人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第八章 立体几何初步 综合测试(附答案与解析)

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

1 / 17 第八章综合测试

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是（ ）

A.三角形的直观图仍然是一个三角形

B.90角的直观图为45角

C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半

D.原来平行的线段仍然平行

2.已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m的是（ ）

A.∥，且m

B.mn∥，且n

C.mn，且n

D.mn，且n∥

3.圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？这个问题的答案为（注：1丈等于10尺）（ ）

A.29尺

B.24尺

C.26尺

D.30尺

4.设,,为三个不同的平面，,mn为两条不同的直线，则下列命题中为假命题的是（ ）

A.当时，若∥，则

B.当m，n时，若∥，则mn∥

C.当m，n时，若∥，则,mn是异面直线 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

2 / 17 D.当mn∥，n时，若m，则

5.已知正三棱柱111ABCABC的侧棱长为4，底面边长为23.若点M是线段11AC的中点，则直线BM与底面ABC所成角的正切值为（ ）

A.53

B.43

C.34

D.45

6.如图所示，表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ）

A.23π

B.13π

C.23π 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

3 / 17 D.223π

7.已知三棱锥PABC中，23PA，3AB，4AC，ABAC，PA平面ABC，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为（ ）

A.16

B.28

C.64

D.96

8.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点,EF分别为边,BCAD的中点，将ABF△沿BF所在的直线进行翻折，将CDE△沿DE所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是（ ）

A.无论翻折到什么位置，AC、两点都不可能重合

B.存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60

C.存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为90

D.存在某个位置，使得直线AB与直线CD所成的角为90

9.等体积的球和正方体的表面积的大小关系是（ ）

A.SS正方体球＞

B.SS正方体球＜

C.SS正方体球

D.无法确定 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

4 / 17 10.已知棱长为3的正方体1111ABCDABCD内有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC，为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）

A.32π

B.23π

C.924π

D.928π

二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

11.下列命题为真命题的是（ ）

A.若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合

B.若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直

C.垂直于同一条直线的两条直线相互平行

D.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直

12.如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点MNP、、分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形为（ ）

A B C D

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上） 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

5 / 17 13.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为________，体积为________.（本题第一空2分，第二空3分）

14.已知正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60，则该四棱锥的高为________.

15.如图所示，直线a∥平面，点A在另一侧，点,,BCDa，线段,,ABACAD分别交于点,,EFG.若44,5,BDCFAF,则EC________.

16.如图，在长方形ABCD中，2AB，1AD，E是CD的中点，沿AE将DAE△向上折起，使D到'D的位置，且平面'AED平面ABCE，则直线'AD与平面ABC所成角的正弦值为________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h也相等，用a将h表示出来。

18.（本小题满分12分）已知正方体1111ABCDABCD. 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

6 / 17 （1）证明：1DA∥平面1CBD；

（2）求异面直线1DA与BD所成的角.

19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABCABC中，CACB，1ABAA，160BAA.

（1）证明：1ABAC；

（2）若2ABCB，16AC，求三棱柱111ABCABC的体积.

20.（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABCABC中，DE,分别是1ABBB,的中点.

（1）证明：1BC∥平面1ACD； 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

7 / 17 （2）设12AAACCB，22AB，求三棱锥1CADE的体积.

21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，PAB△是正三角形，四边形ABCD是正方形。

（1）求证：PCPD；

（2）若25PDCD，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.

22.（本小题满分12分）如图所示，在斜三棱柱111ABCABC中，底面是等腰三角形，ABAC，D是BC的中点，侧面11BBCC底面ABC.

（1）求证：1ADCC；

（2）过侧面11BBCC的对角线1BC的平面交侧棱1AA于点M，若1AMMA，求证：截面1MBC侧面11BBCC；

（3）若截面1MBC平面11BBCC，1AMMA成立吗？请说明理由. 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

8 / 17

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

9 / 17 第八章综合测试

答案解析

一、

1.【答案】B

【解析】A正确，根据斜二测画法，三角形的直观图仍然是一个三角形；B错误，90角的直观图可以是45角，也可以是135角；由斜二测画法规则知C、D正确.

2.【答案】B

【解析】A中，m∥，故A错误；易知B正确；C、D中，m或m∥或m与β相交，故C、D错误.

3.【答案】C

【解析】由题意可知，圆柱的侧面展开图是矩形，其中一条边（即圆木的高）长为24尺，其邻边长为5尺，因此葛藤长2224(52)26（尺）.故选C.

4.【答案】C

【解析】对于A，根据平面与平面平行、垂直的性质，可得A正确；对于B，根据平面与平面平行、线面垂直的性质，可得B正确；对于C，,mn可能异面，也可能平行，故C错误；对于D，由mn∥，n可知m，又m，所以，故D正确。

故选C.

5.【答案】B

【解析】过点M作MNAC于点N，连接BN，则MBN为直线BM与底面ABC所成的角.由已知，可得4MN，3BN，所以4tan3MBN，故选B.

6.【答案】A

【解析】设正八面体的楼长为a，则238234a，1a，球的半径为22，球的体积为3422π323. 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根

10 / 17 7.【答案】C

【解析】已知PA平面ABC，ABAC，将三棱锥补成长方体，它的体对角线是其外接球的直径，也是外接球的内接正方体的体对角线.

23PA，3AB，4AC

三棱锥外接球的直径为2391643，

外接球的内接正方体的体对角线长为43，

正方体的棱长为4，正方体的体积为64，故选C.

8.【答案】D

【解析】在A中，点A与点C一定不重合，故A正确；在B中，存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60，故B正确；在C中，当平面ABF⊥平面BEDF，平面DCE⊥平面BEDF时，直线AF与直线CE垂直，故C正确；在D中，直线AB与直线CD不可能垂直，故D错误.故选D.

9.【答案】A

【解析】设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意得3343VRaπ，所以3aV，334VR，所以3322266216SaVV正方体，322436SRV球，所以SS正方体球＞.

10.【答案】D

【解析】由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由图形的对称性可知，侧面积最大时，圆柱的上底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在线段11,,ABACAD上，如图所示，设线段1AB上的切点为1,EAC与平面1ABD的交点为2O，圆柱上底面的圆心为1O，半径即为1OE，记为r，设1AB与平面1ABD的交点为F.