初三中考总复习三角函数应用

第5讲三角函数实际应用1.图1是一辆自行车的侧面图，图2是他的简化示意图，经测量，车轮的直径为66cm，车座B到地面的距离BE为90cm，中轴轴心C到地面距离CF为33cm,车架中立管BC的长为60cm,后轮切地面l于点D（1）后轴轴心A与中轴轴心C所在直线AC与地面l是否平行？请说明理由（2）求∠ACB的大小（精确到1°）（3）如果希望车座B到地面的距离B´E´为93.8cm，车架中立管BC拉长长度BB´是多少？2.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）3.如图1，某种三角形台历被放置在水平桌面上，其左视图如图2所示，其中点O是台历支架OA,OB 的交点，同时又是台历顶端连接日历的螺旋线圈所在圆的圆心，现测得OA=OB=14cm，CA=CB=4cm,∠ACB=120°（1）求点O到直线AB的距离（2）求张角∠AOB的大小（3）把某月的日历从台历支架正面翻到背面（即OB与OA重合），求点B所经历路径长（参考：sin14.33°≈0.25，cos14.33°≈0.97，tan14.33°≈0.26，π取 3.14，所有结果精确到0.01）4.如图，李华晚上在两盏相距50cm的路灯下来回踱步，已知李华的身高AB=1.7m,灯柱高OP=OP´=8.5m,两灯柱之间的距离OO´=50m，（1）若李华距灯柱OP´的水平距离OA=xm,他的影子AC=ym,求y关于x的函数关系式（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后两个影子的长度和（DA+AC）是否发生变化？请说明理由5.图1是小华在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景．图2是小华锻炼时上半身由EM 位置运动到与地面垂直的EN 位置时示意图．已知BC=0.64米，AD=0.24米，AB=1.30米． （1）求AB 的倾斜角α的度数（精确到1）；（2）若测得EN=0.85米，试算小华头顶由M 点运动到N 点的路径 MN 长度（精确到0.01米）（参考数据：sin18︒≈0.31,cos18︒≈0.95,tan18︒≈0.32）6如图，某投影仪E 正对投影幕布AB 中央，其距离EG=3.60米，为方便教学，现将投影幕布由黑板正中AB 位置调整到左面DB 位置处，测得AB=BD=2.6米，∠DBC=39.85°，此时投影仪E 调整到线段EB 上点F 处且恰好正对投影幕布DB 中央，若投影仪与投影幕布安装距离控制在3.45米到3.65米之间视觉效果最好，则调整后投影仪F 与投影幕布BD 之间的距离是否符合要求？（参考数据：tan70.15°≈2.770，tan70°≈2.747，cos39.85°≈0.7677，tan39.85°≈0.8346，可用科学计算器，结果精确到0.01）图1图2BCED AM α N7.下图是躺椅结构示意图，扶手AB与座板CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠EOF=90°，∠ODC=30°，ON=40cm,EG=30cm, (1)求两支架落点E,F之间的距离(2)若MN=60cm,求躺椅高度（点M到地面的距离，结果取整数）8.身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上，在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上），经测量，兵兵与建筑物的距离BC=5米，建筑物底部宽FC=7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A据地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37°。

初中三角函数知识点总结中考复习三角函数是数学中的一门重要分支，通过研究角的度量和三角比的关系来研究几何形状的属性。

在初中阶段，三角函数主要涉及正弦函数、余弦函数和正切函数，以及它们的定义、性质和应用。

下面是初中三角函数的知识点总结，供中考复习参考。

一、角的度量：1. 角的度量单位：度（°）和弧度（rad）。

2. 角度和弧度之间的换算：1周= 360° = 2π rad。

3.角的终边与坐标轴的位置关系：正角、负角、终边在各象限的情况。

4. 角度和弧度的转换公式：度数转弧度：θ(rad) = θ(°) ×π/180；弧度转度数：θ(°) = θ(rad) × 180/π。

二、三角比的定义：1. 正弦函数（sine function）：在直角三角形中，对于一个锐角A，正弦函数的值定义为对边与斜边的比值，记作sinA = a/c。

2. 余弦函数（cosine function）：在直角三角形中，对于一个锐角A，余弦函数的值定义为邻边与斜边的比值，记作cosA = b/c。

3. 正切函数（tangent function）：在直角三角形中，对于一个锐角A，正切函数的值定义为对边与邻边的比值，记作tanA = a/b。

三、三角比的性质：1. 正弦函数的周期性性质：sin(θ+2kπ) = sinθ，其中k为整数。

2. 余弦函数的周期性性质：cos(θ+2kπ) = cosθ，其中k为整数。

3. 正切函数的周期性性质：tan(θ+π) = tanθ。

4. 正弦函数和余弦函数的关系：sin(π/2 - θ) = cosθ，cos(π/2 - θ) = sinθ。

5. 正切函数与正弦函数、余弦函数的关系：tanθ = sinθ/cosθ。

四、特殊角的三角比：1. 零度角和360度角的三角比：sin0° = 0，sin360° = 0；cos0° = 1，cos360° = 1；tan0° = 0，tan360° = 0。

中考数学三角函数公式汇总与解析1.锐角三角函数锐角三角函数定义:锐角角A的正弦(si n),余弦(c o s)和正切(t a n),余切(c o t)以及正割(se c)，余割(c sc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦(si n)：对边比斜边，即si n A=a/c余弦(c o s)：邻边比斜边，即c o sA=b/c正切(t a n)：对边比邻边，即t a n A=a/b余切(c o t)：邻边比对边，即c o t A=b/a正割(se c)：斜边比邻边，即se c A=c/b余割(c sc)：斜边比对边，即c s c A=c/a2.3.互余角的关系s i n(π-α)=c o sα,c o s(π-α)=si nα,t a n(π-α)=c o tα,c o t(π-α)=t a nα.4.平方关系sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)5.积的关系s i nα=t a nα·c o sαc o sα=c o tα·si nαt a nα=si nα·se cαc o tα=c o sα·c s cαs e cα=t a nα·c scαc s cα=se cα·c o tα6.倒数关系t a nα·c o tα=1s i nα·c scα=1c o sα·se cα=17.诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：s i n(2kπ+α)=si nαk∈zc o s(2kπ+α)=c o sαk∈zt a n(2kπ+α)=t a nαk∈zc o t(2kπ+α)=c o tαk∈z公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：s i n(π+α)=-si nαc o s(π+α)=-c o sαt a n(π+α)=t a nα8.两角和差公式(1)si n(A+B)=si n A c o sB+c o sA si n B(2)si n(A-B)=si n A c o s B-si n B c o sA(3)c o s(A+B)=c o sA c o sB-si n A si n B(4)c o s(A-B)=c o sA c o sB+si n A si n B(5)t a n(A+B)=(t a n A+t a n B)/(1-t a n A t a n B)(6)t a n(A-B)=(t a n A-t a n B)/(1+t a n A t a n B)(7)c o t(A+B)=(c o t A c o t B-1)/(c o t B+c o t A)(8)c o t(A-B)=(c o t A c o t B+1)/(c o t B-c o t A)除了以上常考的三角函数公式外，掌握下面半角公式，积化和差和万能公式有利于快速解决选择题，达到事半功倍的效果哦！1.半角公式注：正负由α/2所在的象限决定。

初中数学知识归纳三角函数的应用三角函数是初中数学中重要的概念之一，它不仅在几何形状的计算中有广泛的应用，还在实际问题的解决中发挥着重要作用。

本文将对初中数学中三角函数的应用进行归纳总结，并给出一些具体的例子说明。

一、角度与弧度的转换在应用三角函数中，角度和弧度是两种常见的度量方式。

角度是指以角的两边为基准，通过度数表示的量；而弧度是指以角所对应的圆的半径为基准，通过弧长表示的量。

它们之间有一个重要的转换关系，即：弧度 = 角度× π/180角度 = 弧度× 180/π二、三角函数的基本关系在初中数学中，根据一个直角三角形的定义，我们可以得出以下三角函数的基本关系：1. 正弦函数（sin）：对于一个直角三角形，正弦函数定义为对边与斜边的比值，即 sinA = 对边/斜边。

2. 余弦函数（cos）：对于一个直角三角形，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，即 cosA = 邻边/斜边。

