初中数学八年级上册课题学习_最短路径问题练习题含答案

初二数学最短路径练习题及答案导言：数学中的最短路径问题是指在网络图中寻找两个顶点之间路径长度最短的问题。

该问题在实际生活中应用广泛，比如在导航系统中为我们找到最短的路线。

对于初二学生而言，在学习最短路径问题时，题目练习是非常重要的。

本文将为初二数学学习者提供一些最短路径练习题及答案，帮助他们巩固知识和提高解题能力。

练习题一：某地有4个村庄A、B、C、D，它们之间的道路如下图所示。

要求从村庄A到村庄D，经过的道路距离最短，请你找出最短路径，并计算出最短路径的长度。

解答一：根据题目所给的道路图，我们可以使用最短路径算法来求解最短路径。

以下是求解过程：1. 首先，我们需要创建一个包含4个顶点的图，并初始化每条边的权值。

将A、B、C、D顶点分别标记为1、2、3、4。

村庄A到村庄B的距离为5，即A-5-B。

村庄A到村庄C的距离为3，即A-3-C。

村庄B到村庄C的距离为2，即B-2-C。

村庄B到村庄D的距离为6，即B-6-D。

村庄C到村庄D的距离为4，即C-4-D。

2. 接下来，我们使用迪杰斯特拉算法求解最短路径。

a) 首先，我们将起始顶点A的距离设置为0，其他顶点的距离设置为无穷大。

b) 然后，我们选择距离最短的顶点，并将其标记为已访问。

c) 然后，我们更新与该顶点相邻的顶点的距离。

如果经过当前顶点到达邻接顶点的距离比已记录的最短路径更短，就更新最短路径。

d) 重复上述步骤，直到找到最短路径为止。

3. 经过计算，最短路径为A-3-C-4-D，距离为7。

练习题二：某城市有6个地点，它们之间的交通图如下所示。

请你计算从地点A到地点F的最短路径，并给出最短路径的长度。

解答二：根据题目所给的交通图，我们可以使用最短路径算法来求解最短路径。

以下是求解过程：1. 首先，我们需要创建一个包含6个顶点的图，并初始化每条边的权值。

将地点A、B、C、D、E、F分别标记为1、2、3、4、5、6。

地点A到地点B的距离为4，即A-4-B。

13.4 课题学习最短路径问题1.已知点A(-2,1),B(3,2),在x 轴上求一点P,使AP+BP 最小,下列作法正确的是( ).A.点P 与O(0,0)重合B.连接AB 并延长,交x 轴于点P,点P 即为所求C.过点A 作x 轴的垂线,垂足为P,点P 即为所求D.作点A 关于x 轴的对称点A',连接A'B,交x 轴于点P,点P 即为所求2.如图,OA,OB 分别是线段MC,MD 的垂直平分线,MD=5 cm,MC=7 cm,CD=10 cm,一只小蚂蚁从点M 出发爬到OA 边上任意一点E,再爬到OB 边上任意一点F,然后爬回点M 处,则小蚂蚁爬行的路径最短可为( ).A.12 cmB.10 cmC.7 cmD.5 cm3.如图,牧童在A 处放牛,其家在B 处,A,B 到河岸的距离分别为AC 和BD,且AC=BD,若点A 到河岸CD 的中点的距离为500 m,则牧童从A 处把牛牵到河边饮水再回家,所走的最短路程是m.4.如图,l 为河岸(视为直线),要想开一条沟将河里的水从A 处引到田地里去,应从河边l 的何处开口才能使水沟最短,找出开口处的位置并说明理由.5.如图,在四边形ABCD 中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E,F 分别是BC,DC 上的点,当△AEF 的周长最小时,∠EAF 的度数为( ).A.50°B.60°C.70°D.80°6.如图,某公路(视为x 轴)的同一侧有A,B,C 三个村庄,要在公路边建一货栈(即在x 轴上找一点)D,向A,B,C 三个村庄运送农用物资,路线是:D→A→B→C→D(或D→C→B→A→D).试问在公路上是否存在D 使送货路程之和最短?若存在,请在图中画出D 所在的位置;若不存在,请说明理由.7.某中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图所示的两直排(图中的AO,BO),AO 桌面上摆满了橘子,BO 桌面上摆满了糖果,站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D 处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短.答案与解析夯基达标1.D2.B 当CD 与OA 的交点为E,与OB 的交点为F 时,路径最短.因为OA,OB 分别是线段MC,MD 的垂直平分线,所以ME=CE,MF=DF,所以小蚂蚁爬行的路径最短为CD=10 cm,故选B.3.1 0004.解过A 向直线l 作垂线段,与l 相交于B,从B 处开口可满足要求.图略.理由:垂线段最短. 培优促能5.D 作点A 关于BC 和CD 的对称点A',A″,连接A'A″,交BC 于点E,交CD 于点F,则A'A″即为△AEF 周长的最小值.作DA 的延长线AH.∵∠C=50°,∴∠DAB=130°.∴∠HAA'=50°.∴∠AA'E+∠A″=∠HAA'=50°.∵∠EA'A=∠EAA',∠FAD=∠A″,∴∠EAA'+∠A″AF=50°.∴∠EAF=130°-50°=80°.故选D.6.解存在D 使所走路线D→A→B→C→D 的路程之和最短.作法:(1)作点A 关于x 轴的对称点A';(2)连接A'C 交x 轴于D.则D(3,0)就是所要建货栈的位置,如图.创新应用7.解如图.作法:①作点C 关于OA 的对称点C1,点D 关于OB 的对称点D1;②连接C1D1,分别交OA,OB 于点P,Q,连接CP,DQ,小明沿C→P→Q→D 的路线行走时,所走的总路程最短.。

13.3等腰三角形13.4课题学习最短路径问题专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用1．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF 和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．(填序号)2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．3．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC=10，求AB+AE的长．专题二等边三角形的性质和判定4．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP 长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是__________．5．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．6．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．专题三最短路径问题7．如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）A．F和C B．F和E C．D和C D．D和E8．如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小? (保留作图痕迹及简要说明)状元笔记【知识要点】1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．2．等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．3．等边三角形的性质和判定方法性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形．判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【温馨提示】1．“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中，在两个三角形中时，上述结论不一定成立．2．在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：(1)必须是在直角三角形中；(2)必须有一个锐角等于30°．【方法技巧】1．等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法，当要证明同一个三角形的两个内角相等时，可尝试用“等边对等角”．2．等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时，可尝试用“等角对等边”．3．利用轴对称可以解决几何中的最值问题，本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边．参考答案:1．①②③解析：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB．∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC=∠DBF，∠FCE=∠FCB．∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC．∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．综上所述，命题①②③正确．2．解：(1)证明：∵AD+EC=AB，∴BD=CE．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵BE=CF，∴△BDE≌△CEF．∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．(2)∵∠A=40°，∴∠B=∠C=12(180°－∠A)=12(180°－40°)=70°．∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF．∴∠DEF=180°－∠BED－∠CEF=180°－∠BED－∠BDE=∠B=70°．(3)不能．∵∠DEF=∠B≠90°，∴△DEF不可能是等腰直角三角形．(4)60°．理由：当∠A=60°时，∠B=∠C=60°，由（2）可得∠DEF=60°．∴∠EDF+∠EFD=120°．3．解：（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC．（2）AD与BE垂直．证明：∵BE 为∠ABC 的平分线，∴∠ABE=∠DBE. 又∵∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE ，∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合．∴A 、D 是对称点．∴AD ⊥BE ．（3）∵BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，EA ⊥AB ，∴AE=DE ．在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，AE =DE BE =BE ⎧⎨⎩，， ∴Rt △ABE ≌Rt △DBE （HL ）．∴AB=BD ．又△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠C=45°．又∵ED⊥BC，∴△DCE为等腰直角三角形．∴DE=DC．即AB+AE=BD+DC=BC=10．4．6 解析：连接OD，∵PO=PD，∴OP=DP=OD．∴∠DPO=60°．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，AC=AB=9．∵∠OPA=∠PDB=∠DPA－60°．∴△OPA≌△PDB．∵AO=3，∴AO=PB=3，∴AP=6．5．解：（1）△ODE是等边三角形，其理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°．∴△ODE是等边三角形．（2）BD=DE=EC．其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，∴∠ABO=∠OBD=30°．∵OD∥AB，∴∠BOD=∠ABO=30°．∴∠DBO=∠DOB．∴DB=DO．同理，EC=EO．∵DE=OD=OE，∴BD=DE=EC．6．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12．（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB－BN=12－2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12－2t．解得t=4．∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设△AMN 是等腰三角形，∴AN=AM ．∴∠AMN=∠ANM ．∴∠AMC=∠ANB ．∵AB=BC=AC ，∴△ACB 是等边三角形．∴∠C=∠B ．在△ACM 和△ABN 中，AC AB C B AMC ANB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠∠，∠∠， ∴△ACM ≌△ABN ．∴CM=BN．设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y－12，NB=36－2y，CM=NB．y－12=36－2y，解得：y=16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．7．A 解析：由轴对称－－最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C．故选A．8．解：如图，作点B关于公路的对称点B′，连接AB′，交公路于点C，则这个基地建在C处，才能使它到这两个超市的距离之和最小.。

