中考数学三角函数应用题

ABCD中考数学专题 锐角三角函数的应用【题型1】“影子”问题【例1】（影子“上墙”）数学兴趣小组想测量一棵树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），这部分影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为________．【变式1】如图，一同学在某时刻测得1 m 长的标杆竖直放置时影子长为1.6 m ，同一时刻测量旗杆的影子长时，因旗杆靠近一栋楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影子长为11.2 m ，留在墙上的影子高为1 m ，则旗杆的高度是_________．【例2】（影子“上坡”）小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（ ） A ．9米B ．28米C ．(73)+米D ．(143)+米AB C DE【例3】（影子“下坡”）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．若铁塔底座宽CD=12 m ，塔影长DE=18 m ，小明和小华的身高都是1.6 m ，同一时刻小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2 m 和1 m ，则塔高AB 为（ ） A ．24 mB ．22 mC ．20 mD ．18 m【变式1】如图，在斜坡的顶部有一竖直铁塔AB ，B 是CD 的中点，且CD 是水平的．在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上，已知铁塔底座宽CD=14m ，塔影长DE=36m ，小明和小华的身高都是1.6m ，小明站在点E 处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE 方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m ，2m ，那么塔高AB=_________．【对应练习】1.某兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1 m 的竹竿的影长为0.4 m ，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2 m ，一级台阶高为0.3 m ，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4 m ，则树高为_________．D 23°60°C B38°A东港口B D【题型2】一个三角形【例1】如图所示，山坡上有一棵与地面垂直的大树AB ，一场大风过后，大树被刮倾斜后从点C 处折断倒在山坡上，树的顶部D 恰好接触到坡面AE 上．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m ． （1）求∠CAE 的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．1.4≈1.7≈2.4）【变式1】已知B 港口位于A 观测点北偏东53.2°方向，且其到A 观测点正北方向的距离BD 的长为16 km ，一艘货轮从B 港口以40 km/h 的速度沿如图所示的BC 方向航行，15 min 后到达C 处，现测得C 处位于A 观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长．（精确到0.1 km ，参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50≈1.41≈2.24）北东【对应练习】1.如图，在某飞机场东西方向的地面l 上有一长为1 km 的飞机跑道MN ，在跑道MN 的正西端14.5千米处有一观察站A ．某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A 的北偏西30°，且与点A 相距15千米的B 处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A 的北偏东60°，且与点A 相距千米的C 处．（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN 之间？请说明理由．【题型3】二个三角形【变式1】如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)4. 如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面成57.5°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米，求拉线CE的长．(结果精确到0.01米，参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.537，tan57.5°≈1.570，3≈1.732，2≈1.414)【变式1】(2015丹东10分)如图，线段AB ，CD 表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD 是60米．某人站在A 处测得C 点的俯角为37°，D 点的俯角为48°(人的身高忽略不计)，求乙楼的高度CD.(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin48°≈710，tan48°≈1110)【例1】某数学课外活动小组利用课余时间，测量了安装在一幢楼房顶部的公益广告牌的高度．如图，矩形CDEF 为公益广告牌，CD 为公益广告牌的高，DM 为楼房的高，且C 、D 、M 三点共线．在楼房的侧面A 处，测得点C 与点D 的仰角分别为45°和37.3°，BM ＝15米．根据以上测得的相关数据，求这个广告牌的高(CD 的长)．(结果精确到0.1米，参考数据：sin37.3°≈0.6060，cos37.3°≈0.7955，tan37.3°≈0.7618)【对应练习】1.(2014潍坊)如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A 和海岛B ，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C 处时测得正前方一海岛顶端A 的俯角是45°，然后沿平行于AB 的方向水平飞行41099.1 米到达点D 处，在D 处测得正前方另一海岛顶端B 的俯角是60°，求两海岛间的距离AB （结果保留根号）。

三角函数篇1．在学校组织的实践活动中，某数学兴趣小组决定利用所学知识测量绿博园观光塔的高度．如图，小轩同学先在湖对面的广场A处放置做好的测倾器，测得观光塔的塔尖F的仰角为37°，接下来小轩向前走20m之后到达B处，测得此时观光塔的塔尖F的仰角为45°，已知测倾器的高度为0.8m，点A、B、E在同一直线上，求观光塔的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.414）2．如图，海中有一个小岛A，小岛周围8海里范围内有暗礁，轮船在B点测得小岛A在北偏东45°方向上，轮船由西向东航行20海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，求继续航行轮船是否有触礁危险？（参考数值：≈1.414，≈1.732）．3．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝26米，坡度i＝1：2.4，小明在斜坡下端C处测得楼顶点B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为30°，DE与地面垂直，垂足为E，其中点A、C、E在同一直线上．（1）求DE的值；（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）．4．如图，某政府大楼的顶部竖有一块“民族要复兴，乡村要振兴”的宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝15米．（1）∠BAH＝°；点B距水平面AE的高度BH＝米；（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.41，≈1.73．）5．开封铁塔又名“开宝寺塔”，坐落在开封城东北隅铁塔公园内，因塔身全部以褐色琉璃瓦镶嵌，远看酷似铁色，故称为“铁塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组对该铁塔进行测量．如图，他们在远处一山坡坡脚P处，测得铁塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走35m到达D处，测得铁塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算铁塔的高度ME（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）．6．李老师给班级布置了一个实践活动，测量云南某广场纪念碑的高度，使用卷尺和测角仪测量．如图，纪念碑AG设在1.2米的石台DG上，他们先在水平地面点B处测得石碑最高点A的仰角为22°，然后沿水平MN方向前进21米，到达点C处，测得点A的仰角为45°，测角仪MB的高度为1.7米，求纪念碑AG的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）7．2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度BD＝10.6米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角45°，顶部B处的仰角为53°，求此时观测点A到发射塔CD的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）8．如图，塔AD的高度为30m，塔的底部D与桥BC位于同一水平直线上，由塔顶A测得桥两端B和C的俯角分别为45°和30°，求桥BC的长．（参考数据：≈1.41，≈1.73）9．数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝1：2.4，在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）10．为进一步加强疫情防控工作，长清区某学校决定安装红外线体温检测仪，对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP 上下调节（如图2），已知探测最大角（∠OBC）为61°，探测最小角（∠OAC）为37°．若该校要求测温区域的宽度AB为1.4米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.8，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）11．如图，在小山的东侧A处有一热气球，由于受风力影响，它以20m/min的速度沿着与水平线成75°角的方向飞行，30min后到达C处，此时热气球上的人发现热气球与山顶P及小山西侧的B处在一条直线上，同时测得B处的俯角为30°．在A处测得山顶P的仰角为45°，求A与B间的距离及山高（结果保留根号）．12．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度，AB＝16米，AE＝24米．（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：，）13．如图，大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB．测量人员从C点处测得吊灯顶端A的仰角为37°，吊灯底端B的仰角为30°，从C点沿水平方向前进6米到达点D，测得吊灯底端B的仰角为60°，求吊灯AB的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）14．如图，某商场开业之际，为了美化和宣传，该商场在楼上悬挂一块长为3m的宣传牌，即CD＝3m．数学小组的同学要在双休日测量宣传牌的底部点D到地面的距离．根据所学的相关知识，他们分别在点A和点B处放置两个测倾仪，它们的高度是AE＝BF＝1.5m，站在点A处的同学测得宣传牌底部点D的仰角为31°，站在点B处的同学测得宣传牌顶部点C的仰角为45°，AB＝6m．依据他们测量的数据能否求出宣传牌底部点D 到地面的距离DH的长？若能，请求出；若不能，请说明理由．（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）15．某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是40m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是37°．（1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为60°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为30°，求乙楼的高度DG．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）16．为测量底部不能到达的建筑物AB的高度，某数学兴趣小组在山坡的顶端C处测得建筑物顶部A的仰角为20°，在山脚D处测得建筑物顶部A的仰角为60°，若山坡CD的（参考数据：sin50°坡度i＝1：，坡长CD＝20米，求建筑物AB的高度．（精确到1米）≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.41，≈1.73）17．如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB＝50cm，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm．（1）若EC＝36cm时，B，D相距48cm，试判定BD与DE的位置关系，并说明理由；（2）当∠DCF＝45°，CF＝AC时，求CD的长．。

和三角函数专项训练1．（2009眉山）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离．2．（2009年中山）如图所示，A．B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：3≈1.732，2≈1.414）3．（2009年哈尔滨）如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向．当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离．（结果保留根号）北C D60°B30°A4．（2009年凉山州）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．（1）MN是否穿过原始森林保护区？为什么？（参考数据：3≈1.732）（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？.CM A B N（第21题）5．（2009年辽宁省锦州）为了加快城市经济发展，某市准备修建一座横跨南北的大桥如图10所示，测量队在点A处观测河对岸水边有一点C，测得C在北偏东60°的方向上，沿河岸向东前行30米到达B处，测得C在北偏东45°的方向上，请你根据以上数据帮助该测量队计算出这条河的宽度.(结果保留根号)6．（2009年湖南长沙）某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动．如图，他们在河东岸边的A点测得河西岸边的标志物B在它的正西方向，然后从A点出发沿河岸向正北方向行进550米到点C处，测得B在点C的南偏西60°方向上，他们测得的湘江宽度是多少米？（结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）北西东南CB A7．（2009山西省太原市）如图，从热气球C上测得两建筑物A．B底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的高度CD为90米．且点A．D．B在同一直线上，求建筑物A．B间的距离．E C F30°60°A D B。

