2019-2020学年山东省泰安市高三(上)期中数学试卷
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试卷第1页，总18页 2019-2020学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合𝐴={𝑥|log2(𝑥−1)<0}，𝐵={𝑥|𝑥≤3}，则(∁R𝐴)∩𝐵=( )
A.(−∞, 1] B.(2, 3) C.(2, 3] D.(−∞, 1]∪[2, 3]
【答案】
D
【考点】
对数函数的定义域
交、并、补集的混合运算
【解析】
可以求出集合𝐴，然后进行补集、交集的运算即可．
【解答】
解：∵ 𝐴={𝑥|0<𝑥−1<1}={𝑥|1<𝑥<2}，𝐵={𝑥|𝑥≤3}，
∴ ∁R𝐴={𝑥|𝑥≤1或𝑥≥2}，
∴ (∁R𝐴)∩𝐵=(−∞, 1]∪[2, 3]．
故选𝐷.
2. 下列函数中，在(0, +∞)是增函数的是( )
A.𝑦=𝑥2+𝑒2 B.𝑦=cos𝑥−𝑒𝑥 C.𝑦=1𝑥−𝑥 D.𝑦=𝑥2−4𝑥
【答案】
A
【考点】
函数的单调性及单调区间
【解析】
结合二次函数的性质可判断𝐴正确．
【解答】
解：𝐴，由二次函数的性质可知，𝑦=𝑥2+𝑒2在(0, +∞)是增函数，故𝐴符合题意；
𝐵，𝑦′=−sin𝑥−𝑒𝑥，在(0,+∞)上，−𝑒𝑥<−1，−sin𝑥∈[−1,1]，
故𝑦′<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故𝐵不符合题意；
𝐶，𝑦′=−1𝑥2−1<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故𝐶不符合题意；
𝐷，𝑦′=2𝑥−4，当𝑥∈(0,2)时，𝑦′<0，故𝐷不符合题意.
故选𝐴.
3. 命题“∀𝑥>0，𝑥(𝑥+1)>(𝑥−1)2”的否定是( )
A.∀𝑥>0，𝑥(𝑥+1)≤(𝑥−1)2 B.∀𝑥≤0，𝑥(𝑥+1)≤(𝑥−1)2
C.∃𝑥>0，𝑥(𝑥+1)≤(𝑥−1)2 D.∃𝑥≤0，𝑥(𝑥+1)≤(𝑥−1)2
【答案】
C
【考点】
试卷第2页，总18页 命题的否定
【解析】
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
解：命题为全称命题，则命题“∀𝑥>0，𝑥(𝑥+1)>(𝑥−1)2”的否定是：
∃𝑥>0，𝑥(𝑥+1)≤(𝑥−1)2.
故选𝐶.
4. 已知sin(𝑥+𝜋6)=𝑚，则cos(2𝑥−2𝜋3)=( )
A.1−2𝑚2 B.2𝑚2−1 C.𝑚 D.2𝑚−1
【答案】
B
【考点】
二倍角的三角函数
二倍角的余弦公式
诱导公式
【解析】
直接利用三角函数的诱导公式的运用和倍角公式的应用求出结果．
【解答】
解：已知sin(𝑥+𝜋6)=𝑚，
所以cos(𝜋2−𝑥−𝜋6)=cos(𝑥−𝜋3)=𝑚，
则cos(2𝑥−2𝜋3)=2cos2(𝑥−𝜋3)−1=2𝑚2−1．
故选𝐵.
5. “𝑎3>𝑏3”是“log7𝑎>log7𝑏”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
根据𝑎3>𝑏3推出𝑎>𝑏，但是𝑎，𝑏未必是正数，因此log7𝑎>log7𝑏未必有意义；反之，log7𝑎>log7𝑏推出𝑎>𝑏>0，则必有𝑎3>𝑏3．根据充分必要条件的判定，即可得出结果．
【解答】
解：若𝑎3>𝑏3，则𝑎>𝑏，
当𝑏<𝑎≤0时，或𝑎>0≥𝑏时，由“𝑎>𝑏”推不出“log7𝑎>log7𝑏”；
反之，若“log7𝑎>log7𝑏”，则有“𝑎>𝑏”，
试卷第3页，总18页 所以，”𝑎3>𝑏3”是”log7𝑎>log7𝑏”的必要不充分条件．
故选𝐵.
6. 已知向量𝑚→=(𝜆+1, 1)，𝑛→=(𝜆+2, 2)，若(2𝑚→+𝑛→) // (𝑚→−2𝑛→)，则𝜆=( )
A.−1 B.0 C.1 D.2
【答案】
B
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
可以求出2𝑚→+𝑛→=(3𝜆+4,4),𝑚→−2𝑛→=(−𝜆−3,−3)，根据(2𝑚→+𝑛→)∥(𝑚→−2𝑛→)即可得出−3(3𝜆+4)+4(𝜆+3)＝0，解出𝜆即可．
【解答】
解：2𝑚→+𝑛→=(3𝜆+4,4),𝑚→−2𝑛→=(−𝜆−3,−3)，
∵ (2𝑚→+𝑛→)//(𝑚→−2𝑛→)，
∴ −3(3𝜆+4)+4(𝜆+3)=0，解得𝜆=0．
故选𝐵.
