高一数学子集和等集

第三教时教材: 子集目的: 让学生初步了解子集的概念及其表示法,同时了解等集与真子集的有关概念.过程:一提出问题:现在开始研究集合与集合之间的关系.存在着两种关系:“包含”与“相等”两种关系.二“包含”关系—子集1. 实例: A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} 引导观察.结论: 对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则说:集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作A⊆B (或B⊇A)也说: 集合A是集合B的子集.2. 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊄B (或B⊄A)注意: ⊆也可写成⊂；⊇也可写成⊃；⊆也可写成⊂；⊇也可写成⊃。

3. 规定: 空集是任何集合的子集 . φ⊆A三“相等”关系1.实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即： A=B2.①任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A⊂≠②真子集：如果A⊆B ,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B③空集是任何非空集合的真子集。

④如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C证明：设x是A的任一元素，则 x∈AΘ A⊆B,∴x∈B 又ΘB⊆C ∴x∈C 从而 A⊆C 同样；如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C⑤如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B四例题： P8 例一，例二（略）练习 P9 补充例题《课课练》课时2 P3五小结：子集、真子集的概念，等集的概念及其符号几个性质： A⊆AA⊆B, B⊆C ⇒A⊆CA⊆B B⊆A⇒ A=B作业：P10 习题1.2 1,2,3 《课课练》课时中选择。

