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人教A版(2019)必修二第八章立体几何初步单元测试卷(4)(提高版)解析版

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第1页，共31页

人教A版（2019）必修二第八章立体几何初步单元测试卷（4）（提高版）

1. 正三棱锥中，，，AB的中点为M，若一只小蜜蜂沿锥体侧面经过棱PB由点M爬到点C，则最短路程是

A. B. C. D.

2. 在棱长为6的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为

A. B. C. D.

3. 如图，已知是水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边AB上的高为

A. 3 B. 6 C. D.

4. 一个正四棱台的两底面边长分别为m，，侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为

A. B. C. D.

5. 斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽长方体去掉一个小长方体组成．若棱台两底面面积分别是，，高为9 cm，长方体形凹槽的体积为，斗的密度是那么这个斗的质量是注：台体体积公式是

A. 3990 g B. 3010 g C. 7000 g D. 6300 g 第2页，共31页 6. 已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为

A. B. C. D.

7. 设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为

A. B. C. D.

8. 如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知是绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是

A. 恒有

B. 异面直线与BD不可能垂直

C. 恒有平面平面BCDE

D. 动点在平面ABC上的射影在线段AF上

9. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列说法中正确的是

A. 存在点使得

B. 异面直线EF与所成的角为

C. 三棱锥的体积为定值

D. 到平面AEF的距离为

10. 如图所示，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中，把沿着DE翻折至位置，使得二面角为，则下列选项中正确的是 第3页，共31页 A. 点到平面BCED的距离为3

B. 直线与直线CE所成的角的余弦值为

C.

D. 四棱锥的外接球半径为

11. 如图，在三棱锥中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，平面ABC，，则

A. 三棱锥的体积为6

B. 直线PB与直线DF垂直

C. 平面DEF截三棱锥所得的截面面积为12

D. 点P与点A到平面BDE的距离相等

12. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面PAD为正三角形，且平面平面ABCD，则下列说法正确的是

A. 直线AD与PB是异面直线

B. 在棱AD上存在点M，使平面PMB

C. 平面PAD与平面PBC的交线平面ABCD

D. 当时，四棱锥的体积为6

13. 如图是一正方体的表面展开图B、N、Q都是所在棱的中点则在原正方体中与CD异面；平面PQC；平面平面CQN；与平面AQB第4页，共31页 形成的线面角的正弦值是；二面角的余弦值为其中真命题的序号是__________

14.

如图，在正方体中，点P在面对角线AC上运动，给出下列四个命题：

①平面；

②；

③平面平面；

④三棱锥的体积不变．

则其中所有正确的命题的序号是__________.

15. 如图所示，在矩形ABCD中，，，点E为CD的中点，F为线段端点除外上一动点．现将沿AF折起，使得平面平面ABCF，设直线DF与平面ABCF所成的角为，则的最大值为__________.

16. 如图，在三棱锥中，若底面ABC是正三角形，侧棱长，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且，则异面直线MN 与AC所成角为___________；三棱锥的外接球的体积为__________. 第5页，共31页

17. 如图，在正三棱柱中，，，由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为M，求：

该最短路线的长及点M的位置；

平面与平面所成锐二面角的正切值．

18. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，，EF交BD于点H，将沿EF折到的位置． 第6页，共31页

证明：；

若，，，，求五棱锥体积．

19. 如图，在正方体中，已知E是AB的中点，F是的中点，

求证：E，C，，F四点共面；

求证：直线CE，，DA三线共点；

求直线与所成角的正切值．

第7页，共31页 20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且，，侧面底面若

求证：平面PAC；

侧棱PA上是否存在点E，使得平面若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；

求二面角的余弦值．

21. 如图，在四棱锥，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面PCD，，，，

设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD；

求证：平面PCD；

求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．

第8页，共31页

22. 如图1，在边长为4的菱形中，，于点E，将沿折起到的位置，使，如图

求证：；

求二面角的余弦值；

判断在线段上是否存在一点P，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

第9页，共31页 答案和解析

【答案】

1. C 2. D 3. D 4. A 5. C 6. D 7. B

8. B 9. BCD 10. ABD 11. ACD 12. ABC

13. ①②④

14. ①③④

15.

16.

17. 解：将侧面，展开在一个平面内，

如图，连交于

，，，

所以

A为BC中点，，

所以

所以最短路线的长为，此时M为中点.