人教版八年级数学上册13.4 课题学习最短路径问题一、选择题（共16小题；共80分）1. 如图，直线是一条河，，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是A. B.C. D.2. 如图，四边形是直角梯形，，，点是腰上的一个动点，要使最小，则点应该满足A. B.C. D.3. 四边形中，，，在，上分别找一点，，使三角形周长最小时，则的度数为A. B. C. D.4. 如图，直线外存在不重合的两点，，在直线上求作一点，使得的长度最短，作法为：① 作点关于直线的对称点；②连接与直线相交于点，则点为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是A. 转化思想B. 三角形的两边之和大于第三边C. 两点之间，线段最短D. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角5. 如图，牧童在处放牛，其家在处，，到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A. 米B. 米C. 米D. 米6. 如图，已知直线，且与之间的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，．试在直线上找一点，在直线上找一点，满足且的长度最短，则此时A. B. C. D.7. 如图，正的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是A. B. C. D.8. 如图，在中，，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是A. B. C. D.9. 如图，在四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小，此时，A. B. C. D.10. 如图，，内有一定点，且，在上有一动点，上有一动点．若周长最小，则最小周长是A. B. C. D.11. 如图，四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为A. B. C. D.12. 如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为A. B. C. D.13. 如图，在中，，，，为上一点，且，平分交于．若是上的动点，则的最小值等于A. B. C. D.14. 如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为A. C. D.15. 如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为A. B. C. D.16. 如图，，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，若周长的最小值是，则的值是A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）17. 与的最小公倍数是．18. 如图，在中，是边的中点，过点作边的垂线，是上任意一点，且，，则的周长的最小值为．19. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使，，三点构成的的周长最小，则的周长最小值为．20. 已知，点在的内部，点是边上任意一点，点是边上任意一点，连接，，当的周长最小时，的度数为．21. 如图，是等腰直角三角形，，，为上的动点，则的最大值为．三、解答题（共3小题；共45分）22. 如图，已知直线及其同侧两点，，在直线上找一点，使得的长度最小．23. 如图，点，在的内部，为射线上的一个动点，为射线上的一个动点，求作点，，使得的长最短．作法：24. 如图，，两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向，两镇供水，铺设水管的费用为每千米万，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少?答案第一部分1. D2. D 【解析】如图，作点关于的对称点，连接交于，连接．根据轴对称的性质，得，根据对顶角相等知，所以．3. C4. D5. B6. B7. A 【解析】如图所示.过点作的对称点，连接，与的延长线交于点 .此时，为最小值 .点在线段上，点在点处.的最小值为．8. B 【解析】如图连接，，，，，，，，，共线时，的值最小，最小值为的长度．9. D10. B【解析】设，则，作与相交于，并将延长一倍到，即，作与相交于，并将延长一倍到，即，连接与相交于，与相交于，再连接，，连接，，则即为周长最短的三角形，是的垂直平分线，；同理，是的垂直平分线，，的周长，，且，是等边三角形，，即在保持的条件下的最小周长为．11. D 【解析】作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．作延长线 .，...，，..12. C 【解析】连接．是等腰三角形，点是边的中点，，，解得，是线段的垂直平分线，点关于直线的对称点为点，的长为的最小值，13. D 【解析】如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小，作于．，，，，，，，，，故选：D．14. D 【解析】如图：将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离，．15. B【解析】分别作点关于，的对称点，，连接，分别交，于点，，如图所示：此时的周长取最小值．，，，，，，，．16. B第二部分17.18.19.【解析】如图，连接．，，的值最小时，的周长最小，垂直平分线段，，，的最小值为，的周长的最小值为．20.【解析】如图，过点作关于，的对称点，，连接，与，相交与点，，则此时的周长最小，为线段的长度；，，，，，，，，，，，解得：；故答案为：．21.第三部分22. 过点作直线的垂线，垂足为点，截取，连接，则与的交点就是点．23. 作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点交于，交于，则最短．24. 作关于的对称点，连接交于，点即为所求作的点，则可得：（千米），所以（千米），所以（千米），总费用为万元．。