中考数学《三角函数》大题专练（30道） 1．（2019·天津中考模拟）如图，某数学小组在水平空地上对无人机进行测高实验，在E 处测得无人机C 的仰角45CAB ∠=︒，在D 处测得无人机C 的仰角30CBA ∠=︒，已知测角仪的高1m AE BD ==，E 、D两处相距50m ，根据所给数据计算无人机C 的高度.（结果精确到0.1米， 1.41≈ 1.73≈）2．（2019·山东省中考模拟）如图，某风景区内有一瀑布，AB 表示瀑布的垂直高度，在与瀑布底端同一水平位置的点D 处测得瀑布顶端A 的仰角β为45°，沿坡度i ＝1：3的斜坡向上走100米，到达观景台C ，在C 处测得瀑布顶端A 的仰角α为37°，若点B 、D 、E 在同一水平线上．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75≈1.41≈3.16）（1）观景台的高度CE 为 米（结果保留准确值）；（2）求瀑布的落差AB （结果保留整数）．3．（2019·海南省中考模拟）如图，在大楼AB 正前方有一斜坡CD ，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C 处测得楼顶B 的仰角为60°，在斜坡上的D 处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A,C,E 在同一直线上.（1）求坡底C 点到大楼距离AC 的值；（2）求斜坡CD 的长度.4．（2018·贵州省中考模拟）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方点C出发,沿斜面坡度i CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米.已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB∠BC,AB//DE.求旗杆AB的高度.（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34.计算结果保留根号）5．（2019·河南省中考模拟）在某飞机场东西方向的地面l 上有一长为1km 的飞机跑道MN（如图），在跑道MN的正西端14.5 千米处有一观察站A．某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A 的北偏西30°，且与点A 相距15 千米的B 处；经过1 分钟，又测得该飞机位于点A 的北偏东60°，且与点A 相距 C 处．（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN 之间？请说明理由．6．（2019·山东省中考模拟）今年“五一” 假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点．再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°．已知A点海拔121米．C点海拔721米．（1）求B 点的海拔；（2）求斜坡AB 的坡度．7．（2019·浙江省中考模拟）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB=75°，支架AF 的长为2.50米米，篮板顶端F 点到篮框D 的距离FD=1.35米，篮板底部支架HF 与支架AF 所成的角∠FHE=60°，求篮框D 到地面的距离（精确到0.01米）.（参考数据：cos75°≈0.2588， sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732 1.732≈， 1.414≈）8．（2019·东阿县姚寨镇联合校中考模拟）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN 的长），直线MN 垂直于地面，垂足为点P ．在地面A 处测得点M 的仰角为58°、点N 的仰角为45°，在B 处测得点M 的仰角为31°，AB ＝5米，且A 、B 、P 三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN 的长．（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）9．（2019·河南省中考模拟）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB 的长度相同，均为300cm ，AB 的倾斜角为，BE=CA=50cm ，支撑角钢CD ，EF 与底座地基台面接触点分别为D ，F ，CD 垂直于地面，于点E ．两个底座地基高度相同（即点D ，F 到地面的垂直距离相同），均为30cm ，点A 到地面的垂直距离为50cm ，求支撑角钢CD 和EF 的长度各是多少cm （结果保留根号）10．（2018·辽宁省中考模拟）如图，甲、乙只捕捞船同时从A 港出海捕鱼，甲船以每小时 km 的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15 km 的速度沿东北方向前进．甲船航行2 h 到达C 处，此时甲船发现渔具丢在了乙船上，于是甲船快速(匀速)沿北偏东75°的方向追赶乙船，结果两船在B 处相遇．问：(1)甲船从C 处出发追赶上乙船用了多少时间？(2)甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？11．（2019·河南省中考模拟）如图，BC 是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD 的顶端D 处有一探射灯，射出的边缘光线DA 和DB 与水平路面AB 所成的夹角∠DAN 和∠DBN 分别是37°和60°（图中的点A 、B 、C 、D 、M 、N 均在同一平面内，CM∠AN ）．（1）求灯杆CD 的高度；（2）求AB 的长度（结果精确到0.1米）．．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）12．（2019·天津中考模拟）如图，某学校甲楼的高度AB 是18.6m ，在甲楼楼底A 处测得乙楼楼顶D 处的仰角为40，在甲楼楼顶B 处测得乙楼楼顶D 的仰角为19，求乙楼的高度DC 及甲乙两楼之间的距离AC （结果取整数）.参考数据：cos190.95≈，tan190.34≈，cos400.77≈，tan 400.84≈.13．（2019·兴化市顾庄学校中考模拟）如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249 1.4142．14．（2019·天津市红光中学中考模拟）某地一人行天桥如图所示，天桥高6 m，坡面BC的坡比为1∠1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡比，使新坡面AC的坡比为(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8 m处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除．请说明理由．15．（2019·山东省中考模拟）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．16．（2019·江苏省中考模拟）高淳固城湖大桥采用H型塔型斜拉桥结构（如甲图），图乙是从图甲抽象出的平面图.测得拉索AB与水平桥面的夹角是45°，拉索CD与水平桥面的夹角是65°，两拉索顶端的距离AC 为2米，两拉索底端距离BD为10米，请求出立柱AH的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）17．（2018·山东省中考模拟）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG∠HG，CH∠AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）18．（2019·山东省中考模拟）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=520m，∠D=30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上 1.732，结果取整数）？19．（2019·山东省中考模拟）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆9m的B处安置高为1.5m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．（结果保留根号）20．（2019·江苏省中考模拟）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）21．（2019·天津中考模拟）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∠CD，AM∠BN∠ED，AE∠DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）22．（2019·河南省中考模拟）如图，一艘渔船位于灯塔A的南偏西75°方向的B处，距离A处30海里，渔船沿北偏东30°方向追寻鱼群，航行一段时间后，到达位于A处北偏西20°方向的C处，渔船出现了故障立即向正在灯塔A处的巡逻船发出求救信号．巡逻船收到信号后以40海里每小时的速度前往救助，请问巡逻船多少分钟能够到达C≈1.4，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，最后结果精确到1分钟）．23．（2018·上海中考模拟）如图，为了将货物装入大型的集装箱卡车，需要利用传送带AB将货物从地面传送到高1.8米（即BD=1.8米）的操作平台BC上．已知传送带AB与地面所成斜坡的坡角∠BAD=37°．（1）求传送带AB的长度；（2）因实际需要，现在操作平台和传送带进行改造，如图中虚线所示，操作平台加高0.2米（即BF=0.2米），传送带与地面所成斜坡的坡度i=1：2．求改造后传送带EF的长度．（精确到0.1米）（参考数值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75≈1.41≈2.24）24．（2018·江苏省中考模拟）如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡向上走到C处，这时，PC=30m，点C与点A恰好在同一水平线上，点A、B、P、C在同一平面内．（1）求居民楼AB的高度；（2）求C、A之间的距离．（结果保留根号）25．（2019·山东省中考模拟）某学生为测量一棵大树AH及其树叶部分AB的高度，将测角仪放在F处测得大树顶端A的仰角为30°，放在G处测得大树顶端A的仰角为60°，树叶部分下端B的仰角为45°，已知点F、G与大树底部H共线，点F、G相距15米，测角仪高度为1.5米.求该树的高度AH和树叶部分的高度AB．26．（2018·湖北省中考模拟）（2016山东省烟台市）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB∠BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）27．（2018·广西壮族自治区中考模拟）如图，海面上甲、乙两船分别从A，B两处同时出发，由西向东行驶，甲船的速度为24n mile/h，乙船的速度为15n mile/h，出发时，测得乙船在甲船北偏东50°方向，且AB=10nmile，经过20分钟后，甲、乙两船分别到达C ，D 两处．（参考值：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）（1）求两条航线间的距离；（2）若两船保持原来的速度和航向，还需要多少时间才能使两船的距离最短？（精确到0.01）28．（2019·河南省中考模拟）某校数学兴趣小组的同学测量一架无人飞机P 的高度，如图，A ，B 两个观测点相距300m ，在A 处测得P 在北偏东71°方向上，同时在B 处测得P 在北偏东35°方向上．求无人飞机P 离地面的高度.(结果精确到1米，参考数据：sin350.57︒≈，tan350.70︒≈，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90)29．（2018·河南省中考模拟）如图，小东在楼AB 的顶部A 处测得该楼正前方旗杆CD 的顶端C 的俯角为42∘，在楼AB 的底部B 处测得旗杆CD 的顶端C 的仰角为30∘，已知旗杆CD 的高度为12m ，根据测得的数据，计算楼AB 的高度.(结果保留整数，参考数据：sin42∘≈0.7，cos42∘≈0.7，tan42∘≈0.9，√3≈1.7)30．（2019·内蒙古自治区中考模拟）如图，旗杆AB 的顶端B 在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D 处，某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆的底部A 处测得点D 的仰角为15°，AC ＝10米，又测得∠BDA ＝45°．已知斜坡CD 的坡度为i ＝1求旗杆AB 的高度 1.7≈，结果精确到个位）．2020中考数学《三角函数》大题专练（30道）参考答案1．（2019·天津中考模拟）如图，某数学小组在水平空地上对无人机进行测高实验，在E 处测得无人机C 的仰角45CAB ∠=︒，在D 处测得无人机C 的仰角30CBA ∠=︒，已知测角仪的高1m AE BD ==，E 、D两处相距50m ，根据所给数据计算无人机C 的高度.（结果精确到0.1米， 1.41≈ 1.73≈）【答案】19.3m.【解析】解：如图，过点C 作点CH AB ⊥于H ．∵45CAB ∠=︒，∵AH CH =．设CH x =，则AH x =．∵30CBA ∠=︒，∵BH ==．由题意知：50AB ED ==，∵50 x+=．解得：5018.32.73x=≈．18.3119.3+=．答：计算得到的无人机的高约为19.3m．【点睛】此题主要考察三角函数的应用.2．（2019·山东省中考模拟）如图，某风景区内有一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在与瀑布底端同一水平位置的点D处测得瀑布顶端A的仰角β为45°，沿坡度i＝1：3的斜坡向上走100米，到达观景台C，在C处测得瀑布顶端A的仰角α为37°，若点B、D、E在同一水平线上．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75≈1.41≈3.16）（1）观景台的高度CE为米（结果保留准确值）；（2）求瀑布的落差AB（结果保留整数）．【答案】（1）；（2）瀑布的落差约为411米．【解析】（1）∵tan∵CDE＝13 CE CD=∵CD＝3CE．又CD＝100米，∵100==∵CE＝．故答案是：．（2）作CF ∵AB 于F ，则四边形CEBF 是矩形．∵CE ＝BF ＝，CF ＝BE ．在直角∵ADB 中，∵DB ＝45°．设AB ＝BD ＝x 米． ∵CE CD ＝13，∵DE ＝．在直角∵ACF 中，∵ACF ＝37°，tan∵ACF 0.75AF CF ==≈ 解得x ≈411．答：瀑布的落差约为411米．【点睛】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型．3．（2019·海南省中考模拟）如图，在大楼AB 正前方有一斜坡CD ，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C 处测得楼顶B 的仰角为60°，在斜坡上的D 处测得楼顶B 的仰角为45°，其中点A,C,E 在同一直线上.（1）求坡底C 点到大楼距离AC 的值；（2）求斜坡CD 的长度.【答案】（1）坡底C 点到大楼距离AC 的值为（2）斜坡CD 的长度为120米.【解析】（1）在直角∵ABC 中，∵BAC=90°，∵BCA=60°，AB=60米，则AC=60AB tan ==︒（米）答：坡底C 点到大楼距离AC 的值是（2）过点D 作DF∵AB 于点F ，则四边形AEDF 为矩形，∵AF=DE ，DF=AE.设CD=x 米，在Rt∵CDE 中，DE=12x 米，米 在Rt∵BDF 中，∵BDF=45°，∵BF=DF=AB -AF=60-12x （米） ∵DF=AE=AC+CE ，-12x解得：120（米）故斜坡CD 的长度为（120）米.点睛：此题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．4．（2018·贵州省中考模拟）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB 的高度，沿旗杆正前方点C 出发,沿斜面坡度i =CD 前进4米到达点D ，在点D 处安置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37°，量得仪器的高DE 为1.5米.已知A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，AB∠BC,AB//DE.求旗杆AB 的高度.（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34.计算结果保留根号）【答案】【解析】如图，延长ED 交BC 延长线于点F ，则∵CFD=90°，，∵∵DCF=30°，∵CD=4，∵DF=12CD=2，过点E 作EG∵AB 于点G ，则GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，又∵∵AED=37°，，则，故旗杆AB 的高度为（）米．考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题5．（2019·河南省中考模拟）在某飞机场东西方向的地面 l 上有一长为 1km 的飞机跑道 MN （如图），在跑道 MN 的正西端 14.5 千米处有一观察站 A ．某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点 A 的北偏西30°，且与点 A 相距 15 千米的 B 处；经过 1 分钟，又测得该飞机位于点 A 的北偏东 60°，且与点 A 相距 C 处．（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道 MN 之间？请说明理由．【答案】（1）km/h ；（2）能，见解析【解析】解：（1）由题意，得90BAC ∠︒＝，15,AB AC ==BC ∴=∴飞机航行的速度为：160=km/h ）（2）能；作CE l ⊥ 于点 E ，设直线 BC 交 l 于点 F ．在Rt ABC 中，BC AC ==，∵30ABC ∠︒＝，即60BCA ∠︒＝，又∵30CAE ∠︒＝，∴60ACE ∠︒＝ ，18060FCE ACB ACE ∠=∠-∠=︒∴-，即ACE FCE ∠=∠ACE FCE ∴≅AE EF ∴= 又 152AE AC cos CAE =⋅∠＝ 152AE EF ∴==15AF ∴= 14.5,15.5AM AN ==∴AM AF AN ＜＜∵飞机不改变航向继续航行，可以落在跑道 M N 之间．【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，准确理解题意，并且画出辅助线是求解本题的关键.6．（2019·山东省中考模拟）今年“五一” 假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A 点出发沿斜坡AB 到达B 点．再从B 点沿斜坡BC 到达山顶C 点，路线如图所示．斜坡AB 的长为1040米，斜坡BC 的长为400米，在C 点测得B 点的俯角为30°．已知A 点海拔121米．C 点海拔721米． （1）求B 点的海拔；（2）求斜坡AB 的坡度．【答案】（1）521（米）；（2）1：2.4．【解析】解：如图，过C 作CF∵AM ，F 为垂足，过B 点作BE∵AM ，BD∵CF ，E 、D 为垂足．在C 点测得B 点的俯角为30°，∵∵CBD=30°，又BC=400米，∵CD=400×sin30°=400×12=200（米）． ∵B 点的海拔为721﹣200=521（米）．（2）∵BE=DF=521﹣121=400米，又∵AB=1040米，=960米，∵AB 的坡度i AB =BE AE =400960=512． 故斜坡AB 的坡度为1：2.4．【点睛】此题将坡度的定义与解直角三角形相结合，考查了同学们应用数学知识解决简单实际问题的能力，是一道中档题．7．（2019·浙江省中考模拟）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB=75°，支架AF 的长为2.50米米，篮板顶端F 点到篮框D 的距离FD=1.35米，篮板底部支架HF 与支架AF 所成的角∠FHE=60°，求篮框D 到地面的距离（精确到0.01米）.（参考数据：cos75°≈0.2588， sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732 1.732≈， 1.414≈）【答案】3.05米.【解析】延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG∵FM 于G ，在Rt∵ABC 中，tan∵ACB=AB BC， ∵AB=BC•tan75°=0.60×3.732=2.2392，∵GM=AB=2.2392，在Rt∵AGF 中，∵∵FAG=∵FHD=60°，sin∵FAG=FG AF，∵sin60°=2.52FG =， ∵FG=2.165，∵DM=FG+GM ﹣DF≈3.05米．答：篮框D 到地面的距离是3.05米．考点：解直角三角形的应用．8．（2019·东阿县姚寨镇联合校中考模拟）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN 的长），直线MN 垂直于地面，垂足为点P ．在地面A 处测得点M 的仰角为58°、点N 的仰角为45°，在B 处测得点M 的仰角为31°，AB ＝5米，且A 、B 、P 三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN 的长．（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）【答案】1.8米【解析】在Rt∵APN 中，∵NAP =45°，∵P A =PN ,在Rt∵APM 中，tan MP MAP AP∠=, 设P A =PN =x ，∵∵MAP =58°,∵tan MP AP MAP =⋅∠=1.6x ,在Rt∵BPM 中，tan MP MBP BP ∠=, ∵∵MBP =31°，AB =5, ∵ 1.60.65x x =+, ∵ x =3,∵MN=MP -NP =0.6x =1.8（米）,答：广告牌的宽MN 的长为1.8米．【点睛】熟练掌握三角函数的定义并能够灵活运用是解题的关键.9．（2019·河南省中考模拟）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB 的长度相同，均为300cm ，AB 的倾斜角为，BE=CA=50cm ，支撑角钢CD ，EF 与底座地基台面接触点分别为D ，F ，CD 垂直于地面，于点E ．两个底座地基高度相同（即点D ，F 到地面的垂直距离相同），均为30cm ，点A 到地面的垂直距离为50cm ，求支撑角钢CD 和EF 的长度各是多少cm （结果保留根号）【解析】 过点A 作AG CD ⊥，垂足为G ．则30CAG ∠=︒，在Rt ACG 中，()1sin 3050252CG AC cm =︒=⨯=, 由题意，得()GD 503020cm =-=,∵()252045CD CG GD cm =+=+=,连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ． 由题意，得30H ∠=︒．在Rt CDH 中，()290sin 30CD CH CD cm ===︒, ∵()300505090290EH EC CH AB BE AC CH cm =+=--+=--+=．在Rt EFH 中，()tan 3029033EF EH cm =︒=⨯=.答：支角钢CD 的长为45cm ，EF .考点：三角函数的应用10．（2018·辽宁省中考模拟）如图，甲、乙只捕捞船同时从A 港出海捕鱼，甲船以每小时 km 的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15 km 的速度沿东北方向前进．甲船航行2 h 到达C 处，此时甲船发现渔具丢在了乙船上，于是甲船快速(匀速)沿北偏东75°的方向追赶乙船，结果两船在B 处相遇．问：(1)甲船从C 处出发追赶上乙船用了多少时间？(2)甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？【答案】(1) 2 h ;(2) 15(1千米.【解析】（1）如图，过A 作AD∵BC 于点D ．作CG∵AE 交AD 于点G ．∵乙船沿东北方向前进，∵∵HAB=45°，∵∵EAC=30°，∵∵CAH=90°-30°=60°∵∵CAB=60°+45°=105°．∵CG∵EA，∵∵GCA=∵EAC=30°．∵∵FCD=75°，∵∵BCG=15°，∵BCA=15°+30°=45°，∵∵B=180°-∵BCA-∵CAB=30°．在直角∵ACD中，∵ACD=45°，．=30千米．×2CD=AC•cos45°=30千米．在直角∵ABD中，∵B=30°．则AB=2AD=60千米．则甲船从C处追赶上乙船的时间是：60÷15-2=2小时；（2）千米．则甲船追赶乙船的速度是每小时（千米/小时．答：甲船从C处追赶上乙船用了2小时，甲船追赶乙船的速度是每小时千米．【点睛】一般三角形的计算可以通过作高线转化为直角三角形的计算，正确作辅助线是解决本题的关键．11．（2019·河南省中考模拟）如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∠AN）．（1）求灯杆CD 的高度；（2）求AB 的长度（结果精确到0.1米）．．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】（1）10米；（2）11.4米【解析】（1）如图，延长DC 交AN 于H ，∵∵DBH=60°，∵DHB=90°，∵∵BDH=30°，∵∵CBH=30°，∵∵CBD=∵BDC=30°，∵BC=CD=10（米）；（2）在Rt∵BCH 中，CH=12BC=5，， ∵DH=15，在Rt∵ADH 中，AH=tan 37DH ≈150.75=20， ∵AB=AH ﹣BH=20﹣8.65=11.4（米）．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.12．（2019·天津中考模拟）如图，某学校甲楼的高度AB 是18.6m ，在甲楼楼底A 处测得乙楼楼顶D 处的仰角为40，在甲楼楼顶B 处测得乙楼楼顶D 的仰角为19，求乙楼的高度DC 及甲乙两楼之间的距离AC（结果取整数）.参考数据：cos190.95≈，tan190.34≈，cos400.77≈，tan 400.84≈.【答案】乙楼的高度DC 约为31m ，甲乙两楼之间的距离AC 约为37m.【解析】解：过点B 作BE CD ⊥，垂足为点E ，可知BAC ACE BEC 90∠∠∠===︒.∵四边形ACEB 是矩形.∵AB CE =，AC BE =.设甲乙两楼之间的距离为x m.则BE AC x ==，在Rt DBE 中，DBE 19∠=︒，DEtan DBE BE ∠=.∵DE BE tan DBE x tan19∠=⋅=⋅︒.在Rt DAC 中，DAC 40∠=︒，DCtan DAC AC ∠=.∵DC AC tan DAC x tan DAC x tan40∠∠=⋅=⋅=⋅︒.∵DC DE CE -=，∵x tan40x tan1918.6⋅︒-⋅︒=.∵0.84x 0.34x 18.6-≈.解得x 37.2≈.∵AC 37≈.DE x tan4037.2.8431=⋅︒≈⨯≈.答：乙楼的高度DC 约为31m ，甲乙两楼之间的距离AC 约为37m.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从复杂的实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系列出方程．13．（2019·兴化市顾庄学校中考模拟）如图，某公园内有一座古塔AB ，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD ．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A 在地面上的影子E 与墙角C 的距离为15米（B 、E 、C 在一条直线上），求塔AB 的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249 1.4142≈．【答案】塔高AB 约为32.99米.【解析】解：过点D 作DH ∵AB ，垂足为点H ．由题意，得 HB = CD = 3，EC = 15，HD = BC ，∵ABC =∵AHD = 90°，∵ADH = 32°．设AB = x ，则 AH = x – 3．在Rt∵ABE 中，由 ∵AEB = 45°，得 tan tan451ABAEB EB ∠=︒==．∵ EB = AB = x ．∵ HD = BC = BE + EC = x + 15．在Rt∵AHD 中，由 ∵AHD = 90°，得 tan AHADH HD ∠=．即得 3tan3215x x -︒=+．解得15tan32332.991tan32x⋅︒+=≈-︒．∵ 塔高AB约为32.99米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．14．（2019·天津市红光中学中考模拟）某地一人行天桥如图所示，天桥高6 m，坡面BC的坡比为1∠1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡比，使新坡面AC的坡比为(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8 m处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除．请说明理由．【答案】(1)α＝30°；(2)文化墙PM不需要拆除，理由见解析．【解析】（1）∵新坡面的坡度为1，∵∵α=30°．答：新坡面的坡角a为30°；（2）文化墙PM不需要拆除．过点C作CD∵AB于点D，则CD=6，∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1∵BD=CD=6，∵AB=AD﹣﹣6＜8，∵文化墙PM不需要拆除．【点睛】本题考查解直角三角形的应用．15．（2019·山东省中考模拟）某海域有A ，B 两个港口，B 港口在A 港口北偏西30°方向上，距A 港口60海里，有一艘船从A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B 港口之间的距离即CB 的长（结果保留根号）．【答案】【解析】解：作AD∵BC 于D ，∵∵EAB=30°，AE∵BF ，∵∵FBA=30°，又∵FBC=75°，∵∵ABD=45°，又AB=60，∵AD=BD=∵∵BAC=∵BAE+∵CAE=75°，∵ABC=45°，∵∵C=60°，在Rt∵ACD 中，∵C=60°，AD=，则tanC=AD CD ，=∵BC=故该船与B 港口之间的距离CB 的长为【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题．16．（2019·江苏省中考模拟）高淳固城湖大桥采用H型塔型斜拉桥结构（如甲图），图乙是从图甲抽象出的平面图.测得拉索AB与水平桥面的夹角是45°，拉索CD与水平桥面的夹角是65°，两拉索顶端的距离AC 为2米，两拉索底端距离BD为10米，请求出立柱AH的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【答案】17【解析】解：设AH的长为x米，则CH的长为（x－2）米.在Rt∵ABH中，AH＝BH tan45°，则BH＝x，所以DH＝BH－BD＝x－10在Rt∵CDH中，CH＝DH tan65°，即x－2＝2.14（x－10），解得：x＝17.01≈17.0答：立柱AH的长为17米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由三角函数列出关于AH的方程是解题关键.17．（2018·山东省中考模拟）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG∠HG，CH∠AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）【答案】63米．【解析】解：如图，作BE∵DH于点E，则GH=BE、BG=EH=10，设AH=x，则BE=GH=GA+AH=43+x，在Rt∵ACH 中，CH=AH tan∵CAH=tan55°•x，∵CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣10，∵∵DBE=45°，∵BE=DE=CE+DC，即43+x=tan55°•x﹣10+35，解得：x≈45，∵CH=tan55°•x=1.4×45=63．答：塔杆CH的高为63米．点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．18．（2019·山东省中考模拟）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=520m，∠D=30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上 1.732，结果取整数）？【答案】450m.【解析】解：ABD 120∠=︒，D 30∠=︒，AED 1203090∠∴=︒-︒=︒，在Rt ΔBDE 中，BD 520m =，D 30∠=︒，1BE BD 260m 2∴==，()DE 450m ∴==≈．答：另一边开挖点E 离D450m ，正好使A ，C ，E 三点在一直线上．【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用和勾股定理的运用，解题关键是是熟记含30°的直角三角形的性质.19．（2019·山东省中考模拟）如图，在电线杆CD 上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆9m 的B 处安置高为1.5m 的测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，求拉线CE 的长．（结果保留根号）【答案】拉线CE 的长约为米．【解析】解：过点A 作AH∵CD ，垂足为H ，由题意可知四边形ABDH 为矩形，∵CAH=30°，∵AB=DH=1.5，BD=AH=9，在Rt∵ACH 中，tan∵CAH=CH AH， ∵CH=AH•tan∵CAH ，。

