高中数学 命题知识点考点典型例题

一、函数1、函数概念与基本初等函数一、知识导学1.映射：一般地，设A 、B 两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A 到集合 B的映射，记作f ：A →B.(包括集合A 、B 及A 到B 的对应法则)2.函数： 设A ，B 都是非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，且B 中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合A 到集合 B 的一个函数，记作 ()y f x =.其中所有的输入值x 组成的集合A 称为函数()y f x =定义域.对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应，我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域.3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(x ∈A)的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x=f -1(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么x=f -1(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数叫做函数y=f(x)(x ∈A)的反函数，记作x=f -1(y). 我们一般用x 表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f -1(y)中的字母x,y ，把它改写成y=f -1(x) 反函数y=f -1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.二、疑难知识导析1.对映射概念的认识(1) 与 是不同的，即与上有序的.或者说：映射是有方向的，(2) 输出值的集合是集合B 的子集.即集合B 中可能有元素在集合A 中找不到对应的输入值.集合A 中每一个输入值，在集合B 中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B 中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.(3)集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.2.对函数概念的认识（1）对函数符号 ()f x 的理解知道 y=()f x 与 ()f x 的含义是一样的，它们都表示是 的函数，其中 是自变量，()f x 是函数值，连接的纽带是法则 .是单值对应.(2)注意定义中的集合 A ，B 都是非空的数集,而不能是其他集合；（3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.3.对反函数概念的认识（1）函数y=()f x 只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x 对称.三、经典例题导讲[例1]设M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝,求（1）从M 到N 的映射种数；（2）从M 到N 的映射满足 f (a)>f (b)≥f(c),试确定这样的映射f 的种数.解：（1）由于M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有 一共有27个映射 （2）符合条件的映射共有4个0222,2,2,0,0,2220a a a a b b b b c c c c →→→→⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪→-→-→→⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪→-→-→-→⎩⎩⎩⎩[例2]已知函数()f x 的定义域为[0，1]，求函数(1)f x +的定义域 正解：由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是[－1，0][例3]已知：*,x N ∈5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，求(3)f .正解：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，∴(3)f ＝(32)(5)f f +=＝(52)(7)f f +=＝7-5＝2 [例4]已知()f x 的反函数是1()f x -，如果()f x 与1()f x -的图像有交点，那么交点必在直线y x =上，判断此命题是否正确？错解：正确错因：对互为反函数的图像关于直线y x =对称这一性质理解不深，比如函数1161()log 16x y y x ==与的图像的交点中，点1111(,),2442（，）不在直线y x =上，由此可以说明“两互为反函数图像的交点必在直线y x =上”是不正确的.[例5]求函数2()46y f x x x ==-+，[1,5)x ∈的值域.解：配方，得22()46(2)2y f x x x x ==-+=-+∵[1,5)x ∈，对称轴是2x =∴当2x =时，函数取最小值为(2)f =2，()(5)11f x f <= ()f x ∴的值域是[)211，[例6]根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知()f x 是二次函数，若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++，求()f x .（2）已知(1)2f x x x +=+，求()f x（3）若()f x 满足1()2(),f x f ax x +=求()f x 解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解 设()f x ＝2(0)ax bx ca ++≠由于(0)0f =得2()f x ax bx =+， 又由(1)()1f x f x x +=++，∴22(1)(1)1a xb x ax bx x +++=+++即 22(2)(1)1ax a b x a b ax b x ++++=+++ 211021a b b a a b a b +=+⎧⎪∴≠∴==⎨⎪+=⎩ 因此：()f x ＝ (2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解设22()(1)2(1)1(1)f u u u u u ∴=-+-=-≥ ∴()f x ＝21x - （1x ≥）（3）由于()f x 为抽象函数，可以用消参法求解用1x 代x 可得：11()2(),f f x a x x += 与 1()2()f x f ax x += 联列可消去1()f x 得：()f x ＝233a ax x -. 点评：求函数解析式（1）若已知函数()f x 的类型，常采用待定系数法；（2）若已知[()]f g x 表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.[例7] 已知x y x 62322=+，试求22y x +的最大值.1(0),1(1)u x x x u u =+≥∴=-≥21122x x +分析：要求22y x +的最大值，由已知条件很快将22y x +变为一元二次函数,29)3(21)(2+--=x x f 然后求极值点的x 值，联系到02≥y ，这一条件，既快又准地求出最大值.解 由 x y x 62322=+得.20,0323,0.3232222≤≤∴≥+-∴≥+-=x x x y x x y 又,29)3(2132322222+--=+-=+x x x x y x ∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.429)32(212=+-- 点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：由 x y x 62322=+得 ,32322x x y +-= ,29)3(2132322222+--=+-=+∴x x x x y x ∴当3=x 时，22y x +取最大值，最大值为29 这种解法由于忽略了02≥y 这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题..2、函数的性质1.函数的单调性：（1）增函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果定义域I 内某个区间上任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1＜x 2时，都有f(x 1)<f(x 2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.（2）减函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果定义域I 内某个区间上任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1＜x 2时,都有f(x 1)＞f(x 2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.（3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.2.函数的奇偶性：（1）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x) =－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.（2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.3.函数的图像：将自变量的一个值x 0作为横坐标，相应的函数值f(x 0)作为纵坐标，就得到平面内的一个点（x 0,f(x 0)），当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数y=f(x)的图像.二、疑难知识导析1. 对函数单调性的理解， 函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.2.对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x ，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映.这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.3. 用列表描点法总能作出函数的图像，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图像的特点，如二次函数图像是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的.三、经典例题导讲[例1]判断函数1()3x y -=的单调性.正解： 令t x =-，则该函数在R 上是减函数，又1101,()33t y <<∴=在R 上是减函数， ∴ 1()3x y -=是增函数 [例2]判断函数1()(1)1x f x x x-=++的奇偶性. 正解：1()(1)1x f x x x -=++有意义时必须满足10111x x x-≥⇒-<≤+ 即函数的定义域是｛x ｜11x -<≤｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 [例3] 判断22()log (1)f x x x =++的奇偶性.正解：方法一：∵)1(log )1)((log )(2222++-=+-+-=-x x x x x f ＝11log 22++x x ＝)1(log 22++-x x ＝－)(x f∴)(x f 是奇函数方法二：∵)1(log )1(log )()(2222++-+++=-+x x x x x f x f＝01log )1()1[(log 2222==++-⋅++x x x x )()(x f x f -=- ∴)(x f 是奇函数[例5] 已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,求x 的取值范围. 正解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得,故0<x <6, 又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数，∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6}, 3、基本初等函数一、知识导学1. 二次函数的概念、图像和性质. （1）注意解题中灵活运用二次函数的一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠ 二次函数的顶点式2()()(0)f x a x m n a =-+≠和 二次函数的坐标式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根的范围等）要充分利用好两种方法：配方、图像，很多二次函数都用数形结合的思想去解. ①2()(0)f x ax bx ca =++≠，当240b ac ∆=->时图像与x 轴有两个交点. M （x 1,0）N(x 2,0),|MN|=| x 1- x 2|=||a ∆. ② 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得.2.指数函数x y a =(0,1)a a >≠和对数函数log a y x =(0,1)a a >≠的概念和性质.（1）有理指数幂的意义、幂的运算法则： ①m n m n a a a +⋅=；②()m n mn a a =；③()n n n ab a b =（这时m,n 是有理数）对数的概念及其运算性质、换底公式.log ()log log ;log log log a a a a a a M M N M N M N N ⋅=+=- 1log log ;log log n n a a a a M n M M M n==； log log log c a c b b a = （2）指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点.①指数函数图像永远在x 轴上方，当a ＞1时，图像越接近y 轴，底数a 越大；当0<a<1时，图像越接近y 轴，底数a 越小.②对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约，注意对底数a 的讨论.③当a>1时，图像越接近x 轴，底数a 越大; 当0<a<1时，图像越接近x 轴，底数a 越小.3.幂函数y x α=的概念、图像和性质.结合函数y=x,y=x 2 ,y=x 3,y=12,y x y x --==,y=12x 的图像，了解它们的变化情况. ①α＞0时，图像都过（0,0）、（1,1）点，在区间（0，+∞）上是增函数；注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别.②α＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0，+∞）上是减函数；在第一象限内，图像向上无限接近y 轴，向右无限接近x 轴.③当x>1时，指数大的图像在上方.二、疑难知识导析1.二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像.二次函数的对称轴与区间的位置通常有三种情况：（1）定义域区间在对称轴的右侧；（2）定义域区间在对称轴的左侧；（3）对称轴的位置在定义域区间内2.幂的运算性质、对数的运算性质的运用，要注意公式正确使用.会用语言准确叙述这些运算性质防止出现下列错误：（1）式子n n a ＝a ，（2）log ()log log ;log ()log log a a a a a a M N M N M N M N +=+⋅=⋅ 3.利用指数函数的性质解题，一定要注意底数的取值. 4.函数()f x y a =的研究方法一般是先研究()f x 的性质，再由a 的情况讨论()f x y a =的性质. 5.对数函数log a y x =(0,1)a a >≠与指数函数x y a =(0,1)a a >≠互为反函数，会将指数式与对数式相互转化. 6.幂函数y x α=的性质，要注意α的取值变化对函数性质的影响.（1）当奇奇=α时，幂函数是奇函数；（2）当奇偶=α时，幂函数是偶函数；（3）当偶奇=α时，定义域不关于原点对称，幂函数为非奇非偶函数.三、经典例题导讲[例1]已知18log 9,185,b a ==求36log 45 正解：∵185,b =∴18log 5b =∴1818183621818181818log 45log 5log 9log 451818log 36log 4log 92log ()2log ()99b a b a b a a a a ++++=====+-++ [例2]分析方程2()0f x ax bx c =++=（0a >）的两个根都大于1的充要条件.正解：充要条件是2(1)01240f b ab ac >⎧⎪⎪->⎨⎪⎪∆=-≥⎩ [例3]求函数361265x x y =-⋅-的单调区间. 