2021-2022学年山东省泰安市高三(上)期中数学试卷-附答案详解

第1页，共18页

2021-2022学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知集合𝐴={𝑥|𝑥2−𝑥−6<0}，𝐵={𝑥|0<𝑥<1}，则𝐴∩(∁𝑅𝐵)=( )

A. {𝑥|−2<𝑥≤0} B. {𝑥|−2<𝑥≤0，或1≤𝑥<3}

C. {𝑥|1≤𝑥<3} D. {𝑥|−2<𝑥<0，或1<𝑥<3}

2. 已知𝑎>0且𝑎≠1，则“𝑎>2”是“log𝑎2<1”的( )

A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知函数𝑓(𝑥)={𝑒𝑥,𝑥≤0𝑙𝑛𝑥,𝑥>0，则𝑓(𝑓(1))=( )

A. 𝑒 B. −1 C. 0 D. 1

4. 将函数𝑓(𝑥)=sin(5𝑥−𝜋4)的图象向左平移𝜋5个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数𝑔(𝑥)的图象，则𝑔(𝑥)=( )

A. sin(52𝑥−𝜋20) B. sin(10𝑥−𝜋20) C. sin(52𝑥+3𝜋4) D. sin(52𝑥+3𝜋8)

5. 若𝑎，𝑏∈𝑅，𝑎𝑏>0，则𝑎𝑏𝑎4+4𝑏4+1的最大值为( )

A. 14 B. 12 C. 2 D. 4

6. 函数𝑦=(1+𝑐𝑜𝑠𝑥)(𝑥−1𝑥)在[−5,0)∪(0,5]上的部分图象大致为( ) 第2页，共18页 A. B. C. D.

7. 若𝑐𝑜𝑠𝛼+2𝑠𝑖𝑛𝛼=−√5，则𝑡𝑎𝑛𝛼=( )

A. 12 B. 2 C. −12 D. −2

8. 若数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=2，𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑎𝑛−1，则𝑎2022=( )

A. 2 B. 12 C. −1 D. −2

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 下列命题为真命题的是( )

A. 若𝑎𝑐2>𝑏𝑐2，则𝑎>𝑏

B. 若𝑎>𝑏，则2𝑎−𝑏>12

C. 若𝑎>0，𝑏>0，则√𝑎𝑏≥2𝑎𝑏𝑎+𝑏

D. 若𝑎>𝑏>0，则𝑙𝑔𝑎𝑙𝑔𝑏>1

10. 设数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑎1=1，且2𝑆𝑛=3𝑎𝑛+𝑚，则( )

A. 𝑚=−1 B. {𝑎𝑛}是等差数列

C. 𝑎𝑛=3𝑛−1 D. 𝑆𝑛=3𝑛−12

11. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑡𝑎𝑛𝑥，其导函数为𝑓′(𝑥)，设𝑔(𝑥)=𝑓′(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥，则( )

A. 𝑓(𝑥)的图象关于原点对称 B. 𝑓(𝑥)在𝑅上单调递增

C. 2𝜋是𝑔(𝑥)的一个周期 D. 𝑔(𝑥)在(0,𝜋2)上的最小值为2√2 第3页，共18页 12. 已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔∈𝑁)在区间[−𝜋12,𝜋12]和[7𝜋4,25𝜋12]上单调递增，下列说法中正确的是( )

A. 𝜔的最大值为3

B. 方程𝑓(𝑥)=log2𝜋𝑥在[0,2𝜋]上至多有5个根

C. 存在𝜔和𝜑使𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)为偶函数

D. 存在𝜔和𝜑使𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)为奇函数

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若2𝑎=7𝑏=14，𝑎，𝑏∈𝑅，则1𝑎+1𝑏=______．

14. 在相距1000米的𝐴，𝐵两点处测量目标点𝐶，若∠𝐶𝐴𝐵=60°，∠𝐶𝐵𝐴=75°，则𝐵，𝐶两点之间的距离为______米．

15. 已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1，且𝑎𝑛+1=𝑎𝑛=𝑛+1，则𝑎𝑛=______，数列{1𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛=______．

16. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑙𝑛𝑥+12𝑚𝑥2有两个极值点，则实数𝑚的取值范围为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知关于𝑥的不等式𝑥2+𝑎𝑥+1≥0．

(1)当𝑎=52时，解不等式；

(2)若不等式对任意𝑥∈(0,12)恒成立，求实数𝑎的取值范围．

18. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜋6)−cos2𝜔𝑥+14，满足𝑓(𝑚)=𝑓(𝑛)=14(𝑚,𝑛∈𝑅,𝑚>𝑛)的𝑚−𝑛的最小值是𝜋3．

(1)求𝑓(𝑥)的单调递增区间； 第4页，共18页 (2)求𝑓(𝑥)在[0,5𝜋12]的最大值和最小值．

19. 在△𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，已知𝑠𝑖𝑛𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐶=2𝑠𝑖𝑛𝐴，3𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶=4𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴，点𝐷在射线𝐴𝐶上，满足cos∠𝐴𝐵𝐷=2𝑐𝑜𝑠𝐵．

(1)求∠𝐴𝐵𝐷；

(2)设∠𝐴𝐵𝐷的角平分线与直线𝐴𝐶交于点𝐸，求证：1𝐵𝐴+1𝐵𝐷=1𝐵𝐸．

20. 已知等差数列{𝑎𝑛}，𝑎2，𝑎4，25成等比数列，𝑎6=2(𝑎1+𝑎3).