2022中考考点必杀500题专练11（三角函数大题）（30道）1．（2022·浙江绍兴·一模）如图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点,,B E D 均为可转动点，现测得20cm AB BE ED CD ====，经多次调试发现当点,B E 都在CD 的垂直平分线上时（如图3所示）放置最平稳．(1)求放置最平稳时灯座DC 与灯杆DE 的夹角的大小；(2)当A 点到水平桌面（CD 所在直线）的距离为42cm 43cm -时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将ABE ∠调节到105︒，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：sin150.26,cos150.97,tan15 1.73︒=︒=︒==）2．（2022·安徽·东至县教育体育局教学研究室一模）如图1，某游乐场建造了一个大型摩天轮，工程师介绍：若你站在摩大轮下某处（A 点）以30的仰角恰好可以看到摩天轮圆轮的底部（C 点），可测得AC 的长度为30m ，以63︒的仰角可以看到摩天轮圆轮的最上方（D 点），如图2，设摩天轮圆轮的直径CD 垂地面于点B ，点A ，B 在同一水平面上．（人的身高忽略不计， 1.73,sin 630.89,cos630.45,tan 63 1.96≈︒≈︒≈︒≈，结果精确到个位）(1)求AB 的长；(2)求摩天轮的圆轮直径（即CD 的长）．3．（2021·陕西渭南·二模）西安汉城湖景区巨大的汉武帝塑像背北朝南，一手执剑安边，广布王道与蛮夷；一手樾泽众生，推行儒术与天下，展示了汉武帝一统江山、胸怀万里的豪迈气概（如图1）．小明想利用所学知识测量汉武帝塑像的高度BE ，测量方法如下：如图2，在地面上的点C 处测得塑像顶端E 的仰角为37︒，从点C 走到点D ，测得24CD =米，从点D 测得塑像底端B 的仰角为26.5︒，已知A ，B ，E 在同一条垂直于地面的直线上，点C 、D 、A 在一条直线上，7AB =米，请你根据题中提供的相关信息，求塑像BE 的高度（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，sin26.50.45︒≈，cos26.50.89︒≈，tan26.50.50︒≈）4．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室二模）风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，中国风筝问世后，很快被用于传递信息，飞跃险阻等军事需要，唐宋以后传入民间，成为人们休闲娱乐的玩具．上周末，小伟和爸爸一起去野外放风筝，不慎，两个风筝在空中P 处缠绕在一起，如图，小伟在地面上的A 处测得点P 的仰角为30°，爸爸在距地面2米高的C 处（即2BC =米）测得点P 的仰角为60°，已知A 、B 、D 在一条直线上，PD AD ⊥，CB AD ⊥，160AB =米，求此时风筝P 处距地面的高度PD ．（结果保留根号）5．（2022·陕西·一模）如图，学校一幢教学楼AB 的顶部竖有一块写有校训的宣传牌AC ，小同在M 点用测倾器测得宣传牌的底部A 点的仰角为31︒，他向教学楼前进7米到达N 点，测得宣传牌顶部C 点的仰角为45︒，已知广告牌AC 的高度为3米，测倾器 1.5DM EN ==米，点B 、M 、N 在同一水平面上，不考虑其他因素，求教学楼AB 的高度．（结果保留整数，参考数据sin310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan310.61︒≈）6．（2022·河南·西峡县基础教育教学研究室一模）数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间测量一栋教学楼的高度．如图，在C 点测得楼顶A 点的仰角为45°，从C 点经斜面CE 到达高台上E 点测得A 点的仰角为22°，测得CD =16米，EF =3米．已知斜面CE 的坡度1:6.5i =，∠CDF =90°，EF //CD ，点B 、C 、E 在同一平面内，且点B 、C 、D 在同一条直线上．求楼高AB ．（参考数据：sin22°≈0.38，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）7．（2022·辽宁锦州·一模）某数学兴趣小组测量一栋高层住宅楼AB 的高度，在住宅楼AB 对面的多层洋房CD 的楼底C 处，测得住宅楼AB 楼顶A 的仰角为63.4︒（即63.4ACB ∠=︒），在多层洋房CD 的楼顶D 处测得住宅楼AB 楼底B 的俯角为11.3︒（即11.3BDE ∠=︒），已知10m CD =，求高层住宅楼AB 的高度．（结果保留整数，测量工具的高度忽略不计．参考数据：sin 63.40.894︒≈，cos63.40.448︒≈，tan 63.4 1.997︒≈，sin11.30.196︒≈，cos11.30.981︒≈，tan11.30.200︒≈）8．（2022·重庆渝中·二模）2021年7月，央视财经频道献礼建党100周年大型纪录片《大国建造》第二集《栋梁之材》中专门报道了重庆来福士塔楼．王老师为了测量来福士塔楼的高度，他在江北嘴嘉陵江边A 处沿坡角为22°的斜坡AC 走了80米到达点C ，此时正好与江对岸的朝天门广场D 及来福士塔楼底部E 在同一水平线上．点C 处测得观景台F 的仰角为24°，测得塔楼最高点G 的仰角为32．2°（A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 在同一平面）．据央视报道可知250EF =米．（参考数据：sin 220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈；sin 240.41︒≈，cos240.91︒≈，tan 240.45︒≈；sin32.20.53︒≈，cos32.20.85︒≈，tan32.20.63︒≈．）(1)求朝天门广场D 与嘉陵江江面AB 的垂直距离；（结果取整数）(2)求塔楼高度GE 的值．（结果取整数）9．（2022·浙江台州·一模）如图所示是国际标准的篮球架，某兴趣小组想知道篮筐中心A 到地面的高度，现测得如下数据：CD 垂直于地面，255cm CD =，90cm BC =，AB 平行于地面，145ABC ∠=︒，请你利用学过的知识帮他们求出该高度．（结果精确到1cm ，参考数据：sin350.57︒=，cos350.82︒=，tan350.70︒=）10．（2022·云南·云大附中模拟预测）某工程队计划测量一信号塔OC 的高度，由于特殊原因无法直接到达信号塔OC 底部，因此计划借助坡面高度来测量信号塔OC 的高度；如图，在信号塔OC 旁山坡坡脚A 处测得信号塔OC 顶端C 的仰角为70°，当从A 处沿坡面行走13米到达P 处时，测得信号塔OC 顶端C 的仰角刚好为45°．已知山坡的坡度i ＝1：2.4，且O ，A ，B 在同一直线上．(1)求点P 到水平地面OB 的距离．(2)求信号塔OC 的高度．（侧倾器高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.7．）11．（2022·新疆乌鲁木齐·一模）如图，小明在红山塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测得塔顶G 的仰角为37°，在A 点和塔之间选择一点B ，测得塔顶G 的仰角为45°，又测得3AB =米，已知测角仪的高 1.5AF =米，请你帮小明计算出塔CG 的高度．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）12．（2022·河南平顶山·二模）2020年12月26日，“最美无背锁斜拉桥”鹰城大桥正式通车，作为全省唯一一座跨高铁的大型立交桥，通车后将极大缓解该区域的交通压力．某数学兴趣小组到现场测量塔AB 的高度AD ．如图，他们选取的测量点C 与塔底部B 在同一条水平线上，测得塔AB 与BC 所在水平线的夹角为57°，在C 点处测得塔顶A 的仰角为45°，已知塔底B 到测量点C 的距离为20.76米，求塔高AD ．（结果精确到0.1米．参考数据：sin570.84︒≈，cos570.54︒≈，tan57 1.54︒=）13．（2022·河南濮阳·一模）国家“十四五规划”减少化石能源的消耗，减少碳排放作为今后的重要任务之一，各地响应国家号召都在大力发展风电．某学校数学活动小组去实地对风电塔进行测量．如图1风电机组主要由塔杆和叶片组成，图2是由图1画出的平面图．假设站在A 处测得塔杆顶端C 的仰角是55°，沿F A 方向水平前进25米到达坡底E 处，在山顶B 处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D （D 、C 、F 在同一直线上）的仰角是45°，已知叶片的长度为20米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），坡高BE 为10米，BE EF ⊥，CF EF ⊥，求塔杆CF 的长（参考数据：tan55 1.4︒≈，tan350.7︒≈，sin550.8︒≈，sin350.6︒≈）．14．（2022·辽宁抚顺·二模）如图，小明为了测量小河对岸大树BC 的高度，他在点A 测得大树顶端B 的仰角为45°，沿斜坡走13米到达斜坡上点D ，在此处测得树顶端点B 的仰角为31°，且斜坡AF 的坡度为1：2.4．(1)求小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度；(2)大树BC 的高度约为多少米？（参考数据：sin 31°＝0.52，cos 31°＝0.86，tan 31°≈0.60）15．（2022·河南商丘·二模）2022年，中国举办了一个史无前例的冬奥会，民众对冰上运动的热情高涨．某滑雪场设计了一条滑雪道，该滑雪道由直道和停止区两部分组成．如图所示，AB 为平台部分，AC 为该滑道的直道部分，其与水平滑道之间均可视为平滑相连，滑道AC 的坡角30ACF ∠=，AC 长为120米，滑雪道的停止区EC 长为80米．为增加安全性，滑雪场修改方案，将滑道坡度减缓，新设计另一滑道AD ，其坡角23ADF ∠=︒．问：新设计的滑道停止区ED 的长度为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：sin230.391≈，cos230.92l ≈，tan230,424≈ 1.732）16．（2022·四川成都·二模）第31届世界大学生运动会将于2022年6月26日在成都举行，主火炬塔位于东安湖体育公园，亮灯之夜，塔身通体透亮，10余道象征太阳光芒的螺旋线全部点亮，璀璨绚丽，流光溢彩（如图1）．小杰同学想要通过测量及计算了解火炬塔CD 的大致高度，当他步行至点A 处，测得此时塔顶C 的仰角为42°，再步行20米至点B 处，测得此时塔顶C 的仰角为65°（如图2所示，点A ，B ，D 在同一条直线上），请帮小杰计算火炬塔CD 的高．（sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，结果保留整数）17．（2022·山西阳泉·一模）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕. 北京冬奥会为绿色办奥、科技办奥贡献了中国样本和中国智慧，让奥运精神点亮更多人的冰雪梦想，并以冰雪运动和奥林匹克精神为纽带，凝聚更团结的力量. 图∠，图∠分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED 与斜坡AB 垂直，大腿EF 与斜坡AB 平行，G 为头部，假设,,G E D 三点共线，若大腿弯曲处与滑雪板后端的距离EM 长为0.9m ，该运动员大腿EF 长为0.4m ，且其上半身GF 长为0.8m ，35EMD ∠=︒．(1)求此刻滑雪运动员的身体与大腿所成的夹角GFE ∠的度数；(2)求此刻运动员头部G 到斜坡AB 的高度. （结果精确到0.1m ，参考数据：sin350.57︒≈，cos350.82︒≈，tan350.70︒≈ 1.73≈）18．（2022·河南开封·一模）北京2022年冬奥会自由式滑需和单板滑雪比赛的场地首钢滑大跳台，又称“雪飞天”，从远处看就像一只绝美的“水晶鞋”．某数学活动小组准备测量大跳台主体AB 的垂直高度，如图，选取的测量点C ，D 与AB 的底部B 在同一水平线上．测得CD 的长度为15m ．在C ，D 处测得跳台顶部A 的仰角分别为37.5°、45°，求跳台AB 的高度（结果精确到1m ．参考数据：sin37.50.609cos37.50.793tan37.50.767︒≈︒≈︒≈，，）19．（2022·河南·模拟预测）郑州二七纪念塔位于郑州市二七广场，是为纪念京汉铁路工人大罢工中牺牲的烈士，发扬“二七”革命传统而修建的纪念性建筑．如图，某综合实践小组为测量塔顶旗杆的高度，在马路对面建筑物楼下选取了与二七塔的底部C 在同一水平线上的测量点D ，在建筑物楼上选取测量点E ，DE CD ⊥．已知，塔身BC 高63m ，18m ED =，在D 处测得旗杆顶部A 的仰角为58°，在E 处测得旗杆底部B 的仰角为45°，求旗杆的高度（参考数据sin580.85︒≈，cos580.53︒≈， tan58 1.6︒≈）．20．（2022·山东潍坊·一模）某移动公司为了提升网络信号，在坡度1:2.4i =的山坡AD 上加装了信号塔PQ （如图所示），信号塔底端Q 到坡底A 的距离为3.9米．为了提醒市民，在距离斜坡底A 点5.4米的水平地面上立了一块警示牌MN ，当太阳光线与水平线所成的夹角为53︒时，信号塔顶端P 的影子落在警示牌上的点E 处，且EN 长为3米．(1)求点Q 到水平地面的铅直高度；(2)求信号塔PQ 的高度大约为多少米？（参考数据：sin530.8,cos530.6,tan53 1.3︒≈︒≈︒≈）21．（2022·北京市燕山教研中心一模）疫情防控过程中，很多志愿者走进社区参加活动．如图所示，小冬老师从A 处出发，要到A 地北偏东60︒方向的C 处，他先沿正东方向走了200m 到达B 处，再沿北偏东30方向走，恰能到达目的地C 处，求A ，C 两地的距离． 1.414 1.732≈≈）22．（2022·山东青岛·一模）一架无人机沿水平方向飞行进行测绘工作，在点P 处测得正前方水平地面上某建筑物AB 的顶端A 的俯角为24︒．无人机保持飞行方向不变，继续飞行48米到达点Q 处，此时测得该建筑物底端B 的俯角为66︒．已知建筑物AB 的高度为36米，求无人机飞行时距离地面的高度．（参考数据：2sin 245≈，9cos 2410︒≈，9tan 2420︒≈，9sin 6610︒≈，2cos665︒≈，9tan 664︒≈）23．（2022·浙江金华·模拟预测）如图是一种手机三脚架，它通过改变锁扣C 在主轴AB 上的位置调节三脚架的高度，其它支架长度固定不变，已知支脚DE ＝AB ．底座CD ∠AB ，BG ∠AB ，且CD ＝BG ，F 是DE 上的固定点，且EF ：DF ＝2：3．（1）当点B ，G ，E 三点在同一直线上（如图1所示）时，测得tan∠BED ＝2．设BC ＝5a ，则FG ＝__（用含a 的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，若将点C 向下移动24cm ，则点B ，G ，F 三点在同一直线上（如图2），此时点A 离地面的高度是__cm ．24．（2022·安徽·一模）某通信公司准备逐步在合肥大蜀山上建设5G 基站．如图，某处斜坡CB 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，通讯塔AB 垂直于水平地面CF ，在C 处测得塔顶A 的仰角45ACF ∠=︒，在D 处测得塔顶A 的仰角53ADE ∠=︒，D 到水平地面的距离10DM =米，求基站AF 的高度．（参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈）25．（2022·安徽淮北·一模）某市为了加快5G 网络信号覆盖，在市区附近小山顶部架设信号发射塔，如图所示．为了知道发射塔的高度，小兵从地面上的一点A 测得发射塔顶端P 点的仰角是45︒，向山前走60米到达B 点测得P 点的仰角是60︒，测得发射塔底部Q 点的仰角是30．请你帮小兵计算出信号发射塔PQ 的高度． 1.7)26．（2022·四川·岳池县教研室二模）2022年春节期间，成都的夜景出圈了！一场场灯光秀不仅让本地人饱了眼福，也让外地游客流连忘返．在成都交子金融城双子塔，一场流光溢彩、璀璨夺目的视觉盛宴更是刷爆了朋友圈（如图1）．如图2，小玲想利用所学的数学知识，测金融城双子塔AB 的高度．她先在C 处用高度为1.3米的测角仪CD 测得AB 上一点E 的仰角22EDF ∠=︒，接着她沿CB 方向前进50米到达G 处，测得塔顶A 的仰角45AHF ∠=︒．若110AE =米，求双子塔AB 的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin 220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈）27．（2022·四川成都·二模）2022年，武侯区继续开展“武侯文化大讲堂”活动，某中学数学组以此为契机，在望江楼公园开展“感受武侯文化，领略古建风韵”的综合实践活动，测量望江楼AB 的高度．如图，已知测倾器的高度为1.2米，在测点C 处安置侧倾器，测得点A 的仰角45ADE ∠=︒，在与点C 相距10米的测点F 处安置侧倾器，测得点A 的仰角58AGE ∠=︒（点C ，F 与B 在一条直线上），求望江楼AB 的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈）28．（2022·山西晋中·一模）受新冠疫情影响，部分县市课堂教学从“线下”转到了“线上”，我市教育局承担组织全区“空中课堂”优秀课例的录制工作，手机成为学生线上学习的主要工具．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB ，BC 可分别绕点A ，B 转动，测量知BC =8cm ，AB =16cm ．当AB ，BC 转动到∠BAE =60°，∠ABC =50°时，观看比较适宜，试求此时点C 到AE 的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）29．（2022·河南驻马店·二模）无人机是当下年轻人娱乐竞技的方式之一．某无人机兴趣小组在广场上开展竞技活动（如图），比赛谁测量某写字楼BC 的高度精确，其中小明操作的无人机在离地面30米的D 处，无人机测得操控者小明（点A ）的俯角为37°，测得写字楼顶端点C 处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A 和教学楼BC 距离为57米，请帮助小明根据以上数据计算写字楼BC 的高度．（注：点A ，B ，C ，D 都在同一平面上．（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）30．（2022·四川·石室中学一模）小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度、他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点O 处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A 在水中倒影的俯角为60°．若点O 到湖面的距离OD ＝4m ，OD ∠DB ，AB ∠DB ，A 、B 、三点共线，B ＝AB ，求小山的高度AB （光线的折射忽略不计；结果保留根号）．。