取中点D，连接，过D作，垂足为E，连接

在正三棱柱中，底面是正三角形，D为中点，

所以， 第10页，共31页 又面，面，

所以平面平面，

又平面平面，平面，

所以平面

因面，则，

又，，面，面，

所以面，

又面，

所以，

所以为平面与平面所成锐二面角的平面角.

，，

所以，，

又，

所以，在直角三角形中，

所以平面与平面所成锐二面角的正切值为

18. 证明：菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，

点E，F分别在AD，CD上，，

，且，

将沿EF折到的位置，

则，

，

；

若，，则，，

，，

， 第11页，共31页 ，

，

，，，，

，，

满足，

则为直角三角形，且，

又，，AC，底面ABCD，

即底面ABCD，

即是五棱锥的高．

底面五边形的面积

，

则五棱锥体积

19. 证明：如图，在正方体中，

连接EF，，

因为E为AB的中点，F为的中点，

又，，

四边形为平行四边形．

，从而

所以，且，

所以E，F，，C四点共面．

第12页，共31页 因为，，所以CE与必相交，设交点为P，

则由直线CE，平面ABCD，得平面

同理，平面又平面平面，

所以直线

所以CE，，DA三线共点．

在正方体中， ，

则与所成角即为，

在中， .

20. 解：因为，

所以

又因为侧面底面ABCD，且侧面底面，

所以底面

而底面ABCD，

所以

在底面ABCD中，

因为，，

所以，

所以

又因为，，

所以平面

在PA上存在中点E，使得平面PCD， 第13页，共31页 证明如下：设PD的中点是F，连结BE，EF，FC，

则，且

由已知，

所以，又，

所以，且，

所以四边形BEFC为平行四边形，所以

因为平面PCD，平面PCD，

所以平面

设G为AD中点，连结CG，则

又因为平面平面PAD，侧面底面，，

所以平面

又，故，

过G作于H，连结CH，

由，，

故， 第14页，共31页 又，

故

所以是二面角的平面角.

设，则，

在中，，所以

所以 ，

即二面角的余弦值为

21. 证明：如图：

证明：连接BD，由题意得，，

又由，得，

平面PAD，平面PAD，

平面PAD；

证明：取棱PC中点N，连接DN，

依题意得，

又平面平面PCD，平面平面，平面PCD，

平面PAC，

又平面PAC，，

又，，

平面PCD，平面PCD，

平面PCD；

解：连接AN，由中平面PAC，

知是直线AD与平面PAC所成角，

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2020-2021学年高一数学人教A版(2019)必修第二册第八章《立体几何初步 》单元测试

2020-2021学年高一数学人教A版(2019)必修第二册第八章《立体几何初步 》单元测试

1 2020-2021学年新人教A版必修第二册单元测试

第八章《立体几何初步》测试题

一、单项选择题

1、下列命题正确的是（ ）

A、用一个面去截棱锥，底面与截面之间部分组成的几何体叫棱台。

B、有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。

C、有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。

D、有两个面平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。

2、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45º ，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）

A. 22

B. 122 C. 222 D. 12

3、正方体''''DCBAABCD中，AB的中点为M，'DD的中点为N，异面直线MB'与CN所成的角是 （ ）

A．0 B．45 C．60 D．90

4、紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台

(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（

）

A. 1003cm B. 3200cm C. 3003cm D. 4003cm

5、设,是两个不同的平面，,mn是两条不同的直线，则下列结论中正确的是

A、若m，mn，则 n∥ B、 若，m，n，则mn

C、若n∥，mn，则m D、若∥，m，n，则mn∥

6、在三棱锥PABC中， 25PAPBPC， 23ABACBC，则三棱锥PABC外接球的体积是

2 A．36π B．125π6

高中数学第八章立体几何初步8.6.3第1课时平面与平面垂直的判定定理练习含解析新人教A版必修第二册

高中数学第八章立体几何初步8.6.3第1课时平面与平面垂直的判定定理练习含解析新人教A版必修第二册

第八章8.68.6.3第1课时

A级——基础过关练

1．下列说法：

①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；

②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；

③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．

其中正确的个数是()A．0B．1

C．2D．3

【答案】A【解析】根据二面角的定义知①②③都不正确．2．(2019年北京模拟)阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是()

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.