3. 正切函数（tan）：对于一个直角三角形，正切函数定义为对边与邻边的比值，即 tanA = 对边/邻边。

三、三角函数在几何形状计算中的应用1. 应用一：三角函数在直角三角形中的应用直角三角形是应用三角函数的最基本形式之一。

通过计算三角函数的值，我们可以求解直角三角形的各边长和角度。

例如，已知一个角的正弦函数值为0.5，我们可以通过反三角函数求解出该角度近似等于30度。

2. 应用二：三角函数在平行四边形中的应用平行四边形是另一个常见的几何形状，而三角函数在求解平行四边形的面积时有重要应用。

假设平行四边形的对角线长度为a，夹角为θ，则平行四边形的面积为S = a^2sinθ。

四、三角函数在实际问题中的应用除了在几何形状的计算中应用外，三角函数还在实际问题的解决中发挥着重要作用。

1. 应用一：测量不可直接测量的长度在实际测量中，某些长度无法直接进行测量，但通过应用三角函数可以间接求解。

例如，通过测量某一斜边的长度和与地平线的夹角，利用三角函数可以计算出相对高度。

中考数学三角函数的基础应用数学是一门广泛应用于各个领域的学科，其中三角函数是数学中的重要内容之一。

在中考数学中，三角函数的基础应用也是考试内容的一部分。

本文将探讨三角函数的基础应用，包括角度的表示、正弦、余弦、正切函数的定义与性质，以及在几何图形中的应用等方面，旨在帮助读者更深入地理解和掌握三角函数的应用。

一、角度的表示角度是三角函数中的基本概念之一，它通常用度数来表示。

在三角函数中，常见的度数制表示方法包括度（°）、分（'）和秒（''）三个单位。

其中，1°可以分为60'，1'可以再分为60''。

通过这种度数制的表示方法，我们可以更加准确地描述角度的大小。

二、正弦、余弦、正切函数的定义与性质1. 正弦函数在三角函数中，正弦函数是最常见的一种函数。

它是一个周期函数，周期为360°（或2π弧度）。

正弦函数的定义域是全体实数，值域是闭区间[-1, 1]。

我们可以通过观察其图像来了解正弦函数的性质，例如在第一象限和第二象限中，正弦函数的值大于0；而在第三象限和第四象限中，正弦函数的值小于0。

2. 余弦函数与正弦函数类似，余弦函数也是一个周期函数，周期也是360°（或2π弧度）。

余弦函数的定义域和值域与正弦函数相同，即定义域是全体实数，值域是闭区间[-1, 1]。

与正弦函数相比，余弦函数在第一象限中的值大于0，而在第二、三、四象限中的值小于0。

3. 正切函数正切函数是另一个常见的三角函数，它的定义域通常是除去所有与余弦函数为零的实数。

正切函数的值域是全体实数。

与正弦、余弦不同，正切函数的图像并没有周期性，我们可以通过观察其图像来了解正切函数的性质。

三、三角函数的应用三角函数的基本应用之一是在几何图形中的应用。

例如，在矩形、三角形等几何图形中，我们可以利用三角函数来求解边长、角度等问题。

在解题过程中，我们可以根据已知条件，利用正弦、余弦、正切等函数来建立方程，进而求解未知量。

其他领域应用举例
工程学
在工程学中，三角函数可用于计算角度、长度等参数，解决各种实际问题。例如，在建筑 设计中，利用三角函数可以计算出建筑物的角度和高度等关键参数。
物理学
在物理学中，三角函数可用于描述简谐振动、波动等现象。例如，利用正弦和余弦函数可 以描述弹簧振子的振动过程，以及波动在介质中的传播情况。
波动现象描述与预测
波动率建模
在金融领域，三角函数可用于建模波动率。例如，利用正弦和余弦函数构建波动 率模型，可以描述股票价格的波动情况，并用于预测未来的波动趋势。
周期性波动预测
对于具有周期性波动的现象，如电力负荷、交通流量等，可以利用三角函数进行 预测。通过历史数据的分析和拟合，可以预测未来一段时间内的波动情况，为决 策提供支持。
已知一边一角求其他两边
在直角三角形中，如果我们知道一条边的长度和一个锐角的大小，可以利用三角函数求出另外两条边 的长度。具体方法包括利用正弦、余弦函数求出未知边的长度，以及利用正切或余切函数求出另一个 锐角的大小。
03
三角函数在物理中的应用
简谐振动与正弦函数关系
简谐振动的定义
振幅、周期和频率
物体在一定范围内周期性地来回运动， 称为简谐振动。
指导学生运用三角函数知识，建立 与实际问题相符的数学模型，如通 过设立坐标系、确定角度和边长等 方式构建几何图形。
模型求解与验证
引导学生运用数学方法求解模型， 得出数学结论，并将结论与实际问 题进行比对，验证模型的合理性。
跨学科知识融合，提高综合解决问题能力
1 2
物理背景中的三角函数
结合物理学科中的振动、波动等知识点，让学生 理解三角函数在描述周期性现象中的应用。
倍角公式
sin2a=2sinacosa，cos2a=cos²a-sin²a。这些公式用于将二倍角的 三角函数转化为基础角的三角函数。

中考重点三角函数及其应用中考重点：三角函数及其应用一、三角函数的基本概念和关系三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。

在中考中，对于三角函数的认识和运用是重点考查的内容。

1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数，它们的定义如下：对于任意角θ（θ为弧度制），其正弦值为sinθ，余弦值为cosθ。

在直角三角形中，以角θ为锐角，邻边和斜边的比值称为正弦，邻边和斜边的比值称为余弦。

在解决三角函数相关问题时，需要掌握基本的正弦函数和余弦函数的性质，以便进行计算和推导。

2. 正切函数和余切函数正切函数和余切函数是另外两个常用的三角函数，它们的定义如下：对于任意角θ（θ为弧度制），其正切值为tanθ，余切值为cotθ。

在直角三角形中，以角θ为锐角，邻边和对边的比值称为正切，对边和邻边的比值称为余切。

与正弦函数和余弦函数类似，正切函数和余切函数也具有特定的性质，需要在解题过程中正确运用。

二、三角函数的应用三角函数在数学中的应用非常广泛，涉及代数、几何、物理等多个领域。

在中考中，三角函数的应用是一个重点考察的内容，下面我们来介绍几个常见的应用场景。

1. 三角形的计算三角函数在解决三角形相关问题时起到了重要的作用。

在计算三角形的边长、角度等问题时，可以通过运用正弦定理、余弦定理等方法来求解。

以计算三角形的面积为例，假设已知三角形的两边长分别为a和b，夹角为θ，则三角形的面积可以通过公式S=1/2ab*sinθ来计算得出。

这个公式利用了正弦函数的性质，很好地体现了三角函数在几何中的应用。

2. 直角三角形的求解直角三角形是最简单的三角形形式之一，它的特点是其中一个角为90度。

在解决直角三角形相关问题时，可以运用三角函数来求解未知变量。

例如，已知一个直角三角形的斜边长为c，一个锐角为θ，则可以通过运用正弦函数和余弦函数的关系来计算出其他两条边的长度。

三、解决问题的思路和方法在中考中，对于三角函数的应用题目，解题的思路和方法往往是非常重要的。

九年级数学三角函数的应用在九年级数学学习中，三角函数是一项重要且常见的内容。

三角函数的应用广泛而深入，涉及到各种实际问题的解决。

本文将从几个常见的应用角度，探讨三角函数在实际问题中的应用。

一、三角函数在建筑设计中的应用建筑设计中，三角函数的运用非常广泛。

例如，设计一个斜坡的角度，可以利用三角函数中的正切函数来求解。

假设我们要修建一个连接两个高度不同的地点的斜坡，可以通过测量两地之间的水平距离和垂直高度差来求解斜坡的角度。

根据正切函数的定义，我们可以得到如下公式：角度 = arctan（垂直高度差 / 水平距离）通过计算，可以求解出合适的角度值，从而合理设计斜坡的倾斜度，确保斜坡的安全性和舒适度。