初中三角函数应用题10道(1)求步道AC 的长度（结果保留根号）；(2)游客中心Q 在点A 的正东方向，步道AC 与步道BQ 交于点P 小明和爸爸分别从B 处和A 处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．0.1）（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，6 2.449≈）2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）下图是儿童游乐场里的一个娱乐项目转飞椅的简图，该设施上面有一个大圆盘（圆盘的半径是 3.5OA =米），圆盘离地面的高度1 6.5OO =米，且1OO ⊥地面l ，圆盘的圆周上等间距固定了一些长度相等的绳子，绳子的另一端系着椅子（将椅子看作一个点，比如图中的点B 和1B ），当旋转飞椅静止时绳子是竖直向下的，如图中的线段AB ，绳长为4.8米固定不变．当旋转飞椅启动时，圆盘开始旋转从而带动绳子和飞椅一起旋转，旋转速度越大，飞椅转得越高，当圆盘旋转速度达到最大时，飞椅也旋转到最高点，此时绳子与竖直方向所成的夹角为57α=︒．（参考数据：sin 570.84︒≈，cos570.55︒≈，tan 57 1.54︒≈）(1)求飞椅离地面的最大距离（结果保留一位小数）；(2)根据有关部门要求，必须在娱乐设施周围安装安全围栏，而且任何时候围栏和飞椅的水平距离必须超过2米．已知该旋转飞椅左侧安装有围栏EF ，且EF l ⊥，19.8O E =米，请问圆盘最大旋转速度的设置是否合规？并说明理由．3．（2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB ，小明在斜坡的坡脚D 处测得宣传牌底部B 的仰角为45︒，沿斜坡DE 向上走到E 处测得宣传牌顶部A 的仰角为31︒，已知斜坡DE 的坡度3:4，10DE =米，22DC =米，求宣传牌AB 的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin 310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan 310.6)︒≈。

2020年浙江省台州市中考数学重点题型-三角函数的应用专题训练1.如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．(结果用含有根号的式子表示)2.如图，某高速公路设计中需要测量某条江的宽度AB，测量人员使用无人机测量，在C处测得A,B两点的俯角分别为45∘和30∘，若无人机离地面的高度CD为1200米，且点A,B,D在同一条水平直线上，求这条江的宽度AB长（结果保留根号）.3.如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处.已知AB＝BD＝800米，∠α＝75°，∠β＝45°，求山高DE（结果精确到1米）.（参考数据：sin75°＝0.966，cos75°＝0.259，tan75°＝3.732，√2＝1.414）4.如图1，是全国最大的瓷碗造型建筑，座落于江西景德镇，整体造型概念来自“宋代影青斗笠碗”，造型庄重典雅，象征“万瓷之母”．小敏为了计算该建筑物横断面(瓷碗橫断面ABCD为等腰梯形)的高度，如图2，她站在与瓷碗底部AB位于同一水平面的点P处测得瓷碗顶部点D的仰角为45°，而后沿着一段坡度为0.44(坡面与水平线夹角的正切值)的小坡PQ步行到点Q(此过程中AD，AP，PQ始终处于同一平面)后测得点D的仰角减少了5°.已知坡面PQ的水平距离为20米，小敏身高忽略不计，试计算该瓷碗建筑物的高度．(参考数据：sin 40°≈0.64，tan 40°≈0.84)5.兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°，拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD的长），试求出主塔BD的高.（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）6.茗阳阁位于河南省信阳市狮河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日.是一栋由多种中国建筑元素，由雕栏飞檐、勾心斗角、斗拱图腾等多种形式的中国古代建筑元素汇聚而成，具有浓郁地方古建筑特色的塔式阁楼.茗阳阁是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一，同时茗阳阁旁的风景也是优美至极.某数学课外兴趣小组为了测量建在山丘DE上的茗阳阁CD的高度，在山脚下的广场上A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为20°，沿水平方向前进20米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，已知山丘DE高37.69米.求塔的高度CD .（结果精确到1米，参考数据：sin200≈0.34,cos200≈0.94,tan200≈0.36）7.如图，AB是长为10m，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）.（参考数据：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14）8. 4月18日，一年一度的“风筝节”活动在市政广场举行，如图，广场上有一风筝A，小江抓着风筝线的一端站在D处，他从牵引端E测得风筝A的仰角为67°，同一时刻小芸在附近一座距地面30米高(BC＝30米)的居民楼顶B处测得风筝A的仰角是45°，已知小江与居民楼的距离CD＝40米，牵引端距地面高度DE＝1.5米，根据以上条件计算风筝距地面的高度(结果精确到0.1米，参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，√2≈1.414).9.共享单车为大众出行提供了方便，如图为单车实物图，如图为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知，∠ABE=70°，∠EAB=45°，车轮半径为0.3m，BE=0.4m.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，求此时CE的长.（结果精确到1cm）参考数据：sin70.≈0.94，cos70.≈0.34，tan70.≈2.75，√2≈1.4110.如图，MN为一电视塔，AB是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上，被一个人工湖隔开)，某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度.在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°；沿着山坡向上行走40m到达C处，此时测得塔顶M的仰角为30°，请求出电视塔MN的高度.(参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，结果保留整数)11.如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？(结果精确到0.1cm,参考数据: √3≈1.732)12.北盘江大桥坐落于云南宜威与贵州水城交界处，横跨云贵两省，为目前世界第一高桥图1是大桥的实物图，图2是从图1中引申出的平面图，测得桥护栏BG=1.8米，拉索AB与护栏的夹角是26°，拉索ED 与护栏的夹角是60°，两拉索底端距离BD为300m，若两拉索顶端的距离AE为90m，请求出立柱AH的长.（tan26°≈0.5，sin26°≈0.4，√3≈ 1.7）13.为了解决楼房之间的采光问题，有关部门规定两幢楼房之间的最小距离要使中午12时不能遮光.如图，旧楼的一楼窗台高1m，现计划在旧楼正南方20m处建一幢新楼.已知新昌冬天中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角最小为36∘，问新楼房最高可建多少米？(结果精确到0.1m，tan36∘≈0.727)．14.随着天气的逐渐炎热（如图1），遮阳伞在我们的日常生活中随处可见.如图2所示，遮阳伞立柱OA垂直于地面，当将遮阳伞撑开至OD位置时，测得∠BOD＝45°，当将遮阳伞撑开至OE位置时，测得∠BOE＝60°，且此时遮阳伞边沿上升的竖直高度BC为30cm，求当遮阳伞撑开至OE位置时，伞下半径EC的长. （结果精确到0.1cm，参考值√2≈1.414,√3≈1.732,√6≈2.449）.15.为了增强体质，小明计划晚间骑自行车训练，他在自行车上安装了夜行灯．如图，夜行灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为10°和14°，该夜行灯照亮地面的宽度BC长为149米，求该夜行灯距离地面的高度AN的长．(参考数据：sin10°≈17100，tan10°≈950，sin14°≈625，tan14°≈14)．16.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆；两段的联结点.当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计，EF长度远大于车辆宽度），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图4是否合理？请通过计算说明理由.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）17.如图1是某商场从一楼到二楼的自动扶梯，图2是侧面示意图，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，点C在MN 上，且位于自动扶梯顶端B点的正上方，BC⊥MN.测得AB＝10米，在自动扶梯底端A处测得点C的仰角为50°，点B的仰角为30°，求二楼的层高BC（结果保留根号）（参考数据：sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.20）18.某大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长.（结果精确到0.1米，√3≈1.73）19.如图，利用一幢已知高度的楼房CD（楼高为20m），来测量一幢高楼AB的高在DB上选取观测点E、F，从E测得楼房CD和高楼AB的顶部C、A的仰角分别为58°、45°.从F测得C，A的仰角分别为22°，70°.求楼AB的高度（精确到1m）（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75）20.某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0.lm.温馨提示：sin15°≈0.26，cosl5°≈0.97，tan15°≈0.27）答案1. 解：过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图所示：则四边形DHCE 是矩形，DH=EC ，DE=HC=5， 设建筑物BC 的高度为xm ，则BH=（x ﹣5）m ， 在Rt △DHB 中，∠BDH=30°， ∴DH= √3 （x ﹣5），AC=EC ﹣EA= √3 （x ﹣5）﹣30， 在Rt △ACB 中，∠BAC=50°，tan ∠BAC= BCAC ， ∴ √3(x−5)−30 = √3 解得：x= 15+30√32， 答：建筑物BC 的高为 15+30√32m ．2. 解：如图，∵CE//DB ，∴∠CAD =∠ACE =45∘, ∠CBD =∠BCE =30∘ 在 RtΔACD 中， ∵∠CAD =45∘,∴AD =CD =1200 米， 在 RtΔDCB 中， ∵tan ∠CBD =CDBD , ∴BD =CDtan ∠CBD =√33=1200√3 （米）∴AB =BD −AD =1200√3−1200 =1200(√3−1) 米 故这条江的宽度 AB 长为 1200(√3−1) 米. 3. 解：由题意得：∠ACB ＝∠BFD ＝90°，EF ＝BC ， 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，cos α＝ BCAB ， ∴BC ＝AB •cos75°＝80×0.259＝207.2. ∴EF ＝BC ＝207.2，在Rt △BDF 中，∠BFD ＝90°，sin β＝ DF BD ， ∴DF ＝BD •sin45°＝800× √22 ＝400×1.414＝565.6.∴DE ＝DF+EF ＝565.6+207.2＝772.8≈773（米）. ∴山高DE 约为773米.4. 解：分别过点D，P向水平线作垂线，与过点Q的水平线分别交于点N，M，DN与PA交于点H，如解图所示，则四边形PMNH是矩形.∴PM＝HN，PH＝MN.由题意可知∠DPA＝45°，∠DQN＝45°－5°＝40°.在Rt△DHP中，∵∠DPA＝45°，∴DH＝PH.设该瓷碗建筑物的高度DH为x，则PH＝DH＝MN＝x.在Rt△PQM中，∵tan ∠PQM＝PMQM＝0.44，QM＝20，∴PM＝0.44QM＝0.44×20＝8.8，∴DN＝DH＋HN＝x＋8.8，QN＝QM＋MN＝x＋20.在Rt△DQN中，tan ∠DQN＝DNQN，∴x+8.8x+20≈0.84，解得x≈50.答：该瓷碗建筑物的高度约为50米．5. 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin A=BCAB .∴BC=AB×sin A=152×sin31°=152×0.52=79.04 . BD=BC+CD=79.04+7.9=86.94≈86.9（米）答：主塔BD的高约为86.9米6. 解：由题意可知CE⊥AE，又∵∠CBE= 45°，∴CE=BE，设塔高CD高为x，∴CE=BE=x+37.69，又∵AB=20，∴AE=57.69+x，在直角三角形AED中tan∠A=DEAE，即37.69x+57.69=0.36，解得x=47米，答：塔高为47米.7. 解：作BF⊥AE于点F.则BF＝DE.在直角△ABF中，sin∠BAF＝BFAB ，则BF＝AB•sin∠BAF＝10×12＝5（m）.在直角△CDB中，tan∠CBD＝CDBD，则CD＝BD•tan65°＝10×2.14=21.4（m）. 则CE＝DE+CD＝BF+CD＝5+21.4≈26（m）.答：大楼CE的高度是26m.8. 解：如图，作AM⊥CD于M，作BF⊥AM于F，EH⊥AM于H.∵∠ABF=45°，∠AFB=90°，∴AF=BF，设AF=BF=x，则CM=BF=x，DM=HE=40-x，AH=x+30-1.5=x+28.5，在Rt△AHE中，tan67°= AHHE，∴125=x+28.540−x，解得x≈19.9 m.∴AM=19.9+30=49.9 m.∴风筝距地面的高度49.9 m.9. 解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N.由题意可知：MN=0.3，当CN=0.9时，CM=0.6.≈0.94，BC≈0.638，CE=BC-BE=0.638- 0.4=0.238 ≈RtΔBCM中，∠ABE=70°，sin∠ABE=sin70°= CMCB0.24（m）=24（cm）.答：CE的长为24cm.10.解：过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F.在△ACE中，AC＝40m，∠CAE＝30°∴CE＝FN＝20m，AE＝20 √3 m设MN＝x m，则AN＝xm.FC＝√3 xm，在RT△MFC中MF＝MN－FN＝MN－CE＝x－20FC＝NE＝NA＋AE＝x＋20 √3∵∠MCF＝30°∴FC＝√3 MF，即x＋20 √3＝√3 ( x－20)解得：x＝√3√3−1＝60＋20 √3≈95m答：电视塔MN的高度约为95m.11. 解：过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G.=15在Rt ΔBCF中，∠CBF=30°,∴CF=BC⋅sin30°,=30×12=20√3在Rt ΔABG中，∠BAG=60°，∴BG=AB⋅sin60°,=40×√32∴CE=CF+FD+DE=15+20√3+2=17+20√3≈51.64≈51.6cm 答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少51.6cm.12. 解：设CD=x，∵∠EDC=60°，∴CE= √3 x，∴AC=AE+CE=90+ √3 x，BC=CD+BD=300+x，∵tan26°= AC，BC，∴0.5= 90+√3x300+x解得：x≈48.70，∴AH=BG+AC=1.8+90+ √3×48.70≈176.1513. 解：如图，过点B作BC⊥AD与点C，在Rt△ABC中，∠ABC=36∘，DE=BC=20m，则AC=tan36∘⋅BC≈0.727×20=14.54(m)，而EB=DC=1m，∴AD=AC+CD=14.54+1≈15.5(m)，答：新楼房最高可建15.5米．14. 解：由题意可得：OE＝OD，在Rt△OEC中，∠BOE＝60°，∠OCE＝90°，OE，∴OC＝12在Rt△OBD中，∠DOB＝45°，∠OBD＝90°，∴OB＝√220D=√22OE，∵BC＝OB﹣OC，即√220E−120E=30，解得：OE＝60 (√2+1)，∴EC＝√3×30(√2+1)=30√6+30√3≈30×2.449+30×1.732≈125.4cm.15. 解：设NC=x，则BN=CN+CB=x+149在Rt△ANB中，∠ABN=10°，∴AN=BN·tan∠ABN=BN·tan10°=950(x+149)在Rt△ANC中，∠ACN=14°，∴AN=CN·tan∠ACN=CN·tan14°=14x∴950(x+149)=14x解之：x=4∴AN=14××4=1答：该夜行灯距离地面的高度AN的长为1m。