正解：令6x t =，则6x t =为增函数， 361265x x y =-⋅-＝2125t t -⋅-＝2(6)41t --∴当t ≥6,即x ≥1时，y 为关于t 的增函数，当t ≤6,即x ≤1时，y 为关于t 的减函数 ∴函数361265x x y =-⋅-的单调递减区间是(,1]-∞，单调递增区间为[1,)+∞[例4]已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 正解：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数，∴a ＞1又由于x 在[0，1]上时 )2(log ax y a -=有意义，ax u -=2又是减函数，∴x ＝1时，ax u -=2取最小值是a u -=2min ＞0即可， ∴a ＜2综上可知所求的取值范围是1＜a ＜2[例5]已知函数()log (3)a f x ax =-.（1）当[0,2]x ∈时()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围.（2）是否存在这样的实数a 使得函数()f x 在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.分析：函数()f x 为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明.解：（1）由假设，ax -3＞0，对一切[0,2]x ∈恒成立，0,1a a >≠显然，函数g(x)= ax -3在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a -＞0得到a ＜32∴a 的取值范围是（0，1）∪（1，32） (2)假设存在这样的实数a ，由题设知(1)1f =，即(1)log (3)a f a =-＝1∴a ＝32此时3()log (3)2a f x x =- 当2x =时，()f x 没有意义，故这样的实数不存在. 点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.4、函数与方程一、知识导学1.函数的零点与方程的根的关系：一般地，对于函数()y f x =（x D ∈）我们称方程()0f x =的实数根x 也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 求综合方程f (x )=g (x )的根或根的个数就是求函数()()y f x g x =-的零点.2.函数的图像与方程的根的关系：一般地，函数()y f x =（x D ∈）的图像与x 轴交点的横坐标就是()0f x =的根.综合方程f (x )=g (x )的根，就是求函数y ＝f (x )与y =g (x )的图像的交点或交点个数，或求方程()()y f x g x =-的图像与x 轴交点的横坐标.3.判断一个函数是否有零点的方法：如果函数()y f x =在区间[a,b]上图像是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间（a,b ）上至少有一个零点，即至少存在一个数(,)c a b ∈使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的一个根.对于我们学习的简单函数，可以借助()y f x =图像判断解的个数，或者把()f x 写成()()g x h x -，然后借助()y g x =、()y h x =的图像的交点去判断函数()f x 的零点情况.4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系： 二次函数2y ax bx c =++的零点，就是二次方程20ax bx c ++=的根，也是二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交点的横坐标.5. 二分法：对于区间[a,b]上的连续不断，且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.二、疑难知识导析1.关于函数()()y f x g x =-的零点，就是方程()()f x g x =的实数根，也就是()y f x =与函数()y g x =图像的交点的横坐标. 要深刻理解，解题中灵活运用.2.如果二次函数2()y f x ax bx c ==++，在闭区间[m,n]上满足()()0f m f n ⋅<，那么方程20ax bx c ++=在区间（m,n ）上有唯一解，即存在唯一的1(,)x m n ∈，使1()0f x =，方程20ax bx c ++=另一解2(,)(,)x m n ∈-∞⋃+∞.3. 二次方程20ax bx c ++=的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方程()f x ＝20ax bx c ++=的根都在区间(,)m n 时 应满足：02()0()0b m n a f m f n ∆≥⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩ 4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是 （1）取一个区间（,a b ）使()()0f a f b ⋅< （2）取区间的中点，02a b x +=（3）计算0()f x ，①若0()0f x =，则0x 就是()0f x =的解，计算终止；②若0()()0f a f x ⋅<，则解位于区间（0,a x ）中，令110,a a b x ==；若0()()0f x f b ⋅<则解位于区间（0,x b ）令101,a x b b ==（4）取区间是（11,a b ）的中点，1112a b x +=重服第二步、第三骤直到第n 步，方程的解总位于区间（,n n a b ）内（5）当,n n a b 精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解.三、经典例题导讲 [例1]已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，求a 的取值范围. 正解：设()f x 的最小值为()g a（1）当22a -<-即a ＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3a ≥0，得73a ≤故此时a 不存在； (2) 当[2,2]2a -∈-即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－a －24a ≥0，得－6≤a ≤2 又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；（3）22a ->即a ＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4 故－7≤a ＜－4综上，得－7≤a ≤2 [例2]已知210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内，求m 的取值范围. 解：设2()1f x mx x =++，（1）当m ＝0时方程的根为－1，不满足条件.（2）当m ≠0∵210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内又(0)f ＝1＞0∴有两种可能情形①(1)0f <得m ＜－2 或者②1(1)02f m=-且0<<1得m 不存在 综上所得，m ＜－2[例3]已知一次函数y kx b =+与二次函数2y ax =图像如图，其中y kx b =+的交点与x 轴、y 轴的交点分别为A （2，0），B （0，2）；与二次函数2y ax =的交点为P 、Q ，P 、Q 两点的纵坐标之比为1︰4.（1）求这两个函数的解析式.（2）解方程：2ax kx b =+ 正解：（1）抛物线方程为2y x = （2）方法一：由（1）得方程2ax kx b =+ 即为 22x x =-+解得x 1＝－2，x 2＝1. 方法二：方程2ax kx b =+的根即为二次函数2y ax =与一次函数y kx b =+的交点的横坐标.由（1）知它们交点的坐标分别为P （1， 1），Q （－2， 4）， ∴方程2ax kx b =+的解为x 1＝－2，x 2＝1.[例4]是否存在这样的实数k ，使得关于x 的方程x 2+（2k －3）x －（3k －1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试说明理由. 解：令2()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到 2(23)4(31)0(0)130(2)42(23)(31)023022k k f k f k k k ⎧∆=-+-≥⎪=->⎪⎪⎨=+--->⎪-⎪<<⎪⎩即24501313722k k k k ⎧+≥⎪⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩即此不等式无解 即不存在满足条件的k 值. [例5]已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.解：设F （x ）＝()f x －121[()()]2f x f x +， 则方程 ()f x ＝121[()()]2f x f x + ① 与方程 F （x ）＝0 ② 等价∵F （x 1）＝1()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2f x f x - F （x 2）＝2()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2f x f x -+ ∴ F （x 1）·F （x 2）＝－2121[()()]4f x f x -，又12()()f x f x ≠ ∴F （x 1）·F （x 2）＜故方程②必有一根在区间（x 1，x 2）内.由于抛物线y ＝F （x ）在x 轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x 轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.点评：本题由于方程是()f x ＝121[()()]2f x f x +，其中因为有()f x 表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明()f x 的图像与x 轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证1()f x 2()f x ＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F （x ）＝()f x －121[()()]2f x f x +的图像与x 轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在. 函数的综合运用(因今年高考对此不作要求，故略）二、三角函数1任意角三角函数一、知识导学1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角. 2．弧度制：任一已知角α的弧度数的绝对值r l =α，其中l 是以α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.3．弧度与角度的换算：rad π2360= ；rad 1745.01801≈=π ；130.57180≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad .用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad ）可以省略不写.度() 不可省略. 4．弧长公式、扇形面积公式：,r l α=2||2121r lr S α=＝扇形,其中l 为弧长，r 为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当πα2=时的情形.5．任意角的三角函数定义：设α是一个任意大小的角，角α终边上任意一点P 的坐标是()y x ,，它与原点的距离是)0(>r r ，那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是yr x r y x x y r x r y ======ααααααcs c ,s ec ,cot ,tan ,cos ,s in .这六个函数统称为三角函数. 6．三角函数的定义域三角函数定义域x y sin = Rx y cos =R x y tan = ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ x y cot = {}Z k k x x ∈≠,πx y sec = ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ x y csc ={}Z k k x x ∈≠,π 7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.二、疑难知识导析1．在直角坐标系内讨论角（1）角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为x 轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.（2）与α角终边相同的角的集合表示. {}Z k k ∈+⋅=,360αββ ，其中α为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差 360整数倍.2．值得注意的几种范围角的表示法 “0 ～ 90间的角”指 900<≤θ；“第一象限角”可表示为{}Z k k k ∈+⋅<<⋅,90360360 θθ；“小于90 的角”可表示为{}90<θθ. 3．在弧度的定义中r l 与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关. 4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P 坐标中必有一个为0.5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角α与)(360Z k k ∈⋅= β的同名三角函数值相等；（2）r y r x ≤≤,，故有1s i n ,1c o s ≤≤αα，这是三角函数中最基本的一组不等关系.6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？三、经典例题导讲 [例1] 若A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的个数是（ ）①.C A sin sin < ②.C A cot cot < ③.C A tan tan < ④.C A cos cos <A ．1 B.2 C.3 D.4正解：法1C A < 在ABC ∆中，在大角对大边，A C a c sin sin ,>∴>法2 考虑特殊情形，A 为锐角，C 为钝角，故排除B 、C 、D ，所以选A .[例2]已知βα,角的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为 . 正解：∵βα,角的终边关于y 轴对称∴ )(,22Z k k ∈+=+ππβα即)(,2z k k ∈+=+ππβα说明：（1）若βα,角的终边关于x 轴对称，则α与β的关系为)(,2Z k k ∈=+πβα（2）若βα,角的终边关于原点轴对称，则α与β的关系为)(,)12(Z k k ∈++=πβα（3）若βα,角的终边在同一条直线上，则α与β的关系为)(,Z k k ∈+=παβ[例3] 已知542cos ,532sin -==θθ，试确定θ的象限. 正解：∵0542cos ,0532sin <-=>=θθ，∴2θ是第二象限角，又由43sin 22532sinπθ=<=知z k k k ∈+<<+,22432ππθππ z k k k ∈+<<+,24234ππθππ，故θ是第四象限角. [例4]已知角α的终边经过)0)(3,4(≠-a a a P ，求ααααcot ,tan ,cos ,sin 的值.正解：若0>a ，则a r 5=，且角α在第二象限3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-=-=-===∴a a a a a a a a αααα 若0<a ，则a r 5-=，且角α在第四象限3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-==--=-=-=∴a a a a a a a a αααα说明：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解； （2）本题由于所给字母a 的符号不确定，故要对a 的正负进行讨论.[例5]一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的半径为rcm ，则扇形的弧长cm r l )220(-= 扇形的面积25)5()220(212+--=⋅-=r r r S 所以当cm r 5=时，即2,10===r l cm l α时2max 25cm S =.点评：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值.[例6]已知α是第三象限角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+。

