绵阳三诊数学理科(详细)答案

数学（理科）答案第1页（共8页） 绵阳市高2012级第三次诊断性考试

数学(理)参考解答及评分标准（详解）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

BCDBA CACAB AD

11题：两个方程联立，消x用向量得到y1与y2的关系，从而得到a与c的关系

12题：先排十位和千位的数字，在分析其他位置的数字

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．(410，) 14．±2 15．arccos31 16．①④

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：（I）由m//n，可得3sinx=-cosx，于是tanx=31．

∴ 922)31(31312tan31tancos2sin3cossinxxxxxx． „„„„„„„„„„4分

（II）∵在△ABC中，A+B=-C，于是CBAsin)sin(，

由正弦定理知：CACsinsin2sin3，

∴23sinA，可解得3A． „„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

又△ABC为锐角三角形，于是26B，

∵ )(xf=(m+n)·n

=(sinx+cosx，2)·(sinx，-1)

=sin2x+sinxcosx-2

=22sin2122cos1xx

=23)42sin(22x，

∴ 232sin2223]4)8(2sin[22)8(BBBf．„„„„„„„„10分

由26B得B23， 数学（理科）答案第2页（共8页） ∴ 0

即]232223()8(，Bf．„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

18．解：（I）设“i个人游戏A闯关成功”为事件Ai(i=0，1，2)，“j个人游戏B闯关成功”为事件Bj(j=0，1，2)，

则“游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数”为A1B0+A2B1+A2B0．

∴ P(A1B0+A2B1+A2B0)

=P(A1B0)+P(A2B1)+P(A2B0)

=P(A1)·P(B0)+P(A2)·P(B1)+P(A2)·P(B0)

=202222120222200212)31()21(3132)21()21()31()32(2121CCCCCC

367．

即游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关的人数的概率为367．„„4分

（II）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4．

361)31()21()0(202202CCP，

61366)21(3132)31(2121)1(2021222212CCCCP，

361331322121)21()32()31()21()2(1212222222222222CCCCCCP，

3136122121)32(3132)21()3(1222212222CCCCP，

91364)32()21()4(22P．

∴ 的分布列为：

 0 1 2 3

4

P 361 61 3613 31 91

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分

∴ E=37914313361326113610． „„„„„„„„„12分

19．解法一：（I）证明：连结AD1交A1D于F，则F为中点，连结EF，如图． 数学（理科）答案第3页（共8页） ∵ E为中点，

∴ EF//BD1．

又EF面A1DE，BD1面A1DE，

∴ BD1//面A1DE．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

（II）在Rt△ABD中，AB=2AD=2，可得BD=5，

∴ 252111DDBDSBDD，212111111DDDASDDA，

设A1到面BDD1的距离为d，则由1111DDABBDDAVV有

1113131DDABDDSABSd，

即212312531d，解得 552d，

即A1到面BDD1的距离为552．„„„„„„„„„„„„„„„„„8分

（III）连结EC．

由ABAE21，有32AE，34EB，

过D作DH⊥EC于H，连结D1H，

由已知面AA1D1D⊥面ABCD且DD1⊥AD，

∴DD1⊥面ABCD．

由三垂线定理知：D1H⊥EC，

∴ ∠DHD1为D1-EC-D的平面角．

Rt△EBC中，由34EB，BC=1，得35EC．

又DH·EC=DC·BC，代入解得56DH，

∴在Rt△DHD1中，65561tan11DHDDDHD．

∴65arctan1DHD，即二面角D1-EC-D的大小为65arctan．„„„„12分

解法二：

（I）同解法一．„„„„„„3分 A1 D1

A D

E B C F

H

A1 D1

A D

E B C F

y

x z 数学（理科）答案第4页（共8页） （II）由面ABCD⊥面ADD1A，且四边形AA1D1D为正方形，四边形ABCD为矩形，可得D1D⊥AD，D1D⊥DC，DC⊥DA．