13.4课题学习：最短路径问题夯实基础篇一、单选题：1．直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）．A．B．C．D．【答案】D【知识点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选D．【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．2．如图，点M，N在直线l的同侧，小东同学想通过作图在直线l上确定一点Q，使MQ与QN的和最小，那么下面的操作正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【知识点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】作点M关于直线l的对称点M′，再连接M′N交l于点Q，则MQ+NQ=M′Q+NQ=M′N，由“两点之间，线段最短”，可知点Q即为所求.故答案为：C【分析】先作点M关于l的对称点M′，连接M′N交l于点Q，即可.3．如图，在等腰△AB C中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB，AD上的动点，则MN+BN的最小值是（）C．4.5D．6A．3B．【答案】A【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AB=AC，AD⊥BC于D，∴∠ABC=∠C，AD是∠BAC 的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵∠ABC=∠C，∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，∵BH⊥AC，∴BH=12AB=3．故答案为：A【分析】根据等腰三角形的三线合一，得到AD是∠BAC的平分线，由角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等，得到BH是点B到直线AC的最短距离，再由三角形内角和定理得到∠BAC=30°，根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出MN+BN的最小值.4．如图：△AB C中， ACB=90°，AC=BC，AB=4，点E在BC上，且BE=2，点P在 ABC 的平分线BD上运动，则PE+PC的长度最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【知识点】三角形的角平分线、中线和高；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】作点E关于BD的对称点E'，连接E'C，如下图：∵BD是∠ABC的平分线，∴通过作图知，BP垂直平分EE'，∴PE'=PE∴此时PE+PC=PE'+PC=E'C，PE+PC的长度最小，∵点E、点E'关于BD的对称，∴BE'=BE=2，又∵AB=4，∴点E'是A B中点，CE'是中线.∵△AB C中，∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45 ，∴CE'又是底边AB的高，∴△BE'C也是等腰直角三角形，∴E'C=2，即：PE+PC的长度最小值为2.故选B.【分析】此题考查最短路径问题，利用轴对称，作点E关于BD的对称点E'，连接E'C，可知此时PE+PC的长度最小，PE+PC=PE'+PC=E'C.再根据作图和等腰直角三角形性质求出E'C的长即可.5．如图，在锐角△AB C中，AB＝AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）A．4B．245C．5D．6【答案】C【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，∵AD 是∠BAC 的平分线，AB =AC ，∴点B 关于AD 的对称点为点C ，过点C 作CN ⊥AB 于N 交AD 于M ，由轴对称确定最短路线问题，点M 即为使BM ＋MN 最小的点，CN ＝BM ＋MN ，∵AB ＝10，S △ABC ＝25，∴12×10•CN ＝25，解得CN ＝5，即BM ＋MN 的最小值是5.故答案为：C.【分析】根据AD 是∠BAC 的平分线，AB =AC 可得出确定出点B 关于AD 的对称点为点C ，根据垂线段最短，过点C 作CN ⊥AB 于N 交AD 于M ，根据轴对称确定最短路线问题，点M 即为使BM ＋MN 最小的点，CN ＝BM ＋MN ，利用三角形的面积求出CN ，从而得解.6．如图，等边ABC 中，D 为A C 中点，点P 、Q 分别为AB 、AD 上的点，4BP AQ ，3QD ，在BD 上有一动点E ，则PE QE 的最小值为（）A ．7B ．8C ．10D ．12【答案】C【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，ABC ∵是等边三角形，BA BC ，∵D 为A C 中点，∴BD AC ，∵4AQ ，3QD ，7AD DC AQ QD ，作点Q 关于BD 的对称点Q '，连接PQ '交BD 于E ，连接QE ，此时PE +QE 的值最小，最小值PE +QE =PE +EQ '=PQ '，4AQ ∵，7AD DC ，3QD DQ ，4CQ BP ，10AP AQ ，60A ∵，APQ 是等边三角形，10PQ PA ，∴PE +QE 的最小值为10.故答案为：C.【分析】作点Q关于BD的对称点Q'，连接PQ'交BD于E，连接QE，此时PE+QE 的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ'，进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.7．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）A．7.5B．8.5C．10.5D．13.5【答案】D【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，连接AM、AD∵EF垂直平分线段AC∴CM=AM∴CM+MD=AM+MD≥AD即当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长∵△CMD的周长=CM+MD+CD=AM+MD+AD∴△CMD的周长的最小值为AD+CD ∵D为BC的中点，AB=AC∴1 1.52CD BC，AD⊥BC∴13182ABCS AD∴AD=12∴AD+CD=12+1.5=13.5即△CDM周长的最小值为13.5故答案为：D.【分析】连接AM、AD，由线段垂直平分线的性质可得CM=AM，当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长；根据等腰三角形三线合一的性质可得1 1.52CD BC，AD⊥BC，利用△ABC的面积可求出AD的长，从而求出此时△CDM的周长即可.二、填空题：8．如图的4×4的正方形网格中，有A，B，C，D四点，直线a上求一点P，使PA+PB 最短，则点P应选点（C或D）.【答案】C【知识点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，点A ′是点A 关于直线a 的对称点，连接A ′B ，则A ′B 与直线a 的交点，即为点P ，此时PA +PB 最短，∵A ′B 与直线a 交于点C ，∴点P 应选C 点.故答案为：C.【分析】点A ′是点A 关于直线a 的对称点，连接A ′B ，则A ′B 与直线a 的交点，即为点P ，此时PA +PB 最短，据此即得结论.9．如图，在ABC 中，3,4,,AB AC AB AC EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上一动点，则ABP 周长的最小值是．【答案】7【知识点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：∵EF 垂直平分BC ，∴B ，C 关于直线EF 对称．设AC 交EF 于点D ，∴当P 和D 重合时，AP BP 的值最小，最小值等于AC 的长，∴ABP 周长的最小值是437 ．【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP 的最小值，求出AC长度即可得到结论．中，AB=4，AC=6，BC=7，EF垂直平分BC，点P为直线EF上10．如图，在ABC的任一点，则ABP周长的最小值是.【答案】10【知识点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，连接PC，∵，4AB，AB PA PB PA PB的周长为4ABP要使ABP的周长最小，则需PA PB的值最小，∵垂直平分BC，EF，PC PBPA PB PA PC ，由两点之间线段最短可知，当点,,A P C 共线，即点P 在AC 边上时，PA PC 取得最小值，最小值为AC ，即PA PB 的最小值为6AC ，则ABP 周长的最小值是4610 .故答案为：10.【分析】如图，连接PC ，先把ABP 的周长表示出来为4+PA +PB ，接着根据垂直平分线性质得到PB =PC ，故只需PA +PC 最小△ABP 周长才最小，由两点之间线段最短得出P 点在AC 上时最小，此时PA +PC =AC =6，从而即可得出答案.11．如图，在△AB C 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD ＝8，AD 是∠BAC 的平分线.若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是.【答案】9.6【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD 垂直平分BC ，∴BP ＝CP .过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长，如图所示.∵S△ABC12BC•AD12AC•BQ，∴BQ12810BC ADAC9.6.故答案为：9.6.【分析】根据等腰三角形的三线合一得出AD垂直平分BC，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BP＝CP，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，然后根据三角形的面积法，得出BC•AD =AC•BQ，根据等积式即可求出BQ的长.三、作图题：12．有一个养鱼专业户，在如图所示地形的两个池塘里养鱼，他每天早上要从住处P分别前往两个池塘投放鱼食，试问他怎样走才能以最短距离回到住地?(请用尺规作图，保留作图痕迹，不写做法)【答案】解：答图如图所示，该养鱼专业户若要以最短距离回到住地，则他所走路线是：，P M N P.或P N M P【知识点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【分析】分别作P点关于AB，AC的对称点，连接这两个对称点交AB于点M，交AC于点N，该养鱼专业户若要以最短距离回到住地，则他所走路线是：，或P N M P.P M N P13．如图，P和Q为△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点M， 使△PQM的周长最小。

八年级上册数学13.4课题学习最短路径问题专项练习附答案一、单选题（共23题；共46分）1.如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB 上的动点，则BM＋MN的最小值是（）C. 5D. 6A. 4B. 245【答案】C【解析】【解答】如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，∵AC=10，S△ABC=25，∴1×10•BE=25，2解得BE=5，∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N=BE=5，即BM+MN的最小值是5．故答案为：C．【分析】本题关键是确定点M、N分别在什么位置时，BM+MN最小。

首先根据AD是∠BAC平分线可知点B的对称点B'必在AC上，再根据垂线段最短的原理从B'向AB边引垂线段，与AD、AB的交点即为M、N，因为此时B'N=MN+B'M=MN+MB。

最后利用AB=AB'，结合等腰三角形两腰上的高相等把求B'N的长转化为求△ABC边AC上的高BE，据此解答即可。

2.如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数为（）A. 140°B. 100°C. 50°D. 40°【答案】B【解析】【解答】如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；因∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°,即可得∠COD=2∠AOB=80°，在△COD中，OC=OD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠OCD=∠ODC=50°；在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，利用SAS判定△CON≌△PON，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°,同理可得∠OPM=∠ODM=50°,所以∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°.故答案为：B.【分析】分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.3.如图，在矩形ABCD中，AD=4，∠DAC=30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是（）A. 2B. 2 √3C. 4D. 8√33【答案】B【解析】【解答】作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，则D′E=PE+PD的最小值，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∵AD=4，∠DAC=30°，∴CD= 4√3，3∵DD′⊥AC，∴∠CDD′=30°，∴∠ADD′=60°，∴DD′=4，∴D′E=2 √3，故答案为：B．【分析】找出定直线AC，D是定点，可作出D的对称点D'，连结D'E，当P点在交点时，由两点之间线段转化为D'E,且D'E与AD垂直时PE+PD的最小.4.如图，在锐角三角形ABC中，AC=6，△ABC的面积为15，∠BAC的平分线交BC与点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【解答】解：如图，作N关于AD的对称点N′，连接MN′，作BN″⊥AC于N″交AD于M′．∵BM+MN=BM+MN′≤BN″，∴当M与M′，N与N″重合时，BN″最小，∵1×AC×BN″=15，AC=6，2∴BN″=5，∴BM+MN的最小值为5，故选B．【分析】如图，作N关于AD的对称点N′，连接MN′，作BN″⊥AC于N″交AD于M′．因为BM+MN=BM+MN′≤BN″，所以当M与M′，N与N″重合时，BN″最小，求出BN″即可解决问题．5.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A. 2√3B. 2√6C. 3D. √6【答案】A【解析】【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE 是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．【解答】设BE与AC交于点F（P′)，连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2√3．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2√3故所求最小值为2√3故选：A．【点评】此题主要考查轴对称--最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题6.如图，已知点D是等边三角形ABC中BC的中点，BC=2，点E是AC边上的动点，则BE+ED的和最小值为（）A. √5B. √7C. 3D. √3+1【答案】B【解析】【解答】解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD= √3，BD=CD=1，BB′=2AD=2 √3，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G=AD= √3，在Rt△B′BG中，BG= √BB′2−B′G2=√(2√3)2−(√3)2=3，∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，在Rt△B′DG中，BD= √DG2+9B′G2=√22+(√3)2=√7．故BE+ED的最小值为√7．故选B．【分析】作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，故E即为所求的点．7.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A. 2√3B. 2√6C. 3D. √6【答案】A【解析】【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE 是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．【解答】设BE与AC交于点F（P′)，连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2√3．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2√3故所求最小值为2√3故选：A．【点评】此题主要考查轴对称--最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题8.如图，在锐角三角形ABC中AB= 4√2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A. 4B. 5C. 6D. 2【答案】A【解析】【解答】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM=∠NAM，在△AME与△AMN中，{AE=AN∠EAM=∠NAMAM=AM，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME=MN．∴BM+MN=BM+ME≥BE，当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，此时BM+MN有最小值，∵AB=4 √2，∠BAC=45°，此时△ABE为等腰直角三角形，∴BE=4，即BE取最小值为4，∴BM+MN的最小值是4．故选A．【分析】从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．9.如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R。

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2023-2024学年人教版八年级数学上学期13.4课题学习 最短路
径问题
一．选择题（共6小题）
1．如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1，P 2
交OA 于M ，交OB 于N ，若P 1P 2＝6，则△PMN 周长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2．如图，直线L 是一条输水主管道，现有A 、B 两户新住户要接水入户，图中实线表示铺
设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，直线l 是一条河，P ，Q 是两个村庄．计划在l 上的某处修建一个水泵站M ，向P ，
Q 两地供水．现有如下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需管道最短的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，直线m 表示一条河，M ，N 表示两个村庄，欲在m
上的某处修建一个给水站，向。