中考复习——锐角三角函数的实际应用1、在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距 km 的C 处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由．2、如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24， ≈2.45)3、如图所示，一幢楼房AB 背后有一台阶CD ，台阶每层高2.0米，且AC =2.17米，设太阳光线与水平地面的夹角为α.当︒=60α时，测得楼房在地面上的影长AE =10米，现有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳.（ 取73.1）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当︒=45α时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由.第25题图DBAC东l4,图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE 为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）5.如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）6.如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．(1)山坡坡角（即∠ABC）的度数等于▲度；(2)求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．7.如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.41，≈1.73）8、如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的高度．（参考数据：≈1.4，≈1.7，结果保留整数．）9、如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．10、如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为m（结果不作近似计算）．11、如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高．（精确到0.1米，≈1.73）12．如图，小莉的家在锦江河畔的电梯公寓AD内，她家的河对岸新建了一座大厦BC，为了测量大厦的高度，小莉在她家的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为60°，爬上楼顶D处测得大厦顶部B的仰角为30°，已知电梯公寓高82米，请你帮助小莉计算出大厦的高度BC及大厦与电梯公寓间的距离AC．13．如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD 为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）14．某学校为增加体育馆观众坐席数量，决定对体育馆进行施工改造．如图，为体育馆改造的截面示意图．已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC长度为15米，原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°，原坡脚B与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米．如果按照施工方提供的设计方案施工，新座位区最高点E到地面的铅直高度EG长度保持15米不变，使A、E两点间距离为2米，使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG为37°．若学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢？请说明理由．（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34）15．如图，贵阳市某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后．选定测量小河对岸一幢建筑物BC 的高度．他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶的仰角为30°．且D离地面的高度DE=5m．坡底EA=10m，然后在A处测得建筑物顶B的仰角是50°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果保留整数）16．小明在数学课中学习了《解直角三角形》的内容后，双休日组织教学兴趣小组的小伙伴进行实地测量．如图，他们在坡度是i=1：2.5的斜坡DE的D处，测得楼顶的移动通讯基站铁塔的顶部A和楼顶B的仰角分别是60°、45°，斜坡高EF=2米，CE=13米，CH=2米．大家根据所学知识很快计算出了铁塔高AM．亲爱的同学们，相信你也能计算出铁塔AM的高度！请你写出解答过程．（数据≈1.41，≈1.73供选用，结果保留整数）17．随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．18．为给人们的生活带来方便，2017年兴化市准备在部分城区实施公共自行车免费服务．图1是公共自行车的实物图，图2是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD＝35cm，DF＝24cm，AF＝30cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15cm，且∠EAB＝75°．(1)求AD的长；(2)求点E到AB的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）图1 图219．如图2，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平时如图1，小桌板的边沿O点与收起时桌面顶端A点的距离OA=75厘米，此时CB⊥AO，∠AOB=∠ACB=37°，且支架长OB与支架长BC的长度之和等于OA的长度．（1）求∠CBO的度数；（2）求小桌板桌面的宽度BC．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）20．如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为31°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米，OA=300米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内．求：（1）P到OC的距离．（2）山坡的坡度tanα．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin31°≈0.52，tan31°≈0.60）21．（2017湖南常德第24题）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.414，≈1.732）22．如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯。

三角函数中考数学题1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，F 是AD 延长线上一点，连接CD ，CF ，且CF 是⊙O 的切线．(1)求证：∠DCF ＝∠CAD ；(2)sin B 45＝，AD ＝10，求FD 的长．2．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点（与点A ，B 不重合），过点C 作直线PQ ，使得∠ACQ ＝∠ABC ．(1)求证：直线PQ 是O 的切线．(2)过点A 作AD ⊥PQ 于点D ，交O 于点E ，若O 的半径为4，1sin 2DAC ∠=，求图中阴影部分的面积．3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点F 在弧BC 上，AF 与CD 交于点G ，点H 在DC 的延长线上，且HG =HF ，延长HF 交AB 的延长线于点M ．(1)求证：HF是⊙O的切线；(2)若4sin5M ，BM=1，求AF的长．4．已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，BD平分∠ABC交⊙O于D，交AC于F．(1)求证：OD∥BC．(2)延长AC到点P，使PB与⊙O相切，求证：PF=PB．(3)如果AB=20，sin∠BAC=35，求AD．5．如图， ABC内接于⊙O，AB=AC，sin∠BAC=35，BC=6，连接BO并延长交AC于点D．(1)求⊙O 的半径；(2)求OD 的长．6．如图，AB ＝AC ，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，连接DE 、CD 交⊙O 于G ，连接EG 并延长交BC 于H ．(1)求证：DE ∥BC(2)连接AG ，若EH ⊥BC 求sin DAG ∠的值；7．如图，O 上有A ，B ，C 三点，AC 是直径，点D 是 AB 的中点，连接CD 交AB 于点E ，点F 在AB 延长线上且FC FE =．(1)求证：CF 是O 的切线；(2)若6BF =，4sin 5F =，求O 的半径．8．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ．(1)求证：AC 平分DAB ∠；(2)若4cos 5CAD ∠=，5AB =，求CD 的长．9．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，BF 平分∠ABC 交CD 于点F ，AB ＝6，过B 、F 两点的⊙O 交BA 于点G ，交BC 于点E ，EB 恰为⊙O 的直径．(1)判断CD 和⊙O 的位置关系并说明理由；(2)若1cos 3A ∠=，求⊙O 的半径．10．如图，AC 是⊙O 直径，D 是 AB 的中点，连接CD 交AB 于点E ，点F 在AB 延长线上且FC =FE ．(1)求证：CF 是⊙O 的切线；(2)若BF =2cos3F =，求⊙O 的半径．11．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．(1)求证：∠ADC ＝∠AOF ；(2)若cos ∠DCB ＝45，BD ＝24，求EF 的长．12．如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，点D 为 AC 的中点，O 的切线DE 交OC 延长线于点E ．(1)求证：DE ；(2)连接BD 交AC 于点P ，若8AC =，4cos 5A =，求DE 和BP 的长．13．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，DE ⊥AC ，垂足为E(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)若BC ＝6，⊙O 的直径为5，求DE 的长及cos C 的值．14．如图，△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 的中点，∠ACB 的平分线交AD 于点E ，以AC 上一点O 为圆心的圆经过C 、E 两点，⊙O 与AC 的另一个交点为F ．(1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若BC =8，cos ∠BCE =63，求⊙O 的半径长．15．如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于D ，过D 点作O 的切线DE 交AC 于E ．(1)求证：DE AC ⊥；(2)若10AB =，3cos 5ABC ∠=，求DE 的长；(3)在（2）的条件下,若P 为线段BD 上一动点，过P 点作BC 的垂线交AB 于N ，交CA 的延长线于M ，求证：PN PM +是定值，并求出定值是多少？16．如图，点C 是以AB 为直径的半圆O 上一动点，作半径OA 的垂直平分线交OA 于点F ，交AC 于点E ，交切线CD 于点D ．(1)判断CDE △的形状，并说明理由；(2)若O 的半径是2，1cos 4B =，求CE 的长．17．如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，ABC ∠的平分线与AC 相交于点D ，交 AC 于点F ，且经过圆外一点E ，连EA ，测得EA AD =．(1)求证：EA 是O 的切线．(2)若2cos 3E =，2BD =，求O 的半径．18．如图，点P 是O 外一点，点C 是O 上一点，连接PC ，交O 于点B ，PA 与O 相切于点A ，连接OB ，AC ，OBC P ∠=∠．(1)求证：45BCA P ∠+∠=︒；(2)已知5tan 12OBC ∠=，7PA =，求O 的半径．19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作MN ⊥AC ，垂足为M ，交AB 的延长线于点N ，过点B 作BG ⊥MN ，垂足为G ，连接CM ．(1)求证：直线MN 是⊙O 的切线；(2)求证：BD 2＝AC •BG ；(3)若BN ＝OB ，⊙O 的半径为1，求tan ∠ANC 的值．20．如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆上，AC ，BD 相交于点P ，点E 在BD 上，CE ⊥CD ，AC =2BC ．(1)求证：△ACD∽△BCE；(2)若P是AC中点，求tan∠ACD的值；(3)求证：2DB=DA+5。

