区一模）已知y﹣3与x+5成正比例，且当x＝﹣2时，y＜0，则y关于x的函数图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限5．（2021•陕西模拟）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，3），每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数表达式是（）A．y＝x+3B．y＝2x﹣3C．y＝3x﹣3D．y＝4x﹣4 6．（2021•蕉岭县模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+b（m，b均为常数）与正比例函数y＝nx（n为常数）的图象如图所示，则关于x的方程mx＝nx﹣b的解为（）A．x＝3B．x＝﹣3C．x＝1D．x＝﹣17．（2021•奉化区校级模拟）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x C．y＝﹣x D．y＝﹣x8．（2021•遵义一模）如图，直线y＝kx+b（k＜0）与直线y＝x都经过点A（3，2），当kx+b＞x时，x的取值范围是（）A．x＜2B．x＞2C．x＜3D．x＞3 9．（2021•饶平县校级模拟）如图，函数y＝ax+b和y＝﹣x的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组中的解是（）A．B．C．D．10．（2021•杭州模拟）已知直线l：y＝kx+b经过点A（﹣1，a）和点B（1，a﹣4），若将直线l向上平移2个单位后经过原点，则直线的表达式为（）A．y＝2x+2B．y＝2x﹣2C．y＝﹣2x+2D．y＝﹣2x﹣2 11．（2021•南山区校级二模）我国古代很早就对二元一次方程组进行了研究，古著《九章算术》记载用算筹表示二元一次方程组，发展到现代就是用矩阵式＝来表示二元一次方程组，而该方程组的解就是对应两直线（不平行）a1x+b1y＝c1与a2x+b2y＝c2的交点坐标P（x，y）据此，则矩阵式＝所对应两直线交点坐标是．12．（2021•杭州模拟）已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．。
一次函数的实际应用一、利用函数的解析式解决问题1．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．2．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x （元）15 20 25 …y （件）25 20 15 …若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．3．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？4．鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：（注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码）鞋长（cm） 16 19 21 24鞋码（号） 22 28 32 38（1）设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点（x，y）在你学过的哪种函数的图象上；（2）求x、y之间的函数关系式；（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？5．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20m3时，按2元/m3计费；月用水量超过20m3时，其中的20m3仍按2元/m3收费，超过部分按2.6元/m3计费．设每户家庭用水量为xm3时，应交水费y元．（1）分别求出0≤x≤20和x＞20时y与x的函数表达式；（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份四月份五月份六月份交费金额30元34元42.6元小明家这个季度共用水多少立方米？6．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1，y2与x 的函数关系图象如图所示：（1）根据图象，直接写出y1，y2关于x的函数关系式．（2）分别求出当x=3，x=5，x=8时，两车之间的距离．（3）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式．（4）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油．求A加油站到甲地的距离．7．我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b＞a）收费．设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元；（2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？二、利用函数的增减性解决问题8．某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？甲乙每千克饮料果汁含量果汁A 0.5千克0.2千克B 0.3千克0.4千克9．某厂工人小王某月工作的部分信息如下：信息一：工作时间：每天上午8：00～12：00，下午14：00～18：00，每月25天；信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：生产甲产品数（件）生产乙产品数（件）所用时间（分）10 10 35030 20 850信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元．根据以上信息，回答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分；（2）小王该月最多能得多少元此时生产甲、乙两种产品分别多少件．10．“5.12”汶川特大地震灾害发生后，社会各界积极为灾区捐款捐物，某经销商在当月销售的甲种啤酒尚有2万元货款未收到的情况下，先将销售甲种啤酒全部应收货款的70%捐给了灾区，后又将该月销售乙种啤酒所得的全部货款的80%捐给了灾区．已知该月销售甲、乙两种啤酒共5000件，甲种啤酒每件售价为50元，乙种啤酒每件售价为35元，设该月销售甲种啤酒x件，共捐助救灾款y元．（1）该经销商先捐款元，后捐款元；（用含x的式子表示）（2）写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（3）该经销商两次至少共捐助多少元？11．为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220 200 200运往E县的费用（元/吨）250 220 210为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？12．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少此时，哪种方案对公司更有利？13．“5•12”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区．已知A蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点．从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；C D 总计A 200吨B x吨300吨总计240吨260吨500吨（2）设A、B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案．14．