初二数学课题学习最短路径问题试题1.（2014•绍兴）将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】按照题意要求，动手操作一下，可得到正确的答案．解：由题意要求知，展开铺平后的图形是B．故选：B．点评：此题主要考查了剪纸问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪看看，可以培养空间想象能力．2.（2014•贵港）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．B．4C．D．5【答案】C【解析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD 是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出=AB•CM=AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．AB，再运用S△ABC解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，∴AB===10．∵S=AB•CM=AC•BC，△ABC∴CM===，即PC+PQ的最小值为．故选：C．点评：本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．3.（2014•襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D【解析】求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF=PE，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③错误；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等边三角形，判断出④正确．解：∵AE=AB，∴BE=2AE，由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°，∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=（180°﹣∠AEP）=（180°﹣60°）=60°，∴∠EFB=90°﹣60°=30°，∴EF=2BE，故①正确；∵BE=PE，∴EF=2PE，∵EF＞PF，∴PF＜2PE，故②错误；由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°，∴BE=2EQ，EF=2BE，∴FQ=3EQ，故③错误；由翻折的性质，∠EFB=∠EFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°，∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°，∴△PBF是等边三角形，故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选：D．点评：本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键．4.（2014•舟山）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=4cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好经过点D，则CD的长为（）A．2cm B．2cm C．4cm D．4cm【答案】B【解析】先证明EG是△DCH的中位线，继而得出DG=HG，然后证明△ADG≌△AHG，得出∠BAH=∠HAG=∠DAG=30°，在Rt△ABH中，可求出AB，也即是CD的长．解：∵点E，F分别是CD和AB的中点，∴EF⊥AB，∴EF∥BC，∴EG是△DCH的中位线，∴DG=HG，由折叠的性质可得：∠AGH=∠ABH=90°，∴∠AGH=∠AGD=90°，在△AGH和△AGD中，，∴△ADG≌△AHG（SAS），∴AD=AH，∠DAG=∠HAG，由折叠的性质可得：∠BAH=∠HAG，∴∠BAH=∠HAG=∠DAG=∠BAD=30°，在Rt△ABH中，AH=AD=4，∠BAH=30°，∴HB=2，AB=2，∴CD=AB=2．故选：B．点评：本题考查了翻折变换、三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出∠BAH=∠HAG=∠DAG=30°，注意熟练掌握翻折变换的性质．5.（2014•青岛）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为（）A．4B．3C．4.5D．5【答案】A【解析】先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2=C′F2求解．解：∵点C′是AB边的中点，AB=6，∴BC′=3，由图形折叠特性知，C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2=C′F2，∴BF2+9=（9﹣BF）2，解得，BF=4，故选：A．点评：本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．6.（2014•潍坊）如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（）A．（﹣2012，2）B．（﹣2012，﹣2）C．（﹣2013，﹣2）D．（﹣2013，2）【答案】A【解析】首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M 的对应点的为：当n为奇数时为（2﹣n，﹣2），当n为偶数时为（2﹣n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．解：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2﹣1，﹣2），即（1，﹣2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2﹣2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2﹣3，﹣2），即（﹣1，﹣2），第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2﹣n，﹣2），当n为偶数时为（2﹣n，2），∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（﹣2012，2）．故选：A．点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2﹣n，﹣2），当n为偶数时为（2﹣n，2）是解此题的关键．7.（2014•甘孜州）如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C 重合，若BC=5，CD=3，则BD的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】由翻折的性质可得：△ABD≌△CBD，得出∠ADB=∠CDB=90°，进一步在Rt△BCD 中利用勾股定理求得BD的长即可．解：∵将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB=90°，在Rt△BCD中，BD===4．故选：D．点评：本题考查了翻折的性质：翻折是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，翻折前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；以及勾股定理的运用．8.（2014•济南）如图，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是（）A.（，3）B.（，）C.（2，2）D.（2，4）【答案】A【解析】作O′M⊥y轴，交y于点M，O′N⊥x轴，交x于点N，由直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A（0，2），B（2，0）和∠BAO=30°，运用直角三角形求出MB 和MO′，再求出点O′的坐标．解：如图，作O′M⊥y轴，交y于点M，O′N⊥x轴，交x于点N，∵直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（0，2），B（2，0），∴∠BAO=30°，由折叠的特性得，O′B=OB=2，∠ABO=∠ABO′=60°，∴MB=1，MO′=，∴OM=3，ON=O′M=，∴O′（，3），故选：A．点评：本题主要考查了折叠问题及一次函数问题，解题的关键是运用折叠的特性得出相等的角与线段．9.（2014•黔南州）如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，设重叠部分为△EBD，则下列说法错误的是（）A．AB=CD B．∠BAE=∠DCE C．EB=ED D．∠ABE一定等于30°【答案】D【解析】根据ABCD为矩形，所以∠BAE=∠DCE，AB=CD，再由对顶角相等可得∠AEB=∠CED，所以△AEB≌△CED，就可以得出BE=DE，由此判断即可．解：∵四边形ABCD为矩形∴∠BAE=∠DCE，AB=CD，故A、B选项正确；在△AEB和△CED中，，∴△AEB≌△CED（AAS），∴BE=DE，故C正确；∵得不出∠ABE=∠EBD，∴∠ABE不一定等于30°，故D错误．故选：D．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．10.（2014•牡丹江）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】A【解析】根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则∠D=∠A，∠MCD=∠MCA，从而求得答案．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，∴AM=MC=BM，∴∠A=∠MCA，∵将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，∴CM平分∠ACD，∠A=∠D，∴∠ACM=∠MCD，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30°∴∠A=30°．故选：A．点评：本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．。

