山东省泰安市2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题及答案
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第页（共4页）试卷类型:A
高三年级考试
数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的。2023.01
1.若（1+2ai）i=1-bi,其中a,b∈R,则|1+a+bi|=
A.13
2B.
5C.5
2D.
10
2.
设集合A={}
x|x<2或x≥4,B={}
x|
a≤x≤a+1,若(∁
RA)∩B=⌀,则
实数a的取值范
围是
A.a≤1或a>4B.a<1或a≥4C.a<1D.a>4
3.
“sinθ>0”是“θ
为第一或第二象限角”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.
已知等比数列{a
n}
的前n项和为S
n,且S
4,S
2,S
3成等差数列，a
2+a
3+a
4=-18，则a
5=
A.-96B.-48C.48D.96
5.已知函数f(x)=2sinx+4cosx在x=φ处取得最大值,则cosφ=
A.25
5B.5
5C.-5
5D.-25
5
6.在轴截面顶角为直角的圆锥内,作一内接圆柱,若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积,则圆
柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为
A.1
4B.2
4C.1
2D.2
2
1高三数学试题第页（共4页）7.
已知抛物线
C:y2=4x
的焦点为F,过点P()
5,0
的直线l交C于A,B两点,O为坐标原点,记
△ABO与△AFO的面积分别为S
1和S
2,则S
1+3S
2的最小值为
A.82B.20
2C.24
2D.32
2
8.
设a=1
5,b=ln11
9,c=sin1
5,则
A.a
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.
若a>0>b>c,则下列结论正确的是
A.a
c>a
bB.b2a>c
2a
C.a-b
a-c>b
cD.a-c≥2()
a-b()
b-c
10.
已知A()
-10,0,B()
2,0
,动点
P满足
AP·
BP=-20.
设点P的轨迹为曲线C,直线
l:x-ay+1+a=0
与曲线C交于D,E两点,则下列结论正确的是
A.曲线C的方程为()
x+42
+y
2=16B.||
PA
的取值范围为[]
2,10
C.当||
DE最小时,a=-3
D.当||
DE最大时,a=3
11.
已知函数f()
x=2sin
2
x-3sin||
x+1
,则下列结论正确的是
A.f()
x
是偶函数B.f()
x
在(-π
4,0)上单调递增
C.f()
x
在[-π,π]
上有4个零点D.f()
x
的值域是[]
0,6
12.
如图所示,在长方体ABCD-A
1B
1C
1D
1中,AA
1=A
1B
1=2,AD=1,O
是B
1D
1的中点,直线
A
1C交平面AB
1D
1于点M,则下列结论正确的是
A.A,M,O
三点共线
B.A
1M的长度为1
C.直线AO与平面BCC
1B
1所成角的正切值为5
4
D.△A
1MO的面积为5
6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f()
x=ì
í
î4x,x≤0,
log
4x,x>0,则f(f(1
4))=.
14.
已知向量a=()
-4,-3,b=()
-2,m-1,若()
a+2b⊥a,则m=.
15.
已知定义在R上的函数
f(x)
满足:对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1
,且当
x>0时,f(x)>1.若f(2)=3,
则不等式f(x2-x-1)<2
的解集为.
16.
已知双曲线C:x2
a2-y2
b2=1()
a>0,b>0的右焦点为F,
虚轴的上端点为A,M,N是C上的
两点,P是MN的中点,O为坐标原点,直线OP的斜率为-1
2,若AF∥MN,则双曲线C的两
条渐近线的斜率之积为.
2高三数学试题第页（共4页）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.
（本小题满分10分）
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2cosC
a=2
b+sinC
bsinA.
（1）求B;
（2）若b=8,D
为边AC的中点,且
BD=22,求△ABC的面积.
18.
（本小题满分12分）
已知数列{a
n}
的前n项和为S
n,a
1=4,且a
n
S
n=n+1
2n(n∈N
*).
（1）求{a
n}
的通项公式;
（2）若b
n=2
n
(n+3)a
n,数列{b
n}的前n项和为T
n,求证:T
n<5
12.
19.
（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面
ABC,PA=
22,PB
=2,AB
=6,
AC⊥PC,D
是棱PC的中点.
（1）求证:BC⊥AC;
（2）若
AC=3,求直线BC与平面ADB所成角的正弦值.
20.
（本小题满分12分）
如图,为了测量某条河流两岸两座高塔底部A,B
之间的距离,观测者在其中一座高塔的
顶部D测得另一座高塔底部B和顶部C的视角的正切值为4
3(即tan∠BDC=4
3),已知两座
高塔的高AD为30m,BC为60m,塔底A,B
在同一水平面上，且AD⊥AB,BC⊥AB.
（1）求两座高塔底部A,B
之间的距离;
（2）为庆祝2023年春节的到来,在两座高塔顶部各安装了一个大
型彩色灯饰.政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰,决定在
A,B
之间的点P处（点P在线段AB上）搭建一个水上观景台,为了达到
最佳的观赏效果,要求∠DPC最大,问：在距离A点多远处搭建，才能达
到最佳的观赏效果？
3高三数学试题第页（共4页）21.
（本小题满分12分）
已知椭圆E：x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)过
A
(1,6
2),B(3
,2
2)两点.
（1）求椭圆E的方程;
（2）已知Q()
4,0,过P()
1,0
的直线l与E交于M,N
两点,求证:||
MP
||
NP=||
MQ
||
NQ.
22.
（本小题满分12分）
已知函数f()
x=||
xex-a-ax()
lnx+1()
a∈R.
（1）若a=-1,证明:f()
x≥x()
ex+2
;
（2）若f()
x>0对任意的x∈()
0,+∞
恒成立,求a的取值范围.
4第页（共6页）高三年级考试
数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题：
题号
答案1
C2
B3
B4
C5
A6
D7
B8
D
二、多项选择题：
题号
答案9
ACD10
ABD11
AB12
ABD
三、填空题：
13.-414.47
615.(-1,2)16.1-2
2
四、解答题：2023.
01
17.
（10分）
解:（1）因为2cosC
a=2
b+sinC
bsinA,所以2cosC
a=2
b+c
ba,所以2bcosC=2a+c,
所以2b·a2+b
2-c
2
2ab=2a+c,
即a2+c
2-b
2=-ac,
……………………………………………………………3分
所以cosB=a2+c
2-b
2
2ac=-ac
2ac=-1
2,
又B∈()
0,π,所以B=2π
3.………………………………………………………5分
（2）因为b=8,D为边AC的中点,所以
AD=CD=4,且BD=22,
在△ABD中,cos∠BDA=BD2+AD
2-AB
2
2BD·AD=8+16-c
2
2×22×4=24-c
2
162,
同理,在△BDC中,cos∠BDC=24-a
2
162,………………………………………7分
因为∠ADB+∠BDC=π,所以cos∠ADB+cos∠BDC=0,所以a2+c
2=48,
……………………………………………………………………………………8分
在△ABC中,b2=c
2+a
2-2accosB,即64=c
2+a
2+ac,所以ac=16,
…………………………………………………………………………………9分
所以△ABC的面积S△ABC=1
2acsinB=1
2×16×sin2π
3=43.……………10分
1
