第12讲《实际问题与二次函数》(教案)

教学过程一、复习预习前面三节课我们学习了二次函数图像和性质，大家都学习的非常认真，今天这节课是二次函数的知识的最后一节课，也是非常重要的一节课，我们将利用二次函数的性质，解决与实际有关的应用问题。

大家先来看下面的例子：二、知识讲解引例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图（1），正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？答案如图，水平面所在的直线为x轴，向右为正方向，以甲学生身体所在的垂线为y轴，向上为正方向，建立直角坐标系。

Θ甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米∴点A的坐标为（0,1），点B的坐标为（4,1）学生丙距甲拿绳的手水平距离1米处，丙的身高是1.5米∴点C 的坐标为（1,1.5）。

设抛物线为12++=bx ax y ，把B （4,1）和C （1,1.5）代入上式的，11416=++b a ，5.11=++b a 解得：61-=a ，32=b ，所以抛物线为132612++-=x x y ； 又Θ学生丁站在距甲拿绳的手水平距离2.5米处，∴当5.2=x 时，625.1132612=++-=x x y 学生丁的身高为1.625米。

总结：1、要解决这个实际问题，关键是如何建立恰当的直角坐标系；2、如何将实际问题中给的数据抽象成二次函数图象上的点的坐标；3、根据总结出来的点的特殊性，设二次函数关系式；4、用“待定系数法”，解方程组，求出二次函数关系式。

二次函数的应用----常考题型1.求二次函数的解析式2.利用二次函数的顶点式求最值二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，当x ＝a b 2-时，ab ac y 442-=最大（小）值. 3.根据二次函数图像和性质解决销售利润问题4.根据二次函数图像和性质解决最佳方案问题考点/易错点1二次函数的应用常用于求解析式、交点坐标等。

考点/易错点2二次函数常用来解决最优化问题考点/易错点3（1）分析和表示不同背景下实际问题，如利润、面积、动态、数形结合等问题中变量之间的二次函数关系。

（2）运用二次函数的知识解决实际问题中的最值问题。

考点/易错点4根据题意写出x的取值范围考点/易错点5二次函数的最值求解运算错误，忘记考虑x的取值范围三、例题精析【例题1】【题干】某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种棵橘子树，橘子总个数最多．【答案】解：假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有（x+100）棵橙子树，∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，∴这时平均每棵树就会少结5x个橙子，则平均每棵树结（600﹣5x）个橙子．∵果园橙子的总产量为y，∴则y=（x+100）（600﹣5x）=﹣5x2+100x+60000，∴当x=﹣=﹣=10（棵）时，橘子总个数最多．故答案为：10．【解析】根据题意设多种x棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量y与x之间的关系式，进而求出x=﹣时，y最大．【例题2】【题干】某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【答案】解：（1）由题意，可设y=kx+b ，把（5，30000），（6，20190）代入得：⎩⎨⎧+=+=b k b k 620000530000， 解得：100080000k b =-⎧⎨=⎩， 所以y 与x 之间的关系式为：y=﹣10000x+80000；（2）设利润为W ，则W=（x ﹣4）（﹣10000x+80000）=﹣10000（x ﹣4）（x ﹣8）=﹣10000（x 2﹣12x+32）=﹣10000[（x ﹣6）2﹣4]=﹣10000（x ﹣6）2+40000所以当x=6时，W取得最大值，最大值为40000元．答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．【解析】（1）利用待定系数法求得y与x之间的一次函数关系式；（2）根据“利润=（售价﹣成本）×售出件数”，可得利润W与销售价格x之间的二次函数关系式，然后求出其最大值．【变式练习】【题干】为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？【答案】解：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，300×（12﹣10）=300×2=600，即政府这个月为他承担的总差价为600元．（2）依题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000．即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．(3)由题意得：﹣102x+600x﹣5000=3000，解得：x1=20，x2=40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3000．又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3000．设政府每个月为他承担的总差价为p元，∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．∵k=﹣20＜0．∴p随x的增大而减小，∴当x=25时，p有最小值500．即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．【解析】（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（2）由利润=销售价﹣成本价，得w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．【例题3】【题干】某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W 与销售单价x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b （k ≠0）.由所给函数图象得解得 x=-1b=180⎧⎨⎩∴函数关系式为y ＝－x ＋180. (2)W ＝(x －100) y ＝(x －100)( －x ＋180) ＝－x 2＋280x －18000 ＝－(x －140) 2＋1600/件)当售价定为140元, W最大＝1600.∴售价定为140元/件时,每天最大利润W＝1600元【例题4】【题干】某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）．【答案】解：已知抽屉底面宽为x cm，则底面长为180÷2﹣x=（90﹣x）cm．由题意得：y=x（90﹣x）×20=﹣20（x2﹣90x）=﹣20（x﹣45）2+40500当x=45时，y有最大值，最大值为40500．答：当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3．【解析】根据题意列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求最大值．【例题5】【题干】某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由【答案】选择方案A【解析】（1）w＝（x－20）（250－10x＋250）＝－10x2＋700x－10000（2）w ＝－10x 2＋700x －10000＝－10（x －35）2＋2250 所以，当x ＝35时，w 有最大值2250，即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大 （3）方案A ：由题可得20＜x ≤30， 因为a ＝－10＜0，对称轴为x ＝35，抛物线开口向下，在对称轴左侧，w 随x 的增大而增大， 所以，当x ＝30时，w 取最大值为2019元，方案B ：由题意得4525010(25)10x x ≥⎧⎨--≥⎩，解得：4549x ≤≤，在对称轴右侧，w 随x 的增大而减小， 所以，当x ＝45时，w 取最大值为1250元， 因为2019元＞1250元， 所以选择方案A 。