除了斜坡设计，三角函数还可以应用于其他建筑设计中，比如楼梯的设计、屋顶的倾斜角度等。

通过运用三角函数的知识，建筑师可以更好地进行设计和规划，使建筑物更加符合人们的需求。

二、三角函数在航海导航中的应用航海导航是三角函数的另一个常见应用领域。

在航海中，船只需要根据指定的方向和目标位置，通过测量自身的坐标和目标位置的坐标，来确定自身的航向角和航行距离。

三角函数中的正弦函数、余弦函数和正切函数在航海导航中扮演着重要角色。

以求解航向角为例，我们可以利用正弦函数或者余弦函数求解。

假设船只当前位置的坐标为（x1，y1），目标位置的坐标为（x2，y2），则航向角可以通过下列公式求解：角度 = arctan（（y2 - y1）/（x2 - x1））通过计算，船只在航行时可以根据目标位置的坐标和当前位置的坐标，准确地确定航向角，确保船只沿着正确的路径航行。

航海导航中还有其他许多应用，比如求解航线距离、确定船只的行驶速度等。

三角函数在航海导航中的运用，提高了导航的准确性和效率。

三、三角函数在天文学中的应用天文学中，三角函数的应用也是不可或缺的。

天文学家利用三角函数的相关概念和公式，来解释和计算天体运动、测量距离等相关问题。

以测量距离为例，天文学家经常需要测量星体之间的距离。

sinA=cos（90°-∠A）.
（2）一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即
cosA=sin（90°-∠A）. 也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=
cosA.
3. 特殊角的三角函数值
方法规律
1. 通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量 问题，如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，解此类 问题关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边 的长度，计算出所要求的物体的高度或长度.
P
45° 37° B 400米 A
解：作PO⊥AB交AB的延长线于O.
设PO=x米， 在Rt△POB中，∠PBO=45°， P
OB=PO= x米.
在Rt△POA中，∠PAB=37°，
tan∠PAB P x 400
0.75 ，解得x=1200.
故飞机的高度为1200米.
（1）求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号） （2）问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少
千米.（结果保留根号）
解：（1）如答图6-3-2，
过点C作CD⊥AB，交AB于点D. 在Rt△ACD中， CD=AC·sin∠CAD=20× =10（km），
例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部
的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气
球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果
精确到0.1m）.
仰角 水平线
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视
线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯 角，因此，在图中，a=30°，β=60°.
B
A
αD β
Rt△ABD中，a =30°，AD＝ 120，所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度；类似地可 以求出CD的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度.

九年级三角函数的简单应用在九年级数学课程中，三角函数是一个重要的部分，它对于解决各种实际问题都有着广泛的应用。

本文将介绍三角函数的简单应用，包括角度的求解、边长的计算以及实际问题的解决。

一、角度的求解在三角函数中，我们常常需要求解给定三角函数值对应的角度。

例如，已知正弦函数值为0.5，我们需要求解对应的角度。

这时，我们可以利用反正弦函数来完成角度的求解。

具体步骤如下：1. 利用反正弦函数sin^(-1)来求解角度。

假设sin^(-1)(0.5)=θ，其中θ为待求解的角度。

2. 通过计算可知，sin(θ)=0.5，即θ为sin函数取0.5时对应的角度。

3. 通过查表或使用计算器，我们可以得到θ≈30°。

二、边长的计算三角函数在求解边长方面也有广泛的应用。

常见的例子包括已知一个角度和一个边长，我们需要求解另一个边长。

以下是两个常见的应用示例：1. 已知一个锐角三角形的一个角度为30°，边长为5，我们需要求解另一个边长。

解法：根据已知条件，我们已知角A=30°和边a=5。

我们可以利用正弦函数来求解边b。

sin(A)=边b/边a，即sin(30°)=边b/5。

通过计算可知，边b≈2.5。

2. 已知直角三角形的一个角度为45°，斜边长为10，我们需要求解另一个直角边的长度。

解法：根据已知条件，我们已知角A=45°和斜边c=10。

我们可以利用余弦函数来求解直角边的长度。

cos(A)=直角边/斜边，即cos(45°)=直角边/10。

通过计算可知，直角边≈7.07。

三、实际问题的解决除了基本的角度和边长计算外，三角函数在解决实际问题中也有重要应用。

以下是一个示例：某物体距离地面6米，投掷角度为45°，初速度为20米/秒。

我们需要求解物体的飞行时间和水平距离。

解法：将问题拆分为竖直方向和水平方向两个分量来分析。

1. 竖直方向：物体在竖直方向上的运动可以使用正弦函数来描述。

中考复习资料数学三角函数中考复习资料：数学三角函数数学是中考中最重要的科目之一，而三角函数是数学中的一个重要概念。

掌握好三角函数的相关知识，对于解题和理解几何形状有着重要的帮助。

本文将为大家介绍一些中考复习资料，帮助大家更好地掌握三角函数。

1. 三角函数的定义三角函数是描述角度与边长之间关系的函数。

常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

其中，正弦函数（sin）定义为对边与斜边之比，余弦函数（cos）定义为邻边与斜边之比，正切函数（tan）定义为对边与邻边之比。

2. 三角函数的性质三角函数有许多重要的性质，掌握这些性质可以帮助我们更好地理解和运用三角函数。

（1）周期性：正弦函数和余弦函数的周期均为2π，正切函数的周期为π。

（2）奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数则既不是奇函数也不是偶函数。

（3）范围：正弦函数和余弦函数的值域在[-1, 1]之间，而正切函数的值域为整个实数集。

（4）互补关系：正弦函数和余弦函数的互补关系是sin(x) = cos(π/2 - x)，即一个角的正弦值等于其余弦补角的值。

3. 三角函数的应用三角函数在几何形状的计算和问题解决中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：（1）角度计算：通过已知的边长关系，可以利用三角函数来计算角度的大小。

例如，已知一个直角三角形的两条边长，可以通过正弦函数或余弦函数来计算出角度的大小。

（2）高度计算：在一些实际问题中，我们需要计算无法直接测量的高度。

通过利用三角函数，我们可以通过已知的边长和角度来计算出所需的高度。

（3）航海导航：在航海中，船只需要根据已知的航向和速度来计算出预计到达目的地的时间和位置。

三角函数可以帮助船只计算出所需的航向和速度。

（4）建筑设计：在建筑设计中，三角函数可以帮助我们计算出建筑物的高度、角度和距离等参数，以便进行合理的设计和施工。

4. 解题技巧在中考中，三角函数常常出现在各种数学题目中。

中考考前专题复习——三角函数及应用一、考点知识1、三角函数值2、三角函数与直角三角形3、三角函数与勾股定理4、三角函数和图型综合5、三角函数与实际应用二、中考题型回顾1．如图，△ABC中：∠C=90︒，BC=4cm，tan B=32，则△ABC的面积是cm2.2．（2011湖南衡阳，9，3分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（）A．10m B．103m C．15m D．53m3．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、 BE和一段水平平台DE构成。

已知天桥高度BC≈4.8米，引桥水平跨度AC=8米。

（1）求水平平台DE的长度；（2）若与地面垂直的平台立枉MN的高度为3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比。

(参考数据：取sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.754.青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃，（如图7所示）一天，灰太狼在自家城堡顶部A 处观察羊羊们时，发现懒羊羊在大树底下睡觉，此时，测得懒羊羊所在地B 处得俯角为60°，然后下到城堡的C 处，测得B 处得俯角为30°。

已知AC=40米，若灰太狼以5m/s 的速度从城堡底部D 处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？（结果精确到个位）5．（本小题7分）喜欢数学的小伟沿笔直的河岸BC 进行数学实践活动，如图8，河对岸有一水文站A ，小伟在河岸B 处测得∠ABD =45︒，沿河岸行走300米后到达C 处，在C 处测得∠ACD =30︒，求河宽AD .（最后结果精确到1米.已知：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449，供选用）6．如图8,AE 是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE 不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD ，用于撑起拉线．已知公路的宽AB 为8米，电线杆AE 的高为12米，水泥撑杆BD 高为6米，拉线CD 与水平线AC 的夹角为67.4°．求拉线CDE 的总长L （A 、B 、C 三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．(参考数据:sin67.4°≈1213 ,cos67.4°≈513,tan67.4°≈125)EADB C图8ABCD60°30°图77．（7分）如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB 的高度，他们借助一个高度为30m 的建筑物CD 进行测量，在点C 处塔顶B 的仰角为45°，在点E 处测得B 的仰角为37°（B 、D 、E 三点在一条直线上）．求电视塔的高度h ．（参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）三、中考考前专题训练1．如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A 出发，沿与地面成30︒角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B 处），80AB =米，则孔明从A 到B 上升的高度BC 是 米．2．如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC 中．AB=A C ，若过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°=_________。