知识点3、集合间的基本关系知识梳理1、子集的概念定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集图示(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.3、真子集的概念(1)A⊂B且B⊂C，则A⊂C；(2)A⊆B且A≠B，则A⊂B常考题型题型一、集合间关系的判断例1、(1)下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}A．1B．2 C．3 D．4①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．判断集合间关系的方法(1)用定义判断．首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断．对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．变式训练能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()A. B. C. D.题型二、有限集合子集的确定例2、(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7 C．8 D．9(2)满足{1,2}⊂≠M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．变式训练非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．题型三、集合间关系的应用例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．变式训练已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．课时小测1、给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个2、已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是()A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆C C．A⊂≠B⊆C D．A＝B⊆C3、已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.4、集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数为________．5、已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}．(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．同步练习一、选择题1．已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是A．对任意的a∈A，都有a∉B B．对任意的b∈B，都有b∉A2．如果{}|1A x x =>-，那么A ．0A ⊆B ．{}0A ∈C ．A ∅∈D ．{}0A ⊆ 3．下列各式中，正确的个数是（1）{0}∈{0，1，2}；（2）{0，1，2}⊆{2，1，0}；（3）∅⊆{0，1，2}. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．若集合{}|0A x x =≥，且B A ⊆，则集合B 可能是A ．{}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R 5．若2{|,}x x a a ⊂∅≤∈≠R ，则实数a 的取值范围是A ．B ．C ．D ． 6．已知全集U =R ，则正确表示集合{}1,0,1M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩(Venn)图是A B C D7．设集合{1,2}M =，2{}N a =，那么 A ．若1a =，则N M ⊆B ．若N M ⊆，则1a =C ．若1a =，则N M ⊆，反之也成立D ．1a =和N M ⊆成立没有关系8．已知集合{}4,5,6P =，，定义{},,P Q x x p q p P q Q ⊕==-∈∈，则集合P Q ⊕的所有非空真子集的个数为A ．32B ．31C ．30D ．以上都不对二、填空题9．设P ={x |x <4}，Q ={x |－2<x <2}，则P Q ．10．已知集合，，则满足条件的集合C 的个数为_____.三、解答题11．写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集. (0,)+∞[0,)+∞(,0]-∞(,0)-∞{}1,2,3Q =2{|320,}A x x x x =-+=∈R {|05,}B x x x =<<∈N A C B ⊆⊆12．已知集合{}{}2,4,6,8,9,1,2,3,5,8A B ==,又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集;若各元素都减去2后，则变为B 的一个子集,求集合C .13．已知集合A ={x|2a −1<x <3a +1},集合B ={x|−1<x <4}.（1）若A ⊆B ,求实数a 的取值范围;（2）是否存在实数a ,使A =B ?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.知识点4、集合的并集、交集知识梳理1、并集的概念、并集的性质(1)A ∪B ＝B ∪A ，即两个集合的并集满足交换律．(2)A ∪A ＝A ，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身． (3)A ∪∅＝∅∪A ＝A ，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身．(4)A ⊆(A ∪B)，B ⊆ (A ∪B)，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集．(5)若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集，等于这个集合本身． 3、交集的概念4、交集的性质(1)A∩B＝B∩A，即两个集合的交集满足交换律．(2)A∩A＝A，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身．(3)A∩∅＝∅∩A＝∅，即任何集合与空集的交集等于空集．(4)A∩B⊆A，A∩B⊆B，即两个集合的交集是其中任一集合的子集．(5)若A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立，即若A是B的子集，则A，B的公共部分是A.常考题型题型一、并集的运算例1、(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于()A．{3,4,5,6,7,8}B．{5,8} C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8} (2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>－2} B．{x|x>－1} C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2}变式训练若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x有()A．1个B．2个C．3个D．4个题型二、交集的运算例2、(1)若A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B等于()A．{1,2} B．{0,1} C．{0,3} D．{3}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}求交集运算应关注两点(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合．(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性．变式训练已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．题型三、交集、并集的性质及应用例3、已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．变式训练已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∩B＝A，试求k的取值范围．课时小测1、设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝()A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}2、已知S＝{(x，y)|y＝1，x∈R}，T＝{(x，y)|x＝1，y∈R}，则S∩T＝()A．空集B．{1}C．(1,1) D．{(1,1)}3、若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤－1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________.4、已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．5、设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.知识点5、补集及综合应用知识梳理1、全集的定义及表示(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.2、补集的概念及性质的补集，记作U＝∅，U∅U U(U(U U常考题型题型一、补集的运算例1、(1)设全集U＝R，集合A＝{x|2<x≤5}，则U A＝________.(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则U A＝________，U B＝________.变式训练设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9)，U A＝{5,7}，则a的值为________．题型二、集合的交、并、补的综合运算例2、已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(U A)∪B，A∩(U B)，U(A∪B)．变式训练已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求U(A∪B)，U(A∩B)，(U A)∩(U B)，(U A)∪(U B)．题型三、补集的综合应用例3、设全集U＝R，M＝{x|3a<x<2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M⊂≠U P，求实数a的取值范围．变式训练已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x<－1，或x>0}，若A∩(R B)＝∅，求实数a的取值范围．课时小测2、已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1，或x >4}，那么集合A ∩(U B )等于( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3，或x ≥4}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}3、已知集合A ＝{3,4，m }，集合B ＝{3,4}，若A B ＝{5}，则实数m ＝________. 4、已知全集U ＝R ，M ＝{x |－1<x <1}，U N ＝{x |0<x <2}，那么集合M ∪N ＝________.5、设U ＝R ，已知集合A ＝{x|－5<x<5}，B ＝{x|0≤x<7}，求(1)A∩B ；(2)A ∪B ；(3)A ∪(U B)；(4)B∩(U A)；(5)(U A )∩(U B )．同步练习一、选择题1、已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,4}A =，则UA =A ．{5,6}B ．{1,2,3,4}C ．{2,5,6}D ．{2,3,4,5,6} 2、已知集合{}|1A x x =>，{|1}B x x =≤，则 A ．AB ≠∅ B ．A B =RC ．B A ⊆D ．A B ⊆3、若集合{}{}1,2,3,4,2A B x x ==∈≤N ，则AB 中的元素个数是A ．4B ．6C ．2D ．34、已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U P Q ()= A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}5、设集合{},A a b =，集合{}1,5B a =+，若{}2A B =，则A B =A ．{}1,2B ．{}1,5C ．{}2,5D ．{}1,2,5 6、若集合AB BC =，则集合A,B,C 的关系下列表示正确的是。

高一数学集合与简易逻辑综合【本讲主要内容】集合与简易逻辑综合集合、子集、交集、并集、补集等概念，绝对值不等式、一元二次不等式的解法，简易逻辑。

【知识掌握】 【知识点精析】1. 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合；2. 子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合；3. 交集：一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合，叫做A ，B 的交集；4. 并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A ，B 的并集；5. 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集）；6. )0a (a x ><的解集是。

{}a x x |x <<-；)0a (a |x |>>的解集是{}a x a x |x -<>或；7. 一元二次不等式的解法；8. 简易逻辑：命题：可以判断真假的语句叫做命题。

逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。

简单命题和复合命题不含逻辑联结词的命题叫做简单命题。

简单命题是不含其他命题作为其组成部分（在结构上不能再分解成其他命题）的命题。

由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。

四种命题及它们的关系【解题方法指导】例1. 已知全集{}的质数不大于20U ，A ，B 是U 的两个子集，且满足{}5,3B C A U =I ，{}19,7A C B U =I ，（U C A ）I (U C B)＝ {}17,2。