高一数学上第一章：1.7.1四种命题一、导入新课1、两个命题中, 如果第一个命题的条件(或题设) 是第二个命题的结论, 且第一个命题的结论是第二个命题的条件, 那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。

例如, 如果原命题是（1）同位角相等,两直线平行;它的逆命题是(2)两直线平行, 同位角相等.命题“同位角相等，两条直线平行”除了能构成它的逆命题外，是否还可以构成其它形式的命题？(1)同位角相等, 两直线平行;(2)两直线平行, 同位角相等.再看下面两个命题:(3)同位角不相等, 两直线不平行;(4)两直线不相等,同位角不平行.在命题(1)与命题(3)中,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题.(1)同位角相等, 两直线平行;(4)两直线不相等, 同位角不平行.在命题(1)与命题(4)中,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题。

一般地, 用p和q分别表示原命题的条件和结论, 用﹁p和﹁q分别表示p和q的否定. 于是四种命题的形式就是:原命题若p则q;逆命题若q则p;否命题若﹁ p则﹁ q;逆否命题若﹁q 则﹁ p;例1 把下列命题改写成“若p则q”的形式,并写出它们们的逆命题、否命题与逆否命题：（1）负数的平方是正数；（2）正方形的四条边相等.分析:关键是找出原命题的条件p与结论q.解: (1) 原命题可以写成: 若一个数是负数,则它的平方是正数.逆命题 :若一个数的平方是正数,则它是负数否命题: 若一个数不是负数,则它的平方不是正数.逆否命题: 若一个数的平方不是正数, 则它不是负数.（2）正方形的四条边相等(2) 原命题可以写成: 若一个四边形是正方形,则它的四条边相等.逆命题 :若一个四边形的四条边相等, 则它是正方形.否命题: 若一个四边形不是正方形, 则它的四条边不相等.逆否命题: 若一个四边形的四条边不相等, 则它不是正方形.课堂练习: 课本第30页二、四种命题的关系画出关系图：（略）练习、写出下列各命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．1、若 a = 0, 则 ab = 0 ．2、负数的立方是负数．3、若 x<0，则x>1．4、质数一定是奇数.总结上例四种命题的真假关系原命题的真假与其他三种命题的真假有什么关系？1．原命题为真，它的逆命题不一定为真．2．原命题为真，它的否命题不一定为真．3．原命题为真，它的逆否命题一定为真．四、四种命题与集合的联系命题：若x>1，则x>0. 语句p： x>1；语句q：x>0令A={x| x>1}； B={x| x>0}；即 A={x| p(x)为真}； B={x| q(x)为真}集合A包含于集合B，集合B不包含于集合A，B的补集包含于A的补集，B的补集不包含于A的补集所以：“若p，则q” 为真命题；“若q ，则p”为假命题；“若﹁ p，则﹁q”为假命题；“若﹁q ，则﹁p”为真命题；课堂练习：课本P32习题1.7 第4题:写出下列命题的其它三种命题,并判断真假.(1)若a+5是无理数, 则a是无理数.(2)矩形的两条对角线相等.课堂小结:1、写出四种命题时,需准确找出原命题的因果关系,即找出条件与结论.将命题写成“若……，则……”的形式；2、互为逆否的两个命题的真假值相同。