专题04三角函数的应用（1个知识点4种题型1个易错点1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.解直角三角形的应用（重点、难点）【方法二】实例探索法题型1.方向角问题题型2.坡度、坡角问题题型3.方案决策问题题型4.一题多解——求建筑物的高【方法三】差异对比法易错点：对俯角的意义理解错误【方法四】仿真实战法考法.解直角三角形的应用-坡角问题【方法四】成果评定法【学习目标】1.进一步体会三角函数在解决实际问题中的作用。

2.能够把实际问题转化数学问题，能够借助计算器进行有关s'j函数的计算，并能够进一步对结果的意义进行说明，提高解决实际问题的能力。

3.能利用解直角三角形的有关知识，解决测量、航海、工程技术等生活中的实际问题。

重难点：把实际问题转化为直角三角形问题，通过解直角三角形形达到求解的目的。

【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.解直角三角形的应用（重点、难点）1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线.2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线.3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.4．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平宽度(l )的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=.坡度通常写成1:m 的形式，如i =1︰1.5．5．坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i 与坡角α之间的关系:h i tan lα==.知识延伸※1．方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的小于90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）*度.若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向.2．方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角.方位角θ的取值范围为0360θ≤< .【例1】．（2023秋•成都期中）如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A ，其正下方水平面上的点记作点)B ，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点)C 出发向右上方（与地面成45︒，点A ，B ，C ，O 在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O 点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，75AOC ∠=︒，（求小李到古塔的水平距离即BC 的长．（结果精确到1m 1.41≈ 1.73)≈【分析】过点O作OD BC⊥，交BC的延长线于点D，过点O作OE AB⊥，垂足为E，根据题意可得：40AO=米，20OC=米，OE BD=，//OE BD，从而可得45EOC OCD∠=∠=︒，进而可得30AOE∠=︒，然后在Rt OCD∆中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt AOE∆中，利用锐角三角函数的定义求出OE的长，从而求出BD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点O作OD BC⊥，交BC的延长线于点D，过点O作OE AB⊥，垂足为E，由题意得：8540AO=⨯=（米)，4520OC=⨯=（米)，OE BD=，//OE BD，45EOC OCD∴∠=∠=︒，75AOC∠=︒，30AOE AOC EOC∴∠=∠-∠=︒，在Rt OCD∆中，2cos452022CD OC=⋅︒=⨯=)，在Rt AOE∆中，3cos304032OE AO=⋅︒=⨯=（米)，3OE BD∴==)，310221BC BD CD∴=-=-≈（米)，∴小李到古塔的水平距离即BC的长约为21米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【例2】．（2023秋•盘州市期中）某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面ACFE如图所示．AE为台面，AC垂直于地面，AB表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角ABC∠为43︒，坡长AB为2m．为保障安全，又便于装卸货物，决定减小斜坡AB的坡角，AD是改造后的斜坡(D在直线BC上），坡角ADC∠为31︒．求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD．（结果精确到0.1)m【参考数据：sin430.68︒=，cos430.73︒=，tan430.93︒=；sin310.52︒=，cos310.86︒=，tan310.60︒=】【分析】首先在Rt ABC∆中，求出AC的长，再在Rt ADC∆，由tanACADCCD∠=，即可求出CD的长．【解答】解：在Rt ABC∆中，sinAC ABCAB∠=，sin4320.68 1.36() AC AB m∴=⋅︒=⨯=，在Rt ADC∆中，tanAC ADCCD ∠=，∴1.362.3()tan310.60ACCD m ==≈︒，∴斜坡AD底端D与平台AC的距离CD约为2.3m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用三角函数知识解直角三角形．【例3】．（2023秋•九龙坡区校级月考）如图，海岸边上有三个观测站A，B，C，观测站B在观测站A的东北方向，观测站C在观测站B的正东方向，观测站B，C之间的距离为30海里．某天，观测站A，B，C同时收到一艘轮船在D处发出的求救信号，经分析，D在观测站C的南偏东15︒方向，在观测站B的东南方向，在观测站A的正东方向．（1）求CD的长度．（结果精确到个位）（2）目前只有观测站A与B配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里/时．收到求救信号后，因观测站B的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去C处，才能再去D处（在C 处停留时间可忽略不计）；而观测站A的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达D处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达D 1.414≈ 1.732)≈【分析】（1）过点C 作CE BD ⊥于点E ，利用方向角的意义，等腰直角三角形的性质和含30︒角的直角三角形的性质解答即可；（2）过点B 作BF AD ⊥于点F ，利用（1）的结论和等腰直角三角形的判定与性质求得AD 的长度，通过比较两个搜救艇到达D 处所需的时间解答即可．【解答】解：（1）由题意得：//AD BC ，45CBD ∠=︒，9015105BCD ∠=︒+︒=︒，30BC =海里．过点C 作CE BD ⊥于点E ，如图，则CBE ∆为等腰直角三角形，45BCE ∴∠=︒，21522BE CE ===（海里），60DCE BCD BCE ∴∠=∠-∠=︒，30CDE ∴∠=︒，2242CD CE ∴==≈（海里）；（2）观测站A 的搜救艇可以更快到达D 处．理由：由（1）知：152BE =海里，22156DE CD CE =-=（海里），(152156)BD BE DE ∴=+=海里．过点B 作BF AD ⊥于点F ，由题意得：45NAB BAD ∠=∠=︒，//BF AN ，45ABF ∴∠=︒，45DAF ∠=︒ ，90ABD ∴∠=︒，ABD ∴∆为等腰直角三角形，23030382AD BD ∴==+≈（海里）．∴观测站A 的搜救艇到达D 处需要8230 2.73÷=（小时）． 观测站B 的搜救艇到达D 处需要：1(3042)300.5 2.4 2.92++÷=+=（小时），∴观测站A 的搜救艇可以更快到达D 处．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，方向角，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，利用已知条件恰当的添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．【方法二】实例探索法题型1.方向角问题1．（2023•高碑店市模拟）如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点A ，B 分别为两岸上一点，且点B 在点A 正北方向，由点A 向正东方向走a 米到达点C ，此时测得点B 在点C 的北偏西55︒方向上，则河宽AB 的长为()A ．tan 55a ︒米B ．cos55a ︒米C ．tan 35a ︒米D ．tan 55a ︒米【分析】连接AB ，BC ，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：连接AB ，BC ，由题意得，90BAC ∠=︒，55ABC ∠=︒，AC a =米，tan tan 55AC ABC AB ∴∠=︒=，tan 55tan 55AC a AB ∴==︒︒，【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．2．（2023•金东区二模）如图，小明在C 处看到西北方向上有一凉亭A ，北偏东35︒的方向上有一棵大树B ，已知凉亭A 在大树B 的正西方向，若50BC =米，则AB 的长等于()米．A ．5050sin 35cos35-︒︒B ．5050sin 35cos35+︒︒C ．50(cos35sin 35)︒-︒D ．