求集合A 和B 。

解法一：（直接解法）依题意，{}5,3B C A U =I ，则{}A 5,3⊆，且{}B C 5,3U ⊆。

从而知3，5A ∈，且∉B 。

同理，由B A C U I {}19,7，知7，19，且7，19∉A由（A C U ）I （U C B ）{}17,2，知2，17∉A ，且2，17 ∉B因为{}19,17,13,11,7,5,3,2U ，观察11和13这两个元素，不外乎下面几种情况：①若11 ，11 ，则A C U ，且 U CB ，这与（AC U ）I （U C B ）＝{}17,2矛盾；②若11∈A ，11B ∉，则 U C B ，这与A I U C B ＝{}5,3矛盾； ③若11 ∉A ，11∈B ，则A C U ，这与B I AC U ＝ {}19,7矛盾；④若11 ∈A ，11 ∈B ，则11∈（A B I ）。

集合数学知识点高一真子集集合是数学中的基础概念之一，对于高中数学而言，真子集是一个重要的概念。

真子集指的是一个集合中去掉自身元素后所得到的子集。

本文将围绕这个主题，详细讨论高一阶段的集合数学知识点。

一、集合的基本概念在开始讨论真子集之前，我们首先需要了解集合的基本概念。

集合是由一些确定的对象组成，这些对象被叫做集合的元素。

集合的表示方式有两种：列举法和描述法。

例如，集合A={1,2,3,4,5}可以用列举法表示，其中元素1、2、3、4、5属于集合A。

而集合B={x|x是正整数，且小于等于5}是用描述法表示的，它包含了小于等于5的所有正整数。

二、子集的概念在集合论中，子集是一个非常重要的概念。

给定两个集合A和B，如果A的所有元素都属于B，那么A就是B的子集。

用符号表示就是A⊆B。

特别地，空集∅是任何集合的子集。

三、真子集的定义真子集是集合论中的一个概念，指的是一个集合中去掉自身元素后所得到的子集。

简而言之，对于集合A和集合B，如果A是B的子集且A不等于B，那么A就是B的真子集。

用符号表示就是A⊂B。

例如，对于集合A={1,2,3}，集合B={1,2,3,4}，A是B 的真子集。

四、真子集的性质真子集具有一些重要的性质，我们接下来将逐一讨论。

1. 空集是任何集合的真子集。

对于任意集合A，空集是A的真子集，符号表示为∅⊂A。

2. 对于任意集合A，A是自身的真子集。

符号表示为A⊂A。

3. 对于任意集合A和B，如果A是B的真子集且B是A的真子集，则A和B相等。

符号表示为A⊂B且B⊂A，则A=B。

五、真子集的运用真子集的概念在高中数学中经常被用于证明数学问题。

以下是一些常见的运用实例。

1. 证明两个集合不相等：假设需要证明集合A和集合B不相等，可以通过构造真子集来证明。

如果能找到A的一个真子集B'，且B'不等于B，那么可以得出结论A不等于B。

2. 证明两个集合相等：同样地，假设需要证明集合A和集合B相等，可以通过分别证明A是B的真子集且B是A的真子集来得出结论A等于B。

高一数学集合间的基本关系(一)高一数学集合间的基本关系1. 包含关系•定义：集合A包含集合B，表示为A ⊃ B。

•解释：如果B中的所有元素都属于A，则称A包含B。

2. 等于关系•定义：集合A等于集合B，表示为A = B。

•解释：如果A和B具有相同的元素，则称A等于B。

3. 不相交关系•定义：集合A与集合B不相交，表示为A ∩ B = ∅。

•解释：如果A和B没有相同的元素，则称A与B不相交。

4. 交集关系•定义：集合A与集合B的交集，表示为A ∩ B。

•解释：集合A与集合B的交集是包含A和B共有元素的新集合。

5. 并集关系•定义：集合A与集合B的并集，表示为A ∪ B。

•解释：集合A与集合B的并集是包含A和B所有元素的新集合。

6. 差集关系•定义：集合A与集合B的差集，表示为A - B。

•解释：集合A与集合B的差集是包含A中但不包含B中元素的新集合。

7. 互斥关系•定义：集合A与集合B互斥，表示为A ∩ B = ∅。

•解释：如果A和B没有相同的元素，则称A与B互斥。

8. 超集关系•定义：集合A是集合B的超集，表示为A ⊇ B。

•解释：如果B中的所有元素都属于A，则称A是B的超集。

9. 子集关系•定义：集合A是集合B的子集，表示为A ⊆ B。

•解释：如果A中的所有元素都属于B，则称A是B的子集。

以上是高一数学集合间的基本关系的简述和解释。

理解这些关系是数学学习的基础，也是解决相关问题的前提。

在实际应用中，通过运用这些集合关系，可以对数据进行分类、比较和分析，进而推导出更深层次的结论。

数学的集合理论对于求解实际问题非常重要。