初中数学《八上》第十三章轴对称《课题学习》最短路径问题考试练习题姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分评卷人得分1、如图，在△ABC中，AB 的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4 ，EC＝2 ，则BC的长是（）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 8知识点：课题学习最短路径问题【答案】C【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4 ，结合图形计算，得到答案．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4 ，∴EB＝EA＝4 ，∴BC＝EB＋EC＝4 ＋ 2 ＝ 6 ，故选：C．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．2、如图，在△ABC中，按以下步骤作图：① 分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作对弧，两弧相交于M、N两点；② 作直线MN交BC于点D，交AC于E，连接AD，若AD＝BD，AB＝8 ，则DE＝___ ．知识点：课题学习最短路径问题【答案】4【分析】根据作图即可得到是的垂直平分线，再根据，得到DE是△ABC的中位线，即可得到DE的长．【详解】解：根据作图即可得到是的垂直平分线∴，∴，∵∴∴为的中点∴DE是△ABC的中位线∴故答案为【点睛】本题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，利用三角形中位线定理是解决问题的关键．3、如图，在△ABC 中， AB ＝ AC ， AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点．若 BD 平分∠ABC, 则∠A ＝________________ ° ．知识点：课题学习最短路径问题【答案】36 ．【详解】试题分析：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．∴∠A＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝2∠A＝∠ABC，设∠A为x，可得：x +x +x +2x＝180° ，解得：x＝36° ，故答案为36 ．点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得出角相等，然后在一个三角形中利用内角和定理列方程即可得出答案．4、在菱形ABCD中，E、F分别是BC和CD的中点，且AE ⊥BC，AF ⊥CD，那么∠EAF等于（）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°知识点：课题学习最短路径问题【答案】C【分析】连接AC，根据题意证得是等边三角形，再由等边三角形的性质求出∠EAC的度数，同理可求得∠FAC的度数，进而得到答案．【详解】解：如图，连接AC，∵E是BC中点，且AE ⊥BC，∴AE垂直平分BC，∴AB =AC，又∵ 四边形ABCD是菱形，∴AB =BC，∴AB =BC =AC，∴是等边三角形，∴∠BAC =60° ，AE平分∠BAC，∴∠EAC =30° ，同理可得，∠FAC =30° ，∴∠EAF =∠EAC +∠FAC =60° ．故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各性质及判定定理是解题的关键．5、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为_____cm ．知识点：课题学习最短路径问题【答案】21 ．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC 和 AC=2AE=8cm ，根据三角形的周长公式计算即可求解．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，∵△ABD的周长＝AB +BD +DA＝AB +BD +DC＝AB +BC＝13cm，∴△ABC的周长＝AB +BC +AC＝21cm，故答案为21 ．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．6、到三角形的三个顶点距离相等的点是（）．A ．三角形三条中线的交点B ．三角形三边垂直平分线的交点C ．三角形三条角平分线的交点D ．三角形三条高的交点知识点：课题学习最短路径问题【答案】B【分析】线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，三角形的三边是三条线段，从而可得答案.【详解】解：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，到三角形的三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点.故选：B【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边的垂直平分线的交点的性质，掌握“ 线段的垂直平分线的性质” 是解题的关键 .7、已知矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F，若AB＝4 ，BE＝3 ，则BF长为___ ．知识点：课题学习最短路径问题【答案】6 或【分析】AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB于点F可知点F的位置两种情况，一是点F在AB的延长线上，二是点F在AB上，然后分类用矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和勾股定理求解BF的长．【详解】解：① 当点F在AB的延长线上时，设BF =x，l∴△AOE ≌△AOH（ASA）∴AE =AH =5 ，又∵△FBE ∽△FAH，∴∴，解得：x =6 ，∴BF =6 ；② 当点F在AB的上时，设BF =y，如图2 所示：∵∠EFB =∠AFO，∠FBE =∠FOA，∴△EFB ∽△AFO，∴∠E =∠FAO，又∵△AFO +∠FAO =90° ，∠BCA +∠FAO =90° ，∴∠EFB =∠ACB，又∵∠EBF =∠ABC =90° ，∴△EBF ∽△ABC，∴，∴又∵AB =4 ，AB =AF +BF，∴AF =4-y，∵EH是AC的垂直平分线，∴AF =FC =4-y，在Rt △BFC中，由勾股定理得：BF2 +BC2 =FC2，∴，解得：或y =-6 （l 知识点：课题学习最短路径问题【答案】21 ．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC 和 AC=2AE=8cm ，根据三角形的周长公式计算即可求解．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，∵△ABD的周长＝AB +BD +DA＝AB +BD +DC＝AB +BC＝13cm，∴△ABC的周长＝AB +BC +AC＝21cm，故答案为21 ．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9、到三角形的三个顶点距离相等的点是（）．A ．三角形三条中线的交点B ．三角形三边垂直平分线的交点C ．三角形三条角平分线的交点D ．三角形三条高的交点知识点：课题学习最短路径问题【答案】B【分析】线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，三角形的三边是三条线段，从而可得答案.【详解】解：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，到三角形的三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点.故选：B【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边的垂直平分线的交点的性质，掌握“ 线段的垂直平分线的性质” 是解题的关键 .10、如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则__________．知识点：课题学习最短路径问题【答案】【分析】由等腰三角形，“ 等边对等角” 求出，再由垂直平分线的性质得到，最后由三角形外角求解即可．【详解】解：,,垂直平分．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线性质，三角形外角概念，能正确理解题意，找到所求的角与已知条件之间的关系是解题的关键．11、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B =60° ，∠C =25° ，则∠BAD =___________° .知识点：课题学习最短路径问题【答案】70 ．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC ，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C ，根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，计算出结果．【详解】解：∵DE 是 AC 的垂直平分线，∴DA=DC ，∴∠DAC=∠C=25° ，∵∠B=60° ，∠C=25° ，∴∠BAC=95° ，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70° ，故答案为70 ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．12、如图，在中，，．（1 ）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________ ，射线是的__________ ；（2 ）在（1 ）所作的图中，求的度数．知识点：课题学习最短路径问题【答案】（1 ）垂直平分线，角平分线；（2 ）25°【分析】（1 ）根据图形结合垂直平分线、角平分线的作法即可得到答案；（2 ）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质即可得到，再结合三角形的内角和便能求得，，再根据角平分线的定义即可得到答案．【详解】解：（1 ）由图可知：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线，故答案为：垂直平分线，角平分线；（2 ）∵是线段的垂直平分线，∴，∴，∵，，∴，∴．∵ 射线是的平分线，∴．【点睛】本题考查了垂直平分线、角平分线的作法以及它们的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握垂直平分线、角平分线的性质是解决本题的关键．13、如图，已知直线，直线分别与、交于点、．请用尺规作图法，在线段上求作点，使点到、的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）知识点：课题学习最短路径问题【答案】见解析【分析】作出线段AB 的垂直平分线即可．【详解】解：如图所示，点即为所求．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本作图．14、如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点，点F是的中点，连接、，若，则的周长为_________ ．知识点：课题学习最短路径问题【答案】8【分析】根据垂直平分线的性质求得∠BEA的度数，然后根据勾股定理求出EC长度，即可求出的周长．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴，BE =AE，∴，∵∴∴又∵AC =5 ，∴ 在中，，解得：CE =3 ，又∵ 点F是的中点，∴，∴的周长=CF +CE +FE =．故答案为：8 ．【点睛】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质．15、《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10 步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10 步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向．（1 ）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；（2 ）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在中，______________ ，是的中点，（______________ ）（填推理的依据）．∵ 直线表示的方向为东西方向，∴ 直线表示的方向为南北方向．知识点：课题学习最短路径问题【答案】（1 ）图见详解；（2 ），等腰三角形的三线合一【分析】（1 ）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求点D；（2 ）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答．【详解】解：（1 ）如图所示：（2 ）证明：在中，，是的中点，（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．∵ 直线表示的方向为东西方向，∴ 直线表示的方向为南北方向；故答案为，等腰三角形的三线合一．【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键．16、如图，在中，，，的垂直平分线交与点，交于点，则的周长是__________．知识点：课题学习最短路径问题【答案】13【解析】根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式求解即可【详解】是的垂直平分线..的周长为:故答案:13.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和三角形的周长公式,熟练掌握垂直平分线的性质和三角形的周长公式是解题关键.17、如图，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为（）A．65° B．60°C．55° D．45°知识点：课题学习最短路径问题【答案】A【解析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．【详解】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，故选A．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．18、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( )A．20° B．30° C．45° D．60°知识点：课题学习最短路径问题【答案】B【解析】根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．【详解】在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，故选B．【点睛】本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．19、如图，在△ABC中，∠A=40º，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是_________．知识点：课题学习最短路径问题【答案】30°．【解析】已知∠A=40°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．解：∵∠A=40°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，又∵DE垂直平分AB，∴DB=AD∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°．故答案为：30°．20、如图，已知：在△ABC中，AD平分∠ BAC，AB=AD，CE⊥AD，交AD的延长线于E .求证：AB+AC=2AE .知识点：课题学习最短路径问题【答案】详见解析【分析】延长 AE到 M，使 ME=AE，连接 CM，求出 AC=CM，求出 DM=MC，即可得出答案．【详解】延长 AE到 M，使 ME=AE，连接 CM，则 AM=2AE，∵ CE ⊥ AE，∴ AC=CM，∴∠ M= ∠ CAD= ∠ DAB，∴ AB ∥ MC，∴∠ B= ∠ MCD，∵ AB=AD，∴∠ B= ∠ ADB，∵∠ ADB= ∠ MDC，∴∠ MCD= ∠ MDC，∴ MC=MD，∴ AM=2AE=AD+MD=AB+AC，即 AB+AC=2AE.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出 DE=EC，有一定的难度．。

