数学第六章证明(一)复习教案(北师大版八年级下)
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北师版八下 第六章 证明〔一〕 回忆与思考 教案
●教学目标
〔一〕教学知识点
1.证明的必要性，了解证明的书写格式.
2.了解定义、命题、公理和定理的含义.
3.平行线的性质定理和判定定理.
4.三角形的内角和定理及推论.
1.理解证明的含义.
2.通过具体例子，进一步了解定义、命题，定理、公理的含义，并会区分命题的条件和结论.
3.掌握用综合法证明的格式.体会证明的过程要步步有依据.
4.通过回忆与思考，进一步理解掌握平行线的性质定理和判定定理，并会灵活应用.
5.通过回忆与思考，进一步理解掌握三角形内角和定理及推论，并会灵活应用.
〔三〕情感与价值观要求
通过学生回忆与思考，使他们进一步体会直观是重要的，但有时也会欺骗人，这时就需要通过逻辑推理来判断，培养学生的推理论证能力，进而开展他们的空间观念.
●教学重点
1.平行线的性质定理和判定定理的应用.
3.证明的步骤及书写格式.
●教学难点
证明过程的书写. ●教学方法
自学，小组讨论法. ●教具准备
投影片三张
第一张：问题〔记作投影片“回忆与思考〞 A〕
第二张：平行线的判定与性质的关系图〔记作投影片“回忆与思考〞 B〕
第三张：知识结构图〔记作投影片“回忆与思考〞C〕
●教学过程
Ⅰ.巧设问题情境，引入课题 ［师］前面几节课我们探讨了第六章“证明〞，在教学中为什么要证明如何证明呢今天我们就来对此进行回忆与思考.
Ⅱ.回忆与思考
［师］同学们先独立思考以下问题，然后以小组为单位进行讨论，共同回忆本章的内容.〔出示投影片“回忆与思考〞 A〕
1.直观是重要的，但它有时也会欺骗人，你还能找到这样的例子吗
3.什么条件下两条直线平行两条直线平行又会怎样这两类命题的条件和结论有什么关系你会证明它们吗
4.三角形内角和定理怎样证明三角形的外角与内角有什么关系
5.请你用自己的语言说一说证明的根本步骤.
〔学生通过讨论、归纳、举例、一个一个问题解决〕
［生甲］如：两棵一样高的树，但相距很远，当你站在其中一棵树旁边时，显得它很高，而另一棵较低. 图6－69
又如图6－69：
直观看，图6－69〔1〕长，图6－69〔2〕短，实际上是一样长的.
……
〔学生举出了许多生活中的实例，说明直观有时也会发生错误〕 ［生乙］定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定.
命题呢，就是判断一件事情的句子.
公理：是人们在长期的实践中总结出来的，正确的命题.即公认的真命题.
定理是经过推理的过程得到的真命题.
［生丙］在同位角相等的情况下，两直线平行；在内错角相等或同旁内角互补的情况下，两直线平行.
如果两条直线平行时，那么同位角相等，内错角也相等，同旁内角是互补的.
这两类命题的条件和结论正好相反. ［生丁］两条直线平行的判定定理的条件是两条直线平行的性质定理的结论，它的结论又正好是两直线平行的性质定理的条件.
［生戊］公理也是.
［师］同学们讨论得很好，这两类命题的关系如以下列图〔出示投影片“回忆与思考〞
B〕
［师］你们会证明它们吗
［生］会.主要利用平行线的性质公理证明其性质.利用平行线的判定公理证明判定定理. ［师］很好.接下来看问题4、5. ［生甲］证明三角形内角和定理的思路是将原三角形中的三个角“凑〞到一起组成一个平角.一般需要作辅助线.既可以作平行线，也可以作一个角等于三角形中的一个角. ［生乙］三角形的外角与它相邻的内角是互为补角.
与它不相邻的内角关系是：
〔1〕三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
〔2〕三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
［生丙］证明一个命题是真命题的根本步骤是：
〔1〕根据题意，画出图形.
〔2〕根据条件、结论，结合图形，写出、求证.
〔3〕经过分析，找出由推出求证的途径，写出证明过程.
［生丁］在证明时需注意：
〔1〕在一般情况下，分析的过程不要求写出来.
〔2〕证明中的每一步推理都要有根据.
［师］同学们讨论得真棒，通过分组活动，解决了具有能反映本章内容的一串问题.现在来梳理一下本章的知识结构图.〔出示投影片“回忆与思考〞 C〕 ［师］好，下面我们通过练习来进一步熟悉掌握本章内容.
Ⅲ.课堂练习
〔一〕课本
图6－70 1.将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短研究发现，并非对角线最短.而是如图6－70的连法最短〔即用线段AE、DE、EF、CF、BF把四个顶点连接起来〕，图中∠DAE=∠ADE=30°,∠AEF=∠BFE=120°,你能证明此时AB∥EF吗
答案：能.