(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

(2)在所有相邻两项𝑎𝑘与𝑎𝑘+1(𝑘=1,2,⋯)之间插入𝑘个2𝑘，使它们和原数列的项构成一个新的数列{𝑏𝑛}，记数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，求𝑆50的值．

第5页，共18页 21. 某地打算修建一条公路，但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线，为了保护野生动物，决定修建高架桥，为野生动物的迁徙提供安全通道．若高架桥的两端及两端的桥墩已建好，两端的桥墩相距1200米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测，一个桥墩的工程费用为500万元，距离为𝑥米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为10𝑥[ln(𝑥+12)−3]万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为𝑦万元．

(1)试写出𝑦关于𝑥的函数关系式；

(2)需新建多少个桥墩才能使𝑦最小？并求出其最小值．参考数据：𝑙𝑛2≈0.69，𝑙𝑛3≈1.10．

22. 已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥−1)ln(𝑥+1)，曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,0)处的切线方程为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘,𝑏∈𝑅)．

(1)求𝑘，𝑏的值；

(2)证明：𝑓(𝑥)≥𝑘𝑥+𝑏；

(3)若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑚(𝑚∈𝑅)有两个零点𝑥1，𝑥2，证明|𝑥2−𝑥1|≤1−𝑚−𝑚𝑙𝑛2．

第6页，共18页 答案和解析

1.【答案】𝐵

【解析】解：𝐴={𝑥|𝑥2−𝑥−6<0}={𝑥|−2<𝑥<3}，

∵𝐵={𝑥|0<𝑥<1}，∴∁𝑅𝐵={𝑥|𝑥≤0或𝑥≥1}，

∴𝐴∩(∁𝑅𝐵)={𝑥|−2<𝑥≤0或1≤𝑥<3}，

故选：𝐵．

先解一元二次不等式求出集合𝐴，再根据集合的基本运算即可求解．

本题主要考查集合的基本运算，一元二次不等式的解法，属于基础题．

2.【答案】𝐵

【解析】解：∵已知𝑎>0且𝑎≠1，

由𝑎>2，可得log𝑎2<1，故充分性成立；

由log𝑎2<1，可得𝑎>2或0<𝑎<1，故必要性不成立，即由log𝑎2<1，不能得到𝑎>2，

故“𝑎>2”是“log𝑎2<1”的充分不必要条件，

故选：𝐵．

由题意，利用充分条件、必要条件、充要条件的定义，对数的性质，得出结论．

本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，对数的性质，属于中档题．

3.【答案】𝐷

【解析】解：根据题意，函数𝑓(𝑥)={𝑒𝑥,𝑥≤0𝑙𝑛𝑥,𝑥>0，

则𝑓(1)=𝑙𝑛1=0，则𝑓(𝑓(1))=𝑒0=1，

故选：𝐷．

根据题意，由函数的解析式求出𝑓(1)的值，进而计算可得答案．

本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．

4.【答案】𝐶

第7页，共18页 【解析】解：𝑓(𝑥)=sin(5𝑥−𝜋4)的图象向左平移𝜋5个单位长度，得到𝑦=sin[5(𝑥+𝜋5)−𝜋4]=sin(5𝑥+3𝜋4)，

再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到𝑦=sin(5⋅12𝑥+3𝜋4)=sin(52𝑥+3𝜋4).

故选：𝐶．

根据函数图象的平移和伸缩变换法则，即可得解．

本题考查三角函数的图象变换，熟练掌握平移和伸缩变换法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

5.【答案】𝐴

【解析】解：因为𝑎4+4𝑏4=(𝑎2)2+(2𝑏2)2≥4𝑎2𝑏2，

当且仅当𝑎2=2𝑏2时取等号，

所以𝑎𝑏𝑎4+4𝑏4+1≤𝑎𝑏4𝑎2𝑏2+1=14𝑎𝑏+1𝑎𝑏，

又4𝑎𝑏+1𝑎𝑏≥2√4𝑎𝑏⋅1𝑎𝑏=4，

当且仅当4𝑎𝑏=1𝑎𝑏，即𝑎2𝑏2=14时取等号，

联立方程组{𝑎2=2𝑏2𝑎2𝑏2=14，解得𝑎2=14,𝑏2=18，

所以𝑎𝑏𝑎4+4𝑏4+1≤14，

当且仅当𝑎2=14,𝑏2=18时取等号，

则𝑎𝑏𝑎4+4𝑏4+1的最大值为14．

故选：𝐴．

利用基本不等式求解即可．

本题考查了基本不等式的理解与应用，主要考查了基本不等式求解最值的应用，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于中档题．

6.【答案】𝐷