50(cos35sin 35)︒+︒【分析】过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，先在Rt BCD ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BD ，CD 的长，然后在Rt ADC ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AD 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，在Rt BCD ∆中，35BCD ∠=︒，50BC =米，sin 3550sin 35BD BC ∴=⋅︒≈︒（米)，cos 4550cos 35CD BC =⋅︒=︒（米)，在Rt ADC ∆中，45ACD ∠=︒，tan 4550cos 35AD CD CD ∴=⋅︒==︒（米)，50cos3550sin 3550(cos35sin 35)AB AD BD ∴=+=︒+︒=︒+︒米，【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．（2023秋•徐汇区期末）如图，一段东西向的限速公路MN 长500米，在此公路的南面有一监测点P ，从监测点P 观察，限速公路MN 的端点M 在监测点P 的北偏西60︒方向，端点N 在监测点P 的东北方向，那么监测点P 到限速公路MN 的距离是米（结果保留根号）．【分析】过点P 作PA MN ⊥于点A ，则90PAM PAN ∠=∠=︒，设PA x =米，证PAN ∆是等腰直角三角形，得NA PA x ==米，再由锐角三角函数定义得MA =米，然后由MA NA MN +=，求出250x =-，即可得出结论．【解答】解：如图，过点P 作PA MN ⊥于点A ，则90PAM PAN ∠=∠=︒，设PA x =米，由题意可知，60MPA ∠=︒，45NPA ∠=︒，PAN ∴∆是等腰直角三角形，NA PA x ∴==米，tan tan 60MAMPA PA∠==︒= ，MA ∴==（米)，500MA NA MN +== ，∴500x +=，解得：250x =-，即监测点P 到限速公路MN 的距离是250)-米，故答案为：250)-．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．4．（2023春•沙坪坝区校级期中）在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点D 、E 均在点C 的正北方向且600CE =米，点B 在点C 的正西方向，且BC =点B 在点A 的南偏东60︒方向且400AB =米，点D 在点A 1.414≈， 1.732≈ 2.449)≈．（1）求道路AD 的长度（精确到个位）；（2）若甲从A 点出发沿A —D —E 的路径去点E ，与此同时乙从点B 出发，沿B —A —E 的路径去点E ，其速度为40米/分钟．若两人同时到达点E ，请比较谁的速度更快？快多少？（精确到十分位）【分析】（1）过点A 作AF CB ⊥，交CB 的延长线于点F ，过点A 作AG DC ⊥，垂足为G ，根据题意可得：AF CG =，AG CF =，然后在Rt AFB ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AF ，BF 的长，从而求出CF 的长，再在Rt ADG ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AD 的长，即可解答；（2）利用（1）的结论可求出EG 的长，再在Rt AGE ∆中，利用勾股定理可求出AE 的长，然后在Rt ADG ∆中，利用锐角三角函数的定义求出DG 的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点A 作AF CB ⊥，交CB 的延长线于点F ，过点A 作AG DC ⊥，垂足为G ，由题意得：AF CG =，AG CF =，在Rt AFB ∆中，60BAF ∠=︒，400AB =米，∴1cos604002002AF AB=⋅︒=⨯=（米)，sin60400BF AB=⋅︒=⨯（米)，200CG AF∴==米，BC=∴CF BF BC=+=+=（米)，∴AG CF==米，在Rt ADG∆中，904545DAG∠=︒-︒=︒，∴980cos45AGAD==︒（米)，∴道路AD的长度约为980米；（2）600CE=米，200CG=米，400EG CE CG∴=-=（米)，在Rt AGE∆中，AG=米，∴800AE=（米)，在Rt ADG∆中，45DAG∠=︒，∴tan45DG AG=⋅︒=)，∴甲的路程400)AD DE AD DG EG=+=+-=米，乙的路程4008001200AB AE=+=+=（米)，乙的速度为40米/分钟，∴乙所用的时间12003040==（分钟），∴甲所用的时间也是30分钟，∴甲的速度42.4=≈（米/分钟），42.440 2.4∴-=（米/分钟），∴若两人同时到达点E，甲的速度更快，快2.4米/分钟．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，五边形ABCDE 是某公园的游览步道，把公园的五个景点连接起来，为方便游览，增设了步道AC ．经勘测，90BAE ∠=︒，景点C 在景点A 的东北方向，且在景点B 的南偏东60︒方向的800米处，景点D 在景点C 的正南方向500米处，150AED ∠=︒ 1.414≈ 1.732)≈（1）求景点A 与景点E 的距离；（结果精确到1米）（2）甲、乙两人同时从景点A 出发，选择相反的路线依次游览其余四个景点，最后回到景点A ，两人在各景点处停留时间忽略不计．其中甲的游览路线是A B C D E A →→→→→，甲游览的平均速度是100米/分，乙游览的平均速度是80米/分．请通过计算说明在游览过程中，甲、乙谁先到达景点C ？【分析】（1）延长AE ，CD 交于点G ，连接AC ，过点C 作CF AB ⊥于点F ，利用含30︒角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可；（2）利用（1）的结论分别计算出甲，乙两人的走的路程，再计算出到达点C 的时间即可．【解答】解：（1）延长AE ，CD 交于点G ，连接AC ，过点C 作CF AB ⊥于点F ，如图，由题意得：800BC =米，500CD =米，60ABC ∠=︒，景点C 在景点A 的东北方向，45BAC CAG ∴∠=∠=︒．在Rt BFC ∆中，60B ∠=︒ ，30BCF ∴∠=︒，400BF ∴=（米)，CF ==（米)．90AFC ∠=︒ ，45BAC ∠=︒，AF FC ∴==)，AC ∴==)，45CAG ∠=︒ ，90G ∠=︒，2AG GC AC ∴===（米)，500)DG CG CD ∴=-=米，150AED ∠=︒ ，30DEG ∴∠=︒，21000)DE DG ∴==米，(1200EG ∴==-米，1200359AE AG EG ∴=-=-≈（米)．答：景点A 与景点E 的距离359米．（2）乙先到达景点C ，理由：由（1）知：4008001893AB AF BF =+=++≈（米)，35910005001245AE DE CD ++=++=（米)，∴甲到达点C 所有的时间为189310018.93÷=（分)，乙到达点C 所有的时间为12458015.56÷≈（分)，18.9315.56> ，∴乙先到达景点C ．【点评】本题主要考查了直角三角形的应用，含30︒角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，方向角，近似数和有效数字，恰当的构造直角三角形是解题的关键．6．（2023秋•九龙坡区校级期中）如图，五边形ABCDE 是一个公园沿湖的健身步道（步道可以骑行），BD 是仅能步行的跨湖小桥．经勘测，点B 在点A 的正北方935米处，点E 在点A 的正东方，点D 在点B 的北偏东74︒，且在点E 的正北方，90C ∠=︒，800BC =米，600CD =米．（参考数据：sin 740.96︒≈，cos 740.27︒≈，tan 74 3.55)︒≈（1）求AE 的长度（结果精确到1米）；（2）小明和爸爸在健身步道锻炼，小明以200米/分的速度从点A 出发沿路线A B C D E A →→→→→的方向骑行，爸爸以150米/分的速度从点B 出发沿路线B D E A →→→的方向跑步前行．两人约定同时出发，那么小明和爸爸谁先到达A 点？请说明理由．【分析】（1）过点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，根据垂直定义可得90BFE BFD ∠=∠=︒，再根据题意可得：74GBD ∠=︒，90A E ∠=∠=︒，从而可得四边形ABFE 是矩形，进而可得AB FE =，AE BF =，//AB EF ，然后利用平行线的性质可得74GBD BDF ∠=∠=︒，在Rt BCD ∆中，利用勾股定理求出BD 的长，再在Rt BFD ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BF 的长，即可解答；（2）在Rt BFD ∆中，利用锐角三角函数的定义求出DF 的长，从而求出DE 的长，然后进行计算，比较即可解答，【解答】解：（1）如图：过点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，90BFE BFD ∴∠=∠=︒，由题意得：74GBD ∠=︒，90A E ∠=∠=︒，∴四边形ABFE 是矩形，935AB FE ∴==米，AE BF =，//AB EF ，74GBD BDF ∴∠=∠=︒，90C ∠=︒ ，800BC =米，600CD =米1000BD ∴===（米)，在Rt BFD ∆中，sin 7410000.96960BF BD =⋅︒≈⨯=（米)，960BF AE ∴==米，AE ∴的长度约为960米；（2）爸爸先到达A 点，理由：在Rt BFD ∆中，74BDF ∠=︒，1000BD =米，cos 7410000.27270DF BD ∴=⋅︒≈⨯=（米)，935EF = 米，9352701205DE DF EF ∴=+=+=（米)，∴小明从点A 出发沿路线A B C D E A →→→→→的方向骑行需要的时间450022.5200200AB BC CD DE AE ++++===（分钟），爸爸从点B 出发沿路线B D E A →→→的方向跑步前行需要的时间316521.1150150BD DE EA ++===（分钟），21.1 分钟22.5<分钟，∴爸爸先到达A 点．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，小明家A 和商店C 都在地铁站D 的正西方向，小亮家B 在地铁站的西北方，且在小明家北偏东15︒方向．一天，小明和小亮相约去地铁站坐地铁，小明到离家4千米的商店C 时，小亮家B 恰在商店C 的北偏西30︒方向． 