某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：A型利润B型利润甲店200 170乙店160 150（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W 关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？一次函数的实际应用参考答案与试题解析一、利用函数的解析式解决问题1．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可知直接计算这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）；（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，并根据图象上点的坐标利用待定系数法求函数的解析式即可；（3）表示出蔬菜的总收益w（元）与x之间的关系式，w=﹣24x2+21600x+2400000，利用二次函数最值问题求最大值．【解答】解：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，分别把点（50，1200），（100，2700）代入得，50k+800=1200，100k1+3000=2700，解得：k=8，k1=﹣3，种植亩数与政府补贴的函数关系为：y=8x+800每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z=﹣3x+3000（x＞0）（3）由题意：w=yz=（8x+800）（﹣3x+3000）=﹣24x2+21600x+2400000=﹣24（x﹣450）2+7260000，∴当x=450，即政府每亩补贴450元时，总收益额最大，为7260000元．【点评】主要考查利用一次函数和二次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．利用二次函数的顶点坐标求最值是常用的方法之一．2．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x （元）15 20 25 …y （件）25 20 15 …若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题；图表型．【分析】（1）已知日销售量y是销售价x的一次函数，可设函数关系式为y=kx+b（k，b 为常数，且k≠0），代入两组对应值求k、b，确定函数关系式．（2）把x=30代入函数式求y，根据：（售价﹣进价）×销售量=利润，求解．【解答】解：（1）设此一次函数解析式为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）．（1分）则．（2分）解得k=﹣1，b=40（4分）即一次函数解析式为y=﹣x+40（5分）（2）当x=30时，每日的销售量为y=﹣30+40=10（件）（6分）每日所获销售利润为（30﹣10）×10=200（元）（8分）【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题．3．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？【考点】一次函数的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】（1）可设y=kx+b，因为由图示可知，x=4时y=10.5；x=7时，y=15，由此可列方程组，进而求解；（2）令x=4+7，求出相应的y值即可．【解答】解：（1）设y=kx+b（k≠0）．（2分）由图可知：当x=4时，y=10.5；当x=7时，y=15．（4分）把它们分别代入上式，得（6分）解得k=1.5，b=4.5．∴一次函数的解析式是y=1.5x+4.5（x是正整数）．（8分）（2）当x=4+7=11时，y=1.5×11+4.5=21（cm）．即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是21cm．（10分）【点评】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力．而它通过所有学生都熟悉的摞碗现象构造问题，将有关数据以直观的形象呈现给学生，让人耳目一新．从以上例子我们看到，数学就在我们身边，只要我们去观察、发现，便能找到它的踪影；数学是有用的，它可以解决实际生活、生产中的不少问题．4．鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：（注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码）鞋长（cm） 16 19 21 24鞋码（号） 22 28 32 38（1）设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点（x，y）在你学过的哪种函数的图象上；（2）求x、y之间的函数关系式；（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题；图表型．【分析】（1）可利用函数图象判断这些点在一条直线上，即在一次函数的图象上；（2）可设y=kx+b，把两个点的坐标代入，利用方程组即可求解；（3）令（2）中求出的解析式中的y等于44，求出x即可．【解答】解：（1）如图，这些点在一次函数的图象上；（2）设y=kx+b，由题意得，解得，∴y=2x﹣10．（x是一些不连续的值．一般情况下，x取16、16.5、17、17.5、26、26.5、27等）；（3）y=44时，x=27．答：此人的鞋长为27cm．【点评】本题首先利用待定系数法确定一次函数的解析式，然后利用函数实际解决问题．5．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20m3时，按2元/m3计费；月用水量超过20m3时，其中的20m3仍按2元/m3收费，超过部分按2.6元/m3计费．设每户家庭用水量为xm3时，应交水费y元．（1）分别求出0≤x≤20和x＞20时y与x的函数表达式；（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份四月份五月份六月份交费金额30元34元42.6元小明家这个季度共用水多少立方米？【考点】一次函数的应用．【专题】应用题．【分析】（1）因为月用水量不超过20m3时，按2元/m3计费，所以当0≤x≤20时，y与x 的函数表达式是y=2x；因为月用水量超过20m3时，其中的20m3仍按2元/m3收费，超过部分按2.6元/m3计费，所以当x＞20时，y与x的函数表达式是y=2×20+2.6（x﹣20），即y=2.6x ﹣12；（2）由题意可得：因为四月份、五月份缴费金额不超过40元，所以用y=2x计算用水量；六月份缴费金额超过40元，所以用y=2.6x﹣12计算用水量．【解答】解：（1）当0≤x≤20时，y与x的函数表达式是：y=2x；当x＞20时，y与x的函数表达式是：y=2×20+2.6（x﹣20）=2.6x﹣12；（2）因为小明家四、五月份的水费都不超过40元，故0≤x≤20，此时y=2x，六月份的水费超过40元，x＞20，此时y=2.6x﹣12，所以把y=30代入y=2x中得，2x=30，x=15；把y=34代入y=2x中得，2x=34，x=17；把y=42.6代入y=2.6x﹣12中得，2.6x﹣12=42.6，x=21．所以，15+17+21=53．答：小明家这个季度共用水53m3．【点评】本题是贴近社会生活的应用题，赋予了生活气息，使学生真切地感受到“数学来源于生活”，体验到数学的“有用性”．这样设计体现了《新课程标准》的“问题情景﹣建立模型﹣解释、应用和拓展”的数学学习模式．6．