北师大版八年级下册数学第一章《证明(二)》知识点及习题

1 / 10 北师大版八年级下册数学第一章《证明(二)》知识点及习题

知识点1

等腰三角形的性质定理

等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角)．

用符号语言表示为：如图1－1所示；在△ABC中；∵AB＝AC；∴∠B＝∠C．

定理的证明：

取BC的中点D；连接AD．

∵(),()()ABACBDCDADAD已知中点定义，公共边，∴△ABD≌△ACD(SSS)．

∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)．

定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等．

拓展 等腰三角形还具有其他性质．

(1)等腰直角三角形的两个底角相等；都等于45°．

(2)等腰三角形的底角只能是锐角；不能是钝角或直角；但顶角可以是锐角、钝角或直角．

(3)等腰三角形的三边关系：设腰长为a；底边长为b；则2b＜a．

(4)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A；底角为∠B；∠C；则∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－2∠B＝180°－2∠C．

知识点2 等腰三角形的性质定理的推论

推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)．

(1)用符号语言表示为：如图1－3所示；

①在△ABC中；∵AB＝AC；∠1＝∠2；∴AD⊥BC．BD＝DC；

②在△ABC中；∵AB＝AC；AD⊥BC；∴∠1＝∠2；BD＝DC；

③在△ABC中；∵AB＝AC；BD＝DC；∴∠1＝∠2；AD⊥BC．

(2)推论1的证明．

①在△ABC中；∵AB＝AC；∠1＝∠2；AD＝AD；

∴△ABD≌△ACD(SAS)．

∴BD＝DC；∠ADB＝∠ADC＝90°．∴AD⊥BC．

②在△ABC中；∵AD⊥BC；∴∠ADB＝∠ADC＝90°．

2 / 10 ∵AB＝AC；∴∠B＝∠C．又AD＝AD；∴Rt△ADB≌Rt△ADC(AAS)．

∴∠1＝∠2；BD＝CD．

③在△ABC中；∵AB＝AC；AD＝AD；BD＝CD；

∴△ABD≌△ACD(SSS)

∴∠1＝∠2；∠ADB＝∠ADC＝90°；∴AD⊥BC.

(3)推论1的作用：证明角相等、线段相等或垂直.

推论2：等边三角形的三个角都相等；并且每个角都等于60°．

(1)用符号语言表示为：如图1－4所示；

在△ABC中；∵AB＝BC＝AC；∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．

(2)推论2的证明：

∵AB＝AC；∴∠B＝∠C．

∵AB＝BC；∴∠A＝∠C．

∴∠A＝∠B＝∠C．

又∵∠A+∠B+∠C＝180°；即3∠A＝180°；

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．

知识点3 等腰三角形的判定定理

等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边)．

用符号语言表示为：如图1－6所示；在△ABC中；

∵∠B＝∠C；∴AB＝AC

判定定理的证明：如图1－6所示．

过A作AD⊥BC于D；则∠ADB＝∠ADC＝90°．

∵∠B＝∠C；AD＝AD；∴△ABD≌△ACD(AAS)；

∴AB＝AC．

√判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等．

拓展 如图1－6所示；在△ABC中；

3 / 10 (1)如果AD⊥BC；∠1＝∠2；那么AB＝AC；

(2)如果AD⊥BC；BD＝DC；那么AB＝AC；

(3)如果∠1－∠2；BD＝DC；那么AB＝AC．

知识点4

等腰三角形的判定定理的推论

推论1．

(1)推论1的内容：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

(2)用符号语言表示为：如图1－8所示；在△ABC中；∵AB＝AC；∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)；∴AB＝AC＝BC．

(3)推论1的证明：

在△ABC中；∵AB＝AC；∴∠B＝∠C．

又∵∠A＝60°；∴∠B＝∠C＝01802A＝60°

∴AB＝AC＝BC．

(或∵∠B＝60°；∴∠A＝180°－2∠B＝60°．∴AB＝AC＝BC．或∵∠C＝60°；∴∠A＝180°－2∠C＝60°．∴AB＝AC＝BC．)

√推论2．

(1)推论2的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形．

(2)用符号语言表示为：如图1－8所示；在△ABC中；∵∠A＝∠B＝∠C；∴AB＝AC＝BC．

(3)推论2的证明：

在△ABC中；∵∠A＝∠B；∴BC＝AC(等角对等边)．

又∵∠B＝∠C；∴AB＝AC(等角对等边)．∴AB＝AC＝BC．

(4)推论1和推论2的作用：证明一个三角形是等边三角形．

拓展 判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：

(1)根据等边三角形的定义；证明三条边相等；

(2)根据推论1；证明两条边相等；有一个角是60°；

(3)根据推论2；证明三个角都相等．

√推论3．

(1)推论3的内容：在直角三角形中；如果一个锐角等于30.；那么它所对的直角边等于斜边的一半．

4 / 10 (2)用符号语言表示为：如图1－9所示；在Rt△ABC中；∵∠C＝90°；∠A＝30°；∴BC＝21AB．

(3)推论3的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或2倍．

知识点5 反证法

先假设命题的结论不成立；然后从假设出发；推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；从而否定假设；证明命题的结论一定成立；这种证明方法称为反证法．