1.41≈， 2.45)≈（1）求小明和小亮家的距离（保留根号）；（2）小明从商店出发继续前往地铁站，此时小亮也从家出发乘坐公交车沿BD 方向前往地铁站，其中小明的步行速度为每小时8千米，公交车的行驶速度为每小时25千米，谁先到达地铁站呢？请说明理由．【分析】（1）过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，根据题意可得：75BAC ∠=︒，60BCA ∠=︒，从而利用三角形内角和定理可得45ABC ∠=︒，然后在Rt AEC ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和CE 的长，再在Rt ABE ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AB 的长，即可解答；（2）过点B 作BF AC ⊥，垂足为F ，在Rt ABE ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BE 的长，从而求出BC 的长，然后在Rt BCF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BF 和CF 的长，再在Rt BFD ∆中，利用锐角三角函数的定义求出DF 和BD 的长，从而求出CD 的长，最后进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点A 作AE BC ⊥，垂足为E，由题意得：901575BAC ∠=︒-︒=︒，903060BCA ∠=︒-︒=︒，18045ABC BAC BCA ∴∠=︒-∠-∠=︒，在Rt AEC ∆中，4AC =千米，1cos 60422CE AC ∴=⋅︒=⨯=（千米），3sin 60432AE AC =⋅︒=⨯=（千米），在Rt ABE ∆中，2326sin 4522AE AB ===︒，∴小明和小亮家的距离为26千米；（2）小明先到达地铁站，理由：过点B 作BF AC ⊥，垂足为F，在Rt ABE ∆中，45ABE ∠=︒，AE =千米，tan 45AE BE ∴==︒，2CE =千米，(2BC BE CE ∴=+=+千米，在Rt BCF ∆中，60BCF ∠=︒，sin 60(2(32BF BC ∴=⋅︒=+⨯=+千米，1cos 60(2(12CF BC =⋅︒=+⨯=千米，在Rt BFD ∆中，904545BDF ∠=︒-︒=︒，(3tan 45BF DF ∴==︒千米，sin 45BF BD ==︒千米，3(12CD DF CF ∴=-=++=（千米）， 小明的步行速度为每小时8千米，公交车的行驶速度为每小时25千米，∴小明到达地铁站需要的时间210.2584===（小时），小亮到达地铁站需要的时间0.27=（小时），0.25 小时0.27<小时，∴小明先到达地铁站．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．题型 2.坡度、坡角问题8．（2023•秦都区校级模拟）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37︒减至30︒，已知原电梯坡面AB 的长为8米，更换后的电梯坡面为AD ，点B 延伸至点D ，求BD 的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin 370.60︒≈，cos 370.80︒≈，tan 370.75︒≈，3 1.73)≈【分析】根据正弦的定义求出AC ，根据余弦的定义求出BC ，根据正切的定义求出CD ，结合图形计算，得到答案．【解答】解：在Rt ABC ∆中，8AB =米，37ABC ∠=︒，则sin 80.60 4.8AC AB ABC =⋅∠≈⨯=（米)，cos 80.80 6.40BC AB ABC =⋅∠≈⨯=（米)，在Rt ADC ∆中，30ADC ∠=︒，则 4.88.30tan tan 3033AC CD ADC ===≈∠︒（米)，8.30 6.40 1.9BD CD BC ∴=-=-≈（米)，答：BD 的长约为1.9米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．题型3.方案决策问题9．（2023秋•大东区期末）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC 表示车后盖，已知1AB m =，0.6BC m =，123ABC ∠=︒，该车的高度 1.7AO m =．如图2，打开后备箱，车后盖ABC 落在AB C ''处，AB '与水平面的夹角27B AD '∠=︒．（1）求打开后备箱后，车后盖最高点B '到地面l 的距离；（2）若小明爸爸的身高为1.83m ，他从打开的车后盖C 处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到0.01m ，参考数据：sin 270.454︒≈，cos 270.891︒≈，tan 270.510︒≈3 1.732)≈【分析】（1）过点B E AD '⊥于E ，根据正弦的定义求出B E '，进而求出车后盖最高点B '到地面l 的距离；（2）过点C '作C F B E '⊥'于点F ，根据题意求出60C B F ∠''=︒，根据余弦的定义求出B F '，再求出点C '到地面l 的距离，比较大小证明结论．【解答】解：（1）如图2，过点B E AD '⊥于E ，在Rt △AB E '中，1AB AB m '==，27B AD ∠'=︒，sin B E B AE AB '∠'='，sin 1sin 270.454()B E AB B AE m ∴'='⋅∠'=⨯︒≈，∴点B '到地面l 的距离为：0.454 1.7 2.154 2.15()m +=≈，答：车后盖最高点B '到地面l 的距离约为2.15m ；（2）没有碰头的危险，理由如下：如图2，过点C '作C F B E '⊥'于点F ，在Rt △AB E '中，27B AD ∠'=︒，则902763AB E ∠'=︒-︒=︒，123AB C ABC ∠'=∠=︒ ，60C B F ∴∠''=︒，0.6B C BC m ''== ，1cos 0.60.3()2B F BC C B F m ∴'=''⋅∠''=⨯=，∴点C '到地面l 的距离为：2.150.3 1.85()m -=，1.85 1.8> ，∴没有碰头的危险．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．题型4.一题多解——求建筑物的高10．（2023秋•长春期末）在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB 前有一座高为3m 的观景台DE ，已知30DCE ∠=︒，点E 、C 、A 在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C 处测得塔顶部B 的仰角为45︒，在观景台D 处测得塔顶部B 的仰角为27︒．求塔AB 的高度．【参考数据：tan 270.5︒=，3 1.7=】．【分析】根据题意可得：DE EC ⊥，然后在Rt DEC ∆中，利用含30度角的直角三角形的性质得333CE DE m ==，过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，设AB h =m ，根据题意得：(33)DF EA h m ==，3DE FA m ==，则(3)BF h m =-，然后在Rt BDF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BF 的长，从而列出关于h 的方程，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：DE EC ⊥，在Rt DEC ∆中，30DCE ∠=︒，90DEC ∠=︒，3DE m =，∴333CE DE m ==，BA EA ⊥ ，在Rt ABC ∆中，45BCA ∠=︒，AB h =m ，tan 45AB AC h m ∴==︒，∴)AE EC AC h m =+=，过点D 作DF AB ⊥于点F ，由题意得：3DE FA m ==，)DF EA h m ==，AB h = m ，(3)BF AB AF h m ∴=-=-，在Rt BDF ∆中，27BDF ∠=︒，tan 270.5(33)BF DF h m ∴=⋅︒=+，∴3)h h -=，∴611.1h =+=，11.1AB m ∴=，∴塔AB 的高度约为11.1m ．【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．11．（2023秋•闵行区月考）如图，AB ，CD 表示两栋建筑，小明想利用建筑CD 玻璃幕墙的反射作用来测建筑AB 的高度，首先他在建筑AB 的底部A 处用测角仪测得其顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点E 的仰角为α，然后他沿AC 前进了10米到达点F 处，再用测角仪测得建筑AB 的顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点G 的仰角为β，已知1tan 3α=，1sin 3β=，测角仪置于水平高度1.5米的M 、N 处．试求建筑AB 的高度．【分析】延长BE ．BG 分别交MN 的延长线于M '，N '，MM '于CD 相交于H ，设NH xm =，则(10)MH x m =+，(210)N M x m '=+，(220)MM x m '=+，在Rt △MM B '中，1tan (210)3BM MM x α='=+ ，在Rt △MN B '中，tan BM MN β=' ，根据1sin 3β=求得2tan 4β=，于是得到210)4BM x =+，列方程解得30235x =+，于是得到1[2(30235)20] 1.5(20231.5)3AB m =⨯+++=+．【解答】解：延长BE ．BG 分别交MN 的延长线于M '，N '，MM '于CD 相交于H ，设NH xm =，则(10)MH x m =+，(210)N M x m '=+，(220)MM x m '=+，在Rt △MM B '中，1tan (220)3BM MM x α='=+ ，在Rt △MN B '中，tan BM MN β=' ，1sin 3β=，22cos 3β∴=，2tan 4β∴=，210)BM x ∴=+，∴12(220)10)34x x +=+，解得：30235x =，1[2(30235)20] 1.5(20231.5)3AB m ∴=⨯+++=+．答：建筑AB 的高度为(20231.5)m ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．