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x（h），y1，y2与x 的函数关系图象如图所示：（1）根据图象，直接写出y1，y2关于x的函数关系式．（2）分别求出当x=3，x=5，x=8时，两车之间的距离．（3）若设两车间的距离为S（km），请写出S关于x的函数关系式．（4）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油．求A加油站到甲地的距离．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）可根据待定系数法来确定函数关系式；（2）可依照（1）得出的关系式，得出结果；（3）要根据图象中自变量的3种不同的取值范围，分类讨论；（4）根据（3）中得出的函数关系式，根据自变量的取值范围分别计算出A加油站到甲地的距离．【解答】解：（1）y1=60x（0≤x≤10），y2=﹣100x+600（0≤x≤6）（2）当x=3时，y1=180，y2=300，∴y2﹣y1=120，当x=5时y1=300，y2=100，∴y1﹣y2=200，当x=8时y1=480，y2=0，∴y1﹣y2=480．（3）当两车相遇时耗时为x，y1=y2，解得x=，S=y2﹣y1=﹣160x+600（0≤x≤）S=y1﹣y2=160x﹣600（＜x≤6）S=60x（6＜x≤10）；（4）由题意得：S=200，①当0≤x≤时，﹣160x+600=200，∴x=，∴y1=60x=150．②当＜x≤6时160x﹣600=200，∴x=5，∴y1=300，③当6＜x≤10时，60x≥360不合题意．即：A加油站到甲地距离为150km或300km．【点评】本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．注意自变量的取值范围不能遗漏．7．我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b＞a）收费．设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元；（2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；分段函数．【分析】（1）由图中可知，10吨水出了15元，那么a=15÷10=1.5元，用水8吨，应收水费1.5×8元；（2）由图中可知当x＞10时，有y=b（x﹣10）+15．把（20，35）代入一次函数解析式即可．（3）应先判断出两家水费量的范围．【解答】解：（1）a=15÷10=1.5．（1分）用8吨水应收水费8×1.5=12（元）．（2分）（2）当x＞10时，有y=b（x﹣10）+15．（3分）将x=20，y=35代入，得35=10b+15．b=2．（4分）故当x＞10时，y=2x﹣5．（5分）（3）∵假设甲乙用水量均不超过10吨，水费不超过46元，不符合题意；假设乙用水10吨，则甲用水14吨，∴水费是：1.5×10+1.5×10+2×4＜46，不符合题意；∴甲、乙两家上月用水均超过10吨．（6分）设甲、乙两家上月用水分别为x吨，y吨，则甲用水的水费是（2x﹣5）元，乙用水的水费是（2y﹣5）元，则（8分）解得：（9分）故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨．（10分）【点评】本题主要考查了一次函数与图形的结合，应注意分段函数的计算方法．二、利用函数的增减性解决问题8．某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？甲乙每千克饮料果汁含量果汁A 0.5千克0.2千克B 0.3千克0.4千克【考点】一元一次不等式组的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】（1）由题意可知y与x的等式关系：y=4x+3（50﹣x）化简即可；（2）根据题目条件可列出不等式方程组，推出y随x的增大而增大，根据实际求解．【解答】解：（1）依题意得y=4x+3（50﹣x）=x+150；（2）依题意得解不等式（1）得x≤30解不等式（2）得x≥28∴不等式组的解集为28≤x≤30∵y=x+150，y是随x的增大而增大，且28≤x≤30∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y最小，即y最小=28+150=178元．【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．注意本题的不等关系为：甲种果汁不超过19，乙种果汁不超过17.2．9．某厂工人小王某月工作的部分信息如下：信息一：工作时间：每天上午8：00～12：00，下午14：00～18：00，每月25天；信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：生产甲产品数（件）生产乙产品数（件）所用时间（分）10 10 35030 20 850信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元．根据以上信息，回答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分；（2）小王该月最多能得多少元此时生产甲、乙两种产品分别多少件．【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题；阅读型；图表型．【分析】（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分，利用待定系数法求出x，y的值．（2）设生产甲种产品用x分，则生产乙种产品用（25×8×60﹣x）分，分别求出甲乙两种生产多少件产品．【解答】解：（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分．由题意得：（2分）即：解这个方程组得：答：生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分．（4分）（2）设生产甲种产品共用x分，则生产乙种产品用（25×8×60﹣x）分．则生产甲种产品件，生产乙种产品件．（5分）∴w总额===0.1x+1680﹣0.14x=﹣0.04x+1680（7分）又，得x≥900，由一次函数的增减性，当x=900时w取得最大值，此时w=0.04×900+1680=1644（元）此时甲有（件），乙有：（件）（9分）答：小王该月最多能得1644元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．【点评】通过表格当中的信息，我们可以利用列方程组来求出生产甲、乙两种产品的时间，然后利用列函数关系式表示出小王得到的总钱数，然后利用一次函数的增减性求出钱数的最大值．10．“5.12”汶川特大地震灾害发生后，社会各界积极为灾区捐款捐物，某经销商在当月销售的甲种啤酒尚有2万元货款未收到的情况下，先将销售甲种啤酒全部应收货款的70%捐给了灾区，后又将该月销售乙种啤酒所得的全部货款的80%捐给了灾区．已知该月销售甲、乙两种啤酒共5000件，甲种啤酒每件售价为50元，乙种啤酒每件售价为35元，设该月销售甲种啤酒x件，共捐助救灾款y元．（1）该经销商先捐款元，后捐款元；（用含x的式子表示）（2）写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（3）该经销商两次至少共捐助多少元？【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可直接得出经销商先捐款50x•70%=35x元，后捐款35（5000﹣x）•80%或（140000﹣28x）元；（2）根据题意可列出式子为y=7x+140000，根据“50x﹣20000≥0”，“5000﹣x＞0”求出自变量取值范围为400≤x＜5000；（3）当x=400时，y最小值=142800．