中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 特殊角的三角函数值【命题规律】1.考查内容：主要考查 30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式：①三类特殊角的三角函数值识记；②与非负性结合，通过三角函数值求角度；③正弦余弦、正切余切之间的相互转化，判断关系式是否成立；④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分)．【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大，而单独考查也会出现．1. sin 60°的值等于( ) A . 12B .22 C . 32D . 3 1. C2. 下列式子错误．．的是( ) A . cos 40°＝sin 50° B . tan 15°·tan 75°＝1 C . sin 225°＋cos 225°＝1 D . sin 60°＝2sin 30°2. D 【解析】逐项分析如下：选项 逐项分析正误 A cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50° √ B tan15°·tan75°＝1tan75°×tan75°＝1√ C sin 2A ＋cos 2A ＝1√ D∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴sin60°≠2sin30° ×3. 已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________．3. 75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sin α－12|＝0，（tan β－1）2＝0，则sin α ＝12，tan β ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°. 命题点2 直角三角形的边角关系【命题规律】1.考查内容：在直角三角形中，三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式：已知一边及某锐角的三角函数值，求其他量，或结合直角坐标系求锐角三角函数值．【命题预测】直角三角形的边角关系是解直角三角形实际应用问题的基础，值得关注．4. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( ) A . 34B . 43C . 35D . 454. D 【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( )A . 6 cmB . 7 cmC . 8 cmD . 9 cm5. C 【解析】∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4a ，则AB ＝5a ，AC ＝（5a ）2－（4a ）2＝3a ，∴3a ＝6，即a ＝2，故BC ＝4a ＝8 cm.6. 已知：如图，在锐角△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AD ⊥BC 于D. 在Rt △ABD 中，sin ∠B ＝ADc ，则AD ＝c sin ∠B ；在Rt △ACD 中，sin ∠C ＝________，则AD ＝________． 所以c sin ∠B ＝b sin ∠C ，即bsin B ＝csin C ， 进一步即得正弦定理：asin A ＝b sin B ＝c sin C.(此定理适合任意锐角三角形) 参照利用正弦定理解答下题：在△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝2，求AB 的长．6. 解：∵sin C ＝AD AC ＝ADb ，∴AD ＝b sin C ，由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin C ，∵∠B ＝75°， ∠C ＝45°， ∴∠A ＝60°， ∴2sin 60°＝ABsin 45°，∴AB ＝2×22÷32＝263.命题点3 锐角三角函数的实际应用【命题规律】1.考查内容：主要考查利用几何建模思想，将实际问题抽象为几何中的直角三角形的有关问题，并根据直角三角形的边角关系解决实际问题.2.考查形式：①仰角、俯角问题；②方位角问题；③坡度、坡角问题；④测量问题等．【命题预测】锐角三角函数的实际应用是将实际问题转化为几何问题并加以解决的数学建模题型，是全国命题的趋势．7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A .11－sin α B . 11＋sin α C . 11－cos α D . 11＋cos α7. A 【解析】在Rt △PCB ′中，sin α＝PCPB ′，∴PC ＝PB ′·sin α，又∵B ′D ＝AC ＝1，则PB ′·sin α＋1＝P A ，而PB ′＝P A ，∴P A ＝11－sin α.8. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)．8. 14.1 【解析】如解图 ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，∴∠CBE ＝20°，在Rt △CBE 中，BE ＝BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940＝14.1(cm)．第8题图 第9题图 第10题图9. 如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)9. 11 【解析】∵∠A ＝30°，∴PM ＝12PA ＝9海里．∵∠B ＝55°， sin B ＝PM PB ，∴0.8＝9PB ，∴PB ≈11海里．10. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为__________m ．(结果保留根号)10. 103＋1 【解析】如解图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE ＝CD ＝10 m ，在Rt △AEB 中，BE ＝AE·tan 60°＝10×3＝10 3 m ，∴BC ＝BE ＋EC ＝BE ＋AD ＝(103＋1)m . 11. 如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°(点B 、C 、E 在同一水平直线上)，已知AB ＝80 m ，DE ＝10 m ，求障碍物B 、C 两点间的距离．(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)11. 解：如解图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，则四边形FBED 为矩形，∴FD ＝BE ，BF ＝DE ＝10，FD ∥BE ，由题意得：∠FDC ＝30°，∠ADF ＝45°，∵FD ∥BE ， ∴∠DCE ＝∠FDC ＝30°， 在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，DE ＝10，∠DCE ＝30°， ∵tan ∠DCE ＝DE CE ，∴CE ＝10tan 30°＝103，在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠ADF ＝∠FAD ＝45°， ∴FD ＝AF ，又∵AB ＝80，BF ＝10，∴FD ＝AF ＝AB －BF ＝80－10＝70，∴BC ＝BE －CE ＝FD －CE ＝70－103≈52.7(m )． 答：障碍物B 、C 两点间的距离约为52.7 m ．12.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α；(2)天桥底部的正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．12. 解：(1)∵新坡面AC 的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33， ∴α＝30°.答：新坡面的坡角α的度数为30°.(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除． 理由如下：如解图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ， ∵坡面BC 的坡度为1∶1， ∴BD ＝CD ＝6米，∵新坡面AC 的坡度为1∶3， ∴CD ∶AD ＝1∶3， ∴AD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM 不需拆除． 答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除．13.如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为 60 m ，随后无人机从A 处继续水平飞行30 3 m 到达A′处． (1)求A ，B 之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值．13. 解：(1)如解图，过点D 作DE ⊥AA′于点E ，由题意得，AA ′∥BC ，∴∠B ＝∠FAB ＝30°， 又∵AC ＝60 m ，在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ，即12＝60AB，∴AB ＝120 m .答：A ，B 之间的距离为120 m ．(2)如解图，连接A′D ，作A′E ⊥BC 交BC 延长线于E ， ∵AA ′∥BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠A ′AC ＝90°，∴四边形AA′EC 为矩形， ∴A ′E ＝AC ＝60 m ， 又∵∠ADC ＝∠FAD ＝60°， 在Rt △ADC 中，tan ∠ADC ＝AC CD ，即5＝60CD，∴CD ＝20 3 m ，∴DE ＝DC ＋CE ＝AA′＋DC ＝303＋203＝50 3 m ， ∴tan ∠AA ′D ＝tan ∠A ′DE ＝A′E DE ＝60503＝235，答：从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值为235.中考冲刺集训一、选择题1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A . 斜坡AB 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10°C . AC ＝1.2tan 10° 米D . AB ＝ 1.2cos 10°米第1题图 第2题图 第3题图2.如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A . (sin α，sin α)B . (cos α，cos α)C . (cos α，sin α)D . (sin α，cos α)3.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( )A . 4sin θ 米2B . 4cos θ 米2C . (4＋4tan θ) 米2 D . (4＋4tan θ) 米24.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( )A . 12B . 1C . 3D . 2第4题图 第5题图 第6题图5.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A . 30.6B . 32.1C . 37.9D . 39.46. 如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( )A . 60°B . 45°C . 15°D . 90°二、填空题7. 如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是________．第7题图 第8题图 第9题图8. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73) 9. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)三、解答题10. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号．．．．．．)(2)求旗杆CD的高度．11. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．12. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan α tan β利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－1×33＝2＋ 3 根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题： (1)计算sin 15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C 处，在D 点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC 为 3 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．答案与解析：1. B第2题解图2. C 【解析】如解图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，则在Rt △OPC 中，OC ＝OP ·cos ∠POB ＝1×cos α＝cos α，PC ＝OP ·sin ∠POB ＝1×sin α＝sin α，即点P 的坐标为(cos α，sin α)．3. D 【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC ＝θ，CA ＝4米，∴BC ＝CA ·tan θ＝4tan θ.地毯长为(4＋4tan θ)米，宽为1米，其面积为(4＋4tan θ)×1＝(4＋4tan θ)米2.4. D 【解析】如解图，将AB 平移到PE 位置，连接QE, 则PQ ＝210，PE ＝22，QE ＝42，∵△PEQ 中，PE 2＋QE 2＝PQ 2，则∠PEQ ＝90°，∴tan ∠QMB ＝tan ∠P ＝QEPE＝2.第4题解图第5题解图5. D 【解析】如解图，设AB 与DC 的延长线交于点G ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，过点B 作BH ⊥ED 于点H ，则可得四边形GDEF 为矩形．在Rt △BCG 中，∵BC ＝12，i BC ＝BG CG ＝33，∴∠BCG ＝30°，∴BG ＝6，CG ＝63，∴BF ＝FG －BG ＝DE －BG ＝15－6＝9，∵∠AEF ＝α＝45°，∴AF ＝EF ＝DG ＝CG ＋CD ＝63＋20，∴AB ＝BF ＋AF ＝9＋20＋63≈39.4(米)．6. C 【解析】∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ′＝45°，∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.第7题解图7. 92【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限，∴OB ＝3，AB ＝t ，在11 Rt △ABO 中，tan α＝AB OB ＝t 3＝32，解得t ＝92. 8. 2.9 【解析】在Rt △AMD 中，DM ＝tan ∠DAM ×AM ＝tan 45°×4＝4米，在Rt △BMC 中，CM ＝tan ∠MBC ×BM ＝tan 30°×12＝4 3 米，故CD ＝CM －DM ＝43－4≈2.9米．9. 208 【解析】在Rt △ABD 中，BD ＝AD·tan ∠BAD ＝90×tan 30°＝303，在Rt △ACD 中，CD ＝AD·tan ∠CAD ＝90×tan 60°＝903，BC ＝BD ＋CD ＝303＋903＝1203≈208(米)．10. 解：(1)∵在教学楼B 点处观测旗杆底端D 处的俯角是30°，∴∠ADB ＝30°，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠ADB ＝30°，AB ＝4(米)，∴AD ＝AB tan ∠ADB ＝4tan 30°＝43(米)． 答：教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米．(也可先求∠ABD ＝60°，利用tan 60°去计算得到结论)(2)∵在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝60°，AD ＝4 3 米，∴CD ＝AD·tan 60°＝43×3＝12(米)．答：旗杆CD 的高度是12米．11. 解：∵tan ∠OBC ＝tan 30°＝OC BC ＝33， ∴OC ＝33BC ， ∵sin ∠OAC ＝sin 75°＝OC OA≈0.97， ∴33BC 40≈0.97， ∴BC ≈67.1(cm )．12. 解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝22×32－22×12 ＝6－24. (2)在Rt △BDE 中，∠BDE ＝75°，DE ＝CA ＝7，tan ∠BDE ＝BE DE ，即tan 75°＝BE 7＝2＋3， ∴ BE ＝14＋73，又∵AE ＝DC ＝3，∴AB ＝BE ＋AE ＝14＋73＋3＝14＋83(米)，答：纪念碑的高度是(14＋83)米．。

【文库独家】解直角三角形（三角函数应用）1、（绵阳市）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60º，又从A 点测得D 点的俯角β为30º，若旗杆底点G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为（ A ）A ．20米B ．米C ．米D ．米［解析］GE//AB//CD ，BC=2GC ，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB•cot ∠ACB=30×cot60º=10 3 米，DF=AF •tan30º=10 3 ×33=10米，CD=AB-DF=30-10=20米。

2、（杭州）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（ ）A ．B ．C ．D ．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：在直角三角形ABC 中，由AB 与sinA 的值，求出BC 的长，根据勾股定理求出AC 的长，根据面积法求出CD 的长，即为斜边上的高．解答：解：根据题意画出图形，如图所示，在Rt△ABC 中，AB=4，sinA=，∴BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC==3.2，∵S △ABC =AC•BC=AB•CD， ∴CD==． 故选B点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．3、（•绥化）如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D ，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC 的长．∴AD=AD=4．+44、（•鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．∴OP=5、（安顺）在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，则△ABC的面积为．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：根据tanA的值及BC的长度可求出AC的长度，然后利用三角形的面积公式进行计算即可．解答：解：∵tanA==，∴AC=6，∴△ABC的面积为×6×8=24．故答案为：24．点评：本题考查解直角三角形的知识，比较简单，关键是掌握在直角三角形中正切的表示形式，从而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积．6、（11-4解直角三角形的实际应用·东营中考）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60︒，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30︒，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为米.15. 9.解析：过B 作BE ⊥CD 于点E ，设旗杆AB 的高度为x ，在Rt ABC ∆中，tan AB ACB AC ∠=，所以tan tan 60AB x AC x ACB ====∠︒，在Rt BDE ∆中，BE AC x ==，60BOE ∠=︒，tan BE BDE DE ∠=，所以1tan 3BE DE x BDE===∠，因为CE=AB=x ，所以163DC CE DE x x =-=-=，所以x=9，故旗杆的高度为9米. 7、（•常德）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC 的长；（2）求tan∠DAE 的值．BD=2sinB=，∴AB==3∴BD==2∴BC=BD+DC=2∴CE=BC=+，CD=﹣∴tan∠DAE==﹣8、（13年山东青岛、20）如图，马路的两边CF 、DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A 、B 两点分别表示车站和超市。