第二节集合间的基本关系学习目标1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集2、在具体情境中，了解空集的含义知识框架1、子集定义：如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

记作：BA⊆（或B⊇Ａ）A⊆有两种可能B（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B 或B⊇/A2、真子集如果集合BA⊆，但存在元素x∈B且x￠A，则称集合A是集合B 的真子集如果A⊆B,且A≠B，那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)读作A真包含于B3、集合相等元素相同则两集合相等，如果A⊆B同时B⊆A，那么A=B4、空集不含有任何元素的集合叫做空集，记为∅规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

5、集合的性质①任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A②如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C③如果A B且B C，那么A C④有n个元素的集合，有2n个子集，1n个真子集2-随堂练习1、设{},62,8|=≤=a x x P 则下列关系中正确的是（ ）A.P a ⊆B.P a ∉C.{}P a ⊆D.{}P a ∈2、集合{}3,2,1=M 的真子集的个数是（ ）A.6B.7C.8D.93、设集合{}{},,|),(,,|22R x x y y x Q R x x y y P ∈==∈==则P 与Q 的关系是A.Q P ⊆B.Q P ⊇C.Q P =D.以上都不正确4、已知集合A {},7,3,2且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有A.3个B.4个C.5个D.6个5、已知集合{},12,3,1--=m A 集合{},,32m B =若,A B ⊆则.________=m6、设集合{}{},1212|,23|+≤≤-=≤≤-=k x k x B x x A 且,B A ⊇则实数k 的取值范围是.____________7、已知集合{}{},,01|,0158|2A B ax x B x x x A ⊆=-==+-=求实数a 的不同取值组成的集合.8、已知集合{}{},0))(1(|,31|=--=≤≤=a x x x B x x A（1）当集合B 是A 的子集时，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a 使得B A =成立？。

数学高一集合知识点归纳
嘿，同学们！今天咱来好好聊聊高一数学里超重要的集合知识点呀！
集合是什么呢？简单说，集合就像是一个神奇的魔法口袋！比如说，咱班所有的男生就可以组成一个集合（咱班男生都懂吧！）。

集合有几个关键的概念呢。

首先是元素，这就好比魔法口袋里的一个个宝贝。

举个例子，集合{1,2,3}，那 1、2、3 就是这个集合的元素呀（这不
是很容易理解嘛！）。

还有集合的表示方法呢，咱可以用列举法，就像前面说的那样直接把元素一一列出来，多直白呀（是不是很简单呀！）。

还可以用描述法，比如说{xx 是大于 2 的整数}，这不就很清晰地描述出一个集合啦（很厉害有没有！）。

集合之间的关系也很有趣哦！子集，就好像一个小集合住在大集合里面一样。

比如说集合{1,2,3}是集合{1,2,3,4}的子集（这不难想象吧！）。

相等的集合呢，就好比两个一模一样的魔法口袋（嘿嘿，很形象吧！）。

哎呀，学好集合真的好重要呀，这可是高一数学的基础呢（同学们可得好好掌握呀！）。

加油吧，同学们，相信你们一定能搞定集合的！。

高一数学集合之间的关系与运算【本讲主要内容】集合之间的关系与运算子集、全集、补集、交集、并集等概念，集合的运算性质。

【知识掌握】 【知识点精析】1. （1）子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 。

记作：A B B A ⊇⊆或，A ⊂B 或B ⊃A当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作：A ⊆/B 或B ⊇/A注：B A ⊆有两种可能： （1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。