【解答】解：（1）50x•70%或35x，35（5000﹣x）•80%或（140000﹣28x）；（2）y与x的函数关系式为：y=7x+140000，由题意得解得400≤x＜5000，∴自变量x的取值范围是400≤x＜5000；（3）∵y=7x+140000是一个一次函数，且7＞0，400≤x＜5000，∴当x=400时，y最小值=142800．答：该经销商两次至少共捐款142800元．【点评】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意要根据自变量的实际范围确定函数的最值．11．为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220 200 200运往E县的费用（元/吨）250 220 210为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？【考点】一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题；方案型．【分析】（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨，运往E县的数量为b吨，得到一个二元一次方程组，求解即可．（2）根据题意得到一元二次不等式，再找符合条件的整数值即可．（3）求出总费用的函数表达式，利用函数性质可求出最多的总费用．【解答】解：（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨，运往E县的数量为b吨．（1分）由题意，得（2分）解得（3分）答：这批赈灾物资运往D县的数量为180吨，运往E县的数量为100吨．（4分）（2）由题意，得（5分）解得即40＜x≤45．∵x为整数，∴x的取值为41，42，43，44，45．（6分）则这批赈灾物资的运送方案有五种．具体的运送方案是：方案一：A地的赈灾物资运往D县41吨，运往E县59吨；B地的赈灾物资运往D县79吨，运往E县21吨．。
中考数学复习题纲—10 函数（一次函数、正比例函数）函 数x 数量（标量）：一些量在取定度量单位后，可用一个实数来表示。
如距离、时间、面积、质量等。
向量（矢量）：一些量不但有大小，而且有方向。
如位移、速度、力等。
量常量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量。
在某一变化过程中，如果对每一个实数 ，可以按变量：y y x xy 照某一确定的对应法则，得到唯一一个实数 ，那么就称 是关于 的一个函数，其中 叫做自变量， 叫做因变量。
自变量的广义解释：任何一个系统（或模型）都是由各种变量构成的，当我们分析这些系统（或模型）时，可以选择研究其中一些变量对另一些变量的影响，那么我们选择的这些变量就称为自变量，而被影响的量就被称为因变量。
例如：我们可以分析人体这个系统中，呼吸对于维持生命的影响，那么呼吸就是自变量，而生命维持的状态被认为是因变量。
系统和模型可以是一个二元函数这么简单，也可是整个社会这样复杂。
:::⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩满足解析式的坐标所表示的点都在图象上函数与点的坐标在图象上的点的坐标都满足解析式函数列表法不必通过计算就可以知道自变量与因变量的对应关系。
表示方法解析法便于用解析式去研究函数的性质。
图象法可以从整体上直观形象地表示出函数的变化情况。
函数与二次函数的一些基本性质：⇔点图象坐标解析式（即图象所对应的方程）1. 坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，因此判断平面直角坐标系中的一个点是否在函数图象上，只需把点的坐标代入函数解析式进行检验，能满足函数解析式的表明点在图象上，不满足函数解析式的则表明点不在图象上。
2. 求两个函数的交点坐标，即求这两个函数解析式组成的二元方程组的解。
3. 在解决有关函数的问题时，要注意利用平面直角坐标系中X 轴与Y 轴之间的夹角为直角、以及勾股定理等平面几何知识，要能很熟练地求出函数与坐标轴的交点坐标。
一次函数的实际应用【命题趋势】在中考中.一次函数的实际应用常以解答题考查.并结合二次函数最值问题考查为主【中考考查重点】一、利用一次函数解决购买、销售、分配问题二、利用一次函数解决工程、生产、行程问题三、利用一次函数解决有关方案问题考点一：购买、销售、分配类问题1．（2021秋•柯桥区月考）在近期“抗疫”期间.某药店销售A.B两种型号的口罩.已知销售80只A型和45只B型的利润为21元.销售40只A型和60只B型的利润为18元．（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；（2）该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只.其中B型口罩的进货量不少于A型口罩的进货量且不超过它的3倍.则该药店购进A型、B型口罩各多少只.才能使销售总利润y最大？最大值是多少？【答案】（1）A为0.15元.B为0.2元（2）A型口罩500只、B型口罩1500只.才能使销售总利润最大为375元【解答】解：（1）设每只A型口罩销售利润为a元.每只B型口罩销售利润为b元.根据题意得：.解得.答：每只A型口罩销售利润为0.15元.每只B型口罩销售利润为0.2元；（2）根据题意得.y＝0.15x+0.2（2000﹣x）.即y＝﹣0.05x+400；根据题意得..解得500≤x≤1000.∴y＝﹣0.05x+400（500≤x≤1000）.∵﹣0.05＜0.∴y随x的增大而减小.∵x为正整数.∴当x＝500时.y取最大值为375元.则2000﹣x＝1500即药店购进A型口罩500只、B型口罩1500只.才能使销售总利润最大为375元．2．（2021•南宁一模）自2020年12月以来.我国全面有序地推进全民免费接种新冠疫苗.现某国药集团在甲、乙仓库共存放新冠疫苗450万剂.如果调出甲仓库所存新冠疫苗的60%和乙仓库所存新冠疫苗的40%后.剩余的新冠疫苗乙仓库比甲仓库多30万剂．（1）求甲、乙两仓库各存放新冠疫苗多少万剂？（2）若该国药集团需从甲、乙仓库共调出300万剂新冠疫苗运往B市.设从甲仓库调运新冠疫苗m万剂.请求出总运费W关于m的函数解析式并写出m的取值范围；其中.从甲、乙仓库调运新冠疫苗到B市的运费报价如表：甲仓库运费定价调运疫苗不超过130万剂时调运疫苗超过130万剂时135元/万剂不优惠优惠10%m元/万剂乙仓库105元/万剂不优惠（3）在（2）的条件下.国家审批此次调运新冠疫苗总运费不高于33000元.请通过计算说明此次调运疫苗最低总运费是否在国家审批的范围内？【答案】（1）甲仓库240万剂.乙仓库210万剂；（2）（3）是【解答】解：（1）设甲仓库存放新冠疫苗x万剂.乙仓库存放新冠疫苗y万剂.由题意.得：.解得：.答：甲仓库存放新冠疫苗240万剂.乙仓库存放新冠疫苗210万剂；（2）由题意.从甲仓库运m万剂新冠疫苗到B市.则从乙仓库运新冠疫苗（300﹣m）万剂到B市.∵300﹣m≤210.∴m≥90①若90≤m≤130时.此时甲仓库运费不优惠.乙仓库运费不优惠.则总运费W＝135m+105（300﹣m）＝30m+31500；②若130≤m≤240时.此时甲仓库运费优惠10%m元/万剂.乙仓库运费不优惠.则总运费W＝（135﹣10%m）m+105（300﹣m）＝﹣0.1m2+30m+31500；综上.总运费W关于m的解析式为：W＝；（3）由（2）知.①当90≤m≤130时.∵30＞0.∴W随着m的增大而增大的一次函数.当m＝90时.可获得最低总运费.此时W＝34200元；②当130≤m≤240时.W时关于m的二次函数.对称轴m＝﹣＝150.∵﹣0.1＜0.∴当m＝240时.W有最小值.最小值为32940.∵34200＞32940.∴W最低为32940元.∵32940＜33000.∴此次调运疫苗最低总运费是在国家审批的范围内．3．（2019春•增城区期末）为了让学生体验生活.某学校决定组织师生参加社会实践活动.现准备租用7辆客车.