7. 函数𝑓(𝑥)=3sin𝑥−𝑥𝑥2+1在[−𝜋, 𝜋]的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．
【解答】
解：𝑓(−𝑥)=3sin(−𝑥)+𝑥𝑥2+1=−3sin𝑥−𝑥𝑥2+1=−𝑓(𝑥)，
∴ 𝑓(𝑥)为奇函数，故排除𝐴，𝐵，
试卷第4页，总18页 当𝑥=𝜋6时，𝑓(𝜋6)=32−𝜋6𝜋236+1>0，故排除𝐷.
故选𝐶.
8. 将函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−𝜋6)的图象向右平移𝜋12个单位长度，得到函数𝑔(𝑥)的图象，则下列结论正确的个数是( )
①𝑔(5𝜋12)=1；
②𝑔(𝑥)在[5𝜋12,3𝜋4]单调递减；
③𝑥=−𝜋12是𝑔(𝑥)图象的一条对称轴；
④(𝜋8,0)是𝑔(𝑥)图象的一个对称中心.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
正弦函数的单调性
【解析】
根据图象平移得出函数𝑔(𝑥)的解析式，再对题目中的命题分析、判断，从而得出正确命题的序号．
【解答】
解：函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−𝜋6)的图象向右平移𝜋12个单位长度，
得𝑓(𝑥−𝜋12)=sin[2(𝑥−𝜋12)−𝜋6]=sin(2𝑥−𝜋3)的图象，
所以函数𝑔(𝑥)=sin(2𝑥−𝜋3)；
对于①，𝑔(5𝜋12)=sin(2×5𝜋12−𝜋3)=sin𝜋2=1，所以①正确；
对于②，𝑥∈[5𝜋12, 3𝜋4]时，2𝑥−𝜋3∈[𝜋2, 7𝜋6]，
所以𝑔(𝑥)在[5𝜋12,3𝜋4]上单调递减，②正确；
对于③，𝑥=−𝜋12时，𝑔(−𝜋12)=sin(−𝜋6−𝜋3)=−1，
所以𝑥=−𝜋12是𝑔(𝑥)图象的一条对称轴，③正确；
对于④，𝑥=𝜋8时，𝑔(𝜋8)=sin(𝜋4−𝜋3)≠0，
所以(𝜋8,0)不是𝑔(𝑥)图象的一个对称中心，④错误．
试卷第5页，总18页 综上知，正确的命题序号是①②③，共3个．
故选𝐶.
9. 已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑎1=1，2𝑆𝑛=𝑎𝑛+1𝑎𝑛，则𝑆10=( )
A.100 B.110 C.50 D.55
【答案】
D
【考点】
数列递推式
等差数列的前n项和
【解析】
本题先根据题干中的关系式得到𝑎2＝2，然后代入𝑛+1有2𝑆𝑛+1＝𝑎𝑛+2𝑎𝑛+1．两式相减可发现奇数项和偶数项分别成等差数列，再综合可得数列{𝑎𝑛}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可得到结果．
【解答】
解：由题意，可知：
当𝑛=1时，2𝑎1=2𝑆1=𝑎2𝑎1，可得𝑎2=2．
∵ 2𝑆𝑛=𝑎𝑛+1𝑎𝑛，
∴ 2𝑆𝑛+1=𝑎𝑛+2𝑎𝑛+1．
两式相减，可得2(𝑆𝑛+1−𝑆𝑛)=𝑎𝑛+1(𝑎𝑛+2−𝑎𝑛)．
即2𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+1(𝑎𝑛+2−𝑎𝑛)．
∴ 𝑎𝑛+2−𝑎𝑛=2．
∴ 数列{𝑎𝑛}的奇数项和偶数项都是以2为公差的等差数列．
又∵ 𝑎1=1，𝑎2=2．
∴ 数列{𝑎𝑛}是以1为首项，1为公差的等差数列．
𝑆10=10×1+10×92×1=55．
故选𝐷.
10. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎sin𝑥−√3cos𝑥图象的一条对称轴为直线𝑥=5𝜋6，且𝑓(𝑥1)𝑓(𝑥2)=−4，则|𝑥1+𝑥2|的最小值为( )
A.−𝜋3 B.0 C.𝜋3 D.2𝜋3
【答案】
D
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．
【解答】
解：函数𝑓(𝑥)=𝑎sin𝑥−√3cos𝑥=√𝑎2+3sin(𝑥+𝜃) 的图象的一条对称轴为直线𝑥=5𝜋6，