例命题“若＝，则与成反比例关系”的否命题是1 y x y k x[ ]A y x yB y kx x yC x y y ．若≠，则与成正比例关系．若≠，则与成反比例关系．若与不成反比例关系，则≠k xk xD y x y ．若≠，则与不成反比例关系k x分析 条件及结论同时否定，位置不变．答 选D ．例2 设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p 则q ”形式为________．它的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________．分析 只要确定了“p ”和“q ”，则四种命题形式都好写了． 解 若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角．例3 “若P ＝{x |x|＜1}，则0∈P ”的等价命题是________． 分析 等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题．解原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若，则 0P p ≠{x||x|＜1}”例4 分别写出命题“若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的逆命题、否命题和逆否命题．分析根据命题的四种形式的结构确定．解逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0．说明：“x、y全为0”的否定不要写成“x、y全不为0”，应当是“x，y不全为0”，这要特别小心．例5有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“若∪＝，则”的逆否命题，其中真命题是A B B A B[ ] A．①②B．②③C．①③D．③④分析应用相应知识分别验证．解写出相应命题并判定真假①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题；②“不相似三角形周长不相等”为假命题；③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b＞－1”为真命题；选C．例6 以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．①内接于圆的四边形的对角互补；②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；分析首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题．解对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c＝b＋d”是结论．所以：逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a ＝b，c＝d”；否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a ＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可)；逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a ≠b或c≠d”．逆否命题还可以写成：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d 则a ＝b ，c ＝d 两个等式至少有一个不成立”说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．例7 已知下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．分析 如果从正面分类讨论情况要复杂的多，而利用补集的思想(也含有反证法的思想)来求三个方程都没有实根的a 范围比较简单．解由－－＜－－＜＋＜得 16a 4(34a)0(a 1)4a 04a 8a 02222⎧⎨⎪⎩⎪说明：利用补集思想，体现了思维的逆向性．例8 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．①＞时，－＋＝无实根；m mx x 10214②当abc ＝0时，a ＝0或b ＝0或c ＝0．分析 改造原命题成“若p 则q 形式”再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题．在判定各种形式命题的真假时要注意利用等价命题的原理和规律．解①原命题：“若＞，则－＋＝无实根”，是真 m mx x 10214命题；逆命题：“若－＋＝无实根，则＞”，是真命题；否命题：“若≤，则－＋＝有实根”，是真命题；逆否命题：“若－＋＝有实根，则≤”，是真命题．mx x 10m m mx x 10mx x 10m 222141414②原命题；“若abc ＝0，则a ＝0或b ＝0或c ＝0”，是真命题；逆命题：“若a ＝0或b ＝0或c ＝0，则abc ＝0”是真命题； 否命题：“若abc ≠0，则a ≠0且b ≠0且c ≠0”，是真命题；(注意：“a ＝0或b ＝0或c ＝0”的否定形式是“a ≠0且b ≠0且c ≠0”逆否命题：“若a ≠0且b ≠0且c ≠0，则abc ≠0”，是真命题．说明：判定四种形式命题的真假可以借助互为逆否命题的等价性．例若、、均为实数，且＝－＋π，＝－＋π，＝－＋π，求证：、、中至少有一个大于．9 a b c a x 2y b y 2z c z 2x a b c 0222236分析 如果直接从条件推证，方向不明，过程不可预测，较难，可以使用反证法．解 设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则有a ＋b ＋c ≤0，而a b c (x 2y )(y 2z )(z 2x )222＋＋＝－＋π＋－＋π＋－＋π236 ＝(x 2－2x)＋(y 2－2y)＋(z 2－2z)＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)∴ a ＋b ＋c ＞0这与a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此a 、b 、c 中至少有一个大于0．说明：如下表，我们给出一些常见词语的否定．。

高三数学命题及其关系试题1.已知命题（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为命题的否定为，所以命题总有为，使得，选B.【考点】命题的否定2.命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x2≥0D．存在x∈R，使得x2＜0【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x 0∈R，使得x2＜0．故选D．3.对于命题p:∀x∈[0,+∞),(log32)x≤1,()A．是假命题,p:∃x∈[0,+∞),>1B．是假命题,p:∀x∈[0,+∞),(log32)x≥1C．是真命题,p:∃x∈[0,+∞), >1D．是真命题,p:∀x∈[0,+∞),(log32)x≥1【答案】C【解析】由于0<log32<1,所以当x≥0时,(log32)x≤1恒成立,所以该命题是真命题.且原命题是全称命题,否定应该为特称命题:∃x∈[0,+∞),>1.故选C.4.命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定是;它的否命题是.【答案】存在末位数字是0或5的整数不能被5整除末位数字不是0且不是5的整数不能被5整除【解析】如果把末位数字是0或5的整数集合记为M,则这个命题可以改写为“x∈M,x能被5整除”,因此这个命题的否定是“x∈M,x不能被5整除”,即“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”;这个命题的条件是“末位数是0或5的整数”,结论是“这样的数能被5整除”,故其否命题是“末位数字不是0且不是5的整数不能被5整除”.5.已知命题：如果，那么；命题：如果，那么；命题：如果，那么.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是 ( )①命题是命题的否命题，且命题是命题的逆命题.②命题是命题的逆命题，且命题是命题的否命题.③命题是命题的否命题，且命题是命题的逆否命题.A．①③；B．②；C．②③D．①②③【答案】A【解析】本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确，选A.【考点】四种命题.6.命题“，使得”的否定为（）A．，都有B．，都有C．，都有D．，都有【答案】D【解析】存在性命题的否定是全称命题，否定原结论. 命题“，使得”的否定为是：，都有，故选D.【考点】全称命题与存在性命题7.以下判断正确的是（）A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“”的否定是“”C．“”是“函数的最小正周期是”的必要不充分条件D．“”是“函数是偶函数”的充要条件【答案】D【解析】选项A是全称命题，不正确；选项B应该是少了等于，不正确；对于选项C,，周期是，当，则周期是，当周期是，则，所以应该是充要条件不正确；选项D正确，故选D.【考点】1.逻辑语言和充分必要条件；2.三角函数的周期.8.已知p：f(x)＝，且|f(a)|<2；q：集合A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，且A≠Ø.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【答案】.【解析】由p为真命题得出a的取值范围，再由q为真命题得出a的取值范围，根据题意知，p、q一真一假，分类讨论解答.试题解析：若|f(a)|＝||<2成立，则－6<1－a<6，即当－5<a<7时p是真命题 3分若A≠Ø，则方程x2＋(a＋2)x＋1＝0有实数根，由Δ＝(a＋2)24≥0，解得a≤4，或a≥0，即当a≤4，或a≥0时q是真命题； 6分由于p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p与q一真一假，p真q假时，，∴4<a<0. 8分p假q真时，，∴a≤5或a≥7. 10分故知所求a的取值范围是． 12分【考点】命题及其关系、绝对值不等式的解法、一元二次方程解的情况.9.命题：对任意，的否定是( )A．：存在,B．：存在,C．：不存在,D．：对任意，【答案】A【解析】所给命题是全称性命题，它的否定是一个存在性命题，即存在，.【考点】全称命题的否定10.命题“存在实数，使”的否定为（）A．对任意实数，都有B．不存在实数，使C．对任意实数，都有D．存在实数，使【答案】A【解析】特称命题的否定为：对任意实数，都有，选.【考点】命题的否定.11.下列命题：（1）“若，则”的逆命题；（2）“全等三角形面积相等”的否命题；（3）“若，则的解集为R”的逆否命题；（4）“若为有理数，则为无理数”。