现有甲、乙两种客车.它们的载客量和租金如下表.设租用甲种客车x辆.租车总费用为y元．甲种客车乙种客车载客量（人/辆）6045租金（元/辆）360300（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）若该校共有380名师生前往参加活动.确保每人都有座位坐.共有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下.带队老师从学校预支租车费2500元.试问预支的租车费用是否有结余？若有结余.最多可以结余多少元？【答案】（1）y＝60x+2100.（0≤x≤7.且x为整数）（2）三种租车方案（3）100元【解答】解：（1）依题意得：y＝360x+300（7﹣x）＝60x+2100.（0≤x≤7.且x为整数）（2）依题意得：60x+45（7﹣x）≥380.解之.得.由（1）得0≤x≤7.∴x的取值范围为：.∵x为整数.∴x的值为 5.6.7.当x＝5 时.7﹣x＝7﹣5＝2；当x＝6 时.7﹣x＝7﹣6＝1；当x＝7 时.7﹣x＝7﹣7＝0；∴共有三种租车方案：①租用甲种客车5 辆.乙种客车 2 辆；②租用甲种客车6 辆.乙种客车 1 辆；③租用甲种客车7 辆.乙种客车0 辆．（3）由（1）得y＝60x+2100.∵k＝60≥0.∴y随x的增大而增大.当x＝5 时.y的值最小.其最小值y＝360×5+300×2＝2400.∴最多可结余：2500﹣2400＝100（元）.答：在（2）的条件下.带队老师从学校预支租车费2500元.预支的租车费有结余.最多可以结余100元．考点二：工程、生产、行程问题4．（2021春•江夏区期末）在2018春季环境整治活动中.某社区计划对面积为1600m2的区域进行绿化．经投标.由甲、乙两个工程队来完成.若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍.并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时.甲队比乙队少用5天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；（2）设甲工程队施工x天.乙工程队施工y天.刚好完成绿化任务.求y关于x的函数关系式；（3）若甲队每天绿化费用是0.6万元.乙队每天绿化费用为0.25万元.且甲乙两队施工的总天数不超过25天.则如何安排甲乙两队施工的天数.使施工总费用最低？并求出最低费用．【答案】（1）甲、乙面积分别为80m2、40m2（2）y＝﹣2x+40（3）x＝15时.W最低＝1.5+10＝11.5【解答】解：（1）设乙队每天能完成绿化面积为am2.则甲队每天能完成绿化面积为2am2根据题意得：解得a＝40经检验.a＝40为原方程的解则甲队每天能完成绿化面积为80m2答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别为80m2、40m2（2）由（1）得80x+40y＝1600整理的：y＝﹣2x+40（3）由已知y+x≤25∴﹣2x+40+x≤25解得x≥15总费用W＝0.6x+0.25y＝0.6x+0.25（﹣2x+40）＝0.1x+10∵k＝0.1＞0∴W随x的增大而增大∴当x＝15时.W最低＝1.5+10＝11.55．（2021秋•金牛区期末）某模具厂引进一种新机器.这种机器同一时间只能生产一种零件.每天只能工作8小时.每月工作25天．若一天用3小时生产A型零件、5小时生产B型零件共可生产34个；若一天用5小时生产A型零件、3小时生产B型零件则共可生产30个．（1）每小时可单独加工A型零件、B型零件各多少个？（2）按市场统计.一个A型零件的利润是150元.一个B型零件的利润是100元.设该模具厂每月安排x（小时）生产A型零件.这两种零件所获得的总利润为y（元）.试写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．【答案】（1）A型零件3个.B型零件5个（2）y＝﹣50x+100000【解答】解：（1）设每小时可单独加工A型零件m个.B型零件n个.根据题意得：.解得；.答：每小时可单独加工A型零件3个.B型零件5个；（2）∵这种机器每天只能工作8小时.每月工作25天.设该模具厂每月安排x（小时）生产A型零件.则每月安排（25×8﹣x）小时生产B 零件.由题意得：y＝150×3x+100×5（200﹣x）＝﹣50x+100000.∴y与x的函数关系式为y＝﹣50x+100000．6．（2020秋•沭阳县期末）学校与图书馆在同一条笔直道路上.甲从学校去图书馆.乙从图书馆回学校.甲、乙两人都匀速步行且同时出发.乙先到达目的地两人之间的距离y （米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．（1）根据图象信息.当t＝分钟时甲乙两人相遇.甲的速度为米/分钟；（2）求出线段AB所表示的函数表达式．（3）当t为何值时.甲、乙两人相距2000米？【答案】（1）24.40 （2）y＝40t（40≤t≤60）（3）t＝4或t＝50【解答】解：（1）甲乙两人相遇即是两人之间的距离y＝0.从图中可知此时x＝24（分钟）.图中可知甲用60分钟走完2400米.速度为2400÷60＝40（米/分钟）.故答案为：24.40；（2）甲、乙速度和为2400÷24＝100（米/分钟）.而甲速度为40米/分钟.∴乙速度是60米/分钟.∴乙达到目的地所用时间是2400÷60＝40（分钟）.即A横坐标为40.此时两人相距（40﹣24）×100＝1600（米）.即A纵坐标为1600.∴A（40.1600）.设线段AB所表示的函数表达式为y＝kt+b.将A（40.1600）、B（60.2400）代入得：.解得k＝40.b＝0.∴线段AB所表示的函数表达式为y＝40t（40≤t≤60）.（3）甲、乙两人相距2000米分两种情况：①二人相遇前.两人路程和为2400﹣2000＝400（米）.甲、乙两人相距2000米.此时t ＝400÷100＝4（分钟）.②二人相遇后.乙达到目的地时二人相距1600米.甲再走400米两人就相距2000米.此时t＝40+400÷40＝50（分钟）.综上所述.二人相距2000时.t＝4或t＝50．考点三：方案问题方案一：没有底薪.只付销售提成；方案二：底薪加销售提成．如图中的射线l1.射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一.方案二付给销售人员的工资y1（单位：元）和y2（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（x ≥0）的函数关系．（1）分别求y1、y2与x的函数解析式（解析式也称表达式）；（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克.但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？【答案】（1）y1＝30x（x≥0）.y1＝30x（x≥0）（2）采用了方案一【解答】解：（1）设y1＝k1x.根据题意得40k1＝1200.解得k1＝30.∴y1＝30x（x≥0）；设y2＝k2x+b.根据题意.得.解得.∴y2＝10x+800（x≥0）；（2）当x＝70时.y1＝30×70＝2100＞2000；y2＝10×70+800＝1500＜2000；∴这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资．1．（2021春•饶平县校级期末）小王花1200元从农贸市场购进批发价分别为每箱30元与50元的A、B两种水果进行销售.并分别以每箱35元与60元的价格售出.设购进A水果x箱.B水果y箱．（1）若小王将水果全部售出共赚了215元.则小王共购进A、B水果各多少箱？（2）若要求购进A水果的数量不得少于B水果的数量.则应该如何分配购进A、B水果的数量并全部售出才能获得最大利润.此时最大利润是多少？