勾股定理题型归纳
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勾股定理复习小结
一、 知识结构
二. 知识点回顾
1、 勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有:(1)已知直角三角形的两边求第三边
(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形
(1) 先确定最大边(如c )
(2) 验证2
c 与2
2b a +是否具有相等关系
(3) 若2
c =22b a +,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形;若2c ≠2
2b a + 则△ABC 不是直角三角形。 3、 勾股数
满足2
2
b a +=2
c 的三个正整数,称为勾股数
如(1)3,4,5; (2)5,12,13; (3)6,8,10;(4)8,15,17
(5)7,24,25 (6)9, 40, 41
勾股定理培优经典题型归纳
题型一:利用勾股定理解决实际问题
训练1、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?
训练2、如图,公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇,点A 处有一所中学,AP=160米,点A 到公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响
的时间为多少?
定理:2
22c b a =+ 应用:主要用于计算
直角三角形的性质:勾股定理
直角三角形的判别方法::若三角形的三边满足222
c b a =+ 则
它是一个直角三角形.
勾股定理
F
E D
A
B C
题型二、与勾股定理有关的图形问题
训练3.如图,直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ,点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2,则正方形的边长是____ _____.
题型三、关于翻折问题
训练4、如图,折叠矩形纸片ABCD ,先折出折痕(对角线)BD ,再折叠,使AD 落在对角线BD 上,得折痕DG ,若AB = 2,BC = 1,求AG.
训练5、如图,把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点E 处,EC 与AD 相交于点F.若AB=4,BC=6,求△FAC
的周长和面积.
训练6、如图,将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 点处,已知cm CE 6=,cm AB 16=,求BF 的长.
G
A 1 D A B
C
F
E
D
C
B
A
训练7、如图,一张矩形纸片ABCD的长AD=9㎝,宽AB=3㎝。现将其折叠,使点D与点B重合。求折叠后BE的长和折痕EF的长。
题型四、关于最短性问题
训练8、如图1,长方体的长为12cm,宽为6cm,高为5cm,一只蚂蚁沿侧面从A点向B点爬行,问:爬到B点时,蚂蚁爬过的最短路程是多少?
训练9、如图壁虎在一座底面半径为2米,高为4米的油罐的下底边沿A处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?
训练10、如图,一个高18m,周长5m的圆柱形水塔,现制造一个螺旋形登梯,为减小坡度,要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端,问登梯至少多长?(建议:拿张白纸动手操作,你一定会发现其中的奥妙)
题型五、关于勾股定理判定三角形形状
训练11、已知,△ABC 中,AB=17cm ,BC=16cm ,BC 边上的中线AD=15cm ,试说明△ABC 是等腰三角形。
训练12:已知△ABC 的三边a 、b 、c ,且a+b=17,ab=60,c=13, △ABC 是否是直角三角形?你能说明理由吗?
题型六、关于旋转中的勾股定理的运用:
训练13、如图,△ABC 是直角三角形,BC 是斜边,将△ABP 绕点A 逆时针旋转后,能与△AC P ′重合,若AP=3,求PP ′的长。
P
A P C B