三角函数中考题目集锦一．选择题（共11小题）1．（2012•宜昌）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（）A．24米B．20米C．16米D．12米2．（2012•孝感）如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D 点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（）D．米A．50米B．100米C．米3．（2012•襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（）A．（4+1.6）m B．（12+1.6）m C．（4+1.6）m D．4m 4．（2012•深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A．（6+）米B．12米C．（4﹣2）米D．10米5．（2012•黔西南州）兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为（）A．B．C．D．6．（2012•广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100m B．100m C．150m D．50m 7．（2012•德州）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组F8．（2011•孝感）如图，某航天飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若∠QAP=α，地球半径为R，则航天飞机距地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是（）A．B．C．D．9．（2011•绵阳）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）（）A．36.21米B．37.71米C．40.98米D．42.48米10．（2010•温州）如图，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于（）A．B．C．D．11．（2010•通化）如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）A．5m B．m C．m D．m二．填空题（共10小题）12．（2012•株洲）数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是_________米．13．（2012•南京）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm．若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为_________cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）14．（2012•大连）如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9cm的D处．若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为_________m．（精确到0.1m）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．15．（2011•义乌市）如图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是_________ m．16．（2011•衢州）在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距_________m．17．（2011•潼南县）如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30°，∠ACD=60°，则直径AD=_________米．（结果精确到1米）（参考数据：，）18．（2011•南通）如图，为了测量河宽AB（假设河的两岸平行），测得∠ACB=30°，∠ADB=60°，CD=60m，则河宽AB为_________m（结果保留根号）．19．（2010•义乌市）课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是_________米．（结果保留3个有效数字，≈1.732）20．（2010•宁波）如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角∠ABC为15°，则引桥的水平距离BC的长是_________米（精确到0.1米）．21．（2010•佛山）如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是_________米．（假设夏至正午时的阳光与地平面的夹角是60°）三．解答题（共9小题）22．（2012•遵义）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，精确到个位）23．（2012•珠海）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°．求C处到树干DO的距离CO．（结果精确到1米）（参考数据：）24．（2012•漳州）极具特色的“八卦楼”（又称“威镇阁”）是漳州的标志性建筑，它建立在一座平台上．为了测量“八卦楼”的高度AB，小华在D处用高1.1米的测角仪CD，测得楼的顶端A的仰角为22°；再向前走63米到达F处，又测得楼的顶端A的仰角为39°（如图是他设计的平面示意图）．已知平台的高度BH约为13米，请你求出“八卦楼”的高度约多少米？（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin39°≈，tan39°≈）25．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，，60千米/小时≈16.7米/秒）26．（2012•扬州）如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73）27．（2012•盐城）如图所示，当小华站立在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°．若小华向后退0.5米到B处，这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为30°．求小华的眼睛到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73）28．（2012•梧州）如图，某校为搞好新校区的绿化，需要移植树木．该校九年级数学兴趣小组对某棵树木进行测量，此树木在移植时需要留出根部（即CD）1.3米．他们在距离树木5米的E点观测（即CE=5米），测量仪的高度EF=1.2米，测得树顶A的仰角∠BFA=40°，求此树的整体高度AD．（精确到0.1米）（参考数据：sin40°=0.6428，cos40°=0.7660，tan40°=0.8391）29．如图，一个氢气球升在广场上空，已知氢气球的直径为4m，在地面上点A测得气球中心的仰角∠OAD=60°，测得气球的视角（两条视线AB，AC的夹角）∠BAC=60°，AC与圆相切于C，且OC⊥AC，则气球中心O离地面的高度OD为多少米？（≈1.73）30．如图，在某海域内有三个港口A、D、C．港口C在港口A北偏东60°方向上，港口D在港口A北偏西60°方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30°的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处，测得港口C在B 处的南偏东75°方向上，此时发现船舱漏水，应立即向最近的港口停靠．（1）试判断此时哪个港口离B处最近，说明理由，并求出最近距离．（2）若海水以每小时48吨的速度渗入船内，当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？2013年1月zhjh的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2012•宜昌）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（）A．24米B．20米C．16米D．12米考点：解直角三角形的应用．专题：探究型．分析：直接根据锐角三角函数的定义可知，AB=BC•tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入进行计算即可．解答：解：∵AB⊥BC，BC=24米，∠ACB=27°，∴AB=BC•tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入得，AB≈24×0.51≈12米．故选D．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．2．（2012•孝感）如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D 点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（）A．50米B．100米C．D．米米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设AB=x（米），再利用CD=BC﹣BD=100的关系，进而可解即可求出答案．解答：解：在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB．在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴=tan30°=，∴BC=AB．设AB=x（米），∵CD=100，∴BC=x+100．∴x+100=x∴x=米．故选D．点评：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．3．（2012•襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（）A．（4+1.6）m B．（12+1.6）m C．（4+1.6）m D．4m考点：解直角三角形的应用．分析：根据已知得出AK=BD=12m，再利用tan30°==，进而得出CD的长．解答：解：∵BD=12米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°，∴DB=AK，AB=KD=1.6米，∠CAK=30°，∴tan30°==，解得CK=4（米），即CD=CK+DK=4+1.6=（4+1.6）米．故选：A．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意得出tan30°==解答是解答此题的关键．4．（2012•深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A．（6+）米B．12米C．（4﹣2）米D．10米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；相似三角形的性质．分析：延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．解答：解：延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，∴CE=2，EF=4cos30°=2（米），在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2（米），∴DE=4（米），∴BD=BF+EF+ED=12+2（米）在Rt△ABD中，AB=BD=（12+2）=（+6）（米）．故选：A．点评：本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．5．（2012•黔西南州）兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为（）A．B．C．D．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上2m即为这幢教学楼的高度AB．解答：解：在Rt△AFG中，tan∠AFG=，∴FG==，在Rt△ACG中，tan∠ACG=，∴CG==AG．又∵CG﹣FG=30，即AG﹣=30，∴AG=15，∴AB=15+2．答：这幢教学楼的高度AB为（15+2）m．故选D．点评：考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．6．（2012•广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100m B．100m C．150m D．50m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：根据题意可得=，把BC=50m，代入即可算出AC的长，再利用勾股定理算出AB的长即可．解答：解：∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1，∴=，∵BC=50m，∴AC=50m，∴AB==100m，故选：A．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．7．（2012•德州）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组F考点：相似三角形的应用；解直角三角形的应用．分析：根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性质，根据=即可解答．解答：解：此题比较综合，要多方面考虑，①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；③，因为△ABD∽△EFD可利用=，求出AB；④无法求出A，B间距离．故共有3组可以求出A，B间距离．故选C．点评：本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．8．（2011•孝感）如图，某航天飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若∠QAP=α，地球半径为R，则航天飞机距地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是（）A．B．C．D．考点：解直角三角形的应用；切线的性质；弧长的计算．分析：由题意，连接OQ，则OQ垂直于AQ，在直角三角形OQA中，利用三角函数解得．解答：解：由题意，从A处观测到地球上的最远点Q，∴AQ是⊙O的切线，切点为Q，连接OQ，则OQ垂直于AQ，如图则在直角△OAQ中有，即AP=．在直角△OAQ中则∠O为：90°﹣α，由弧长公式得PQ为．故选B．点评：本题考查了直角三角形的应用，由题意在直角三角形OAQ中，利用三角函数从而解得．9．（2011•绵阳）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）（）A．36.21米B．37.71米C．40.98米D．42.48米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：由已知设塔高为x米，则由已知可得到如下关系，=tan30°，从而求出塔高．解答：解：已知小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°，A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，所以设塔高为x米则得：=tan30°=，解得：x≈42.48，故选：D．点评：此题考查的是解直角三角形的应用，关键是由已知得等腰直角三角形，根据直角三角函数列出方程求解．10．（2010•温州）如图，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于（）A．B．C．D．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：在由自动扶梯构成的直角三角形中，已知了坡面l和铅直高度h的长，可用勾股定理求出坡面的水平宽度，进而求出θ的正切值．解答：解：如图；在Rt△ABC中，AC=l=10米，BC=h=6米；根据勾股定理，得：AB==8米；∴tanθ==；故选A．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及勾股定理、三角函数的运用能力．11．（2010•通化）如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）A．5m B．m C．m D．m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．解答：解：∵AB=10米，tanA==．∴设BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2，∴AC=4，BC=2米．故选B．点评：此题主要考查学生对坡度、坡角的掌握情况．二．填空题（共10小题）12．（2012•株洲）数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：由根据题意得：AC=10米，∠ACB=60°，然后再在Rt△ABC中，利用正切函数，即可求得旗杆的高度．解答：解：如图，根据题意得：AC=10米，∠ACB=60°，∵∠A=90°，∴在Rt△ABC中，AB=AC•tan∠ACB=10×tan60°=10×=10（米）．故答案为：10．点评：本题考查仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．13．（2012•南京）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm．若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 2.7cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）考点：解直角三角形的应用．分析：过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．首先在等腰直角△BOD中，得到BD=OD=2cm，则CE=2cm，然后在直角△COE中，根据正切函数的定义即可求出OE的长度．解答：解：过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm，∴CE=BD=2cm．在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，∵tan37°=≈0.75，∴OE≈2.7cm．∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm．故答案为2.7．点评：本题考查了解直角三角形的应用，属于基础题型，难度中等，通过作辅助线得到CE=BD=2cm是解题的关键．14．（2012•大连）如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9cm的D处．若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为8.1m．（精确到0.1m）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：根据CE和tan36°可以求得AE的长度，根据AB=AE+EB即可求得AB的长度，即可解题．解答：解：如图，在Rt△ACE中，∴AE=CE•tan36°=BD•tan36°=9×tan36°≈6.57米，∴AB=AE+EB=AE+CD=6.57+1.5≈8.1（米）．故答案为：8.1．点评：本题考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中正确计算AE的值是解题的关键．15．（2011•义乌市）如图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是5m．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何综合题．分析：此题乘电梯从点B到点C上升的高度h，即为过点C到AB延长线的垂线段CE的长，则由已知求得CE的长．解答：解：过点C作AB的延长线的垂线CE，即乘电梯从点B到点C上升的高度h，已知∠ABC=135°，∴∠CBE=180°﹣∠ABC=45°，∴CE=BC•sin∠CBE=5•sin45°=5•=5．所以h=5，故答案为：5．点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是把实际问题转化为解直角三角形问题．16．（2011•衢州）在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距200m．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：首先把实际问题转化为直角三角形问题来解决，由已知可推出∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，再由三角形内角和定理得∠ACB=30°，从而求出B、C两地的距离．解答：解：由已知得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠ACB=∠BAC，∴BC=AB=200．故答案为：200．点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键是实际问题转化为直角三角形问题，此题还运用了三角形内角和定理．17．（2011•潼南县）如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径，在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30°，∠ACD=60°，则直径AD=260米．（结果精确到1米）（参考数据：，）考点：解直角三角形的应用．分析：根据假设CD=x，AC=2x，得出AD=x，再利用解直角三角形求出x的值，进而得出AD的长度．解答：解：∵∠ABD=30°，∠ACD=60°，∴假设CD=x，AC=2x，∴AD=x，tanB==，∴=，解得：x=150，∴AD=x=×150≈260米．故答案为：260米．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知假设出CD=x，AC=2x，从而表示出AD，进而利用解直角三角形的知识解决是解决问题的关键．18．（2011•南通）如图，为了测量河宽AB（假设河的两岸平行），测得∠ACB=30°，∠ADB=60°，CD=60m，则河宽AB为30m（结果保留根号）．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：先根据三角形外角的性质求出∠CAD的度数，判断出△ACD的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB的值．解答：解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，∴∠CAD=30°，∴AD=CD=60m，在Rt△ABD中，AB=AD•sin∠ADB=60×=30（m）．故答案为：30．点评：本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，难度适中．19．（2010•义乌市）课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是13.9米．（结果保留3个有效数字，≈1.732）考点：解直角三角形的应用．分析：在Rt△ABC中，已知了直角边BC的长以及∠ACB的度数，可根据∠ACB的正切函数求出AB的长．解答：解：Rt△ABC中，BC=24米，∠ACB=30°，∴AB=BC•tan30°=24×=8≈13.9（米）．点评：此题考查的是解直角三角形的应用，正确选择三角函数关系式是解答此类题的关键．20．（2010•宁波）如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角∠ABC为15°，则引桥的水平距离BC的长是11.1米（精确到0.1米）．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：在Rt△ABC中，已知了铅直高度AC的长以及坡角∠ABC的度数，即可求得水平宽度BC的长．解答：解：Rt△ABC中，∠ABC=15°，AC=3，∴BC=AC÷tan15°≈11.1（米）．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．21．（2010•佛山）如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是米．（假设夏至正午时的阳光与地平面的夹角是60°）考点：解直角三角形的应用．分析：当阳光正好射到D处时，阳光刚好不能射入窗户．则在直角△ABD中，已知AD=3米，∠ABD=60°，根据三角函数求解．解答：解：直角△ABD中，已知AD=3米，∠ABD=60°．∵tan∠ABD=，∴AB===（米）．点评：考查把实际问题转化为数学题的能力，正确理解正午时刻阳光刚好不能射入窗户的条件，是解决本题的关键．三．解答题（共9小题）22．（2012•遵义）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，精确到个位）考点：解直角三角形的应用．分析：首先过点C作CD⊥AB于D，然后在Rt△BCD中，利用三角函数的知识，求得BD，CD的长，继而在Rt△ACD 中，利用∠CAB的正切求得AD的长，继而求得答案．解答：解：过点C作CD⊥AB于D，∵BC=200m，∠CBA=30°，∴在Rt△BCD中，CD=BC=100m，BD=BC•cos30°=200×=100≈173（m），∵∠CAB=54°，在Rt△ACD中，AD=≈≈72（m），∴AB=AD+BD=173+72=245（m）．答：隧道AB的长为245m．点评：此题考查了解直角三角形的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意把实际问题转化为数学问题求解．23．（2012•珠海）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°．求C处到树干DO的距离CO．（结果精确到1米）（参考数据：）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：探究型．分析：设OC=x，在Rt△AOC中，由于∠ACO=45°，故OA=x，在Rt△BOC中，由于∠BCO=30°，故OB=OC•tan30°=x，再根据AB=OA﹣OB=2即可得出结论．解答：解：设OC=x，在Rt△AOC中，∵∠ACO=45°，∴OA=OC=x，在Rt△BOC中，∵∠BCO=30°，∴OB=OC•tan30°=x，∵AB=OA﹣OB=x﹣x=2，解得x=3+≈3+1.73=4.73≈5米，∴OC=5米．答：C处到树干DO的距离CO为5米．点评：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，先设出OC的长，利用锐角三角函数的定义及直角三。

初中数学三角函数计算及应用题
三角函数是初中数学中一个重要的概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

下面我将为你提供一些关于三角函数的计算和应用题。

1. 计算题
(1) 已知sin(30°) = 1/2，那么sin(150°) = _______。

(2) 若tan(45°) = 1，则cos(60°) = _______。

(3) 已知cos(60°) = 1/2，则sin(120°) = _______。

2. 应用题
(1) 一座塔的高度为 h 米，太阳光与水平面的夹角为α，则塔在太阳光下的影子长度为多少？
(2) 在直角三角形中，一个锐角为30°，其对边长为3，求这个直角三角形的斜边长。

(3) 一辆汽车以速度 v 向南行驶，遇到一个障碍物后向西行驶了45°，如果汽车行驶的距离为 d 米，那么它转向后行驶的距离是多少？。

2020中考数学 锐角三角函数在实际问题中的应用（含答案）1.如图，小军和小兵要去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60米的A 处用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪AD=1.5米，则塔CB 的高为多少米？参考答案:解：过A 作AE ∥DC 交BC 于点E 则AE=CD=60米，则∠AEB=90°，EC=AD=1.5 在Rt △ABE 中， 即tan 3060BE=∴60tan 3060BE === 所以，古塔高度为： 1.5CB BE EC =+=米2.如图，小强在家里的楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶点B 处的仰角为60°，看楼底点C 的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30米，则电梯楼的高BC 为多少米？参考答案:解：过A 作AD ∥地面，交BC 于D 则在Rt △ABD 中，tan 60BD AD ∠=，即tan 6030BD∠=，∴BD =在Rt △ACD 中，tan 45DC AD ∠=，即tan 6030DC ∠=，∴30DC = ∴楼高BC 为：30BD DC +=+AD BC3.小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°，35°。

已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100米，请求出热气球离地面的高度。

（结果保留整数，参考数据：7sin 3512≈，5cos356≈，7tan 3510≈）参考答案:解：过A 作AD ⊥BC 于点D则AD 即为热气球的高度，且∠1=∠2=45∴可设AD=BD=x 则CD=x+100 在Rt △ADC 中tan AD C DC =，即tan 35100xx =+得：7003x =即热气球的高度为7003AD =米 4.如图，某建筑物BC 顶部有一旗杆AB ，且点A ，B ，C 在同一直线上．小红在D 处观测旗杆顶部A 的仰角为47°，观测旗杆底部B 的仰角为42°．已知点D 到地面的距离DE 为1.56m ，EC=21m ，求旗杆AB 的高度和建筑物BC 的高度（结果保留小数点后一位，参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90）．参考答案:解：根据题意，DE=1.56,EC=21,∠ACE=90°,∠DEC=90°．过点D 作DF ⊥AC,垂足为F ．则∠DFC=90°,∠ADF=47°,∠BFD=42°．1.41≈ 1.73≈）参考答案:解：过C 作CD ⊥AB 于点D ， 则∠DBC=45°=∠BCD ∴可设BD=CD=x在Rt △ACD 中可得：tan DCDAC AD∠=即：tan 302x x =+得1 2.73x =≈即，点C 与探测面的 距离大约为2.73米。