【答案】（1）A种水果25箱.B种水果9箱（2）购进水果A、B的数量均为15箱并全部售出才能获得最大利润.此时最大利润为225元．【解答】解：（1）由题意可得..解得.答：小王共购进A种水果25箱.B种水果9箱．（2）设利润为W元.W＝（35﹣30）x+（60﹣50）y＝5x+10×＝﹣x+240．∵购进A水果的数量不得少于B水果的数量.∴x≥.解得：x≥15．∵﹣1＜0.∴W随x的增大而减小.∴当x＝15时.W取最大值.最大值为225.此时y＝（1200﹣30×15）÷50＝15．答：购进水果A、B的数量均为15箱并全部售出才能获得最大利润.此时最大利润为225元．2．（2020秋•秦都区期末）某工厂新开发生产一种机器.每台机器成本y（万元）与生产数量x（台）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤70.且x为整数）.函数y与自变量x的部分对应值如表：x（单位：台）1020 y（单位：万元/台）6055（1）求y与x之间的函数关系式；（2）市场调查发现.这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元/台）之间满足如图所示的函数关系．若该厂第一个月生产这种机器40台.且都按同一售价全部售出.请求出该厂第一个月销售这种机器的总利润．（注：利润＝售价﹣成本）【答案】（1）y＝﹣0.5x+65 （2）200万元【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b.根据题意.得.解得：.即y与x之间的函数关系式为y＝﹣0.5x+65．（2）当x＝40时.y＝﹣0.5×40+65＝45．设z与a之间的函数关系式为z＝ma+n.根据题意.得.解得：.即z与a之间的函数关系式为z＝﹣a+90．当z＝40时.40＝﹣a+90.解得.a＝50.（50﹣45）×40＝200（万元）．答：该厂第一个月销售这种机器的总利润是200万元．3．（2020秋•浦东新区校级期末）有两段长度相等的河渠挖掘任务.分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：（1）乙队开挖到30米时.用了小时.开挖6小时.甲队比乙队多挖了米；（2）甲队在0≤x≤6的时段内.y与x之间的函数关系式是；（3）在开挖6小时后.如果甲、乙两队施工速度不变.完成总长110米的挖掘任务.乙队比甲队晚小时完成．【答案】（1） 2.10 （2）y＝10x（0≤x≤6）（3）7【解答】解：（1）由图可知：乙队开挖到30米时.用了2小时.开挖6小时时.甲队挖了60米.乙队挖了50米.所以甲队比乙队多挖了60﹣50＝10米.故答案为：2.10；（2）设2小时后乙的解析式为：y＝kx（k≠0）.把C（6.60）代入得：6k＝60.k＝10.∴2小时后乙的解析式为：y＝10x.即y与x之间的函数关系式是：y＝10x（0≤x≤6）．故答案是：y＝10x（0≤x≤6）；（3）开挖6小时.甲挖了60米.甲的速度为10米/小时.∵要完成总长110米的挖掘任务.∴甲再挖50米.所需时间为50÷10＝5小时；开挖6小时.乙挖了50米.乙的速度为＝5米/小时.∵要完成总长110米的挖掘任务.∴乙需再挖60米.所用时间为60÷5＝12（小时）.则12﹣5＝7（小时）.∴乙队比甲队晚7小时完成．故答案是：7．4．（2021春•华容县期末）某玩具批发市场A、B玩具的批发价分别为每件30元和50元.张阿姨花1200元购进A、B两种玩具若干件.并分别以每件35元与60元价格出售．设购入A玩具为x件.B玩具为y件．（1）若张阿姨将玩具全部出售赚了220元.那么张阿姨购进A、B型玩具各多少件？（2）若要求购进A玩具的数量不得少于B玩具的数量.则怎样分配购进玩具A、B的数量并全部售出才能获得最大利润.此时最大利润为多少？【答案】（1）A型玩具20件.B型玩具12件（2）购进玩具A、B的数量均为15件并全部售出才能获得最大利润.此时最大利润为225元．【解答】解：（1）由题意可得..解得.．答：张阿姨购进A型玩具20件.B型玩具12件；（2）设利润为w元.w＝（35﹣30）x+（60﹣50）y＝5x+10×＝﹣x+240.∵购进A玩具的数量不得少于B玩具的数量.∴x≥.解得：x≥15.∵﹣1＜0.∴w随x的增大而减小.∴当x＝15时.w取最大值.最大值为225.此时y＝（1200﹣30×15）÷50＝15.故购进玩具A、B的数量均为15件并全部售出才能获得最大利润.此时最大利润为225元．5．（2020•老河口市模拟）2020年是全面建成小康社会目标实现之年.是全面打赢脱贫攻坚战收官之年．我市始终把产业扶贫摆在突出位置.建立了A.B两个扶贫种植基地．为了帮扶我市的扶贫产业.扶贫办联系了C.D两家肥料厂对我市共捐赠100吨肥料.将这100吨肥料平均分配到A.B两个种植基地．已知C厂捐赠的肥料比D厂捐赠的肥料的2倍少20吨.从C.D两厂将肥料运往A.B两地的费用如表：C厂D厂运往A地（元/吨）2220运往B地（元/吨）2022（1）求C.D两厂捐赠的肥料的数量各是多少吨；（2）设从C厂运往A地肥料x吨.从C.D两厂运输肥料到A.B两地的总运费为y元.求y与x的函数关系式.并求出最少总运费；（3）由于从D厂到B地开通了一条新的公路.使D厂到B地的运费每吨减少了a（0＜a＜6）元.这时怎样调运才能使总运费最少？【答案】（1）C厂捐赠的数量是60吨.则D厂捐赠的数量是40吨（2）y＝4x+1980（10≤x≤50）.最少总运费为2020元（3）①当0＜a＜4时.y随x的减小而减小.当x＝10时.y取最小值.y＝2020；②当a＝4时.不管x取何值.均有y＝2020；③当4＜a＜6时.y随x的减小而增大.当x＝50时.y取最小值.y＝2180﹣40a．【解答】解：（1）设D厂捐赠的数量是a吨.则C厂捐赠的数量是（2a﹣20）吨．根据题意可得.a+2a﹣20＝100.解得.a＝40.则2a﹣20＝60．答：C厂捐赠的数量是60吨.则D厂捐赠的数量是40吨．（2）根据题意可得.从C厂运往A地肥料x吨.从C厂运往B地肥料（60﹣x）吨；从D厂运往A地肥料（50﹣x）吨.从D厂运往B地肥料（x﹣10）吨．由题意可得.y＝22x+20（60﹣x）+20（50﹣x）+22（x﹣10）＝4x+1980.根据实际意义可得..解得.10≤x≤50.∵4＞0.∴y随x的减小而减小.∴当x＝10时.y取最小值2020．答：y与x的函数关系式为y＝4x+1980（10≤x≤50）.最少总运费为2020元．（3）在（2）的基础上.可得.y＝22x+20（60﹣x）+20（50﹣x）+（22﹣a）（x﹣10）＝（4﹣a）x+（1980+10a）（10≤x≤50.0＜a＜6）.①当4﹣a＞0.即0＜a＜4时.y随x的减小而减小.当x＝10时.y取最小值.y＝2020；②当a＝4时.不管x取何值.均有y＝2020；③当4﹣a＜0.即4＜a＜6时.y随x的减小而增大.当x＝50时.y取最小值.y＝2180﹣40a．综上.①当0＜a＜4时.y随x的减小而减小.当x＝10时.y取最小值.y＝2020；②当a＝4时.不管x取何值.均有y＝2020；③当4＜a＜6时.y随x的减小而增大.当x＝50时.y取最小值.y＝2180﹣40a．1．（2020•广安）某小区为了绿化环境.计划分两次购进A.B两种树苗.第一次购进A种树苗30棵.B种树苗15棵.共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵.B种树苗10棵.共花费1060元．（两次购进的A.B两种树苗各自的单价均不变）（1）A.B两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）若购买A.B两种树苗共42棵.总费用为W元.购买A种树苗t棵.B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案.并求出此方案的总费用．【答案】（1）A种树苗每棵的价格40元.B种树苗每棵的价格10元；（2）A种花草的数量为14棵、B种28棵.