（2）集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A ＝B 。

（3）真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集。

记作：A B 或B A ，读作A 真包含于B 或B 真包含A 。

注：空集是任何集合的子集。

Φ⊆A空集是任何非空集合的真子集。

Φ A 若A ≠Φ，则Φ A任何一个集合是它本身的子集。

A A ⊆ 易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。

如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合。

如Φ⊆{0}。

不能写成Φ＝{0}，Φ∈{0}2. 全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示。

3. 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集），记作A C S ，即C S A ＝},|{A x S x x ∉∈且4. 交集：一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合，叫做A ，B 的交集。

数学 子集、全集、补集【重点难点解析】子集、补集的概念是本小节的重点，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别．学习中请注意以下几点：1．区分两类不同的关系：从属关系——表示元素与集合间的关系，如1∈Q ，Q 2∉；包含关系——表示集合与集合间的关系，如R Q ⊆．2．要理解三种语言——文字语言、数学语言、图形语言，掌握它们的转换．如子集定义：3．若A 是B 的真子集，则A 也是B 的子集，并且A ≠B ，即B 中至少有一个元素不属于A ．但若A 是B 的子集，则A 不一定是B 的真子集．4．补集是相对于全集而言的．同一集合在不同的全集中的补集不同．【考点】本节内容考试时经常涉及，尤以选择题形式居多，学习时应达到以下要求：①理解子集、真子集、补集的概念；②理解包含和相等关系，空集和全集的意义；③掌握有关术语的符号，能正确表示集合与集合的关系；④会求有限集合的子集，真子集；会求给定集合在全集中的补集．【典型热点考题】例1 选择适当的符号填空：(1)0______∅ (2) 0______{0}(3){0}______∅ (4){0}______{{0}，∅}(5)∅______{∅}思路分析元素与集合的从属关系用∈和∉表示，集合与集合间的关系则用≠⊇/⊆/=≠⊃≠⊂⊇⊆ 、、、、、、与表示． 解：(1)∉ (2)∈ (3)≠⊃ (4) ∈(5)若将∅看作集合，有：}{∅≠⊂∅．若将∅看作{∅}中的元素，有：∅∈{∅}．点评 ∅是空集的符号，不能把空集记作{∅}或{空集}，应注意区分0、∅、{0}、{∅}．{0}表示只含一个元素0的集合；0表示数0，是元素，不是集合；∅表示空集，它不含有任何元素；{∅}表示含有一个元素∅的集合．例2 已知M ＝{x|x>1}，N ＝{x|x>a}，且N M ≠⊂，则( )A ．a ≤1B ．a<1C ．a ≥1D ．a>1思路分析由于a 的变化，导致集合N 的变化，这种运动的数学正是高中数学(动态)与初中数学(静态)的区别．为了形象直观地表示集合的关系，在这可借助数轴示意图，让a 在x 轴上运动，通过观察归纳M 与N 的关系，进而得出1与a 的关系．解：随着a 在x 轴上运动，集合也在变化，满足N M ≠⊂的情况如图，显见a<1，故选B ．例3 已知集合M ＝{a ，a ＋d ，a ＋2d}，N ＝{a ，aq ，2aq }，其中a ≠0，q ≠0，若M ＝Ｎ，求q 的值． 思路分析因为M ＝N ，所以两集合的元素相同．根据集合元素的无序性，既然a 已相同，故此题应分a ＋d ＝aq 或2aq d a =+两种情况加以讨论．解：∵M ＝Ｎ，则有两种情况(1)⎩⎨⎧=+=+2aq d 2a aqd a整理得：01q 2q 2=+-∴q ＝1，此时2aq aq a ==，与集合元素的互异性矛盾，∴q ＝1舍去．(2)⎩⎨⎧=+=+aqd 2a aq d a 2整理得：01q q 22=--∴21q -=或q ＝1(舍去)． 综上，21q -=． 点评 本题是考查集合中元素的特征及分类讨论思想．在求集合中元素字母的值时，易产生与互异性矛盾的增解，要注意检验．【同步达纲练习】一、选择题1．下列关系①}10x |x {3≤≠⊂；②Q 3∈；③{(1，2)}∈{(x ，y)|x+y ＝3}；④}|{π≥⊂∅x x 中；一定成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知M ＝{(x ，y)|y ＝|x|}，N ＝{(x ，y)| |y|=|x|，y ≥0}，那么( )A ．N M ≠⊃B ．N M ⊇C ．M ＝ND ．M N ≠⊃3．集合}R x 01x 2x |x {A 2∈=--=，的所有子集的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．14．全集U=R ，}0b Q b a 7b a x |x {C ≠∈+==且，，，，则下面结论中正确的是( )A ．Q C U C ⊆B ．C Q U C ⊆ C ．C Q ⊆D ．Q C ⊆二、填空题1．已知}d c b a {A }a {，，，⊆⊆，写出所有的集合A________________．2．已知集合}03x 2x |x {M 2=--=，P ＝{x|ax －1＝0}，若M P ≠⊂，则实数a 的所有可能值的集合是________________．3．已知A ＝{正方形}，当U ＝{菱形}时，__________=A U C ；当U ＝{矩形}时，__________=A U C ．4．已知全集U ＝{2，3，3a 2a 2--}，A ＝{2，|a －7|}，5}{=A U C ，则实数a 的值是________________．三、问答题1．已知三元素集合A ＝{x ，xy ，x －y}，B ＝{0，|x|，y}，且A ＝B ，求x 、y 值．2．已知集合A ＝{x|x ＝14m ＋36n ，m ，n ∈Z}，B ＝{x|x ＝2k ，k ∈Z}，求证：A ＝B ．参考答案【同步达纲练习】一、1．A 2．C 3．A4．A (提示：∵a ，b ∈Q ，且b ≠0，∴Q b a U C ∈+7(无理数集)，∴Q C U C ⊆) 二、1．共8个：{a}，{a ，b}，{a ，c}，{a ，d}，{a ，b ，c}，{a ，b ，d}，{a ，c ，d}，{a ，b ，c ，d}2．{0，－1，31} ∵M ＝{－1，3}，又M P ≠⊂ ∴P ＝∅，此时a ＝0，或P ＝{－1}，此时a ＝－1，或P ＝{3}，此时31a =．3．}90{的菱形一个内角不等于︒=A U C } {邻边不相等的矩形=A U C 4．由}{5=A U C ，∴5∈U 且A 5∉ ∴53a 2a 2=--，∴a ＝4或a ＝－2当a ＝－2时，|a －7|＝9≠5，但U 9∉，故舍当a ＝4时，|a －7|＝3≠5且3∈U∴a ＝4．三、1．∵0∈B ，A ＝B ，∴0∈A∵A 为三元素集，∴x ≠xy ，∴x ≠0，又∵0∈B ，y ∈B∴y ≠0，从而x －y ＝0，x ＝y ．这时，A ＝{x ，2x ，0}，B={0，|x|，x}∴|x |x 2=，x=0(不合题意)，±1经验证：x ＝－1，y ＝－1．2．先证B A ⊆：设a ∈A ，则存在Z n m 11∈，使)n 18m 7(2n 36m 14a 1111+=+=∵Z n 18m 711∈+∴a ∈B ，即B A ⊆再证A B ⊆：设b ∈B ，则存在Z k 1∈，满足)k 2(36)k 5(14k 2b 111+-==∵Z k 2 Z k 511∈∈-，， ∴b ∈A ，即A B ⊆综上A ＝B ．。