《13.4课题学习—最短路径问题》达标测评（附答案）一．选择题（共15小题，满分45分）1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度（）A．EF B．AB C．AC D．BC2．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝152°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．55°B．56°C．57°D．58°3．如图，∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是（）A．120°B．60°C．30°D．90°4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（）A．110°B．112°C．114°D．116°5．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使P A+PB最小，则下列图形正确的是（）A．B．C．D．6．如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝6，OC平分∠AOB，点P在射线OC 上，点Q为边OA上一动点，则P A+PQ的最小值是（）A．1B．2C．3D．47．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB 最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（）A．12B．6C．7D．89．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，点M、N分别是BC、AB边上的动点，∠B ＝56°，当△DMN的周长最小值时，则∠MDN的度数是（）A．124°B．68°C．60°D．56°10．如图，点M，N在直线l的同侧，小东同学想通过作图在直线l上确定一点Q，使MQ 与QN的和最小，那么下面的操作正确的是（）A．B．C．D．11．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC 边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°12．如图，等腰三角形ABC的底边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为（）A．8B．10C．12D．1413．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△P AB周长最小的是（）A．B．C．D．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．1215．在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）A．A点处B．D点处C．AD的中点处D．△ABC三条高的交点处二．填空题（共6小题，满分30分）16．等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是21，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为．17．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是．18．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，△ABC的面积为20．DE垂直平分AC，分别交边AB，AC于点D，E，点F为直线DE上一动点，点G为BC的中点，连接FG，FC，则△FGC的周长的最小值为．20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD、CE分别是△ABC的两条中线，CE＝6，P是AD 上一动点，则BP+EP的最小值是．21．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为2，面积是4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值是．三．解答题（共5小题，满分45分）22．已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点，（1）如图1，若∠O＝∠OMN，过M作射线MD∥OB（如图），点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB＝20°，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值．23．已知点P在∠MON内．（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．①若∠MON＝50°，则∠GOH＝；②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△P AB的周长最小时，求∠APB的度数．24．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小；（3）四边形BCC1B1的面积为．25．作图：（不写作法，但要保留作图痕迹）如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短．26．在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，E为AC的中点，P为AD上一动点，若AD＝12，试求PC+PE的最小值．参考答案一．选择题（共15小题，满分45分）1．解：连接AK，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AK＝BK，∴BK+CK＝AK+CK，∴AK+CK的最小值＝BK+CK的最小值，∵AK+CK≥AC，∴当AK+CK＝AC时，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，∴BK+CK的最小值是线段AC的长度，故选：C．2．解：如图，延长AB至A′，使A′B＝AB，延长AE至A″，使A″E＝AE，则BC垂直平分AA′，DE垂直平分AA″，∴AM＝A′M，AN＝A″N，根据两点之间，线段最短，当A′，M，N，A″四点在一条直线时，A′M+MN+NA″最小，则AM+MN+AN的值最小，即△AMN的周长最小，∵AM＝A′M，AN＝A″N，∴可设∠MAA′＝∠MA′A＝x，∠NAA″＝∠NA″A＝y，在△AA′A″中，x+y＝180°﹣∠BAE＝180°﹣152°＝28°，∵∠AMN＝∠MAA′+∠MA′A＝2x，∠ANM＝2y，∴∠AMN+∠ANM＝2x+2y＝56°，故选：B．3．解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2交OA于M，交OB于N，∴OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质可得MP＝P1M，PN＝P2N，∴△PMN的周长的最小值＝P1P2，由轴对称的性质可得∠P1OP2＝2∠AOB，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2∠P1OP2，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2∠P1OP2＝60°，故选：B．4．解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求．∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝α，∴∠ADC＝180°﹣α，由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC＝180°﹣（180°﹣32°）＝32°，∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°，∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）＝180°﹣64°＝116°．故选：D．5．解：∵点A，B在直线l的同侧，∴作A点关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点为P，由对称性可知AP＝A'P，∴P A+PB＝P A′+PB＝A′B为最小，故选：B．6．解：作AH⊥OB于H，交OC于P，作PQ⊥OA于Q，∵∠OAB＝∠AOB＝15°，∴PH＝PQ，∴P A+PQ＝P A+PH＝AH，∴P A+PQ的最小值为AH，在Rt△ABH中，∵OB＝AB＝6，∠ABH＝30°，∴AH＝AB＝3，∴P A+PQ的最小值为3，故选：C．7．解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b），只要AM+BN最短就行，即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．连接IB 交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．故选：D．8．解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，∵AB＝3，AC＝4，∴△ABP周长的最小值是AB+AC＝3+4＝7．故选：C．9．解：延长DA到E使DA＝AE，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF交AB于N，交BC 于M，此时，△DMN的周长最小，∵AB⊥AD，BC⊥DC，∴∠DAB＝∠DCB＝90°，DM＝FM，DN＝EN，∴∠E＝∠ADN，∠F＝∠CDM，∵∠B＝56°，∴∠ADC＝124°，设∠MDN＝α，∴∠ADN+∠CDM＝124°﹣α∴∠DNM+∠DMN＝2（124°﹣α），∴α+2（124°﹣α）＝180°，解得：α＝68°，故选：B．10．解：先作点M关于直线l的对称点M′，再连接M′N交l于点Q，则MQ+NQ＝M′Q+NQ＝M′N，由“两点之间，线段最短”可知，点Q即为所求的点，故选：D．11．解：作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN．此时△PMN的周长最小．∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，∵∠C＝50°，∴∠EPF＝130°，∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，故选：D．12．解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝24，解得AD＝12，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝12+×4＝14．故选：D．13．解：分别作点P关于∠O的两边的对称点P1，P2，连接P1P2交∠O的两边于A，B，连接P A，PB，此时△P AB的周长最小．故选：D．14．解：连接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴MA＝MC，∵AD≤AM+MD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故选：C．15．解：连接BP，∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB＝PC，△PCE的周长＝EC+EP+PC＝EC+EP+BP，当B、E、E在同一直线上时，△PCE的周长最小，∵BE为中线，∴点P为△ABC的重心，即也是△ABC的三条高的交点，故选：D．二．填空题（共6小题，满分30分）16．解：如图，连接AD．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝•BC•AD＝×6×AD＝21，∴AD＝7，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短为AD+BD＝AD+BC＝10，故答案为：10．17．解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN＝5，∴DM+CN+MN＝5，即CD＝5＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°；故答案为30°．18．解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，∴BP＝CP，∴△ACP的周长＝AP+PC+AC＝BP+AP+AC≥AB+AC，∴当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小，∵AB＝6，BC＝7，AC＝4，∴△ACP的周长6+4＝10，∴△ACP的周长最小值为10，故答案为10．19．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴A与C关于DE对称，连接AG，CF，∴GF+FC＝AF+FG＝AG，此时FC+FG最短，∵AB＝AC，点G为BC的中点，∴AG⊥BC，∵BC＝5，△ABC的面积为20，∴AG＝8，∴△FGC的周长＝FC+FG+GC＝AG+CG＝8+＝，∴△FGC的周长的最小值为，故答案为．20．解：作E关于AD的对称点E'，连接BE'，∵AB＝AC＝8，AD是BC边中线，CE是AB边中线，∴E'在AC边上，且是AC边的中点，∴BP+PE＝BP+PE＝BE'，此时BP+EP的值最小，∵△BAC是等腰三角形，∴BE'＝CE，∵CE＝6，∴BP+EP的最小值为6，故答案为6．21．解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×2×AD＝4，解得AD＝4，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM周长的最小值＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝4+×2＝4+1＝5．故答案为：5．三．解答题（共5小题，满分45分）22．解：（1）设∠O＝∠OMN＝α，∴∠MNB＝2α，∵MD∥OB，∴∠AMD＝α，∵NE平分∠MNC，∴∠MNE＝∠ENC，设∠MNE＝β，∴∠CNB＝2α﹣2β，∵MD∥OB，∴∠MCN＝2α﹣2β，∴∠EMC+∠MEN＝∠ENC+∠MCN，∴β+2α﹣2β＝α+∠MEN，∴∠MEN＝α﹣β，∴2∠MEN＝∠MCN；（2）作M点关于OB的对称点M'，N点关于OA的对称点N'，连接M'N'与OB、OA分别交于点P、点Q，连接ON'、OM'，∴MP+PQ+QN＝M'N'，此时MP+PQ+QN的值最小，由对称性可知，∠OQN'＝∠OQN，∠OPM'＝∠OPM，∴∠OPM'＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+（180°﹣∠OQN'），∵∠AOB＝20°，∴∠OM'P＝200°﹣∠OQN'，∴∠OPM+∠OQN＝200°．23．解：（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，∴OG＝OP，OM⊥GP，∴OM平分∠POG，同理可得ON平分∠POH，∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°，故答案为：100°；②∵PO＝5，∴GO＝HO＝5，当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，∴点G，O，H在同一直线上，∴GH＝GO+HO＝10；（2）如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接P A、PB，则AP＝AP'，BP＝BP“，此时△P AB周长的最小值等于P′P″的长．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°，同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°，∴∠APB＝30°+30°＝60°．24．解：（1）如图所示：；（2）如图所示：；（3）∵每小格均为边长是1的正方形，∴CC1＝4+4＝8，BB1＝2+2＝4，BB1和CC1之间的距离为2，∴四边形BCC1B1的面积为×（8+4）×2＝12，故答案为：12．25．解：作图如右图：牛奶站应建在C点，才能使A、B到它的距离之和最短．26．解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵AD＝12，点E是边AC的中点，∴AD＝BE＝12，∴PE+PC的最小值是12．。