于是以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

由AB=2AD=2知：D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，B(1，2，0)，

∴ DB=(1，2，0)，1DD=(0，0，1)，BA1=(0，2，-1)．

设面BDD1的一个法向量为n1)1(11zx，，，

则，，00111DDDBnn 即，，00211zx ∴)012(1，，n．

∴ 点A1到面BDD1的距离552||||111nnBAd． „„„„„„„„„„8分

（III）由（II）及题意知：E(1，32，0)，C(0，2，0)，)1321(1，，ED，)0341(，，EC．

设面D1EC的一个法向量为)1(222，，yxn，

则，，00212ECEDnn 即，，03401322222yxyx可得)12132(2，,n．

又易知面DEC的一个法向量是1DD(0，0，1)，

设D1-EC-D的大小为θ，则6161616611||||cos1212DDDDnn，

得61616arccos．

即D1-EC-D的大小为61616arccos．„„„„„„„„„„„„„„„12分

20．解：（I）)0()(2axbxaxf，

由题，1)1(f，得-a+b=1．

∴ b=a+1．

又切点(1，a+c)在直线x-y-2=0上，得1-(a+c)-2=0， 数学（理科）答案第5页（共8页） 解得c=-a-1． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

（II）g(x)cxbxaxln

1ln)1(axaxax，

∴ 222))(1()1(11)(xaxxxaxaxxaxaxg，

令0)(xg，得x=1，或x=a．„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分

i)当a≥1时，

由0

∴ g(x)在(0，1]上递增．

∴ g(x)max=g(1)=2．

于是a≥1符合条件． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分

ii)当0

当0

∴ g(x)在(0，a)上递增，g(x)在(a，1)上递减．

得g(x)max=g(a)>g(1)=2，与题意矛盾．

∴ 0

综上知实数a的取值范围为，1．„„„„„„„„„„„„„„„12分

21．解：（I）由题知，，acba22得b+c=4，即|AC|+|AB|=4（定值）．

由椭圆定义知，顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去左右顶点），

且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为3．

∴ 顶点A的轨迹方程为)0(13422yyx．„„„„„„„„„„„„4分

（II）由，，0124322yxmkxy

消去y整理得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0．

∴ Δ=(8km)2-4(3+4k2)×4(m2-3)>0，

整理得：4k2>m2-3．①

令M(x1，y1)，N(x2，y2)，则，，222122143)3(4438kmxxkkmxx 数学（理科）答案第6页（共8页） 设MN的中点P(x0，y0)，则，2210434)(21kkmxxx

2021210433)(21)(21kmkxmmkxmkxyyy，„„„„„„„7分

i)当k=0时，由题知，)30()03(，，m．„„„„„„„„„„„8分

ii)当k≠0时，直线l方程为xky121，

由P(x0，y0)在直线l上，得2243421433kmkm，得2m=3+4k2．②

把②式代入①中可得2m-3>m2-3，解得0

又由②得2m-3=4k2>0，解得23m．

∴ 223m．

验证：当(-2，0)在y=kx+m上时，得m=2k代入②得4k2-4k+3=0，k无解．

即y=kx+m不会过椭圆左顶点.

同理可验证y=kx+m不过右顶点．

∴ m的取值范围为(223，)．„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分

综上，当k=0时，m的取值范围为)30()03(，，；

当k≠0时，m的取值范围为(223，)．„„„„„„„„„„„12分

22．解：（I）由题意，得22nnnaaS（n∈N*）．

于是21112nnnaaS，

两式相减，得221112nnnnnaaaaa，

即an+1+an=(an+1+an)(an+1-an)，

由题，an>0，an+1+an≠0，

得an+1-an=1，即{an}为公差为1的等差数列．

又由21112aaS，得a1=1或a1=0（舍去）．

∴ an=1+(n-1)·1=n (n∈N*)．„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

（II）证法一：由（I）知nan11，于是nTn131211，

于是当n≥2时，