高一数学《子集、全集、补集》教案模板一、教学目标1.了解集合、子集、全集、真子集、空集、补集等概念，并能够应用到实际问题中；2.掌握求解集合的并、交、差、对称差等操作及其运算规律；3.能够用Venn图表示集合关系，读懂文本或图示中的集合关系，并能够进行简单的逻辑推理。

二、教学重点1.子集、全集、真子集、空集等集合概念的区分与应用；2.集合并、交、差、对称差的概念及运算规律。

三、教学难点1.子集、真子集的抽象概念的理解与应用；2.布尔代数与集合运算的关系的理解。

四、教学程序1.集合概念引入（5分钟）–通过生活中的例子引入集合的概念，并解释集合的形式化定义；–引入子集、全集、真子集和空集等概念。

2.集合的运算及其规律（20分钟）–引导学生理解集合的运算，如集合的并、交、差、对称差，并详细解释每种运算；–利用生活实例和平面图形进行集合运算练习；–讨论每种集合运算的交换律、结合律、分配律等运算规律。

3.集合概念实例演示与分组活动（25分钟）–引导学生参与实例分析，通过文本或图示分析集合关系，并进行简单的逻辑推理；–利用分组活动引导学生自主运用所学知识，进行集合的分类识别，并进行交、并、补集等运算。