《13．4课题学习最短路径问题》课时练一、选择题1．如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B=（）A．60°B．70°C．80°D．90°2．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°3．如下图是一个的正方形，现要在中轴线上找一点，使最小，则的位置应选在（）点处．A．P B．Q C．R D．S4．如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，BC边上的高AD=8，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，则EB+EF的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．86．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（）A．44°B．60°C．67°D．77°7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是(）A．2∠A=∠1﹣∠2 B．3∠A=2(∠1﹣∠2）C．3∠A=2∠1﹣∠2 D．∠A=∠1﹣∠28．附图（①）为一张三角形ABC纸片，P点在BC上．今将A折至P时，出现折线BD，其中D点在AC上，如图（②）所示．若△ABC的面积为80，△DBC的面积为50，则BP 与PC的长度比为何？（）A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：89．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下，这样剪得的三角形中（）A．AH=DH≠AD B．AH=DH=AD C．AH=AD≠DH D．AH≠DH≠AD10．如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内的一个定点，OP=20cm，点C、D分别是OA、OB上的动点，连结CP、DP、CD，则△CPD周长的最小值为( )A．10cm B．15cm C．20cm D．40cm 二、填空题11．如图,把△ABC沿直线DE翻折后得到△A′DE,如果∠A′EC=32°,那么∠A′ED=．12．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，PN+PM+MN的最小值是5cm，则∠AOB的度数是．13．如图，已知点P在锐角∠AOB内部，∠AOB=α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能使PD+DC最小，此时∠PDC= ．14．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是．15．如图，△ABC中，AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为__________．16．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC，BE⊥AC，P为AD上一动点，则PE+PC最小值为．三、作图题17．要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）．修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由．18．如图，已知点A，B(3，﹣2)在平面直角坐标系中，按要求完成下列个小题．(1)写出与点A关于y轴对称的点C的坐标，并在图中描出点C；(2)在(1)的基础上，点B，C表示的是两个村庄，直线a表示河流，现要在河流a上的某点M处修建一个水泵站，向B、C两个村庄供水，并且使得管道BM+CM的长度最短，请你在图中画出水泵站M的位置．19．作图题：如图，已知点A，点B，直线l及l上一点M．（1）连接MA，并在直线l上作出一点N，使得点N在点M的左边，且满足MN=MA；（2）请在直线l上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出画图的依据．20．如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分）（1）画出格点△ABC关于直线DE的对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点P，使PA+PC最小；（3）在DE上画出点Q，使QA﹣QB最大．四、解答题21．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．参考答案1．D 2．D 3．B 4．D 5．D 6．C 7．A 8．A 9．B 10．C 11．74°．12．30°．13．2α．14．7．15．6．16．；17．解：先作点B关于河岸的对称点，然后连接此对称点与点A，交河岸于点P，点P即为所求．18．解：(1)写出与点A关于y轴对称的点C的坐标(﹣2，1)，点C位置如图所示．(2)①作点B关于直线a的对称点B′，②连接CB′与直线a的交点为M．点M就是所求的点．(理由是两点之间线段最短)19．解：（1）作图如图1所示：（2）作图如图2所示：作图依据是：两点之间线段最短．20．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，连接A1C交DE于点P，点P即为所求；（3）延长AB交DE于点Q，点Q即为所求．21．解：（1）如图1，作C关于直线AB的对称点C′，连接C′D交AB于点P．则点P就是所要求作的点．理由：在l上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′．∵C和C′关于直线l对称，∴PC=PC′，P′C=P′C′，而C′P+DP＜C′P′+DP′，∴PC+DP＜CP′+DP′∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′即△CDP周长小于△CDP′周长；（2）如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB 于F，则点E，F就是所要求作的点．理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P′，∵C和P关于直线OA对称，∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，∵PE+EF+PF=CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′=CE′+E′F′+DE′，∴CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，′∴PE+EF+PF＜PE′+PF′+E′F′；（3）如图3，作M关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB 于F，则点E，F就是所要求作的点．理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P′，∵C和P关于直线OA对称，∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，由（2）得知MN+ME+EF+MF＜ME′+E′F′+F′D．。

13.4 课题学习最短路径问题课时训练一．选择题1．已知A（﹣1，1）、B（2，﹣3），若要在x轴上找一点P，使AP+BP最短，此时点P的坐标为（）A．（0，0）B．（，0）C．（﹣1，0）D．（﹣，0）2．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河处流边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（）A．B．C．D．3．如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为（1，﹣3），在y轴上有一点P使P A+PB的值最小，则点P坐标为（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）4．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝4，则△PMN的周长的最小值为（）A．2B．4C．6D．85．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC 边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．84°B．88°C．90°D．96°二．填空题7．在平面直角坐标系中，有A（3，3），B（1，﹣1）两点，现在y轴上取一点P，当P点的坐标为时，AP+BP的值最小．8．如图，已知点A（0，3），B（3.0），C（1，2）．在y轴上找一点P，使PC+PB的值最小．请你估计点P的坐标是．9．如图，P为∠MON内部的已知点，连接OP，A为OM上的点，B为ON上的点，当△P AB周长的最小值与OP的长度相等，∠MON的度数为°．10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，S△ABC＝16，点P为角平分线AD上任意一点，PE⊥AB，连接PB，则PB+PE的最小值为．11．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为5，面积是14，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为．12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AC＝24，BD平分∠ABC，点E是AB的动点，点F是BD上的动点，则AF+EF的最小值为．13．如图，已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，OP＝6，若OA上有一动点M，OB 上有一动点N，则△PMN的周长的最小值是．三．解答题14．如图，点P、Q为∠MON内两点，分别在OM与ON上找点A、B，使四边形P ABQ的周长最小．15．河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．16．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝100°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN 周长最小时，求∠MAN的度数是多少？17．如图，要在街道l上修建一个奶吧D（街道用直线l表示）．（1）若奶吧D向小区A，B提供牛奶如图①，则奶吧D应建在什么地方，才能使它到小区A，B的距离之和最短？（2）若奶吧D向小区A，C提供牛奶如图②，则奶吧D应建在什么地方，才能使它到小区A，C的距离之和最短？18．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝65°，则∠NMA的度数是度．（2）若AB＝10cm，△MBC的周长是18cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．参考答案一．选择题1．解：设直线AB的解析式y＝kx+b（k≠0），将点A（﹣1，1）、B（2，﹣3）的坐标代入得：解得：所以直线AB的解析式为：y＝﹣x﹣．令y＝0，解得x＝﹣，所以点P的坐标为（﹣，0），故选：D．2．解：要找一条最短路线，分别过OB，OC作点A的对称点，则张大伯可沿着AM走一条直线去河边M点挑水，然后再沿MN走一条直线到菜园去，同理，画出回家的路线图如下：故选：D．3．解：如图所示：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点P，则此时AP+PB＝AP+PB′＝AB′的值最小，∵点B坐标为（1，﹣3），∴B′（﹣1，﹣3），∴B′C＝AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴PD＝B′D＝1，∵OD＝|﹣3|＝3，∴OP＝2，∴P（0，﹣2），故选：D．4．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M′、N′，连接OC、OD、PM′、PN′．∵点P关于OA的对称点为C，∴PM′＝CM′，OP＝OC，∠COB＝∠POB；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN′＝DN′，OP＝OD，∠DOA＝∠POA，∴OC＝OD＝OP＝4，∠COD＝∠COB+∠POB+∠POA+∠DOA＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝4．∴当M、N分别与M′、N′重合时，△PMN的周长的最小值＝PM′+M′N′+PN′＝DN′+M′N′+CM′＝CD＝4．故选：B．5．解：∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，∵∠C＝50°，∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，故选：D．6．解：如图，作点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，则AM＝PM，AN＝QN，所以，∠P＝∠P AM，∠Q＝∠QAN，所以，△AMN周长＝AM+MN+AN＝PM+MN+QN＝PQ，由轴对称确定最短路线，PQ的长度即为△AMN的周长最小值，∵∠BAE＝136°，∴∠P+∠Q＝180°﹣136°＝44°，∵∠AMN＝∠P+∠P AM＝2∠P，∠ANM＝∠Q+∠QAN＝2∠Q，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠P+∠Q）＝2×44°＝88°，故选：B．二．填空题7．解：如图所示：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点P，则此时AP+PB最小，∵B（1，﹣1），∴B′（﹣1，﹣1），设直线AB′的解析式为y＝kx+b，∵A（3，3），∴，解得，∴直线AB′的解析式为y＝x，∴直线y＝x与y轴的交点P为（0，0）．故答案为（0，0）．8．解：如图所示：在x轴上得出B点关于y轴的对称点B′点，连接B′C，交y轴于点P，此时PC+PB的值最小，由题意可得出：B′点坐标为：（﹣3，0），C点坐标为：（1，2），∴设B′C的直线解析式为：y＝ax+b，解得：，∴B′C的直线解析式为：y＝x+，∴x＝0时，y＝，即点P的坐标是：（0.1.5）．故答案为：（0，1.5）．9．解：如图，分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2，然后连接两个对称点即可得到A、B两点，∴△P AB即为所求的三角形，此时△P AB周长＝P1P2，根据对称性知道：∠AOP1＝∠AOP，∠BOP＝∠BOP2，∠P1OP2＝2∠MON，OP1＝OP2＝OP，∵△P AB周长的最小值与OP的长度相等，∴P1P2＝OP，∴OP1＝OP2＝P1P2，∴△P1OP2是等边三角形，∴∠P1OP2＝60°，∴∠MON＝30°，故答案为：30．10．解：∵AB＝AC＝8，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴点B与点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB于E，交AD于P，则此时，PB+PE的值最小，且PB+PE的最小值＝CE，∵S△ABC＝AB•CE＝16，∴CE＝＝4，故答案为：4．11．解：如图，连接AD．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝•BC•AD＝×5×AD＝14，∴AD＝，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝+＝8.1，故答案为8.1．12．解：在射线BC上取一点E′，使得BE′＝BE．过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝24，∠C＝30°，∴AH＝AC＝12，∵BD平分∠ABC，∴∠FBE＝∠FBE′，∵BE＝BE′，BF＝BF，∴△FBE≌△FBE′（SAS），∴FE＝FE′，∴AF+FE＝AF+FE′，根据垂线段最短可知，当A，F，E共线且与AH重合时，AF+FE的值最小，最小值＝12，故答案为12．13．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，∴OC＝OD＝OP＝6，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝6．∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝6．故答案为：6．三．解答题14．解：作点P关于直线OM的对称点P′，作Q关于直线ON的对称点Q′，连接P′Q′交OM于A，ON于B，则此时四边形P ABQ的周长最小．15．解：利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知：AC+CD+DB＝（ED+DB）+CD＝EB+CD．而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离，所以AC+CD+DB最短．16．解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB＝100°，∴∠AA′M+∠A″＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×80°＝160°，∠MAN＝180°﹣160°＝20°．故当△AMN周长最小时，∠MAN的度数是20°．17．解：（1）奶吧D的位置如图1所示；（2）奶吧D的位置如图2所示．18．解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C∵∠ABC＝65°，∴∠C＝65°，∴∠A＝50°，MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴∠A＝∠ABM＝50°，∴∠MBC＝∠ABC﹣∠ABM＝15°，∴∠AMB＝∠MBC+∠C＝80°，∴∠NMA＝∠AMB＝40°．故答案为40度．（2）①∵AB＝AC＝10，△MBC的周长是18cm，即BM+MC+BC＝18∵AM＝BM，∴AM+MC+BC＝18，∴AC+BC＝18，∴BC＝8．答：BC的长度为8cm．②当点P与点M重合时，△PBC周长的值最小，答：△PBC的周长的最小值为18cm．。