费用最省；最省费用是840元．【解答】解：（1）设A种树苗每棵的价格x元.B种树苗每棵的价格y元.根据题意得：.解得.答：A种树苗每棵的价格40元.B种树苗每棵的价格10元；（2）设A种树苗的数量为t棵.则B种树苗的数量为（42﹣t）棵.∵B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍.∴42﹣t≤2t.解得：t≥14.∵t是正整数.∴t最小值＝14.设购买树苗总费用为W＝40t+10（42﹣t）＝30t+420.∵k＞0.∴W随t的减小而减小.当t＝14时.W最小值＝30×14+420＝840（元）．答：购进A种花草的数量为14棵、B种28棵.费用最省；最省费用是840元．2．（2020•云南）众志成城抗疫情.全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆.运送260吨物资到A地和B地.支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资.每辆小货车装10吨物资.这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：A地（元/辆）B地（元/辆）目的地车型大货车9001000小货车500700现安排上述装好物资的20辆货车中的10辆前往A地.其余前往B地.设前往A地的大货车有x辆.这20辆货车的总运费为y元．（1）这20辆货车中.大货车、小货车各有多少辆？（2）求y与x的函数解析式.并直接写出x的取值范围；（3）若运往A地的物资不少于140吨.求总运费y的最小值．【答案】（1）大货车、小货车各有12与8辆（2）y＝100x+15600 （2≤x≤10）x为整数（3）当x＝8时.y有最小值.此时y＝100×8+15600＝16400元.【解答】解：（1）设大货车、小货车各有m与n辆.由题意可知：.解得：答：大货车、小货车各有12与8辆（2）设到A地的大货车有x辆.则到A地的小货车有（10﹣x）辆.到B地的大货车有（12﹣x）辆.到B地的小货车有（x﹣2）辆.∴y＝900x+500（10﹣x）+1000（12﹣x）+700（x﹣2）＝100x+15600.其中2≤x≤10.x为整数．（3）运往A地的物资共有[15x+10（10﹣x）]吨.15x+10（10﹣x）≥140.解得：x≥8.∴8≤x≤10.x为整数.当x＝8时.y有最小值.此时y＝100×8+15600＝16400元.答：总运费最小值为16400元．3．（2021•青岛）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液.进货时发现.甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元.用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时.甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶.乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．（1）求两种品牌洗衣液的进价；（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶.且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元.超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶.才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）甲进价是30元.乙进价是24元（2）应购进甲品牌洗衣液40瓶.乙品牌洗衣液80瓶.才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大.最大利润是560元【解答】解：（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元.则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x﹣6）元.依题意得：.解得：x＝30.经检验.x＝30是原方程的解.且符合题意.∴x﹣6＝24（元）．答：甲品牌洗衣液每瓶的进价是30元.乙品牌洗衣液每瓶的进价是24元；（2）设可以购买甲品牌洗衣液m瓶.则可以购买（120﹣m）瓶乙品牌洗衣液.依题意得：30m+24（120﹣m）≤3120.解得：m≤40．依题意得：y＝（36﹣30）m+（28﹣24）（120﹣m）＝2m+480.∵k＝2＞0.∴y随m的增大而增大.∴m＝40时.y取最大值.y最大值＝2×40+480＝560．120﹣40＝80（瓶）.答：超市应购进甲品牌洗衣液40瓶.乙品牌洗衣液80瓶.才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大.最大利润是560元．4．（2021•宿迁）一辆快车从甲地驶往乙地.一辆慢车从乙地驶往甲地.两车同时出发.匀速行驶.两车在途中相遇时.快车恰巧出现故障.慢车继续驶往甲地.快车维修好后按原速继续行驶乙地.两车到达各地终点后停止.两车之间的距离s（km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图：（1）快车的速度为km/h.C点的坐标为．（2）慢车出发多少小时后.两车相距200km．【答案】（1）100.（8.480）（2）出发h或h时两车相距200km．【解答】解：（1）由图象可知：慢车的速度为：60÷（4﹣3）＝60（km/h）.∵两车3小时相遇.此时慢车走的路程为：60×3＝180（km）.∴快车的速度为：（480﹣180）÷3＝300÷3＝100（km/h）.通过图象和快车、慢车两车速度可知快车比慢车先到达终点.∴慢车到达终点时所用时间为：480÷60＝8（h）.∴C点坐标为：（8.480）.故答案为：100.（8.480）；（2）设慢车出发t小时后两车相距200km.①相遇前两车相距200km.则：60t+100t+200＝480.解得：t＝.②相遇后两车相距200km.则：60t+100（t﹣1）﹣480＝200.解得：t＝.∴慢车出发h或h时两车相距200km.答：慢车出发h或h时两车相距200km．5．（2020•广西）倡导垃圾分类.共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类.某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人.已知2台A型机器人和5台B 型机器人同时工作2h共分拣垃圾3.6吨.3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5h共分拣垃圾8吨．（1）1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？（2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人.这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买A型机器人a台（10≤a≤45）.B型机器人b 台.请用含a的代数式表示b；（3）机器人公司的报价如下表：型号原价购买数量少于30台购买数量不少于30台A型20万元/台原价购买打九折B型12万元/台原价购买打八折在（2）的条件下.设购买总费用为w万元.问如何购买使得总费用w最少？请说明理由．【答案】（1）1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾0.4吨和0.2吨（2）b＝100﹣2a（10≤a≤45）（3）A型号机器人35台时.总费用w最少.