样条函数(三次样条)

三次样条插值函数MATLAB编程实现

三次样条插值函数为

1011,,,,nnnSxxxxSxSxxxx

利用三次埃尔米特插值函数表示三次样条插值函数，即

111111,,jjjjjjjjjjjSxyxyxmxmxxxx（0,1,,1jn）

基函数满足

21112111121121111212jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

由上式易得

1331111331112211112211612612246246jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

则有 111111113333111111122221111661212242466jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjSxyxyxmxmxxxxxyxyxxxxxxxxxxxxxmxmxxxxxxxxx1,jjxxx

（0,1,,1jn）

同理有

11111113333111111122221111661212242466jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjSxyxyxmxmxxxxxyxyxxxxxxxxxxxxxmxmxxxxxxxxx1,jjxxx

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--完整版学习资料分享---- 1设计目的、要求

对龙格函数22511)(xxf在区间[-1,1]上取10n的等距节点，分别作多项式插值、三次样条插值和三次曲线拟合，画出)(xf及各逼近函数的图形，比较各结果。

2设计原理

（1） 多项式插值：利用拉格朗日多项式插值的方法，其主要原理是拉格朗日多项式，即：

01,,...,nxxx表示待插值函数的1n个节点，

0()()nnjkkjjkLxylxy，其中0,1,...,jn；

011011()...()()...()()()...()...()...()kknkkkkkkknxxxxxxxxlxxxxxxxxx

（2） 三次样条插值：三次样条插值有三种方法，在本例中，我们选择第一边界条件下的样条插值，即两端一阶导数已知的插值方法：

00'()'Sxf

'()'nnSxf

（3）三次曲线拟合：本题中采用最小二乘法的三次多项式拟合。最小二乘拟合是利用已知的数据得出一条直线或者曲线，使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。在本题中，n= 10，故有11个点，以这11个点的x和y值为已知数据，进行三次多项式拟合，设该多项式为23432xiiiipaaxaxax，该拟合曲线只需2[]xiipy的值最小即可。

3采用软件、设备

计算机、matlab软件

4设计内容

1、多项式插值： -----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享---- 在区间1,1上取10n的等距节点，带入拉格朗日插值多项式中，求出各个节点的插值，并利用matlab软件建立m函数，画出其图形。

在matlab中建立一个lagrange.m文件，里面代码如下：

%lagrange 函数

function y=lagrange(x0,y0,x)

三次样条插值

分段线性插值的优点：计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计算机上实现

缺点：它只能保证各小段曲线在连接点的连续性，却无法保证整条曲线的光滑性，这就不能满足某些工程技术的要求。

三次Hermit插值优点：有较好的光滑性，缺点：要求节点的一阶导数已知。

从２０世纪６０年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来所谓样条(Spline)插值方法，既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性。今天，样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域里得到越来越多广泛应用。

我们介绍应用最广的具二阶连续导数的三次样条插值函数。

一、三次样条插值函数的定义：

给定区间],[ba上的个节点bxxxan10和这些点上的函数值),,1,0()(niyxfii 若)(xS满足：

（1）),,2,1,0()(niyxSii；

（2）在每个小区间],[ba上至多是一个三次多项式；

（3）)(),(),(xSxSxS在],[ba上连续。

则称)(xS为函数)(xf关于节点的nxxx,,,10三次样条插值函数。

二、边界问题的提出与类型

单靠一个函数表是不能完全构造出一个三次样条插值函数。我们分析一下其条件个数，条件（2）三次样条插值函数)(xS是一个分段三次多项式，若用)(xSi表示它在第i个子区间],[1iixx上的表达式，则)(xSi形如

],[,)(1332210iiiiiiixxxxaxaxaaxS

其中有四个待定系数)3,2,1,0(jaij，子区间共有n个，所以)(xS共有n4个待定系数。

由条件（3）)(),(),(xSxSxS在],[ba上连续，即它们在各个子区间上的连接点110,,,nxxx上连续即可，共有)1(4n个条件，即

),2,1,0()()1,,2,1)(0()0()1,,2,1)(0()0()1,,2,1)(0()0(niyxSnixSxSnixSxSnixSxSiiiiiiii

三次样条插值的调用格式

三次样条插值是一种常用的数值分析方法，用于在给定的一组数据点上拟合出一个光滑的曲线。在大多数编程语言中，调用三次样条插值通常需要使用相应的库或模块。以下是一些常见编程语言中调用三次样条插值的示例：

在Python中，可以使用SciPy库中的interp1d函数来进行三次样条插值。调用格式如下：

python.

from scipy.interpolate import interp1d.

f = interp1d(x, y, kind='cubic')。

其中，x和y分别是输入的数据点的横坐标和纵坐标，kind='cubic'表示使用三次样条插值。

在MATLAB中，可以使用interp1函数进行三次样条插值。调用格式如下：

matlab.

xq = min(x):0.1:max(x);

vq = interp1(x, y, xq, 'spline');

其中，x和y同样代表输入的数据点，'spline'表示使用三次样条插值。

在C++中，可以使用GNU Scientific Library (GSL)中的插值函数进行三次样条插值。调用格式如下：

c++。

gsl_interp_accel acc = gsl_interp_accel_alloc();

const gsl_interp_type T = gsl_interp_cspline;

gsl_spline spline = gsl_spline_alloc(T, n);

gsl_spline_init(spline, x, y, n);

其中，x和y是输入的数据点，n是数据点的个数，使用gsl_interp_cspline表示使用三次样条插值。

总的来说，不同的编程语言和库可能有不同的调用格式，但一般来说都需要提供输入的数据点，然后指定使用的插值方法，即可进行三次样条插值。希望这些信息能够帮助到你。