智才艺州攀枝花市创界学校苏大附中2021年高考数学考前100个提醒(知识方法与例题)一、集合与逻辑1、区分集合中元素的形式：如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如〔1〕设集合{|3}M x y x ==+，集合N ＝{}2|1,y y xx M =+∈，那么MN =___〔答：[1,)+∞〕；〔2〕设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，那么=N M _____〔答：)}2,2{(--〕2、条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况如：}012|{2=--=x ax x A ，假设φ=+R A ，求a 的取值。

〔答：a ≤0〕3、}|{B x A x x B A ∈∈=且 ;}|{B x A x x B A ∈∈=或C U A={x|x ∈U 但x ∉A};B x A x B A ∈∈⇔⊆则;真子集怎定义？含n 个元素的集合的子集个数为2n,真子集个数为2n－1;如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M⊂⊆≠集合M 有______个。

〔答：7〕4、C U (A ∩B)=C U A ∪C U B;C U (A ∪B)=C U A ∩C U B;card(A ∪B)=5、A ∩B=A ⇔A ∪B=B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A ∩C U B=∅⇔C U A ∪B=U6、补集思想常运用于解决否认型或者正面较复杂的有关问题。

如函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，务实数p 的取值范围。

〔答：3(3,)2-〕 :p q ⇒;:q p ⇒;:p q ⌝⇒⌝:q p ⌝⇒⌝；互.如：“βαsin sin ≠〞是“βα≠〞的条件。

高考数学总结归纳知识点加题型高考数学是每个学生都要面对的一门重要科目，它占据了高考综合素质评价的一定比重。

为了帮助同学们更好地备考高考数学，下面将对常见的知识点进行归纳总结，并附上相应的题型练习。

一、函数与方程1. 一次函数知识点：函数的概念、斜率和截距的含义、函数图像与性质等。

题型练习：已知一次函数y=2x-3，请确定函数的斜率和截距，并绘制函数图像。

2. 二次函数知识点：二次函数的概念、顶点坐标、对称轴、单调性等。

题型练习：已知二次函数y=x^2-4x+3，请确定函数的顶点坐标、对称轴，并描述函数的单调性。

3. 指数函数与对数函数知识点：指数函数与对数函数的性质、图像、定义域与值域等。

题型练习：已知指数函数y=3^x，请确定函数的定义域、值域，并绘制函数图像。

二、几何与三角函数1. 三角函数知识点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、性质、图像等。

题型练习：已知直角三角形中一角的正弦值为0.6，请确定该角的度数，并计算其余弦和正切值。

2. 平面几何知识点：平面图形的面积、周长、相似性、圆的性质等。

题型练习：已知正方形的边长为3 cm，请计算其面积和周长。

3. 空间几何知识点：立体图形的体积、表面积、相似性、平行性等。

题型练习：已知长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，请计算其体积和表面积。

三、概率与统计1. 概率知识点：概率的基本概念、概率的计算、事件间的关系等。

题型练习：有一枚均匀的骰子，抛掷一次，求出出现奇数点数的概率。

2. 统计知识点：统计数据的收集、整理、分析和展示等。

题型练习：某班级的学生身高数据为：160 cm、165 cm、170 cm、175 cm、180 cm，请计算平均身高和中位数。

以上仅为部分高考数学的知识点总结和相应题型练习，希望对同学们备考高考数学有所帮助。

在备考过程中，同学们要注重理论与实践相结合，多进行题型练习和模拟考试，熟悉考题的出题规律和解题技巧。

高二数学命题及其关系试题答案及解析1.分别写出下列命题的逆命题、逆否命题，并判断它们的真假：（1）若q＜1，则方程x2+2x+q=0有实根；（2）若x2+y2=0，则x，y全为零．【答案】（1）见解析（2）见解析）【解析】逆命题是交换原命题条件和结论,逆否命题是交换原命题条件和结论并否定. (Ⅰ)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1。

为假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．(Ⅱ)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．试题解析：(Ⅰ)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1。

为假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．(Ⅱ)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．【考点】四种命题之间的关系2.下列命题正确的个数是( )①命题“”的否定是“”；②函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；③在上恒成立在上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”.A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】(1)把存在量词改为全称量词，同时把结论否定，正确. (2)函数最小正周期为，则；当，函数的周期为，函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件，正确.(3)在上恒成立在上恒成立；(4)“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是,且，错误.【考点】命题的真假性.3.命题r：如果则且；若命题r的否命题为p，命题r的否定为q，则A．P真q假B． P假q真C． p，q都真D． p,q都假【答案】A【解析】由已知有命题r：如果则且，是真命题；由于命题r的否命题为p，则命题p为：如果则或，其逆否命题为：如果且则显然是真命题，故知命题P也是真命题；又因为命题r的否定为q，所以命题q是假命题；故选A．【考点】简易逻辑．4.已知命题函数在区间上是单调递增函数；命题不等式对任意实数恒成立.若是真命题，且为假命题，求实数的取值范围.【答案】或.【解析】首先分别求出命题和命题为真命题时实数的取值范围，然后由是真命题，且为假命题知，真假或假真.最后分别求出这两种情况下的实数的取值范围即可.试题解析：若命题为真，则，若命题为真，则或，即.∵是真命题，且为假命题∴真假或假真∴或，即或.【考点】复合命题的真假.5.下列说法中正确的是（）A．命题“若,则”的否命题为假命题B．命题“使得”的否定为“,满足”C．设为实数，则“”是“”的充要条件D．若“”为假命题，则和都是假命题【答案】C【解析】命题“若,则”的否命题为“若,则”，由指数函数的单调递增性，可知为真命题，A错；命题“使得”的否定为“,满足”B错；若“”为假命题，则和至少有一个假命题,D错；由对数函数单调性可知C正确．【考点】否命题，特称命题的否定，充要条件，简单的复合命题．6.下列说法中正确的是（）A．命题“若,则”的否命题为假命题B．命题“使得”的否定为“,满足”C．设为实数，则“”是“”的充要条件D．若“”为假命题，则和都是假命题【答案】C【解析】（1）原命题：“若,则”。

WORD 格式整理版解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。

2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.00sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。

高二数学选修1－1知识点第一章：命题与逻辑结构 知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.6、四种命题的真假性：例题：一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）A．真命题与假命题的个数相同B．真命题的个数一定是偶数C．真命题的个数一定是奇数D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数答案（找作业答案--->>上魔方格）一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题，原命题与逆否命题具有相同的真假性，否命题与逆命题具有相同的真假性，∴真命题的若有事成对出现的，四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定 是特称命题．考点：1、充要条件的判定2、命题之间的关系★1．命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤ C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，★2、给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3(B)2(C)1(D)0★3. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件第二章：圆锥曲线 知识点：1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质： 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<准线方程2a x c=±2a y c=±3、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．4、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．5、双曲线的几何性质： 焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>准线方程2a x c =±2a y c =±渐近线方程b y x a=±a y x b=±6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．7、设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．8、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．9、抛物线的几何性质：标准方程22y px =()0p >22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程2px =-2px =2p y =-2p y =离心率 1e =范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =．考点：1、圆锥曲线方程的求解2、直线与圆锥曲线综合性问题3、圆锥曲线的离心率问题典型例题：★★1．设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为（ ）A ．214pB．2C．6p D ．1336p ★★2．与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．★★★3．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的图过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．第三章：导数及其应用 知识点：1、若某个问题中的函数关系用()f x 表示，问题中的变化率用式子()()2121f x f x x x --fx ∆=∆表示，则式子()()2121f x f x x x --称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率． 2、函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是()()210021limlimx x f x f x fx x x∆→∆→-∆=-∆，则称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0x x y ='，即()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率是()0f x '，切线的方程为()()()000y f x f x x x '-=-．若函数在0x 处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0x x =．4、若当x 变化时，()f x '是x 的函数，则称它为()f x 的导函数（导数），记作()f x '或y '，即()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆．5、基本初等函数的导数公式：()1若()f x c =，则()0f x '=；()2若()()*n f x x x Q =∈，则()1n f x nx -'=； ()3若()sin f x x =，则()cos f x x '=；()4若()cos f x x =，则()sin f x x '=-； ()5若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；()6若()x f x e =，则()x f x e '=； ()7若()log a f x x =，则()1ln f x x a '=；()8若()ln f x x =，则()1f x x '=．6、导数运算法则：()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦；()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 7、对于两个函数()y f u =和()u g x =，若通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，则称这个函数为函数()y f u =和()u f x =的复合函数，记作()()y f g x =．复合函数()()y f g x =的导数与函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系是x u x y y u '''=⋅．8、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增；若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．9、点a 称为函数()y f x =的极小值点，()f a 称为函数()y f x =的极小值；点b 称为函数()y f x =的极大值点，()f b 称为函数()y f x =的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．10、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．11、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．考点：1、导数在切线方程中的应用 2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用典型例题★1.（05全国卷Ⅰ）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）A ．2 B. 3 C. 4 D.5★2．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当1=x 时)(x f 取得极值－2.（1）试求a 、c 、d 的值；（2）求)(x f 的单调区间和极大值；★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数2312)(bx ax e x x f x ++=-，已知12=-=x x 和为)(x f 的极值点。