【题干】某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：y1=()() 15900 513026x xx x+<≤2⎧⎪⎨-+<<⎪⎩若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为（1）用x的代数式表示t为：t= ；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为：y2= ；当＜x＜时，y2=100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？【答案】解：（1）由题意，得x+t=6，∴当0＜x≤4时，2≤6﹣x＜6，即2≤t＜6，此时y2与x的函数关系为：y2=﹣5（6﹣x）+110=5x+80；当4≤x＜6时，0≤6﹣x＜2，即0≤t＜2，此时y2=100．故答案为6﹣x；5x+80；4，6；（2）分三种情况：①当0＜x≤2时，()()()2159058061040480w x x x x x x=+++-=++②当2＜x≤4时，()()()2513058061080480w x x x x x x=-+++-=++③当4＜x＜6时，()()251301006530600w x x x x x=-++-=-++综上可知，()()()22210404800210804802453060046x x xw x x xx x x⎧++<≤⎪⎪=-++<≤⎨⎪-++<<⎪⎩（3）当0＜x ≤2时，21040480w x x =++()4402102++=x ，此时x=2时，w 最大=600；当2＜x ≤4时，21080480w x x =++()4064--102+=x ，此时x=4时，w 最大=640；当4＜x ＜6时，2530480w x x =-++()6453--52+=x ，4＜x ＜6时，w ＜640；∴x=4时，w 最大=640．故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元．【解析】（1）由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6﹣x ；根据平均每件产品的利润y 2（元）与国外的销售数量t （千件）的关系()()210002511026t y t t <≤⎧⎪=⎨-+≤<⎪⎩及t=6﹣x 即可求出y 2与x 的函数关系：当0＜x ≤4时，y 2=5x+80；当4≤x ＜6时，y 2=100；（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：①0＜x ≤2；②2＜x ≤4；③4＜x ＜6；（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可．【题干】某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？解：（1）销售单价（元）x销售量y（件）1000﹣10x﹣10x2+1300x﹣30000销售玩具获得利润w（元）（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000解之得：x1=50，x2=80答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，（3）根据题意得解之得：44≤x≤46w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250∵a=﹣10＜0，对称轴x=65∴当44≤x≤46时，y随x增大而增大．∴当x=46时，W最大值=8640（元）答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．【解析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x﹣40）x=1000﹣x，利润=（1000﹣x）（x ﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000；（2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出x的值即可；（3）首先求出x的取值范围，然后把w=﹣10x2+1300x﹣30000转化成y=﹣10（x﹣65）2+12250，结合x的取值范围，求出最大利润．【例题8】【题干】某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q = W + 100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x 的n 倍成正比．试行中得到了表中的数据．（1）用含x 和n 的式子表示Q ；（2）当x = 70，Q = 450时，求n 的值； （3）若n = 3，要使Q 最大，确定x 的值；（4）设n = 2，x = 40，能否在n 增加m %（m ＞0）同时x 减少m %的情况下，而Q 的值仍为420，若能，求出m 的值；若不能，请说明理由． 参考公式：抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点坐标是（－b2a ，4ac －b 24a ）【答案】（1）设212=k x +k x W π，∴212Q=k x +k x+100π由表中数据，得2122124204024010010060160100k k k k ⎧=+⨯+⎪⎨=+⨯+⎪⎩，解得121106k k ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ （2）由题意，得21450=-70+670+10010π⨯⨯ 次数 2 1 速度40 60 指数4210∴n=2（3）当n=3时，21Q=-x +18x+10010由1a=-010<可知，要使Q 最大，189012()10x =-=⨯-1.由题意，得即200002()0m m -=，解得0012m =，或000m =（舍去） ∴m=50【解析】本题考查了二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题目中所给的信息，读懂题意列出函数关系式，要求同学们掌握求二次函数最值的方法，此题较麻烦，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．四、课堂运用【基础】1.在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y （件）与销售价格x （元/件）满足一个以x 为自变量的一次函数．（1）求y 与x 满足的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P 最大？ 