【方法三】差异对比法易错点：对俯角的意义理解错误12．（2023秋•诸城市期中）如图，数学兴趣小组用无人机测量一幢楼AB 的高度．小亮站立在距离楼底部94米的D 点处，操控无人机从地面F 点，竖直起飞到正上方60米E 点处时，测得楼AB 的顶端A 的俯角为30︒，小亮的眼睛点C 看无人机的仰角为45︒（点B 、F 、D 三点在同一直线上）．求楼AB 的高度．（参考数据：小亮的眼睛距离地面1.7米，3 1.7)≈【分析】过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，延长BA 交HE 于点I ，根据题意可得：BI EH ⊥， 1.7GF CD ==米，CG DF =，EI BF =，60EF IB ==米，94BD =米，从而可得58.3EG =米，然后在Rt EGC ∆中，利用锐角三角函数的定义求出CG 的长，从而求出IE 的长，再在Rt AIE ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AI 的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：如图：过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，延长BA 交HE 于点I ，由题意得：BI EH ⊥， 1.7GF CD ==米，CG DF =，EI BF =，60EF IB ==米，94BD =米，60 1.758.3EG EF FG ∴=-=-=（米)，在Rt EGC ∆中，45ECG ∠=︒，58.3tan 45EG CG ∴==︒（米)，58.3CG DF ∴==米，9458.335.7IE BF BD DF ∴==-=-=（米)，在Rt AIE ∆中，30AEI ∠=︒，tan 3035.7AI IE ∴=⋅︒=⨯（米)，6039.77AB IB IA ∴=-=-≈（米)，∴楼AB 的高度约为39.77米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【方法四】仿真实战法考法.解直角三角形的应用-坡角问题1．（2023•淄博）如图，与斜坡CE 垂直的太阳光线照射立柱AB （与水平地面BF 垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若2BC =米，8.48CD =米，斜坡的坡角32ECF ∠=︒，则立柱AB 的高为米（结果精确到0.1米）．科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.5300.8480.625【分析】延长AD 交BF 于点H ，根据余弦的定义求出CH ，进而求出BH ，再根据正切的定义计算，得到答案．【解答】解：如图，延长AD 交BF 于点H ，在Rt CDH ∆中，8.48CD =米，32DCH ∠=︒，cos CD DCH CH ∠=，8.4810cos 0.848CD CH DCH ∴=≈=∠（米)，10212BH CH BC ∴=+=+=（米)，90CDH ∠=︒ ，32DCH ∠=︒，903258DHC ∴∠=︒-︒=︒，AB BF ⊥ ，905832BAH ∴∠=︒-︒=︒，在Rt ABH ∆中，tan BH BAH AB ∠=，1219.2tan 0.625BH AB BAH ∴=≈=∠（米)，故答案为：19.2．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2．（2023•十堰）如图所示，有一天桥高AB 为5米，BC 是通向天桥的斜坡，45ACB ∠=︒，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C 延伸到D 处，使30D ∠=︒，则CD 的长度约为()（参考数据：1.414≈ 1.732)≈A ．1.59米B ．2.07米C ．3.55米D ．3.66米【分析】由90BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，得45ABC ACB ∠=∠=︒，则5AC AB ==米，由90BAD ∠=︒，30D ∠=︒，得60ABD ∠=︒，则tan 603AD AB =︒=，所以3AD AB =，则3 3.66CD AD AC AB AC =-=-≈米，于是得到问题的答案．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，5AC AB ∴==米，在Rt ABD ∆中，90BAD ∠=︒，30D ∠=︒，60ABD ∴∠=︒，∴tan tan 603AD ABD AB=∠=︒=，3AD AB ∴=，3 1.73255 3.66CD AD AC AB AC ∴=-=-≈⨯-≈（米)，CD ∴的长度约为3.66米，故选：D ．【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、等腰直角三角形的判定、锐角三角函数与解直角三角形等知识，推导出3AD AB =是解题的关键．3．（2023•深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1m 耗能(1.025cos )J α-，若某人爬了1000m ，该坡角为30︒，则他耗能()（参考数据：3 1.732≈，2 1.414)≈A ．58J B ．159J C ．1025J D ．1732J【分析】根据题意可得：他耗能1000(1.025cos30)=⨯-︒，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：某人爬了1000m ，该坡角为30︒，则他耗能1000(1.025cos30)1000(1.025159()J =⨯-︒=⨯-≈，故选：B ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．4．（2023•辽宁）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m 高的山峰，由山底A 处先步行300m 到达B 处，再由B 处乘坐登山缆车到达山顶D 处．已知点A ，B ，D ，E ，F 在同一平面内，山坡AB 的坡角为30︒，缆车行驶路线BD 与水平面的夹角为53︒（换乘登山缆车的时间忽略不计）．（1）求登山缆车上升的高度DE ；（2）若步行速度为30/m min ，登山缆车的速度为60/m min ，求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟（结果精确到0.1)min ．（参考数据：sin 530.80︒≈，cos 530.60︒≈，tan 53 1.33)︒≈【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出BM ，进而求出DE 即可；（2）利用直角三角形的边角关系，求出BD 的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可．【解答】解：（1）如图，过点B 作BM AF ⊥于点M ，由题意可知，30A ∠=︒，53DBE ∠=︒，600DF m =，300AB m =，在Rt ABM ∆中，30A ∠=︒，300AB m =，11502BM AB m EF ∴===，600150450()DE DF EF m ∴=-=-=，答：登山缆车上升的高度DE 为450m ；（2）在Rt BDE ∆中，53DBE ∠=︒，450DE m =，sin DE BD DBE∴=∠4500.80≈562.5()m =，∴需要的时间t t t =+步行缆车300562.53060=+19.4()min ≈，答：从山底A 处到达山顶D 处大约需要19.4分钟．【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．5．（2023•大庆）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A 出发，途经点B 后到达山顶P ，其中400AB =米，200BP =米，且AB 段的运行路线与水平方向的夹角为15︒，BP 段的运行路线与水平方向的夹角为30︒，求垂直高度PC ．（结果精确到1米，参考数据：sin150.259︒≈，cos150.966︒≈，tan150.268)︒≈【分析】过点B 作BD PC ⊥，垂足为D ，过点B 作BE AC ⊥，垂足为E ，根据题意可得：CD BE =，然后分别在Rt ABE ∆和Rt BDP ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BE 和DP 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点B 作BD PC ⊥，垂足为D ，过点B 作BE AC ⊥，垂足为E ，由题意得：CD BE =，在Rt ABE ∆中，15A ∠=︒，400AB =米，sin154000.259103.6BE AB ∴=⋅︒≈⨯=（米)，103.6CD BE ∴==米，在Rt BDP ∆中，30PBD ∠=︒，200BP =米，11002DP BP ∴==（米)，204PC PD DC ∴=+≈（米)，∴垂直高度PC 约为204米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【方法五】成果评定法一、单选题A ．10tan 40⋅︒米B 【答案】A 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．【详解】解：∵ABC 为直角三角形，A ．170m【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点四边形ABED 是矩形，得到可求出答案．【详解】解：如图所示，过点由题意得AB CD AD ∥，∴AB AD ⊥，又∵BE CD ⊥，∴四边形ABED 是矩形，∴10m DE AB AD ==，在Rt EBC 中，tan α=∴105m CE =，∴115m CD DE CE =+=故选D ．4．（2023上·四川资阳则AC的长是（）A．53米B【答案】A【分析】本题考查了坡比计算，熟练掌握定义是解题的关键．【详解】∵堤高5BC=米，迎水坡∴:5:1:==BC AC AC解得53AC=（米），故选A．5．（2023上·山西长治·九年级校联考期末）该支架三个脚长度相同且与地面夹角相同．如图∠脚AB的长为2米，BA．2tan70︒米B．2sin【答案】B【分析】本此题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系得出。

