样条(Spline)函数

I、三次Spline插值函数的定义

给定区间],[ba上的一个分划，且

10xxa…bxn

和一组函数值0y，1y，2y，…，ny，如果)(x具有下列性质：

1 ],[)(2baCx；

2 在每个子区间)1](,[1nkxxkk上，)(x是一个三次多项式；

3 iiyx)(，i=0，1，…，n。（称为插值条件）

则称)(x是关于分划的分段三次样条函数，简称为Spline函数。

将)(x表示成如下分段形式：

],[),(],[),(],[),(],[),()(11212101nnnkkkxxxxsxxxxsxxxxsxxxxsx

其中)1)((nkxsk是一个三次多项式，且满足插值条件：

11)(kkkyxs，kkkyxs)(

为了得到)(xsk的具体表达式，根据],[)(2baCx可知，对每个内部结点)11(nkxk有：

)0()()()0(''''kkkkkkxxsxsx

)0()()()0(""""kkkkkkxxsxsx

下面利用上述条件导出)(xsk的表达式。

II、三次Spline插值函数的表示 设)10()('nkmxkk，，，，则kkkkkmxsxs)()('1'。利用分段Hermite插值公式得

)()()()()(1111xmxmxyxyxskkkkkkkkk （*）

其中)(xk和)(xk称为Hermite插值的基函数（在下面附录中将详细介绍），这里的kx一阶导数km是未知待定的。由上式不难看出，只要确定了各插值点的一阶导数，Spline插值函数)(x就相应确定了。对（*）两边同时求二阶导得：

)()()()()(""1""1"11xmxmxyxyxskkkkkkkkk

同理：

)()()()()("1""1""111xmxmxyxyxskkkkkkkkk

利用上面两式再结合二阶导连续的条件可得：

)()()()(""1""111kkkkkkkkxmxmxyxykkkk

)()()()("1""1"11kkkkkkkkxmxmxyxykkkk

利用)(xk和)(xk的性质（在附录中介绍）上式等价于：

)(3)(31)11(21121211111kkkkkkkkkkkyyhyyhmhmhhmhkk （**）

其中1kkkxxh，若令1kkkkhhh，111kkkkkhhh，则（**）可划为：

kkkkkkdmmm112， 121nk，，， (***)

其中kkkkkkkkkhyyhyyd11133， 121nk，，，

这里的(***)构成了关于1n个未知数nmmm，，10的方程组，但是此处只有1n个方程，要确定这些未知数的值，还需要再加两个条件，一般在],[ba的端点上各附加一个条件，称为边界条件，不同的边界条件对应着不同的边值问题，下面是常见的三种边界条件：

第一类边界条件：

'00')(yx， '')(nnyx

即是'00ym，'nnym。记00，'002yd，0n，'2nnyd。 第二类边界条件：

"00")(yx， "")(nnyx

如果0""0nyy，称对应的Spline函数为自然Spline函数。

即有："00"10"00"10"00")()()()()(10101yxmxmxyxyxs

"""1""1")()()()()(11nnnnnnnnnnnnyxmxmxyxyxsnnn

化简之后为：

)6(32"0110110yhhyymm

)6(32"11nnnnnnnyhhyymm

记10，)6(3"011010yhhyyd，1n，)6(3"1nnnnnnyhhyyd。

第三类边界条件：

)()('0'nxx，)()("0"nxx

这类函数一般要求nyy0，它对应的Spline函数称为周期Spline函数。

针对第一类边界条件和第二类边界条件，他们构成的方程组有如下统一形式：

222212110nnnnmmmm110nndddd110

因为该系数矩阵为三对角阵，且严格对角占优，因此该方程组有唯一解，由此可见，第一、二类型的边值问题的Spline插值函数是存在唯一的，利用追赶法可求得km，这样就得到了)(xsk，从而确定了Spline插值函数)(x。

附录：

前面学过分段三次Hermite插值多项式)(x的表达式为：

],[),(],[),(],[),(],[),()(11212101nnnkkkxxxxsxxxxsxxxxsxxxxsx

其中211121111))(21())(21()(kkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxyxxxxxxxxyxs

211'211'))(())((1kkkkkkkkxxxxxxyxxxxxxykk

3121321)(2)(3)(2)(3kkkkkkkkkkhxxhxxyhxxhxxy

kkkkkkkkkkhhxxhxxyhhxxhxxykk3121'32')()()()(1

其中1kkkxxh。

分段三次Hermite插值多项式)(x也可表示成以结点的函数值和导数值为系数、关于基函数)(xk和)(xk的线性组合：nkknkkkxyxyxk0'0)()()(

其中

][,0][)(2)(3)(10103112110xxxxxxhxxhxxx，，，

][,0][)(2)(3][)(2)(3)(11131121113121kkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxhxxhxxxxxhxxhxxx，，，，，

1,21nk，，

][,0][)(2)(3)(113121nnnnnnnnnxxxxxxhxxhxxx，，，

][0][)()()(101013112110xxxxxxhhxxhxxx，，，，

],[0],[)()(],[)()()(111131121113121kkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxhhxxhxxxxxhhxxhxxx，，，

1,21nk，，

],[0],[)()()(113121nnnnnnnnnnxxxxxxhhxxhxxx，

基函数)(xk和)(xk有如下性质：

1 ①、1)(1)(0kkkxx，

②、][0)(23][23)(01'11'kkkkkkxxxxhxxxhxkk，，，，

③、2"21"6)0(6)0(kkkkkkhxhx

211"21"6)0(6)0(kkkkkkhxhx

2 ①、][274)(0][0)(274111kkkkkkkkxxxhxxxxxh，，，，且0)()()(11kkkkkkxxx

②、0)()(1)(1)(311'1'''kkkkkkkxxxx；； ③、kkkkkkhxhx4)0(2)0("1"

11"1"2)0(4)0(kkkkkkhxhx

3 当][1kkxxx，时，1)()(1xxkk，1)()()(''1'xxhxkkkk

这些性质的证明只需要对相应的函数求导即可得出，我就不那个了……！

引入上述基函数以后，此时有：

)()()()()(1111xmxmxyxyxskkkkkkkkk，1,,21nk，

这正是上面定义样条函数是用到的式子。