此时需要918万元【解答】解：（1）设1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y 吨.由题意可知：.解得：.答：1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾0.4吨和0.2吨．（2）由题意可知：0.4a+0.2b＝20.∴b＝100﹣2a（10≤a≤45）．（3）当10≤a＜30时.此时40＜b≤80.∴w＝20×a+0.8×12（100﹣2a）＝0.8a+960.当a＝10时.此时w有最小值.w＝968.当30≤a≤35时.此时30≤b≤40.∴w＝0.9×20a+0.8×12（100﹣2a）＝﹣1.2a+960.当a＝35时.此时w有最小值.w＝918.当35＜a≤45时.此时10≤b＜30.∴w＝0.9×20a+12（100﹣2a）＝﹣6a+1200当a＝45时.w有最小值.此时w＝930.答：选购A型号机器人35台时.总费用w最少.此时需要918万元．6．（2020•德阳）推进农村土地集约式管理.提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地.计划对其进行平整．经投标.由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩.乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元.当甲工程队所需工程费为12000元.乙工程队所需工程费为9000元时.两工程队工作天数刚好相同．（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整.已知两个工程队工作天数均为正整数.且所有土地刚好平整完.总费用不超过110000元．①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？②写出其中费用最少的一种方案.并求出最低费用．【答案】（1甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元）（2）甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能（3）最低费用为107000元【解答】解：（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元.由题意.＝.解得x＝2000.经检验.x＝2000是分式方程的解．答：甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元．（2）①设甲平整x天.则乙平整y天．由题意.45x+30y＝2400①.且2000x+1500y≤110000②.由①得到y＝80﹣1.5x③.把③代入②得到.2000x+1500（80﹣1.5x）≤110000.解得.x≥40.∵y＞0.∴80﹣1.5x＞0.x＜53.3.∴40≤x＜53.3.∵x.y是正整数.∴x＝40.y＝20或x＝42.y＝17或x＝44.y＝14或x＝46.y＝11或x＝48.y＝8或x＝50.y ＝5或x＝52.y＝2．∴甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能．②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000.∵﹣250＜0.∴w随x的增大而减小.∴x＝52时.w的最小值＝107000（元）．答：最低费用为107000元．7．（2021•湘西州）2020年以来.新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大．网络教师小李抓住时机.开始组建团队.制作面向A、B两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作3个A类微课和5个B类微课需要4600元成本.制作5个A 类微课和10个B类微课需要8500元成本．李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站.每个A类微课售价1500元.每个B类微课售价1000元．该团队每天可以制作1个A类微课或者1.5个B类微课.且团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍（注：每月制作的A、B两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有22天制作微课.其中制作A类微课a天.制作A、B两类微课的月利润为w元．（1）求团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是多少元？（2）求w与a之间的函数关系式.并写出a的取值范围；（3）每月制作A类微课多少个时.该团队月利润w最大.最大利润是多少元？【答案】（1）A类微课的成本为700元.B类微课的成本为500元（3）当a＝8时.w有最大值.w最大＝50×8+16500＝16900（元）【解答】解：（1）设团队制作一个A类微课的成本为x元.制作一个B类微课的成本为y元.根据题意得：.解得.答：团队制作一个A类微课的成本为700元.制作一个B类微课的成本为500元；（2）由题意.得w＝（1500﹣700）a+（1000﹣500）×1.5（22﹣a）＝50a+16500；1.5（22﹣a）≥2a.解得a≤.又∵每月制作的A、B两类微课的个数均为整数.∴a的值为0.2.4.6.8．（3）由（2）得w＝50a+16500.∵50＞0.∴w随a的增大而增大.∴当a＝8时.w有最大值.w最大＝50×8+16500＝16900（元）．答：每月制作A类微课8个时.该团队月利润w最大.最大利润是16900元．1．（2021•玉泉区二模）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务.甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天.且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？（2）设先由甲队施工x天.再由乙队施工y天.刚好完成筑路任务.求y与x之间的函数关系式．（3）在（2）的条件下.若每天需付给甲队的筑路费用为0.1万元.需付给乙队的筑路费用为0.2万元.且甲、乙两队施工的总天数不超过24天.则如何安排甲、乙两队施工的天数.使施工费用最少.并求出最少费用．【答案】（1）甲、乙各需30天、20天（2）y＝﹣x+20（3）甲施工12天、乙施工12天.使施工费用最少.最少费用是3.6万元．【解答】解：（1）设乙队完成此项任务需要x天.则甲队完成此项任务（x+10）天..解得.x＝20.经检验.x＝20是原分式方程的解.∴x+10＝30.答：甲、乙两队单独完成此项任务各需30天、20天；（2）由题意可得.＝1.化简.得y＝﹣x+20.即y与x之间的函数关系式是y＝﹣x+20；（3）设施工的总费用为w元.w＝0.1x+0.2y＝0.1x+0.2×（﹣x+20）＝x+4.∵甲、乙两队施工的总天数不超过24天.∴x+y≤24.即x+（﹣x+20）≤24.解得.x≤12.∴当x＝12时.w取得最小值.此时w＝3.6.y＝12.答：安排甲施工12天、乙施工12天.使施工费用最少.最少费用是3.6万元．2．（2021•富平县二模）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同.销售价格也相同．“五一”假期.两家均推出了优惠方案.甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买60元的门票.采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案：游客进园不需购买门票.采摘的草莓超过一定数量后.超过部分打折优惠．优惠期间.设某游客的草莓采摘量为x（千克）.。