八上最短路径问题一．选择题（共15小题）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E、AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为（）A．10B．11C．12D．131题2题3题2．如图，在△ABC中，AC＝4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（）A．28B．18C．10D．73．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，BD是∠ABC的平分线．若P、Q分别是BD和AB 上的动点，则P A+PQ的最小值是（）A．B．4C．D．54．如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（）A．B．C．D．5．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝6，AC＝4，BC＝7，则△APC周长的最小值是（）A．10B．11C．11.5D．135题6题6．如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°7．如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（）A．B．C．D．8．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，OP＝8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（）A．5B．6C．8D．108题9题10题9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．B．C．3D．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上一动点，则下列线段的长度等于PC+PE的最小值的是（）A．BE B．AD C．AC D．BC11．在△ABC中，∠A＝40°，点D在BC边上（不与C、D点重合），点P、点Q分别是AC、AB边上的动点，当△DPQ的周长最小时，则∠PDQ的度数为（）A．140°B．120°C．100°D．70°12．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC 上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．2B．4C．6D．813．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．1214．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别是线段BC，DC上的动点．当△AEF的周长最小时，则∠EAF的度数为（）A．90°B．80°C．70°D．60°15．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD ＝（）A．60°B．90°C．45°D．75°CDCDA CCCDA CBCBC八上最短路径问题答案一．选择题（共15小题）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E、AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为（）A．10B．11C．12D．13故选：C．2．如图，在△ABC中，AC＝4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（）A．28B．18C．10D．7【解答】故选：D．3．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，BD是∠ABC的平分线．若P、Q分别是BD和AB 上的动点，则P A+PQ的最小值是（）A．B．4C．D．5故选：C．4．如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（）A．B．C．D．故选：D．5．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝6，AC＝4，BC＝7，则△APC周长的最小值是（）A．10B．11C．11.5D．13故选：A．6．如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°故选：C．7．如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（）A．B．C．D．故选：C．8．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，OP＝8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（）A．5B．6C．8D．10故选：C．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．B．C．3D．故选：D．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上一动点，则下列线段的长度等于PC+PE的最小值的是（）A．BE B．AD C．AC D．BC故选：A．11．在△ABC中，∠A＝40°，点D在BC边上（不与C、D点重合），点P、点Q分别是AC、AB边上的动点，当△DPQ的周长最小时，则∠PDQ的度数为（）A．140°B．120°C．100°D．70°故选：C．12．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC 上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．2B．4C．6D．8故选：B．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．12故选：C．14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别是线段BC，DC上的动点．当△AEF的周长最小时，则∠EAF的度数为（）A．90°B．80°C．70°D．60°故选：B．15．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD ＝（）A．60°B．90°C．45°D．75°故选：C．。

人教版八年级上册13.4 课题学习最短路径问题
(378)
1.如图,A,B表示两个村子，要在河边选取一个取水口C，使得取水口C到A,B两村的距离之和最小，则取水口C应选在什么地方？
2.如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=BC=10，其中E，F分别是边AB，AD的中点，H是对角线BD上的任意一点，则HE+HF的最小值是．
3.如图所示，在边长为2的等边三角形ABC中，E,F,G分别为AB,AC,BC的中点，P为线段EF上的一个动点，连接BP,GP，则△BPG周长的最小值是．
参考答案
1.【答案】:解：如图所示，
作A关于河边的对称点D，连接DB交河边于点C，即为取水口C的位置.
2.【答案】:10
3.【答案】:3。

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（最新精品同步训练习题）
13.4 课题学习最短路径问题
[学生用书P63]
1．如图13-4-6，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是( ) A．40° B．100° C．140° D．50°
图13-4-6
2．如图13-4-7所示，四边形EFGH是一个矩形的台球桌面，有黑白两球分别位于A，B两点，试说明怎样撞击B，才能使白球先撞击台球桌边EF，反弹后又能击中黑球A?
图13-4-7
3．如图13-4-8，点A，B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m于点P.
(1)AB′与AP＋BP相等吗？为什么？
(2)在m上再取一点N，并连接AN与BN，比较AN＋BN与AP＋BP的大小，并说明理由．
图13-4-8
4．[2015·鄂尔多斯]如图13-4-9，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMMNNB最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)( D )。

课后训练基础巩固1．有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB 之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．2．已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？3．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．4．七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边OP放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A?能力提升5．公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．6．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸CD的距离分别为AC，BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500 m.(1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处，并说明理由；(2)最短路程是多少？参考答案1．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．2．解：如图所示，(1)分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2；(2)连接P1P2，与OA，OB分别相交于点M，N.因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以乙必须站在OA上的M处，丙必须站在OB上的N处才能使传球所用时间最少．3．解：(1)作点P关于BC所在直线的对称点P′；(2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点(如图所示)．4．解：如图，作小明关于活动区域边线OP的对称点A′，连接AA′交OP于点B，则小明行走的路线是小明→B→A，即在B处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A.5．解：如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q＋QR＋RP″，所以△PQR的周长最小，故Q，R就是我们所求的小桥的位置．6．解：(1)作法：如图作点A关于CD的对称点A′；连接A′B交CD于点M.则点M即为所求的点．证明：在CD上任取一点M′，连接AM′，A′M′，BM′，AM，因为直线CD是A，A′的对称轴，M，M′在CD上，所以AM＝A′M，AM′＝A′M′，所以AM＋BM＝A′M＋BM＝A′B，在△A′M′B中，因为A′M′＋BM′＞A′B，所以AM′＋BM′＝A′M′＋BM′＞AM＋BM，即AM＋BM最小．(2)由(1)可得AM＝A′M，A′C＝AC＝BD，所以△A′CM≌△BDM，即A′M＝BM，CM＝DM，所以M为CD的中点，且A′B＝2AM，因为AM＝500m，所以A′B＝AM＋BM＝2AM＝1 000 m．即最短路程为1 000 m.。