【答案】解：（1）设y 与x 满足的函数关系式为：y=kx+b ．由题意可得：⎩⎨⎧+=+=b k b k 29212436解得⎩⎨⎧=-=1083k b故y 与x 的函数关系式为：y=﹣3x+108．（2）每天获得的利润为：P=（﹣3x+108）（x﹣20）=﹣3x2+168x﹣2160=﹣3（x﹣28）2+192．故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．【解析】本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及最值得求法，此题难度不大．2.某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：（1）直接写出y与x的函数关系式：y=﹣10x+1000（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？ 【答案】解：（1）设y=kx+b ，由题意得，⎩⎨⎧+=+=b k b k 6040055450，解得：⎩⎨⎧=-=001010k b ，则函数关系式为：y=﹣10x+1000；（2）由题意得，S=（x ﹣40）y=（x ﹣40）（﹣10x+1000）=﹣10x 2+1400x ﹣40000=﹣10（x ﹣70）2+9000， ∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，对称轴为x=70，∴当40≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；10000=250（件），此时x=75，由（2）得当x≥70时，S随x的增大而（3）当购进该商品的贷款为10000元时，y=40减小，∴当x=70时，销售利润最大，此时S=9000，即该商家最大捐款数额是9000元．3.科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．【答案】（1）选择二次函数，设c bx ax y ++=2，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=4124492449c b a c b a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=4921c b a∴y 关于x 的函数关系式是4922+--=x x y ．不选另外两个函数的理由：注意到点（0，49）不可能在任何反比例函数图象上，所以y 不是x 的反比例函数；点（－4，41），（－2，49），（2，41）不在同一直线上，所以y 不是x 的一次函数． （2）由（1），得4922+--=x x y ，∴()5012++-=x y ， ∵01<-=a ，∴当1-=x 时，y 有最大值为50． 即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大．【解析】本题考查的是二次函数的应用以及二次函数的性质．4. 在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm ²)是多少？（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t为何值时s最小，最小值时多少？【答案】（1）第t秒钟时，AP=tcm，故PB=（6-t）cm，BQ=2tcm∵S矩形ABCD=6×12=72．∴S=72-S△PBQ=t2-6t+72（0＜t＜6）；（2）∵S=t2-6t+72=（t-3）2+63，∴当t=3秒时，S有最小值63cm2．【解析】（1）根据t秒时，P、Q两点的运动路程，分别表示PB、BQ的长度，可得△BPQ的面积，用S=S 矩形ABCD-S△PBQ求面积即可；（2）将（1）中所求函数式配方，可得函数的最小值．5.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？【答案】解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -= ∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小， ∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．【解析】表示出花圃的边长是解决本题的易错点．【巩固】1. 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．【答案】解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ，则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x ≤4）易知CN=4-x ，EM=4-y ．过点B 作BH ⊥PN 于点H 则有△AFB ∽△BHP ∴PH BH BF AF =，即3412--=y x ， 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x ≤5时，函数值y 随x 的增大而增大，对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【解析】本题考查了二次函数的最值的运用．关键是设线段的长，利用相似的性质表示矩形的面积，用二次函数的方法解题．2. 某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？【答案】解：(1) 四边形EFGH是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE=CF =CG．∴△CEF是等腰直角三角形因此四边形EFGH是正方形．(2)设CE=x, 则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y元那么：y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+[0.16-x-×0.4×(0.4-x)×10]当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1．答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省．【解析】图（2）可以看作是由四块图（1）所示地砖绕C点按顺（逆）时针方向旋转90°后得到的，故CE=CF=CG．所以△CEF是等腰直角三角形．因此四边形EFGH是正方形．（2）费用由三部分的费用组成，因此需求各个部分的面积．因为CE=CF ，所以可设CE=x ，用含x 的式子表示各部分的面积，得出费用的表达式，再运用函数性质解答．3.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。