证明：因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD．又因为AC⊥BD，且AC∩PO＝O，所以

__________．又因为BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.

A．BD⊥平面PBCB．AC⊥平面PBD

C．BD⊥平面PACD．AC⊥平面BDE

【答案】C【解析】根据线面垂直的判定定理可知横线处应填“BD⊥平面APC”．故

选C．

3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有()

A．α⊥γ且l⊥mB．α⊥γ且m∥β

C．m∥β且l⊥mD．α∥β且α⊥γ

【答案】A【解析】A正确．B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交，D错，

有可能α与β相交．故选A．4．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝

AC，则二面角P-BC-A的大小为()

A．60°

B．30°

C．45°

D．15°

【答案】C【解析】由条件得PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，

∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°.故选C．5．(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在

棱的中点，则下面结论中正确的是()

A．平面EFG∥平面PBC

第8章立体几何专题8 二面角的求解-人教A版(2019)高中数学必修(第二册)常考题型专题练习

第8章立体几何专题8 二面角的求解-人教A版(2019)高中数学必修(第二册)常考题型专题练习

二面角的求解

【方法总结】

二面角A-BC-D的求法：

1、先确定两个平面，面ABC及面BCD和其两面的交线BC，根据题意过点A或点D作交

O

线BC的垂线（一般情况选择在等腰三角形中作垂线AB=AC时，或者在直角三角形中作

垂线

BAC=900

时，应该过点A作BC垂线）；

2、

1)反连OD，证明OD

BC；

2）若OD不垂直于BC，看面BCD内是否有与交线BC垂直的直线，

若有直线l

BC，则直接过点O作l的平行线；

3、若两个平面上没有对应的等腰三角形则看两平面是否有垂直于交线BC的直线

若有可将两垂线平移至相交直线，求其夹角。

【巩固练习】

1、在长方体''''ABCDABCD

中，若23ABAD

，'2CC

，则二面角

'CBDC

的大小为（）

A．30B．45C．60D．90

【答案】A

【解析】

如图所示，23ABAD

，取BD的中点O

，连接',COCO.

∵BCD,'BCD为等腰三角形，

∴OCBD,'OCBD，

则'COC

是二面角'CBDC

的平面角，

直角三角形'COC

中，6,'22COCO，

63

cos'

222COC

，'30COC,故选A.

2．已知矩形ABCD的两边3AB，4AD，PA平面ABCD，且45PA

，则二面角

ABDP的正切值为（）

A．12B．13C．1

2D．1

3

【答案】B

【解析】如图所示，在平面PBD内，过P作BD的垂线，垂足为E，连接AE，

因为PA平面ABCD

，BD平面ABCD

，所以PABD，

因为PEBD，PAPEP

，故BD平面PAE，

因为AE平面PAE，故AEBD，所以PEA为ABDP的平面角，

在直角三角形BAD中，3AB，4AD，故12

5AE

，

故4

15tan12

3

5PEA

，故选B.

3．如图，已知ABC

，D

是AB

的中点，沿直线CD

将ACD

翻折成ACD，所成二面

角ACDB

的平面角为

，则

A.ADB

高中数学第八章立体几何初步8.3.圆柱圆锥圆台球的表面积和体积习题含解析第二册

高中数学第八章立体几何初步8.3.圆柱圆锥圆台球的表面积和体积习题含解析第二册

教A版必修第二册

1

8.3。2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

课后篇巩固提升

基础达标练

1。(多选题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是 （ )

A。圆柱的侧面积为2πR2

B.圆锥的侧面积为2πR2

C。圆柱的侧面积与球的表面积相等

D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2

解析依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,∴A错误;

圆锥的侧面积为πR×R=πR2，∴B错误；

球的表面积为4πR2,∵圆柱的侧面积为4πR2,

∴C正确;

∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3，V球=πR3,

∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2，∴D正确.

答案CD 教A版必修第二册

2

2.若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于（ )

A.4 B。8 C。8 D.8

解析设正方体棱长为x,球半径为R,则S球=4πR2=4π，∴R=1。∵正方体内接于球，∴x=2R=2,

∴x=,∴S正=6x2=6×=8。

答案B

3。(2019广东高二期末）设A,B,C，D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D—ABC体积的最大值为（

)

A。12 B.18

C.24 D.54

解析如图所示，

点M为三角形ABC的中心,E为AC的中点,

当DM⊥平面ABC时，三棱锥D—ABC的体积最大,

此时,OD=OB=R=4. 教A版必修第二册

3

∵S△ABC=AB2=9,∴AB=6.

∵点M为△ABC的中心，

∴BM=BE=2。

∴Rt△OMB中,有OM==2。

∴DM=OD+OM=4+2=6。

∴(VD—ABC)max=×9×6=18。

故选B。

答案B

4。

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ )

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