2022中考考点必杀500题 专练12（三角函数类应用题）（30道）1．（2021·江西九年级其他模拟）图1是小辉家一款家用落地式取暖器，如图2是其竖直放置在水平地面上时的侧面示意图，其中矩形ABCD 是取暖器的主体，四边形BEFC 是底座．已知//BC EF ，30∠=∠=︒BEF CFE ，且BE CF =，烘干架连杆GH 可绕边CD 上一点H 旋转，以调节角度．已知52cm =CD ，8cm BC =，20cm EF =，12cm DH =，16cm =GH ．（1）求BE 的长；（精确到0.1cm 1.73≈）（2）当53GHD ∠=︒时，求点G 到地面EF 的距离．（精确到0.1cm ，参考数据：sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33︒≈）2．（2021·江西赣州市·九年级一模）图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B ，E ，D 均为可转动点．现测得14cm AB BE ED CD ====，经多次调试发现当点B ，E 所在直线垂直径过CD 的中点F 时（如图3所示）放置较平稳．（1）求平稳放置时灯座DC 与灯杆DE 的夹角的大小；（2）为保护视力，写字时眼睛离桌面的距离应保持在30cm ，为防止台灯刺眼，点A 离桌面的距离应不超过30cm ，求台灯平稳放置时ABE ∠的最大值．（结果精确到0.01︒ 1.732≈，sin16.070.2768︒≈，cos73.930.2768︒≈，tan15.470.2768︒≈）3．（2021·江西九年级一模）如图1是一款升降电脑桌，它的升降范围是0~40cm ，图2是它的示意图，已知//EF MN ，点A 、B 在MN 上滑动，点D 、C 在EF 上滑动，AC 、BD 相交于点O ，30cm OA OB OC OD ====．（结果精确到0.1）（1）已知电脑桌从O 开始升到如图2.当30OAB ∠=︒时，求这款电脑桌升高了多少cm ？ （2）当电脑桌从图2位置升到最大高度（如图3）时，求OAB ∠的大小及点A 滑动的距离．1.73≈，sin 42.10.67︒≈，sin 47.90.74︒≈，cos47.90.67︒≈）4．（2021·江西九年级二模）图1为台灯实物图，图2是其侧面示意图，台灯底座ABCD 是矩形，点E 在AB 上，,EF AB OP ⊥可绕着点O 旋转，且1cm,5cm,28cm,150AD EF OP OF OFE ====∠=︒．（结果保留根号）（1）当OP 与桌面平行时，求点P 到桌面的距离．（2）为了减少光线对眼睛的影响，小明旋转OP ，使得90O ∠=︒，求此时点P 到桌面的距离．5．（2021·江西九年级一模）如图1，这是一款升降电脑桌，它的升降范围在0～40cm ，图2是它的示意图．已知EF ∥MN ，点A ，B 在MN 上滑动，点D ，C 在EF 上滑动，AC ，BD 相交于点O ，OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝30cm ． （1）如图2，当∥OAB ＝30°时，求这款电脑桌当前的高度．（2）当电脑桌从图2位置升到最大高度（如图3）时，求∥OAB 的大小及点A 滑动的距离．（结果精确到0.1≈1.73，sin42.1°≈0.67，cos42.1°≈0.74，sin47.9°≈0.74，cos47.9°≈0.67）6．（2021·江西九年级其他模拟）某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB 被刮倾斜7°（∥BAB ′＝7°）后在C 处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D 处（如图），测得∥ADC ＝37°，AD ＝5米． （1）填空：∥ACD 的度数为 ．（2）求这棵大树AB 的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75≈1.73）7．（2021·江西赣州市·九年级一模）如今，不少人在购买家具时追求简约大气的风格，图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD 为镜面，EF 为放置物品的收纳架，,AB AC 为等长的支架，BC 为水平地面，已知4412040OA cm OD cm BD cm ===，，，75ABC ∠=︒．(结果精确到1cm ．参考数据：750.97750.2675 3.73 1.73sin cos tan ︒≈︒≈︒≈≈≈，，)（1）求支架顶点A 到地面BC 的距离．（2）如图3，将镜面顺时针旋转15,︒求此时收纳镜顶部端点O 到地面BC 的距离．8．（2021·江西吉安市·九年级一模）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接.图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN 安装在窗框上，托悬臂DE 安装在窗扇上，交点A 处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B ，C ，D 始终在一直线上，延长DE 交MN 于点F .已知20AC DE cm ==，10AE CD cm ==，40BD cm =.（1）窗扇完全打开，张角85CAB ∠=，求此时窗扇与窗框的夹角DFB ∠的度数. （2）窗扇部分打开，张角60CAB ∠=，求此时点A ，B 之间的距离（精确到0.1cm ）.1.732≈2.449≈）9．（2021·江西上饶市·九年级期末）如图1是一辆在平地上滑行的滑板车，如图2是其示意图．车杆BC 固定，车杆AB 可伸缩，车杆BC 长92cm ，车杆与脚踏板所成的角70BCD ∠=︒，前后轮子的半径均为6cm ．（1）求固定车杆BC 的上端B 离地面的高度（结果保留小数点后一位）（2）小明站在滑板车上，双手放在把手A 处最舒适，此时把手A 离地面的高度为120cm ，求伸缩杆AB 的长度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin 700.94,cos700.34,tan 70 2.75︒≈︒≈︒≈）10．（2021·江西吉安市·九年级期末）如图1是某公园的一个五角星标志，图2是它的示意图，已知A ，B ，D ，E 四点共线，A ，J ，H ，G 四点共线，C ，B ，J ，I 四点共线，C ，D ，F ，G 四点共线，E ，F ，H ，I 四点共线，且//CI MN ，36∠=∠=∠=∠=∠=︒A C DEF FGH I ，且五个角的两边（如=AB AJ ）都是1m 长，36∠=∠=︒FEG FGE ．（1）求BJ 的长；（2）求标志的高度，即点A 到地面MN 的距离．（参考数据：sin360.59,cos360.81,sin180.31,cos180.95︒≈︒≈︒≈︒≈，结果保留两位小数．）11．（2021·江西九年级专题练习）目前，各大城市都在积极推进公共自行车建设，努力为人们绿色出行带来方便．图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是自行车的车架示意图．30CE cm =，20DE cm =，25AD cm =，DE AC ⊥于点E ，座杆CF 的长为15cm ，点,,,A E C F 在同一直线上，且75CAB ∠=︒，公共自行车车轮的半径约为30cm ，且AB 与地面平行． （1）求车架中AE 的长；（2）求车座点F 到地面的距离．（结果精确到1cm ．参考数据：sin750.97︒≈，cos750.26︒≈，tan75 3.73︒≈）．12．（2021·江西抚州市·九年级期末）为倡导“绿色出行，低碳生活”的号召，今年春天，安庆市的街头出现了一道道绿色的风景线--“共享单车”. 图（1）所示的是一辆共享单车的实物图. 图（2）是这辆共享单车的部分几何示意图，其中车架档AC 长为40cm ，座杆CE 的长为18cm. 点A 、C 、E 在同一条直线上，且∥CAB =60°，∥ACB =75°（1）求车座点E 到车架档AB 的距离； （2）求车架档AB 的长．13．（2021·江西吉安市·九年级期末）如图1是一种折叠台灯，将其放置在水平桌面上，图2是其简化示意图，测得其灯臂AB 长为28,cm 灯翠BC 长为15cm ,底座AD 厚度为3,cm 根据使用习惯，灯臂AB 的倾斜角DAB ∠固定为60，(1)当BC 转动到与桌面平行时,求点C 到桌面的距离；(2)在使用过程中发现，当BC 转到至145ABC ∠=时，光线效果最好，求此时灯罩顶端C 到桌面的高度(参考数据250.4, 250.9, 250. 5sin cos tan ≈≈≈，结果精确到个位).14．（2020·江西省南丰县教育局教学研究室九年级一模）如图①所示的旅行箱的箱盖和箱底两部分的厚度相同，四边形ABCD 为形如矩形的旅行箱一侧的示意图，F 为AD 的中点，EF ∥CD ．现将放置在地面上的箱子打开，使箱盖的一端点D 靠在墙上，O 为墙角，图②为箱子打开后的示意图．箱子厚度30AD cm =，宽度50AB cm =．（1）图②中，EC =_________cm ，当点D 与点O 重合时，AO 的长为_________cm ； （2）若53CDO ∠=︒，求AO 的长（结果取整数值，参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈）15．（2020·江西新余市·九年级一模）如图是一种电脑桌，其实物图如图1所示，此电脑桌的桌面可调节，图2和图3是其可调节桌面的侧面示意图，在点C 处固定安装了一根长度一定的支撑臂CB ．点B 可在AD 上滑动，AC ＝25cm ．（其中（2），（3）两问结果保留小数点后一位）（1）在图2中，当BC ∥AC 时，测得∥BAC ＝45°，求支撑臂CB 的长； （2）在图3中，当BC 与AC 不垂直时，测得∥BAC ＝22°，求此时AB 的长； （3）从图2到图3过程中，求点C 在此运动过程中的路径长． （参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，π≈3.14）16．（2020·江西南昌市·九年级其他模拟）如图所示的是--款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图1所示，经测量，上臂12AB cm =，中臂8BC cm =，底座4.CD cm =（1）若上臂AB 与水平面平行，60ABC ︒∠=．计算点A 到地面的距离．（2）在一次操作中，中臂与底座成135︒夹角，上臂与中臂夹角为105︒，如图2，计算这时点A 到地面的距离．与图1状态相比，这时点A 向前伸长了多少?17．（2020·江西）如图1，是一种卡通创意台灯的实物图，忽略其部件的厚度，将它简化为平面图2，测得灯架10OB cm =，20OE cm =，灯管20OA cm =，支撑架CD 垂直于灯架OE 于点F ，OA 平行于桌面DE ，130AOB ∠=︒，120AOE ∠=︒． （1）若12OF cm =，求D ，E 两点之间的距离；（2）求台灯的高（点B 到桌面DE 的距离）．（参考数据：sin500.76︒≈，cos500.64︒≈，tan50 1.19︒≈ 1.73≈，结果精确到1cm ）图1 图218．（2020·江西宜春市·九年级二模）如图1，是一款常见的海绵拖把，图2是其平面示意图，EH 是拖把把手，F 是把手的一个固定点，海绵安装在两片活动骨架PA ，PB 上，骨架的端点P 只能在线段FH 上移动，当海绵完全张开时，PA ，PB 分别与HMHN 重合；当海绵闭合时，PA ，PB 与FH 重合．已知直杆EH=120cm ，FH=20cm ．(1)若∥APB=90°，求EP 的长(结果保留根号)(2)若∥APB=26°，求MA 的长(结果保留小数点后一位)(3)海绵从完全张开到闭合的过程中，直接写出PA 的中点Q 运动的路径长．(参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，π取3.14)19．（2020·江西萍乡市·九年级二模）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形.若显示屏AO 与键盘BO 长均为24cm ，点P 为眼睛所在位置，D 为AO 的中点，连接PD ，且PD∥AO （此时点P 为最佳视角），点C 在OB 的延长线上，PC∥BC ，BC ＝12cm.（1）当PA ＝45cm 时，求PC 的长；（2）当∥AOC ＝115°时，线段PC 的长比（1）中线段PC 的长是增大还是减小？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm ，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）.20．（2020·江西宜春市·九年级一模）如图1所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后，然后再慢慢回收．图2为示意图，已知,DE DC 在初始位置，60DE DC cm ==, 点B C G 、、在同一直线上，4695AB BG A DCG ︒︒⊥∠=∠=，，．（1）当,DE DC 在初始位置时，求点D 到AC 的距离；（2）当双腿伸直后，如图3，点,E D 分别从初始位置运动到点','E D ， 假设''E D C 、、三点共线，求此时点E 上升的竖直高度． ( 结果精确到个位) (参考数据:410.66,sin ︒≈410.75,410.87,cos tan ︒︒≈≈440.72,440.69440.97cos sin tan ︒︒︒≈≈≈，)21．（2020·江西吉安市·九年级其他模拟）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任一角.其抽象示意图如图2所示，由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动.C 点固定，5cm OC CD DE ===，点D ，E 可在槽中滑动，（1）求证：3BDE BOE ∠=∠.（2）若8cm OD =，①求BDE ∠的度数；②求点D 到OA 的距离.（参考数据：sin360.60︒≈，cos360.80︒≈，tan360.75︒≈，sin660.92︒≈，cos660.40︒≈，tan66 2.24︒≈）22．（2020·江西九年级二模）图1是一种手机自拍杆，杆体从上至下分别由手机夹架、多节套管和可升降支架脚连接而成．使用时通过自由伸缩套管调节自拍杆的长度，同时可以通过调节支架脚使拍摄时更灵活安全．图2是其正面简化示意图，手机ABCD （为矩形）与其下方套管EF 连接于点E ，E 为BC 的中点，26cm EF =，支架脚13cm FG FH ==，BC 与地面GH 平行，EF BC ⊥．（1）当120GFH ∠=︒时，求点E 到地面的高度；（2）若在某环境中拍摄时，调节支架脚使40FGH ∠=︒，若16cm BC =，求点G 到直线AB 与GF 交点的距离．（参考数据：sin 400.64,cos 400.77,tan 40 1.73︒≈︒≈︒≈≈，结果精确到0.1cm ）23．（2020·江西赣州市·九年级一模）如图()1是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN 是晾衣架的一个滑槽，点P 在滑槽MN 上、下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图()2所示，已知每个菱形的边长均为20cm ，且AB CD CP DM 20cm ====．()1当点P 向下滑至点N 处时，测得DCE 60∠=时①求滑槽MN 的长度；②此时点A 到直线DP 的距离是多少？()2当点P 向上滑至点M 处时，点A 在相对于()1的情况下向左移动的距离是多少？(结果精确到001cm ． 1.414 1.732)≈≈24．（2020·江西抚州市·金溪一中九年级一模）图1是一台用保护套套好的带键盘的平板电脑实物图，图2是它的示意图，忽略平板电脑的厚度，支架BE 分别固定在平板电脑AD 背面中点B 处，桌面E 处，EB 可以绕点E 转动，当点D 在线段EF 上滑动时，可调节平板电脑AD 的倾斜角ADC ∠，经测量，24cm CE =，9cm CF =，支架110.5cm 2BE AD ==． （1）连接AE ，求证：AE CE ⊥；（2）当120ADC =∠︒时，求A ，E 两点间的距离；（3）当点D 滑到距离F 点1cm 处时，视觉效果最好，求此时倾斜角ADC ∠的度数．1.73≈，sin 48.190.75︒≈，cos48.190.67︒≈，tan 48.19 1.12︒≈，结果保留一位小数）25．（2020·江西九江市·九年级其他模拟）把长为2、宽为1的矩形如图依次摆放，恰使一个矩形的宽在另一个矩形的长的对称轴上，点A 是格点（矩形的顶点为格点）．请在网格中完成下列画图（要求：①仅用无刻度的直尺：②保留必要的画图痕迹）．（1）在图1中，画出Rt ABC ∆，使90A ∠=︒，点B 、C 在格点上；（2）在图2中，画出BAC ∠使1tan 2BAC ∠=，点B 、C 在格点上．26．（2020·江西南昌市·九年级其他模拟）如图1，是某保温杯的实物图和平面抽象示意图．点A ，B 是保温杯上两个固定点，与两活动环相连，把手CD 与两个活动环AD ，BC 相连，现测得 2.6cm AD BC ==，17cm AB =，如图2，当A ，D ，C 三点共线时，恰好AC BC ⊥．（1）请求把手CD 的长；（2）如图3，当//CD AB 时，求ADC ∠的度数．（参考数据：sin57.50.843︒=，cos57.50.538︒=，tan57.5 1.570︒=）27．（2020·江西）图①是一个演讲台，图②是演讲台的侧面示意图，支架BC 是一段圆弧，台面与两支架的连接点A ，B 间的距离为30cm ，CD 为水平地面，∥ADC ＝75°，∥DAB ＝60°，BD ∥CD ．（1）求BD 的长（结果保留整数，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26）；（2）如图③，若圆弧BC 所在圆的圆心O 在CD 的延长线上，且OD ＝CD ，求支架BC 的长（结果保留根号）．28．（2020·江西）如图1，一扇门ABCD，宽度AB＝1m，A到墙角E的距离AE＝0.5m，设E，A，B在一条直线上，门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡（EA∥EB′），边BC靠在墙B'C'的位置．（1）求∥BAB'的度数；（2）打开门后，门角上的点B在地面扫过的痕迹为弧BB'，设弧BB'与两墙角线围成区域（如图2）的面积为S（m2），求S的值（π≈3.14，精确到0.1）．29．（2020·江西赣州市·九年级月考）如图1所示的是一种折叠门，已知门框的宽度AD=2米，两扇门的大小相同(即AB=CD)，且AB+CD=AD，现将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转67°（如图2）．（1）求点C到AD的距离．（2）将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向外面旋转，设旋转角为α（如图3），问α为多少时，点B，C之间的距离最短？（参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan29.6°≈0.57，tan19.6°≈0.36，sin29.6°≈0.49）30．（2020·南昌市第十九中学九年级月考）如图1是一种纸巾盒，由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒．如图2是其侧面简化示意图，已知矩形ABCD 的长16cm AB =，宽12cm AD =，圆弧盖板侧面DC 所在圆的圆心O 是矩形ABCD 的中心，绕点D 旋转开关（所有结果保留小数点后一位）．（1）求DC 所在O 的半径长及DC 所对的圆心角度数；（2）如图3，当圆弧盖板侧面DC 从起始位置DC 绕点D 旋转90︒时，求DC 在这个旋转过程中扫过的的面积．参考数据：tan36.870.75︒≈，tan53.06 1.33︒≈，π取3.14．。

3 3精典例题：【例 1】如图，塔 AB 和楼 CD 的水平距离为 80 米，从楼顶 C 处及楼底 D 处测得塔顶 A 的仰角分别为 450 和 600，试求塔高与楼高（精确到 0.01 米）。

（参考数据： ＝1.41421…， ＝1.73205…）分析：此题可先通过解 Rt △ABD 求出塔高 AB ，再利用 CE ＝BD ＝80 米，解 Rt △AEC 求出 AE ，最后求出 CD ＝BE ＝AB －AE 。

解：在 Rt △ABD 中，BD ＝80 米，∠BAD ＝600 A∴AB ＝ BD tan 6080 138.56 （米）450C在 Rt △AEC 中，EC ＝BD ＝80 米，∠ACE ＝450 ∴AE ＝CE ＝80 米∴CD ＝BE ＝AB －AE ＝ 80 80 58.56 （米）EBD F例 1 图答：塔 AB 的高约为 138. 56 米，楼 CD 的高约为 58. 56 米。

【例 2】如图，直升飞机在跨河大桥 AB 的上方 P 点处，此时飞机离地面的高度 PO ＝450 米，且 A 、B 、 O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为300 ， 450 ，求大桥 AB 的长（精确到 1 米，选用数据： ＝1.41， ＝1.73）分析：要求 AB ，只须求出 OA 即可。

可通过解 Rt △POA 达到目的。

解：在 Rt △PAO 中，∠PAO ＝300∴OA ＝ PO cot PAO450 cot 300450 （米）在 Rt △PBO 中，∠PBO ＝ ∴OB ＝OP ＝450（米）∴AB ＝OA －OB ＝ 450 450450 P329 （米） 答：这座大桥的长度约为 329 米。

OBA例 2 图评注：例 1 和例 2 都是测量问题（测高、测宽等）， 解这类问题要理解仰角、俯角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。

【例 3】一艘渔船正以 30 海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在 A 处看见小岛 C 在船的北偏东 600方向，40 分钟后，渔船行至 B 处，此时看见小岛 C 在船的北偏东 300 方向，已知以小岛 C 为中心周围 10 海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？分析：此题可先求出小岛 C 与航向（直线 AB ）的距离，再与 10 海里进行比较得出结论。