2017年初中奥数题及答案1

第 1 页 初中奥数题试题一

一、选择题（每题分，共分）

．如果，都代表有理数，并且＋，那么 ( )

．，都是

．，之一是

．，互为相反数

．，互为倒数

答案：

解析：令，－，满足(－)，由此、互为相反数。

．下面的说法中正确的是 ( )

．单项式与单项式的与是单项式

．单项式与单项式的与是多项式

．多项式与多项式的与是多项式

．整式与整式的与是整式

答案：

解析：²，都是单项式．两个单项式，²之与为²是多项式，排除。两个单项式²，之与为是单项式，排除。两个多项式与－之与为是个单项式，排除，因此选。

．下面说法中不正确的是 ( )

. 有最小的自然数

．没有最小的正有理数

．没有最大的负整数 第 2 页 ．没有最大的非负数

答案：

解析：最大的负整数是，故错误。

．如果，代表有理数，并且＋的值大于－的值，那么 ( )

．，同号

．，异号

答案：

．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )

．个

．个

．个

．无数个

答案：

解析：在数轴上容易看出：在－π右边的左边（包括在内）的整数只有－，－，

－，共个．选。

．有四种说法：

甲．正数的平方不一定大于它本身；

乙．正数的立方不一定大于它本身；

丙．负数的平方不一定大于它本身；

丁．负数的立方不一定大于它本身。

这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) 第 3 页 ．个

．个

．个

．个

答案：

解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故丙错误。

．代表有理数，那么，与－的大小关系是 ( )

．大于－

．小于－

．大于－或小于－

．不一定大于－

答案：

解析：令，马上可以排除、、，应选。

．在解方程的过程中，为了使得到的方程与原方程同解，可以在原方程的两边( )

．乘以同一个数

．乘以同一个整式

．加上同一个代数式

．都加上

答案：

解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于的数，所以排除。我们考察方程－，易知其根为．若该方程两边同乘以一个整式－，得第 4 页 (－)(－)，其根为及，不与原方程同解，排除。同理应排除．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对，这里所加常数为，因此选．

．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了，第三天又较第二天增加了，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( )

．一样多

．多了

．少了

．多少都可能

答案：

解析：设杯中原有水量为，依题意可得，

第二天杯中水量为×(－)；

第三天杯中水量为()×()××；

第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为 ∶，

所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选。

．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( )

．增多

．减少

．不变．增多、减少都有可能

答案： 第 5 页 二、填空题（每题分，共分）

答案：²－²

解析：利用公式²²（）()计算。

答案：－－－－…－

解析：本题运用了运算当中的结合律。

．当－，时，代数式 ²的值是。

答案：

解析：原式(－)²－。把已知条件代入代数式计算即可。

．含盐的盐水有千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐时，秤得盐水的重是千克。

答案：（千克）

解析：食盐的盐水千克中含盐×（千克），

设蒸发变成含盐为的水重克，

即×

解得：（千克）。

遇到这一类问题，我们要找不变量，本题中盐的含量是一个不变量，通过它列出等式进行计算。

三、解答题

.甲乙两人每年收入相等，甲每年储蓄全年收入的15，乙每月比甲多开支元，三年后负债元，求每人每年收入多少？

答案：解：设每人每年收入元，甲每年开支元，依题意有：

即 () 第 6 页 解得，

答：每人每年收入元

所以的末四位数字的与为＋＋＋。

．一个人以千米小时的速度上坡，以千米小时的速度下坡，行程千米共用了小时分钟，试求上坡与下坡的路程。

答案：设上坡路程为千米，下坡路程为千米．依题意则：

由②有， ③

由①有，将之代入③得 。

所以(千米)，于是(千米)。

答：上坡路程为千米，下坡路程为千米。

．求与：

答案：第项为

所以

．证明：质数除以所得的余数一定不是合数。

证明：设＋，≤＜，

因为为质数，故≠，即＜＜。

假设为合数，由于＜，所以的最小质约数只可能为，，。

再由＋知，当的最小质约数为，，时，不是质数，矛盾。

所以，一定不是合数。

解：设

由①式得()()，即

可知＜．由①，＞，且为整数，所以，，．下面分别研究，。

()若时，有

解得，，与已知不符，舍去．

()若时，有

因为或都是不可能的，故时无解．

()若时，有

解之得

故＋。

初中奥数题试题二

一、选择题 第 7 页 ．数是 ( )

．最小整数

．最小正数

．最小自然数

．最小有理数

答案：

解析：整数无最小数，排除；正数无最小数，排除；有理数无最小数，排除。是最小自然数，正确，故选。

为有理数，则一定成立的关系式是 ( )

答案：

解析：若，×排除；排除；＜排除，事实上因为＞，必有＞．选。

××()的值是 ( )

答案：

解析：××()

，选。

.在，，，与这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( )

答案：

解析：，，，与中最大的数是，绝对值最大的数是，()×()，选。

二、填空题

．计算：()()()×()÷()。

答案：()()()×()÷()()() 。

.求值：()。 第 8 页 答案：()。

为正整数，的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是。则的最小值等于。

答案：

解析：的末四位数字应为的末四位数字．即为，即末位至少要个，所以的最小值为。

.不超过()²的最大整数是。

答案：

解析：()²，不超过的最大整数为。

.一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是，则这个质数是。

答案：

解析：个位数比十位数大的两位数有，，其中只有是质数。

三、解答题

．已知，求＋的值。

答案：原式

．某商店出售的一种商品，每天卖出件，每件可获利元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价元，每天就少卖出件。试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？

答案：原来每天可获利×元，若每件提价元，则每件商品获利(＋)元，但每天卖出为()件。

如果设每天获利为元，

则 ＝(＋)()

所以当时，最大元，即每件提价元，每天获利最大为元。

．如图－所示，已知⊥，平分∠，平分∠，∠＋∠°。求证：⊥。 第 9 页 证明：∵平分∠，平分∠及∠＋∠°，

又∵ ⊥，

.求方程｜｜｜｜｜｜的整数解。

答案：｜｜｜｜｜｜｜｜，即 ｜｜(｜｜)(｜｜)，

所以(｜｜)(｜｜)。

因为｜｜＋＞，且，都是整数，所以

.王平买了年利率％的三年期与年利率为％的五年期国库券共元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总与为元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为％)

答案：设设王平买三年期与五年期国库券分别为元与元，则

因为 ，

所以 (＋×)(＋)()(×)，

所以 ＋，

所以 ，

所以 (元)，(元)。

. 对，的哪些值，方程组至少有一组解？

答案：因为 (－)＝， ①

为一切实数时，方程组有唯一解．当，时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解。

当，≠时，①无解。

所以，≠，为任何实数，或，时，方程组至少有一组解。

初中奥数题试题三

一、选择题

.下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是 ( )

. ²与²

²与 ²

²与²

与 第 10 页 答案：

解析：字母相同,并且相同字母的指数也相同的两个式子叫同类项。

.()()()等于 ( )

答案：

解析：()()()

，选。

.两个次多项式的与是 ( )

．次多项式

．次多项式

．次多项式

．不高于次的多项式

答案：

解析：多项式与²之与为²是个次数低于次的多项式，因此排除了、、，选。

.若＜，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是 ( )

答案：

解析：由＜，知＜，所以＞。于是由小到大的排列次序应是＜＜＜，选。

()，，()，则 ( )

答案：

解析：易见，＜，()＞＞，所以＜＜，选。

．若＜，＞，且＜，那么下列式子中结果是正数的是 ( )