4.Venn图表示集合关系（20分钟）–引导学生了解Venn图的原理及其应用；–利用Venn图分析实际问题，探究Venn图的意义，并讨论如何利用Venn图进行简单逻辑推理；–利用Venn图的组合表示运用集合关系的复合逻辑推理。

5.练习巩固（20分钟）–针对所学知识设计综合练习题目；–让学生独立完成作业，并评估学生的掌握情况。

五、教学反思1.本课以集合、子集、全集、补集等概念为主线，通过讲解运算法则、举例分析、Venn图实践等方式让学生从多个角度理解和应用知识，有利于培养学生的逻辑思考能力和综合运用能力。

2.本课采用分组活动和Venn图演示等形式，将抽象的数学概念和实际问题进行关联，提高了学生的学习兴趣和参与度。

高一数学集合符号
1. ∪：并集。

比如A∪B，表示A和B的并集，即包括A和B中所有的元素。

2. ∩：交集。

比如A∩B，表示A和B的交集，即包括A和B中都有的元素。

3. ⊆：子集。

比如A⊆B，表示A是B的子集，即A的所有元素都在B中。

4. ⊂：真子集。

比如A⊂B，表示A是B的真子集，即A的所有元素都在B中，但A不等于B。

5. ∅：空集。

表示没有任何元素的集合。

6. N：自然数集。

包括所有的自然数，如0,1,2,3,...。

7. Z：整数集。

包括所有的正整数、负整数和0，如...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...。

8. Q：有理数集。

包括所有可以表示为两个整数之比的数，如1/2,2/3等。

9. R：实数集。

包括所有的有理数和无理数，如实数π,√2等。

10. C：复数集。

包括所有的实数和虚数，如a+bi（a,b是实数）。

11. U：全集。

表示所有研究对象的集合，是研究范围内最大的集合。

一、集合的概念1. 集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。

2. 集合的表示方法：集合通常用大写字母表示，如A、B、C等，元素用小写字母表示，如a、b、c等。

3. 集合的分类：有限集和无限集。

有限集中元素的个数是有限的，无限集中元素的个数是无限的。

二、集合的基本运算1. 并集：两个集合A和B的并集是指包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。

2. 交集：两个集合A和B的交集是指既属于A又属于B的元素组成的集合，记作A∩B。

3. 差集：两个集合A和B的差集是指属于A但不属于B的元素组成的集合，记作A-B。

4. 补集：一个集合A的补集是指不属于A的所有元素的集合，记作A'或A^c。

5. 幂集：一个集合的所有子集构成的集合称为该集合的幂集，记作P(A)。

三、集合的性质1. 互异性：一个集合中的元素都是不同的。

2. 无序性：一个集合中的元素没有固定的顺序。

3. 确定性：一个元素要么属于某个集合，要么不属于该集合。

4. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。

5. 全集：包含所有元素的集合称为全集，记作U。

6. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合称为另一个集合的子集。

7. 真子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，但这个集合本身不是另一个集合，那么这个集合称为另一个集合的真子集。

8. 相等集：如果两个集合的元素完全相同，那么这两个集合称为相等集。

9. 空集是任意集合的子集。

10. 空集是任意非空集合的真子集。

四、集合的关系1. 包含关系：一个集合A包含另一个集合B，记作A⊆B。

2. 相等关系：两个集合A和B的元素完全相同，记作A=B。

3. 不相等关系：两个集合A和B的元素不完全相同，记作A≠B。

4. 子集关系：一个集合A是另一个集合B的子集，记作A⊆B。

5. 真子集关系：一个集合A是另一个集合B的真子集，记作A⊆B且A≠B。

6. 相等关系与包含关系的关系：如果两个集合相等，那么它们一定相互包含；如果两个集合相互包含，那么它们不一定相等。

高一数学《集合》知识点一.知识归纳：1.集合的有关概念。

1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集：N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B);2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或，且 )3)交集：A∩B={x x∈A且x∈B}4)并集：A∪B={x x∈A或x∈B}5)补集：CUA={x x A但x∈U}注意：①? A，若A≠?，则? A ;②若，，则 ;③若且，则A=B(等集)3.弄清集合与元素、集合与集合的.关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。

4.有关子集的几个等价关系①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;④A∩CuB = 空集CuA B;⑤CuA∪B=I A B。

5.交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A;③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB;6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。

二.例题讲解：【例1】已知集合M={xx=m+ ,m∈Z},N={xx= ,n∈Z},P={xx= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M分析一：从判断元素的共性与区别入手。