高一数学命题知识点及习题数学是一门需要不断积累和探索的学科，在高一阶段，数学的内容开始逐渐扩展，涉及到更多的知识点和技巧。

理解和掌握这些知识点将对高一学生的数学学习和考试成绩有着重要的影响。

本文将介绍高一数学中的一些重要命题知识点及习题，帮助学生更好地应对数学学习和考试。

一、二次函数及其应用1. 二次函数的基本形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0，其中a决定了函数开口的方向。

当a > 0时，函数开口向上；当a < 0时，函数开口向下。

2. 利用二次函数的图像和性质，可以解决很多实际问题。

例如，已知某商品的成本函数为C(x) = 2x^2 + 5x + 10，其中x表示商品的数量，求使得成本最小的产量是多少？3. 二次函数的图像在平面直角坐标系中呈现抛物线的形状，通过求解二次方程可以确定其顶点、轴对称和与坐标轴的交点等重要性质。

练习题：求函数y = 3x^2 + 4x - 2的顶点、轴对称、与x轴和y 轴的交点。

二、立体几何1. 立体几何是数学中的一个重要方向，涉及到空间中的图形和形状。

了解立体几何的性质和计算方法，有助于解决与空间有关的问题。

2. 学习立体几何需要熟悉各种多面体的名称、性质以及计算它们的面积和体积的方法。

常见的多面体包括正方体、长方体、球体、棱柱等。

练习题：一个正方体的棱长为3 cm，求它的表面积和体积。

三、概率1. 概率是研究事件发生可能性的数学分支。

在高一数学中，学习概率可以帮助我们分析和预测事件的发生可能性，从而做出合理的决策。

2. 了解概率的基本概念和公式是学习概率的第一步。

事件的概率可以用一个介于0和1之间的数值表示，0表示不可能发生，1表示肯定发生。

练习题：一枚骰子有六个面，每个面上的数字是1到6中的一个。

求掷一次骰子出现奇数的概率。

四、函数的性质与图像1. 函数是数学中关键的概念之一，它描述了输入与输出之间的关系。

在高一数学中，学习函数的性质和图像是重要的基础。

高三数学命题及其关系试题1.已知命题对任意，总有；是方程的根则下列命题为真命题的是A．B．C．D．【答案】A【解析】因为命题“对任意，总有”为真命题；命题：“是方程的根”是假命题；所以是真命题，所以为真命题,故选A.【考点】1、命题；2、充要条件.2.下列命题：①若ac2>bc2，则a>b；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中正确命题的序号是________．【答案】①③④【解析】对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，所以③正确；④显然正确．3.已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是（）A．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3B．若a+b+c=3，则a2+b2+c2＜3C．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3D．若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3【答案】A【解析】根据四种命题的定义，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3”故选A4.①若“p q”为真命题，则p、q均为真命题（）；②“若”的否命题为“若，则”；③“”的否定是“”；④“”是“”的充要条件. 其中不正确的命题是A．①②B．②③C．①③D．③④【答案】C【解析】①若为真命题，则不一定都是真命题，所以①不正确，②若,则的否命题为若,则，所以②正确，③,的否定是,,所以③不正确，④是的充要条件，所以④正确.【考点】命题的真假判定5.给出下列说法:①命题“若α=,则sinα=”的否命题是假命题;②命题p:∃x∈R,使sinx>1,则p:∀x∈R,sinx≤1;③“φ=+2kπ(k∈Z)”是“函数y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件;④命题p:∃x∈(0,),使sinx+cosx=,命题q:在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B,那么命题(p)∧q为真命题.其中正确的个数是()A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】①中命题的否命题是“若α≠,则sinα≠”这个命题是假命题,如α=时,sinα=,故说法①正确;根据对含有量词的命题否定的方法,说法②正确;说法③中函数y=sin(2x+φ)为偶函数sin(-2x+φ)=sin(2x+φ) cosφsin2x=0对任意x恒成立cosφ=0φ=kπ+(k∈Z),所以y=sin(2x+φ)为偶函数的充要条件是φ=kπ+(k∈Z),说法③不正确;当x∈(0,)时,恒有sinx+cosx>1,故命题p为假命题,p为真命题,根据正弦定理sinA>sinB2RsinA>2RsinB a>b A>B,命题q为真命题,故(p)∧q为真命题,说法④正确.6.已知命题p:,且a>0,有,命题q:,,则下列判断正确的是A．p是假命题B．q是真命题C．是真命题D．是真命题【答案】C【解析】由基本不等式，时，，所以p:,且a>0,有,是真命题；由于，所以命题q:,是假命题，是真命题，是真命题，故选C.【考点】简单逻辑联结词，全称命题与存在性命题.7.命题“，使得”的否定为（）A．，都有B．，都有C．，都有D．，都有【答案】D【解析】存在性命题的否定是全称命题，否定原结论. 命题“，使得”的否定为是：，都有，故选D.【考点】全称命题与存在性命题8.若命题；命题，若命题“”是真命题，则实数的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得，由知，解得或，因命题“”是真命题，则均为真，故，选C．【考点】1.不等式恒成立问题；2.方程的根；3.复合命题真假判断9.命题“” 的否定是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】所给命题是全称命题，它的否定是存在性命题，为.【考点】全称命题的否定10.命题：“若，则”的逆否命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”.【考点】四种命题.11.已知命题：方程在[－1，1]上有解；命题：只有一个实数满足不等式，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围【答案】【解析】先由命题p和命题q的条件分别求出其中的取值范围，注意条件的等价转换，然后由命题“p或q”是假命题，结合复合命题的真假判断，得出的取值范围试题解析：由，得，显然，或，，故或，只有一个实数满足不等式，即抛物线与轴只有一个交点，或所以命题“p或q”是真命题时且，又命题“p或q”是假命题，故的取值范围为【考点】1 方程的根；2 一元二次不等式；3 复合命题真假判断12.下列说法正确的是( )A．“”是“在上为增函数”的充要条件B．命题“使得”的否定是：“”C．“”是“”的必要不充分条件D．命题p：“”，则p是真命题【答案】A【解析】若，在上为增函数正确，若在上为增函数，则也正确，所以“”是“在上为增函数”的充要条件正确，其他选项错，选A.【考点】命题及其关系.13.下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2－3x十2≠0”的逆否命题是“若x2－3x十2＝0，则x＝1”B．若命题p：x R，x2＋x十1≠0，则p：R，x2＋x十1＝0C．若p q为真命题，则p，q均为真命题D．“x＞2”是“x2一3x＋2＞0”的充分不必要条件【答案】C【解析】A．命题“若x≠l，则x2－3x十2≠0”的逆否命题是“若x2－3x十2＝0，则x＝1”正确，因为，逆否命题是原命题条件结论互换且均加以否定；B. 若命题p：x R，x2＋x十1≠0，则p：R，x2＋x十1＝0，正确，因为，全称命题的否定是存在性命题；C. 若p q为真命题，则p，q均为真命题，不正确，因为，由真值表可知，命题“或”为真命题，p,q至少有一个为真命题；D．“x＞2”是“x2一3x＋2＞0”的充分不必要条件，正确，由x＞2可得x2一3x＋2＞0，但反之，由x2一3x＋2＞0可得x＞2或x<1.故选C。