中考数学三角函数的基本特性归纳与应用三角函数是数学中重要且广泛应用的一个分支，它在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用。

了解三角函数的基本特性及其应用，对于中考数学的学习和考试至关重要。

本文将对三角函数的基本特性进行归纳和探讨，并对其应用进行简要的概述。

一、正弦函数的基本特性正弦函数是三角函数中最基础、最常用的函数之一。

对于任意角θ，其正弦值sinθ满足如下特性：1. 值域：-1 ≤ sinθ ≤ 1，即正弦值的范围在闭区间[-1, 1]内。

2. 周期性：sin(θ+2π)=sinθ，即正弦函数以2π为一个完整的周期。

3. 奇偶性：sin(-θ)=-sinθ，即正弦函数是奇函数。

二、余弦函数的基本特性余弦函数是另一个重要的三角函数，它在数学、物理、工程等领域中广泛应用。

对于任意角θ，其余弦值cosθ满足如下特性：1. 值域：-1 ≤ cosθ ≤ 1，即余弦值的范围在闭区间[-1, 1]内。

2. 周期性：cos(θ+2π)=cosθ，即余弦函数以2π为一个完整的周期。

3. 偶性：cos(-θ)=cosθ，即余弦函数是偶函数。

三、正切函数的基本特性正切函数是三角函数中最常用的函数之一，它在几何、物理、工程等领域中有着广泛的应用。

对于任意角θ，其正切值tanθ满足如下特性：1. 定义域：θ≠(2k+1)π/2，其中k为整数，即正切函数在除了(2k+1)π/2的整数倍处的角度处无定义。

2. 周期性：tan(θ+π)=tanθ，即正切函数以π为一个周期。

四、三角函数的应用1. 几何应用：三角函数在几何中有广泛的应用，如利用正弦函数、余弦函数可以求解三角形的边长、角度等问题。

2. 物理应用：三角函数在物理学中有着重要的应用，如利用正弦函数、余弦函数可以分析机械波的传播规律、电路中的交流信号等。

3. 工程应用：三角函数在工程领域中也有诸多应用，如利用正弦函数、余弦函数可以计算物体的运动轨迹、建筑物的高度等。

13. 三角函数的综合运用知识考点:本课时主要是解直角三角形的应用,涉及到的内容包括航空、航海、工程、测量等领域。

要求能灵活地运用解直角三角形的有关知识，解决这些实际问题。

熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念,常用的方法是通过数形结合、建立解直角三角形的数学模型。

精典例题:【例１】如图，塔ＡＢ和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为450和6０0,试求塔高与楼高（精确到0.０1米）。

(参考数据：2＝1。

41４2１…，3=１。

73205…）分析：此题可先通过解Ｒt △ＡBD 求出塔高A Ｂ，再利用ＣＥ=BD ＝80米,解Ｒt △AEC 求出AE ，最后求出ＣD=BE ＝A Ｂ－AE 。

解：在R ｔ△ABD 中,BD ＝8０米，∠BAD ＝6０0∴A Ｂ＝56.13838060tan 0≈=⋅BD （米） 在Ｒt △A ＥＣ中，ＥC=BD ＝8０米，∠ACE ＝450∴AE ＝ＣE=80米∴CD=BE=AB —A Ｅ=56.5880380≈-(米)答：塔ＡB 的高约为138. 56米，楼C Ｄ的高约为５8. 56米。

【例2】如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO=４５0米，且A 、B 、O 三点在一条直线上,测得大桥两端的俯角分别为030=α，045=β，求大桥A Ｂ的长（精确到1米，选用数据:2=1.41，3＝1。

73)分析:要求ＡB ，只须求出ＯA 即可。

可通过解Rt △ＰＯA 达到目的。

解:在Ｒt △PAO 中，∠PA Ｏ=030=α∴ＯA ＝345030cot 450cot 0==∠⋅PAO PO （米） 在Rt △ＰBO 中,∠P ＢO=045=β ∴O Ｂ＝ＯP ＝450（米）∴ＡＢ＝OA-OB=3294503450≈-(米)答：这座大桥的长度约为329米. 评注：例１和例2都是测量问题（测高、测宽等），解这类问题要理解仰角、俯角的概念,合理选择关系式,按要求正确地取近似值。

中考数学重要知识点解析三角函数的计算与应用三角函数是中学数学中的重要知识点，它在几何学和三角学的相关领域中有着广泛的应用。

掌握三角函数的计算与应用，对于中考数学的学习至关重要。

本文将对三角函数的计算方法和应用进行解析。

一、弧度制和角度制的转换在计算三角函数时，有时会涉及到角度的转换。

在数学中，角度的计量方式有角度制和弧度制两种。

角度制是将一个圆周等分为360等份，以度（°）作为计量单位；而弧度制是以圆的弧长所对应的圆心角作为计量单位。

在数学中，我们常常使用45°和π/4两种表示方式，它们是等价的。

具体转换公式如下：弧度制角度 = 弧度× (180/π)角度制角度 = 角度× (π/180)二、常用三角函数的计算在三角函数中，最常用的三个函数是正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。

这些函数的值与角度的大小有着密切的关系。

可以通过查表或计算器进行具体数值的计算。

1. 正弦函数正弦函数的定义为：sinθ = 对边/斜边其中θ为角度，对边指的是与角度θ相对的边，斜边指的是三角形中斜边的长度。

正弦函数的取值范围是[-1, 1]。

2. 余弦函数余弦函数的定义为：cosθ = 邻边/斜边其中θ为角度，邻边指的是与角度θ相邻的边，斜边指的是三角形中斜边的长度。

余弦函数的取值范围也是[-1, 1]。

3. 正切函数正切函数的定义为：tanθ = 对边/邻边其中θ为角度，对边指的是与角度θ相对的边，邻边指的是与角度θ相邻的边。

正切函数的取值范围是(-∞, +∞)。

三、三角函数的应用三角函数在几何学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

在中考数学中，我们也常常需要运用三角函数来解决一些实际问题。

以下是几个常见的应用场景：1. 三角形的边长计算已知一个三角形的两个角度和一个边长，我们可以利用三角函数来计算其他边长的值。

例如，已知一个直角三角形的一个锐角为30°，另一个锐角为60°，我们可以利用sin30°和cos30°来计算三角形的边长。

三角函数的应用中考数学中的常见问题解决方法三角函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域，尤其在中考数学中经常出现。

然而，由于其复杂性，学生们常常遇到一些问题。

本文将介绍一些常见的问题以及相应的解决方法，以帮助学生更好地应对三角函数的应用。

问题一：如何准确计算三角函数的值？解决方法：为了准确计算三角函数的值，学生需要熟悉常见角度的正弦、余弦和正切值，并掌握使用计算器的技巧。

同时，学生还应了解特殊角度的三角函数值，如30°、45°和60°等，因为它们在问题求解中经常出现。

问题二：如何确定一个三角形的边长或角度？解决方法：在解决三角形的边长或角度问题时，可以运用正弦定理、余弦定理和正切定理。

正弦定理可以帮助我们求解三角形的边长，而余弦定理则常用于解决三角形的角度问题。

正切定理适用于特殊情况，如等腰三角形。

问题三：如何应用三角函数解决实际问题？解决方法：实际问题中经常涉及到三角函数的应用，比如测量高楼的高度、计算物体的飞行距离等。

解决这类问题时，我们可以通过建立适当的图形模型，使用三角函数来表达出已知和未知量之间的关系。

在这个过程中，学生需要善于抽象问题，将其转化为数学模型。

问题四：如何解决解三角函数方程的问题？解决方法：解三角函数方程需要运用三角恒等式和解方程的技巧。

首先，学生需要了解常用的三角恒等式，并熟练掌握其证明和应用。

其次，学生需要将方程化简为三角恒等式的形式，并找到方程的解。

最后，学生还需检验解是否满足原方程。

问题五：如何使用三角函数图像解决问题？解决方法：三角函数的图像通常是一种周期性的波动曲线，通过观察图像，可以获得有关函数性质的信息。

学生可以利用图像分析函数的周期、幅值、最大值、最小值等特征属性，并将其应用于问题求解。

同时，学生还需注意辨别不同类型的三角函数图像，并了解其基本特点。

问题六：如何解决三角函数的复合问题？解决方法：三角函数的复合问题意味着需要嵌套运用多个三角函数公式进行计算。