2017-2018学年上海市交大附中高一(上)期末数学试卷(解析版)
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2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）
1. “x＜2”是“x2＜4”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2. 设函数f（x）={1𝑥<0−1𝑥>0，则(𝑎+𝑏)+(𝑎−𝑏)⋅𝑓(𝑎−𝑏)2（a≠b）的值为（ ）
A. a B. b
C. a，b中较小的数 D. a，b中较大的数
3. 如图中，哪个最有可能是函数𝑦=𝑥2𝑥的图象（ ）
A. B.
C. D.
4. 若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 𝑓(𝑥)为奇函数 B. 𝑓(𝑥)为偶函数
C. 𝑓(𝑥)+1为奇函数 D. 𝑓(𝑥)+1为偶函数
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 若关于x的不等式𝑥−𝑎𝑥+1≥0的解集为（-∞，-1）∪[4，+∞），则实数a=______．
6. 设集合A={x||x-2|＜1}，B={x|x＞a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是______．
7. 一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．
8. 若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=______．
9. 若𝑓(𝑥)=𝑥13−𝑥−2，则满足f（x）＞0的x的取值范围是______．
10. 已知f（x）={𝑎𝑥,𝑥≥1(7−𝑎)𝑥−4𝑎,𝑥<1是（-∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是______．
11. 定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=lg（x2+3x+2），则f（x）在R上的零点个数为______．
12. 设f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，则14[𝑓(0)+𝑓(4)]的值为______．
13. 设f-1（x）为f（x）=4x-2+x-1，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f-1（x）的最大值为______．
14. 已知函数f（x）={(𝑥−𝑎)2，𝑥≤0𝑥+4𝑥+3𝑎，𝑥＞0，且f（0）为f（x）的最小值，则实数a的取值范围是______． 15. 设a、b∈R，若函数𝑓(𝑥)=𝑥+𝑎𝑥+𝑏在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为______．
16. 已知下列四个命题：
①函数f（x）=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，有𝑓(𝑥1+𝑥22)≤12[𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)]；
②函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔2(𝑥+√𝑥2+1)，𝑔(𝑥)=1+22𝑥−1均为奇函数；
③若函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足f（4-x）=f（x），那么f（2）=f（2018）；
④设x1，x2是关于x的方程|logax|=k（a＞0，a≠1）的两根，则x1x2=1
其中正确命题的序号是______．
三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）
17. 解关于x的不等式：(𝑙𝑜𝑔2𝑥)2+(𝑎+1𝑎)𝑙𝑜𝑔12𝑥+1＜0
18. 设a∈R，函数𝑓(𝑥)=3𝑥+𝑎3𝑥+1；
（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；
（2）若𝑓(𝑥)＜𝑎+33对任意的x∈R成立，求a的取值范围
19. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=𝑘3𝑥+5（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
20. 已知函数f1（x）=e|x-2a+1|，f2（x）=e|x-a|+1，x∈R．
（1）若a=2，求f（x）=f1（x）+f2（x）在x∈[2，3]上的最小值；
（2）若|f1（x）-f2（x）|=f2（x）-f1（x）对于任意的实数x∈R恒成立，求a的取值范围；
（3）当4≤a≤6时，求函数g（x）=𝑓1(𝑥)+𝑓2(𝑥)2−|𝑓1(𝑥)−𝑓2(𝑥)|2在x∈[1，6]上的最小值．
21. 对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）-（ax+b）满足：
①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．
（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=2𝑥2+9𝑥+11𝑥+2，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；
（2）求证：函数g（x）=12x不是函数f（x）=（12）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”
（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+√𝑥2+1，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：由x2＜4，解得：-2＜x＜2，
故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，
故选：B．
先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．
本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．
2.【答案】C
【解析】
解：∵函数f（x）=，
∴当a＞b时， ==b；
当a＜b时，
=a． ∴（a≠b）的值为a，b中较小的数．
故选：C．
由函数f（x）=，知当a＞b时，==b；当a＜b时，=a．
本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数值的合理运用．
3.【答案】A
【解析】
解：y′==，
令y′＞0，解得：x＜，令y′＜0，解得：x＞，
故函数在（-∞，）递增，在（，+∞）递减，
而x=0时，函数值y=0， x→-∞时，y→-∞，x→+∞时，y→0，
故选：A．
求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．
本题考查了函数的图象，考查函数的单调性问题，是一道基础题．
4.【答案】C
【解析】
解：∵对任意x1，x2∈R有
f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，
∴令x1=x2=0，得f（0）=-1
∴令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，
∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，
∴f（x）+1为奇函数．
故选C
对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可
本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
5.【答案】4
【解析】 解：由，
得（x-a）（x+1≥0，
故-1，4是方程（x-a）（x+1）=0的根，
故a=4，
故答案为：4
解不等式的解集转化为方程的根，求出a的值即可．
本题考查了不等式的解法以及转化思想，是一道基础题．
6.【答案】（-∞，1]
【解析】
解：由|x-2|＜1得1＜x＜3，则A=|{x|1＜x＜3}，
∵B={x|x＞a}，且A∩B=A， ∴A⊆B，即a≤1，
故答案为：（-∞，1]．
先求出不等式|x-2|＜1的解集即集合A，根据A∩B=A得到A⊆B，即可确定出a的范围．
本题考查了交集及其运算，集合之间的关系，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
7.【答案】𝜋3
【解析】 解：因为一条长度等于半径的弦，所对的圆心角为弧度．
故答案为：．
直接利用弧长公式求出圆心角即可．
本题考查弧长公式的应用，基本知识的考查．
8.【答案】3
【解析】
解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），
即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），
∴4=log2（1+1）+a
∴4=1+a，
a=3．
故答案为：3．
由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．
本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．
9.【答案】（1，+∞）
【解析】
解：若，则满足f（x）＞0，即-x-2＞0，
变形可得：＞1，
函数g（x）=为增函数，且g（1）=1，
解可得：x＞1，
即x的取值范围为（1，+∞）； 故答案为：（1，+∞）．
根据题意，将f（x）＞0变形为＞1，解可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查其他不等式的解法，关键是将原不等式转化为整式不等式．
10.【答案】[76，7)
【解析】 解：根据题意，f（x）=是（-∞，+∞）上的增函数，
必有，解可得≤a＜7，
即a的取值范围为：
故答案为：
根据题意，由分段函数的单调性分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案．
本题考查分段函数的单调性，注意分段函数分段分析．
11.【答案】0
【解析】
解：当x≥0时，f（x）=lg（x2+3x+2），
函数的零点由：lg（x2+3x+2）=0，即x2+3x+1=0，解得x（舍去）．
因为函数是定义在R上的偶函数y=f（x），所以函数的零点个数为：0个．
故答案为：0．
利用函数是偶函数求出x≥0时，函数的零点个数，即可得到结果．
本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．
12.【答案】7
【解析】
解：f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，
可得：，
∴b=-6a-25；c=11a+61；d=-6a-36，