高三数学知识点总结及例题在高三这个关键时期，数学作为一门重要的科目，对于学生的综合能力和成绩起着至关重要的作用。

为了帮助高三学生巩固数学知识点，下面将对高三数学的知识点进行总结，并提供一些例题供大家参考。

一. 一元二次方程一元二次方程是高中数学中的重要知识点，也是很多题目的基础。

掌握解一元二次方程的方法和技巧对于高三学生来说至关重要。

下面就来复习一下一元二次方程的相关知识点。

1. 求解一元二次方程的常见方法有两种：配方法和因式分解法。

例题1：求解方程 $x^2-5x+6=0$.解法1：配方法通过观察发现，该方程的系数满足$a=1$, $b=-5$, $c=6$，且$c=ab$，因此可以使用配方法进行求解。

将方程改写成$(x-2)(x-3)=0$，则$x=2$或$x=3$.解法2：因式分解法对于该方程，我们可以进行因式分解，即$(x-2)(x-3)=0$，得到$x=2$或$x=3$.2. 判断一元二次方程解的情况可以根据“判别式”进行：当判别式$D=b^2-4ac>0$时，方程有两个不相等的实根；当判别式$D=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实根；当判别式$D=b^2-4ac<0$时，方程无实数解。

例题2：求解方程$x^2-6x+9=0$的解的情况。

解法：对于该方程，$a=1$，$b=-6$, $c=9$，那么判别式为$D=(-6)^2-4\times1\times9=0$，判别式等于0，因此方程有两个相等的实根，解为$x=3$.二. 指数与对数指数与对数是高三数学中的另一个重要知识点，也是高考考察频率较高的一项内容。

下面我们来复习一下指数与对数的重要概念和公式。

1. 指数的运算规则：$a^m\times a^n=a^{m+n}$$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$(a^m)^n=a^{m\times n}$$(ab)^n=a^n\times b^n$2. 对数的运算规则：$\log_ab^n=n\log_ab$$\log_ab\times \log_bc=\log_ac$例题3：求解方程$2^x=8$.解法：由指数的运算规则可知，$2^x=2^3$，因此$x=3$.例题4：已知$\log_2x=\dfrac{1}{3}$, 求解$x^3$.解法：将对数的运算规则应用到这个题目中，可知$\log_2x^3=3\log_2x=1$，即$x^3=2$，解得$x=\sqrt[3]{2}$.三. 三角函数三角函数是高中数学中的基础概念，对于几何和解决一些实际问题都有重要的应用。

高中数学经典例题集1．已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,有下列四个命题:（1）若m//α,n//α,则m//n;（2）若m//α,n//α,m,n⊂β,则α//β;（3）若m//n,n⊂α,则m//α;（4）若α//β,m⊂α,则m//β.其中恰当命题的个数为2．已知m，n是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：①若α⊥β，m⊥α，则m∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，m⊥则n⊥α；④若m∥α，m⊂β，则α∥β．其中所有真命题的序号是n，3．若m,n,l是互不重合的直线，α,β,γ是互不重合的平面，给出下列命题：①若α⊥β,α⋂β=m,m⊥n,则n⊥α或n⊥β；②若α//β,α⋂γ=m,β⋂γ=n,则m//n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α⋂β=m,m//n,且n⊄α,n⊄β,则n//α且n//β；⑤若α⋂βm,=β⋂n,γ=αl⋂α⊥γβ=,α⊥γ,β⊥γ,且则m⊥n,m⊥l,n⊥l.其中恰当命题的序号就是.4．设、m、n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列四个命题正确的是.①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若αβ=l,βγ=m,γα=n，则m∥l∥n；④若αβ=m,βγ=l,γα=n，且n∥β,则m∥l.5．已知a、b是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，a⊂α，则a∥β；②若a、b与α所成角相等，则a∥b；③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ；④若a⊥α,a⊥β，则α∥β其中恰当的命题的序号就是.6．如图，空间中两个有一条公共边ad的正方形abcd和adef．设m、n分别是bd和ae的中点，那么①ad⊥mn；②mn∥平面cde；③mn∥ce；④mn、ce异面以上4个命题中正确的是7．得出以下四个命题①平行于同一平面的两条直线平行；②旋转轴同一平面的两条直线平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的任何直线都平行；④如果一条直线和一个平面垂直，那么它和这个平面内的任何直线都垂直．其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）．8．关于直线m,n与平面α,β，存有以下四个命题：①若m//α,n//β且α//β，则m//n；②若m⊥α,n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α,n//β且α//β，则m⊥n；④若m//α,n⊥β且α⊥β，则m//n；（把你认为正确命题的序号都填上）9．将边长为2abcd沿较短对角线bd卷成四面体abcd，点e,f分别为ac,bd的中点，则下列命题中正确的是。

数学高一数学必修1知识网络集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩函数,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素， 在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。