拓展 反证法是一种常用的间接证明方法；用反证法的一般步骤是：

(1)假设命题不成立；

(2)从假设出发推导出矛盾；

(3)否定假设；从而肯定命题的结论．

规律方法小结

1．转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中；都是通过构造全等三角形；转化为全等得以证明的．

2．类比思想：采用类比思想；把等腰三角形的性质和判定对照着学习．

3．用反证法进行证明时；注意推理的规范性和逻辑的严密性；不能忽略任何一种可能的情况．

探究交流

想一想：还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？

解析 有；作等腰三角形ABC的顶角平分线AD；如图1－2所示.

∵,)(),(21,)(公共边角平分线定义已知ADADACAB

∴△ABD≌△ACD(SAS).

∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等)

课堂检测

1、如图1－10所示；在△ABC中；AB＝AC；AD＝32AC；AE＝32AB．求证BD＝CE．

5 / 10 2、如图1－12所示；已知点D；E在△ABC的边BC上；AB＝AC；AD＝AE．求证BD＝CE．

3、如图1－13所示；已知∠CAE是△ABC的一个外角；∠1＝∠2；AD∥BC；

求证△ABC是等腰三角形．

4、下面是数学课堂的一个学习片段；阅读后；回答问题．

学习等腰三角形的有关内容后；张老师请同学们交流讨论这样一个问题：已知等腰三角形ABC的∠A等于30°；求其余两角．

同学们经过片刻的思考与交流后；李明同学举手说：“其余两角是30°和120°．”王华同学说：“其余两角是75°和75°．”还有一些同学也提出了不同的看法……

假如你也在课堂上；你的意见如何?为什么?

5、已知等边三角形ABC和点P；设点P到△ABC三边AB；AC；BC的距离分别是h1；h2；h3；△ABC的高为h；若点P在边BC上；如图1－17(1)所示；此时h3＝0；可得结论：h1+h2+h3＝h．

请直接应用上述信息解决下列问题：

点P在△ABC内；如图1－17(2)所示．点P在△ABC外；如图1－17(3)所示；这两种情况时；上述结论是否还成立?若成立；请给出证明；若不成立；h1；h2；h3与h之间又有怎样的关系?请写出你的猜想；不需证明．

6 / 10 体验中考

1、已知等腰三角形ABC的周长为10．若设腰长为x；则x的取值范围是

．

2、如图1－20所示；在△ABC和△DEF中；AB＝DE；BE＝CF；∠B＝∠1．求证AC＝DF(要求：写出证明过程中的重要依据)．

2直角三角形

知识概览图

知识点1 勾股定理及其逆定理

勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；即c2＝a2+b2(c为斜边长)．

√勾股定理的作用．

(1)已知直角三角形的两边求第三边．

(2)已知直角三角形的一条边；求另外两条边的数量关系．

(3)用于证明平方关系的问题．

(4)利用勾股定理作出长为n的线段．

勾股定理的各种表达形式． 勾股定理：a2+b2＝c2（a；b为直角边长；c为斜边长）

勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方；那么这个三角形是直角三角形

互逆命题与互逆定理

直角三角形全等的判定：斜边、直角边定理（ＨＬ）

直角三角形

7 / 10 在Rt△ABC中；∠C＝90°；∠A；∠B；∠C的对边长分别为a；b；c；则a2＝c2－b2；b2＝c2－a2；c2＝a2+b2；c＝22ba；a＝22bc；b＝22ac．

勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方；那么这个三角形是直角三角形．

勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形．

勾股定理是直角三角形的性质定理；而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理．

直角三角形的判定．

(1)首先确定最大边(如c)．

(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系．

若c2＝a2+b2；则△ABC是直角三角形；

若c2≠a2+b2；则△ABC不是直角三角形．

勾股数．

(1)能够成为直角三角形三边长的三个正整数．称为勾股数或勾股弦数．

(2)勾股数必须是正整数．如3；4；5；5；12；13等．

拓展 应用勾股定理时；必须是在同一直角三角形中；应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形时；一定是最长边所对的角是直角；其他两边所对的角是锐角．

知识点2 互逆命题与互逆定理

在两个命题中；如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件；那么这两个命题称为互逆命题；其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

拓展 每个命题都有逆命题．原命题是真命题；而它的逆命题不一定是真命题．原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真．