证明：∵四边形ABCD是正方形〔〕
∴∠DAB=90°〔正方形的性质〕 ∵∠DAE=30°〔〕
∴∠EAB=60°〔等式性质〕
∵∠AEF=120°〔〕
∴∠AEF+∠EAB=120°+60°=180°〔等式的性质〕
∴AB∥EF〔同旁内角互补，两直线平行〕
图6－71
2.，如图6－71，直线a,b被直线c所截，a∥b.
求证：∠1+∠2=180°
证明：∵a∥b〔〕
∴∠1+∠3=180°〔两直线平行，同旁内角互补〕
∵∠3=∠2〔对顶角相等〕
∴∠1+∠2=180°〔等量代换〕
图6－72
3.，如图6－72，∠1+∠2=180°,
求证：∠3=∠4.
证明：∵∠2=∠5〔对顶角相等〕
∠1+∠2=180°〔〕
∴∠1+∠5=180°〔等量代换〕
∴∠3=∠4〔两直线平行，同位角相等〕
4.答复以下问题
〔1〕三角形的一个内角一定小于180°吗一定小于90°吗 〔2〕一个三角形中最多有几个直角最多有几个钝角
〔3〕一个三角形的最大角不会小于60°，为什么最小角不会大于多少度
答案：〔1〕是 不一定 〔2〕一个 一个
〔3〕如果一个三角形的最大角小于60°，那么这个三角形的三个内角的和将小于180°，所以一个三角形的最大角不会小于60°.
最小角不会大于60°
图6－73
其中AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥BD，2PD=PA.如果∠A=α，那么∠ABP和∠PCD等于多少
解：∵AC⊥BD〔〕
∴∠APB=90°〔垂直的定义〕
∵∠A+∠APB+∠ABP=180°〔三角形的内角和定理〕
∠A=α
∵AB⊥BC，BC⊥CD〔〕
∴∠ABC=∠BCD=90°〔垂直的定义〕
∴∠ABC+∠BCD=180°〔等式的性质〕
∴AB∥CD〔同旁内角互补，两直线平行〕
∴∠A=∠ACD〔两直线平行，内错角相等〕
∵∠A=α〔〕
∴∠PCD=α〔等量代换〕
图6－74 6.，如图6－74，在△ABC中，DE∥BC，F是AB上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G，求证：∠EGH>∠ADE.
证明：∵DE∥BC〔〕
∴∠ADE=∠B〔两直线平行，同位角相等〕
∵∠EGH是△FBG的一个外角〔〕
∴∠EGH>∠B〔三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角〕
∴∠EGH>∠ADE〔等量代换〕
7.，如图6－75，直线AB∥ED.
求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD.
〔1〕 〔2〕
图6－75
此题有多种证法.
证法一：〔如图6－75〔1〕〕过点C作CF∥AB.
∴∠ABC=∠BCF〔两直线平行，内错角相等〕
∵AB∥ED〔〕
∴ED∥CF〔两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行〕
∴∠EDC=∠FCD〔两直线平行，内错角相等〕
∴∠BCF+∠FCD=∠EDC+∠ABC〔等式性质〕 即：∠BCD=∠ABC+∠CDE
证法二：〔如图6－75〔2〕〕，延长BC交DE于F点
∵AB∥DE〔〕
∴∠ABC=∠CFD〔两直线平行，内错角相等〕
∵∠BCD是△CDF的一个外角〔〕 ∴∠BCD=∠CFD+∠CDE〔三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和〕
∴∠BCD=∠ABC+∠CDE〔等量代换〕
Ⅳ.课时小结
Ⅴ.课后作业
〔一〕课本P205复习题 B组 1~5 〔二〕写一份小结，总结自己在本章学习中的收获、困难和需要改进的地方.
Ⅵ.活动与探究
图6－76
1.，如图6－76，∠B=32°,∠D=38°,AM、CM分别平分∠BAD、∠BCD，求∠M的度数.
你能把它一般化吗你会证明如下结论吗
AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD. 求证：∠M=21〔∠B+∠D〕
［过程］让学生在探索的活动过程中，体会由特殊到一般的过程.培养他们分析、综合、归纳的能力.
［结果］解：∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD.
∴∠BAM=21∠BAD，∠MCB=21∠BCD.
∵∠B+∠BAD+∠AFB=180°
∠D+∠BCD+∠DFC=180°
∠AFB=∠DFC
∴∠B+∠DAB=∠D+∠BCD
∴∠DAB－∠BCD=∠D－∠B ∵∠BEM=∠M+∠BCM，
∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM
∴∠M=∠B+∠BAM－∠BCM
=∠B+21〔∠DAB－∠BCD〕
=∠B+21〔∠D－∠B〕
∵∠B=32°∠D=38°
∴∠M=21〔32°+38°〕=35°
回忆与思考
一、问题串
二、知识结构图
三、课堂练习
五、课后作业
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