必修二第一章 空间几何体 知识点：1、空间几何体的结构⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球; ⑵棱柱：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱; ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台;2、长方体的对角线长2222c b a l ++=；正方体的对角线长a l 3=3、球的体积公式：334　R V π=,球的表面积公式：24　R S π= 4、柱体h s V ⋅=,锥体h s V ⋅=31,锥体截面积比：222121h h S S =5、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；lr S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：lr S ⋅⋅=π侧面典型例题：★例1：下列命题正确的是 Ａ.棱柱的底面一定是平行四边形 Ｂ.棱锥的底面一定是三角形Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥★★例2：若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积是原三角形面积的A 21倍 B 42倍 C 2倍 D 2倍★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体,其三视图如下图所示,则这个组合体的上、下两部分分别是 Ａ．上部是一个圆锥,下部是一个圆柱 Ｂ．上部是一个圆锥,下部是一个四棱柱Ｃ．上部是一个三棱锥,下部是一个四棱柱★★例4：一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是A ．28cm πB 212cm π. C 216cm π． D ．220cm π二、填空题★例1：若圆锥的表面积为a 平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的直径为_______________．★例2：球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍. 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 知识点：1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内;2、公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面;3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线;4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补;6、线线位置关系：平行、相交、异面;7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交; 8、面面位置关系：平行、相交; 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行简称线线平行,则线面平行;⑵性质：一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行简称线面平行,则线线平行;10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行简称线面平行,则面面平行;⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行简称面面平行,则线线平行;11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直;⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直简称线线垂直,则线面垂直;⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行; 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直;⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直简称线面垂直,则面面垂直;⑶性质：两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面;简称面面垂直,则线面垂直;典型例题：★例1：一棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比是1:2,则此棱锥的高自上而下被分成两段长度之比为A 、1:2B 、1:4C 、1:)12(+D 、1:)12(-★ 例2：已知两个不同平面α、β及三条不同直线a 、b 、c,βα⊥,c =βα ,β⊥a ,b a ⊥,c 与b 不平行,则 A. β//b 且b 与α相交 B. α⊄b 且β//b C. b 与α相交D. α⊥b 且与β不相交★★ 例3：有四个命题：①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；③平行于同一直线的两个平面平行；④垂直于同一平面的两个平面平行;其中正确的是A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④★★例4：在正方体1111D C B A ABCD -中,F E ,分别是1CC DC 和的中点.求证：ADF E D 平面⊥1例5：如图,在正方体ABCD －A1B1C1D1中,E 、F 为棱AD 、AB 的中点．1求证：EF ∥平面CB1D1；2求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1第三章 直线与方程 知识点：1、倾斜角与斜率：1212tan x x y y k --==α2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y +=⑶两点式：121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：1x y a b+=AA 11⑸一般式：0=++C By Ax3、对于直线：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔212121//b b k k l l ；⑵1l 和2l 相交12k k ⇔≠； ⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔2121b b k k ；⑷12121-=⇔⊥k k l l . 4、对于直线：:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔1221122121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠⇔； ⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔12211221C B C B B A B A ；⑷0212121=+⇔⊥B B A A l l . 5、两点间距离公式：()()21221221y y x x P P -+-=6、点到直线距离公式：2200BA CBy Ax d +++=7、两平行线间的距离公式：1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行,则2221BA C C d +-=典型例题：★例1：若过坐标原点的直线l 的斜率为3-,则在直线l 上的点是 A )3,1( B )1,3( C )1,3(- D )3,1(- ★例2：直线02)32()1(:03)1(:21=-++-=--+y k x k l y k kx l 和互相垂直,则k 的值是A .-3B .0C . 0或-3D . 0或1 第四章 圆与方程 知识点：1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+-,其中圆心为(,)a b ,半径为r .⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x .其中圆心为(,)22D E --,半径为r =2、直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .3、两圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +>； ⑵外切：r R d +=；⑶相交：r R d r R +<<-； ⑷内切：r R d -=； ⑸内含：r R d -<.4、空间中两点间距离公式：()()()21221221221z z y y x x P P -+-+-=典型例题：★例1：圆心在直线y=2x 上,且与x 轴相切与点-1,0的圆的标准方程是_________________________. ★★ 例2：已知4:22=+y x C 圆,1过点)3,1(-的圆的切线方程为________________. 2过点)0,3(的圆的切线方程为________________. 3过点)1,2(-的圆的切线方程为________________.4斜率为－1的圆的切线方程为__________________.★★例3：已知圆C 经过A3,2、Ｂ1,6两点,且圆心在直线y=2x 上;１求圆Ｃ的方程；２若直线Ｌ经过点P －１,３且与圆Ｃ相切, 求直线Ｌ的方程;。

高中数学必修五考点及典型例题必修五第一章：解三角形在本章中，我们需要掌握正弦定理和余弦定理的理解与应用。

下面列举了一些常见的考点和题型。

一、考点列举：1.正弦定理的理解与应用2.余弦定理的理解与应用二、常考题型：1.运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决简单三角形问题，如以下例题：例1：在三角形ABC中，已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5°，求三角形的面积S（精确到0.1cm²）。

解：根据解三角形面积的知识，观察已知条件，应用S=1/2acsinB，得S=1/2×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(cm²)。

例2：在三角形ABC中，证明a²+b²sin²A+sin²B/c²sin²C=1.解：根据正弦定理，可设a=b=c=k，sinAsinBsinC≠0，所以a²+b²k²sin²A+k²sin²B/c²k²sin²C=sin²A+sin²B/2sinC，化简得证。

2.解决一些复杂的三角形问题，如以下例题：例3：在三角形ABC中，已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm，求三角形的面积S（精确到0.1cm²）。

解：根据余弦定理的推论，得cosB=(c²+a²-b²)/2ca≈0.7697，sinB=√(1-cos²B)≈0.6384.应用S=1/2acsinB，得S≈1/2×41.4×38.7×0.6384≈511.4(cm²)。

以上就是本章的考点和常考题型，希望大家能够掌握好这些知识点，顺利解决三角形问题。

高一数学命题及其关系试题答案及解析1.已知三个命题：①方程x2－x＋2＝0的判别式小于或等于零；②若｜x｜≥0，则x≥0；③5＞2且3＜7．其中真命题是A．①和②B．①和③C．②和③D．只有①【答案】B【解析】对于命题①方程x2－x＋2＝0的判别式小于或等于零，正确；②若｜x｜≥0，则x≥0或x≤0，错误；③5＞2且3＜7，正确，∴真命题是①和③，故选B【考点】本题考查了命题真假的判断点评：判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可2.对于下列命题：①若，则角的终边在第三、四象限；②若点在函数的图象上，则点必在函数的图象上；③若角与角的终边成一条直线，则；④幂函数的图象必过点（1，1）与（0，0）.其中所有正确命题的序号是A．①③B．②C．③④D．②④【答案】B【解析】判定各个命题的正确性，然后确定结论。

命题1中，由于，则说明角的终边在y轴的下方，可能在y轴的负半轴上，因此错误。

命题2中，点P（2，4）在指数函数图像上，说明可知4=a,a>0,故可知a=2，那么对数函数，显然可知点（4，2）点代入满足等式，故成立。

命题3中，角与角的终边成一条直线且为y轴时，正切值不存在，因此错误。

命题4中，幂函数过点（1，1），(0,0),当是负数的时候不成立。

不过点（0，0）故选B。

【考点】本试题主要是考查了基本初等函数的性质运用点评：解决该试题的关键就是要理解函数图像与点的位置关系的判定，以及三角函数中正切值存在的前提条件，，熟悉三角函数的符号，以及幂函数的解析式，属于中档题。

3.下列命题中所有正确的序号是．（1）函数的图像一定过定点；（2）函数的定义域是，则函数的定义域为；（3）已知=,且=8,则=-8；（4）已知且，则实数．【答案】（1）（4）【解析】因为的图象过定点（0,1），经向右平移一个单位，再向上平移3个单位，得到函数的图像，所以（1）函数的图像一定过定点；正确。

卜人入州八九几市潮王学校高考数学考点及例题对照认识集合时，你注意到代表元素了吗？集合间的包含关系与运算是高考的重点，其运算性质及重要结论你纯熟掌握了吗？区分集合中元素的形式：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集。

A ∩B=A ⇔A ∪B=B ⇔A ⊆B ⇔C UB ⊆C UA例1、〔卷理1文1〕满足M ⊆｛a 1,a 2,a 3,a 4｝,且M ∩｛a 1,a 2,a 3｝={a 1·a 2}的集合M 的个数是〔〕 〔A 〕1(B)2(C)3(D)4解析：本小题主要考察集合子集的概念及交集运算。

集合M 中必含有12,a a ,那么{}12,Ma a =或者{}124,,M a a a =.选B.1、 进展集合运算时，你注意到φ的特殊性了吗，有没有对其进展检验？条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况例2、集合{}0232=+-=x x x A ，{}022=+-=mx xx B ，且B B A = ，实数m 的取值范围是〔D 〕 A ．{}2222<≤-m m B 。

{}2222≤≤-m mC 。

{}2222≤<-m m D 。

{}22223<<-=m m m 或3、充分条件、必要条件和充要条件的概念记住了吗？ 例3、〔卷理6文6〕“18a =〞是“对任意的正数x ，21ax x+≥〞的〔〕 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：18a =12218a x x x x ⇒+=+≥=，另一方面对任意正数x ，21ax x +≥只要21a x x +=≥≥18a ⇒≥，所以选A 4、对逻辑联结词“或者〞“且〞“例4、〔卷理6〕:p :q 〕A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()()p q ⌝∨⌝5、你对幂的运算、对数的运算的法那么纯熟掌握了吗？ 例5、〔卷文15〕2(3)4log 3233x f x =+，那么8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++的值等于．解析：本小题主要考察对数函数问题。